高阶常系数线性非齐次常微分方程的解法
高阶常系数非齐次线性微分方程的新解法
用w
n- k 1
R 2 ( t) ・( t - w 1 ) = tn + ( - Q1 - w 1 ) tn- 1+ …+ ( - Q k + w 1Q k- 1 ) tn- k + … + ( - Qn- 1 + w 1Q n- 2) t + w 1 Qn- 1 ,
86 所以由定理 1 知, R 2( t ) ・ ( t- w 1) = R 1 ( t) . 定理 3 的证明 使用数学归纳法 . 1. 当 n= 1 时, 定理显然成立; 2. 假设 n = k 时 , 该定理成立; 3. 当 n= k + 1 时 , 由定理 1 知
∑∑C
t ≠t
0
ktj
e
ut x 0
j= 0
∫
x e
j ( u t - ut ) x
0
k t0
- 1
dx + e
ut x 0
・ ∑ C kt 0 j x dx + C k+ 1 e
j j= 0
∫
ut x 0
,
利用 x j e x d x = e x ・
高阶常系数非齐次线性微分方程
高阶常系数非齐次线性微分方程在工程、物理、金融等领域都有广泛应用。
它是一个非齐次方程，其中存在一个常系数，其次数为高阶的微分方程，求解这个微分方程是理解和应用这些领域的重要基础。
一、概述在微积分的学习过程中，学生们常常会遇到求解常系数非齐次线性微分方程的问题。
它也被称为高阶非齐次微分方程。
其中的“常系数”指的是微分方程中所有的系数都是常数，而“非齐次”则表示方程中存在非零项。
假设我们有一个高阶常系数非齐次微分方程：$$\frac{d^ny}{dx^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+...+a_1\frac{dy}{dx}+a_0y=f(x)$$其中 $a_0,a_1,...,a_{n-1}$ 是常数，$f(x)$ 是一个已知函数。
为了解决该微分方程，我们需要找到一个解 $y(x)$。
二、齐次微分方程的求解首先，我们需要解决由齐次微分方程所得到的通解。
齐次微分方程是指 $f(x)$ 的项为 $0$，即$$\frac{d^ny}{dx^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+...+a_1\frac{dy}{dx}+a_0y=0$$这个微分方程可以通过假设 $y(x)=e^{\lambda x}$ 为通解进行求解，得到特征值方程：$$\lambda ^n+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+...+a_1\lambda+a_0=0$$特征值方程的解称为特征根$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$，它们也称为系统的固有值。
特征根决定了系统的动态性质。
找到特征根后，我们可以得到齐次微分方程的通解：$$y(x)=c_1e^{\lambda_1 x}+c_2e^{\lambda_2x}+...+c_ne^{\lambda_n x}$$其中 $c_1, c_2,...,c_n$ 是常数。
三、非齐次微分方程的求解在解决了齐次微分方程的通解后，我们可以将非齐次微分方程转化为齐次微分方程。
常系数非齐次线性常微分方程解法之一pdf
常系数线性微分方程复习一、常系数线性微分方程的形式和名词解释1. n 阶常系数线性微分方程的标准形式为：)(1)1(1)(t f y a y a y a y n n n n =+′+++−−L其中 a 1，a 2，L ，a n 是常数，f (t )为连续函数2. n 阶微分方程的含有n 个独立的任意常数的解，叫做一般解（通解）。
3. 微分方程不含任意常数的解，叫做特解。
4. 把微分方程与初始条件合在一起叫做微分方程的初值问题。
初值问题的解是即满足微分方程又满足初始条件的特解。
二、常系数线性齐次微分方程的解法01)1(1)(=+′+++−−y a y a y a y n n n n L其中a 1，a 2，L ，a n 是常数，等号右端自由项为零1. 求齐次线性微分方程的特征方程（只要将齐次线性微分方程式中的 y (k )换写成 λk ，k = 0，1，L ，n ，即得其特征方程）。
0111=++++−−n n n n a a a λλλL2. 求特征方程的根（称为微分方程的特征根）。
3. 求得了方程的 n 个特征根，就可得到微分方程的n 个线性无关的一般解（根的形式不同，解的形式也不同）。
(1) 特征方程有n 个互异的实根 λ1， λ2 ，L ，λn 。
方程的通解为 t n t tc c c y n 21e e e21λλλ+++=L例 求齐次微分方程032=−′−′′y y y 的通解特征方程0322=−−λλ 求出特征方程的根3121=−=λλ方程的通解 t tc c y −+=e e231(2) 特征方程有n 个实根，但存在重根（设λ0是方程的k 重根）。
方程的通解为t n t k t k k c c t c t c c y k n 10e e )e (1121λλλ++++++=++−L L例 求齐次微分方程043=−′′+′′′y y y 的通解特征方程04323=−+λλ 求出特征方程的根21321−===λλλ方程的通解为 t tt t c c c y 23221e ee −−++=(3) n 个特征根中存在复数根的情况（举例说明）a. 存在1对不重复的复数根 a ± j β ，n -2个互异的实根。
高阶常系数非齐次线性微分方程的算子法
高阶常系数非齐次线性微分方程的算子法
高阶常系数非齐次线性微分方程的算子法是一种特殊的数值解法，用于求解高阶常系数非齐次线性微分方程。
它利用算子方法（operator method）来求解这类方程，即将微分方程转化为
一个算子方程，然后再使用数值方法求解算子方程。
首先，将高阶常系数非齐次线性微分方程转化为算子方程，即：
$\mathcal{L}y=f$
其中，$\mathcal{L}$是一个算子，$y$是待求解的函数，$f$是
方程的右端项。
接下来，使用数值方法求解算子方程。
常用的方法有有限差分法（finite difference method）和有限元法（finite element method）等。
有限差分法是将算子方程转化为一组线性方程组，然后使用数值解法（如Gauss-Seidel法）求解。
有限元法是将空间上的算子方程转化为一组有限元方程，然后使用数值解法（如Galerkin法）求解。
最后，根据求解的结果，得到算子方程的解，即高阶常系数非齐次线性微分方程的解。
高阶线性微分方程
知 u 0, 取 u t t ,
得齐次方程的通解为
则 x2 te1t ,
x t C1 C2t e1t ;
17
情形3 有一对共轭复根 ( 0) 特征根为
o
x x
为物体自由振动的微分方程。
2
若受到铅直干扰力 F H sin pt ,
d2x dx 2 2 n k x h sin pt 2 为强迫振动的方程 dt 2 dt d uc duc Em 2 Lc 2 2 0 uc sin t dt dt LC 为串联电路的振荡方程
可以证明: 若方程(1)中的系数
(2)
P1 t , P2 t , Pn t
以及F t 均在区间 a, b 连续，则方程（1）存在惟一的满 足初始条件（2）的解 x t , t a, b .
4
二、 线性微分方程解的结构
x
n
t Pn t x t F t (3) t P1 t x n1 t Pn1 t x
得齐次方程的通解为
,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x t C1e1t C2e2t ;
16
x a1x a2 x 0
情形2 有两个相等的实根
( 0)
a1 1 2 , 特征根为 一特解为 2 设另一特解为 x2 u t e1t ,
x1 e1t ,
，x2 代入原方程并化简， 将 x2 ，x2
可利用微分算子的线性性质证得。
问题： 以上解的线性组合是否是方程的通解？
6
常系数非齐次线性微分方程组的特解定理
1 1
2
1 1
＝0，
积分得 c1(t)＝ c1 ，c2(t)＝- e t + c2 ， c3(t)＝ et + c3 ，
t x c1 (t ) c2 (t )et c3 (t )e t c1 (t ) c (t )e t 2 2 (t )e c3 (t ) (t )e t 1 ； 令 y c1 (t ) c3 (t )e t ，代入原方程组得： c1 c3 z c (t ) c (t )e t 2c (t )e t c (t ) c (t )et 2c (t )e t 3 1 2 3 2 3 1 t t (t ) ＝0， c (t ) ＝ e ， 求得 c1 2 (t ) ＝ e ， c3
常系数非齐次线性微分方程组的特解定理
dX ＝AX-B 中，若 A、B 为常数阵，且 A≠O，[AB]与 A 同秩， dt
定理 在常系数非齐次线性微分方程组
则线性方程组 AX＝B 的解就是该微分方程组的一个特解 X；并且当 A 满秩时，常数解 X 唯一. 证明 当 A、X、 a dt
dx dt 2 x y z 2 dy 求常系数非齐次线性微分方程组（*） x z 1 的通解 dt dz 3x y 2 z 3 dt
例
解
解得特征根为 ＝0， 1， -1. 求得对应的特征向量为 1 ＝c1(1,1,-1)， 2 ＝c2(1,0,-1)， 3 ＝c3(1,1,-2)，
一般地，再由常数变易法求原方程组（*）的解.
x c1 c2 e t c3e t 原方程组（*）的通解为： y c1 c3e t 1 . z c c e t 2c e t 1 1 2 3 2 x y z 2 y x 1 z 1 ，求得 但若根据定理，直接解对应的线性方程组 x ，取 x＝0，可以得到一个 z x 1 3 x y 2 z 3
高阶常系数线性微分方程
特征方程为 r 2 4r 4 0， r1 r2 2，
则通解为 y (C1 C2 x)e2x .
9
Ⅲ 有一对共轭复根 ( 0)
设特征根为 r1 i , r2 i ,
4
10-5 高阶常系数线性微分方程
定义 在n阶线性方程y(n) P1( x) y(n1) Pn1( x) y Pn( x) y f ( x)中,
如果未知函数y及其各阶导数y, y, , y(n)的系数全都是常数时,
则称该方程为常系数线性微分方程. 一般形式 : y(n) p1 y(n1) p2 y(n2) pn1 y pn y f ( x),
定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其 通解的方法称为特征方程法.
11
例1 求方程 y 2 y y 0的通解.
解 特征方程为 r 2 2r 1 0 ,
解得 r1 r2 1 ,
故所求通解为 y (C1 C2 x)e x .
例2 求方程 y 2 y 5 y 0的通解.
Ⅱ 有两个相等的实根 ( 0)
特征根为 r1 r2
设另一特解为： y
p,
2 u2( x
)e
一特解为
, r1 x
将 y2 ，y2 ，y2代入原方程并化简得
y1 [
y2
e r1x , u( x)]
y1
u (2r1
p)u
(
r2 1
pr1
q)u
0,
知 u 0, 取 u( x) x, 则 y2 xer1x ,
常系数非齐次微分方程的特解怎么设
常系数非齐次微分方程的特解怎么设【原创版】目录一、常系数非齐次线性微分方程的特解概念二、特解的设定方法1.依据非齐次项的形式设2.常数变易法三、特解的求解步骤1.判断微分方程类型2.找到相关参量3.列出特征方程4.根据特征根的关系判断特解的设法5.求解特解四、特解的具体形式1.Ay""By"Cyemx 特解 yC(x)emx2.Ay""By"Cya sinx bcosx ymsinxnsinx3.Ay""By"Cy mxn yax五、基于格林函数求解常系数非齐次线性微分方程某一特解的具体使用方法说明正文一、常系数非齐次线性微分方程的特解概念常系数非齐次线性微分方程是指具有如下形式的微分方程：a_n*y^(n)(x) + a_{n-1}*y^(n-1)(x) +...+ a_1*y"(x) + a_0*y(x) = f(x)，其中 a_n, a_{n-1},..., a_1, a_0 均为常数，f(x) 为已知函数。
特解是指微分方程的解中，除了齐次微分方程的通解之外的解。
二、特解的设定方法1.依据非齐次项的形式设：特解的形式通常与非齐次项的形式有关。
例如，如果非齐次项是 e^x 或 sin(x)，那么特解的形式也可能是 e^x 或 sin(x)。
2.常数变易法：先解对应的齐次微分方程，其解必定含有一个任意常数 C。
把常数 C 看作是个变量，并假定就是非齐次常系数线性微分方程的一个特解。
将其代入非齐次常系数线性微分方程，再次确定 C(x)。
三、特解的求解步骤1.判断微分方程类型：首先要判断微分方程的类型，例如二阶、三阶等。
2.找到相关参量：根据微分方程的类型，找到相关的参量，如特征根、特征方程等。
3.列出特征方程：根据微分方程的类型，列出特征方程。
4.根据特征根的关系判断特解的设法：根据特征根的关系，判断特解的设法，如一一映射、二一映射等。
常系数非齐次高阶线性微分方程
整 个 链 条 滑 过 钉 子,即 x 8
2
代入上式得 t 3 ln(9 80) (秒)
g
9
2、 f (x) e x Pl (x) cos x P~n (x)sin x 型
分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为
f (x) Pm (x) e(i) x Pm (x) e(i) x
解 设链条的线密度为,经过时间t, 链条下滑了x 米, 8m 10m
则由牛顿第二定律得
m d 2 x (10 x)g (8 x)g,
o
dt 2
即 x g x g , x(0) 0, x(0) 0.
x
99
解得 x(t)
1
(e
1 3
gt
1
e3
gt
) 1,
11
第二步 求如下两方程的特解
y py qy Pm (x) e(i) x
②
y p y q y Pm (x) e(i) x
③
设 i 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则 ② 有
特解:
y1 xkQm (x) e(i) x (Qm (x)为m次多项式)
6
例2.
的通解.
解: 本题 2, 特征方程为 r 2 5 r 6 0 , 其根为
对应齐次方程的通解为
设非齐次方程特解为 y* x (b0 x b1) e2 x
代入方程得 2b0 x b1 2b0 x
比较系数, 得
b0
1 2
,
b1
1
因此特解为
y*
形式e为xPym*(x)e xQm (x) . 3
高阶常系数线性非齐次微分方程特解几种非常规解法
高阶常系数线性非齐次微分方程特解几种非常规解法
高阶常系数线性非齐次微分方程的解法比一般的非齐次微分方程复杂的多，而采用正规的分步法或积分复原法来求解，效率低下易出现错误，所以需要采用非常规的解法来加快求解的效率，提高解的准确性。
经过一系列的研究，目前已经形成了三种主要的非常规解法：
一是拉格朗日多元展开法。
该法是将微分方程展开成多元多项式求解，计算结果精确，但计算比较复杂，不适合大规模计算。
二是Kowalewsky-Trunov展开法。
该法是通过对称性质对“元胞”或者“子空间”进行展开，以求解非齐次线性微分方程，这一方法有很强的鲁棒性，同时可以有效避免数值计算错误。
三是Padé拆分法。
该法将线性常系数微分方程根据代数特性进行拆解和重新组合，从而达到快速精确求解的目的。
这三种非常规解法都具有自身独特的优点，以及不同的应用场景，有效的提高了求解高阶常系数线性非齐次微分方程的效率，也为科学研究提供了更好的解决方案。
常见的常微分方程的一般解法
常见的常微分方程的一般解法总结了常见常微分方程的通解。
如无意外，本文将不包括解的推导过程。
常微分方程，我们一般可以将其归纳为如下n类：1.可分离变量的微分方程（一阶）2.一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶），包含伯努利3.二阶常系数微分方程（二阶）4.高阶常系数微分方程（n阶），包含欧拉1.可分离变量的微分方程（一阶）这类微分方程可以变形成如下形式：f ( x ) d x =g ( y ) d y f(x)dx=g(y)dy f(x)dx=g(y)dy函数可以通过同时整合两边来解决。
难点主要在于不定积分，不定积分是最简单的微分方程。
p.s. 某些方程看似不可分离变量，但是经过换元之后，其实还是可分离变量的，不要被这种方程迷惑。
2.一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶）形如d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) dxdy+P(x)y=Q(x)的方程叫做一阶线性微分方程，若 Q ( x ) Q(x) Q(x)为0，则方程齐次，否则称为非齐次。
解法：直接套公式：y ( x ) = e − ∫ P ( x ) d x ( ∫ e ∫ P ( x ) d x Q ( x ) d x + C ) y(x)=e^{-\int{P(x)}dx}(\int{e^{\int{P(x)dx}}Q(x)}dx+C)y(x)=e−∫P(x)dx(∫e∫P(x)dxQ(x)dx+C)多套几遍熟练就好。
伯努利方程形如d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) y n , n ∈R , n ≠ 1\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n},n\in\mathbb{R},n\ne1dxdy+P(x)y=Q(x)yn,n∈R,n=1的方程称为伯努利方程，这种方程可以通过以下步骤化为一阶线性微分方程：y − n d y d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) y−ndxdy+P(x)y1−n=Q(x)1 1 − n ⋅ d y 1 − n d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) \frac{1}{1-n}·\frac{dy^{1-n}}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)1−n1⋅dxdy1−n+P(x)y1−n=Q(x)令 y 1 − n = u y^{1-n}=u y1−n=u，方程两边同时乘以 1 − n 1-n 1−n，得到d u d x + ( 1 − n ) P ( x ) u = ( 1 − n ) Q ( x )\frac{du}{dx}+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x) dxdu+(1−n)P(x)u=(1−n)Q(x)即 d u d x + P ′ ( x ) u = Q ′ ( x )\frac{du}{dx}+P'(x)u=Q'(x) dxdu+P′(x)u=Q′(x)这是一个可以公式化的一阶线性微分方程。
线性齐次及非齐次方程的解法
作业
习 题 五 （P230）
1 （1）（3）（5）；
4 ； 6 （2）。
4.4.2 常系数 线性微分方程
第十二章
一、求解常系数线性齐次微分方程 二、求解常系数线性齐次微分方程
18
一、二阶常系数齐次线性微分方程:
①
和它的导数只差常数因子,
∴ e x 与 xe x 线性无关。
定理 2.
是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
数) 是该方程的通解. (自证)
例如, 方程
有特解
且
y2 y1
tan
x
常数, 故方程的通解为
推论.
是 n 阶齐次方程
的 n 个线性无关解, 则方程的通解为
y C1y1 Cn yn (Ck为任意常数)
4
说明:
y C1y1(x) C2 y2 (x) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如,
是某二阶齐次方程的解, 则
也是齐次方程的解
但是
并不是通解
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.
5
定义: 设 y1(x), y2 (x), , yn (x) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
u 0
取 u = x , 则得 y2 x er1 x , 因此原方程的通解为 y ( C1 C2 x ) er1 x
20
3. 当 p2 4 q 0 时, 特征方程有一对共轭复根
这时原方程有两个复数解:
y1 e( i ) x e x (cos x i sin x ) y2 e( i ) x e x (cos x i sin x )
常微分方程的高阶线性方程
常微分方程的高阶线性方程常微分方程是数学中的重要分支，涉及到多种类型的方程。
其中，高阶线性方程是常微分方程的一种，其解决的问题属于物理学、工程学、生物学等多个领域。
在本文中，我们将着重讨论常微分方程中高阶线性方程的相关知识。
一、基本概念高阶线性方程是指带有自变量 x 及其导数y, y', y'',…,y(n) 的线性方程。
其一般形式可表示为：a_n(x)y(n) + a_{n-1}(x)y(n-1) + … + a_1(x)y' + a_0(x)y = f(x)其中，a_i(x) 和 f(x) 是已知的函数。
需要注意的是，高阶线性方程中的 y(n) 表示 y 的 n 阶导数，而不是 y 的 n 次方。
同时，这里的方程是线性的，即 y 与其导数之间的系数 a_i(x) 是不依赖于y, y', y'',…,y(n) 的，而仅依赖于自变量x。
二、解法解高阶线性方程是常微分方程研究的重点之一。
一般来说，解法可以分为两种：通过代数方法直接求解，或将高阶线性方程转化为一些比较简单的方程进行求解。
下面我们将分别介绍这两种解法。
1、通过代数方法直接求解通过代数方法求解高阶线性方程的方法很多，这里我们先介绍其中比较基础的几种方法。
（1）特征方程法将常微分方程中的 y(n), y(n-1), …, y' 都看成一个元素，构造一个伴随矩阵和一个行列式，然后根据行列式的性质求解，就可以得到一个方程的特征根，再根据这些特征根和特征向量的性质构造出通解。
这种方法适用于方程系数都不为零的情况。
（2）欧拉方程法如果高阶线性方程的系数中含有 x 跟y, y', y'',…,y(n)，而且都是乘在一起的幂函数形式，那么就可以考虑利用欧拉方程法。
这种方法先要将变量转化成同一形式，然后分离变量，再对两端的积分形式进行分析，最后就可以求得通解。
（3）待定系数法这种方法适用于方程的非齐次项 f(x) 是已知函数的情况。
高数常系数非齐次线性微分方程
边值问题具有唯一性、存在性和稳定性等重 要性质。在适当的条件下，边值问题的解是 存在且唯一的，同时解对边界条件的微小变 化具有稳定性。
边值问题的求解方法
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
分离变量法
对于某些具有特殊形式 的常系数非齐次线性微 分方程，可以通过分离 变量的方法将其转化为 可解的常微分方程或偏 微分方程进行求解。
积分变换法
利用积分变换（如傅里 叶变换、拉普拉斯变换 等）将边值问题转化为 等价的积分方程或常微 分方程进行求解。这种 方法适用于具有特定性
质的边值问题。
有限差分法
将边值问题的定义域离 散化，构造差分方程近 似代替微分方程，从而 将边值问题转化为线性 代数方程组进行求解。 这种方法适用于求解复 杂区域上的边值问题。
02
常系数非齐次线性微分方程的基本解
法
分离变量法
分离变量法的基本思想
将非齐次线性微分方程中的未知函数和自变量进行分离， 使得方程两边分别只含有未知函数和自变量的函数，然后 通过积分求解。
分离变量法的适用条件
适用于一阶常系数非齐次线性微分方程，且方程中的非齐 次项可以表示为自变量的函数与未知函数的乘积。
数值解法的应用举例
要点一
物理学中的应用
在物理学中，常系数非齐次线性微分 方程经常用来描述物体的运动规律， 如振动、波动等现象。通过数值解法 ，可以对这些现象进行模拟和预测。
要点二
工程学中的应用
在工程学中，常系数非齐次线性微分 方程经常用来描述系统的动态特性， 如控制系统的稳定性、电路的响应等 。通过数值解法，可以对这些系统的 性能进行分析和优化。
常数变易法的求解步骤
先设出与原方程对应的齐次方程的通解，然后将通解中的常数替换为新的未知函数，代入原方程求解得 到新未知函数的方程，最后解出新未知函数并代回通解得到原方程的解。
常微分方程3.4线性非齐次常系数方程的待定系数法
再求非齐次方程的一个特解.
因为方程的右端由两项组成, 根据解的叠加 原理, 可先分别求下面两个方程的特解.
11
d 2 x 6 dx 5x 3et dt 2 dt
d2x dt 2
6
dx dt
5x
5t
2
这两个特解之和为原方程的一个特解. 1 1, 2 5.
将 (t) 代入方程得: B3 1, B2 4, B1 12, B0 24.
原方程的特解为: (t) t(t3 4t2 12t 24).
原方程的通解为:
x(t) c1 c2et t(t3 4t2 12t 24).
6
二、非齐次项是多项式与指数函数之积
L[
x]
d2x dt2
p
dx dt
因此, 原方程的一个特解为
(t) 2 4t 4t2.
5
例2
求方程
d2x dt 2
dx dt
4t3的通解.
解: 对应的齐次方程的特征根为 1 0,2 1.
齐次方程通解为: x(t) c1 c2et .
f (t) 4t3. 因为零是特征方程的单根,
故特解形式为 (t) t(B0 B1t B2t 2 B3t3),
考虑常系数非齐次线性方程
L[x]
dnx dt n
a1
d n1x dt n1
an x f (t) (3.4.1)
当 f (t是) 一些特殊函数，
如指数函数，正余弦函数，及多项式时，
通常利用待定系数法来求解。
1
一、非齐次项是多项式
L[x]
d2x dt 2
p
dx dt
qx
高阶线性微分方程的解法和特解法
高阶线性微分方程的解法和特解法微分方程作为数学中的一门重要的分支和研究方向，已经被广泛地应用于生产、科研、教育等各个领域。
其中，高阶线性微分方程作为微分方程中的一种常见形式，其解法及特解法也是应用最广泛的一个方向。
本文将从高阶线性微分方程的定义入手，一步一步地介绍它的解法和特解法。
一、高阶线性微分方程的定义高阶线性微分方程是指形如以下形式的方程：$y^{(n)}(x)+a_1y^{(n-1)}(x)+a_2y^{(n-2)}(x)+\cdots+a_{n-1}y'(x)+a_ny(x)=f(x)$其中，$a_1,a_2,\cdots,a_n$为已知函数，$f(x)$为已知函数。
其中，$y^{(n)}(x)$表示$y(x)$的$n$阶导数。
二、高阶线性微分方程的解法针对高阶线性微分方程，其解法主要可以分为两种方式：齐次方程和非齐次方程。
1.齐次方程齐次方程指的是当$f(x)=0$时的高阶线性微分方程，它的通解的形式为：$y(x)=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)+\cdots+C_n y_n(x)$其中，$C_1,C_2,\cdots,C_n$为常数，$y_1(x),y_2(x),\cdots,y_n(x)$为$n$个线性无关的特解。
解法如下：（1）特征方程法：通过求解高阶线性微分方程的特征方程，可以求得其通解。
（2）常数变易法：设$y(x)$为齐次方程的一个特解，则其通解可表示为$y=C(x)y(x)$，其中$C(x)$为任意常数函数。
将通解代入方程中，用待定常数法求解出$y(x)$。
2.非齐次方程非齐次方程指的是当$f(x)\neq 0$时的高阶线性微分方程，它的通解的形式为：$y(x)=y_h(x)+y_p(x)$其中，$y_h(x)$是对应的齐次方程的通解，$y_p(x)$为非齐次方程的一个特解。
解法如下：（1）常数变易法：设$y_p(x)$为非齐次方程的一个特解，则其通解可表示为$y_p(x)=C(x)y_h(x)$，其中$C(x)$为任意常数函数。
关于高阶微分方程的解法
关于高阶微分方程的解法
高阶微分方程是指次数大于等于2的微分方程，解法相对于一阶微分方程更为复杂。
一般来说，高阶微分方程的解法需要用到一些特殊的技巧和方法，以下是一些常见的解法：
1. 常系数齐次线性微分方程的解法：这类方程的特征方程是一
个关于未知函数的二次方程，通过求解特征方程的根可以得到方程的通解。
2. 非齐次线性微分方程的解法：这类方程需要先求解对应的齐
次线性微分方程的通解，然后再通过常数变易法来求解非齐次方程的特解，最终得到方程的通解。
3. 变量分离法：对于一些可化为变量分离形式的高阶微分方程，可以通过变量分离法来求解。
这类方程需要将变量分离后，再进行积分求解。
4. 幂级数法：对于一些特殊的高阶微分方程，可以通过幂级数
法来求解。
这种方法需要将未知函数表示为幂级数的形式，然后带入方程求解。
5. 特殊函数法：对于一些含有特殊函数的高阶微分方程，可以
通过特殊函数的性质和定义来求解。
例如，对于一些含有Bessel函
数的方程，可以通过Bessel函数的性质来求解。
总的来说，高阶微分方程的解法需要掌握一些特殊的技巧和方法，需要对微积分和常微分方程有比较扎实的掌握。
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高阶常系数线性非齐次常微分方程的解法
作者：耿丽芳
来源：《数学学习与研究》2019年第02期
【摘要】在高等数学教学过程中，高阶常系数非齐次常微分方程解法只有几种.比如，在解决齐次线性方程的时候所利用的特征代数方程，在本文当中提出了常系数线性非齐次常微分方程的其他解法，在非齐项是任意连续函数的时候，通过第二类特征代数方法的求解过程，得到求特解的公式，并且通过实例对解法进行了系统分析.
【关键词】常系数;特征方程;非齐次常微分方程
一、高阶常系数线性非齐次常微分方程解法
常系数线性非齐次常微分方程的形式如下所示.
x（n）+p1x（n-1）+p2x（n-2）+…+pnx=f（t）. （1）
（一）常数变易法
可以将方程的特解设为：
x（t）=c1（t）x1（t）+c2（t）x2（t）+…+cn（t）xn（t），（2）
c，i均为常数，将其代入到（1）当中，可以得到方程组：
x1c1′（t）+x2c2′（t）+…+xncn′（t）=0，x1′c1′（t）+x2′c2′（t）+…+xn′cn′（t）=0，x （n-2）1c1′（t）+x（n-2）2c2′（t）+…+x（n-2）ncn′（t）=0，x（n-1）1c1′（t）+x（n-1）
2c2′（t）+…+x（n-1）ncn′（t）=f（t）.
通过解方程组，最终得到关于c1′（t），c2′（t），…，cn′（t）的方程式，将它们积分处理，从而获得c与i的值，并将它们代入到（2）当中，能够得到方程1的特解.
这种方法不会限制f（t）的形式，因此，具有比较广的使用范围，可是在求解过程中，工作量相对较大.
（二）比较系数法
常系数线性非齐次方程，我们通常是会用比较系数法，它能够将微分方程转变为代数问题，自由项是
f（t）=pm（t）eλt
或者是f（t）=[pn（t）cosβt+ps（t）sinβt]eθt，
pm（t），pn（t），ps（t）是m次、n次以及s次多项式.当λ，α，β都是常数的时候，特解x ～ =tkQm（t）eλt，Qm（t）是待定多项式.或者x ～ =tk[Q（1）m（t）cosβt+Q（2）m （t）sinβt]eαt，m=max[n，s].Q（1）m（t），Q（2）m（t）是两个待定的m次项式，而k则是方程含根α±βt次数.
将其代入到方程（1）当中，并且比较两边t同次幂的系数，从而确定待定系数的多项式.按照线性微分方程解结构定理能够求出方程通解.
（三）创新解法
dny dxn +a1 dn-1y dxn-1 +…+an-2 d2y dx2 +an-1 dy dx +any=Am（x）eλx，; a
其中，ai∈ R （i=1，2，…，n），λ∈C，Am（x）是实变量x次数m的实系数多项式.在对a进行求解的时候，通常是按照与之相对应的齐次线性方程特征方程特征根和Am（x）eλx 特征使用特定待定系数法加以解决，该方法存在的问题在于运算量非常大，从而影响计算过程，本文所使用的齐次线性方程特征方程、特征多项式、特征根和Am（x）eλx特征，使用这个公式能够比较容易地计算出方程a的特解.
假设和方程a所对应的齐次线性方程特征多项式是
F（r）=rn+a1rn-1+…+an-2r2+an-1r+an. b
此时，特征方程F（r）=0当中的r=λ，便是b的特征根.
主要结果和证明
引理1; b对r的l阶导数是
F（l）（r）=（l！）∑ n-l k=0 ak∪ l n-k rn-l-k， c
∪ i n （i=0，1，2，…，n）为组合数，在r=λ的时候，存在
F（l）（r）=（l！）∑ n-l k=0 ak∪ l n-k λn-l-k.
引理2; 方程a特解
y（l）（x）=∑ l s=0 ∪ s l λsQ（l-s）（x）eλx
=∑ l s=0 ∪ s l λl-sQ（s）（x）eλx. d
Uin代表了组合数，Q（x）是实变量x次数在m以下的实系数多项式，s表示s阶导数.
引理3;;; ∑ n l=0 ∑ l s=0 an-1Uslλl-sQ（s）（x）eλx
=∑ n l=0 ∑ n-l k=0 akUln-kλn-k-lQ（l）（x）eλx.
Uin代表了组合数，Q（x）是实变量x次数在m以下的实系数多项式.
定理1; 方程a的特解为y=Q（x）eλx的充分必要条件为
1 l！∑ n k=0 F（l）（r）Q（l）（x）=Am（x）. e
二、实例分析
解方程 d2y dx2 +2 dy dx +3y=（x+1）e3x.
解; 特征多项式是F（r）=r2+2r-3，令F（r）=0，根是r=-3，r=1，λ=3不是特征根，所以可以设特解是（Ax+B）e3x，此时Q（x）=Ax+B，Q′（x）=A，Q′（x）=0，同时，F（3）
=12，F′（3）=8，F′（3）=2，将其代入到e当中，存在F（3）Q（x）+F′（3）Q′（x）+ 1 2！F′（3）Q′（x）=x+1，也就是12（Ax+B）+8A=x+1，方程的解为A= 1 12 ，B= 1 36 ，因此，特解是 1 36 （3x+1）e3x.
三、结语
本文主要介绍了常数变易法、比较系数法等高阶常系数线性非齐次常微分方程基本的求解方法，同时，对求解方法进行了适当创新，推出了创新解法，并以此为基础，列举了实例进行系统分析，希望能够对实际应用产生一定的推动作用.
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