历年来北大自主招生数学试题

2010北京大学 香港大学 北京航空航天大学 自主招生（三校联招）试题数学部分1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB （25分）3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ 在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分）5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分）2010北京大学 香港大学 北京航空航天大学 自主招生（三校联招）试题 数学部分解析1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<． 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π<<时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02x π<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >．同理可证()tan 0g x x x =->．(0)0g =，当02x π<<时，21()10cos g x x '=->．于是()g x 在02x π<<上单调增。

∴在02x π<<上有()(0)0g x g >=。

即tan x x >。

注记：也可用三角函数线的方法求解．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB（25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<；⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上．且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或；对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是22max AB R P R Q == 由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ． 下面研究正五边形对角线的长．如右图．做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H ． 易知5EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=． 于是四边形HGIF 为平行四边形．∴1HG =． 由角平分线定理知111EF EH x FGx HG ===-．解得x 3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）IH GFE1111x x-1【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ，且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>．由于2y x '=-，于是AC 的方程为2222x x y y =--；① BD 的方程为1122x x y y =--． ② 联立,AC BD 的方程，解得121221(,1)2()y y E x x x x ---．对于①，令0y =，得222(,0)2y C x -；对于②，令0y =，得112(,0)2y D x -．于是221212121222112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121(1)2ECD S CD x x ∆=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则2222111111()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b ∆++=++=+++++1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab =+++⋅++≥ ③0s =>，则有331111111(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s∆=++=++++++6个 9个1243691616111116)]8()2393s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅≥3218)3=⋅( ④又由当12x a x b s ===-==时，③，④处的等号均可取到．∴min ()ECD S ∆=注记：不妨设311()(2)2g s s s s=++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．由2211()(32)2g s s s '=+-知当210s <<时()0g s '<；当213s <时()0g s '>．则()g s 在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =()g s 取得最小值．4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ 在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分）【解析】 不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令222()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+．其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1154cos 3αα+-+≤≤．当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<．当12cos 1054cos αα+-<+≤时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意．于是夹角的范围为2[,]23ππ． 5．存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分） 【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x-+-=-=，则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x xx x+=．若cos sin 0x x -=，有4x π=1,1不成等差数列；若cos sin 1sin cos x x x x+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =．而11sin cos sin 2(0,]x x x =∈，矛盾！()()1132，(1的交点的直线方程6x +()()1132得⎪⎪⎨⎪⎪⎩解析：因为222cos 2a b c C ab +-=22222a b a b ab +⎛⎫+- ⎪⎝⎭≥()2231422a b ab ab+-= 312422ab abab -≥12=，当且仅当a b =时，""=成立，又因为()0,C π∈，所以060C ∠≤。

所以211212CC CC r r C C -=-<，由双曲线的定义，C 的圆心的轨迹是以1C ，2C 为焦点、实轴长为12r r -的双曲线；所以211212CC CC r r C C -=+<，由双曲线的定义，C 的圆心的轨迹是以1C ，2C 为焦点、实轴长为12r r +的双曲线；所以211212CC CC r r C C -=-<，由双曲线的定义，C 的圆心的轨迹是以1C ，2C 为焦点、实轴长为12r r -的双曲线；所以211212CC CC r r C C -=+=或211212CC CC r r C C +=+=，所以C 的圆心的轨迹是过1C ，2C 的直线（除直线与圆1C 、2C 的交点外）；所以211212CC CC r r C C -=-<，由双曲线的定义，C 的圆心的轨迹是以1C ，2C 为焦点、实轴长为12r r -的双曲线（圆1C 、2C 的交点除外）；所以211212CC CC r r C C +=+>，由椭圆的定义，C 的圆心的轨迹是以1C ，2C 为焦点、实轴长为12r r +的椭圆（圆1C 、2C 的交点除外）；所以211212CC CC r r C C -=-=或2112CC CC r r +=-，所以C 的圆心的轨迹是过1C ，2C 的直线（除直线与圆1C 、2C 的交点外）；（ⅱ）若C 与1C 内切，2C 外切，则11CC r r =-，22CC r r =+，所以211212CC CC r r C C +=+>，所以C 的圆心的轨迹是以1C ，2C 为焦点、实轴长为12r r +的椭圆（两圆1C 、2C 的交点除外）；（ⅰ）若C 与1C ，2C 都内切，则11CC r r =-，22CC r r =-，所以211212CC CC r r C C +=->，所以C 的圆心的轨迹是以1C ，2C 为焦点、实轴长为12r r -的椭圆；（ⅱ）若C 与1C 内切，2C 外切，则11CC r r =-，22CC r r =+，所以211212CC CC r r C C +=+>，所以C 的圆心的轨迹是以1C ，2C 为焦点、实轴长为12r r +的椭圆。

7.求()121........20111f x x x x =-+-++-的最小值。

2012年北约自主招生数学试题1、求x 的取值范围使得12)(-+++=x x x x f 是增函数；2、求1210272611=+-+++-+x x x x 的实数根的个数；3、已知0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的4个根组成首项为41的等差数列，求n m -；4、如果锐角ABC ∆的外接圆的圆心为O ，求O 到三角形三边的距离之比；5、已知点)0,2(),0,2(B A -，若点C 是圆0222=+-y x x 上的动点，求ABC ∆面积的最小值。

6、在2012,,2,1 中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？7、求使得a x x x x =-3sin sin 2sin 4sin 在),0[π有唯一解的a ；8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形；9、求证：对于任意的正整数n ，n )21(+必可表示成1-+s s 的形式，其中+∈N s2012年自主招生北约联考数学试题解答2013年北约自主招生数学试题2013-3-16（时间90分钟，满分120分）一 选择题（每题8分，共48分）1．以2和321-为两根的有理系数多项式的次数最小是多少 （ ）A ．2B ．3C ．5D ．62．在66⨯的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車，每一行、每一列都只有一个車，共有多少种停放方法 （ ）A ．720B ．20C ．518400D ．144003．已知522+=y x ，522+=x y ，则32232y y x x +-的值为 （ ）． A ．-10 B ．-12 C ．-14 D ．-164．如图， 在△ABC 中，D 为BC 中点，DM 平分∠ADB 交AB 于点M ，DN 平分∠ADC 交AC 于N ，则BM+CN与MN 的关系为( ) A.BM+CN ＞MNB.MN+CN <MNC.BM+CN =MND.无法确定5．设数列{}n a 满足11=a ，前n 项和为n S ，241+=+n n a S ，求2013a ．6．模长为１的复数z y x ,,满足0≠++z y x ，求zy x zxyz xy ++++．A ．-1/2B ．1C ．2D ．无法确定二、解答题(每题18分,共72分)7．最多有多少个两两不等的正整数，满足其中任意三数之和都为素数．ＣＮ8．已知i a ，2013,,3,2,1 =i 为2013个实数，满足02013321=++++a a a a ，且212a a -322a a -==…120132a a -=，求证02013321=====a a a a ．9．对于任意的θ，求θθθθ2cos 154cos 66cos cos 326---的值．10．已知有mn 个实数，排列成n m ⨯阶数阵，记作{}nm ija ⨯使得数阵的每一行从左到右都是递增的，即对任意的m i ,,3,2,1 =，当21j j <时，有21ij ij a a <；现将{}nm ija ⨯的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的n m ⨯阶数阵，记作{}nm ija ⨯'，即对任意的n j ,,3,2,1 =，当21i i <时，有j i ji a a21''<，试判断{}nm ij a ⨯'中每一行的各数的大小关系，并加以证明．2013年北约自主招生数学试题解析2013-3-16（时间90分钟，满分120分）一 选择题（每题8分，共48分）1．以2和321-为两根的有理系数多项式的次数最小是多少 （ ）A ．2B ．3C ．5D ．6【解析】 显然)2)1)((2(32+--x x 为满足要求的多项式，其次数为5．若存在n 次有理系数多项式)(x f 以2和321-为两根，则)(x f 必含有因式)2)1)((2(32+--x x ，∴5≥n ，即最小次数为5．故选C ．2．在66⨯的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車，每一行、每一列都只有一个車，共有多少种停放方法 （ ）A ．720B ．20C ．518400D ．14400【解析】 先排3个红色車，从6行中任取3行，有2036=C 种取法；在选定的3行中第一行有6种停法，第一行选定后第二行有5种停法，第二行选定后第三行有4种停法；红車放定后，黑車只有6种停法．故停放方法共14400645620=⨯⨯⨯⨯种．故选D ．3．已知522+=y x ，522+=x y ，则32232y y x x +-的值为 （ ）． A ．-10 B ．-12 C ．-14 D ．-16 【解析】 ∵32232y y x x +-)52()52)(52(2)52(++++-+=x y x y y x50)(154-+--=y x xy ，又由522+=y x ，522+=x y ，有)(222y x y x --=- ∴y x =或2-=+y x ．当y x =时，有522+=x x ，61±=x ，50)(154-+--y x xy 503042---=x x 7038--=x 7038--=x 638108±-=；当2-=+y x 时，5)2(22++-=x x ，1)2(=+x x50)(154-+--y x xy 20)2(4----=x x 80)2(4-+=x x 16-=．ＣＮ故选D ．4．如图， 在△ABC 中，D 为BC 中点，DM 平分∠ADB 交AB 于点M ，DN 平分∠ADC 交AC 于N ，则BM+CN 与MN 的关系为( ) A.BM+CN ＞MNB.MN+CN <MNC.BM+CN =MND.无法确定【解析】 延长ND 至E ，使ND ＝ED ，连结BE 、ME ， 则△BED ≌△CND ，△MED ≌△MND ，ME ＝MN ， 由BM ＋BE ＞EM ，得BM ＋CN ＞MN ．5．设数列{}n a 满足11=a ，前n 项和为n S ，241+=+n n a S ，求2013a ．【解析】 ∵11=a ，24121+=+a a a ，∴52=a ；由 241+=+n n a S ，有2≥n 时，241+=-n n a S ，于是1144-+-=n n n a a a ，特征方程442-=x x 有重根2，可设n n c c a 2)(21⨯+=，将11=a ，52=a 代入上式，得411-=c ，432=c ，于是22)13(2)4143(-⨯-=⨯-=n n n n n a ，∴2012201120132301926038⨯=⨯=a ． 故选A6．模长为１的复数z y x ,,满足0≠++z y x ，求zy x zxyz xy ++++．A ．-1/2B ．1C ．2D ．无法确定 【解析】 取1===z y x ，便能得到zy x zxyz xy ++++＝1．下面给出证明，1===z z y y x x ，于是2z y x zx yz xy ++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++=z y x zx yz xy z y x zx yz xy zy x zxyz xy z y x zx yz xy ++++⨯++++=ＣＮ1111111=++++++++++++++++=xy x z x z x y z y z x x y x z x z x y z y z x ． ∴z y x zxyz xy ++++＝1．二、解答题(每题18分,共72分)7．最多有多少个两两不等的正整数，满足其中任意三数之和都为素数．【解析】 设满足条件的正整数为n 个．考虑模3的同余类，共三类，记为0，1，2．则这n 个正整数需同时满足①不能三类都有；②同一类中不能有3个和超过3个．否则都会出现三数之和为3的倍数．故4≤n ．当4=n 时，取1，3，7，9，其任意三数之和为11，13，17，19均为素数，满足题意， 所以满足要求的正整数最多有4个．8．已知i a ，2013,,3,2,1 =i 为2013个实数，满足02013321=++++a a a a ，且212a a -322a a -==…120132a a -=，求证02013321=====a a a a ．【解析】 设212a a -322a a -==…120132a a -=k =，若0=k ，则212a a =，322a a =，…，201320122a a =，120132a a =， 于是0222212011121112013321=+++++=++++a a a a a a a a a ， ∴01=a ，进而02013321=====a a a a ．若0>k ，则212a a -，322a a -，…，120132a a - 这2013个数去掉绝对值号后只能取k 和k -两值， 又212a a -+-+322a a …201320122a a -+0212013=-+a a ， 即这2013个数去掉绝对值号后取k 和k -两值的个数相同，这不可能．9．对于任意的θ，求θθθθ2cos 154cos 66cos cos 326---的值．【解析】 42c o s 122cos 122cos 4)22cos 1(32cos322336+++=+=θθθθθ， θθθ2c o s 32c o s 46c o s3+-=-， 62c o s 124cos 62+-=-θθ， θθ2c o s 152cos 15-=-，各式相加，得102cos 154cos 66cos cos 326=---θθθθ．10．已知有mn 个实数，排列成n m ⨯阶数阵，记作{}nm ija ⨯使得数阵的每一行从左到右都是递增的，即对任意的m i ,,3,2,1 =，当21j j <时，有21ij ij a a <；现将{}nm ija ⨯的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的n m ⨯阶数阵，记作{}nm ija ⨯'，即对任意的n j ,,3,2,1 =，当21i i <时，有j i ji a a21''<，试判断{}nm ij a ⨯'中每一行的各数的大小关系，并加以证明．【解析】 数阵{}nm ija ⨯'中的中每一行的各数仍是递增的．下面用反证法给出证明．若在第p 行存在)1(''+>q p pqa a，令)1()1('++=q i q k k a a ，其中m k ,,3,2,1 =，{}{}m i i i i m ,,3,2,1,,,,321 =，则当p t ≤时，)1(+≤q i qi t ta a )1('+=q t a <≤+)1('q p a pq a '即在第q 列中至少有p 个数小于pq a'，也就是pq a '在数阵{}n m ij a ⨯'中的第q 列中至少排在第1+p 行，这与pqa '排在第p 行矛盾．所以数阵{}nm ija ⨯'中的中每一行的各数仍是递增的．2014北约理科数学试题1、圆心角为3π的扇形面积为6,π求它围成圆锥的表面积. 2、将10个人分成3组，一组4人，两组各3人，求共有几种分法.3、()()()()22,11,47,33f a f b a b f f f ++⎛⎫=== ⎪⎝⎭求()2014f . 4、()()2lg 2f x x ax a =-+的值域为,R 求a 的取值范围. 5、已知1,x y +=-且,x y 都为负实数，求1xy xy+的取值范围. 6、()22arctan14x f x C x +=+-在11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上为奇函数，求C 的值. 7、求证：tan3.Q ︒∉8、已知实系数二次函数()f x 与()()(),g x f x g x =和()()30f x g x +=有两重根，()f x 有两相异实根，求证：()g x 没有实根.9、1213......a a a 是等差数列，{}|113,i j k M a a a i j k =++≤<<≤问：7160,,23是否可以同时在M 中，并证明你的结论.10、()01,2,...,i x i n >=11.n i i x ==∏求证：))11.nni i x =≥∏2014北约文科数学试题1、圆心角为3π的扇形面积为6,π求它围成圆锥的表面积. 2、将10个人分成3组，一组4人，两组各3人，求共有几种分法.3、()()()()22,11,47,33f a f b a b f f f ++⎛⎫=== ⎪⎝⎭求()2014f . 4、()()2lg 2f x x ax a =-+的值域为,R 求a 的取值范围. 5、已知1,x y +=-且,x y 都为负实数，求1xy xy+的取值范围. 6、()22arctan14x f x C x +=+-在11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上为奇函数，求C 的值. 7、等比数列{}(){}()411200,631200n n m m +≤≤-≤≤的公共项之和.8、梯形的对角线长分别为5和7，高是3,求梯形的面积.FEDCBA9、求证：tan3.Q ︒∉10、已知实系数二次函数()f x 与()()(),g x f x g x =和()()30f x g x +=有两重根，()f x 有两相异实根，求证：()g x 没有实根.2014北约理科数学试题（参考答案）1、圆心角为3π的扇形面积为6,π求它围成圆锥的表面积. 【解析】21,6,2,2S R R l R ααπ=⇒===扇从而圆锥底面周长为222,,67.r S r S πππππππ=⇒===+=底2、将10个人分成3组，一组4人，两组各3人，求共有几种分法.【解析】平均分堆问题.10634332100.2!C C C ⋅⋅=3、()()()()22,11,47,33f a f b a b f f f ++⎛⎫=== ⎪⎝⎭求()2014f . 【解析】观察等式可知，函数显然为线性一次函数，可设(),f x kx m =+()()11,47f f ==代入求得2,1,k m ==-从而()20144027.f =4、()()2lg 2f x x ax a =-+的值域为,R 求a 的取值范围. 【解析】值域问题.2440,1a a a ∆=-≥⇒≥或0.a ≤5、已知1,x y +=-且,x y 都为负实数，求1xy xy+的取值范围.【解析】均值不等式，对勾函数性质.()()110,4x y xy =-+-≥⇒<≤从而117.4xy xy +≥6、()22arctan14x f x C x +=+-在11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上为奇函数，求C 的值. 【解析】()00,arctan 2.f C =⇒=-下面证明：()()22224arctanarctan 2arctan 2arctan 20.14143x x f x f x C x x +-⎛⎫+-=++=--= ⎪-+⎝⎭7、求证：tan3.Q ︒∉【解析】反证法.假设tan3,Q ︒∈则tan6,tan12,tan 24,Q Q Q ︒∈⇒︒∈⇒︒∈从而tan30,Q ︒∈矛盾.tan3.Q ∴︒∉ 8、已知实系数二次函数()f x 与()()(),g x f x g x =和()()30f x g x +=有两重根，()f x 有两相异实根，求证：()g x 没有实根.【解析】设()2,f x ax bx c =++()2,g x dx ex f =++则由()()f x g x =，可得()()()()()()220,40.a d x b e x c f b e a d c f -+-+-=∆=----=由()()30f x g x +=可得()()()()()()223330,34330.a d x b e x c f b e a d c f +++++=∆=+-++=化简得223124,b e ac df +=+即()22434e df ac b -=-又240.b ac ->240.e df ∴-<()g x ∴没有实根.9、1213......a a a 是等差数列，{}|113,i j k M a a a i j k =++≤<<≤问：7160,,23是否可以同时在M 中，并证明你的结论.【解析】数列中的项.分析M 中项的构成，若按照从小到大的顺序排列，最小的项为123a a a ++，第二项为124a a a ++，最大的项为11121,a a a ++设n a 公差为,d 则M 中项的公差也为d ，所以M 中共有1112131231++---+=项，假设716,,23均为M 中的项，不妨设212121217167110,,,,030,23221k k d k d k k Z k k k -=-=⇒=∈<≤、、且1231,k k +≤这样的k 不存在，矛盾.所以7160,,23不可以同时在M 中. 10、()01,2,...,i x i n >=11.n i i x ==∏求证：))11.nni i x =≥∏【解析】不等式；柯西不等式或AM GM -平均不等式.法一：AM GM -不等式.调和平均值n n ni n H G =≤⎛⎫∑≤n i n ≤=⎛⎫∑ni ≤∑ni ⎛⎫≤∑1n n i i n n ⎛⎫≤+=∑∑，即)1≤，即))1nni ix ≤∏法二：由11.n i ix ==∏及要证的结论分析，由柯西不等式得))211i i x x ⎫≥⎪⎭，从而可设1i i y x =，且1111.n nii i iy x ====∏∏从而本题也即证))11.n ni i y =≥∏从而))211nni ii x x⎫+≥⎪⎭∏，即))21nnii ix y ≥∏，假设原式不成立，即))11,nni i x =<∏则))11.nni i y =<∏从而))21nnii ix y <∏，矛盾.得证.2014北约文科数学试题（参考答案）1、圆心角为3π的扇形面积为6,π求它围成圆锥的表面积. 【解析】21,6,2,2S R R l R ααπ=⇒===扇从而圆锥底面周长为222,,67.r S r S πππππππ=⇒===+=底2、将10个人分成3组，一组4人，两组各3人，求共有几种分法.【解析】平均分堆问题.10634332100.2!C C C ⋅⋅=3、()()()()22,11,47,33f a f b a b f f f ++⎛⎫=== ⎪⎝⎭求()2014f . 【解析】观察等式可知，函数显然为线性一次函数，可设(),f x kx m =+()()11,47f f ==代入求得2,1,k m ==-从而()20144027.f =4、()()2lg 2f x x ax a =-+的值域为,R 求a 的取值范围. 【解析】值域问题.2440,1a a a ∆=-≥⇒≥或0.a ≤5、已知1,x y +=-且,x y 都为负实数，求1xy xy+的取值范围. 【解析】均值不等式，对勾函数性质.()()110,4x y xy =-+-≥⇒<≤从而117.4xy xy +≥6、()22arctan14x f x C x +=+-在11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上为奇函数，求C 的值. 【解析】()00,arctan 2.f C =⇒=-下面证明：()()22224arctanarctan 2arctan 2arctan 20.14143x x f x f x C x x +-⎛⎫+-=++=--= ⎪-+⎝⎭7、等比数列{}(){}()411200,631200n n m m +≤≤-≤≤的公共项之和. 【解析】此题考察数的同余问题；设公共项为a ，1mod(4),3mod(6).a a ≡≡易得a 最小的数为9.4和6的最小公倍数为12,则912,.a k k N =+∈91242001,66.k k +=⨯+⇒=∴公共项之和为()67980127135.2S +==8、梯形的对角线长分别为5和7，高是3,求梯形的面积. 【解析】如图，梯形面积为()()1122S AB CD h DF EC h =+=+，易求得4,DF EC == ()(1143622S DF EC h =+=+=+ FEDCBA9、求证：tan3.Q ︒∉【解析】反证法.假设tan3,Q ︒∈则tan6,tan12,tan 24,Q Q Q ︒∈⇒︒∈⇒︒∈从而tan30,Q ︒∈矛盾.tan3.Q ∴︒∉10、已知实系数二次函数()f x 与()()(),g x f x g x =和()()30f x g x +=有两重根，()f x 有两相异实根，求证：()g x 没有实根.【解析】设()2,f x ax bx c =++()2,g x dx ex f =++则由()()f x g x =，可得()()()()()()220,40.a d x b e x c f b e a d c f -+-+-=∆=----=由()()30f x g x +=可得()()()()()()223330,34330.a d x b e x c f b e a d c f +++++=∆=+-++=化简得223124,b e ac df +=+即()22434e df ac b -=-又240.b ac ->240.e df ∴-<()g x ∴没有实根.2011年北大保送生考试数学试题参考解答2012年北京大学保送生考试数学试题及参考解答1． 已知数列{}n a 为正项等比数列，且34125a a a a +--=，求56a a +的最小值．解：设数列{}n a 的公比为()0q q >，则231115a q a q a a q +--=，12351a q q q ∴=+--()251(1)q q =+-．由10a >知1q >． ()454556111a a a q a q a q q ∴+=+=+()()44225511(1)1q q q q q q =⋅+=+-- 222211515122011q q q q ⎛⎫⎛⎫=++=-++≥ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，当且仅当22111q q -=-即q =56a a +有最小值20． 2．已知()f x 为二次函数，且()()()()()(),,,a f a ff a f f f a 成正项等比数列，求证：()f a a =．证法一：设()()20f x mx nx t m =++≠，数列()()()()()(),,,a f a ff a f f f a 的公比为()0q q >，则()()()()()()()()223,,f a aq ff a f aq aq f f f a f aq aq=====，2ma na t aq ∴++=① 22()m aq naq t aq ++=② 2223()m aq naq t aq ++=③①-②得()()()22111ma qna q aq q ∴-+-=-，②-③得()()()2222111ma q q naq q aq q ∴-+-=-． 若1q =，则()f a a =；若1q ≠，则()21ma q na aq ++=与()21ma q q na aq ++=矛盾．()f a a ∴=．证法二：由()()()()()(),,,a f a ff a f f f a 成等比数列得()()()()()()()()()f f f a f f a f a a f a f f a ==， ()()()()()()()()()()()()f f f a f f a f f a f a f a af f a f a --∴=--．∴三点()()()()()()()()()()()(),,,,,A a f a B f a f a Cf a f a 满足ABBC kk =，,,A B C ∴三点共线，与,,A B C 三点在抛物线上矛盾，()f a a ∴=．3．称四个顶点都落在三角形三边上的正方形叫三角形的内接正方形．若锐角三角形ABC 的三边满足a b c >>，证明：这个三角形的内接正方形边长的最小值为sin sin ac B a c B +．解：如图所示，设正方形MNPQ 的边长为x ，AE MNAD BC=， s i n s i n c B x x c B a -∴=，sin sin 2ac B abcx a c B Ra bc∴==++． 同理可得其它两用人才种情况下内接正方形边长为,22abc abcRb ac Rc ab++． ()()()2220Rb ac Ra bc b a R c +-+=--<，()()()2220Rc ab Ra bc c a R b +-+=--<，∴这个三角形的内接正方形边长的最小值为sin sin ac Ba c B+．4．从O 点发出两条射线12,l l ，已知直线l 交12,l l 于,A B 两点，且OAB S c ∆=（c 为定值），记AB 中点为X ， 求证：X 的轨迹为双曲线．解：以12,l l 的角平分线所在直线为x 轴建立如图所示的直角坐标系． 设AOx BOx α∠=∠=，,OA a OB b ==，(),X x y ， 则1sin 22OAB S ab c α∆==，2sin 2cab α=．()()c o s ,s i n ,c o s ,s i n A a a B b b αααα-，c o s c o s ,2s i n s i n ,2a b x a b y αααα+⎧=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩(1)c o s 2(2)s i n2x a b y a b αα+⎧=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩22(1)(2)-得22222cos sin sin 2x y c ab ααα-==， ∴X 的轨迹为双曲线．D Q EP NMCBAX5．已知()1,2,,10i a i =满足1210121030,21a a a a a a +++=<，求证：()1,2,,10i a i ∃=，使1i a <．证明：用反证法，假设()1,2,,10i a i ∀=， 1i a ≥．令()11,2,,10i i a b i =+=，则0i b ≥，且121020b b b +++=．()()()12101210111a a a b b b ∴=+++ 121012231b b b b b b b =+++++++12232121b b b b =+++≥与121021a a a <矛盾，()1,2,,10i a i ∴∃=，使1i a <．2013年北京大学保送生考试数学试题详解【第1题】ABC ∆内点M 满足100CMB ∠=︒，线段BM 的中垂线交边AB 于P ，线段CM 的中垂线交边AC 于Q ，已知：P 、M 、Q 三点共线，求CAB ∠.解：如图.18080PBM QCM PMB QMC BMC ∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒18080MBC MCB BMC ∠+∠=︒-∠=︒于是())()160,20ABC ACB PBM QCM MBC MCB BAC ∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒∠=︒【第2题】正数 ,,a b c 满足a b c <+，求证：111a b ca b c<++++. 解：111111111111a b c b c b c a b c b c b c b c a b c+=<==+<+++++++++++++ 因此原不等式得证.【第3题】是否存在两两不同的实数,,a b c ，使直角坐标系中的三条直线,,y ax b y bx c y cx a =+=+=+共点. 解：原问题即方程组ax b bx c cx a +=+=+有解(,,,)a b c x ，其中,,a b c 两两不同.c b a cax b bx c cx a x a b b c--+=+=+⇔==-- 整理c b a c a b b c--=--，得222a b c ab bc ca ++=++，与,,a b c 两两不同矛盾. 于是不存在符合题意的实数对(,,)a b c .【第4题】 对{}1,2,9的某非空子集，若其中所有元素的和为奇数，则称为奇子集，问奇子集的个数.解：设{}{}1,3,5,7,9,2,4,6,8M N ==，则奇子集由M 中的1个、3个或5个元素以及N 中的任意个元素组成.因此奇子集共有1354555()2256C C C ++⋅=个.【第5题】在一个20132013⨯的正数数表中，每行都成等差数列，每列平方后都成等差，求证：左上角的数和右下角的数之积等于左下角的数和右上角的数之积.解：下面证明对n n ⨯的数表，*3,,n n n ≥∈N 是奇数，命题均成立. 当21n k =+时，不妨设数表如图.于是= ()()222222a b c d a c b d ⇔+++=++++()()()22222ab cd a c b d ⇔+=++22222abcd b c a d ⇔=+ad bc ⇔=因此命题成立.。