九年级数学等腰三角形与直角三角形复习学案

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三角形的复习学案

三角形的复习学案
———等腰三角形
【活动1】知识梳理
1 等腰三角形的定义：两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

（1）矩形沿对角线翻折 (2)已知直角三角形ABC 中，BE 平分
∠ABC 交AC 于点E ，A D ⊥BC 于点D 【活动3】典例分析
已知△ABC 中，AB=AC,BO 、CO ∠ABC 和∠ACB ，EF 经过O 点且EF 则BE 、CF 与EF 的数量关系是什么？变式1若A B ≠AC, BE 、CF 与EF 的
数量关系是什么？
变式2 若CO 为∠ACB 外角的角平分线
BE 、CF 与EF
【活动4】综合提升
如图，已知等腰直角三角形ABC ，∠BAC=90°，AD ⊥BC ， BE 平分∠AB Ｃ，交AC 于Ｅ，交AD 于N 。

易证变式1
将 △ABE 绕点A 逆时针旋转90°,判断BE 与CF 的关系，并说明理由。

变式2
（1）将 △ABE 沿BE 翻折，点A 落在点M 处，连接NM ，试探究四边形ANME 的形状，并说明理由
(2)点N 是AD 的中点吗？若是，请说明理由；
若不是，求AN ：ＤN 的值。

变式3
若CD=2，若点P 是AC 上的动点，
当CP 为何值时，△CDP 是等腰三角形。

初三数学复习教案-特殊三角形

初三数学复习教案课题：特殊三角形（2）教学目标：熟练运用等腰三角形概念、性质和判定及勾股定理、及其逆定理解决证明题、阅读题、条件和结论探索题等大量新颖题。

教学说明：本单元的热点是等腰三角形的有关概念、性质和判定；等边三角形的有关概念、性质和判定；勾股定理及其逆定理及相关的新颖题。

教学过程：一．典型例题：例1．已知：如图，△ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，使AE=BD ，连结CE 、DE ，求证：EC=ED例2．如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，以△ABC 的各边为边在△ABC 外作三个正方形，S 1、S 2、S 3分别表示这三个正方形的面积，S 1=81，S 3=225，则S 2=例3．如图（1）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a 和b ，斜边长为c ，图（2）是以c 为直角边的等腰直角三角形。

请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。

（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形；（2）用这个图形证明色股定理；（3）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中的所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图，并能简单说明理由。

D例4．在劳技课上，老师请同学们在一张长为17cm、宽为16cm的长方形纸板上，剪下一个腰长为10cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）。

请你帮助同学们计算剪下的等腰三角形的面积。

例5．四年一度的国际数学家大会于20XX年8月在北京召开，我校的孙海洋、陈晓莹两同学有幸参加了此次盛会。

大会的会徽如图（1），它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形。

（1）若大正方形的面积是13，每个直角三角形两直角边的和为5，求中间小正方形的面积。

（2）现有一张长为6.5cm，宽为2cm的纸片，如图（2），请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形。

九年级数学《解直角三角形-复习课》教案

第28章解直角三角形（单元复习课）教学任务分析问题1：在Rt △ABC 中，∠C=90°则（1）∠A 、∠B 的关系是_________，（2）_____,,的关系是c b a（3）边角关系是________________________________________________________________________________问题2：你能根据上述边角关系得到30°、45°、60°角的三角函数值吗？填写下表。

问题3：同角的三角函数之间有什么关系？互余的两角呢？问题4：锐角的正弦值是怎样随着角度数的变化而变化的？余弦、正切呢？其锐角三角函数值的范围分别是什么？ 2、组织交流，总结要点；3、板书教师总结知识结构图（多媒体展示）。

【学生活动】 1、学生反思回顾知识点，回答和完成导学案中的问题及三个表格；2、绘制出自己总结的知识结构图；3、交流展示自己总结的知识结构图及自主学习的成果；4、看听记教师的总结。

用数学的意识。

帮助学生学会用数学的思考方法解决实际问题，引发认知冲突，激发学生学习兴趣。

【媒体应用】1、展示反思回顾的问题；2、展示导学案中提出的问题；3、展示师生共同总结的本章本章要点和本章知识结构图。

活动三基础训练，查补缺漏：【基础闯关】1、Rt △ABC 中，∠C=90°若SinA= 时，tanA= 。

2、Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC=3BC ，则CosA= 。

3、菱形ABCD 中对角线AC 交BD 于点O ，且AC=8，BD=6，则下列结论中正确的为（）A 、Sin ∠ADB=B 、Cos ∠DAB=C 、tan ∠DBA =D 、tan ∠ADB=4、计算：（1）（2）丨Sin45°- 1丨-【教师活动】 1、操作多媒体出示问题。

2、组织学生交流和点评，得出正确答案。

【学生活动】 1、尝试完成练习，有困难的同学可以合作完成； 2、参与交流展示及点评。

中考一轮复习教案：等腰三角形与直角三角形

中考一轮复习教案：等腰三角形与直角三角形一、教学目标1、学生能够掌握等腰三角形和直角三角形的定义、性质和判定定理。

2、能够运用等腰三角形和直角三角形的相关知识解决简单的几何问题。

3、培养学生的逻辑推理能力和空间想象能力。

二、教学重难点1、重点（1）等腰三角形的性质和判定。

（2）直角三角形的性质和判定。

2、难点（1）等腰三角形和直角三角形的综合应用。

（2）运用相关定理进行推理和证明。

三、教学方法讲授法、练习法、讨论法四、教学过程（一）知识回顾1、等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。

2、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两腰相等。

（2）等腰三角形的两底角相等（简写成“等边对等角”）。

（3）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。

3、等腰三角形的判定（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。

（2）有两条边相等的三角形是等腰三角形。

4、直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。

5、直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余。

（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（3）直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（4）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。

6、直角三角形的判定（1）如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a²＋ b²＝ c²，那么这个三角形是直角三角形。

（2）如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

（二）例题讲解例1：已知等腰三角形的一个内角为70°，求另外两个内角的度数。

解：分情况讨论：（1）当70°角为顶角时，底角的度数为：（180°70°）÷2 ＝55°，所以另外两个内角的度数分别为 55°，55°。

1.1等腰三角形复习(教案)

（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与等腰三角形相关的实际问题，如如何计算等腰三角形的周长和面积。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用硬纸片制作等腰三角形，并测量其相关数据。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
针对本次教学，我总结了以下几点反思：
1.加强课堂互动，提高学生参与度，鼓励大家积极发表自己的观点，培养独立思考能力。
2.注重知识点的实际应用，设计更多与生活相关的案例，让学生在实践中感受数学的魅力。
3.在教学过程中，关注学生的个体差异，因材施教，帮助每个同学找到适合自己的学习方法。
4.加强课堂小结，通过提问、练习等方式，检验同学们对于课堂内容的掌握程度，及时发现问题并进行针对性指导。
2.发展学生的逻辑推理能力：在探讨等腰三角形的判定方法和性质应用过程中，引导学生运用逻辑推理，培养严谨的思维习惯。
3.增强学生的数学运算能力：让学生在解决等腰三角形周长和面积问题时，掌握相关计算方法，提高运算的准确性和速度。
4.培养学生的数据分析观念：通过对等腰三角形实例的分析，让学生学会从数据中寻找规律，培养数据分析能力，为解决实际问题奠定基础。
3.等腰三角形的底角和顶角：底角相等，顶角为两底角的补角。
4.等腰三角形的周长和面积：周长为底边加上两腰的长度之和；面积可通过底和对应高的乘积除以2计算得出。
二、核心素养目标
《1.1等腰三角形复习（教案）》
本节课的核心素养目标为：
1.培养学生的几何直观：通过复习等腰三角形的性质，使学生能够直观理解和把握等腰三角形的图形特征，提高空间想象能力。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）

第1讲等腰三角形与直角三角形-教案

第1讲等腰三角形与直角三角形-教案概述适用学科初中数学适用年级初中二年级适用区域北师版区域课时时长（分钟） 120知识点1.等腰三角形判定与性质2.直角三角形判定与性质1.理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．教学目标2.能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性教学重点特殊三角形的灵活应用教学难点特殊三角形的灵活应用.【教学建议】本节的教学重点是使学生能熟练掌握特殊三角形的性质与判定，这一节在本册书乃至整个初中数学几何部分占据非常重要的地位，在中考中出题的频率和分值都比较高，所以教师在教学过程中要注意结合中考题型进行拓展。

学生学习本节时可能会在以下几个方面感到困难：1. 等腰三角形及直角三角形的性质与判定。

2. 结合三角形全等的几何动点。

3.综合性解答题的思路与几何问题中的数学模型。

【知识导图】1等腰三角形与直角三角形等腰三角形判定与性质直角三角形判定与性质教学过程一、导入【教学建议】有关等腰三角形和直角三角形的考题，考查重点是几何动点以及几何类比探究的综合的题型，学生最开始接触时一定要把基础的性质与判定及常见的几何模型整理好，老师在授课过程中要注重方法的指导。

二、知识讲解知识点 1 等腰三角形判定与性质1.提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：（1）两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；（2）两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；（3）两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；（4）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；（5）三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：（1）（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提到的公理2进行证明；（2）回忆全等三角形的性质。

2.等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中线相等．通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进交流。

中考数学第16讲等腰三角形与直角三角形复习教案 (新版)北师大版

课题：第十六讲等腰三角形与直角三角形复习目标：1.了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的有关概念，掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质，掌握一个三角形是等腰三角形、等边三角形、直角三角形的条件.2.掌握勾股定理，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形. 教学重点与难点:重点:等腰三角形、直角三角形的性质与判定.难点: 掌握一个三角形是等腰三角形、等边三角形、直角三角形的条件、勾股定理，并会运用勾股定理解决简单问题.教学过程：一、课前热身1.（2014•滨州）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（），2.（2014•泉州）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，AB=10cm，则CD的长为cm．3．（2014•云南）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD= ．4.（2014•扬州）若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为cm．5.（2014•呼和浩特）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36，则该等腰三角形的底角的度数为．6．在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（）A．AE∥BC B．∠ADE=∠BDCC．△BDE是等边三角形 D．△ADE的周长是97.（2014•襄阳）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=O C．（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．处理方式：本环节的习题学生课前已完成，课上利用7分钟的时间让学生以“教师的身份”展示讲解，其余学生与教师补充、纠错．设计意图：鼓励每一位学生敢于亲自体验，敢于展示讲解，更好训练学生解题能力和口头表达能力，从而形成会做不如会写的，会写的不如会讲的．必将极大地激发了学生学习的积极性与主动性，提高教学的实效性.二、考点聚焦考点1 等腰三角形的概念与性质考点2 等腰三角形的判定考点3 等边三角形处理方式：先让学生通过查阅课本或小组合作解决知识回顾，再让学生分组展示，在学生展示同时，教师引出相应考点，生回答师强调补充完善.设计意图：通过知识回顾，考点聚焦达到以下目的：1.了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的有关概念，掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质，掌握一个三角形是等腰三角形、等边三角形、直角三角形的条件.2.掌握勾股定理，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.三、典例分析例1 若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为cm．处理方式：学生读题独立思考，必要时教师给予引导分析：题目给出等腰三角形有两条边长为7cm和14cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．方法总结：此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．例2 如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）处理方式：学生读题独立思考，必要时教师给予引导分析：过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD﹣MD即可求出OM的长．学生完成解答．方法总结：此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．例3 如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA4的长度为．处理方式：学生读题独立思考，必要时教师给予引导分析：利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出答案．学生完成解答．方法总结：此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键．设计意图：围绕考点，挑选部分中考题作为典型例题，一让学生知道中考对等腰三角形与直角三角形考什么？怎么考？二让学生通过典型例题解答，在复习回扣考点同时掌握一些解题方法和处理技巧.四、回声嘹亮师:同学们经历了这节课的探索学习，你在知识上和方法上什么收获呢？请说说看.处理方式：同桌对讲，畅谈自己的感受和体会，学生发言，老师总结与归纳.设计意图：让学生自己小结，活跃了课堂气氛，做到全员参与，理清了知识脉络，强化了重点，培养了学生口头表达能力.五、考点达标已知关于x 的一元二次方程（a +c ）x 2+2bx +（a ﹣c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．（1）如果x =﹣1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．六、布置作业必做题：复习指导丛书 P 82 强化训练 1—13题．选做题：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ⊥BC ，垂足为点E ，连接AC 交DE 于点F ，点G 为AF 的中点，∠ACD =2∠ACB ．若DG =3，EC =1，则DE 的长为（）A ． 22B ． 10C ． 32D ．6 设计意图：“必作题”可以巩固本节课所学内容，“选作题”可以培养学生对数学学习内容的兴趣．板书设计：。

九下第一轮复习等腰三角形与直角三角形的存在性问题

探索等腰三角形及直角三角形的存在性问题考点分析：中考中对于等腰三角形及直角三角形的存在性问题的考查多以压轴题形式出现,题目的设计多与几何图形中的动点问题、坐标系中的抛物线相结合，综合性很强，对学生分析问题、解决问题的能力提出较高的要求。

思想：等腰三角形直角三角形存在性问题都是对分类讨论、数形结合、方程思想的考察方法：等腰三角形与直角三角形存在性问题第一步学会做图。

第二步根据图形特征进行计算题型：等腰三角形已知点的情况主要分为“两定一动型”和“一定两动型”，直角三角形已知一边求另一顶点。

教学目标：1.探索并总结等腰三角形和直角三角形的存在性问题的解决方法与步骤；2.在研究等腰三角形和直角三角形存在性问题中，进一步发展空间观念，经历等腰三角形和直角三角形思考问题的过程，建立几何直观；3.在多种形式的数学活动中，发展合情推理和演绎推理的能力；能独立思考，体会数学的分类思想、数形结合思想、方程思想等。

4.经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。

重点、难点分析：重点：等腰三角形和直角三角形存在性问题的解决方法与步骤。

难点：1.问题中条件或结论的不确定性、答案的多样性；2.针对问题正确分类画图后寻找等量关系。

教学过程：一．主要知识回顾：（课前完成）1.若ABC∆是等腰三角形，则可能有下列线段相等：①②③2.等腰三角形的性质：3直角三角形ABC中，可能是直角的有①②③4直径所对的圆周角。

二．中考中的题目分类：等腰三角形（一）两定一动型1.只找点不计算（以选择题或填空题的形式出现，只需按照“两圆一线”的方法作出图形即可求解）例1.如图，在平面直角坐标系中，点A(1,3)在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个针对性练习1. 如图所示，在梯形ABCD中,AD∥BC, ∠ABC=90°,AD=AB=6,BC=14,点M是线段BC上一定点，且MC=8,动点P从C点出发沿C D A B→→→的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有个．2.计算题目（解这类题目的方法可以分为几何法与代数法）。

2024年中考数学复习课件第17讲等腰三角形与直角三角形

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8.(2019·三州联考20题3分)三角板是我们学习数学的好帮手.将一对
直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,点B在ED上,AB∥CF,
∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,则CD的长度
是 15-5 .
6
7
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11
第17讲等腰三角形与直角三角形— 真题试做
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方法指导
1.在解决与直角三角形相关问题时,要联想到与其相关的知
识:(1)两锐角互余;(2)勾股定理;(3)斜边上的中线等于斜
边的一半;(4)30°角所对直角边等于斜边的一半.
2.常过直角三角形直角顶点作斜边垂线,构造相似三角形求
线段长度.
例2
3
4
第17讲等腰三角形与直角三角形— 重难突破
命题点 2 直角三角形的性质及计算
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第17讲等腰三角形与直角三角形— 真题试做
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命题点 1 等腰三角形的性质及计算 (贵阳6年1考,遵义6年2考,毕节
6年1考)
1.(2020·毕节9题3分)等腰三角形的两条边长分别为3和7,则这个等腰
三角形的周长是 ( C
A.10
湘教:八上P61~P67,八下P2~P18
考点梳理
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第17讲
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等腰三角形与直角三角形— 思维导图
定义
定义
性质
性质
直角三角形
等腰三角形
判定
判定
等腰三角
形与直角
三角形
定义
性质
判定
等边三角形

中考数学专题复习第4章三角形第14讲等腰三角形和直角三角形含答案

第14讲等腰三角形和直角三角形☞【基础知识归纳】☜☞归纳一、等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形．2.等腰三角形的性质①等腰三角形两个底角相等；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称：“三线合一”③等腰三角形是轴对称图形，有 1 条对称轴． 3.等腰三角形的判定方法①定义判定：一个三角形中，如果有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形． ②判定定理：等角对等边；即一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边相等．4.等边三角形的性质①等边三角形的各角都相等，并且每—个角都等于 60 度； ②等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴． 5.等边三角形的判定①三边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角等于 60 度的等腰三角形是等边三角形.☞归纳二、直角三角形 1.直角三角形的定义有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 2.直角三角形的性质①直角三角形的两个锐角互余；②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 3.直角三角形的判定①两个内角和为 90° 的三角形是直角三角形；②一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形 4.勾股定理及逆定理【勾股定理】如果直角三角形两条直角边分别为,a b ，斜边为c ，那么222a b c += 【逆定理】如果三角形三边长,,a b c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形☞【常考题型剖析】☜☺ 题型一、等腰三角形【例1】(2016贺州) 一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（）A. 12B. 16C. 20D. 16或20【答案】C【分析】当等腰三角形的三边为4, 4, 8时，因为4+4=8，不符合题意，舍去；当等腰三角形的三边为4, 8, 8时，因为4+8>8符合题意，此时它的周长为4+8+8=20【例2】（2016邵阳）如图所示，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的是（）A. AC＞BCB. AC=BCC.∠A＞∠ABCD. ∠A=∠ABC 【答案】A【解答】∵AD=BD，∴∠A=∠ABD，∴∠ABC＞∠A，所以C选项和D选项错误；∴AC＞BC，所以A选项正确；B选项错误．【举一反三】1. (2016湘西州) 一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A. 13cmB. 14cmC. 13cm或14cmD. 以上都不对【答案】c【分析】当等腰三角形的三边为4, 4, 5时，因为4+4>5，符合题意，此时它的周长为4+4+5=13cm;当等腰三角形的三边为4, 5, 5时，因为4+5>5符合题意，此时它的周长为4+5+5=142. (2016通辽) 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为【答案】69°或21°【解答】分两种情况讨论：①若∠A＜90°，如图1所示：∵BD⊥AC，∴∠A+∠ABD=90°，∵∠ABD=48°，∴∠A=90°﹣48°=42°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=69°；②若∠A＞90°，如图2所示：同①可得：∠DAB=90°﹣48°=42°，∴∠BAC=180°﹣42°=138°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=21°；综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°．3. (2016淮安) 已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是【答案】10【分析】当等腰三角形的三边为2,2,4时，因为2+2=4，不符合题意，舍去；当等腰三角形的三边为2,4,4时，因为2+4>4符合题意，此时它的周长为2+4+4=104. (2016随州) 已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程28150x x -+=的根，则该等腰三角形的周长为【答案】19或21或23【解答】解方程28150x x -+=得x=3或x=5，当等腰三角形的三边长为9、9、3时，其周长为21；当等腰三角形的三边长为9、9、5时，其周长为23；当等腰三角形的三边长为9、3、3时，3+3＜9，不符合三角形三边关系定理，舍去；当等腰三角形的三边长为9、5、5时，其周长为19；综上，该等腰三角形的周长为19或21或23，5. (2016安顺) 已知实数,x y 满足480x y --=，则以,x y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对【答案】B【分析】根据非负数的意义列出关于x 、y 的方程并求出x 、y 的值，再根据x 是腰长和底边长两种情况讨论求解．【解答】解：根据题意得4080x y -=⎧⎨-=⎩，解得48x y =⎧⎨=⎩，（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20．6. (2016荆门) 已知3是关于x 的方程2(1)20x m x m -++=的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为（） A. 7 B. 10 C. 11 D. 10或11 【答案】D【分析】把x=3代入已知方程求得m 的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC 的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．【解答】解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为27120x x -+=，解得123,4x x ==，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，①当△ABC 的腰为4，底边为3时，则△ABC 的周长为4+4+3=11； ②当△ABC 的腰为3，底边为4时，则△ABC 的周长为3+3+4=10．综上所述，该△ABC 的周长为10或11．7. (2016荆门) 如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是∠BAC 的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC 的长为（）A. 5B. 6C. 8D. 10 【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质得到AD ⊥BC ，BD=CD ，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵AB=AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD ⊥BC ，BD=CD ，∵AB=5，AD=3，∴22AB AD -，∴BC=2BD=8，☺ 题型二、直角三角形【例3】(2015毕节) 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）3,4,523【答案】B【分析】如果三角形三边长,,a b c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形；因为 22212)3)+=，所以能够组成直角三角形【例4】(2016南充) 如图，在Rt△ABC 中，∠A=30°，BC=1，点D ，E 分别是直角边BC ，AC 的中点，则DE 的长为（）A. 1B. 2C. 3D. 1+3 【答案】A【解析】如图，∵在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，∴BC=12AB, 又∵BC=1 ∴AB=2BC=2．又∵点D 、E 分别是AC 和BC 的中点， ∴DE 是△ACB 的中位线，∴DE=12AB=1．故选A ．【举一反三】1. (2015来宾) 下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（）A. 1, 2, 3B. 2, 3, 4C. 4, 5, 6D. 1,2,3 【答案】D【分析】如果三角形三边长,,a b c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形；因为 2221(2)(3)+=，所以能够组成直角三角形2. (2016甘孜州) 直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为．【答案】6【分析】∵直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，∴另一直角边长为4．该直角三角形的面积S =12×3×4=63. (2016泉州) 如图3，在Rt △ABC 中，E 是斜边AB 的中点，若AB=10，则CE= ．图3 图4 【答案】5【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CE= 12AB=1102⨯=5.4. (2016百色) 如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（） A. 6 B. 62 C. 63 D.12 【答案】A【解答】∵∠C=90°，∠A=30°，AB=12，∴BC=12sin30°=12×12=6，5. (2016深圳龙岭期中) 如图，在△ABC 中，AB=AC ，DE∥BC，则下列结论中不正确的是（）A. AD=AEB. DB=ECC. ∠ADE=∠CD. DE=12BC 【答案】D【分析】由DE 与BC 平行，得到△ADE ∽△ABC ，由相似得比例，根据AB=AC ，得到AD=AE ，进而确定出DB=EC ，再由两直线平行同位角相等，以及等腰三角形的底角相等，等量代换得到∠ADE=∠C，而DE 不一定为中位线，即DE 不一定为BC 的一半，即可得到正确选项．☞【巩固提升自我】☜1. (2014广东) 一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（） A. 17 B. 15 C. 13 D. 13或17 【答案】A【分析】①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．2. (2015广州) 已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（） A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8或10 【答案】B【分析】解：将x=2代入方程，得：4﹣4m+3m=0，解得：m=4．当m=4时，原方程为28120x x -+=，解得：122,6x x ==，∵2+2=4＜6，∴此等腰三角形的三边为6、6、2， ∴此等腰三角形的周长C=6+6+2=14．3. (2016广州) 如图3，已知△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，DE 是AC 的垂直平分线， DE 交AB 于点D ，连接CD ，则CD=（）图3 图4A. 3B. 4C. 4.8D. 5【答案】D【解答】∵AB=10，AC=8，BC=6， ∴222BC AC AB +=，∴△ABC 是直角三角形， ∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AE=EC=4，DE ∥BC ，且线段DE 是△ABC 的中位线，∴DE=3， ∴AD=DC=22AE DE +=5．4. (2015南宁) 如图4，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠B=70°，则∠C 的度数为（） A. 35° B. 40° C . 45° D . 50° 【答案】A若测得AM 的长为1.2km ，则M ，C 两点间的距离为（）图5 图6A. 0.5kmB. 0.6kmC. 0.9kmD. 1.2km【答案】D解：∵△ABD 中，AB=AD ，∠B=70°， ∴∠B=∠ADB=70°，∴∠ADC=180°﹣∠ADB=110°， ∵AD=CD ，∴∠C=（180°﹣∠ADC ）÷2=（180°﹣110°）÷2=35°【分析】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，∴MC=12AB=AM=1.2km6. (2015丹东) 如图6，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A. 15°B. 17.5°C. 20°D. 22.5°【答案】A解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠ACE=∠A+∠ABC，即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∴2∠1=2∠3+∠A，∵∠1=∠3+∠D，∴∠D=12∠A=12×30°=15°7. (2016海南) 如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD 对折，点C落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为（）A. 6B. 62332【答案】D解：根据折叠的性质知，CD=ED，∠CDA=∠ADE=45°，∴∠CDE=∠BDE=90°，∵BD=CD，BC=6，∴BD=ED=3，即△EDB是等腰直角三角形，∴×3=。

等腰直角三角形复习学案 (1)

等腰直角三角形复习学案例1：如图：△ABC 中，AB=AC，∠BAC =90o，P，B 位于直线AC 两侧，AH⊥BP 于H，若∠BPC=90o.求证：①∠BPA=45o；②∠PBA=∠PCA，∠PBC=∠PAC；③∠PAB +∠PCB=180o；④PB－PC=2PH，PB+PC=2BH．变式1：如图：△ABC 中，AB=AC，∠BAC =90o，P，B 位于直线AC 两侧，AH⊥BP 于H，若∠BPA=45o.求证：①∠BPC=90o；②例题中的②③④结论仍然成立．变式2：如图：△ABC 中，AB=AC，∠BAC =90o，P，B 位于直线AC 两侧，AH⊥BP 于H，若∠APC=135o.求证：①∠BPC=90o；②例题中的②③④结论仍然成立．变式3：如图：△ABC中，∠BAC=90o，P，B位于直线AC两侧，若∠BPA=45o，∠BPC=90o．求证：AB=AC．变式4：如图：△ABC 中，AB=AC，P，B 位于直线AC 两侧，若∠BPA=45o，∠BPC=90o．求证：∠BAC =90o．变式5：如图：△ABC中，∠ACB=45o，P，B位于直线AC两侧，若∠BPA=45o，∠BPC=90o．求证：AB=AC．变式6：如图：△ABC 中，∠ABC=45o，P，B 位于直线AC 两侧，若∠BPA=45o，∠BPC=90o．求证：AB=AC．例2：如图：△ABC 中，AB=AC，∠BAC =90o，P，A 位于直线BC 两侧，AH⊥PC 于H，若∠APB=45o.求证：①∠APC=45o；②例题中的②③④结论仍然成立．②∠PAB=∠PCB，∠PBC=∠PAC；③∠PBA +∠PCA=180o；④PC－PB=2CH，PC+PB=2PH．变式1：如图：△ABC 中，AB=AC，∠BAC =90o，P，A 位于直线BC 两侧，BH⊥PA 于H，若∠BPC=90o.求证：①∠APB=∠APC=45o；②例题中的②③④结论仍然成立．变式2：如图：△ABC 中，AB=AC，∠BAC =90o，P，A 位于直线BC 两侧，BH⊥PA 于H，若∠APB=∠APC.求证：①∠BPC=90o；②例题中的②③④结论仍然成立．变式3：如图：△ABC 中，∠BAC =90o，P，A 位于直线BC 两侧，若∠APB=∠APC=45o.求证：AB=AC．变式4：如图：△ABC 中，AB=AC，P，A 位于直线BC 两侧，若∠APB=∠APC=45o.求证：∠BAC =90o．变式5：如图：△ABC 中，∠ABC=45o，P，A 位于直线BC 两侧，若∠APB=∠APC=45o.求证：△ABC 是等腰直角三角形．变式6：如图：△ABC 中，∠ACB=45o，P，A 位于直线BC 两侧，若∠APB=∠APC=45o.求证：△ABC 是等腰直角三角形．。

第四单元第十九讲等腰三角形与直角三角形++++课件+2025年九年级中考数学总复习人教版(山东)

过点F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E,那么下列结论正确的是 ( C )
①△BDF,△CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;
③△ADE的周长为AB+AC;④BD=CE.
A.③④
B.①②
C.①②③
D.②③④
(2)已知△ABC中,AB=AC=4,∠A=60°,则△ABC的周长为________.
股定理求解.
(4)折叠问题中求解线段长度问题,常常将某些条件汇集到一个直角三角形中,再
根据勾股定理列方程求解.
山东3年真题
38
1.(2023·菏泽中考)△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)2+ 2 − − 3+|c-3 2|=0,
(4)在直角三角形中,若有斜边中点,可考虑直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半.
37
2.勾股定理常见应用与技巧:
(1)已知直角三角形的任意两个边长,可直接利用勾股定理求得第三条边长.
(2)已知三角形的三边长,可运用勾股定理的逆定理确定此三角形是否为直角三角
形.
(3)立体图形表面的最短路径问题,可将立体图形展开,构造直角三角形后利用勾
交AC于点D,如果DE垂直平分BC,那么∠A的度数为
A.31° B.62° C.87° D.93°
(C)
8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
知识要点
3.直角三角形的性质与判定
互余
直角三角形的两个锐角__________
性
斜边
30°角所对的直角边等于______的一半
质
斜边
直角三角形斜边上的中线等于__________的一半
平方和
勾股定理:直角三角形中两直角边的____________等于斜边的平方

2024年中考数学总复习考点梳理第四章第三节等腰三角形与直角三角形

第三节等腰三角形与直角三角形
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考情及趋势分析
考情分析
类型年份题号题型分值图形背景
设问
等边
25(1 解答题
2018
3 直角三角形填空：角度
三角形
) (三)
2021 16 填空题 4 平行四边形求正弦值
20(2 解答题
直角 2021
3 直角三角形
) (一)
三角形
求正切值
2020 17 填空题 4 直角三角形求线段最值
返回目录
考情分析
类型年份题号题型分值结合知识点设问
方法
溯源教材教材改编维度
人教八上
解答题
证等腰三两底角相等
改变设问及条
等腰 2020 20
6 全等三角形
P40例3(图
(一)
角形
，两腰相等
件
三角
形)
形
解答题
证等腰三两底角相等
2018 22(2)
4 全等三角形
/
/
(二)
角形
，两腰相等
【考情总结】
返回目录第1题图
第三节等腰三角形与直角三角形
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2. [人教八下P61习题改编]在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是
AB边上一点，连接CD.
(1)若∠B＝30°，AC＝2，则AB＝____4____；
(2)若D是AB边的中点．
①当∠B＝25°时，则∠ACD＝___6_5_°___； ②当AC＝3，BC＝4时，则CD＝___52_____；
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教材改编题课前测
1. [北师八下P30习题改编]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为

初中数学专题复习等腰三角形与直角三角形

初中数学专题复习等腰三角形与直角三角形初中数学专题复习：等腰三角形与直角三角形嘿，同学们！咱们今天要来好好唠唠初中数学里的等腰三角形和直角三角形。

这俩家伙可是考试中的常客，咱们可得把它们拿捏得死死的。

先来说说等腰三角形吧。

还记得有一次我在路上走着，看到一个小朋友拿着一个风筝，那风筝的骨架就是一个等腰三角形。

小朋友不小心把风筝掉到了地上，骨架有点变形了。

我就帮他捡起来，仔细一看，发现这等腰三角形的两条腰好像不相等了。

这让我想到了咱们数学里的知识，如果一个等腰三角形的两条腰不相等了，那它可就不是等腰三角形啦。

等腰三角形有个特别重要的性质，就是两腰相等，两底角也相等。

比如说，给你一个等腰三角形，其中一个底角是 50 度，那另一个底角不用想，肯定也是 50 度。

而且等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，这叫“三线合一”。

这个性质在解题的时候可好用啦，能帮咱们快速找到解题的关键。

再讲讲直角三角形。

有一回我去工地，看到工人们在搭建一个架子，那架子的形状就是直角三角形。

我就在想，这直角三角形可真是坚固啊。

直角三角形有个勾股定理，大家可得记牢咯！就是两条直角边的平方和等于斜边的平方。

比如说，一个直角三角形的两条直角边分别是 3 和 4，那斜边肯定就是 5 啦，因为 3 的平方加上 4 的平方等于 5 的平方。

还有啊，直角三角形中，如果一个锐角是 30 度，那么它所对的直角边是斜边的一半。

这个性质也经常在题目中出现呢。

咱们来做几道题练练手。

比如说这道：已知一个等腰直角三角形的斜边是 10 厘米，求它的直角边长度。

这时候咱们就可以利用勾股定理啦，因为等腰直角三角形的两条直角边相等，设直角边为 x，那就是 x 的平方加上 x 的平方等于 10 的平方，解这个方程就能求出直角边的长度啦。

再看这道：在一个等腰三角形中，顶角是 80 度，求底角的度数。

这就简单啦，用（180 80）÷ 2 就能得出底角的度数。

初中复习方略数学第十七讲等腰三角形、直角三角形

点 E，F，G，Q，H 在一条直线上，且 EF＝GH，我们知
道按如图所作的直线 l 为线段 FG 的垂直平分线．下列说法正确的是( A )
A．l 是线段 EH 的垂直平分线 B．l 是线段 EQ 的垂直平分线 C．l 是线段 FH 的垂直平分线 D．EH 是 l 的垂直平分线
【提分要点】 1．“等边对等角”，可以证明两个角相等，也可以计算角的大小； 2．“三线合一”，利用这个性质可以证明线段相等、角相等、线段垂直，可以计算线段的长度，角的大小．
2．等边三角形
定义 ___三__边____相等的三角形
性质
(1)等边三角形的三个内角都___相__等____,并且每一个内角都等于 ___6_0_°___ (2)等边三角形是轴对称图形,并且有___三____条对称轴 (3)等边三角形每边上的中线,该边上的高线,该边所对角的角平分线互相重合
AC＝_4__8_米．
考点四直角三角形的性质【典例 4】(2020·荆州中考)如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的斜边 OA 在第一
象限，并与 x 轴的正半轴夹角为 30°.C 为 OA 的中点，BC＝1，则点 A 的坐标为( B )
A．( 3 ， 3 ) C．(2，1)
B．( 3 ，1) D．(2， 3 )
1．(2021·乐山中考)如图，已知直线 l1，l2，l3 两两相交，且 l1⊥l3，若 α＝50°，则 β
【特别提醒】勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否是直角三角形的重要方法，应先确定最长边，然后验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方．
1．一条边等于另一条边的一半的三角形：若直角三角形的一条直角边等于斜边的一半，则较短边所对的角是 30°；若直角三角形一条直角边等于另一条直角边的一半，则不会有 30°的角；若此三角形不是直角三角形，也不会有 30°的角． 2．一条边上的中线等于这个边的一半的三角形：这个三角形一定是直角三角形．

模式1中考数学第一轮复习导学案-等腰三学案-等腰三角形与直51

等腰三角形与直角三角形◆课前热身1.如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为（）A．3 2B．23C．12D．342.如图，已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，则边BC的长为（）A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30º，腰长为4 cm，则其腰上的高为 cm．4.如图，在边长为1的等边△ABC中，中线AD与中线BE相交于点O，则OA长度为．【参考答案】1. B2. A3.234.33ACDB第2题图ADCPB第1题图60°◆考点聚焦等腰三角线1．等腰三角形的判定与性质．2．等边三角形的判定与性质．3．运用等腰三角形、等边三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题．直角三角形1．运用勾股定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单的实际问题．2．运用勾股定理及其逆定理从数的角度来研究直角三角形．3．折叠问题．4．将直角三角形，平面直角坐标系，函数，开放性问题，探索性问题结合在一起综合运用．◆备考兵法等腰三角线1．运用三角形不等关系，•结合等腰三角形的判定与性质解决等腰三角形中高、边、角的计算问题，并要注意分类讨论．2．要正确辨析等腰三角形的判定与性质．3．能熟练运用等腰三角形、方程（组）、函数等知识综合解决实际问题．直角三角形1．正确区分勾股定理与其逆定理，掌握常用的勾股数．2．在解决直角三角形的有关问题时，应注意以勾股定理为桥梁建立方程（组）•来解决问题，实现几何问题代数化．3．在解决直角三角形的相关问题时，要注意题中是否含有特殊角（30°，45°，60°）．若有，则应运用一些相关的特殊性质解题．4．在解决许多非直角三角形的计算与证明问题时，•常常通过作高转化为直角三角形来解决．5．折叠问题是新中考热点之一，在处理折叠问题时，动手操作，认真观察，充分发挥空间想象力，注意折叠过程中，线段，角发生的变化，寻找破题思路．◆考点链接一．等腰三角形的性质与判定：1. 等腰三角形的两底角__________；2. 等腰三角形底边上的______，底边上的________，顶角的_______，三线合一；3. 有两个角相等的三角形是_________．二．等边三角形的性质与判定：1. 等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质；2. 三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于60°的_______三角形是等边三角形．三．直角三角形的性质与判定： 1. 直角三角形两锐角________．2. 直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________．3. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的______．；4. 勾股定理：_________________________________________．5. 勾股定理的逆定理：_________________________________________________． ◆典例精析例1（湖北襄樊）在ABC △中，12cm 6cm AB AC BC D ===，，为BC 的中点，动点P从B 点出发，以每秒1cm 的速度沿B A C →→的方向运动．设运动时间为t ，那么当t = 秒时，过D 、P 两点的直线将ABC △的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．【答案】7或17【解析】本题考查等腰三角形中的动点问题，两种情况，①当点P 在BA 上时，BP ＝t ，AP ＝12-t ，2（t+3）＝12-t+12+3，解得t ＝7；②当点P 在AC 上时， PC ＝24-t ，t+3＝2（24-t+3），解得t ＝17，故填7或17.例2（山东滨州）某楼梯的侧面视图如图所示，其中4AB =米，30BAC ∠=°， 90C ∠=°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为．【答案】（2+23）米．【解析】掌握30°所对的直角边等于斜边的一半，即可求解.BC A30°例3（四川乐山）如图，AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，则sinB等于（）A．513B．1213C．35D．45【答案】 A【解析】由AD⊥DC，知△ADC为直角三角形．由勾股定理得：AC2=AD2+DC2=32+42=5，AC=5，在△ACB中，∵AB2=169，BC2+AC2=52+122=169，∴AB2=BC2+AC2．由勾股定理的逆定理知：△ABC是直角三角形．∴sinB=ACAB=513．例4（安徽）已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC．（1）如图1，若点O在BC上，求证：AB=AC；（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC；（3）若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画图表示．图1 图2解析（1）过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂尺，由题意知，OE=OF，又OB=OC．∴Rt△OEB≌Rt△OFC．∴∠B=∠C．∴AC=AB．（2）过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足．由题意知，OE=OF．在Rt△OEB和Rt△OFC中，OE=OF，OB=OC．∴Rt△OEB≌Rt△OFE．∴∠OBE=∠OCF．又OB=OC．∴∠OBC=∠OCB．∴∠ABC=∠ACB．∴AC=AB．（3）不一定成立．当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB=AC，否则AB≠AC，•如示例图．成立不成立【点拨】本例从O点的特殊位置（BC边的中点）探究图形的性质，再运用变化的观点探究一般位置（点O在△ABC内，点O在三角形外）下图形的性质有何变化，培养同学们从不同的角度分析，解决问题的能力，拓展思维，提高综合解题能力．◆迎考精练一、选择题1.(四川达州)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）A．13 B．26 C．47 D．942.（甘肃白银）如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（）A．5 B．4 C．3 D．2 3.（山东济宁）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4．小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是（）A．12B．14C．15D．1104.（浙江嘉兴）如图，等腰△ABC 中，底边a BC =，∠A ＝36°， ∠ABC 的平分线交AC 于D ，∠BCD 的平分线交BD 于E ，设215-=k ，则DE ＝（）A ．a k 2B ．a k 3C ．2k a D ．3k a5.（湖北恩施）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（）A ．521B ．25C ．1055+D ．35 6.（浙江宁波）等腰直角三角形的一个底角的度数是（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7.（山东威海）如图，AB ＝AC,BD ＝BC ，若∠A ＝40°，则∠ABD 的度数是（）A ．20B ．30C ．35D ．408.（湖北襄樊）如图，已知直线110AB CD DCF =︒∥，∠，且AE AF =，则A ∠等于（）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．70︒二、填空题1.（四川泸州）如图，已知Rt △ABC 中，AC ＝3，BC ＝ 4，过直角顶点C 作CA 1⊥AB ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，12C A ，…，则AF BCDEBADCADC EB 第4题图52015 10CA BCA1＝，=5554CAAC2.(四川内江)已知Rt△ABC的周长是344+，斜边上的中线长是2，则S△ABC＝___.3.（四川宜宾）已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部分的面积为．ABCEFH第12题图4.（湖南长沙）如图，等腰ABC△中，AB AC=，AD是底边上的高，若5cm6cmAB BC==，，则AD= cm．三、解答题1.（河南）如图所示，∠BAC＝∠ABD,AC＝BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系,并给出证明．2.（浙江绍兴）如图，在ABC△中，40AB AC BAC=∠=，°，分别以AB AC，为边作ACDB两个等腰直角三角形ABD 和ACE ，使90BAD CAE ∠=∠=°．（1）求DBC ∠的度数；（2）求证：BD CE =．3.（湖北恩施）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷()A 和世界级自然保护区星斗山()B 位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，50km AB A =，、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和1S PA PB =+，图（2）是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A '，连接BA '交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和2S PA PB =+．（1）求1S 、2S ，并比较它们的大小；（2）请你说明2S PA PB =+的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．4.（广东中山）如图所示，ABC △是等边三角形， D 点是AC 的中点，延长BC 到E ，使CE CD =，（1）用尺规作图的方法，过D 点作DM BE ⊥，垂足是M （不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：BM EM =．【参考答案】选择题BA PX图（1）YXBAQP O图（3）BAP X A '图（2）1. C2. A3. C4. A5. B6. B7. B 8. B【解析】本题考查平行线的性质、等腰三角形的性质等知识，∵110AB CD DCF =︒∥，∠，所以110EFB DCF ∠=∠=︒，∴70AFE ∠=︒，∵AE AF =，∴70E AFE ∠=∠=︒，∴40A ∠=︒，故选B 填空题 1.512，452. 83.29 4. 4 解答题1. OE ⊥AB ．证明：在△BAC 和△ABD 中，AC BD BAC ABD AB BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAC ≌△ABD ．∴∠OBA =∠OAB , ∴OA =OB ．又∵AE =BE , ∴OE ⊥AB ．2. 解：（1）ΔABD 是等腰直角三角形，90∠=°BAD ， ∴∠ABD ＝45°,AB ＝AC, ∴∠ABC ＝70°,∴∠CBD ＝70°+45°＝115°．证明：(2)AB ＝AC,90BAD CAE ∠=∠=°,AD ＝AE,∴ΔBAD ≌ΔCAE,∴BD ＝CE ．3. 解:⑴图（1）中过B 作BC ⊥AP,垂足为C,则PC ＝40,又AP ＝10,∴AC ＝30在Rt △ABC 中，AB ＝50 AC ＝30 ∴BC ＝40∴ BP ＝24022=+BC CPS 1＝10240+⑵图10（2）中，过B 作BC ⊥AA ′垂足为C ，则A ′C ＝50，又BC ＝40∴BA'＝4110504022=+由轴对称知：PA ＝PA'∴S 2＝BA'＝4110∴1S ﹥2S (2)如图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称知MA ＝MA' ∴MB+MA ＝MB+MA'﹥A'B∴S 2＝BA'为最小（3）过A 作关于X 轴的对称点A', 过B 作关于Y 轴的对称点B'，连接A'B',交X 轴于点P, 交Y 轴于点Q,则P,Q 即为所求过A'、 B'分别作X 轴、Y 轴的平行线交于点G,A'B'＝5505010022=+∴所求四边形的周长为55050+ P XBA QYB'A'4. 解：（1）作图见下图，（2）ABC △是等边三角形，D 是AC 的中点，BD ∴平分ABC ∠（三线合一）， 2ABC DBE ∴∠=∠．CE CD =，CED CDE ∴∠=∠．又ACB CED CDE ∠=∠+∠，2ACB E ∴∠=∠．又ABC ACB ∠=∠，22DBC E ∴∠=∠，DBC E ∴∠=∠，BD DE ∴=．又DM BE ⊥，BM EM ∴=． AC B DEM。