光学中的光学导波方程
波动光学公式总结
波动光学公式总结在学习光学的过程中，波动光学的公式就像是打开光学世界大门的钥匙。
咱们今天就来好好捋一捋这些重要的公式。
先来说说光的波长、频率和波速的关系公式，那就是c = λν 。
这里的 c 代表光在真空中的速度，λ 是波长，ν 是频率。
这个公式就像是一个铁三角，它们之间相互关联。
比如说，我们生活中的可见光，不同颜色的光波长和频率都不一样。
就像彩虹，赤橙黄绿青蓝紫，每一种颜色的光都有它独特的波长和频率。
想象一下，你在一个阳光明媚的日子里，拿着三棱镜，让阳光穿过，然后在墙上看到那绚丽多彩的彩虹。
当你仔细观察，你会发现红色光的波长比较长，频率相对较低；而紫色光的波长较短，频率则较高。
再看看光的干涉部分，明暗条纹的间距公式Δx = λL / d 。
这里的Δx 是条纹间距，L 是双缝到屏的距离，d 是双缝间距。
记得有一次，我在实验室里做光的干涉实验。
我小心翼翼地调整着仪器，眼睛紧紧盯着屏幕上出现的条纹。
当我一点点改变双缝间距和双缝到屏的距离时，条纹的间距也在不断变化。
那种感觉就像是在和光玩一场捉迷藏的游戏，而这个公式就是找到光的“藏身之处”的线索。
还有光的衍射公式，单缝衍射的中央明纹宽度b = 2λf / a ，其中 f是透镜焦距，a 是单缝宽度。
有一回，我在课堂上给学生们讲解这个公式，为了让他们更直观地理解，我用投影仪展示了单缝衍射的图案。
当我指着屏幕上那逐渐扩散的光线，解释着公式中每个参数的作用时，我看到学生们眼中闪烁着好奇和求知的光芒。
光的偏振中，马吕斯定律 I = I₀cos²θ ，I 是透过偏振片的光强，I₀是入射光强，θ 是偏振方向夹角。
这让我想起一次在户外观察光的偏振现象。
我拿着偏振片，不断改变角度，看着透过的光强随之变化，真切地感受到了这个公式在现实中的体现。
总之，波动光学的这些公式，就像是一个个神奇的密码，帮助我们解开光的奥秘。
只要我们认真理解、掌握并且善于运用它们，就能在光学的世界里畅游，探索更多神奇的现象和知识。
光学导纳
菲涅尔公式
根据光学导纳的定义，有
H H H
i r
t
Y 0 ( k 0 E i ), Y 0 ( k 0 E r ), Y1 ( k 0 E t )
将其代入
可得 又
Hi Hr Ht
Y 0 E i Y 0 E r Y1 E t
Y1
1
Ht
Et
有效光学导纳
为了便于计算，引入了有效光学导纳。通常将（当电 磁波倾斜入射时的）磁场强度切向分量与电场强度切向分 量的比值，看作是电磁波倾斜入射时的有效光学导纳。
由此得到：
修正导纳
为了便于计算和统一，引入了修正导纳。
a 对于
rS tS TE 波 S 光
b 对于
4
则 N有 如 下 形 式
n称为折射率；k称为消光系数 N称为复折射率
光波与光学导纳
根据波动光学，在介质中 光波的电场强度为： 光波的磁场强度为：
y 分别代入麦克斯韦方程
0
和 物质方程 可得到
Ny ，将 Y 称为介质的光学导纳， 令 将 y 称为自由空间光学导纳，且 y 1 377 S 。 Y N
两种介质形成的界面对光波的能量反射率和透射率分别为：
R Ir Ii T It Ii Er Ei
2 2
r
2
1 0 1 0 1 0 1 0
2
N 1 cos 1 E t N 0 cos 0 E i
R
0 Y 0 Y
2
单层介质膜的反射率
k E cos 1 a i sin Ha 1 1 k Ea i sin 1 k Eb 1 cos 1 H b i sin 1 1 1 k E b cos 1 2
光学中的光学通信方程
光学中的光学通信方程光学通信在现代通信技术领域中扮演着重要的角色，它已经成为人们传递信息的主要方式之一。
光学通信是利用光信号传递信息的技术，因为光速很快，数据传输速度也非常快，被广泛应用于互联网、电话和电视等领域。
在光学通信中，光波的传播和传输方程是最基本的理论，而本文将针对这一方程做一些简单阐述。
一、简单介绍光学通信的传输方式光通信中获得广泛应用的是通过光纤通信的方式。
光纤作为一种具有高带宽和传输速度的介质，能够满足长距离和高速率的数据传输要求。
光学通信利用光波在光纤中的传播来传输信息，而如何描述光波在光纤中的传播和传输现象是有一定难度的。
二、波动方程在光学中，光波是一种电磁波，因此光波的传输和传播方程可以用波动方程来描述。
波动方程是描述波的传播性质的方程，其一般形式为：∂^2u/∂x^2= (1/c^2)∂^2u/∂t^2其中，u是波函数，x是空间坐标，t是时间坐标，c是光速。
在光学中，空间坐标通常是三维的坐标系，它可以分为x、y 和z三个方向。
波函数u的描述可以是光强度、电场强度、磁场强度等；时间坐标t是传播时间，可以描述光波的周期、频率等。
三、电磁波的传输方程电磁波是一种波动的电磁能量，由电场和磁场构成。
电场和磁场之间存在一个相位差90度，并且电场和磁场的传播速度相等。
在光学通信中，电磁波的传输方程是很重要的。
电磁波的传输方程是麦克斯韦方程组，它包括四个方程式：∇×E= -∂B/∂t∇×H= J + ∂D/∂t∇⋅D=ρ∇⋅B=0其中，E是电场强度，B是磁场强度，D是电通量密度，H是磁场强度，J是电流密度，ρ是电荷密度。
四、光波在光纤中的传输方程光波在光纤中的传输方程是波动方程和麦克斯韦方程组的联合运用。
在光纤中传输的光波，其波动方程可用以下方式表示：∂^2E/∂x^2= (1/c^2)∂^2E/∂t^2其中，E是电场强度，x是沿纤维方向的坐标，t是传播时间，c是光速。
光纤光学-第二章
第12页
《光纤光学》第二章
光纤光学基本方程
在光的传播方向上,各点的光矢量在确定的平面内，这种光称 为平面偏振光。也由于在垂直于传播方向的平面内，平面偏 振的光矢量端点的轨迹为一直线，又称为线偏振光。
E
振动面
符号表示
v
3）圆偏振光与椭圆偏振光 传播方向相同、振动方向相互垂直、相位差恒定的两线偏振 光叠加（或组合）可合成光矢量有规则变化的圆偏振光或椭 圆偏振光。
2 2 2 2 2 2 x y z
2
1 1 2 (r ) 2 2 2 r r r r z
2
直角坐标系
第7页
圆柱坐标系
《光纤光学》第二章
光纤光学基本方程
自由介质中的单色均匀平面波
i (t kr ) E (r , t ) E0e
y 右旋 E 左旋 Ey
O
Ex
x
第15页
《光纤光学》第二章
光纤光学基本方程
第16页
《光纤光学》第二章
光纤光学基本方程
§1-2 波导方程
矩形波导
圆波导
微带线
电磁波在纵向(轴向)以“行波”的形式存在，在横向以“驻波” 的形式存在。
第17页
《光纤光学》第二章 一、波导方程
光纤光学基本方程
E 2 E E 0 2 t
第13页
《光纤光学》第二章
光纤光学基本方程
设电场强度的瞬时值为
E x ( z, t ) e x Exm sin( t kz)
在空间任一固定点，电场强度矢量的端点随时 间的变化轨迹为与 x 轴平行的直线。因此，这种极 化特性称为线极化，其极化方向为 x 方向。
光学和电子学中的波动方程
光学和电子学中的波动方程波动方程是研究光学和电子学的重要方程之一。
它关注的是波动现象的特性和行为，是研究这些领域的起点。
在这篇文章中，我们将深入探讨光学和电子学中的波动方程，了解其基本原理和应用。
一、光学中的波动方程光学中的波动方程描述了光的传播规律。
它是由麦克斯韦方程式导出的，可以用来解释光的干涉、衍射、偏振等现象。
光的传播可以用一组钟摆模型来理解。
想象一系列相互连接的钟摆，它们在一个平行于地面的平面上振动。
当振动的振幅较小时，钟摆之间的相互作用可以忽略不计，每个钟摆的运动是独立的。
但当振幅较大时，相互作用可以显著影响整个钟摆系统的运动。
同样，光学中的波动方程也是通过考虑电磁波之间的相互作用来描述光的传播规律的。
波动方程的形式是一个偏微分方程，可以表示为：∇2E - με∂2E/∂t2=0其中E是电场强度，μ是磁导率，ε是介电常数，t是时间。
方程右侧的0表示电场强度E在空间上的变化与时间上的变化是相互独立的。
波动方程对光波的解释非常重要。
例如，当光线通过狭缝或透镜时，波动方程可以用来解释衍射和干涉的现象。
通过对光波单色性、方向性、偏振性等方面的研究，我们可以更加深入地了解光学中的波动方程。
二、电子学中的波动方程电子学中的波动方程是描述电子行为的方程，可以用来解释电子的传播和能级。
简单地说，波动方程描述了电子的“波函数”，根据这个波函数可以推断出电子在某个时间和空间的位置和状态。
波函数是一个复变量，包含了电子在动量和位置上的信息。
波动方程的形式非常类似于光学中的形式，但它描述的是电子波和自旋波的传播规律。
具体形式为：∇2Ψ + (2m/h2)(E-U)Ψ = 0其中Ψ是波函数，m是电子的质量，h是普朗克常数，E是电子的总能量，U是势场的势能。
电子学中的波动方程对半导体器件和量子计算机的研究非常重要。
利用波动方程模拟半导体中的能带结构和载流子的传输行为，可以优化半导体器件的设计和功能。
而对波函数进行计算和利用量子态进行运算的量子计算机，也需要深入理解电子学中的波动方程。
波动光学公式复习
波动光学公式复习波动光学是物理学的一个分支，研究光的传播和相互作用的波动性质。
波动光学的基础是波动理论，利用波动方程和边界条件，可以推导出一系列关于光波的性质，并且与实验结果相符。
在本篇复习中，我将回顾波动光学的一些重要公式。
1.波动方程波动方程是描述波的传播的微分方程。
对于光波，我们可以采用波动方程来描述光的传播行为。
波动方程如下：∇^2ψ-1/c^2∂^2ψ/∂t^2=0其中，∇^2是拉普拉斯算子，ψ是波函数，c是光速。
2.平面波的描述平面波是具有相同频率和波矢的波，具有以下形式的解析表达式：ψ(x,t) = A * e^(i(kx - ωt))其中，A是振幅，k是波矢，x是位置，ω是角频率，t是时间。
平面波描述了波的传播过程，并且可以通过叠加多个平面波得到复杂的波形。
3.折射定律折射定律描述了光线从一个介质射入另一个介质时的偏折现象。
根据斯涅耳定律，入射角i和折射角r满足以下关系：n1 * sin(i) = n2 * sin(r)其中，n1和n2分别是两个介质的折射率。
折射定律告诉我们光线由一种介质传输到另一种介质时的偏折角度，进而影响到光的传播方向。
4.衍射公式衍射是光线通过一个较小孔径或障碍物后产生的弯曲现象。
根据菲涅尔衍射公式，衍射极大值的位置可以由以下方程给出：sin(θ) = nλ/a其中，θ是衍射角，λ是光的波长，a是孔径或障碍物的大小。
衍射公式告诉我们衍射现象的出现与波长、孔径或障碍物的大小有关。
5.直线偏振光直线偏振光是在一个平面上振动的光波，具有以下表达式：ψ(x,t) = A * cos(kx - ωt + φ)其中，A是振幅，k是波矢，x是位置，ω是角频率，t是时间，φ是相位差。
直线偏振光是光学中常见的一种偏振光，其振动方向是固定的。
6.光的干涉干涉是当两束或多束光波相遇时，它们会叠加产生明暗相间的条纹。
根据叠加原理，两束光波的干涉可以通过相干光的波函数叠加得出：ψ(x,t)=ψ1(x,t)+ψ2(x,t)其中，ψ1和ψ2是两束光波的波函数。
波导光学圆柱形介质光波导的基本解
间有确定关系：
k02n2 2 kc2
k
2 0
n
2
k
2 c
2
U 2 W 2 k02n12 2 a2 2 k02n22 a2 k02a2 n12 - n22
U、W与波导参数V（结构参数）三者之间有确定关系：
U 2 W 2 k02n12 2 a2 2 k02n22 a2 k02a2 n12 - n22
则纵向分量改写成：
Ez1
J
A
m U
J
m
U a
r sin
me jz
（4.10a）
Ez2
A
Km W
Km
W a
r sin
me jz
（4.10b）
H z1
J
B
m U
J
m
U a
r cos me jz
（4.10c）
Hz2
B
Km W
Km
W a
r cos me jz
（4.10d）
A=0 B0
TE模
引入两个参数：
无量纲化
▪ U kca ——表示纤芯内场沿半径a方向分布规律 kc ——纤芯内横向传播常数
U 2 k02n12 - 2 a2 0
▪ W aca ——表示包层内场沿半径a方向衰减程度
ac ——包层内横向衰减系数
W 2 2 - k02n22 a2 0
表示轴向相位常数，与波矢量k0和横向传播常数kc之
方程的左边：
r d r dRr
dr dr
kc2 r 2
m2
Rr 0
令：X = kc r ，表示成贝塞尔方程形式：
d 2R dX 2
1 X
导波光
)
(
)
比较上面两种方法的适用范围
第一种方法适用于求解弱导缓变波导 第二种方法不但适用于弱导缓变波导，而且适用于迅变波导， 第二种方法不但适用于弱导缓变波导，而且适用于迅变波导， 或者不能用齐次方程求解的其他非正规光波导。 或者不能用齐次方程求解的其他非正规光波导。
4
光纤光栅
在光纤中传输谱宽为1400~1700nm光，在某处如果让1520～ 光 在某处如果让 在光纤中传输谱宽为 ～ 1600nm的光波段反射而其他光透射，采用什么装置？？ 的光波段反射而其他光透射， 的光波段反射而其他光透射 采用什么装置？？
[
]
利用正交性
∫∫ (e
(
* v
× hu ⋅ dS = 0
)
（7）式两边点乘 ev* ）
2 n 2 (x, y, z ) − n0 (x, y ) dbv (z ) * * − jβ v av ( z ) ∫∫ ev × hv ⋅ dS − ∫∫ ∑ aµ (z ) ev eu dz jωµ 0 S µ
∂Ht = − jωεEt ∂z
u
（1） ）
ˆ ∇t × Hz + z ×
（4） ）
E = ∑ cu (z )eu (x, y )e jβ u z = ∑ au ( z )eu
u u
H = ∑ d u ( z )hu (x, y )e jβ u z = ∑ bu ( z )hu
u
∇ t × et = jωµ 0 hz ∇ t × ht = − jωεe z ⌢ ∇ t × e z + jβz × et = jωµ 0 ht ⌢ ∇ t × hz + jβz × ht = − jωεet
物理光学 光波的形式和基本性质
V
m
• 求：
– （1）H的表达式 – （2）k0值
解例2.2
• 利用E、H、k的矢量关系确定H
ˆ E yE ˆ x H 0 0 k 0 0 5 104 ˆ cos k0 z 2 1014 t 4 y 377 ˆ cos k0 z 2 1014 t 4 1.33 106 y
E
†
• 共轭完整光矢量
r,t = E r exp jt
*
• 为方便计，常用E*(r, t)代替E+(r, t)
• E1的共轭波是 E*1 ；E2的共轭 波是E*2 • E1与E2在x-y平面 上产生相同的复 振幅 • 因此，从参考面 x-y平面的复振幅 看， E1的共轭波 是E*1或E*2
• 式中 E r Ar exp jkr 是复振幅
球面波振幅Ar的确定
• 与平面波不同，随r的增加，Ar将下降 • 设r=1单位时，Ar= A1。r为其他值时，Ar= I1/2 • 按能量守恒要求
– I1412= I4r2 – I/I1=1/r2，即Ar＝A1/r
• 球面波复数形式为
- E*2
x 180+ E*1
z E1
E2
平面波的性质
• • • • 横波性（E、B与k垂直） 电、磁垂直性（ EB ） 电、磁同相位 条件：J=0、=0的无源线性介质中
横波性
• 由于无源，电矢量的散度为零
E r 0 A exp( jk r ) A exp( jk r ) exp( jk r ) A jA k r exp( jk r ) j k r E jk E 0
机械波波动光学重要公式及结论
机械波波动光学重要公
式及结论
TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
机械波1、波速、波长及周期的关系
μ=λ/T
μ=λν
注：波的周期T（或频率ν）是波源的周期（或频率），与传播波的媒质无关。
波速μ取决于传播媒质的性质
2、振动方程和波动方程
（1）振动方程（正向传播）
y=Acosω(t-x/μ) (基本形式)
y=Acos2π(νt- x/λ)
y=Acos2π(t/T- x/λ)
注：A-振幅，恒为正；ω-角频率，ω=2π/T=2πν
（2）波动方程
y=Acos[ω(t-x/μ)+Ф] (正向传播)
y=Acos[ω(t+x/μ)+Ф] (反向传播)
3、平面简谐波的能量
最大位移处：动能、势能及总能量均为零
平衡位置：动能、势能及总能量均达到最大
4、波的干涉
1、合振动振幅：A=
2、分振动相位差：
3、波程差：
4、驻波
概念：
特征：
波动光学
1、光的干涉
1）杨氏双缝干涉
相邻明纹或相邻暗纹中心的间距（条纹间距）
2）明、暗干涉条纹条件
3）光程、光程差、相位差
4）薄膜干涉（劈尖干涉）
5）牛顿环
2、光的衍射
1）明暗条纹
2）条纹间距
3）特征
3、光的偏振
1）马吕斯定律。
hawker 方程
Hawker方程引言Hawker方程是描述经典波动现象的一种方程，由Stephen Hawking于1972年提出。
它是波动光学中的重要模型，被广泛应用于光学领域的研究和实践。
本文将详细介绍Hawker方程的基本原理，推导过程以及实际应用。
基本原理Hawker方程描述了波动光学中的电场在介质中传播的行为。
它基于波动方程（Wave Equation），考虑了介质中的各种物理参数对波动的影响。
推导过程Hawker方程的推导可以分为以下几个步骤：1. 从波动方程出发首先，我们回顾一下波动方程。
在一维情况下，波动方程可以表示为：∂2u ∂t2=v2∂2u∂x2其中，u代表波函数，t代表时间，x代表空间坐标，v代表波速。
2. 引入折射率在光学中考虑折射现象是必要的。
我们引入一个新的参数n，称为折射率。
折射率n可以表示为：n=c⋅v其中，c代表光速。
3. 用折射率替换波速将折射率代入波速的定义中，我们可以得到新的波速表达式：v=n c4. 将新的波速代入波动方程将新的波速表达式代入波动方程中，可以得到Hawker方程的形式：∂2u ∂t2=n2c2∂2u∂x2Hawker方程描述了电场在折射率为n的介质中传播的行为。
物理意义Hawker方程的物理意义非常重要。
它描述了光波在介质中传播的速度和行为规律。
通过求解Hawker方程，我们可以了解光的传播路径、衍射效应以及折射规律。
实际应用Hawker方程在光学领域有着广泛的应用。
以下是一些常见的实际应用：1. 光学器件设计通过求解Hawker方程，可以优化光学器件的设计。
例如，我们可以利用Hawker方程分析衍射光栅的性能，以实现高效率的光谱分析。
2. 光纤通信光纤通信是现代通信技术中的重要组成部分。
Hawker方程可以用于分析光在光纤中的传输行为，优化光纤的设计和性能。
3. 光学显微镜Hawker方程在光学显微镜的成像原理研究中也有重要应用。
通过对Hawker方程的求解，可以研究成像系统的分辨率和成像质量。
光学物理公式
光学物理公式
大学物理光学公式波动光学杨氏双缝干涉x=kDλ/d，薄膜干涉2ne + λ/2 =kλ(亮纹)单缝衍射a sinΨ=kλ(暗纹)asinΨ=(2k+1)λ／2 亮纹光栅方程(a+b)sinΨ=kλ。
1，透镜的等光程性，使用透镜不会产生附加光程差，半波损失，入射光从光疏（n1小）掠射（入射角约90°) 或正射(入射角约0°) 到光密媒质（n2 大)的界面时，产生半波损失。
光密→光疏无半波损失。
折射无半波损失。
2，条纹特点单色光照射：一系列平行的明暗相间的条纹；θ不太大时条纹等间距，中间级次低；Δx ∝λ。
白光照射：零级明纹为白色，其它亮纹构成彩带，由紫到红，第二级开始重合。
3，牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，除非它受到作用力而被迫改变这种状态。
牛顿第二定律：物体受到外力作用时，所获得的加速度a的大小与外力F的大小成正比，与物体的质量m成反比；加速度的方向与外力的方向相同。
1.37 F=ma牛顿第三定律：若物体A以力F作用与物体B，则同时物体B必以力F2作用与物体A;这两个力的大小相等、方向相反，而且沿同一直线。
光学傍轴波动方程
光学傍轴波动方程光学是研究光的传播和相互作用的学科，而光学傍轴波动方程是光学领域中的重要内容之一。
它描述了光波在近似傍轴条件下的传播规律，对于理解光的传播和光学器件的设计和分析具有重要意义。
在光学中，傍轴条件是指光线传播的方向与光轴的夹角很小，可以看作是光线近似平行于光轴传播。
在这种条件下，光波可以用傍轴波动方程进行描述。
傍轴波动方程是由亥姆霍兹方程推导而来，它是一个二阶偏微分方程。
光学傍轴波动方程的一般形式为：△^2E(x,y,z)+k^2n^2(x,y,z)E(x,y,z)=0其中，E(x,y,z)表示光波的电场强度分布，△^2表示拉普拉斯算符，k为波数，n(x,y,z)为光介质的折射率分布。
光学傍轴波动方程的求解可以得到光波的传播规律和光场的分布情况。
根据具体的问题和光学系统的特点，可以采用不同的数值方法和近似方法来求解傍轴波动方程。
在光学系统的分析和设计中，傍轴波动方程的应用非常广泛。
例如，在透镜系统中，可以利用傍轴波动方程来计算透镜的成像性能和像差情况，从而优化透镜的设计和加工工艺。
在光学器件的仿真和优化中，也可以利用傍轴波动方程来模拟光场的传播和干涉效应，从而提高器件的性能和稳定性。
除了光学系统的分析和设计，傍轴波动方程还在光学测量和成像中发挥着重要作用。
例如，在光学显微镜中，可以利用傍轴波动方程来描述光的传播和物体的成像，从而实现高分辨率和高对比度的显微观察。
在光学干涉和衍射实验中，也可以利用傍轴波动方程来分析干涉和衍射的原理和规律，从而解释实验现象和验证理论预测。
光学傍轴波动方程是光学领域中的重要内容，它描述了光波在近似傍轴条件下的传播规律。
通过求解傍轴波动方程，可以得到光波的传播规律和光场的分布情况，对于光学系统的分析和设计、光学测量和成像具有重要意义。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的数值方法和近似方法来求解傍轴波动方程，以获得准确且可靠的结果。
《波导光学》1-2
n2
t • Et
z
将(1)代入 消去折射分量
n2 (Ei Er ) cost
Ht 折射光
TE波
(n1 cosi n2 cost )Ei (n1 cosi n2 cost )Er
12
菲涅耳(Fresnel)公式
得到TE波的反射系数
10
TM波: 横磁波
光波的偏振态
10、横磁波(TM波, P波)：E矢量 入射面，H矢量 入射面
20、横电波(TE波, S波) ： E矢量 入射面，H矢量 入射面
x
入射光 Ei
Er 反射光
Hi • i r • Hr
n1 n2
TM波
t • Ht
Et z 折射光
x
入射光
Ei
Er
Hi • i r •
3
沿空间任意方向传播的平面波
在均匀介质中光沿直线传播。
（在非均匀介质中，光线向折射率大的方向弯曲）
x
p(x,y,z)
k
r a
γ
z
β
y
4
单色平面波的复数表达式
E(r ,t) E0 exp{i[k • r t) 0 ]}
时空分离
E
(r,
t
)
E
0
exp
i
k•
r
exp
it
E
r
exp
it
其中
n2
反射光线位于入射光线和法线 n1 所决定的平面内，反射光线和 入射光线处于法线的两侧，且
t i r
i r , n1 sini n2 sint
菲涅耳(Fresnel)公式
第二章 光纤光学的基本方程
dr ∇S (r ) = ds ∇S (r )
z
dr/ds dr 路径S 路径
∇S (r ) dr = ds n.3) x
dr 因此 n(r) = ∇S(r) ds
相位梯度等于路径切线方向上的单位光程
上式对路径 S 求导 等式右边： 等式右边：
d ds
dr d n(r) ds = ds [∇S(r)]
代入光线方程展开式： 代入光线方程展开式： 用 n 乘 K 有:
dn (r ) dr dn dr dn − = ∇n (r ) − nK = e r dr ds ds ds ds
eR
上式表明折射率梯度矢量位于光线的切面内
n’
n n’ >n
dr/ds
重写曲率矢量和光线方程展开式： 重写曲率矢量和光线方程展开式：
例1：光线在均匀媒质中的传播（如阶跃型光纤的纤心中） 光线在均匀媒质中的传播（如阶跃型光纤的纤心中）
d 射线方程： 射线方程： ds
dr n(r) ds = ∇n(r)
2
a b r
因 n = 常数 改写成： 改写成：
d r n = 0 2 ds
s
其解为矢量直线方程： 其解为矢量直线方程：
2.2 程函方程与射线方程
光线理论： 光线理论：当光线在传播过程中可以不考虑波长的有限大 即衍射现象），则能量可以看作沿一定曲线传播， ），则能量可以看作沿一定曲线传播 小（即衍射现象），则能量可以看作沿一定曲线传播，电 磁波的传播可以近似为平面波。 磁波的传播可以近似为平面波。 方法：确定光线路径，计算相关联的强度和偏振： 方法：确定光线路径，计算相关联的强度和偏振： 程函方程 射线方程 目的： 目的：得到任意光波导中的光线轨迹
波导场方程
波导场方程波导场方程：是波动光学方法的最基本方程。
它是一个典型的本征方程,其本征值为c或β。
当给定波导的边界条件时,求解波导场方程可得本征解及相应的本征值。
通常将本征解定义为“模式”射线方程物理意义：•将光线轨迹(由r描述)和空间折射率分布(n)联系起来;•由光线方程可以直接求出光线轨迹表达式;•dr/dS是光线切向斜率, 对于均匀波导，n为常数,光线以直线形式传播;对于渐变波导,n是r的函数,则dr/ds为一变量, 这表明光线将发生弯曲。
而且可以证明,光线总是向折射率高的区域弯曲。
模式的基本特征----每一个模式对应于沿光波导轴向传播的一种电磁波;----每一个模式对应于某一本征值并满足全部边界条件;----模式具有确定的相速群速和横场分布.----模式是波导结构的固有电磁共振属性的表征。
给定的波导中能够存在的模式及其性质是已确定了的,外界激励源只能激励起光波导中允许存在的模式而不会改变模式的固有性质。
模式命名•根据场的纵向分量E z和H z的存在与否,可将模式命名为:(1)横电磁模(TEM): E z＝H z＝0;(2)横电模(TE): E z＝0, H z≠0;(3)横磁模(TM): E z≠0,H z＝0;(4)混杂模(HE或EH):E z≠0, H z≠0。
•光纤中存在的模式多数为HE(EH)模,有时也出现TE(TM)模。
典型光线传播轨迹重要参数•归一化工作频率：••归一化横向传播常数：••归一化横向衰减常数：•数值孔径: 定义光纤数值孔径NA为入射媒质折射率与最大入射角的正弦值之积,即•相对折射率差:•光线分类判据判据:当g(r)≥0时,光线存在;当g(r)＜0时,为光线禁区；当g(r) = 0时,为内外散焦面。
约束光线条件: n2＜n(r0) cosθz(r0)＜n1光线存在区域: r g1 < r < r g2内散焦面半径：r g1外散焦面半径：r g2隧道光线条件:0< n(r0) cosθz(r0)<√n22－(r02/a2)n2(r0)sin2θz(r0)cos2θφ(r0)内散焦面半径: r = r r1导模•存在条件：n2k0＜β＜n1k0•场分布特点: 在r g1<r<r g2的区域内为传播场; 在其它区域内为消逝场。
波动光学分析方法
2.3 波动光学分析方法波动方程解的讨论□纤芯中（）应该是振荡场，场的能量可以沿z 轴方向传输；包层（）中应该是衰减场，理想情况下应该没有场存在，即场能量只存在于纤芯中。
□由于波动方程中的各系数都是待定的，因此波动方程的求解可能得到许多组解，也即对应着可能会在光纤中存在多种形式的传输场。
0r a r a模式存在条件对每一个传播模来说，应该仅能存在纤芯中，而在包层中衰减无穷大，即不能在包层中存在，场的全部能量都沿光纤轴线方向传输。
如果某一个模式在包层中没有衰减，称该模式被截止（cut-off）。
不同的模式具有不同的模截止条件，满足该条件时能以传播模形式在纤芯中传输，否则该模式被截止；HE11模不存在模截止条件，即截止频率为0。
也就是说，当其它模为基模。
所有模式均截止时该模式仍能传输，称HE11从基模及其他模式（称为高阶模）的截止条件和波长等，即可推导出对应的边界条件（包括纤芯和包层的几何尺寸、折射率等参数）。
截止波长和工作波长的关系判断一根光纤是不是单模传输，只要比较一下它的工作波长λ与截止波长λc 的大小就可以了。
如果λ>λc ，则为单模光纤，该光纤只能传输基模；如果λ<λc ，就不是单模光纤，光纤中除了基模外，还能传输其它高阶模。
模场直径单模光纤中的基模（HE11模）场强在光纤的横截面内有一特定的分布，该分布与光纤的结构有关。
光功率被约束在光纤横截面的一定范围内。
也就是说，单模光纤传输的光能不是完全集中在纤芯内，而是有相当部分在包层中传播。
故此，一般不用纤芯直径来作为衡量单模光纤中功率分布的参数，而用模场直径作为描述单模光纤传输光能集中程度的参数。
1-3 波动光学方法及波动方程
)
(
)
(
) (
)
(1-3-18b) 它的复杂性不仅在于方程的非齐次 性，还在于 E z 和 H z 之间存在耦合 ，必须联立求解。这意味着 ．．． ．． 既使对于很简单的折射率分布规律，要想得到解析解也是极其困难的。因此，一般都避免利用矢量 波动方程求解（虽然它是“精确”的）。 幸运的是：当式（1-3-18）中的 ∇ t ln n 项可以忽略的弱导近似 (这正是通信用光波导通常满 ．．．．
r r E(ξ, η, z, t ) = e(ξ, η, z )e jωt = E(ξ, η)e jωt e − jβz r r H(ξ, η, z, t ) = h(ξ, η, z )e jωt = H (ξ, η)e jωt e − jβz
(1-3-1a)
ˆ H (ξ, η) = H t + H z z
(1-3-9b)
由于在一般柱形坐标系中，笛卡尔坐标分量 E z 和 H z 满足标量波动方程,特别易于求解；再利用式 （1-3-4）或式（1-3-6）和式（1-3-8），即可得到场的横向分量。 纵横关系还有另一方面：考虑到无损光波导中 n 为实数，由式（1-3-4）和式（1-3-5）可知： 如果我们选择 E z 、 H z 为实数，则 E t 、 H t 必为虚数；反之亦然。这在物理上意味着场的纵向分 量与横向分量的最大的值在时间上差 ，在空间上差 。对于一个沿±z 传播的波来 ．．．． 1/4 ． ． ．周期 ．． ．．．． 1/4 ． ． ．波长 ．． 说，是再自然也不过了。 二、空间逆转关系 对于沿-Z 方向传播的波，β将变为-β。为了使 E t × H t 变换方向, E t 或 H t 中的一个必须变 号。由式（1-3-4）或式（1-3-5）可知， 这包含着两种可能性：
信息光学中的光导微分方程及其解法
信息光学中的光导微分方程及其解法信息光学是光学领域的一个重要分支，它研究如何利用光来传递和处理信息。
在信息光学中，光导微分方程是一个基础性的数学工具，用于描述光在光学器件中的传播行为。
本文将介绍光导微分方程的背景、基本形式以及解法。
光导微分方程的背景在信息光学中，光导是指将光信号导引至目标位置的过程。
在光导的过程中，光的传播行为可以通过光导微分方程来描述。
光导微分方程是一类描述光在光学器件中传播的方程，它可以用来解释光波在光纤、波导等光学结构中的传播现象。
光导微分方程的基本形式光导微分方程的基本形式可以用亥姆霍兹方程来表示，即：∇^2E + k^2n^2(r)E = 0其中，E为电场强度，k为波数，n(r)为空间位置r处的折射率。
这个方程描述了光在介质中的传播行为。
在实际应用中，根据具体问题，可以对光导微分方程进行相应的修正和简化。
光导微分方程的解法光导微分方程的解法依赖于具体的问题和边界条件。
下面将介绍两种常见的解法方法。
1. 分离变量法分离变量法是一种常用的光导微分方程求解方法。
它的基本思路是假设光场可分解为空间和时间两个变量的乘积形式，并将光导微分方程转化为两个单独的常微分方程。
通过对这些方程进行求解和组合，可以得到光导微分方程的解。
2. 数值模拟方法数值模拟方法是另一种常用的光导微分方程求解方法。
它利用计算机对光导微分方程进行离散化处理，并通过数值计算得到方程的近似解。
常见的数值模拟方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
这些方法可以处理复杂的光导微分方程，并得到较为准确的解。
结语信息光学中的光导微分方程在光学器件设计和光信号传输中起着重要作用。
本文简要介绍了光导微分方程的背景、基本形式以及解法方法。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的要求选择合适的解法，以求得准确且可靠的结果。
通过深入研究光导微分方程及其解法，有助于我们更好地理解和应用信息光学的相关知识。
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光学中的光学导波方程
随着信息时代的到来，光通信作为一种高速、宽带、低耗能的通讯方式越来越广泛地应用于现代通讯领域，而光学导波方程便是光学通信中最为关键的数学工具之一。
本文将从光学导波方程的定义、物理背景、应用等方面进行介绍。
一、光学导波方程的定义
光学导波方程简单来说就是描述光在光导体中传播规律的方程式。
光学导波方程是非线性偏微分方程，可以用来处理波导结构中基本的模式传输问题。
光学导波方程所描述的是，在介电常数分布不均匀的导波体结构中，光波如何在导波体中传播的一组微分方程。
光学导波方程的一般形式如下：
其中，E表示电场，H表示磁场，k表示波矢，ɛ和µ分别表示介电常数和磁导率。
由于光的特殊性质，光波倾向于随着光导体中的曲率（折射率）分布而扭曲，因此相应的光学导波方程也是
一个非常复杂的微分方程。
此外，光学导波方程通常还包括边界
条件、初始条件以及其它诸如耦合模式等条件。
二、光学导波方程的物理背景
光学导波是基于某种导体结构中的光场传输，它依赖于光在导
体结构中的强烈限制性折射特性以及在导体表面产生的反射和衍
射效应。
导波结构是由高导率被包围在内部的低导率材料形成的，通常包括介质材料和金属材料，它所呈现的光学性能基于材料的
原子和分子结构效应的相互作用。
一个简单的平板光波导形状可以看作是具有较高折射率的材料
分别包裹在两侧规则地形成平面的一种结构。
其中央的高折射率
区域可以作为光导体。
经典的平板光波导器件是由这种结构构建
而成的，这种器件的特点是形状简单、加工精度高，因而被广泛
地用于微型光学器件中。
三、光学导波方程的应用
光学导波方程的应用非常广泛，尤其是在光学通信和微纳光学器件中。
1.光学通信
光传输在通讯系统中具有重要作用，因为光的频率非常高，可以迅速传输大量的数据。
光学导波方程作为最重要的数学工具之一，可以用来处理光在光波导中传输时的问题，如损耗、耦合、撞击、散射等等。
光学导波方程不仅可以描述平板波导管（waveguide）、光纤等系统中的光传输性质，还可以用于分析光源、调制和检测器等多元系统。
2.微纳光学器件
微纳光学器件是一种基于微纳米加工的技术，它是利用光的特性使光与微米、纳米尺度的器件进行交互的一种技术。
其中最基础的器件是与特定的介质、模式和工艺有关的光波导器件，例如耦合器件（couplers），束缚器和光子晶体。
其中利用光学导波方程的光波导技术也被广泛地应用于微纳光学器件中。
四、总结
光学导波方程是研究光在导体中传播性质的数学工具之一。
它对于光学通信传输及微纳光学器件的设计、制造和分析等领域都有非常重要的作用。
随着技术的不断发展，光学导波方程将在更高的层面上得到应用与发展。