关于xx和xx2的两个对称不等式的证明

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高考数学总复习考点知识讲解与提升练习9 函数的对称性

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习专题9 函数的对称性考点知识1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题．知识梳理1．奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称．(2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝－2；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(－2,0)．2．若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a,0)对称．3．两个函数图象的对称(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称；(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称；(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(√)(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称．(×)(3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1) ＝0，则f(x)的图象关于y轴对称．(×)(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．(√)教材改编题1．函数f(x)＝x＋1x图象的对称中心为()A．(0,0) B．(0,1) C．(1,0) D．(1,1) 答案B解析因为f(x)＝x＋1x＝1＋1x，由y＝1x向上平移一个单位长度得到y＝1＋1x，又y＝1x关于(0,0)对称，所以f(x)＝1＋1x的图象关于(0,1)对称．2．已知定义在R上的函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，且f(－2－x)＝f(－2＋x)，则f(－4)与f(1)的大小关系为________．答案f(－4)>f(1)解析∵f(－2－x)＝f(－2＋x)，∴f(x)关于直线x＝－2对称，又f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，∴f(－4)＝f(0)>f(1)，故f(－4)>f(1)．3．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2,3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝________.答案5解析∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)，由f(x)的图象关于x＝2对称，可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5.题型一轴对称问题例1(1)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，当f(－3)＝－2时，则f(2023)等于()A．－2B．2C．0D．－4答案B解析定义在R上的函数f(x)是奇函数，且对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(x)＝f(2－x)，故f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(2＋x)＝f(4＋x)，∴f(x)是周期为4的周期函数．则f(2023)＝f(505×4＋3)＝f(3)＝－f(－3)＝2.(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(x－1)>f(1)的解集为________．答案(2,4)解析∵f(x＋2)是偶函数，∴f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)在[2，＋∞)上单调递减，∴f(x)在(－∞，2]上单调递增．又f(x－1)>f(1)，∴|x－1－2|<|1－2|，即|x－3|<1，解得2<x<4，∴原不等式的解集为(2,4)．思维升华函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2成轴对称．跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是()A．f(－1)<f(1)<f(2)B．f(1)<f(2)<f(－1)C．f(2)<f(－1)<f(1)D．f(－1)<f(2)<f(1)答案D解析因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为x＝0，所以f(x)的对称轴为x＝1，又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下，根据自变量离对称轴的距离可得f(－1)<f(2)<f(1)．(2)如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时，f (x )＝log 2(3x－1)，那么函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为() A ．2B ．3C ．4D ．－1 答案C解析根据f (1＋x )＝f (－x )可知，f (x )的图象关于x ＝12对称，那么求函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和，即求函数f (x )在[1,3]上的最大值与最小值之和，因为f (x )＝log 2(3x －1)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，所以最小值与最大值分别为f (1)＝1，f (3)＝3，f (1)＋f (3)＝4. 题型二中心对称问题例2(1)(多选)若定义在R 上的偶函数f (x )的图象关于点(2,0)对称，则下列说法正确的是()A ．f (x )＝f (－x )B ．f (2＋x )＋f (2－x )＝0C ．f (－x )＝－f (x ＋4)D ．f (x ＋2)＝f (x －2) 答案ABC解析因为f (x )为偶函数，则f (x )＝f (－x )，故A 正确；因为f (x )的图象关于点(2,0)对称，对于f (x )的图象上的点(x ，y )关于(2,0)的对称点(4－x ，－y )也在函数图象上，即f (4－x )＝－y ＝－f (x )，用2＋x 替换x 得到，f [4－(2＋x )]＝－f (2＋x )，即f (2＋x )＋f (2－x )＝0，故B 正确；由f (2＋x )＋f (2－x )＝0，令x ＝x ＋2，可得f (x ＋4)＋f (－x )＝0，即f (－x )＝－f (x ＋4)，故C 正确；由B 知，f (2＋x )＝－f (2－x )＝－f (x －2)，故D 错误．(2)已知函数f (x )满足f (x )＋f (－x )＝2，g (x )＝1x＋1，y ＝f (x )与y ＝g (x )有4个交点，则这4个交点的纵坐标之和为________．答案4解析因为f (x )＋f (－x )＝2，所以y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称， y ＝g (x )＝1x＋1的图象也关于点(0,1)对称，则交点关于(0,1)对称，所以4个交点的纵坐标之和为2×2＝4.思维升华函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ⇔2b －f (x )＝f (2a －x )；若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (b －x )＝c ，则y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，c 2成中心对称．跟踪训练2(1)函数f (x )＝e x －2－e 2－x 的图象关于() A ．点(－2,0)对称B ．直线x ＝－2对称 C ．点(2,0)对称D ．直线x ＝2对称答案C解析∵f (x )＝e x －2－e 2－x ，∴f (2＋x )＝e 2＋x －2－e 2－(2＋x )＝e x －e －x ，f (2－x )＝e 2－x －2－e 2－(2－x )＝e －x －e x ，所以f (2＋x )＋f (2－x )＝0，因此，函数f (x )的图象关于点(2,0)对称．(2)(2023·郑州模拟)若函数f (x )满足f (2－x )＋f (x )＝－2，则下列函数中为奇函数的是()A．f(x－1)－1B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1D．f(x＋1)＋1答案D解析因为f(2－x)＋f(x)＝－2，所以f(x)关于点(1，－1)对称，所以将f(x)向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x＋1)＋1，该函数的对称中心为(0,0)，故y＝f(x＋1)＋1为奇函数．题型三两个函数图象的对称例3已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象()A．关于直线x＝1对称B．关于直线x＝3对称C．关于直线y＝3对称D．关于点(3,0)对称答案A解析设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称．思维升华函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝b－a2对称．跟踪训练3设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)的图象与y＝f(1－x)的图象()A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于直线x＝1对称D．关于直线y＝1对称答案C解析A选项，函数y＝f(x－1)关于y轴对称的函数为y＝f(－x－1)≠f(1－x)，故A错误；B选项，函数y＝f(x－1)关于x轴对称的函数为y＝－f(x－1)≠f(1－x)，故B错误；C选项，函数y＝f(x－1)关于直线x＝1对称的函数为y＝f(2－x－1)＝f(1－x)，故C 正确；D选项，函数y＝f(x－1)关于直线y＝1对称的函数为y＝2－f(x－1)≠f(1－x)，故D 错误．课时精练1．已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点() A．(－1,2) B．(1,2)C．(－1，－2) D．(－2,1)答案A解析函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，又y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1,2)．2．已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a等于()A．1B．2C．0D．－2答案B解析函数y＝2|x|的图象关于y轴对称，将函数y＝2|x|的图象向右平移2个单位长度可得函数y＝2|x－2|的图象，所以函数y＝2|x－2|的图象关于直线x＝2对称，故a＝2.3．已知奇函数f(x)满足f(5)＝1，且f(x－2)的图象关于x＝3对称，则f(2025)等于()A．－1B．1C．0D．3答案B解析∵函数f(x－2)的图象关于直线x＝3对称，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(－x)＝f(x＋2)，∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，∴f(2025)＝f(1)＝f(5)＝1.4．(2023·郑州质检)若函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝2，则下列函数是奇函数的是() A．f(x－1)－1B．f(x＋1)＋1C．f(x)－1D．f(x)＋1答案C解析∵f(－x)＋f(x)＝2，∴f(x)的图象关于(0,1)对称，将y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度得函数y＝f(x)－1的图象，该图象关于(0,0)对称，∴y＝f(x)－1为奇函数．5．已知函数f(x＋2)是R上的偶函数，且f(x)在[2，＋∞)上恒有f(x1)－f(x2)x1－x2<0(x1≠x2)，则不等式f(ln x)>f(1)的解集为()A．(－∞，e)∪(e3，＋∞) B．(1，e2)C．(e，e3) D．(e，＋∞)答案C解析因为函数f(x＋2)是R上的偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，在[2，＋∞)上恒有f(x1)－f(x2)x1－x2<0(x1≠x2)，当x1<x2时，f(x1)>f(x2)，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，f(x)在(－∞，2)上单调递增，不等式f(ln x)>f(1)需满足|ln x－2|<|1－2|⇒1<ln x<3，解得e<x<e3.6．(多选)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上单调递增，则下列关于f(x)的结论中正确的有()A．f(x)的图象关于直线x＝1对称B．f(x)在[0,1]上单调递增C．f(x)在[1,2]上单调递减D．f(2)＝f(0)答案AD解析根据题意，若f(x＋1)＝－f(x)，则f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即f(x＋2)＝f(x)，f(x)是周期为2的周期函数，则有f(2)＝f(0)，故D正确；若f(x＋2)＝f(x)，且函数f(x)为偶函数，则有f(x＋2)＝f(－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确；f(x)在[－1,0]上单调递增，且函数f(x)为偶函数，则函数f(x)在[0,1]上单调递减，故B错误；f(x)在[－1,0]上单调递增，且f(x)是周期为2的周期函数，则函数f(x)在[1,2]上单调递增，故C错误．7．与f(x)＝e x关于直线x＝1对称的函数是________．答案y＝e2－x解析f(x)＝e x关于直线x＝1对称的是f(2－x)＝e2－x，即y＝e2－x.8．(2022·江苏七市联考)写出一个同时具有性质①②③的函数f(x)＝________.①f(x)是定义域为R的奇函数；②f(1＋x)＝f(1－x)；③f(1)＝2.答案2sin π2x(答案不唯一)解析由①②③可知函数f(x)是对称轴为x＝1，定义域为R的奇函数，且f(1)＝2，可写出满足条件的函数f(x)＝2sin π2 x.9．已知函数f(x)＝a·2x－2－x2x＋2－x是奇函数．(1)求a的值，并解关于x的不等式f(x)>1 3；(2)求函数g(x)＝2x＋12x＋2－x图象的对称中心．解(1)对任意的x∈R,2x＋2－x>0，故函数f(x)的定义域为R，又因为函数f(x)＝a·2x－2－x2x＋2－x为奇函数，则f(0)＝a－12＝0，解得a＝1，所以f(x)＝2x－2－x2x＋2－x，下面验证函数f(x)＝2x－2－x2x＋2－x为奇函数，f(－x)＝2－x－2x2－x＋2x＝－f(x)，故函数f(x)＝2x－2－x2x＋2－x为奇函数，由f(x)＝2x－2－x2x＋2－x＝2x(2x－2－x)2x(2x＋2－x)＝4x－14x＋1>13，得2·4x>4，即22x＋1>22，所以2x＋1>2，解得x>1 2，因此不等式f(x)>13的解集为⎝⎛⎭⎪⎫12，＋∞.(2)g(x)＝2x＋12x＋2－x＝2·2x2x＋2－x，则g(－x)＝2·2－x2－x＋2x，所以g(x)＋g(－x)＝2(2x＋2－x)2x＋2－x＝2，因此函数g(x)＝2x＋12x＋2－x图象的对称中心为(0,1)．10．函数y ＝f (x )的图象关于点P (a ，b )成中心对称的充要条件是函数y ＝f (x ＋a )－b 为奇函数．(1)若f (x )＝x 3－3x 2.求此函数图象的对称中心；(2)类比上述推广结论，写出“函数y ＝f (x )的图象关于y 轴成轴对称的充要条件是函数y ＝f (x )为偶函数”的一个推广结论．解(1)设函数f (x )＝x 3－3x 2图象的对称中心为P (a ，b )，g (x )＝f (x ＋a )－b ，则g (x )为奇函数，故g (－x )＝－g (x )，故f (－x ＋a )－b ＝－f (x ＋a )＋b ，即f (－x ＋a )＋f (x ＋a )＝2b ，即[(－x ＋a )3－3(－x ＋a )2]＋[(x ＋a )3－3(x ＋a )2]＝2b . 整理得(3a －3)x 2＋a 3－3a 2－b ＝0，故⎩⎨⎧3a －3＝0，a 3－3a 2－b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，所以函数f (x )＝x 3－3x 2图象的对称中心为(1，－2)．(2)推论：函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 成轴对称的充要条件是函数y ＝f (x ＋a )为偶函数．11．(多选)已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，下列4个命题中是真命题的是() A ．若y ＝f (x ＋1)为偶函数，则f (x )的图象自身关于直线x ＝1对称 B ．函数f (x －1)与f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称C ．若f (x )为奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，则f (x )的图象自身关于点(1,0)对称D ．若f (x )为奇函数，且f (x )＝f (－x －2)，则f (x )的图象自身关于直线x ＝1对称答案ABD解析对于A ，若y ＝f (x ＋1)为偶函数，其函数图象关于直线x ＝0对称，故y ＝f (x ＋1)的图象向右平移1个单位长度得f (x )的图象，故f (x )的图象自身关于直线x ＝1对称，正确；对于B ，将f (x )的图象向右平移1个单位长度，可得f (x －1)的图象，将f (x )的图象关于y 轴对称得f (－x )的图象，然后将其图象向右平移1个单位长度得f (1－x )的图象，故f (x －1)与f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称，故正确；对于C ，若f (x )为奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )＝f (－x )，故f (x ＋1)＝f (1－x )，所以f (x )的图象自身关于直线x ＝1对称，故不正确；对于D ，因为f (x )为奇函数，且f (x )＝f (－x －2)，故f (x ＋2)＝－f (x )＝f (－x )，所以f (x )的图象自身关于直线x ＝1对称，故正确．12．已知函数f (x )满足f (x ＋2)是偶函数，若函数y ＝|x 2－4x －5|与函数y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则横坐标之和x 1＋x 2＋…＋x n ＝________. 答案2n解析因为f (x ＋2)是偶函数，所以函数f (x ＋2)的图象关于直线x ＝0对称，又因为函数f (x ＋2)向右平移2个单位长度得到函数f (x )的图象，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，因为y ＝|x 2－4x －5|＝|(x －2)2－9|，所以函数y ＝|x 2－4x －5|的图象也关于直线x ＝2对称，所以x 1＋x 2＋…＋x n ＝n2·4＝2n .13．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，则此函数图象上关于原点对称的点有()A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对答案B解析作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，再作出－y ＝f (－x )，记为曲线C ，由图象可知，满足条件的对称点只有一对，图中的A ，B 就是符合题意的点． 14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2－4，x ≤2，2x －2－4，x >2，则满足f (2＋log 4x )>f (1－log 4x )的x 的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 C ．(0,2) D ．(2，＋∞)答案A解析当x ≤2时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2－4＝22－x －4＝2|x －2|－4，当x >2时，f (x )＝2x －2－4＝2|x －2|－4，所以对任意的x ∈R ，f (x )＝2|x －2|－4，则f (4－x )＝2|4－x －2|－4＝2|x －2|－4＝f (x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，因为函数f (x )在[2，＋∞)上单调递增，由f (2＋log 4x )>f (1－log 4x )可得|2＋log 4x －2|>|1－log 4x －2|，即|log 4x |>|1＋log 4x |，不等式|log 4x |>|1＋log 4x |两边平方得log 4x <－12，解得0<x <12.。

一个代数不等式的几何证法

一个代数不等式的几何证法不等式的证明是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，错法多种多样，本节通这一些实例，归纳整理证明不等式时常用的方法和技巧。

步骤/方法比较法比较法是证明不等式的最基本方法，具体有作差比较和作商比较两种。

基本思想是把难于比较的式子变成其差与0比较大小或其商与1比较大小。

当求证的不等式两端是分项式(或分式)时，常用作差比较，当求证的不等式两端是乘积形式(或幂指数式时常用作商比较)基准1未知a+b0，澄清：a3+b3a2b+ab2分析：由题目观察知用作差比较，然后提取公因式，结合a+b0来说明作差后的正或负，从而达到证明不等式的目的，步骤是10作差20变形整理30判断差式的正负。

∵(a3+b3)?(a2b+ab2)=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)证明： =(a-b)2(a+b)又∵(a-b)20(a-b)2(a+b)0即a3+b3a2b+ab2例2 设a、br+，且ab，求证：aabbabba分析：由澄清的不等式所述，a、b具备轮休对称性，因此可以在设a0的前提下用做商比较法，作商后同1比较大小，从而达至证明目的，步骤就是：10作商20商形整理30推论为与1的大小证明：由a、b的对称性，不妨解a0则aabbabba=aa-b?bb-a=(ab)a-b∵a?b?0，ab?1，a-b?0(ab)a-b?(ab)0=1即aabbabba1，又abba0aabbabba练习1 已知a、br+，nn，求证(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1)基本不等式法利用基本不等式及其变式证明不等式就是常用的方法，常用的基本不等式及变形存有：(1)若a、br，则a2+b22ab(当且仅当a=b时，取等号)(2)若a、br+，则a+b 2ab (当且仅当a=b时，挑等号)(3)若a、b同号，则 ba+ab2(当且仅当a=b时，取等号)基准3 若a、br， |a|1，|b|1则a1-b2+b1-a21分析：通过观察可直接套用： xyx2+y22证明：∵a1-b2b1-a2a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1b1-a2+a1-b21，当且仅当a1+b2=1时，等号成立练2：若 a?b?0，证明a+1(a-b)b3综合法综合法就是从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式性质推算出要证明不等式。

例谈题根在数学解题中的应用——以对数均值不等式为例

3_¥)故学敉学2021年第3期例谈题根在数学解题中的应用----以对数均值不等式为例张国治(新疆生产建设兵团第二中学，新疆乌鲁木齐83_2)笔者通过对近几年高考、竞赛试题的研究，有一个很有趣的发现——许多试题来源于同一个问题.我们可以把这类不断生长的问题称为“题根题根是一个题族、一个题系中的源头，也是一个题群中的典例.把握住了一个题根，叩源推委，便能寻觅到解决问题的“金钥匙”，进而辐射到一个题族、题群.以题根方式展开教学，旨在寻找解题思维入口，通过题根的变式拓展探求不同的解法，帮助学生理解问题内涵，总结归纳.那么如何寻找“题根”呢? 将源于课本、高考、竞赛的题目进行提炼与升华形成结论，然后再将其广泛应用于解题实践中，这便是寻找题源的不二法门.这一过程意义非凡，因为茫茫题海中很多题目表象不同，但实质一样（可归结于同一个题根或题源）.一个题源加工而成的结论，其功效不亚于教材中的一个定理，寻找“题根”需要八方联系，浑然一体.笔者以一道竞赛题为例，探源溯流，给出一类高考题、竞赛题命题的题根，多题归一，提供一种高效学习数学的方法，敬请同行指正.[1]题根（2017年全国高中数学联赛湖南省预赛第15题）[2]已知a、6 e 11且〇 > 0, i > Q，a #b.(i)求证：#(2)如果 a、6 是函数/(a:) = lnx -的两个零点，求证> e2.证法 1:如图 1，设/(*) = e*，x e [m，n]，其中双m，0)，B(n，0)，过点分别作x轴的垂线，交曲线于c、Z)两点.点)处的切线/分别交BC、于点£、f，则f c pJ f=6〒，所以/:7 1梯形从一(j£+J f)=(n-m*n^l)e ，•^曲边梯形A sa) =| g dx =e一 e , *S梯形^ m数感是《义务教育数学课程标准（2011 版)》中的十大核心概念之一，对运算结果的估计是数感的一种重要体现.估计（估算）在三个学段都有明确具体的目标要求，其中在第三学段(7-9年级）的知识技能目标对运算（包括估算）技能的要求是达到掌握层级.固然，计算的准确性是数学学科的基本要求之一，运算能力是典型的数学能力，但其内涵已发生了变化.运算能力不仅指能够“正确地从事运算”，还包括借助工具计算和手算，也包括精确计算和估算[2].作为一线的数学教师，应该充分理解课标的价值理念,在日常的教学中应该给“估算”留一席之地.准确、标准的答案是我们数学人的追求，但“估算”是数学运算中不可或缺的组成部分估算”过程中所体现出的发散式调适与思考，正是学生创新意识形成、创新能力培养的一个有效载体.参考文献[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.[2]马复，凌晓枚.新版课程标准解析与教学指导[M].北京：北京师范大学出版社，2012.2021年第3期故学敉学3-41n - m . 、 n — m / m …、 _ ...2 (yA + J b ) = 2 (e + e )•显然有S 梯形y l B E F < $曲边梯形/I B C D < S 梯形A f i C Z )，艮Pm +nr j一)(n - m ) e 2 < en - em < —-—(em + e n)，1_•设％> 1，则欲证不等式成立等价于证明21n % 1).构造函数则e 宁<^<n - m a2，令 en = a ，可得< , , , - ^In a - lno 2证法2:(1)由对称性，不妨设a > 6 > 0,^ a - b a + b a - b a + l 先证^-----TT < —•因为^----— <In a - Ini 2 〇 In a - Ini >2(a - b )^ a ^In a - \nb 2a + ba—+设％ = T > 1，则欲证不等式成立等价于〇证明lnx > ^l l (x > 1}.X + l构造函数/(尤）=lnx - ^~~> 1)，则作)=(n因为* > 1,所以尸（*) >x(x + 1)0,/(X )在（1，+ =C )上为单调递增函数，由 f i x ) >/〇) = 0,即得lm > 1)，即<In a - In 62再证#< , a ~ f -,-.因为# <In a - Ini In a - Inia<=> In a - In 6 <y 〇b<=> In — <g 〇) = 21m -卜一(% > 1)，则g '(x ) =- (% -J )<〇，因此g U )在（1, + 〇〇)上为单调递减函数.办）<g (l ) = 0,即得21n % < (a :---1 (x > 1),即y 〇b <a综上可知，#<In a - Inia -b In a - Ini2以上结论反映了对数平均与算术平均、几何平均的大小关系，我们知道两个正数a 、6的对数平均定义：L (a , b ) = jlna - ln 6 () ’la(a = b ).则当 a >〇，i >〇,有<In a - Ini—^一，^^<[(16)<-^—（当且仅当〇=6时，等号成立).若令 lna =文！，Ini =%2,贝l j d = e*1，6 = e*2, < —z —等价于^^?J~a b <In a — Ini 2?V 2__*2 丄 ^2‘1—，利用该不等式，可x X pL e - e " e •十 ee 2 < ------- < —-xx - x 2 2以轻松获解该题的第（2)小题：证明:定义域为（〇, +〇〇 )，尸(％) 1 2017 -x2017 2黯•若p2〇17，则/，（,）= 0;若* e (0,2017),则尸〇) >0,函数/(；〇单调递增;若;c e (2017, + 〇〇 )，则尸(无）< 0,函数3-42故学敉学2021年第3期/(幻单调递减.由对称性，不妨设 a >6> 〇,则可得〇< 6<2017 <a.由条件知，ln a= 且ln6=故 lna- ln6(a-6)，即2017由对数均值不等式得2017即a + 6 > 2 x 2017.-bIn a - Inia -bIn a - In6= 2017,<2 ，1iia;,a：2= \nxl+ \nx2= m(x l+ x2)> 2m•— = 2,所以a:丨a:2> e*12.m评注:不难发现，例1第（2)小题是题根第(2)小题的一般情况，事实上，由对数均值不等,______ 1 X] ~X22J x x x2<—=---------------，艮p<m lnxj -m x2-7,可见必有〇< m < i.m e因为lnafc= In a+ In6 =----(a+ 6) >2017 》^x 2x 2017 = 2,所以d> e2.下面举例说明此题根在高考、竞赛、模考中的应用，也进一步洞悉此类问题的编拟奥秘.类型1直接用对数均值不等式例1(2016年全国高中数学联赛湖南省预赛第15题）[3]已知函数/(幻=i l n x-(1)若m =」2时，求函数/(幻的所有零点；(2)若/(4有两个极值点心、巧,且x, < 尤2•求证:丨内> e2.解析:（1)当m =-2时，/(幻=;*111»:+；*:2-x = x( \nx + x -l) (x> 0). i^,p(x)=ln% + x -1(«：> 0)，则p'(A〇=丄+ 1> 0,于是p(a〇在X(〇, + «>)上为增函数.又P(1) = 0,所以，当m =-2时，函数/(幻有唯一的零点a; = 1.(2)若/(x)有两个极值点x,、*2,则导函数/'(*)有两个零点h h•由/'U)= In* -m*，可知例2(2018年全国高中数学联赛福建省预赛第14题）[4]已知/U)= e* -似.(1)当x > 0时，不等式Q-2)/(幻+ m*2+ 2> 0恒成立,求实数m的取值范围；(2)若力、*2是/(幻的两个零点，证明：A C, + A；2> 2.解析：（1)略.(2)证明：由题可得/U)= /U2) = 〇,即I e*' = m x., t _x x,x得。

不等式的性质和解法

应用举例：例如，若x > y且z > w，则x + z > y + w。
注意点：此性质可以推广到多个数的加法。例如，若a_1 > b_1，a_2 > b_2，...，a_n > b_n，则a_1 + a_2 + ... + a_n > b_1 + b_2 + ... + b_n。
性质3：乘法性质
性质3：乘法性质性质4：加法性质性质5：乘方性质性质6：开方性质
力学：解决受力平衡问题，如物体在重力、弹力、摩擦力作用下的运动状态。
在物理中的应用
电磁学：研究电流、电压、电阻之间的关系，以及电磁波的传播规律。
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热学：比较不同温度下的压力、体积等物理量，用于计算热力学性质。
光学：解释光的干涉、衍射等现象，以及光学仪器的设计原理。
性质1：传递性
性质1：传递性
性质2：加法性质
性质3：乘法性质
性质4：同号得正，异号得负
性质2：加法性质
定义：如果a > b且c > d，则a + c > b + d。
证明：因为a > b，所以a - b > 0；因为c > d，所以c - d > 0。将两不等式相加，得到(a - b) + (c - d) > 0，即a + c > b + d。
几何方法需要熟练掌握数轴和坐标系的基本概念，以及不等式的几何意义。
几何方法在数学教学中广泛应用，是解决不等式问题的一种重不等式转化为等式进行求解适用范围：适用于含有多个未知数的不等式步骤：设定参数、建立等式、求解等式、回代求解不等式注意事项：参数的取值范围需满足不等式的约束条件

高中数学第三章不等式3.1不等式关系与不等式课件新人教A版必修5

为函数 y＝1x在(－∞，0)上单调递减，a<b<0，所以1a>1b，
故 D 正确．
答案：D
5．若 x＞1，y＞2，则： (1)2x＋y＞________； (2)xy＞________．解析：(1)x＞1⇒2x＞2，2x＋y＞2＋2＝4；(2)xy＞2. 答案：(1)4 (2)2
类型 1 用不等式(组)表示不等关系 [典例 1] 分别写出满足下列条件的不等式： (1)一个两位数的个位数字 y 比十位数字 x 大，且这个两位数小于 30； (2)某电脑用户计划用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元的单片软件 x 片和 70 元的盒装磁盘 y 盒．根据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒．解：(1)y＞x＞0，30＞10x＋y＞9，且 x，y∈N*； (2)x≥3，y≥2，60x＋70y≤500，且 x，y∈N*.
同向 5
可加性
ac>>db⇒a＋c⑫>b＋d
同向同正 6
可乘性
ac>>db>>00⇒ac⑬>bd
7
可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
8
可开方性
nn
a>b>0⇒ a> b(n∈N，n≥2)
[思考尝试·夯基] 1．思考义是指 x 不小于 2.( ) (2)若 a＜b 或 a＝b 之中有一个正确，则 a≤b 正确．( ) (3)若 a＞b，则 ac＞bc 一定成立．( ) (4)若 a＋c＞b＋d，则 a＞b，c＞d.( )
解析：(1)正确．不等式 x≥2 表示 x＞2 或 x＝2，即 x 不小于 2，故此说法是正确的．(2)正确．不等式 a≤b 表示 a＜b 或 a＝b.故若 a＜b 或 a＝b 中有一个正确，则 a ≤b 一定正确．(3)错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此由 a＞b，则 ac＞bc，不一定成立，故此说法是错误的．(4)错误．取 a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足 a＋c＞b＋d，但不满足 a ＞b，故此说法错误．

几个重要不等式与不等式的证明

几个重要不等式与不等式的证明蔡玉书(江苏省苏州市第一中学,215006) 收稿日期:2008-09-16　修回日期:2009-02-17 (本讲适合高中)在不等式的证明中,重要不等式的使用是不等式证明的常用方法.1　几个重要不等式这里所说的几个重要不等式是指:均值不等式　设a 1,a 2,…,a n 都是正数.则a 1+a 2+…+a nn≥n a 1a 2…a n ,当且仅当a 1=a 2=…=a n 时,等号成立.柯西不等式　设a 1,a 2,…,a n ;b 1,b 2,…,b n 是两组实数.则(∑ni =1a 2i)(∑ni =1b 2i)≥(∑ni =1a ib i)2,当且仅当a i =kb i (i =1,2,…,n )时,等号成立.下列柯西不等式的三个变形在解题中有相当大的作用.变形1　设a 1,a 2,…,a n ;b 1,b 2,…,b n 是两组正实数.则∑ni =1a 2ib i≥(∑ni =1a i)2∑ni =1bi.变形2　设a 1,a 2,…,a n ;b 1,b 2,…,b n是两组正实数.则∑ni =1a ib i≥(∑ni =1a i )2∑ni =1a i bi.变形3　设a 1,a 2,…,a n ;b 1,b 2,…,b n是两组正实数.则∑ni =1a i·∑ni =1bi≥∑ni =1a ib i .Schur 不等式　设x 、y 、z ≥0,r 是实数.则x r(x -y )(x -z )+y r(y -x )(y -z )+z r(z -y )(z -x )≥0.当r =1时,Schur 不等式有几种变形:(1)x 3+y 3+z 3-(x 2y +xy 2+x 2z +xz 2+y 2z +yz 2)+3xyz ≥0;(2)(x +y +z )3-4(x +y +z )·(yz +zx +xy )+9xyz ≥0;(3)xyz ≥(x +y -z )(y +z -x )(z +x -y ).契比雪夫不等式　设a 1≤a 2≤…≤a n ,b 1≤b 2≤…≤b n ,则∑ni =1a i∑ni =1bi≤n∑ni =1a ib i;设a 1≤a 2≤…≤a n ,b 1≥b 2≥…≥b n ,则∑ni =1a i∑ni =1bi≥n∑ni =1a ib i.2　例题选讲在证明不等式时,要特别注意两点:(1)所给条件的综合变形与运用重要不等式的配合;(2)运用其他方法或技巧与运用重要不等式的配合.例1　设a 、b 、c 是正数,且ab +bc +ca =3.求证:11+a 2(b +c )+11+b 2(c +a )+11+c 2(a +b )≤1abc.(2008,罗马尼亚国家集训队试题)证明:依题设,由均值不等式得ab+bc+ca=3≥33(abc)2,即　abc≤1.故11+a2(b+c)≤1abc+a2(b+c)=1a(ab+bc+ca)=13a.同理,11+b2(c+a)≤1 3b,11+c2(a+b)≤1 3c.以上三式相加得11+a2(b+c)+11+b2(c+a)+11+c2(a+b)≤1 31a+1b+1c=ab+bc+ca3abc=1abc.注:本题巧妙地利用已知条件和均值不等式将不等式左边的分母中的1换成较小的abc,实现了转化.例2　设x、y、z是正实数,且x+y+z =3.证明:x3 y3+8+y3z3+8+z3x3+8≥19+227(xy+yz+zx).(2008,伊朗数学奥林匹克)证明:由均值不等式得x3 y3+8+y+227+y2-2y+427≥33x3y3+8·y+227·y2-2y+427=x3.同理,y 3z3+8+z+227+z2-2z+427≥y3,z3 x3+8+x+227+x2-2x+427≥z3.以上三式相加,并注意到x+y+z=3,得x3 y3+8+y3z3+8+z3x3+8≥4 9-127(x2+y2+z2)=19+9-(x2+y2+z2)27=19+(x+y+z)2-(x2+y2+z2)27=19+227(xy+yz+zx).注:本题巧妙地将分母进行了因式分解,并且通过考察不等式等号成立的充要条件,调整因式前面的系数,达到证明的目的.例3　设x、y、z是非负数,且x2+y2+z2=3.证明:xx2+y+z+yy2+z+x+zz2+x+y≤3.(2008,乌克兰数学奥林匹克)证明:由柯西不等式得3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2.因为x2+y2+z2=3,所以,x2+y2+z2≥x+y+z.①由柯西不等式得(x2+y+z)(1+y+z)≥(x+y+z)2.于是,只要证明x1+y+z+y1+z+x+z1+x+yx+y+z≤3.再由柯西不等式得(x1+y+z+y1+z+x+z1+x+y)2=(x·x+xy+zx+y·y+yz+xy+z·z+zx+xy)2≤(x+y+z)[(x+xy+zx)+　(y+yz+xy)+(z+zx+xy)]=(x+y+z)[(x+y+z)+2(xy+yz+zx)]≤(x+y+z)[x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)]=(x+y+z)3.故x1+y+z+y1+z+x+z1+x+yx+y+z≤x+y+z.由不等式①得x+y+z≤x2+y2+z2= 3.因此,不等式得证.注:先局部使用柯西不等式,将分母化为相同,再继续使用柯西不等式进行放缩,从而达到证明的目标.例4　设a、b、c∈16,+∞,且a2+b2+c2=1.证明:1+a22a2+3ab-c2+1+b22b2+3bc-a2+1+c22c2+3ca-b2≥2(a+b+c).(2007,乌克兰国家集训队试题)证明:由柯西不等式得(2a2+3ab-c2+2b2+3bc-a2+2c2+3ca-b2)·a22a2+3ab-c2+b22b2+3bc-a2+c22c2+3ca-b2≥(a+b+c)2,①(2a2+3ab-c2+2b2+3bc-a2+2c2+3ca-b2)2≤(1+1+1)[(2a2+3ab-c2)+　(2b2+3bc-a2)+(2c2+3ca-b2)] =3[(a2+b2+c2)+3(ab+bc+ca)].②又由均值不等式得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.故4(a+b+c)2≥3(a2+b2+c2)+9(ab+bc+ca).③由式②、③得2a2+3ab-c2+2b2+3bc-a2+2c2+3ca-b2≤2(a+b+c).④由式①、④得a22a2+3ab-c2+b22b2+3bc-a2+c22c2+3ca-b2≥12(a+b+c).⑤由柯西不等式得(2a2+3ab-c2+2b2+3bc-a2+2c2+3ca-b2)·12a2+3ab-c2+12b2+3bc-a2+12c2+3ca-b2≥(1+1+1)2=9.⑥注意到a2+b2+c2=1,由柯西不等式得9=9(a2+b2+c2)≥3(a+b+c)2.⑦由式④、⑥、⑦得12a2+3ab-c2+12b2+3bc-a2+12c2+3ca-b2≥3(a+b+c)2.⑧⑤+⑧得1+a22a2+3ab-c2+1+b22b2+3bc-a2+1+c22c2+3ca-b2≥2(a+b+c).注:将原不等式拆成两个后,分别采用柯西不等式进行处理,恰到好处.例5　已知a、b、c都是正实数.证明:(a+b)3+4c3≥4(a3b3+b3c3+c3a3).(2008,波兰数学奥林匹克)证明:由均值不等式和柯西不等式得(a+b)3+4c3=a3+b3+3a2b+3ab2+4c3=2(a2b+ab2)+(a2+b2)(a+b)+4c3≥4a3b3+(a32+b32)2+4c3≥4a3b3+4c32(a32+b32)=4(a3b3+b3c3+c3a3).注:在使用两个不等式时,应注意保证等号能够成立.证明之雅,使人回味无限.例6　设x、y、z都是正数,且x+y+z≥1.证明:x xy+z+y yz+x+z zx+y≥32.(2003,摩尔多瓦国家集训队试题)证明:由均值不等式得x32+y32+y32≥3x12y,x32+z32+z32≥3x12z.相加得2(x32+y32+z32)≥3x12(y+z).故xy+z≥3x322(x32+y32+z32).同理,yz+x≥3y322(x32+y32+z32),z x +y≥3z322(x 32+y 32+z32).于是,要证明原不等式只要证明x 2+y 2+z2x 32+y 32+z32≥13Ζ3(x 2+y 2+z 2)2≥(x 32+y 32+z 32)2.由柯西不等式得(x 2+y 2+z 2)(x +y +z )≥(x 32+y 32+z 32)2,3(x 2+y 2+z 2)≥(x +y +z )2≥x +y +z .两个不等式相乘即得.注:利用均值不等式将三个式子作对称化处理,为后面巧妙地应用柯西不等式做好了充分的准备.例7　设a 、b 、c 是正数.求证:1+4a b +c 1+4b c +a 1+4c a +b >25.(2008,波斯尼亚数学奥林匹克)证明:注意到1+4a b +c 1+4b c +a 1+4c a +b>25Ζ(b +c +4a )(c +a +4b )(a +b +4c )>25(a +b )(b +c )(c +a )Ζa 3+b 3+c 3+7abc>a 2b +ab 2+b 2c +bc 2+c 2a +ac 2.由Schur 不等式得a 3+b 3+c 3+3abc≥a 2b +ab 2+b 2c +bc 2+c 2a +a 2c .从而,不等式得证.注:在最近几年的数学竞赛中,Schur 不等式已经被普遍使用,希望引起大家的重视.例8　设x 、y 、z 是正实数.求证:xy z +yz x +zxy>23x 3+y 3+z 3.(2008,中国国家集训队测试题)证明:设xy z =a 2,yz x =b 2,zx y=c 2.因为x 、y 、z 是正实数,所以,x =ca ,y =ab ,z =bc .于是,原不等式化为a 2+b 2+c 2>23a 3b 3+b 3c 3+c 3a 3,即　(a 2+b 2+c 2)3>8(a 3b 3+b 3c 3+c 3a 3)Ζa 6+b 6+c 6+3(a 4b 2+a 2b 4+b 4c 2+b 2c 4+c 4a 2+c 2a 4)+6a 2b 2c2　>8(a 3b 3+b 3c 3+c 3a 3).由Schur 不等式得a 6+b 6+c 6+3a 2b 2c 2>a 4b 2+a 2b 4+b 4c 2+b 2c 4+c 4a 2+c 2a 4.①由均值不等式得a 4b 2+a 2b 4≥2a 3b 3,b 4c 2+b 2c 4≥2b 3c 3,c 4a 2+c 2a 4≥2c 3a 3.以上三式相加得a 4b 2+a 2b 4+b 4c 2+b 2c 4+c 4a 2+c 2a4≥2(a 3b 3+b 3c 3+c 3a 3).②又a 2b 2c 2>0.③①+4×②+3×③得a 6+b 6+c 6+3(a 4b 2+a 2b 4+b 4c 2+b 2c 4+c 4a 2+c 2a 4)+6a 2b 2c2>8(a 3b 3+b 3c 3+c 3a 3).注:分析法的使用为证明打开了大门,变量代换为Schur 不等式的使用铺平了道路.例9　已知a 、b 、c 是正数,且a +b +c =1.证明:1bc +a +1a+1ca +b +1b+1ab +c +1c≤2731.(2008,克罗地亚数学奥林匹克)证明:注意到1bc +a +1a+1ca +b +1b+1ab +c +1c≤2731Ζ9a 2+9abc +9-31a a 2+abc +1+9b 2+9abc +9-31bb 2+abc +1+9c 2+9abc +9-31c c 2+abc +1≥0.不妨设a ≥b ≥c .显然9(a +b )<31.容易证明9a2+9abc+9-31a≤9b2+9abc+9-31b≤9c2+9abc+9-31c.故a2+abc+1≥b2+abc+1≥c2+abc+1,即　1a2+abc+1≤1b2+abc+1≤1c2+abc+1.由契比雪夫不等式有39a2+9abc+9-31aa2+abc+1+9b2+9abc+9-31bb2+abc+1+9c2+9abc+9-31cc2+abc+1≥[(9a2+9abc+9-31a)+(9b2+9abc+ 9-31b)+(9c2+9abc+9-31c)]·1a2+abc+1+1b2+abc+1+1c2+abc+1.于是,只要证明(9a2+9abc+9-31a)+(9b2+9abc+9-31b)+(9c2+9abc+9-31c)≥0 Ζ9(a2+b2+c2)+27abc+27-31(a+b+c)≥0.又a+b+c=1,只要证明9(a2+b2+c2)+27abc-4≥0Ζ9(a2+b2+c2)(a+b+c)+27abc-4(a+b+c)3≥0Ζ5(a3+b3+c3)-3(a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ac2)+3abc≥0.①由Schur不等式得a3+b3+c3+3abc≥a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+a2c.②由均值不等式得a3+b3+c3≥3abc.③②×3+③×2得不等式①.从而,原不等式得证.注:本题难度相当大.首先用分析法将不等式化为等价的不等式进行证明,也为利用契比雪夫不等式做好了充分的准备,Schur不等式和均值不等式的使用为最后的证明锦上添花.例10　已知x、y、z是正数,且x+y+z =1,k是正整数.证明:x k+2x k+1+y k+z k+yk+2y k+1+z k+x k+zk+2z k+1+x k+y k≥17.(2007,南斯拉夫数学奥林匹克)证明:不妨设x≥y≥z.则x k≥y k≥z k.由契比雪夫不等式得3(x k+1+y k+1+z k+1)≥(x+y+z)(x k+y k+z k).①因为x≥y≥z,所以,x k+1+y k+z k≤y k+1+z k+x k≤z k+1+x k+y k.事实上,由x≥y≥z,有x k-1≥y k-1≥z k-1,x(1-x)-y(1-y)=x(y+z)-y(z+x)=z(x-y)≥0,即　x(1-x)≥y(1-y).从而,x k(1-x)≥y k(1-y).所以,x k+1+y k+z k≤y k+1+z k+x k.同理,y k+1+z k+x k≤z k+1+x k+y k.故xk+1x k+1+y k+z k≥y k+1y k+1+z k+x k≥z k+1z k+1+x k+y k.由契比雪夫不等式得x k+2x k+1+y k+z k+yk+2y k+1+z k+x k+zk+2z k+1+x k+y k≥13(x+y+z)xk+1x k+1+y k+z k+y k+1y k+1+z k+x k+zk+1z k+1+x k+y k=13x k+1x k+1+y k+z k+y k+1y k+1+z k+x k+z k+1z k+1+x k+y k =13x k+1x k+1+y k+z k+y k+1y k+1+z k+x k+z k+1z k+1+x k+y k·[(x k+1+y k+z k)+(y k+1+z k+x k)+(z k+1+x k+y k)]·1x k+1+y k+1+z k+1+2(x k+y k+z k)≥x k +1+y k+1+z k+1x k+1+y k+1+z k+1+2(x k+y k+z k)=x k+1+y k+1+z k+1x k+1+y k+1+z k+1+2(x+y+z)(x k+y k+z k)≥x k +1+y k+1+z k+1x k+1+y k+1+z k+1+2×3(x k+1+y k+1+z k+1)=1 7 .最后一步用的是不等式①.注:条件x+y+z=1是用来调整不等式的次数的.这里多次采用排序,使用契比雪夫不等式,使得证明完美.练习题1.设x1,x2,…,x n是正实数,n是正整数.证明:∏n i=1(1+x1+x2+…+x i)≥(n+1)n+1x1x2…x n. (2007,俄罗斯数学奥林匹克)(提示:对元素y1=x11+x1,y2=x2(1+x1)(1+x1+x2),y3=x3(1+x1+x2)(1+x1+x2+x3),……y n=x n(1+x1+…+x n-1)(1+x1+…+x n-1+x n),y n+1=11+x1+…+x n-1+x n应用均值不等式.)2.已知a、b、c都是正数,且ab+bc+ca =1.证明:a3+a+b3+b+c3+c≥2a+b+c.(2008,伊朗国家集训队试题)(提示:用条件ab+bc+ca=1将问题化为证明a(a+b)(c+a)+b(a+b)(b+c)+c(c+a)(b+c)≥2(a+b+c)(ab+bc+ca),之后应用柯西不等式和Schur不等式.)3.设a、b、c∈R+,且abc=1.证明:1b(a+b)+1c(b+c)+1a(c+a)≥32.(2008,塔吉克斯坦数学奥林匹克)(提示:先作变换a=xy,b=yz,c=zx,再用柯西不等式和均值不等式.)4.设a、b、c、d是正数,且1a+1b+1c+1d =4.证明:3a3+b32+3b3+c32+3c3+d32+3d3+a32≤2(a+b+c+d)-4.(2007,波兰数学奥林匹克)(提示:先用分析法证明3a3+b32≤a2+b2a+b.再用柯西不等式.)5.设a≥b≥c>0,x≥y≥z>0.证明:a2x2(by+cz)(bz+cx)+b2y2(cz+ax)(cx+az)+c2z2(ax+by)(ay+bx)≥34.(2000,韩国数学奥林匹克)(提示:先用均值不等式,再用柯西不等式和契比雪夫不等式.)6.已知x1,x2,…,x n是正实数,满足∑ni=1x i =∑ni=11x i.证明:∑ni=11n-1+x i≤1.(2007,波兰等国联合数学竞赛)(提示:令yi=1n-1+x i.利用柯西不等式结合反证法加以证明.)欢迎订阅《中等数学》2009年第6期:服务于全国高中数学联赛的专刊。

不等式的性质与图像

不等式的性质
加法性
不等式两边同时加（减）一个数，不等号方向不变
传递性
若a>b且b>c，则a>c
乘法性
不等式两边同时乘（除）一个正数，不等号方向不变；乘（除）一个负数，不等
号方向反转
不等式的解法
一元一次不等式
化简、整理、判断正负号
含绝对值不等式
分情况讨论
多元不等式
用最小值或最大值进行比较
不等式的变形
换元方法
将不等式中的变量通过代入或替
换等方法转化
合并同类项
将不等式中的同类型项合并，简
化计算过程
分式化简
将不等式中的分式部分化简成整
式形式
不等式的证明方法
证明不等式的成立是数学推理的重要体现。通过数学归纳法、反证法等方法，可以验证不等式在特定条件下的有效性。掌握不同证明方法对于提高数学逻辑推理能力至关重要。
不等式的应用拓展
01 数学竞赛
不等式理论在竞赛中常用于解决复杂问题，提高得分率
02 科学研究
通过不等式推导，可以总结规律、优化方案，推动科研进展
03 社会政策
应用不等式理论，优化社会分配方案，提高资源利用效率
不等式的总结
基本性质
不等式性质和等式相似，但具有更灵活的计算操作
解法方法
变形技巧、证明方法等多种方式可解决不等式问题
不等式与代数几何
几何形态分析
空间图像解读
解决问题
多变量关系
应用案例
立体几何问题
不等式在实际问题中的应用
01 生活中的应用
资源分配问题
02 工程案例
最优设计方案

高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明6.1不等式的性质及一元二次不等式课件理

合A,再求解.
(2)利用指数函数的性质,将原不等式化为关于x的一元
二次不等式求解即可.
【规范解答】(1)选C.A={x|1<x<3}， B={x|2<x<4}, 故A∩B={x|2<x<3}.
(2)因为4=22且y=2x在R上单调递增，所以 <4可化
为x2-x<2，解得-1<x<2.所以 <4的解集是 a(x 1 ) a
B．2个
C．433个，
D．4个
【解析】选C.运用倒数性质，
由a>b，ab>0可得 {x|2x
4}.
②④正确．又正数大于3 负数，①正确，③错误.
2.如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中不一
定成立的是 ( )
A.ab>ac
B.c(b-a)>0
C.cb2<ab2
D.ac(a-c)<0
A.n>m>p
B.m>p>n
C.m>n>p
D.p>m>n
【解题导引】(1)根据已知条件可判断出x和z的符号, 然后由不等式的性质便可求解. (2)根据不等式性质和函数单调性求解.
【规范解答】(1)选C.因为x>y>z,x+y+z=0,所以x>0,
z<0.所以由 1 可得xy>xz. (2)选B.因为ax >1,所以a2+1-2a=(a-1)2>0,即a2+1>2a,
第六章不等式、推理与证明第一节
不等式的性质及一元二次不等式
ab
1

a

不等式不等式的性质

不等式的表达
1
不等式的表达通常包括左右两个部分，它们是由不等号侧通常是常数、变量或代数式。
3
不等式的表达可以包含一个或多个不等式，它们之间可以是相互独立的，也可以是有联系的。
例子展示
例如，“2x + 1 > 5”是一个简单的不等式，其中“x”是一个变量， “2x + 1”是一个数学表达式， “5”是一个常数。
THANKS
几何证法
利用面积关系
常用面积法证明线段或面积的不等关系
利用相似三角形
相似三角形的对应角相等，对应边成比例
利用圆的性质
圆心到弦的距离与半径的大小关系可以用来证明一些圆不等式
反证法
否定结论
假设命题的结论不成立，即假设命题的否定成立
推出矛盾
在假设结论不成立的前提下，通过逻辑推理或计算推导出矛盾结果
机械设计
不等式可以用来描述机械设计中的结构强度和稳定性等。
控制系统
不等式可以用来描述控制系统中的稳定性和响应速度等。
04
不等式的证明方法
代数证法
综合法
从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的推理和计算，最后推得所要证明的结论
分析法
从求证的不等式出发，逐步减少使它成立的充分条件，最后归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）
对称性
总结词
如果a>b成立，那么b<a也成立。
详细描述
不等式的对称性是指如果一个不等式成立，那么它的相反方向的不等式也成立。例如，如果a>b成立，那么 b<a也成立。这个性质可以用于证明不等式的正确性。
加法可换性
总结词

2023年新高考数学一轮复习讲义精讲精练第2讲不等式含详解

第2讲不等式的性质及其解法学校____________ 姓名____________ 班级____________一、知识梳理1.两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎨⎧a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a b ⇔a ＋c >b ＋c ； ②可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ； a >b ，c <0⇒ac <bc ；③传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； ④对称性：a >b ⇔b <a . (2)不等式的推论①移项法则：a ＋b >c ⇔a >c －b ；②同向不等式相加：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； ③同向不等式相乘：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ； ④可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n >1)； ⑤可开方性：a >b >0⇒a >b . 3.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集(2)|ax ＋①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c (c ＞0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想. 4.三个“二次”间的关系判别式 Δ＝b 2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图像一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集 {x |x ＞x 2或x ＜x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2}∅ ∅5.1212的解集是(x 1，x 2)，不等式12)＞0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞).6.分式不等式及其解法 (1)f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0). (2)f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔f (x )·g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. 二、考点和典型例题1、不等式的性质【典例1-1】（2022·安徽·芜湖一中高三阶段练习（文））已知0a b c d >>>>，且a d b c +=+，则以下不正确的是（）A ．a c b d +>+B ．ac bd >C ．ad bc <D ．a cb d>【典例1-2】（2022·安徽黄山·二模（文））设实数a 、b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．22a b >B ．11b b a a +<+ C ．22ac bc > D ．332a b -+>【典例1-3】（2022·重庆八中模拟预测）（多选）已知0a >，0b >，且3ab a b ++=，则下列不等关系成立的是（） A ．1ab ≤B ．2a b +≥C ．1a b ->D ．3a b -<【典例1-4】（2022·广东汕头·二模）（多选）已知a ，b ，c 满足c <a 0B ．c （b -a ）<0C ．22cb ab <D ．ab ac >【典例1-5】（2022·福建三明·模拟预测）（多选）设a b c <<，且0a b c ++=，则（） A ．2ab b .【典例2-3】（2022·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >2，求证：(1)2≤； (2)22216a b ≤+<.【典例2-4】（2022·安徽·芜湖一中三模（文））已知函数()12f x x x =---． (1)求函数()f x 的值域；(2)已知0a >，0b >，且221a b +=，不等式()2211422f x a b ≤+恒成立，求实数x 的取值范围．【典例2-5】（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a ，b ，c 为正数. (1)求24a a +的最小值； (2)求证：bc ac ab a b c a b c++≥++. 不等式的综合应用【典例3-1】（2021·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三阶段练习（文））若函数243y kx kx =++对任意x ∈R 有0y >恒成立，则实数k 的取值范围为（）A ．30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【典例3-2】（2022·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式()2330-++<x m x m 的解集中恰有3个正整数，则实数m 的取值范围为（） A ．[)2,1--B ．()3,4C ．(]5,6D ．(]6,7【典例3-3】（2022·浙江·高三专题练习）若不等式2430mx mx +-<对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围为_______.【典例3-4】（2021·福建省南平市高级中学高三阶段练习）命题“x R ∃∈，2290x mx ++<”为假命题，则实数m 的取值范围是___________.【典例3-5】（2021·黑龙江·嫩江市高级中学高三阶段练习（理））已知函数2()2f x x ax =-+-，[1,3]x ∈ （1）若()0f x <恒成立，求a 的范围．（2）求()f x 的最小值()g a ．第2讲不等式的性质及其解法学校____________ 姓名____________ 班级____________一、知识梳理1.两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎨⎧a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a b ⇔a ＋c >b ＋c ； ②可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ； a >b ，c <0⇒ac <bc ；③传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； ④对称性：a >b ⇔b <a . (2)不等式的推论①移项法则：a ＋b >c ⇔a >c －b ；②同向不等式相加：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； ③同向不等式相乘：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ； ④可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n >1)； ⑤可开方性：a >b >0⇒a >b . 3.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集(2)|ax ＋①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c (c ＞0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想. 4.三个“二次”间的关系判别式 Δ＝b 2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图像一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集 {x |x ＞x 2或x ＜x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2}∅ ∅5.1212的解集是(x 1，x 2)，不等式12)＞0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞).6.分式不等式及其解法 (1)f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0). (2)f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔f (x )·g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. 三、考点和典型例题3、不等式的性质【典例1-1】（2022·安徽·芜湖一中高三阶段练习（文））已知0a b c d >>>>，且a d b c +=+，则以下不正确的是（）A ．a c b d +>+B ．ac bd >C ．ad bc <D ．a cb d>【答案】D 【详解】0a b >>，0c d a c b d >>⇒+>+，ac bd >，故A ，B 正确；()()220a d b c a d b c ->->⇒->-，即()()2244a d ad b c bc ad bc +->+-⇒<，故C 正确；对ad bc <两边同除bd 得a cb d<，故D 错误. 故选：D.【典例1-2】（2022·安徽黄山·二模（文））设实数a 、b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（） A ．22a b > B ．11b b a a +<+ C ．22ac bc > D ．332a b -+>【答案】D 【详解】对于A ：当2a =，4b =-时不成立，故A 错误；对于B ：当12a =-，1b =-，所以2ba =，101b a +=+，即11b b a a +>+，故C 错误；对于C ：当0c 时不成立，故C 错误；对于D ：因为a b >，所以330a b >>，又30b ->，所以33332b a b b --≥+>+=（等号成立的条件是0b =），故D 正确. 故选：D.【典例1-3】（2022·重庆八中模拟预测）（多选）已知0a >，0b >，且3ab a b ++=，则下列不等关系成立的是（） A ．1ab ≤ B ．2a b +≥ C ．1a b -> D ．3a b -<【答案】ABD 【详解】对于A ，由3ab a b ++= ，a b +≥ ，当且仅当a b = 时等号成立，3ab ∴+≤ ，)310≤ ，1ab ∴≤ ，当且仅当1a b == 时等号成立，故A 正确；对于B ，由3ab a b ++=，得()()4114,11a b b a ++=∴+=+ ，由基本不等式得)44(1)(1)21212211a b a b a a a +=+++-=++-≥-=++ ，当且仅当a=b =1时成立；故B 正确；对于C ，若1,1,a b == 满足3ab a b ++=，01a b -=＜，故C 错误；对于D ，∵3ab a b ++=，∴3ab a b a b =+++＞，由B 的结论得23a b ≤+＜，()()()()222949439a b a b ab a b a b --=+--=+--+-⎡⎤⎣⎦()()()()2421730a b a b a b a b =+++-=+++-＜，()29,3a b a b ∴--＜＜，故D 正确；故选：ABD.【典例1-4】（2022·广东汕头·二模）（多选）已知a ，b ，c 满足c <a 0 B ．c （b -a ）<0 C ．22cb ab < D ．ab ac >【答案】BCD 【详解】解：因为a ，b ，c 满足c <a >->->，所以ac （a -c ）<0 ，c （b -a ）<0，22cb ab <，ab ac >，故选：BCD【典例1-5】（2022·福建三明·模拟预测）（多选）设a b c <<，且0a b c ++=，则（） A ．2ab b ，所以ac bc <，故B 正确，因为0<<a c ，所以11a c<，故C 正确，因为a b <，所以a b ->-，所以0c a c b ->->，所以1c ac b->-，故D 错误，故选：BC4、不等式的解法【典例2-1】（2021·重庆市涪陵高级中学校高三阶段练习）已知{}{}2|430,||1|1A x x x B x x =-+≤=-≤(1)求集合A 和B ； (2)求A ∪B ，A ∩B ，【答案】(1){}13A x x =≤≤；{}02B x x ≤≤ (2){}03A B x x ⋃=≤≤；{}12A B x x ⋂=≤≤ 【解析】 (1)解：解不等式2430x x -+≤得13x ≤≤，所以{}13A x x =≤≤，解不等式|1|1x -≤得02x ≤≤，所以{}02B x x ≤≤； (2)解：{}03A B x x ⋃=≤≤，{}12A B x x ⋂=≤≤.【典例2-2】（2021·全国·高三专题练习）已知常数a ∈R ，解关于x 的不等式2212x ax a ->. 【详解】∵2212x ax a ->，22120x ax a ∴-->，即(4)(3)0x a x a +->，令(4)(3)0x a x a +-=，解得14ax =-，23a x =， ①当0a >时43a a -<，解集为4a xx ⎧<-⎨⎩∣或3a x ⎫>⎬⎭； ②当0a =时，20x >，解集为{xx R ∈∣且0}x ≠； ③当0a <时，43a a ->，解集为3a xx ⎧<⎨⎩∣或4a x ⎫>-⎬⎭. 综上所述：当a >0时，不等式的解集为4a xx ⎧<-⎨⎩∣或3a x ⎫>⎬⎭；当a =0时，不等式的解集为{xx R ∈∣且0}x ≠；当a <0时，不等式的解集为3a xx ⎧<⎨⎩∣或4a x ⎫>-⎬⎭. 【典例2-3】（2022·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >2，求证：(1)2≤； (2)22216a b ≤+<. 【解析】(1)2，且0,0a b >>，所以20≥>，当且仅当1a b ==时，取“=”，所以01<，所以2==． (2)由2222()2,4a b a b ab a b +=+-+=--所以221642216a b ab ab ab +=--=-222(16)164)162(416ab =--=-=-，01ab <，所以344≤<，所以29(416≤<，所以218232≤<（，所以22216a b ≤+<．【典例2-4】（2022·安徽·芜湖一中三模（文））已知函数()12f x x x =---． (1)求函数()f x 的值域；(2)已知0a >，0b >，且221a b +=，不等式()2211422f x a b ≤+恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】(1)[]1,1-(2)74⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【解析】 (1)解：当2x ≥时，()()()12=12=1f x x x x x =------；当1x ≤时，()()()12=12=1f x x x x x =-----+--；当12x <<时，()()()12=12=23f x x x x x x =----+--，所以 ()()1,1f x ∈-，综上函数()f x 的值域为[]1,1- (2)因为221a b +=，()22222222111112222222b a a =b a b a b ⎛⎫+⨯+++≥+ ⎪⎝⎭+，当且仅当222222=b a a b ，即=a b 时等号成立，要使不等式()2211422f x a b ≤+恒成立，只需()42f x ≤，即()12f x ≤恒成立，由（1）知当2x ≥时，()()()12=12=1f x x x x x =------不合题意；当1x ≤时，()()()112=122f x x x x x =-----+-≤恒成立；当12x <<时，()()()112=12=232f x x x x x x =----+--≤，解得714x <≤，综上74x ≤，所以x 的取值范围为74⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，.【典例2-5】（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a ，b ，c 为正数.(1)求24a a +的最小值； (2)求证：bc ac ab a b c a b c ++≥++. 【解析】(1)因为24a a +24=322a a a ++≥=，当且仅当“2a =”时等号成立，所以当2a =时，24a a +的最小值为3. (2)因为2bc ac c a b +≥，同理2ac ab a b c +≥，2bc ab b a c +≥，所以三式相加得22()bc ac ab a b c a b c ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭，所以bc ac ab a b c a b c++≥++，当且仅当“a b c ==”时等号成立 5、不等式的综合应用【典例3-1】（2021·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三阶段练习（文））若函数243y kx kx =++对任意x ∈R 有0y >恒成立，则实数k 的取值范围为（）A ．30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【详解】由题意，函数243y kx kx =++对任意x ∈R 有0y >（1）当0k =时，30y =>成立；（2）当0k ≠时，函数为二次函数，若满足对任意x ∈R 有0y >，则2030161204k k k k >⎧∴<<⎨∆=-<⎩综上：30,4k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故选：A 【典例3-2】（2022·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式()2330-++<x m x m 的解集中恰有3个正整数，则实数m 的取值范围为（）A ．[)2,1--B ．()3,4C ．(]5,6D ．(]6,7【答案】D【详解】因为不等式()2330-++<x m x m 的解集中恰有3个正整数，即不等式()()30x x m --<的解集中恰有3个正整数，所以3m >，所以不等式的解集为()3,m所以这三个正整数为4,5,6，所以67m <≤，即67a <≤故选：D【典例3-3】（2022·浙江·高三专题练习）若不等式2430mx mx +-<对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围为_______. 【答案】3,04⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【详解】当m =0时不等式为30-<,显然对于任意实数x 恒成立；当m ≠0时，不等式2430mx mx +-<对任意实数x 恒成立等价于,解得304m -<<, 所以m 的取值范围是3,04⎛⎤- ⎥⎝⎦, 故答案为：3,04⎛⎤- ⎥⎝⎦. 【典例3-4】（2021·福建省南平市高级中学高三阶段练习）命题“x R ∃∈，2290x mx ++<”为假命题，则实数m 的取值范围是___________. 【答案】62,62⎡-⎣【详解】若原命题为假命题，则其否定“x R ∀∈，2290x mx ++≥”为真命题，这等价于2720m =-≤，解得6262m -≤≤故答案为：62,62⎡-⎣.【典例3-5】（2021·黑龙江·嫩江市高级中学高三阶段练习（理））已知函数2()2f x x ax =-+-，[1,3]x ∈ （1）若()0f x <恒成立，求a 的范围．（2）求()f x 的最小值()g a ．【答案】（1）22a <（2）3114()34a a g a a a -≤⎧=⎨->⎩．【详解】解：（1）220x ax -+-<，22ax x <+，[1,3]x ∈，22x a x+∴<， 22222x x x x +=+，当且仅当[1,3]x =时成立，∴2min2x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭ a ∴<（2）当22a ≤即4a ≤时，min ()(3)311f x f a ==-；当22a >即4a >时，min ()(1)3f x f a ==-，综上，3114()34a a g a a a -≤⎧=⎨->⎩．。

高中数学一轮复习课件：第七章不等式、推理与证明(必修5、选修1-2)7-1

令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得 x1＝－a4，x2＝a3.
①当 a>0 时，－a4<a3，不等式的解集为 x|x<－a4，或x>a3； ②当 a＝0 时，－a4＝a3＝0，不等式的解集为{x|x∈R，且 x≠0}； ③当 a<0 时，－a4>a3，不等式的解集为 x|x<a3，或x>－a4. 综上所述：当 a>0 时，不等式的解集为 x|x<－a4，或x>a3；
5.简单分式不等式的解法
x－a x－b>0
等价于(x－a)(x－b)>0；
x－a x－b<0
等价于(x－a)(x－b)<0；
xx－－ab≥0 等价于xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0 等价于xx－－ba≠0x－. b≤0，
[辨识巧记] 1．倒数性质的几个必备结论 (1)a>b，ab>0⇒1a<1b. (2)a<0<b⇒1a<1b. (3)a>b>0,0<c<d⇒ac>bd. (4)0<a<x0⇔a>b， (1)作差法a－b＝0⇔a＝ba，b∈R，
a－b<0⇔a<b.
ab>1⇔a>ba∈R，b>0， (2)作商法ab＝1⇔a＝ba∈R，b>0，
ab<1⇔a<ba∈R，b>0.
2．不等式的基本性质
m＋n＝3， n－m＝－1，
解得mn＝＝12.，
因为－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，

高一数学不等式知识点总结及例题

高一数学不等式知识点总结及例题一、不等式知识点总结。

（一）不等式的基本性质。

1. 对称性：如果a > b，那么b < a；如果b < a，那么a > b。

2. 传递性：如果a > b，b > c，那么a > c。

3. 加法单调性：如果a > b，那么a + c>b + c。

- 推论1：移项法则，如果a + b>c，那么a>c - b。

- 推论2：同向不等式可加性，如果a > b，c > d，那么a + c>b + d。

4. 乘法单调性：如果a > b，c>0，那么ac > bc；如果a > b，c < 0，那么ac < bc。

- 推论1：同向正数不等式可乘性，如果a > b>0，c > d>0，那么ac > bd。

- 推论2：乘方法则，如果a > b>0，那么a^n>b^n(n∈ N,n≥slant1)。

- 推论3：开方法则，如果a > b>0，那么sqrt[n]{a}>sqrt[n]{b}(n∈N,n≥slant2)。

（二）一元二次不等式及其解法。

1. 一元二次不等式的一般形式。

- ax^2+bx + c>0(a≠0)或ax^2+bx + c < 0(a≠0)。

2. 一元二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象与一元二次不等式的解集关系。

- 当a>0时，Δ=b^2-4ac：- 若Δ>0，方程ax^2+bx + c = 0有两个不同的实根x_1,x_2(x_1，则不等式ax^2+bx + c>0的解集为{xx < x_1或x>x_2}，不等式ax^2+bx + c < 0的解集为{xx_1。

- 若Δ = 0，方程ax^2+bx + c = 0有两个相同的实根x_0=-(b)/(2a)，则不等式ax^2+bx + c>0的解集为{xx≠-(b)/(2a)}，不等式ax^2+bx + c < 0的解集为varnothing。

A新高考数学高考重难专攻(一) 导数与不等式的证明

成立．
适当放缩法
已知函数f(x)＝aex－ln x－1． (1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间； (2)证明：当a≥1e时，f(x)≥0． [解] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－1x．由题设知，f′(2)＝0，所以a＝21e2．从而f(x)＝21e2ex－ln x－1，f′(x)＝21e2ex－1x．当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0．所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)．
1．待证不等式的两边含有相同的变量时，一般地，可以直接构造“左减右” 或“右减
2．利用构造差函数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数g(x)； (3)利用导数研究g(x)的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
x＝ln 2．
于是当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
2(1－ln 2＋a)
故 f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)．所以 f(x)在 x＝ln 2 处取得极小值，极小值为 f(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)，无极大值．
(2)证明：当a＝0，x∈(0,1)时，x2－1x<fexx等价于－elnx x＋x2－1x<0， ∵当x∈(0,1)时，ex∈(1，e)，－ln x>0，∴－elnx x<－ln x， ∴只需要证－ln x＋x2－1x<0在(0,1)上恒成立．令g(x)＝－ln x＋x2－1x，x∈(0,1)， ∴g′(x)＝－1x＋2x＋x12＝2x3－x2x＋1>0，则函数g(x)在(0,1)上单调递增，于是g(x)<g(1)＝－ln 1＋1－1＝0， ∴当x∈(0,1)时，x2－1x<fexx．

2015-1-7一元一次不等式(组)基础讲义含答案

一元一次不等式（组）（讲义）一、知识点睛1. 不等式的概念：用符号>，<，≥，≤，≠连接的式子叫做不等式．“≥”叫大于或等于，也叫不小于；“≤”叫小于或等于，也叫不大于．2.不等式的基本性质：．．4．①不等式的两边都加上（或减去）同一个代数式，不等号的方向不变； ②不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； ③不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变．3.不等式的解与不等式的解集：使不等式成立的未知数的值；，叫做不等式的解；含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集，通常用“xa >”或“x a <”的形式表示．不等式的解集可以在数轴上表示，需要注意实心圆点和空心圆圈的区别．4.求不等式解集的过程叫做解不等式．5. 一元一次不等式：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式．6.一元一次不等式组及其解法．一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集．求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．二、精讲精练．1. a 的5倍与3的差不小于10，用不等式表示为____________．2. 某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分．已知小明在这次竞赛中的成绩超过90分，设他答对了n 道题，则根据题意可列不等式_______________．3.判断正误．（1）2≤3；（）（2）由2x >-6，得3x <-；（）（3）由ac bc >，且c ≠0，得a b >；（）（4）如果0a b <<，则1ab<．（） 4.已知ab >，c ≠0，则下列关系一定成立的是（）A ．ac bc >B ．a bc c> C ．c a c b ->- D ．c a c b +>+5. 若x a =是不等式5x +125≤0的解，则a 的取值范围是_________________．6. 不等式10x +<的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．7.若关于x的不等式0x a -≤的解集如图所示，则a =_______．8. 若关于x 的不等式325m x -<的解集是2x >，则m =______．9. 不等式x ≤1的非负整数解是____________；不等式1x >-的最小整数解是___________． 10. 解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上．（1）2125x x --<；（2）53432x x ++-≤；（3）69251332x x x +-+-≤；（4）532122x x ++->．11. 在不等式0ax b +>中，a ，b 是常数，且a ≠0，当______时，不等式的解集是bx a>-；当_______时，不等式的解集是b xa<-． 12. 不等式84632x x x+->+的非负整数解为________________．13. 若不等式x a <只有4个正整数解，则a 的取值范围是________________． 14. 若不等式x a ≥只有2个负整数解，则a 的取值范围是________________． 15. 解下列不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上．（1）213821x x x +>-⎧⎨--⎩≤；（2）239253x x x x+<-⎧⎨-<⎩；（3）211132x +-<-<；（4）513(1)2151132x x x x ->+⎧⎪-+⎨-⎪⎩≥；（5）273(1)234425533x x x x x x ⎧⎪-<-⎪+⎪<⎨⎪⎪--+⎪⎩≤．16. 若不等式组420x a x >⎧⎨->⎩的解集是12x -<<，则a =________．17. 如果不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解集是11x -<<，那么(1)(1)a b +-=_____________．18. 如果一元一次不等式组>2>x x a ⎧⎨⎩的解集是2x >，那么a 的取值范围是（）A ．2a >B ．2a ≥C ．2a ≤D ．2a <19. 如果不等式组8>41x x x m+-⎧⎨⎩≤的解集是3x <，那么m 的取值范围是（）A ．3m ≥B ．3m ≤C ．3m =D ．3m <一元一次不等式（组（随堂测试）1. 解不等式组240312123x x x +⎧⎪+-⎨<⎪⎩≥，并把它的解集表示在数轴上．2. 不等式351222x x -++≤的最小整数解为_________． 3. 如果不等式组2223x a x b ⎧--⎪⎨⎪-⎩≤≤的解集是01x ≤≤，那么a b +的值为____________．一元一次不等式（组）基础（作业）20. 下列说法中，错误的是（）A ．不等式2x <的正整数解有一个B ．2-是不等式210x -<的一个解C ．不等式39x ->的解集是3x >-D ．不等式10x <的整数解有无数个 21. 若0a b >>，c ≠0，则下列式子一定成立的是（）A ．a c b c -<-B ．1a b <C ．22a b ->-D ．22a bc c>22. 已知点M (12m -，1m -)关于x 轴的对称点在第一象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是（）A ．B ． C, D,23. 若一组数据3，4，6，8，x 的中位数是x ，且x 是满足不等式组3050x x -⎧⎨->⎩≥的整数，则这组数据的平均数是___________．24. 若不等式22x a -+≥的解集是1x ≤，则a 的值是_________．25. 若不等式20x a -≤只有4个正整数解，则a 的取值范围是________________．26. 若不等式组2>31<1x n x m +⎧⎨+-⎩的解集是12x -<<，则m n -=____．27. 若关于x 的不等式组8236x x x a +>+⎧⎨⎩≤的解集是2x <，则a 的取值范围是_________．28. 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队预计在2013~2014赛季全部32场比赛中至少得到48分，才有希望进入季后赛．若设这个队在将要举行的比赛中胜x 场，则x 应满足的关系式是_____________．29. 解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上．（1）521293x x --≤；（2）3221145x x --+≤；（3）321132x x -+<-；（4）326381236x x x -----≤．30. 解下列不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上．（1）73(1)5213122x x x x -+<-⎧⎪⎨-⎪⎩≥；（2）3(2)412>13x x x x --⎧⎪+⎨-⎪⎩≥；（3）4513777x -<--≤；（4）63315x xxx -⎧⎪-⎨<--⎪⎩≤．一元一次不等式（组）应用（讲义）一、知识点睛1. 解一元一次不等式组的口诀：大大取大、小小取小、大小小大中间找、大大小小找不着．2.不等式应用题的三种常见类型①关键词型：不超过，至少，不低于，多于等；②不空不满型：不空也不满等；③方案设计型：原材料供应，容器容量．二、精讲精练1.解下列不等式组．（1）42313(1)x x x x +⎧+⎪⎨⎪+<-⎩≥；（2）3(2)81213x x x x --⎧⎪+⎨>-⎪⎩≥；（3）523132x x x +⎧⎪+⎨>⎪⎩≥；（4）12(1)2235xx x x ⎧+>-⎪⎪⎨+⎪⎪⎩≥．2.如果一元一次不等式组213(1)x x x m->-⎧⎨⎩≤的解集是2x <，那么m 的取值范围是（）A ．2m =B ．2m >C ．2m <D ．2m ≥3.若关于x 的一元一次不等式组712x ax x >⎧⎨+<-⎩有解，则a 的取值范围是（）A ．2a -≤B ．2a >-C ．12a<-D ．12a -≤ 4.若关于x 的一元一次不等式组122x ax x <⎧⎨-<-⎩无解，则a 的取值范围是（）A ．1a -≥B ．1a >-C ．1a ≤D ．1a <5.若关于x 的一元一次不等式组721x mx <⎧⎨-<⎩的整数解共有3个，则m 的取值范围是（）A ．67m <<B ．67m <≤C ．67m ≤≤D ．67m <≤6.为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划购买一批篮球和排球，已知篮球的单价为96元，排球的单价为64元，若用不超过 3 200元去购买篮球和排球共36个，且要求购买的篮球多于25个，则至少购买排球_______________个．7. 用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空．那么汽车共有___________辆．8.“亚洲足球俱乐部冠军联赛”期间，河南球迷一行56人从旅馆乘车到天河球场为广州恒大加油．现有A ，B 两个车队，A 队比B 队少3辆车．若全部安排乘A 队的车，每辆坐5人，车不够，每辆坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B 队的车，每辆坐4人，车不够，每辆坐5人，有的车未坐满．则A 队有车___________辆．9.某工厂现有甲种原料360kg ，乙种原料290kg ，计划利用这两种原料生产A ，B 两种产品共50件．已知生产一件A ，B 产品所需原料如下表所示．（1）设生产x 件A 种产品，写出x 应满足的不等式组；（2）有哪几种符合题意的生产方案？请你帮助设计．10. 某工厂现有甲种布料70米，乙种布料52米，计划利用这两种布料生产A ，B 两种型号的时装共80套．．利用现有布料，工厂能否完成任务？若能，请设计出所有可能的生产方案；若不能，请说明理由．11. 某仓库有甲种货物360吨，乙种货物290吨，计划用A ，B 两种货车共50辆将这批货物运往外地．若一辆A种货车能装载甲种货物9吨和乙种货物3吨；一辆B 种货车能装载甲种货物6吨和乙种货物8吨．则有哪几种运输方案？请设计出来．12. 在家电下乡活动中，某厂家计划将100台冰箱和54台电视机送到乡下．现租用甲、乙两种货车共8辆将这批家电全部运走，已知一辆甲种货车可同时装冰箱20台，电视机6台，一辆乙种货车可同时装冰箱8台，电视机8台．则将这批家电一次性运到目的地，有几种租用货车的方案？一元一次不等式（组）应用（随堂测试）4. 若关于x 的不等式组3352x x x a++⎧>⎪⎨⎪⎩≤的解集为3x <-，则a 的取值范围是（）A ．3a =-B ．3a >-C ．3a <-D ．3a -≥5. 某工厂现有甲种原料280kg ，乙种原料190kg ，计划利用这两种原料生产A ，B 两种产品50件．已知生产一件A 产品需甲种原料7kg ，乙种原料3kg ；生产一件B 产品需甲种原料3kg ，乙种原料5kg ．则该工厂有哪几种生产方案？请你设计出来．一元一次不等式（组）应用（作业）31. 小美将某服饰店的促销活动内容告诉小明后，小明假设某件商品的定价为x元，并列出关系式0.3(2100) 1 000x -<，则下列哪个选项可能是小美告诉小明的内容？（）A 买两件相同价格的商品可减100元，再打3折，最后不到1 000元！B 买两件相同价格的商品可减100元，再打7折，最后不到1 000元！C 买两件相同价格的商品可打3折，再减100元，最后不到1 000元！D 买两件相同价格的商品可打7折，再减100元，最后不到1 000元！32. 把一些笔记本分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本．则共有学生（） A ．4人B ．5人C ．6人D ．5人或6人33. 若一元一次不等式组9551x x x m +<+⎧⎨>+⎩的解集是1x >，则m 的取值范围是_______________．34. 若关于x 的一元一次不等式组4132x xx m+⎧>+⎪⎨⎪>⎩有解，则m 的取值范围是_______________．35. 若关于x 的一元一次不等式组2113x x a -⎧>⎪⎨⎪<⎩无解，则化简32a a -+-的结果为_________________．36. 若关于x 的一元一次等式组0321x a x ->⎧⎨->⎩的整数解共有4个，则a 的取值范围是___________．37. “3·12”植树节，市团委组织部分中学的团员去郊区植树．某校八年级（3）班团支部领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，最后一人有树植，但不足3棵．则这批树苗共有___________棵．38. 解下列不等式组：（1）201211233x x x -⎧⎪--⎨-<⎪⎩≤；（2）3(2)41213x x x x --⎧⎪+⎨>-⎪⎩≥；（3）331213(1)8x x x x -⎧++⎪⎨⎪--<-⎩≥；（4）311224(1)x x x +⎧-⎪⎨⎪->+⎩≥．39. 某工厂现有甲种原料400千克，乙种原料450千克，计划利用这两种原料生产A ，B 两种产品共60件．已知生产一件A 种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料5千克；生产一件B 种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克．则有哪几种生产方案？请你设计出来．40. 某校组织学生到外地进行社会实践活动，共有680名学生参加，并携带300件行李，学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共20辆．经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．则如何安排甲、乙两种汽车，可一次性地将学生和行李全部运走？请你设计方案．1、【参考答案】知识点睛1．>，<，≥，≤，≠．大于或等于，不小于；小于或等于，不大于． 2．①代数式，不变；②正数，不变；③负数，改变．3．使不等式成立的未知数的值；含有未知数的不等式的所有解．实心圆点和空心圆圈．4．求不等式解集的过程． 5．整式，未知数．6．关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起．一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分．求不等式组解集的过程．精讲精练1．5310a -≥ 2．105(20)90n n --> 3．（1）√；（2）×；（3）×；（4）×． 4．D5．25a -≤6．A7．1- 8．3 9．0，1；0． 10．（1）2x <；（2）2x -≤；（3）1x -≥；（4）12x <．解集在数轴上的表示略． 11．0a>；0a <．12．0，1，2，3． 13．45a <≤ 14．32a -<-≤ 15．（1）3x ≥；（2）52x -<<；（3）514x -<<；（4）无解；（5）46x -<<．解集在数轴上的表示略． 16．1- 17．6-18．C 19．A2、【参考答案】1．21x -<-≤，解集在数轴上的表示略．2．2- 3．3-3、【参考答案1．C2．D3．A 4．55．46．810a <≤7．1-8．2a ≥9．23248x x +-≥10．（1）13x ≥；（2）2x -≤；（3）34x >-；（4）15x -≥．解集在数轴上的表示略．11．（1）4x ≥；（2）1x ≤；（3）2255x <≤；（4）无解．解集在数轴上的表示略． 4、【参考答案知识点睛1．大大取大、小小取小、大小小大中间找、大大小小找不着． 2．①关键词型；②不空不满型；③方案设计型．精讲精练1．（1）2x >；（2）1x -≤；（3）12x -<≤；（4）无解． 2．D 3．C 4．C 5．D 6．8 7．6 8．109．（1）94(50)360310(50)290x x x x +-⎧⎨+-⎩≤≤；（2）共有3种生产方案．方案一，生产A 种产品30件，B 种产品20件；方案二，生产A 种产品31件，B 种产品19件；方案三，生产A 种产品32件，B 种产品18件． 10．工厂能完成任务，共有5种生产方案．方案一，生产A 型号时装36套，B 型号时装44套；方案二，生产A 型号时装37套，B 型号时装43套；方案三，生产A 型号时装38套，B 型号时装42套；方案四，生产A 型号时装39套，B 型号时装41套；方案五，生产A 型号时装40套，B 型号时装40套． 11．共有3种运输方案．方案一，A 种货车20辆，B 种货车30辆；方案二，A 种货车21辆，B 种货车29辆；方案三，A 种货车22辆，B 种货车28辆．12．共有3种租车方案．方案一，租用甲种货车3辆，乙种货车5辆；方案二，租用甲种货车4辆，乙种货车4辆；方案三，租用甲种货车5辆，乙种货车3辆． 5、【参考答案】1．D 2．共有3种生产方案．方案一，生产A 种产品30件，B 种产品20件；方案二，生产A 种产品31件，B 种产品19件；方案三，生产A 种产品32件，B 种产品18件． 6、【参考答案】1．A 2．C 3．0m ≤ 4．2m < 5．25a -+ 6．43a -<-≤7．1218．（1）2x ≥；（2）1x ≤；（3）21x -<≤；（4）无解．9．共有3种生产方案．方案一，生产A 种产品30件，B 种产品30件；方案二，生产A 种产品31件，B 种产品29件；方案三，生产A 种产品32件，B 种产品28件．10．共有3种方案．方案一，安排甲型汽车8辆，乙型汽车12辆；方案二，安排甲型汽车9辆，乙型汽车11辆；方案三，安排甲型汽车10辆，乙型汽车10辆．。

第6章基本不等式

第六章不等式
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课时作业
有一个可转动的探照灯，其照射角∠ PAQ始终为45°(其中点P，Q分别在边BC，CD上)，设∠PAB＝θ，tan θ＝t.
(1)用t表示出PQ的长度，并探求△ CPQ 的周长 l 是否为定值；
(2)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S最大为多少？
f(x)≥3 恒成立，则 a 的取值范围是________．
第六章不等式
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课时作业
(4)(2015·郑州模拟)函数 y＝loga(x＋3)－1(a>0，且 a≠1)的图像恒过定点 A，若点 A 在 mx＋ny＋2＝0 上，其中 mn>0，则
m1 ＋1n的最小值为________． [解析] (1)因为 a>0，b>0，a＋b＝2，
[答案] 8
第六章不等式
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课时作业
5．圆 x2＋y2＋2x－4y＋1＝0 关于直线 2ax－by＋2＝0 (a，
b∈R)对称，则 ab 的取值范围是( )
A．(－∞，14]
B．(0，14]
C．(－14，0)
D．(－∞，14)
第六章不等式
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∴PQ＝ CP2＋CQ2＝
1－t2＋12＋t t2
＝11＋＋tt2，∴△CPQ 的周长 l＝CP＋PQ＋CQ
第六章不等式
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课时作业
＝1－t＋12＋t t＋11＋＋tt2＝2 为定值．

数学-基础极值点偏移各种常用方法

1.已知函数f x =x -lnx -a 有两个不同的零点x 1,x 2x 1<x 21 证明：2<x 1+x 2<2a 2 证明：e 2-2a <x 1x 2<x 1+x 22第一问左侧不等式证明：f 'x =x -1x,在0,1 上f x 单调递减，在1，+∞ 上f x 单调递增所以0<x 1<1<x 2方法一对称构造法要证x 1+x 2>2,即证x 1>2-x 2,当x 2>2时显然成立当1<x 2<2时,证明f x 1 <f 2-x 2等价于证明f x 1 =f x 2 -f 2-x 2 <0设g x =f x -f 2-xg 'x =f 'x +f '2-x =2x -1 2x x -2在1,2 上g x 单调递减，所以g x 2 <g 1 =0所以f x 2 -f 2-x 2 <0,f x 2 =f x 1 <f 2-x 2 ,x 1+x 2>2方法二对称构造的另一种形式构造函数h x =f x +1 -f 1-x ,h 'x =f 'x +1 +f '1-x =2x 2x 2-1h x 在0,1 上单调递减因为0<x 1<1<x 2，所以当x 2>2时，x 1+x 2>2显然成立所以只需证明当1<x 2<2时x 1+x 2>2成立h x 2-1 <h 0 =0,即f x 2 <f 2-x 2 ,即f x 1 <f 2-x 2 ,得x 1+x 2>2方法三，比值换元由f x 1 =f x 2 ,得x 1-lnx 1=x 2-lnx 2,移项可得x 2-x 1=lnx 2-lnx 1,即x 1x 2x 1-1 =ln x 2x 1设t =x 2x 1>1,即x 1=lnt t -1,x 2=tlnt t -1,从而有x 1+x 2=t +1t -1lnt 即证t +1t -1lnt >2,等价于证明lnt >2t -1 t +1，构造函数p x =lnx -2x -1 x +1p 'x =x -1 2x x +1 2>0,所以p x 在1，+∞ 上单调递增，所以p t >p 1 =0lnt >2t -1 t +1⇔x 1+x 2>2方法四，对数均值不等式由f x 1 =f x 2 得x 2-x 1=lnx 2-lnx 1,即1=x 2-x 1lnx 2-lnx 1<x 1+x 22,即x 1+x 2>2下证x 2-x 1lnx 2-lnx 1<x 1+x 22，即证ln x 2x 1>2x 2-x 1 x 2+x 1=2x 2x 1-1 x 2x 1+1,设t =x 2x 1>1即证lnt >2t -1 t +1方法三已证方法五，同构单调性调整证明：x 1+x 2>2⇔x 1+x 2 x 2-x 1 >2x 2-x 1 ⇔x 22-2x 2>x 12-2x 1即证x 22-2x 2-2x 2-lnx 2 >x 12-2x 1-2x 1-lnx 1 ,其中a =x 1-lnx 1=x 2-lnx 2构造函数H x =x 2-2x -2x -lnx ,H 'x =2x -1 2x>0,H x 单调递增所以H x 2 >H x 1 即x 22-2x 2-2x 2-lnx 2 >x 12-2x 1-2x 1-lnx 1从而x 1+x 2>2方法六，二次拟合构造函数m x =x -lnx -12x -1 2-1，m 'x =-x -1 2x <0,m x 单调递减又m 1 =0,又0<x 1<1<x 2,所以m x 1 >0,m x 2 <0有x 1-lnx 1-12x 1-1 2-1>01x 2-lnx 2-12x 2-1 2-1<02又x 1-lnx 1=x 2-lnx 2,，2-1有x 1+x 2>2第一问右侧不等式证明：证明右侧x1+x2<2a,又2a=x1+x2-lnx1x2,即证lnx1x1<0⇔x1x1<1简单提一下方法和左侧证明同理对称构造f x -f1 x对数均值不等式x1x1<x2-x1lnx2-lnx1=1比值换元t=x2 x1对勾拟合12x+1x第一问右侧不等式同构单调性调整法:证明x1x1<1⇔x1x21x1-1x2<1x1-1x2⇔x2+1x2<x1+1x1x2+1x2-2x2-lnx2<x1+1x1-2x2-lnx2构造函数R x =x+1x-2x-lnx,R'x =-x-12x2<0,R x 单调递减所以R x2<R x1,所以x1x2<1第二问不等式证明：关于第二问的左侧证明，只需取对数证明2-2a<lnx1x1=x1+x2-2a，等价于2<x1+x2,前面已经证明第二问的右侧证明因为x1+x2>2,x1x1<1,所以显然有x1+x22>1>x1x1。

第2讲-一元二次不等式及其解法全

只需 m<x2－6x＋1的最小值，
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考向二一元二次不等式恒成立问题
【方法锦囊】
【例 2】►已知函数 f(x)＝mx2－mx－1.
(1) 一元二次【不审等题式视恒点成立】
(1)若对于 x∈R，f(x)＜0 恒成立，求实数 m 的取值范围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)＜5－m 恒成立,求实数 m 的取值范围．
A级 B级
1、选择题 32、、填解答空题题
1、选择题
2、填空题
3、解答题
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考点梳理
1．一元二次不等式的解法
(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或 ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．
(2)计算相应的判别式． (3)当 Δ≥0 时，求出相应的一元二次方程的根． (4)利用二次函数的图象与 x 轴的交点确定一元二次不等式
③当 a>3 时，x<3 或 x>a，不等式 Y 3
解集为{x|x<3 或 x>a}．
a
X
即 Δ 的符号进行分类，最
后在根存在时，根据根的
大小进行分类．
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考向一一元二次不等式的解法
【训练 1】求不等式 12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．解 ∵12x2－ax＞a2，∴12x2－ax－a2＞0，
考点自测
1．不等式 2x2－x－1＞0 的解集是 3．若不等式 ax2＋bx－2＜0 的解集
(
)．A.－12，1 B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞)
为x－2＜x＜41
则 ab＝( )．

高考数学证明法高二

高考数学证明法高二第一篇：高考数学证明法高二數學证明法（高二）明确复习目标1．理解不等式的性质和证明;2．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。

建构知识网络1.比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。

比较法的两种形式：（1）比差法：步骤是：①作差；②分解因式或配方；③判断差式符号；（2）比商法：要证a>b且b>0，只须证 a 1。

b说明：①作差比较法证明不等式时，通常是进行通分、因式分解或配方，利用各因式的符号或非负数的性质进行判断；②证幂、乘积的不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。

运用比商法时必须确定两式的符号；2.综合法：利用某些已经证明过的不等式（如均值不等式，常用不等式，函数单调性）作为基础，再运用不等式的性质推导出所要证的不等式的方法。

3.分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。

这种证明方法叫做分析法。

要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程4．对较复杂的不等式先用分析法探求证明途径，再用综合法,或比较法加以证明。

5.要掌握证明不等式的常用方法，此外还要记住一些常用不等式的形式特点,运用条件,等号、不等号成立的条件等。

经典例题做一做【例1】（1）已知a,b∈R,求证:a2+b2+1>ab+aa22b22（2）设a>0,b>0,求证()+()≥a2+b2.ba【例2】已知a+b+c=0，求证：ab+bc+ca≤0.1111【例3】已知∆ABC的三边长为a,b,c,且m为正数.求证:abc+>.a+mb+mc+m【例4】设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）－x=0的两根x1、x2满足1＜x1＜x2＜1.a（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f（x）＜x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，求证x0＜x1.2【研讨.欣赏】已知a＞1，m＞0，求证：loga（a+m）＞loga+m （a+2m）.提炼总结以为师1.比较法是一种最重要的、常用的基本方法，其应用非常广泛，一定要熟练掌握.步骤是：作差→变形(分解因式或配方)→判断符号.对于积或幂的式子可以作商比较,作商比较必须弄清两式的符号.2.对较复杂的不等式需要用分析法,分析使不等式成立的充分条件,再证这个条件(不等式)成立.3.综合法是最简捷明快的方法,常需用分析法打前站,用分析法找路,综合法写出.有时也需要几种方法综合运用.4.要熟练掌握均值不等式、四种平均值之间的关系，记住一些常用的不等式，记住它们的形式特点、证明方法和内在联系。

第二讲多项式理论

2、根式的定义与意义
3、复合根式的计算
4、根式的恒等变形和化简
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一、有理分式的恒等
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二、根式的定义和意义
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三、复合根式的计算
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四、根式的恒等变形的化简类型1 多元代数式型
基本思想：观察代数式的结构，转化为基本对称多项式的形式
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类型2 一元代数式型根式基本思想：转化为一元代数方程式
4、多项式的因式分解
中学教材规定：“把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式分解”。要求：“因式分解要进行到不能再分解为止。”
高等代数中规定因式分解的涵义是： “所谓因式分解是把数域F上的一个多项式化成几个既约多项式乘积的形式。”
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关于因式分解理论，有两个基本问题：（1）怎样判断一个多项式是否可约？（2）如果一个多项式是可约的，如何分解？
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类型3 一元代数式型基本思想：降低次数法
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类型4 方程型无理根式基本思想：构造对偶式、函数等方法，
利用相关性质求解
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5、代数代换法
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6、函数型根式——构造几何模型法
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7、三角形代换法
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指数式与对数式
题记
如果计算生命的长短不以活着的年龄为标准，而以人的贡献来计算的话，那么对数的发现将人类的寿命延长了两倍。
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定义分析：
1、一个置换实际上是指一个排列；
2、置换的总数共有n!种。
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判断下列多项式是否是对称多项式
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（2）基本对称函数（基本对称多项式）