求解非厄米特正定线性系统的预处理Richardson迭代算法

非线性方程组的迭代解法【开题报告】

毕业论文开题报告信息与计算科学非线性方程组的迭代解法一、选题的背景和意义=的系数矩阵具有两非线性问题是近代数学研究的主流之一，随着计算问题的日益复杂化Ax b个明显的特点：大型化和稀疏化。

大型化指系数矩阵阶数可达上万甚至更高，稀疏性指A的零元素占绝大多数对这样的A作直接三角分解，稀疏性会遭到破坏，零元素被大量填入变为非零元素，因此迫切需要新的数值方法，适用于大型稀疏线性方程，以节省储存空间和计算时间，即提高计算效=是数值计算的重要任务，但是率，迭代法在这样的背景下得到关注和发展，求解线性方程组Ax b大多数科学和实际问题本质上是非线性的，能做线性化的毕竟有限，对这些非线性问题是各种解决方案，常常归纳为求解一个非线性方程组，而与线性方程相比非线性方程组的求解要困难和复杂的多，计算量也大的多，现有的理论研究还比较薄弱。

而对于非线性方程，一般都用迭代法求解。

二、国内外研究现状、发展动态近年来，国内外专家学者非线性方程组的迭代解法的研究兴趣与日俱增，他们多方面、多途径地对非线性方程组进行了广泛的领域性拓展（科学、物理、生产、农业等），取得了一系列研究成果。

这些研究，既丰富了非线性方程组的内容，又进一步完善了非线性方程组的研究体系，同时也给出了一些新的研究方法，促进了数值计算教学研究工作的开展，推动了课程教学改革的深入进行。

三、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点）非线性的迭代法是解非线性方程组的基本途径，是数值计算中非线性方程组求根的重要工具，也是研究非线性方程组整体性质和具体分布的重要工具。

就因为这样，很多专家学者对非线性方程组的迭代法进行研究。

在前人研究的基础上，本文首先介绍非线性方程组迭代法的产生背景以及国内外状况，然后从数值计算的定义及理论定理出发来研究非线性方程组的迭代法的一些相关的结论，包括非线性方程组的基于不动点原理的迭代法、newton迭代法及其收敛性、非线性方程组的迭代法及其收敛性、最小二乘法、迭代法的收敛加速性等，进一步讨论非线性方程组迭代解法的收敛性质以及其他一些相关定理，以便我们更好、更清楚的看到非线性方程组和迭代法之间的联系，以及收敛和加速。

非线性方程求解

⾮线性⽅程求解基于MATLAB的⾮线性⽅程的五种解法探讨摘要：本⽂利⽤matlab软件对⾮线性⽅程解法中的⼆分法、简单迭代法、⽜顿法、割线法以及Steffensen法的数值分析⽅法的算法原理及实现⽅法进⾏了探讨。

对f x x x=+-()2ln2的零点问题，分别运⽤以上五种不同的⽅法进⾏数值实验，⽐较⼏种解法的优缺点并进⾏初步分析评价。

关键词：⼆分法、简单迭代法、⽜顿法、割线法、Steffensen法1、引⾔在很多实际问题中，经常需要求⾮线性⽅程f(x) =0的根。

⽅程f(x) =0的根叫做函数f(x)的零点。

由连续函数的特性知：若f(x)在闭区间[a,b ]上连续,且()()0f a f b<.则f(x) =0在开区间(a,b)内⾄少有⼀个实根。

这时称[a,b]为⽅程f(x) =0的根的存在区间。

本⽂主要对⾮线性⽅程的数值解法进⾏分析，并介绍了⾮线性⽅程数值解法的五种⽅法。

并设=+-.f x x x()2ln2f x在[1,2]上的图形，如图1：. 显然，函数在[1,2]之间有⼀个零点。

⾸先画出()2、计算机配置操作系统Windows 7 旗舰版内存2GB处理器AMD 4核 A6-3400M APU 1.4GHz图.13、⼆分法⼆分法的基本思想是将⽅程根的区间平分为两个⼩区间,把有根的⼩区间再平分为两个更⼩的区间,进⼀步考察根在哪个更⼩的区间内。

如此继续下去,直到求出满⾜精度要求的近似值。

设函数()f x 在区间[a,b ]上连续,且f(a)·f(b) <0，则[a,b ]是⽅程f(x) =0的根的存在区间，设其内有⼀实根，记为x*。

取区间[a,b ]的中点()2k a b x +=并计算1()f x ,则必有下列三种情况之⼀成⽴： (1) 1()f x =0，x1就是⽅程的根x*;(2)()f a .1()f x <0,⽅程的根x*位于区间[a, 1x ]之中,此时令111,a a b x ==; (3)1()f x .()f b <0,⽅程的根x*位于区间[1x ,b ]之中,此时令11a x =,1b b =。

数值分析求解非线性方程根的二分法简单迭代法和牛顿迭代法

实验报告一：实验题目一、实验目的掌握求解非线性方程根的二分法、简单迭代法和牛顿迭代法，并通过数值实验比较两种方法的收敛速度。

二、实验内容1、编写二分法、并使用这两个程序计算02)(=-+=x e x x f 在[0, 1]区间的解，要求误差小于 410- ，比较两种方法收敛速度。

2、在利率问题中，若贷款额为20万元，月还款额为2160元，还期为10年，则年利率为多少？请使用牛顿迭代法求解。

3、由中子迁移理论，燃料棒的临界长度为下面方程的根，用牛顿迭代法求这个方程的最小正根。

4、用牛顿法求方程的根，精确至8位有效数字。

比较牛顿迭代法算单根和重根的收敛速度，并用改进的牛顿迭代法计算重根。

第1题：02)(=-+=x e x x f 区间[0,1] 函数画图可得函数零点约为0.5。

画图函数：function Test1()% f(x) 示意图, f(x) = x + exp(x) - 2; f(x) = 0r = 0:0.01:1;y = r + exp(r) - 2plot(r, y);grid on 二分法程序：计算调用函数：[c,num]=bisect(0,1,1e-4)function [c,num]=bisect(a,b,delta)%Input –a,b 是取值区间范围% -delta 是允许误差%Output -c 牛顿迭代法最后计算所得零点值% -num 是迭代次数ya = a + exp(a) - 2;yb = b + exp(b) - 2;if ya * yb>0return;endfor k=1:100c=(a+b)/2;yc= c + exp(c) - 2;if abs(yc)<=deltaa=c;b=c;elseif yb*yc>0b=c;yb=yc;elsea=c;ya=yc;endif abs(b-a)<deltanum=k; %num为迭代次数break;endendc=(a+b)/2;err=abs(b-a);yc = c + exp(c) - 2;牛顿迭代法程序：计算调用函数：[c,num]=newton(@func1,0.5,1e-4) 调用函数：function [y] = func1(x)y = x + exp(x) - 2;end迭代算法：function[c,num]=newton(func,p0,delta)%Input -func是运算公式% -p0是零点值% -delta是允许误差%Output -c牛顿迭代法最后计算所得零点值% -num是迭代次数num=-1;for k=1:1000y0=func(p0);dy0=diff(func([p0 p0+1e-8]))/1e-8;p1=p0-y0/dy0;err=abs(p1-p0);p0=p1;if(err<delta)num=k;%num为迭代次数break;endendc=p0;第2题：由题意得到算式：计算调用函数：[c,num]=newton(@func2,0.02,1e-8)程序：先用画图法估计出大概零点位置在0.02附近。

解非线性方程的牛顿迭代法及其应用

解非线性方程的牛顿迭代法及其应用一、本文概述非线性方程是数学领域中的一个重要研究对象，其在实际应用中广泛存在，如物理学、工程学、经济学等领域。

求解非线性方程是一个具有挑战性的问题，因为这类方程往往没有简单的解析解，需要通过数值方法进行求解。

牛顿迭代法作为一种古老而有效的数值求解方法，对于求解非线性方程具有重要的应用价值。

本文旨在介绍牛顿迭代法的基本原理、实现步骤以及在实际问题中的应用。

我们将详细阐述牛顿迭代法的基本思想，包括其历史背景、数学原理以及收敛性分析。

我们将通过具体实例，展示牛顿迭代法的计算步骤和实际操作过程，以便读者能够更好地理解和掌握该方法。

我们将探讨牛顿迭代法在各个领域中的实际应用，包括其在物理学、工程学、经济学等领域中的典型应用案例，以及在实际应用中可能遇到的问题和解决方法。

通过本文的介绍，读者可以深入了解牛顿迭代法的基本原理和应用技巧，掌握其在求解非线性方程中的实际应用方法，为进一步的研究和应用提供有力支持。

二、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法，又称为牛顿-拉夫森方法，是一种在实数或复数域上近似求解方程的方法。

其基本原理是利用泰勒级数的前几项来寻找方程的根。

如果函数f(x)在x0点的导数f'(x0)不为零，那么函数f(x)在x0点附近可以用一阶泰勒级数来近似表示，即：这就是牛顿迭代法的基本迭代公式。

给定一个初始值x0，我们可以通过不断迭代这个公式来逼近f(x)的根。

每次迭代，我们都用当前的近似值x0来更新x0，即：这个过程一直持续到满足某个停止条件，例如迭代次数达到预设的上限，或者连续两次迭代的结果之间的差小于某个预设的阈值。

牛顿迭代法的收敛速度通常比线性搜索方法快，因为它利用了函数的导数信息。

然而，这种方法也有其局限性。

它要求函数在其迭代点处可导，且导数不为零。

牛顿迭代法可能不收敛，如果初始点选择不当，或者函数有多个根，或者根是重根。

因此，在使用牛顿迭代法时，需要谨慎选择初始点，并对迭代过程进行适当的监控和调整。

非线性方程的解法

20世纪60年代中期以后，发展了两种求解非线性方程组(1)的新方法。

一种称为区间迭代法或称区间牛顿法，它用区间变量代替点变量进行区间迭代，每迭代一步都可判断在所给区间解的存在惟一性或者是无解。

这是区间迭代法的主要优点，其缺点是计算量大。

另一种方法称为不动点算法或称单纯形法，它对求解域进行单纯形剖分，对剖分的顶点给一种恰当标号，并用一种有规则的搜索方法找到全标号单纯形,从而得到方程(1)的近似解。

这种方法优点是，不要求f(□)的导数存在,也不用求逆，且具有大范围收敛性，缺点是计算量大编辑摘要目录• 1 正文• 2 牛顿法及其变形• 3 割线法• 4 布朗方法• 5 拟牛顿法•非线性方程组数值解法 - 正文n个变量n个方程(n >1)的方程组表示为(1)式中ƒi(x1,x2,…,x n)是定义在n维欧氏空间R n的开域D上的实函数。

若ƒi中至少有一个非线性函数，则称(1)为非线性方程组。

在R n中记ƒ＝则(1)简写为ƒ(尣)=0。

若存在尣*∈D，使ƒ(尣*)＝0，则称尣*为非线性方程组的解。

方程组(1)可能有一个解或多个解，也可能有无穷多解或无解。

对非线性方程组解的存在性的研究远不如线性方程组那样成熟，现有的解法也不象线性方程组那样有效。

除极特殊的方程外，一般不能用直接方法求得精确解，目前主要采用迭代法求近似解。

根据不同思想构造收敛于解尣*的迭代序列{尣k}(k=0，1，…)，即可得到求解非线性方程组的各种迭代法，其中最著名的是牛顿法。

非线性方程组数值解法 - 牛顿法及其变形牛顿法基本思想是将非线性问题逐步线性化而形成如下迭代程序：(2)式中是ƒ(尣k)的雅可比矩阵,尣0是方程(1)的解尣*的初始近似。

这个程序至少具有2阶收敛速度。

由尣k算到尣k+的步骤为:①由尣k算出ƒ(尣k)及;②用直接法求线性方程组的解Δ尣k；③求。

由此看到迭代一次需计算n个分量函数值和n2个分量偏导数值，并求解一次n阶线性方程组。

斯蒂芬森迭代法公式

斯蒂芬森迭代法公式以斯蒂芬森迭代法公式为标题，探讨一种用于求解非线性方程的迭代方法。

在数学和科学领域中，求解非线性方程是一个重要的问题。

非线性方程是指方程中包含未知数的非线性项的方程，不同于线性方程可以通过代数方法直接求解。

而斯蒂芬森迭代法是一种常用的数值求解非线性方程的方法。

斯蒂芬森迭代法的基本思想是通过不断迭代逼近方程的根。

假设我们要解的非线性方程为f(x)=0。

首先，我们需要选择一个初始值x0作为迭代的起点。

然后，根据斯蒂芬森迭代公式进行迭代计算，直到满足预设的精度要求。

斯蒂芬森迭代公式可以表示为：x_(n+1) = x_n - f(x_n) / f'(x_n)其中，x_n表示第n次迭代的近似解，f(x_n)表示方程在x_n处的函数值，f'(x_n)表示方程在x_n处的导数值。

斯蒂芬森迭代法的优点是收敛速度较快，且具有良好的数值稳定性。

它适用于一般的非线性方程求解问题，并且可以通过调整初始值和迭代次数来控制精度和计算时间。

下面以一个具体的例子来说明斯蒂芬森迭代法的应用。

假设我们要求解方程x^3 - 2x - 5 = 0在区间[1, 2]内的根。

首先，我们选择初始值x0=1.5。

然后，根据斯蒂芬森迭代公式进行迭代计算。

第一次迭代：x_1 = x_0 - (x_0^3 - 2x_0 - 5) / (3x_0^2 - 2)= 1.5 - (1.5^3 - 2*1.5 - 5) / (3*1.5^2 - 2)≈ 1.3571第二次迭代：x_2 = x_1 - (x_1^3 - 2x_1 - 5) / (3x_1^2 - 2)= 1.3571 - (1.3571^3 - 2*1.3571 - 5) / (3*1.3571^2 - 2)≈ 1.3652继续进行迭代计算，直到满足预设的精度要求。

最终，可以得到方程在区间[1, 2]内的根约为1.3652。

斯蒂芬森迭代法的应用不仅局限于求解非线性方程，还可以用于求解其他数值问题，如求解方程组、求解积分等。

7、解非线性方程的迭代法

(1.1)
2. 超越方程, 如 : x e x 0.
如果f ( x)可以分解为 f ( x) ( x x*)m g ( x), 其中0 | g ( x*) | , m为正整数. 则称x * 为f ( x)的m重零点.
此时 f ( x*) f ( x*) f ( m 1) ( x*) 0, f ( m) ( x*) 0.
k 0 1 2 3 4 5 6 7 xk 1.5 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494 1.32476 1.32473 1.32472
3 (2) xk 1 xk 1, x0 1.5, x1 2.375, x2 12.39, .
二、不动点的存在性与迭代法的收敛性
二、斯蒂芬森迭代法
把不动点迭代与埃特金加速技巧结合，得到斯蒂芬森 ( Steffensen)迭代法 yk ( xk ), zk ( yk ),
( yk xk ) 2 xk 1 xk zk 2 yk xk
改写为另一种不动.4)
k 0 1 2 3 ‫׃‬ xk x0 x1 x2 x3 ‫׃‬ 迭代法(1) 2 3 9 87 ‫׃‬ 迭代法(2) 2 1.5 2 1.5 ‫׃‬ 迭代法(3) 2 1.75 1.73475 1.732631 ‫׃‬ 迭代法(4) 2 1.75 1.732143 1.732051 ‫׃‬
定义2 设迭代过程xk 1 ( xk )收敛于x*,误差ek xk x*, 若 lim
例6 求方程3x 2 e x 0在[3,4]中的解.
解：取对数得x 2 ln x ln 3 g ( x)，构造迭代法 xk 1 2 ln xk ln3 2 2 ( x) , max ( x) 1, 当x [3,4], ( x) [3,4], x 3 x 4 3 由定理2迭代收敛. x0 3.5, x16 3.73307 .

基本迭代方法

−1
,
k = 0, 1, . . . ,
,
k = 0, 1, . . . , (3.2)
N
称为迭代矩阵.
这就是基于矩阵分裂 A = M − N 的迭代方法.
选取不同的 M , 就可以构造出不同的迭代方法.
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1.2
Jacobi 迭代
记 A = D − L − U , 其中 D 为 A 的对角部分, −L 和 −U 为 A 的严格下三角和严格上三角部分. 取 M = D, N = L + U , 则可得 Jacobi 迭代方法: x(k+1) = D−1 (L + U )x(k) + D−1 b 对应的迭代矩阵为 GJ = D−1 (L + U )
定常迭代法有时也称为经典迭代法, 基本迭代法或不动点迭代法.
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迭代法基本想法
当直接求解 Ax = b 比较困难时, 我们可以求解一个近似等价方程组 M x = b , 其中 M 是对 A 的某种意义下的近似. 设 M x = b 的解为 x(1) . 则它与原方程的解 x∗ = A−1 b 之间的差满足 ( ) A x∗ − x(1) = b − Ax(1) 如果 x(1) 已经满足精度要求, 则可以停止计算, 否则需要进行修正.
关键技术矩阵分裂
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1.1
矩阵分裂与定常迭代
定义 1 (矩阵分裂, Matrix Splitting) 设 A ∈ Rn×n 非奇异, 称 A=M −N 为 A 的一个矩阵分裂 , 其中 M 非奇异. (3.1)
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给定一个矩阵分裂 (3.1), 则原方程组 Ax = b 就等价于 M x = N x + b . 于是我们就可以构造出以下的迭代格式 M x(k+1) = N x(k) + b 或 x(k+1) = M −1 N x(k) + M −1 b ≜ Gx(k) + g 其中 G ≜ M

牛顿迭代法解非线性方程（组）

⽜顿迭代法解⾮线性⽅程（组）在辨识⼯作中，常常需要对辨识准则或者判据进⾏求极值，这往往涉及到求⾮线性⽅程（组）的解问题。

⽜顿迭代法是⼀种常⽤⽅法。

下⾯把⾃⼰对⽜顿迭代法的学习和理解做个总结。

1.⼀元⾮线性⽅程的⽜顿迭代公式和原理以⼀元⾮线性⽅程 f(x)=0 为例，对函数 f(x)进⾏Taylor级数展开（只展开⾄线性项）得f(x) = f(x0)+f'(x0)(x-x0)所以⽅程可写成f(x0)+f'(x0)(x-x0) = 0其中x0是给定的已知值，则不难推导出⽅程的解（当然，只是近似解，毕竟Taylor展开过程中只取了线性项）x = x0 - f(x0) / f'(x0)其中x不是真实解，但是相⽐之前的x0更靠近真实解了，因此可以多重复⼏次上述过程，从⽽使得到的解⾮常接近准确值。

所以，对于⼀元⾮线性⽅程，⽜顿拉夫逊迭代公式为：x(k+1) = x(k) - f(x(k)) / f'(x(k))根据Taylor级数的⼏何意义我们可以从⼏何上形象的看⽜顿迭代法的求解f(x)=0的过程。

第⼀次迭代x1 = x0 - f(x0) / f'(x0)，其中f(x0) / f'(x0)的⼏何意义很明显，就是x0到x1的线段长度（这可以从直⾓三⾓形的知识得到）。

第⼆次迭代x2 = x1 - f(x1) / f'(x1)，其中f(x1) / f'(x1)的⼏何意义很明显，就是x1到x2的线段长度。

同理可以进⾏第三次迭代第四次迭代，可以明显的看出x的取值在不断逼近真实解x*。

可能有⼈问，迭代求得的结果会不会不收敛，也就是x会不会偏离x*。

由于x0是在x*附近区域取值的，因此x0到x1这段曲线应该认为是平滑的没有转折的，因此切线与x轴的交点只会越来越接近真实解x*。

但是如果x0的取值离x*⽐较远的话，那么x0到x1这段曲线上可能有“转折”，这样就可能引起迭代的不收敛。

求解非埃尔米特正定方程组的广义LHSS迭代法

求解非埃尔米特正定方程组的广义LHSS迭代法初鲁;鲍亮;董贝贝【摘要】基于矩阵的埃尔米特和反埃尔米特分解,李良等给出了一类求解非埃尔米特正定方程组的L HSS迭代法,在系数矩阵的埃尔米特和非埃尔米特之间进行了非对称迭代,在较松弛的约束条件下即可获得收敛结果.本文对该方法做进一步研究,给出了一类求解非埃尔米特正定方程组的广义L HSS迭代方法.数值结果表明,系数矩阵经恰当分解,在处理某些问题时广义L HSS迭代法优于HSS迭代法.【期刊名称】《浙江大学学报（理学版）》【年(卷),期】2018(045)006【总页数】5页(P694-697,706)【关键词】非埃尔米特正定方程组;LHSS迭代法;谱半径【作者】初鲁;鲍亮;董贝贝【作者单位】华东理工大学理学院 ,上海200237;华东理工大学理学院 ,上海200237;华东理工大学理学院 ,上海200237【正文语种】中文【中图分类】O241.6对于大规模正定线性方程组的求解问题，迭代法是目前的主要方法. 2001年，BAI 等[1]提出了一类HSS迭代法，该方法因具有形式简单、易程序化等优点，成为当前的研究热点，得到了许多新的推广. 基于HSS迭代法，BAI等[2]给出了PSS算法, CAO等[3]对PSS算法做了改进，给出了广义PSS(GPSS)算法，LI等[4]给出了修正的GPSS算法；HUANG等[5]将系数矩阵分解成正定和半正定两部分，在这两部分之间进行迭代；2007年，LI等[6]提出了一类LHSS(Lopsided HSS)迭代算法，在系数矩阵的埃尔米特和非埃尔米特之间做非对称迭代，此算法格式简单，在参数较为松弛的约束条件下即可达到收敛；后来，POUR等[7]在LHSS法基础上提出了一类新的HSS方法，围绕系数矩阵的埃尔米特部分做二步非对称迭代.本文对LHSS迭代法做进一步研究，将方程组的系数矩阵分解成2个正定部分，然后在这2个正定部分间做非对称迭代，给出了一类广义LHSS迭代法.数值结果表明，只要恰当地将系数矩阵分解为2个正定部分，广义LHSS迭代法在处理某些问题时能取得比HSS迭代法更好的效果.1 背景知识在多学科领域常出现Ax=b形式的大规模线性方程组，其中A∈Cn×n为非埃尔米特正定矩阵.为了求解该方程，BAI等[1]在矩阵的HS分解(埃尔米特和反埃尔米特分解)基础上提出了HSS迭代算法,该算法基于以下分解：A=H+S，(1)其中，A+A*)，A-A*).然后给出一个初始向量x(0)∈Cn，通过以下2步计算x(k+1)，直到迭代序列{x(k)}收敛：(2)其中α为大于0的常数.对于HSS迭代法，BAI等[1]证明了其迭代矩阵的谱半径小于1，即HSS算法收敛.2007年，LI等[6]提出了一类LHSS迭代法，该迭代法在系数矩阵A的埃尔米特部分H和反埃尔米特部分S之间做非对称二步迭代. LHSS迭代法的迭代过程如下：给定初始向量x(0)∈Cn，通过以下2步计算x(k+1)，直到序列{x(k)}满足停止条件：(3)其中α为大于0的常数.2 广义LHSS迭代法本文对LHSS迭代法做进一步研究，给出了广义LHSS(GLHSS)迭代算法以及相应迭代法的格式.首先，任意非埃尔米特正定矩阵A有以下分裂形式[3]：A=G+K+S，(4)其中，S 表示反埃尔米特矩阵，G 和K 表示埃尔米特正定矩阵.其次，任意非埃尔米特正定矩阵A 又可分裂为以下形式：A=P1+P2，(5)其中，P1和P2为正定矩阵.P1和P2的2种可供选择的格式如下：其中,D为矩阵G的对角部分，LG为矩阵G的严格下三角部分，为LG的共轭转置.最后，在系数矩阵A的分裂矩阵P1和P2之间做非对称的二步迭代，得到GLHSS迭代法.算法1 GLHSS迭代算法.给定初始向量x(0)∈Cn，通过以下2步计算x(k+1)，直到迭代序列{x(k)}满足停止条件：(6)其中α为大于0的常数.3 收敛性证明为得到GLHSS迭代法的收敛性质，需要以下引理：引理1[8] 设A∈Cn×n，A=Mi-Ni(i=1,2)为矩阵A 的2种分裂格式，x(0)∈Cn为一个给定的初始向量，由矩阵A的2种分裂格式得到的二步迭代格式为：(7)由上述二步迭代生成的迭代序列{x(k)}为b.(8)若该二步迭代法的迭代矩阵N1的谱半径ρ满足：ρN1)<1,(9)则对于任意初向量x(0)∈Cn，矩阵序列{x(k)}收敛于线性方程Ax=b的唯一解x*∈Cn.引理2 对∀α>0,若矩阵P为复数域上的正定矩阵，则‖P(αI+P)-1‖2<1，其中‖‖2表示矩阵的二范数.证明因P为正定矩阵，P*也为正定矩阵，α为一个大于0的常数，则对任意非零向量y有〈(α2I+P+P*)y,y〉>0，(10)其中〈,〉表示向量内积，式(10)两端同时加上〈P*Py,y〉有〈(α2I+P+P*+P*P)y,y〉>〈P*Py,y〉，(11)整理后即得〈(αI+P)y,(αI+P)y〉>〈Py,Py〉.(12)令x=(αI+P)y，由于矩阵αI+P非奇异，所以对于任意非零向量x，都可找到一个非零向量y与之对应，经变换，式(12)可化为〈x,x〉>〈P(αI+P)-1x,P(αI+P)-1x〉，(13)于是可得<1.(14)由向量x的任意性可得‖P(αI+P)-1‖2<1.(15)证毕！引理3 若P为复数域上的正定矩阵，记H=(P+P*)为埃尔米特正定矩阵，若0<α λ，其中λH表示矩阵H的特征值集合，则‖(αI-P)P-1‖2<1.证明∀y≠0∈Cn，若αλ，则有〈αy,y〉<〈Hy,y〉.代入H=(P+P*)，得到〈αy,y〉<〈(P+P*)y,y〉.(16)式(16)两边做进一步整理，得〈(α2I-αP-αP*+P*P)y,y〉<〈P*Py,y〉.(17)于是有〈(αI-P)y,(αI-P)y〉<〈Py,Py〉.(18)令x=Py，由于y为任意非零向量且矩阵P为非奇异矩阵，因此，x可选取为任意非零向量，经变换，式(18)可化为〈(αI-P)P-1x,(αI-P)P-1x〉<〈x,x〉，(19)变形后得到<1 .(20)由于x的选取是任意的，因此，对于任意大于0的常数α有‖(αI-P)P-1‖2<1 .(21)证毕！定理1 假设P1和P2为复数域上的正定矩阵，记为一个由P1决定的埃尔米特正定矩阵，若0<α λ，其中λH表示矩阵H的特征值集合，则GLHSS迭代矩阵的谱半径小于1.证明由引理1，GLHSS迭代法对应的迭代矩阵为M(α)=(αI+P2)-1(αP2).(22)式(22)相似于：M′(α)=(αP2)(αI+P2)-1.(23)对M′(α)谱半径ρ(M′(α))，有：(24)由引理2可得‖(-P2)(αI+P2)-1‖2<1；由引理3可得‖(α<1.综上,即可得到M′(α)的谱半径ρ(M′(α))<1；再由矩阵的相似性质，即可得到ρ(M(α))<1.证毕！4 数值实验数值实验中用Matlab编程求解以下大型稀疏矩阵的线性方程组：Ax=b， A=I⊗B+BT⊗I，其中，I，M=tridiag(-1,2,-1)N=tridiag(0.5,0,-0.5)，tridiag表示三对角矩阵，⊗表示克罗内克积.当n=8和16时，系数矩阵的维度实际上为64×64阶和256×256阶，记达到截断误差所需的迭代时间为CPU，迭代次数为IT，实验中截断误差选为10-6，使用英特尔四核处理器(2.70 GHZ，8 GB RAM).表1～表2，图1～图4为2种算法的比较.表1 n=8时HSS和GLHSS法的迭代次数和迭代时间比较Table 1 Comparison of IT and CPU between HSS and GLHSS whenn=8α0.10.20.30.40.51.3HSSIT/次4272161461117537CPU/s0.296 80.17180.140 60.109 30.062 50.012 5GLHSSIT/次26614298755225CPU/s0.156 20.093 750.062 50.031 20.024 50.006 5表2 n=16时HSS和GLHSS法的迭代次数和迭代时间比较Table 2 Comparison of IT and CPU between HSS and GLHSS whenn=16α0.10.50.91.31.71.9HSSIT/次3566948352826CPU/s3.953 10.87500.468 70.328 10.260 20.250 0GLHSSIT/次2464732242425CPU/s2.765 60.437 50.296 80.218 70.198 70.187 5图1 n=8时HSS与GLHSS法谱半径比较Fig.1 Comparison of spectral radius between HSS and GLHSS when n=8图2 n=16时HSS与GLHSS法谱半径比较Fig.2 Comparison of spectral radius between HSS and GLHSS when n=16图3 n=8时HSS与GLHSS法残量下降速度比较Fig.3 Comparison of residual decline between HSS and GLHSS when n=8图4 n=16时HSS与GLHSS法残量下降速度比较Fig.4 Comparison of residual decline between HSS and GLHSS when n=16从图1～图4、表1和表2中可以看出，对于本文中的算例，GLHSS法到达截断误差所需的迭代步数及迭代时间均优于HSS，GLHSS迭代矩阵的最小谱半径优于HSS，且残量下降速度亦优于HSS.当α大到一定程度后，GLHSS迭代法的收敛性弱于HSS，这是由于α的取值受限于埃尔米特正定矩阵的最小特征值.5 总结提出了一种广义的LHSS(GLHSS)迭代法用于求解大规模正定线性方程组，数值结果表明，该方法在求解某些问题时较经典的HSS迭代法效果更好.将来的研究可以围绕如何选取更佳的正定矩阵来开展.参考文献（Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ）：【相关文献】[1] BAI Z Z, GOLUB C H, NG M K. Hermitian and skew-Hermitian splitting methods for non-Hermiti-an positive definite linear systems[J]. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 2003, 24(3)： 603-626.[2] BAI Z Z, GOLUB G H, LU L Z. Block-triangula-r and skew-Hermitian splitting methods for positive definite linear systems[J]. SIAM Journal on Scientific Computing, 2005, 26(3)：844-863.[3] CAO Y, TAN W W, JIANG M Q. A generalization of the positive-definite and skew-Hermitian splitting iteration[J]. Numerical algebra, Control and Optimization, 2012, 2(4)：811-821.[4] LI W W, WANG X. A modified GPSS method for non-Hermitian positive definite linear system[J]. Applied Mathematics and Computation, 2014，234(C)： 253-259.[5] HUANG N, MA C F. Positive definite and semi-definite splitting methods for non-Hermitian positive definite linear systems [J]. Journal of Computational Mathematics, 2016, 34(3)： 300-316.[6] LI L, HUANG T Z, LIU X P. Modified Hermitian and skew-Hermitian splitting methods for non-Hermitian positive-definite linear systems[J]. Numerical Linear Algebra and with Applications, 2007, 14(3)： 217-235.[7] POUR H N, GOUGHERY H S. New Hermitian and skew-Hermitian splitting methods for non-Hermitian positive-definite linear systems[J]. Numerical Algorithms, 2015, 69(1)：207-225.[8] 李文伟. 一类线性方程组和矩阵方程的数值求解方法的研究[D]. 南昌：南昌大学, 2014.LI W W.The Study of Numerical Methods for A Kind of Linear Equations and Matrix Equations[D]. Nanchang： Nanchang University, 2014.。

Newton迭代法求解非线性方程

Newton迭代法求解非线性方程Newton迭代法求解非线性方程一、 Newton 迭代法概述构造迭代函数的一条重要途径是用近似方程来代替原方程去求根。

因此，如果能将非线性方程f (x )=0用线性方程去代替，那么，求近似根问题就很容易解决，而且十分方便。

牛顿(Newton)法就是一种将非线性方程线化的一种方法。

设k x 是方程f (x )=0的一个近似根，把如果)(x f 在k x 处作一阶Taylor 展开，即：)x x )(x ('f )x (f )x (f k k k -+≈ (1-1)于是我们得到如下近似方程：0)x x )(x ('f )x (f k k k =-+ (1-2)设0)('≠k x f ，则方程的解为：x ?=x k +f (x k )f (x k )?(1-3)取x ~作为原方程的新近似根1+k x ，即令： )x ('f )x (f x x k k k 1k -=+, k=0,1,2,…(1-4)上式称为牛顿迭代格式。

用牛顿迭代格式求方程的根的方法就称为牛顿迭代法，简称牛顿法。

牛顿法具有明显的几何意义。

方程：)x x )(x ('f )x (f y k k k -+= (1-5)是曲线)x (f y =上点))x (f ,x (k k 处的切线方程。

迭代格式(1-4)就是用切线式(1-5)的零点来代替曲线的零点。

正因为如此，牛顿法也称为切线法。

牛顿迭代法对单根至少是二阶局部收敛的，而对于重根是一阶局部收敛的。

一般来说，牛顿法对初值0x 的要求较高，初值足够靠近*x时才能保证收敛。

若要保证初值在较大范围内收敛，则需对)x (f 加一些条件。

如果所加的条件不满足，而导致牛顿法不收敛时，则需对牛顿法作一些改时，即可以采用下面的迭代格式：)x ('f )x (f x x k k k 1k λ-=+,=,2,1,0k (1-6)上式中，10<λ<，称为下山因子。

非线性方程的求解方法

非线性方程的求解方法非线性方程是数学中的基本概念，对于许多科学领域而言，非线性方程的求解具有重要的意义。

然而，与线性方程相比，非线性方程的求解方法较为复杂，因此需要掌握一些有效的解法。

本文将介绍几种非线性方程的求解方法。

一、牛顿迭代法牛顿迭代法也叫牛顿-拉夫逊迭代法，是一种求解非线性方程的有效方法。

该方法的基本思路是，选择一个初始值，通过迭代计算不断逼近非线性方程的根。

牛顿迭代法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$f(x)$表示非线性方程，$f'(x)$表示$ f(x) $的一阶导数。

牛顿迭代法的优点在于速度快，迭代次数少，但其局限性在于收敛性受初始点选取的影响较大。

二、割线法割线法（Secant method）也是一种求解非线性方程的有效方法。

与牛顿迭代法不同，割线法使用的是两个初始值，并根据两点间的连线与$ x $轴的交点来作为新的近似根。

割线法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$$割线法的优势是不需要求解导数，但其缺点在于需要两次迭代才能得到下一个近似根，因此计算量较大。

三、二分法二分法（Bisection method）是求解非线性方程的另一种有效方法。

该方法的基本思路是找到非线性方程的一个区间，使函数值在该区间内的符号相反，然后通过逐步缩小区间，在区间内不断逼近非线性方程的根。

二分法的公式为：$$x_{n+1}=\frac{x_n+x_{n-1}}{2}$$其中，$x_n$和$x_{n-1}$是区间的端点。

二分法的优点在于收敛性稳定，但其缺点在于迭代次数较多，因此计算量也较大。

四、弦截法弦截法（Regula Falsi method）也是一种求解非线性方程的有效方法。

它和二分法类似，都是通过缩小根所在的区间来逼近根。

不同之处在于，弦截法不是以区间中点为迭代点，而是以区间两个端点之间的连线与$ x $轴的交点为迭代点。

第3讲非线性方程的迭代法

x0
X
local minimum or maximum
near-zero slope
如何判断收敛?(停机准则)
直观上希望计算残量很小: f ( xn ) 0 需要一个适当的误差估计作为停机准则。因为
f ( x n ) f ( xn ) f ( x * ) f ' ( n )( xn x * ),
void func(x, y, y_derivative) /*Computes y and y_derivative */ float x, *y, *y_derivative; { *y = pow(x, 3) - 5.0*pow(x, 2) + 6.*x; *y_derivative = 3.0*pow(x, 2) - 10.0*x + 6.; return; }
i
0 1 2 3 4 2
xi
-0.1111 -9.4373 e-03 -6.6322 e-05 -3.2649 e-09 -7.9116 e-18
1.8888888888888888888888888888889 1.8794515669515669515669515669516 1.8793852448366711459785449045646 1.8793852415718167760198216902061
(2) 按公式得新的近似值 xk+1
xk 1 xk f ( xk ) f ( xk )
迭代
(3) 对于给定的允许精度，如果 | xk 1 xk | 则终止迭代，取 x* xk 1 ;否则k=k+1，再转步骤(2)计算
/* Computer Soft/c3-2.c Newton's Scheme */ #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #define TRUE 1 /* x : current x value (approximation for the root) xb: previous value of x y : y value for x y_derivative : derivative of y n : iteration counter */ void main() { int i, k, n; float epsilon, x, xb, y, y_derivative, error; void func(); printf( "\nComputer Soft/C3-2 Newton's Scheme \n" ); printf( "\nTolerance ? " ); scanf( "%f", &epsilon ); while( TRUE) { printf( "Initial guess ? " ); scanf( "%f", &x ); error=1.0e10; xb = x; n = 0; printf( "\n It.No. x(n-1) y(n-1) x(n)" ); while( error>epsilon ) { n = n + 1; func( x, &y, &y_derivative ); x = x - y/y_derivative; /* finds new x. */ printf( "\n %3d %12.5e %12.5e %12.5e ", n, xb, y, x ); error=fabs(x-xb); xb = x; }

解非线性方程组的牛顿迭代法

7.5.1 弦截法
设 xk , xk 1是 f (x) 0的近似根，利用 f (xk ), f (xk1) 构造一次插值多项式 p1(x)，并用 p1(x) 0的根作为新的近似根 xk 1 . 由于
p1(x)
f (xk )
f
( xk ) xk

f xk 1
xk 1

10
在（4.7）中取C 1 ，则称为简化牛顿法，这
f ( x0 )
类方法计算量省，但只有线性收敛，其几何意义是用平行弦与 x轴交点作为 x *的近似. 如图7-4所示.
图7-4
11
（2）牛顿下山法.
牛顿法收敛性依赖初值 x0的选取. 如果x0 偏离所求根 x *较远，则牛顿法可能发散.
它是二阶收敛的.
例9 方程x4 4x2 4 0 的根x* 2 是二重根，用上述三种方法求根.
解先求出三种方法的迭代公式：
（1）牛顿法
xk 1

xk

xk2 2 . 4 xk
18
（2）用（4.13）式
xk 1

xk

xk2 2 . 2 xk
（3）用（4.14）式
3 x3 1.425497619 1.414213562 1.414213562
19
计算三步，方法（2）及（3）均达到10位有效数字，而用牛顿法只有线性收敛，要达到同样精度需迭代30次.
20
7.5 弦截法与抛物线法
用牛顿法求方程（1.1）的根，每步除计算 f (xk ) 外还要算 f (xk )，当函数 f (x)比较复杂时，计算 f (x) 往往较困难，为此可以利用已求函数值 f (xk ), f (xk1), 来回避导数值 f (xk ) 的计算.

matlab用jacobi迭代求解隐式差分的richards方程

在MATLAB中，使用Jacobi迭代法求解隐式差分的Richards方程需要以下步骤：1. 定义Richards方程：Richards方程是一个描述土壤水分运动的偏微分方程，形式如下：d(θ)/dt = (1/α) [k_r(θ - θ_r) + k_s(θ_s - θ)]其中，θ 是土壤含水率，k_r 和k_s 是降雨入渗和蒸散发系数，θ_r 和θ_s 是残余含水率和饱和含水率，α 是时间系数。

2. 定义Jacobi迭代法：Jacobi迭代法是一种求解线性方程组的迭代方法，形式如下：x^(n+1) = (b - Ax^n) / D其中，A 是系数矩阵，b 是常数项向量，x^n 是第n 次迭代的解向量，D 是A 的对角线元素构成的向量。

3. 编写MATLAB代码：根据Richards方程和Jacobi迭代法，编写MATLAB代码。

下面是一个示例代码：matlab参数定义N = 100; 网格点数T = 100; 时间步数alpha = 0.1; 时间系数kr = 0.5; 降雨入渗系数ks = 0.2; 蒸散发系数theta_r = 0.01; 残余含水率theta_s = 0.35; 饱和含水率初始化变量time = linspace(0, T, T+1); 时间向量moisture = zeros(N+1, T+1); 含水率矩阵moisture(:, 1) = theta_r; 初始含水率Jacobi迭代for n = 1:T计算扩散项和源项D = (1/alpha)*(kr*(moisture(2:end, n) - moisture(1:end-1, n)) + ks*(moisture(1:end-1, n) - moisture(2:end, n)));b = (1/alpha)*(kr*(moisture(1, n) - theta_r) + ks*(theta_s - moisture(N+1, n)));Jacobi迭代计算含水率moisture(:, n+1) = (b - D*moisture(:, n)) ./ D;end。

求解非线性方程的牛顿迭代法

求解非线性方程的牛顿迭代法作者：李晓辉任伟和程长胜来源：《科技风》2021年第14期摘要：本文主要讲了求解非线性方程的牛顿迭代法。

文章首先引入牛顿迭代法的公式、迭代函数。

紧接着文章又介绍了牛顿迭代法的局部收敛性以及它的收敛速度，并通过数值实验验证了牛顿迭代法求解非线性方程的有效性。

关键词：牛顿迭代法;局部收敛;收敛速度中图分类号：O010224文献标识码：A一、绪论类似于线性方程组Ax=b求解的问题，非线性方程的一般问题可化为f（x）=y，即“对于什么样的x的值，函数f取值为y”，这里可以暂且先把f当成单变量函数，通常把y移项并吸收进f，从而一般形式可记为f（x）=0，因此，一个一般的一元非线性方程的求解问题有如下形式：给定函数f，寻找x（实的或复的），使得f（x）=0。

若存在一点x*满足该性质，称x*是方程f（x）=0的根或函数的零点。

这类问题称为求根问题或求零点问题。

此外，方程的根的情况可分为单根和重根。

一般的非线性方程的重数可以定义如下：若f（x）=（x-x*）m·g（x）且g（x）≠0，其中，m为自然数，称x*为f（x）的m重根，m=1时也称单根。

若区间[a，b]上有方程的一个实根，称该区间为方程的一个有根区间，如果能把方程的有根区间的长度缩短到一定的范围内，那么就求到了一个近似根，通常采用的都是数值求解的办法，因此若假设要求有根区间长度为0（即求到精确解），这些数值求解的办法通常都会产生一个逐渐逼近根的一个无穷序列。

求方程的近似根，一般要考虑如下几个问题：（1）根的存在性问题，即方程有没有实根，有几个根。

（2）有根区间的确定。

本文介绍的算法通常是假设有根的前提下给出求近似根的方法，一般需要以别的辅助工具先确定有根区间。

（3）求出足够近似的根，即在制定精度下缩小有根区间，或通过某些判别条件断定近似根的精度。

二、Newton迭代公式的构造简单迭代是将非线性方程f（x）=0通过代数恒等变形，将原方程化成等价方程x=φ（x），从而形成迭代式xk+1=φ（xk）。

求解非线性方程的三种新的迭代法

求解非线性方程的三种新的迭代法
非线性方程是一种不满足线性关系的方程，它们的解不易通过代数方法直接求解。

需要通过迭代法来逼近非线性方程的解。

迭代法是一种通过不断逼近的方法，寻找非线性方程的近似解的方法。

在本文中，我们将介绍三种新的迭代法，这些方法可以更有效地求解非线性方程。

1. 牛顿迭代法
牛顿迭代法是求解非线性方程的一种经典方法，它通过不断迭代来逼近方程的解。

该方法的基本思想是从方程的一个初始值开始，通过一定的迭代公式不断逼近方程的解。

具体的迭代公式为：
\[x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\]
x_n表示第n次迭代的近似解，f(x)表示原非线性方程，f'(x)表示f(x)的导数。

牛顿迭代法的收敛速度非常快，但是需要计算方程的导数，对于复杂的非线性方程来说，计算导数较为困难。

2. 割线法
割线法的收敛速度较快，但是需要两个初始值，并且每次迭代都需要计算函数值，因此每次迭代的计算量较大。

3. 弦截法
\[x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n) \cdot (x_n - x_{n-1})}{f(x_n) - f(x_{n-1})} - \frac{f(x_n) \cdot (x_n - x_{n-1})^2}{f(x_n) - f(x_{n-1})}\]
弦截法通过引入截距值来加快收敛速度，虽然每次迭代的计算量较大，但是收敛速度也较快。

以上介绍了三种新的迭代法，它们可以更有效地求解非线性方程。

在实际应用中，可以根据具体问题的特点选取合适的迭代方法来求解非线性方程，从而得到更为准确和高效的解。

应用数值分析非线性方程求解资料

xk x*
xk x* m g xk
m1
[mg
xk
xk x*
g xk ]
xk x*
mg xk xk x* g xk mg xk xk x* g xk
lim k
xk1 x* xk x*
= lim k
mgxk xk x* gxk mgxk xk x* gxk
c.
4. Newton迭代法收敛定理
证：将f(x)在 xn 处作2阶Taylor展开,并将解x*代入
0
f (x*)
f (xn )
f
'(xn )(x * xn )
f
"(
2!
n
)
(
x
*
xn
)2
x*
xn
f (xn ) f '(xn )
f 2
"(n )
f '(xn )
(
x
*
xn
)2
xn1
f 2
m 1g x* = mg x*
m 1 0 m
此时，Newton 法具有线性敛速。
或 '(x*) 1 1
m 有局部线性收敛性, 重数m越高, '( x*越) 接近于1,
收敛越慢。
Newton迭代法的特征 • Newton迭代公式是一种特殊的不动点迭代,其迭代函数为:
(x) x f (x)
Newton法在重根情形下的收敛阶
当用 Newton 法求ｍ重根时，不妨设
f（x）= x x* mgx
gx* 0
f （x ）=m x x* m1gx x x* mgx
= x x* m1mgx x x *gx

二分法、牛顿法、割线法、Steffencen法求非线性方程MATLAB实现

x0=a; else
x0=b; end m=min(abs(df(a)),abs(df(b))); k=0; while abs(f(x0))>m*dlt
k=k+1; x1=x0-f(x0)/df(x0); x0=x1; fprintf('k=%d x=%.5f\n',k,x0); end
三、实验结果
%加速公式 gen=x1-(y-x1)^2/(z-2*y+x1); wucha=abs(gen-x1); time=time+1; %迭代加一次的记录 end end; %计算结果
四、结果分析
由实验结果分析可知，Steffensen 迭代算法的收敛速度在一定条件下可以达到二次收敛，相对割线法和二分法收敛速度较快，且其在一定程度上避免了两个值很近时造成的误差，也对牛顿法要求函数导数值这一缺点进行了克服，整体上比较来说是一个计算量较小且有较高精度的迭代算法。
二、算法描述
MATLAB 程序代码如下： function [gen,time]=Steff(fun,x0,tol) %如果缺省误差参数，默认为 10 的-5 次方 if(nargin==2) tol=1.0e-5; end %设置误差初值 time=0; %记迭代次数 wucha=0.1; %设置前后两次迭代的误差 gen=x0; while(wucha>tol) x1=gen; y=subs(fun,x1)+x1; z=subs(fun,y)+y;
(b1
−
a1 )
；对[a2 ,b2 ] 重复上述做法得：
1
[a1, b1] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ ...... ⊃ [an , bn ] ⊃ ...... 且 bn − an

用Richardson-Urbanke算法实现有效编码的非二元准循环LDPC码

用Richardson-Urbanke算法实现有效编码的非二元准循环
LDPC码
陈超;白宝明;王新梅
【期刊名称】《北京邮电大学学报》
【年(卷),期】2009(32)6
【摘要】为了实现有效编码,提出一类可以利用Richardson-Urbanke算法的非二元准循环低密度校验码(QC-LDPC)码.校验矩阵的右侧部分列重均为2,可用来构造规则和非规则码.对校验矩阵的约束保证了这类码具有线性编码复杂度.仿真结果表明,所提出的码和高阶调制结合,其性能优于渐进边增长(PEG)构造的码,并可获得接近Shannon限的性能.
【总页数】4页(P93-96)
【关键词】低密度校验码;非二元;准循环;Richardson-Urbanke算法;谱效
率;Shannon限
【作者】陈超;白宝明;王新梅
【作者单位】西安电子科技大学综合业务网理论及关键技术国家重点实验室
【正文语种】中文
【中图分类】TN929.53
【相关文献】
1.基于准循环双对角阵的LDPC码编码算法 [J], 刘冬培;刘衡竹;张波涛
2.一类具有低密度生成矩阵的非二元准循环LDPC码 [J], 陈超;白宝明;王新梅
3.几类准循环LDPC码的性质及有效编码方法 [J], 张云飞;宋惠敏
4.多信源多中继编码协作系统准循环LDPC码的联合设计与性能分析 [J], 张顺外; 魏琪
5.一种基于准循环结构的LDPC码快速编码方法 [J], 李巧丽[1];林志国[1]
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