巧用完全平方公式解题例析
完全平方公式的综合应用
完全平方公式的综合应用例1：矩形面积最大问题假设一个菜农要栽种一片长方形菜田，如果他只有一定长度的篱笆，那么他应该怎样才能使得菜田的面积最大呢？解法：设菜田的长度为x，宽度为y，根据题意我们可以得到一个方程：2x+y=200（因为需要两条边之和等于篱笆的长度）现在我们要找到这个方程的最大值，首先将方程变形为：y=200-2x 接下来我们可以使用完全平方公式来求解最大值。
根据完全平方公式，这是一个开口向下的抛物线，所以我们可以知道最大值是在顶点处取得的。
所以矩形的长度为50，宽度为100，当且仅当菜田是一个正方形时，面积最大。
例2：解一元二次方程假设有一个一元二次方程x^2+8x+16=0，我们需要求解它的解。
解法：首先，我们观察这个方程可以发现它可以化简为一个完全平方形式。
将方程变形为：(x+4)^2=0根据完全平方公式，我们知道只有当一个数的平方等于0时，这个数才能等于0。
所以，我们可以得到：x+4=0或x=-4所以方程的解为x=-4例3：求两点之间的距离假设有两个点A(5,7)和B(9,3)，我们需要求解它们之间的距离。
解法：我们可以利用两点之间的距离公式来求解。
根据两点之间的距离公式，我们可以得到：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)将点A的坐标代入为x1=5，y1=7，将点B的坐标代入为x2=9，y2=3，带入方程可得：d=√((9-5)^2+(3-7)^2)d=√(4^2+-4^2)d=√(16+16)d=√32所以点A和点B之间的距离为√32通过以上例子，我们可以看到完全平方公式在解决不同类型的问题时起到了非常重要的作用。
无论是求解最值问题、解一元二次方程还是求解两点之间的距离，完全平方公式都是一个非常有用的工具。
在实际生活中，完全平方公式也有很多其他应用，比如在物理学中的运动学问题、在经济学中的成本最小化问题等等。
因此，熟练掌握完全平方公式的应用是非常有价值的。
完全平方公式经典例题
完全平方公式经典例题
【原创实用版】
目录
1.完全平方公式的定义和基本形式
2.经典例题解析
3.完全平方公式的应用场景和技巧
正文
一、完全平方公式的定义和基本形式
完全平方公式，又称平方差公式或完全平方差公式，是指两个数的平方和与这两个数的乘积的二倍之间的关系。
其基本形式为：(a+b)=a+2ab+b 和 (a-b)=a-2ab+b。
二、经典例题解析
例题 1：求解 (3x+2y) 的值。
解答：根据完全平方公式，(3x+2y)= (3x) + 2*3x*2y + (2y) = 9x + 12xy + 4y。
例题 2：求解 (x-3y+2z) 的值。
解答：根据完全平方公式，(x-3y+2z)= x - 2*x*3y + (3y) - 2*x*2z + (2z) = x - 6xy + 9y - 4xz + 4z。
三、完全平方公式的应用场景和技巧
完全平方公式在代数运算中具有广泛的应用，例如求解平方和、平方差、完全平方等。
在解题过程中，熟练掌握完全平方公式可以简化运算过程，提高解题效率。
技巧 1：注意符号。
在运用完全平方公式时，要特别注意符号。
例如，(a+b) 中的 + 号，在展开后应分别与 a 和 b 相乘。
技巧 2：化简表达式。
利用完全平方公式，可以将复杂的平方和或平方差表达式化简为更容易计算的形式。
技巧 3：结合其他代数公式。
在解题过程中，完全平方公式可以与其他代数公式相结合，如乘法公式、分配律等，以达到更快速地解决问题。
完全平方公式的应用
应用新知
利用完全平方公式计算：
① 1982 = (200 -2) 2
= 2002 -2×200×2 + 22 = 40 000 -800 +4 = 39 204 .
② 60.22 = (60 +0.2) 2
= 602 +2×60×0.2 + 0.22 = 3 600 +24 +0.04 = 3 624.04 .
1.6 完全平方公式
第2课时
b
ab
b²
(a+b)²
a
a²
ab
a
b
1、平方差公式
( a + b )( a – b )=a2 b2
相同项平方减去相反项平方
2. 完全平方公式：
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (a-b)2 = a2 - 2ab + b2
首平方，尾平方，2倍乘积放中央， 加的加，减的减，这是公式的特点。
将(b-c)看作一个整体.
3、(a + 2b – 1 ) 2
【解析】 原式=[(a+2b)-1] 2
=(a+2b) 2 –2(a+2b)×1+12 =a2 +4ab+4b2 –2a-4b+1
4、(x+2y-3)(x-2y+3)
【解析（】1）原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
= x2-(2y-3)2 = x2-(4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9.
(1) 1022；
(2) 992
变形
解: (1) 1022 = (100+2)2 =1002+2×100×2+22
完全平方公式典型应用
完全平⽅公式典型应⽤完全平⽅公式的典型应⽤题型⼀、完全平⽅公式的应⽤例1、计算（1）（－21ab 2－32c ）2；（2）（x －3y －2）（x ＋3y －2）；练习1、(1)（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）；（2）、（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）；题型⼆、配完全平⽅式1、若k x x ++22是完全平⽅式，则k =2、.若x 2－7xy +M 是⼀个完全平⽅式，那么M 是3、如果4a 2－N ·ab ＋81b 2是⼀个完全平⽅式，则N =4、如果224925y kxy x +-是⼀个完全平⽅式，那么k =题型三、公式的逆⽤1．（2x －______）2＝____－4xy ＋y 2． 2．（3m 2＋_______）2＝_______＋12m 2n ＋________．3．x 2－xy ＋________＝（x －______）2． 4．49a 2－________＋81b 2＝（________＋9b ）2．5．代数式xy －x 2－41y 2等于－（）2 题型四、配⽅思想1、若a 2+b 2－2a +2b +2=0,则a2004+b 2005=_____. 2、已知0136422=+-++y x y x ，求y x =_______.3、已知222450x y x y +--+=，求21(1)2x xy --=_______. 4、已知x 、y 满⾜x 2⼗y 2⼗45＝2x ⼗y ，求代数式yx xy +=_______. 5．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ．6、已知三⾓形ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c 满⾜等式22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三⾓形是什么三⾓形？题型五、完全平⽅公式的变形技巧1、已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值。
8.3《平方差公式与完全平方公式》典型例题精析
8.3 完全平方公式与平方差公式1．了解乘法公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算．2．感受生活中两个乘法公式存在的意义，养成“观察—归纳—概括”的数学能力，体会数形结合的思想方法，提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力，进一步增强符号感和推理能力．1．完全平方公式(1)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.上式用语言叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．(2)完全平方公式的证明：(a±b)2＝(a±b)(a±b)＝a2±ab±ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2±2ab＋b2(合并同类项)．(3)完全平方公式的特点：①左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简单概括为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”．②公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．③对于符合两数和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式计算．【例1－1】用完全平方公式计算(1)(x＋2y)2；(2)(2a－5)2；(3)(－2s＋t)2；(4)(－3x－4y)2；(5)(2x＋y－3z)2.分析：第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算；第(3)题可先把它变成(t－2s)2，然后再计算，也可以把－2s看成一项，用和平方公式计算；第(4)题可看成－3x与4y差的平方，也可以看成－3x与－4y和的平方；(5)可把2x＋y看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成2x与y－3z的和平方，再用差平方公式计算．解：(1)(x ＋2y )2＝x 2＋2·x ·2y ＋(2y )2＝x 2＋4xy ＋4y 2；(2)(2a －5)2＝(2a )2－2·2a ·5＋52＝4a 2－20a ＋25；(3)(－2s ＋t )2＝(t －2s )2＝t 2－2·t ·2s ＋(2s )2＝t 2－4ts ＋4s 2；(4)(－3x －4y )2＝(－3x )2－2·(－3x )·4y ＋(4y )2＝9x 2＋24xy ＋16y 2；(5)(2x ＋y －3z )2＝[2x ＋(y －3z )]2＝(2x )2＋2·2x ·(y －3z )＋(y －3z )2＝4x 2＋4xy －12xz ＋y 2－2·y ·3z ＋(3z )2＝4x 2＋y 2＋9z 2＋4xy －12xz －6yz .(1)千万不要与公式(ab )2＝a 2b 2混淆，发生类似(a ±b )2＝a 2±b 2的错误；(2)切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形，使其具备公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．此外，在运用公式时要灵活，如第(4)题，由于(－3x －4y )2与(3x ＋4y )2是相等关系，故可以把(－3x －4y )2转化为(3x ＋4y )2，再进行计算，再如(5)题，也有许多不同的方法．(4)完全平方公式的几何解释．如图是对(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2几何意义的阐释．大正方形的面积可以表示为(a ＋b )2，也可以表示为S ＝S Ⅰ＋S Ⅱ＋S Ⅲ＋S Ⅳ，又S Ⅲ，SⅠ，S Ⅳ，S Ⅱ分别等于a 2，ab ，ab ，b 2，所以S ＝a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.如图是对(a－b)2＝a2－2ab＋b2几何意义的阐释．正方形Ⅰ的面积可以表示为(a－b)2，也可以表示为SⅠ＝S大－SⅡ－SⅣ＋SⅢ，又S大，SⅡ，SⅢ，SⅣ分别等于a2，ab，b2，ab，所以SⅠ＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2.从而验证了完全平方公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2.【例1－2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a，b的恒等式：__________________.解析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方法表示空白正方形的面积．首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成，所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积，即(a＋b)2－4ab，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，即(a－b)2，根据面积相等有(a＋b)2－4ab＝(a－b)2.答案：(a＋b)2－4ab＝(a－b)22．平方差公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.上式用语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．(2)平方差公式的证明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2－b2(合并同类项)．(3)平方差公式的特点：①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方)；③公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．利用此公式进行乘法计算时，应仔细辨认题目是否符合公式特点，不符合平方差公式形式的两个二项式相乘，不能用平方差公式．如(a＋b)(a－2b)不能用平方差公式计算．【例2－1】计算：(1)(3x＋2y)(3x－2y)；(2)(－m＋n)(－m－n)；(3)(－2x－3)(2x－3)．分析：(1)本题符合平方差公式的结构特征，其中3x对应“a”，2y对应“b”；(2)题中相同项为－m，互为相反数的项为n与－n，故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将原式变形为(－3＋2x)(－3－2x)，然后运用平方差公式计算．解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.(2)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2.(3)(－2x－3)(2x－3)＝(－3＋2x)(－3－2x)＝(－3)2－(2x)2＝9－4x2.利用公式计算，关键是分清哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公式中的b，通常情况下，为防止出错，利用公式前把相同项放在前面，互为相反数的项放在后面，然后套用公式．(4)平方差公式的几何解释如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ＋SⅢ＝SⅠ＋SⅣ＝(a＋b)(a－b)．从而验证了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2.【例2－2】下图由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是____________________．分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b的正方形得到的，所以它的面积等于a2－b2；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以它的面积又等于两个梯形的面积之和．这两个梯形的面积都等于12 (b＋a)(a－b)，所以梯形的面积和是(a＋b)(a－b)，根据阴影部分的面积不变，得(a＋b)(a－b)＝a2－b2.因此验证的一个乘法公式是(a＋b)(a－b)＝a2－b2.答案：(a＋b)(a－b)＝a2－b23．运用乘法公式简便计算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础，而且在许多的数字运算中也有广泛地运用．不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式，常可以使运算变繁为简，化难为易．解答此类题，关键是分析数的特点，看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式，若改写成两数和的形式乘以两数差的形式，则用平方差公式；若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式，则用完全平方公式．【例3】计算：(1)2 0132－2 014×2 012；(2)1032；(3)1982.分析：(1)2 014＝2 013＋1,2 012＝2 013－1，正好符合平方差公式，可利用平方差公式进行简便运算；(2)可将1032改写为(100＋3)2，利用两数和的平方公式进行简便运算；(3)可将1982改写为(200－2)2，利用两数差的平方公式进行简便运算．解：(1)2 0132－2 014×2 012＝2 0132－(2 013＋1)×(2 013－1)＝2 0132－(2 0132－12)＝2 0132－2 0132＋1＝1.(2)1032＝(100＋3)2＝1002＋2×100×3＋32＝10 000＋600＋9＝10 613.(3)1982＝(200－2)2＝2002－2×200×2＋22＝40 000－800＋4＝39 204.4．利用乘法公式化简求值求代数式的值时，一般情况是先化简，再把字母的值代入化简后的式子中求值．在化简的过程中，合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单．在代数式化简过程中，用到平方差公式及完全平方公式时，要特别注意应用公式的准确性．【例4】先化简，再求值：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2，其中m ＝－2，n ＝15. 解：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2＝5(m 2－n 2)－2(m 2＋2mn ＋n 2)－3(m 2－2mn ＋n 2)＝5m 2－5n 2－2m 2－4mn －2n 2－3m 2＋6mn －3n 2＝－10n 2＋2mn .当m ＝－2，n ＝15时，原式＝－10n 2＋2mn ＝－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋2×(－2)×15＝－65. 5．乘法公式的运用技巧一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时，表面上看起来不能利用乘法公式，实际上经过简单的变形后，就能直接运用乘法公式进行计算了．有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．在运用平方差公式时，注意以下几种常见的变化形式：①位置变化：(b ＋a )(－b ＋a )＝a 2－b 2.②符号变化：(－a ＋b )(－a －b )＝(－a )2－b 2＝a 2－b 2.③系数变化：(0.5a ＋3b )(0.5a －3b )＝(0.5a )2－(3b )2.④指数变化：(a 2＋b 2)(a 2－b 2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.⑤增项变化：(a－b－c)(a－b＋c)＝(a－b)2－c2，(a＋b－c)(a－b＋c)＝a2－(b－c)2.⑥增因式变化：(a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2.⑦连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)＝a8－b8.【例5－1】计算：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)；(2)(m－2n＋p)2；(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2.解：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]＝(a＋b)2－1＝a2＋2ab＋b2－1.(2)(m－2n＋p)2＝[(m－2n)＋p]2＝(m－2n)2＋2·(m－2n)·p＋p2＝m2－4mn＋4n2＋2mp－4np＋p2.(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2＝[(2x－3y)(2x＋3y)]2＝(4x2－9y2)2＝(4x2)2－2×4x2×9y2＋(9y2)2＝16x4－72x2y2＋81y4.在运用平方差公式时，应分清两个因式是否是两项之和与差的形式，符合形式才可以用平方差公式，否则不能用；完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个三项式，在计算时不要发生：(a＋b)2＝a2＋b2或(a－b)2＝a2－b2这样的错误；当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组，看成是两项，从而应用平方差公式或完全平方公式．【例5－2】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)的值．分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都是和的形式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(2－1)，这样就可巧妙地运用平方差公式了．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝…＝(22n－1)(22n＋1)＝24n－1.6．乘法公式的实际应用在解决生活中的实际问题时，经常把其中的一个量或几个量先用字母表示，然后列出相关式子，进而化简，这往往涉及到整式的运算．解题时，灵活运用乘法公式，往往能事半功倍，使问题得到快速解答．【例6】一个正方形的边长增加3 cm，它的面积就增加39 cm2，这个正方形的边长是多少？分析：如果设原正方形的边长为x cm，根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x＋3)2＝x2＋39，求解即可．解：设原正方形的边长为x cm，则(x＋3)2＝x2＋39，即x2＋6x＋9＝x2＋39，解得x＝5(cm)．故这个正方形的边长是5 cm.7．完全平方公式的综合运用学习乘法公式应注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”，注意为使用公式创造条件．(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式：①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ；②a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；③(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ；④(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ；⑤(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)；⑥(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab 等．在公式(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2中，如果把a ＋b ，ab 和a 2＋b 2分别看做一个整体，则知道了其中两个就可以求第三个．(2)注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用——a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.【例7－1】已知a 2＋b 2＋4a －2b ＋5＝0，则a ＋b a －b的值是__________．解析：原等式可化为(a 2＋4a ＋4)＋(b 2－2b ＋1)＝0，即(a ＋2)2＋(b －1)2＝0，根据非负数的特点知a ＋2＝0且b －1＝0，从而可知a ＝－2且b ＝1.然后将其代入求a ＋b a －b的值即可． 答案：13【例7－2】已知a ＋b ＝2，ab ＝1，求a 2＋b 2的值．分析：利用完全平方公式有(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，把2ab 移到等式的左边，可得(a ＋b )2－2ab ＝a 2＋b 2，然后代入求值即可．解：∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2aB ．∵a ＋b ＝2，ab ＝1，∴a 2＋b 2＝22－2×1＝2.涉及两数和或两数差及其乘积的问题，就要联想到完全平方公式．本题也可从条件出发解答，如因为a＋b＝2，所以(a＋b)2＝22，即a2＋2ab＋b2＝4.把ab＝1代入，得a2＋2×1＋b2＝4，于是可得a2＋b2＝4－2＝2.。
完全平方公式的应用
完全平方公式是多项式乘法中非常重要的一个公式。
掌握其变形特点并灵活运用，可以巧妙地解决很多问题。
一. 完全平方公式常见的变形有a 2+b 2=（a+b ）2-2ab ，a 2+b 2=（a-b ）2+2ab ，（a+b ）2-（a-b ）2=4ab ，a 2+b 2+c 2=（a+b+c ）2-2（ab+ac+bc ）二. 乘法公式变形的应用例1： 已知：x 2+y 2+4x-6y+13=0，x 、y 均为有理数，求x y 的值。
分析：逆用完全乘方公式，将x 2+y 2+4x-6y+13化为两个完全平方式的和，利用完全平方式的非负性求出x 与y 的值即可。
解：∵x 2+y 2+4x-6y+13=0，（x 2+4x+4）+（y 2-6y+9）=0，即（x+2）2+（y-3）2=0。
∴x+2=0，y=3=0。
即x=-2，y=3。
∴x y =（-2）3=-8。
例已知，试求的值。
21612242a a a a a a ++=++分析：本题巧妙地利用a a a aa a a a a a a a aa a a a a a a a a 222222422222112160161111561111111156136113311+=+-++=≠=++=++∴+=-∴++=++=+-=--=-=-()()()进行运算。
解：由，可知，因此可得，。
例3 已知：a+b=8，ab=16+c 2，求（a-b+c ）2002的值。
分析：由已知条件无法直接求得（a-b+c ）2002的值，可利用（a-b ）2=（a+b ）2-4ab 确定a-b 与c 的关系，再计算（a-b+c ）2002的值。
解：（a-b ）2=（a+b ）2-4ab=82-4（16+c 2）=-4c 2。
即：（a-b ）2+4c 2=0。
∴a-b=0，c=0。
∴（a-b+c ）2002=0。
例4 已知：a 、b 、c 、d 为正有理数，且满足a 4+b 4+C 4+D 4=4abcd 。
初中数学 完全平方公式的五种常见应用举例
完全平方公式的五种常见应用举例完全平方公式是整式乘法中最重要的公式之一在运用完全平方公式时，必须掌握一些使用技巧，才能灵活应用公式，其中包括“顺用”、“逆用”、“顺逆联用”，以及“特例应用”和“变形应用”等.下面举例说明.一、正用根据算式的结构特征，由左向右套用. 例1 计算22(23)m m -- 分析 本题是一个三项式的平方，可考虑将三项式中任意两项组合成一个整体，使其转化为一个二项式的平方，然后再运用完全平方公式便可以顺利求解.解 22(23)m m --22[(2)3]m m =--222(2)6(2)9m m m m =---+4322446129m m m m m =-+-++43242129m m m m =--++思考 本题中三项式转化为二项式的根据是什么?还有其它的方法吗? 二、逆用将公式逆向使用，即由右向左套用.例2 己知，，，则多项式20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+的值为( )222a b c ab bc ac ++--- (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3分析观察本题已知条件，直接代入求值困难.但换个角度仔细观察多项式的结构就不难发现，该多项式的2倍恰好是3个完全平方公式的右端，于是逆用完全平方公式，就可以得到，而，，的值可求，故本题巧妙得解.222()()()a b b c c a -+-+-a b -b c -c a -解 ∵20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+∴，，1a b -=-1b c -=-2c a -=∴222a b c ab bc ac ++---2221(222222)2a b c ab bc ac =++---2222221(222)2a ab b b bc c c ac a =-++-++-+2221[()()()]2a b b c c a =-+-+-2221[(1)(1)2]2=-+-+3=应选D.三、正逆联用根据已知条件和待求式特征，有正用、又逆用，即综合运用.例3 (全国初中数学竞赛试题)已知，且，则21()()()4b c a b c a -=--0a ≠b c a +.= 分析 欲求的值，则需要明与之间的等量关系.而题目中的已知条件刚好就b c a+b c +a 是、、之间的关系式，于是将条件等式进行化简变形，明确与之间的关系，a b c b c +a 应该是一条即常规又恰当的选择.解 由已知，得2()4()()b c a b c a -=--22224444b bc c ac bc ab a ∴-+=-+-2222(44)40b bc c ab ac a ∴++-++=22()4()40b c a b c a ∴+-++=把和分别看成一个“整体”，再逆用完全平方公式，得b c +2a 2[()2]0b c a +-=，20b c a ∴+-=2b c a+=.22b c a a a+∴== 四、特例应用在完全平方公式中，如果，那么222()2a b a ab b +=++0ab =222()a b a b+=+反之，若，则一定有.222()a b a b +=+0ab =例5 若满足，则.n 22(2017)(2019)4n n -+-=(2019)(2017)n n --= 分析 若设，，则很容易验证，这正好2017n a -=2019n b -=222()a b a b +=+符合上面完全平方公式特例.据此，本题迎刃而解.解 设，，2017n a -=2019n b -= 则，2()4a b +=又已知224a b +=∴222()a b a b+=+于是0ab =∴(2019)(2017)n n --=(2017)(2019)n n --0ab ==五、变形应用由完全平方公式，易得如下的两个最常见的变形公式:222()2a b a ab b ±=±+①2222()2()2a b a b ab a b ab+=+-=-+②22()()4a b a b ab-=+-(或)221[()()]4ab a b a b =+-- 活用上面变形公式，常常会使问题化难为易，取得奇妙的解题效果。
利用完全平方求最值的例题
利用完全平方求最值的例题
摘要：
1.完全平方公式的应用背景
2.完全平方公式的形式
3.利用完全平方求最值的例题解析
4.结论
正文：
一、完全平方公式的应用背景
完全平方公式，是数学中的一种重要公式，它可以用来求解一些最值问题。
在最值问题中，如果能够将问题转化为完全平方的形式，就可以通过求导或者直接求解得到最值。
因此，掌握完全平方公式，对于解决最值问题有着重要的作用。
二、完全平方公式的形式
完全平方公式的形式为：(a+b)=a+2ab+b。
这个公式表明，任何一个二次方程，只要形式符合完全平方公式，就可以通过完全平方公式进行求解。
三、利用完全平方求最值的例题解析
例如，有一个函数f(x)=x-6x+9，我们需要求解这个函数的最小值。
首先，我们可以通过将函数转化为完全平方的形式，即f(x)=(x-3)，可以看出，当x=3 时，函数取得最小值0。
再例如，有一个函数g(x)=2x-8x+16，我们需要求解这个函数的最大值。
同样，我们可以通过将函数转化为完全平方的形式，即g(x)=2(x-2)+8，可以
看出，当x=2 时，函数取得最大值8。
四、结论
通过以上的例题，我们可以看出，利用完全平方公式求最值，是一种非常直接且有效的方法。
只要能够将问题转化为完全平方的形式，就可以通过完全平方公式求解。
完全平方公式的经典例题
完全平方公式的经典例题
完全平方公式是一种有着悠久历史的经典数学概念。
形式上，它是一个单变量多项式，可
以用来求解多项式中等式的根。
它可以被写成这样一个形式：ax2+bx+c=0。
这里，x是单
独变量，而a、b、c是三个定值。
完全平方公式的使用场景覆盖了几乎所有的学科，从初等数学到物理，甚至到最新的量子
物理学也都用它来解决一些问题。
在各种学科中，它都被用来解决一些多项式方程。
它也
可以用来求解广义上的椭圆方程。
简单实例：我们来分析一下这个问题： 2x2 + 7x - 5 = 0。
根据完全平方公式，我们可以得到：2x2+7x-5 = (2x+5)(x-1)=0。
因此，当 x= -5/2 或 x=1 时，方程有解。
从上述例子可以看出，完全平方公式可以被用来解决各类多项式方程，是十分有用的定理。
以前，它的应用一直都是限于求解多项式方程，但随着量子物理学的发展，它也可以被用
于许多其它的研究领域，如量子力学的模拟等。
完全平方公式是一种有着悠久历史的非常有用的数学概念，它可以用来解决多项式方程，
也可以用来解决一些特定类型的方程，如椭圆方程等。
它也被广泛用于各种学科，从数学
到物理，乃至于量子物理学也在利用它来解决一些问题。
当它被用于求解多项式方程、椭圆方程等等，它能为解决各种具体问题提供有力的帮助。
巧记完全平方公式
巧记“完全平方公式”完全平方公式即(a±b)²=a²±2ab+b²两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。
难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解 )下面谈一下公式的记忆和应用：完全平方公式的巧记口诀：首平方，尾平方，乘积二倍在中央。
同号加，异号减，整体思想要健全。
“首平方，尾平方，乘积二倍在中央”介绍公式的结构，左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是首项的平方，加尾项的平方，再加上或减去这两项乘积的2倍；“同号加，异号减”左边两项符号相同时，乘积的2倍用“+”号连接；左边两项符号相反时，两项乘积的2倍前用“-”号连接（注：这里说项时包括其符号在内）.例1：运用完全平方公式计算：（1）(-4x+3y)2（2）(-a-b)2分析：（1）中两项符号相反，所以4x与3y的积的2倍前用减号连接。
(2)中两项符号相同，所以2ab加号连接。
解：(1)原式=（4x）2-2(4X)(3y)+(3y)2=16x2-24xy+9y22)原式=a2+2ab+b2“整体思想要健全”是说公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式，在遇到单项式或多项式时要将它看作一个整体。
例2 计算（a+b+c）2分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。
所以在运用公式时，可先变形为或或者，再进行计算例3计算（x-2y+1）2分析：在这里，我们将x+2y看作一个整体，则括号里可以看作（x-2y）和1两项的和，就可以利用公式进行计算了解：原式。
完全平方公式的变形及其应用
完全平方公式的变形及其应用完全平方公式的变形及其应用多项式乘法的完全平方公式的变形形式很多，且应用广泛。
下面结合例题，介绍完全平方公式的变形及其应用。
一、变式1：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$这是因为：由$(a+b)=a^2+b^2+2ab$，移项，得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$。
例1：已知$x+y=5$，$xy=2$，求下列各式的值：（1）$x^2+y^2$；（2）$x^4+y^4$。
解：由变式1，得（1）$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=5^2-2\times2=21$；（2）$x^4+y^4=\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2=21^2-2\times4=433$。
二、变式2：$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$这是因为：由$(a-b)=a^2-2ab+b^2$，移项，得$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$。
例2：已知$a-\sqrt{11}=5$，求$a^2+11$的值。
解：由变式2，得$a^2+11=\left(a-\sqrt{11}\right)^2+2\sqrt{11}=5^2+2\sqrt{11}=27$。
三、变式3：$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)$这是因为：由$(a+b)=a^2+b^2+2ab$，得$2ab=(a+b)-\left(a^2+b^2\right)$，两边同除以2，得$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)$。
例3：已知$a+b=7$，$a^2+b^2=29$，求$ab$的值。
解：由变式3，得$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{7^2-29}\right)=10$。
因式分解完全平方公式例题
因式分解完全平方公式例题因式分解是数学中一个重要的概念，完全平方公式是因式分解中的一个常用方法。
在这篇文章中，我们将介绍完全平方公式的基本原理，并用例题加以说明。
完全平方公式是指一个二次三项式的平方能够被因式分解为两个平方的和或差。
这个公式的应用范围广泛，不仅在代数中有用，还在实际问题中有很多应用。
完全平方公式的一般形式是(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，其中a 和b是任意实数。
这个公式可以简单地证明，我们可以用分配律展开(a + b)^2，得到a^2 + ab + ab + b^2，然后合并相同项，即得到a^2 + 2ab + b^2。
使用完全平方公式的基本步骤是，首先将待因式分解的二次三项式写成完全平方的形式，然后根据公式进行因式分解。
下面我们通过一些例题来说明完全平方公式的应用。
例题1：将x^2 + 6x + 9进行因式分解。
解：我们看到这个三项式的第一项是x的平方，第二项是2倍x的系数，第三项是3的平方，符合完全平方公式的形式。
所以我们可以将这个三项式写成(x + 3)^2的形式。
因此，x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2。
例题2：将4x^2 - 12x + 9进行因式分解。
解：我们可以先将这个三项式除以4，得到x^2 - 3x + 9/4。
然后我们观察x^2和9/4，可以发现这两个项的平方能够得到x^2和9/4，而-3x这个项正好是2倍x乘以-3/2的结果。
所以我们可以将这个三项式写成(x - 3/2)^2的形式。
因此，4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2。
例题3：将x^2 - 4x + 4进行因式分解。
解：我们可以将这个三项式写成(x - 2)^2的形式。
因此，x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2。
通过以上例题，我们可以看到完全平方公式在因式分解中的应用。
当我们遇到二次三项式时，如果我们能够将其写成完全平方的形式，就可以直接使用完全平方公式进行因式分解。
七年级数学下册12.2完全平方公式应用例析素材青岛版(new)
完全平方公式应用例析乘法公式是初中数学中的重要公式，也是中考中常见的考点之一.现以完全平方公式为例解析如下。
一、根据公式的特点求字母的值例1 已知36442++mx x 是完全平方式，则m 的值为( ）A 。
2 B.±2 C.—6 D. ±6解析：此题应根据公式的特点逆向思考,24x 相当于公式中的“2a "，则x 2±相当于公式中的“a ”，同样6±相当于公式中的“b ”，因此公式中的“ab 2"为：x 24±，所以mx x 424=±,则6±=m .选（D ）。
二、直接用公式求代数式的值例2 当12s t =+时，代数式222s st t -+的值为 ． 解析：根据已知条件可得21=-t s ，将两边平方则可得：41)(2=-t s ，所以222s st t -+=41。
三、变形用公式求代数式的值例3 已知x+y = –5，xy = 6，则22x y +的值是( ）A ． 1B ． 13C ． 17D ． 25 解析：完全平方公式的常见变形有:①a 2+b 2＝(a +b )2－2ab ＝(a －b ）2+2ab ；②ab ＝21［(a +b )2－（a 2+b 2)]＝41[（a +b )2－(a －b ）2］＝2222⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b a ； ③ （a +b )2+(a －b )2＝2a 2+2b 2。
利用上述的恒等变形,我们可以迅速地解决有关看似与乘法公式无关的问题，并且还会收到事半功倍的效果。
由完全平方公式的变形可得22x y +==-+xy y x 2)(225－12=13.选(B)。
四、用公式化简再求代数式的值例4 先化简，再求值:222()()2y x y x y x y ++---，其中13x =-,3y =．解析：先用乘法公式计算,去括号、合并同类项后,再将y x ,的值代入计算出结果。
完全平方公式范文
完全平方公式范文一、分解二次多项式：例如，我们有一个二次多项式x²+7x+12、我们可以使用完全平方公式将其分解为两个一次多项式的乘积。
首先，我们找到x²的平方根，即x。
然后，我们找到两个数b和c，使得它们的和为x的系数，乘积为常数项。
在本例中，x的系数是7，常数项是12、因此，我们需要找到两个数，它们的和为7，乘积为12我们可以列出所有可能满足这些条件的组合。
这里有几个可能的组合：1+6=7，1×6=62+5=7，2×5=103+4=7，3×4=12我们可以看到，3和4是唯一满足我们的条件的数。
因此，我们可以将二次多项式x²+7x+12分解为(x+3)(x+4)。
这种分解形式也被称为二次多项式的因式分解形式。
二、解二次方程：1. 将常数项移到方程的右边，得到ax² + bx = -c。
2.将方程两边除以a，得到x²+(b/a)x=-c/a。
现在，我们需要找到一个数k，使得这个数的平方与(b/a)x的乘积的两倍相等。
那么，我们可以将方程重新写为：x²+(b/a)x+(b/2a)²=(-c/a)+(b/2a)²。
我们可以将等式的右边合并，得到：x²+(b/a)x+(b/2a)²=(-c/a)+(b/2a)²然后，我们将等式的左边重新整理成完全平方的形式，得到(x+b/2a)²=(-c/a)+(b/2a)²。
最后，我们可以将方程两边开根号，得到解为：x+b/2a=±√((-c/a)+(b/2a)²)。
我们可以继续化简这个方程，得到两个解：x=-b/2a±√(b²/4a²-c/a)这个解也被称为二次方程的根。
总结：。
完全平方公式案例分析
“完全平方公式”案例研究海原三中马静【案例背景】：根据教育局相关文件精神，近几年来，我县各校强力推进有效教学，大兴教学教研之风，有效教学初显成效。
本案例节选自“完全平方公式”一课时，拟“在课堂教学中发挥教师的主导作用，提高教学的有效性”谈一谈自己的看法。
【案例事件】：知识应用环节，教师课件展示了以下一组练习。
①请计算：（1）（x+y/2）2；（2）（-2m+4n）2 （3）（-a-3b）2；（4）（x+y+4）2②下列式子在利用公式中有没有错误？如有，请你加以改正。
（1）（3x+2y）2 =（2x）2 +（3y）2；（2）（3x-2y）2=9x2-6xy-4y2；（3）（-3x+2y）2=9x2-6xy+4y2；（4）（-3x-2y）2=9x2-6xy+4y2操作过程：师：请观察①中的几个题目，想一想，议一议，你会计算它们吗？（学生短暂思考，小组内相互交流，一部分学生跃跃欲试，有四名学生主动上台展示解题过程，其余学生台下完成）。
师：请大家看一看四位同学生的解题过程，谈一谈自己的想法。
生1：第（1）题错将（y/2）2写成了y2/2……生2：第（2）题正确，并且格式也很规范，值得我学习……生3：第（3）题完全按照公式展开即：（-a-3b）2 =（-a）2 -2·（-a）·3b+（-3b）2 =……虽然结果正确，但不好理解。
我的解法是：（-a-3b）2=〔（-a）+（-3b）〕2=（-a）2 +2·（-a）·（-3b）+（-3b）2=……生4：对第（3）题，我有更简单的方法，即：（-a-3b）2=〔-（a+3b）〕2=（a+3b）2=a2+2·a·3b+（3b）2=……生5：我喜欢生4的解法……（此刻学生积极举手，争相发言，甚至不等教师同意就想发言，课堂气氛达到高潮）师：同学们对①的讨论，表现得都很出色，下面，请看第②题，你们会解吗？（学生逐一回答，予以正确解决）师：根据正确结果，你们发现了什么规律吗？请大家先讨论，再回答。
完全平方公式的综合举例
完全平方公式的综合举例首先，让我们回顾一下完全平方公式的表达形式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$根据这个公式，我们可以将一个方程转化为一个完全平方的形式，以便更容易地求解。
下面是一些具体的例子：例子1：求解方程$x^2+8x+16=0$首先，观察方程中的常数项16，它是一个完全平方数，可以写成$4^2$。
因此，我们可以将方程转化为一个完全平方形式：$(x+4)^2=0$接下来，我们可以通过取平方根来求解这个方程：$x+4=0$$x=-4$所以，方程的解是x=-4例子2：求解方程$4x^2-16x+16=0$观察方程中的常数项16，它也是一个完全平方数，可以写成$4^2$。
因此，我们可以将方程转化为一个完全平方形式：$(2x-4)^2=0$接下来，我们可以通过取平方根来求解这个方程：$2x-4=0$$x=2$所以，方程的解是x=2例子3：求解方程$x^2+10x+25=0$观察方程中的常数项25，它也是一个完全平方数，可以写成$5^2$。
因此，我们可以将方程转化为一个完全平方形式：$(x+5)^2=0$接下来，我们可以通过取平方根来求解这个方程：$x+5=0$$x=-5$所以，方程的解是x=-5例子4：求解方程$9x^2+12x+4=0$观察方程中的常数项4，并不能写成一个完全平方数。
因此，我们无法直接使用完全平方公式来求解方程。
在这种情况下，我们可以使用因式分解或配方法来解决方程。
对于这个方程，我们可以使用配方法。
$9(x^2 + \frac{4}{3}x) + 4 = 0$然后，我们将$\frac{4}{3}$一分为二，并加上一个平方项$(\frac{2}{3})^2$：$9(x^2 + \frac{4}{3}x + (\frac{2}{3})^2) + 4 -9(\frac{2}{3})^2 = 0$化简后，我们得到：$9(x + \frac{2}{3})^2 + \frac{4}{3} - \frac{36}{9} = 0$$9(x + \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{3} = 0$然后，我们可以使用完全平方公式来进一步求解：$(x + \frac{2}{3})^2 = \frac{4}{3}$取平方根后，我们得到：$x + \frac{2}{3} = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$$x = -\frac{2}{3} \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$所以，方程的解是$x = -\frac{2}{3} + \frac{2}{\sqrt{3}}$和$x = -\frac{2}{3} - \frac{2}{\sqrt{3}}$。
《完全平方公式》典型例题
《完全平方公式》典型例题例1 利用完全平方公式计算：（1）2)32(x -；（2）2)42(a ab +；（3）2)221(b am -．例2 计算：（1）2)13(-a ；（2）2)32(y x +-；（3）2)3(y x --．例3 用完全平方公式计算：（1）2)323(x y +-； （2）2)(b a --； （3）2)543(c b a -+．例4 运用乘法公式计算：（1）))()((22a x a x a x -+-； （2）))((c b a c b a ---+；（3）2222)1()1()1(+-+x x x ．例5 计算： （1）2241)321(x x --；（2）)212)(212(+---b a b a ；（3）22)()(y x y x --+．例6 利用完全平方公式进行计算：（1）2201；（2）299；（3）2)3130(例7 已知12,3-==+ab b a ，求下列各式的值．（1）22b a +；（2）22b ab a +-；（3）2)(b a -．例8 若2222)()(3c b a c b a ++=++，求证：c b a ==．参考答案例1 分析：这几个题都符合完全平方公式的特征，可以直接应用该公式进行计算．解：（1）22229124)3(3222)32(x x x x x +-=+⨯⨯-=-；（2）222222216164)4(422)2()42(a b a b a a a ab ab a ab ++=+⨯⨯+=+；（3）22224241)221(b amb m a b am +-=-． 说明：（1）必须注意观察式子的特征，必须符合完全平方公式，才能应用该公式；（2）在进行两数和或两数差的平方时，应注意将两数分别平方，避免出现223124)32(x x x +-=-的错误．例2 分析：（2）题可看成2]3)2[(y x +-，也可看成2)23(x y -；（3）题可看成2)]3([y x +-，也可以看成2])3[(y x --，变形后都符合完全平方公式．解：（1）2221132)3()13(+⋅⋅-=-a a a1692+-=a a（2）原式22)3(3)2(2)2(y y x x +⋅-⋅+-=229124y xy x +-=或原式2)23(x y -22)2(232)3(x x y y +⋅⋅-=224129x xy y +-=（3）原式2)]3([y x +-=2)3(y x +=2232)3(y y x x +⋅⋅+=2269y xy x ++=或原式22)3(2)3(y y x x +⋅-⋅--=2269y xy x ++=说明：把题目变形为符合公式标准的形式有多种方式，做题时要灵活运用．例3 分析：第（1）小题，直接运用完全平方公式x 32为公式中a ，y 3为公式中b ，利用差的平方计算；第（2）小题应把2)(b a --化为2)(b a +再利用和的平方计算；第（3）小题，可把任意两项看作公式中a ，如把)43(b a +作为公式中的a ，c 5作为公式中的b ，再两次运用完全平方公式计算．解：（1）2)323(x y +-=2229494)332(y xy x y x +-=- （2）2)(b a --=2222)(b ab a b a ++=+（3）22225)43(10)43()543(c b a c b a c b a ++-+=++=ab b c bc ac a 24162540309222+++-+说明：运用完全平方公式计算要防止出现以下错误：222)(b a b a +=+，222)(b a b a -=-．例4 分析：第（1）小题先用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完全平方式计算．第（2）小题，根据题目特点，两式中都有完全相同的项c a -，和互为相反数的项b ，所以先利用平方差公式计算])[(b c a +-与])[(b c a --的积，再利用完全平方公式计算2)(c a -；第三小题先需要利用幂的性质把原式化为22)]1)(1(10[(+-+x x x ，再利用乘法公式计算．解：（1）原式=422422222222)())((a x a x a x a x a x +-=-=--（2）原式=22)(])][()[(b c a b c a b c a --=--+-=2222b c ac a -+-（3）原式=22222)]1)(1[()]1)(1)(1[(+-=+-+x x x x x=12)1(4824+-=-x x x ．说明：计算本题时先观察题目特点，灵活运用所学过的乘法公式和幂的性质，以达到简化运算的目的．例5 分析：（1）和（3）首先我们都可以用完全平方公式展开，然后合并同类项；第（2）题可以先根据平方差公式进行计算，然后如果还可以应用公式，我们继续应用公式．解：（1）x x x x x x 3941934141)321(2222-=-+-=--； （2）]21)2][(21)2[()212)(212(+---=+---b a b a b a b a 414441)2(222-+-=--=b ab a b a ； （3）)2(2)()(222222y xy x y xy x y x y x +--++=--+xy y xy x y xy x 4222222=-+-++=．说明：当相乘的多项式是两个三项式时，在观察时应把其中的两项看成一个整体来研究．例6 分析：在利用完全平方公式求一个数的平方时，一定要把原有数拆成两个数的和或差．解：（1）4040112002200)1200(201222=+⨯+=+=；（2）980111002100)1100(99222=+⨯-=-=．（3）2)3130(＝222)31(3130230)3130(+⨯⨯+=+ .219209120900=++= 说明：在利用完全平方公式，进行数的平方的简算时，应注意拆成的两个数必须是便于计算的两个数，这才能达到简算的目的．例7 分析：（1）由完全平方公式2222)(b ab a b a +==+，可知=+22b a 2)(b a +ab 2-，可求得3322=+b a ；（2）45)12(332222=--=-+=+-ab b a b ab a ；（3）57)12(2332)(222=-⋅-=+-=-b ab a b a ．解：（1）33249)12(232)(2222=+=-⨯-=-+=+ab b a b a（2）451233)12(33)(2222=+=--=-+=+-ab b a b ab a（3）ab b a b ab a b a 2)(2)(22222-+=+-=-572433)12(233=+=-⨯-=说明：该题是2222)(b ab a b a ++=+是灵活运用，变形为ab b a b a 2)(222-+=+，再进行代换．例8 分析：由已知条件展开，若能得出,0)()()(222=-+-+-a c c b b a 就可得到,0,0,0=-=-=-a c c b b a 进而,,c b a a cc b b a ==⇒===同时此题还用到公式bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++．证明：由,)()(32222c b a c b a ++=++得ac bc ab c b a c b a 222333222222+++++=++.022*******=---++bc ac ab c b a则0)2()2()2(222222=+-++-++-a ac c c bc b b ab a .0)()()(222=-+-+-a c c b b a∵ .0)(,0)(,0)(222≥-≥-≥-a c c b b a∴ .0,0,0=-=-=-a c c b b a即,,,a c c b b a ===得c b a ==．。
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巧用完全平方公式解题例析
完全平方公式“(a±b)2＝a2±2ab+b2”是整式运算中非常重要的一个公式，灵活运用完全平方公式的一些变形和技巧，可以使运算化繁为简，化难为易.为帮助大家及早掌握完全平方公式的有关用法，现结合实例对完全平方公式的应用技巧作如下分类小结.
一、对号入座，直接应用
例1．计算：()2
22
+.
x y
32
简析：上式括号内是两个单项式（2
3x与2
2y）的和，括号外是这两个单项式和的完全平方，因此可将2
3x与2
2y分别看作a、b而直接套用完全平方公式进行计算.
解：原式=()2
222222224224
+=+⋅⋅+=++.
32(3)232(2)9124
x y x x y y x x y y
二、适当变换，间接应用
1、符号变换
例2．计算：2
--.
(2)
x y
简析：上式括号内的两项均带负号，计算时可先逆用乘法分配律，将负号变换到括号外，待处理好符号后再应用完全平方公式进行计算.
解：原式=[]222222
-+=+=+⋅⋅+=++.
x y x y x x y y x xy y
(2)(2)(2)2244
2、系数变换
例3．计算：(32)(96)
m n m n
--.
简析：因上式后一个括号内的两项9m与-6n含有公因数3，（逆用乘法分配律）将3作为公因式提取后，可得(32)
-，与前一个括号相同，所以本题可先
m n
变换第二个括号内的系数，然后再套用完全平方公式进行计算.
解：原式=22222
m n m n m n m mn n m mn n
--=-=-+=-+.
3(32)(32)3(32)3(9124)273612
3、指数变换
例4．计算：22
-+
()()
m n m n
简析：上式若按运算顺序先用完全平方公式展开再相乘，则较麻烦，但若逆
用积的乘方，将上式变换成()()2
m n m n -+⎡⎤⎣⎦，则可先用平方差公式，后用完全平方公式，这样计算就简便多了.
解：原式=()()22224224()2m n m n m n m m n n -+=-=-+⎡⎤⎣⎦. 4、分组变换
例5．计算：()()32513251x y z x y z +-+-+--.
简析：上式前后两个括号中2y 与5z -完全相同，而3x 和1的符号分别相反，故可适当分组，先用平方差公式，然后再用完全平方公式进行计算.
解：
原式=()()()()()()22
22225312531253149252061y z x y z x y z x y x z yz x -++--+=--+=-+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.。