北师大版高中数学必修一数学必修第一册：2.4.2《简单幂函数的图象和性质》教案

简单幂函数的图象和性质
【教材分析】
传统教材中，幂函数内容是放在指数函数、对数函数之后学习，而新教材将其提前，在学习了函数基本概念和性质后，学习的第一个具体函数，这一安排有其合理性，一方面，幂函数是初中学习的正比例、反比例、一元二次函数的推广，有一定的知识基础，另一方面，将前面刚刚学习的函数知识，应用到具体函数中，使学生深刻体会探究函数性质的方法与步骤，为学习指数函数、对数函数做好准备。

【教学目标与核心素养】
1．知识目标：掌握幂函数的概念和定义；学会使用函数的知识自主分析、研究幂函数的图象和性质；对于指数的不同情况，学会从函数的定义域、奇偶性、单调性等方面入手分析幂函数的性质，掌握探究函数性质的一般方法和步骤。

2．核心素养目标：通过自主探究幂函数的图象和性质，培养学生知识的应用能力，提高学生的数学运算和逻辑推理的核心素养。

【教学重难点】
1．幂函数的概念和定义；
2．使用函数的知识自主分析、研究幂函数的图象和性质；
3．对于指数的不同情况，学会从函数的定义域、奇偶性、单调性等方面入手，分析幂函数的性质，掌握探究函数性质的一般方法和步骤。

【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
一、知识引入
初中学习了函数y=x、反比例函数y=1
x
、二次函数y=x2等，对它们的图象和性质
已经很熟悉了。

后面将学习“1
x ”可以记作“x−1”、“√x”可以记作“x
1
2”，形如“y=
x∝”的函数，在实际生活中经常会遇到。

思考讨论：
（1）写出边长为x 的正方体体积y 的函数；
提示：y =x 3．
（2）写出面积为x 的正方形的边长y 的函数． 提示：y =√x 即y =x 12
． 二、新知识
一般地，形如y =x ∝（∝为常数）的函数，称为幂函数． 如：函数y =x 3
、y =x 12、y =x −1等等 注意：
①幂函数的指数∝是常数，底数是自变量，且指数式前面的系数是1；
②幂函数的图象和性质，根据不同的指数∝，视其情况具体分析，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、经过的特殊点等方面入手，分析画出其图象．
思考讨论
（1）将函数y =x 、y =1
x 、y =x 2、y =√x 、y =x 3的图象画在同一个坐标系中，并
（2）下列各图，只画出了函数在y轴一侧的图象，请画出y轴另一侧的图象，并说出画法的依据．
提示：前三个函数为奇函数，所以图象关于原点中心对称，后两个函数为偶函数，图象关于轴对称．
思考讨论（综合练习）
（1）若幂函数y=(m2−2m−2)x−m+2在（0,+∞）上为减函数，求实数m的值；
（2）已知函数y=x a、y=x b、y=x c在第一象限的函数图象如图，试比较a,b,c的大小；
（3）试利用函数的性质，比较a,b,c的大小：
a=1．112,b=1．52,c=1．2−1．
（4）已知幂函数y=x3m−9（m∈N∗）的图象关于y轴对称，且在（0,+∞）上为减函
数，解关于a的不等式（a+1）−m
<（3a−2）−m．
提示：（1）函数为幂函数，则m2−2m−2=1，得m=−1或m=3，
函数为y=x3或y=x−1，又函数在（0,+∞）上为减函数，所以m=3．
（2）由y=x c的图象，函数单减，则c<0，再取特殊值x=2，则2a>2b>1，则a>b>0
所以a>b>c．
（3）由幂函数y=x−1，即y=1
x
的性质，1．2−1<1，即c<1
再由幂函数y=x2、y=x 1
2的图象，可得1．52>1．12>1．1
1
2>1，即b>a>1
所以b>a>c．
（4）函数y=x3m−9（m∈N∗）在（0,+∞）上为减函数，
则3m−9<0，即m<3，m∈N∗，故m=1或m=2．
又图象关于y轴对称，函数为偶函数，则3m−9为偶数，所以m=1
不等式即为（a+1）−1
<（3a−2）−1，再由幂函数y=x−1的图象
得3a−2<a+1<0或a+1>3a−2>0或{a+1<0
3a−2>0
所以不等式的解集为{a|a<−1或2
3<a<3
2
}．
注意：
①幂函数y=x∝的图象和性质，因不同的指数∝，差异是比较大的，一般通过分析函数的定义域、奇偶性、单调性和经过的特殊点等等得出图象和性质；
②在区间（0,+∞）上，幂函数的图象均过定点（1,1），当∝>0时，幂函数单调递增，当∝<0时，单调递减，当∝=0时，幂函数为y=x0（x≠0）,即y=1（x≠0）；
③特殊值法在幂函数问题中常常用到，这样可以省去很多不必要的分析过程．
三、课堂练习
教材P66，练习3．
四、课后作业
教材P67，习题2-4：B组第1题．
【教学反思】
分析函数的图象和性质，一般步骤是：首先考虑函数的定义域，然后考察函数的奇偶性，如果可能，再画出函数的图象，这样函数的其他性质，比如单调性、值域、最值等等，就很容易得到了。

幂函数指数的情况较多，其图象和性质差异也较大，但只需按照上述步骤去分析，就可以得出函数的性质。