顺风向结构风致响应一般计算方法

顺风向结构风致响应公式推导0 引言近些年来，由于全球气候变暖,风灾变得更为频繁,在所有自然灾害中，风灾造成的经济损失已经跃居各种自然灾害之首。

每年造成全球经济损失达数百亿甚至千亿美元,而我国东南沿海地区又是受风灾影响比较严重的区域。

同时，随着土木工程结构向着高、大跨、柔、轻质和低阻尼方向发展，结构对风的敏感性大大增强，与结构损坏有关的风灾屡见不鲜，风荷载正在逐渐成为结构设计时的控制荷载之一，国内外工程技术人员对建筑物的抗风设也计越来越重视。

在研究风对结构的作用时，一般将其分为平均风和脉动风。

本文主要讨论顺风向的结构风致响应。

顺风向的结构风致响应是在平均风和脉动风共同作用下产生的。

我国建筑和在规范规定，对于高度高于30m 且高宽比大于的房屋结构，对于基本自振周期不大于的塔架、桅杆、烟囱等高耸结构，应考虑到风压脉动引起的结构动力效应。

由于脉动风的卓越周期在一分钟左右，而高、柔、大跨度结构的基本周期也只在几秒这个数量级，因此结构愈柔，基本周期愈长，顺风向的风致响应就愈大。

目前关于结构顺风向风致响应的计算方法一般是基于加拿大Davenport 在20世纪60年代提出并不断发展完善的。

依据该方法，顺风向的结构总风致响应由平均风响应、脉动风响应组成，其中脉动风响应包括背景响应和共振响应。

图0-1（A ）表示了时域内的平均响应r 、背景响应B r 和共振响应R r ，图0-1（B ）表示了频域内的背景均方响应2B r 、前三阶共振均方响应21R r 、22R r 和23R r 。

下面主要探讨下单自由度和多自由度结构的顺风向风致响应。

图0-1 平均、背景和共振响应1 单自由度结构顺风向风振响应结构的自由度数等于确定其各部分位置所需参数的数目。

有很多结构，将其假定为单自由度结构，在计算其顺风向动力响应时能获得合力准确的计算结果。

在计算结构的顺风向响应时，仅考虑顺风向部分的湍流速度分量u ，其他湍流分量对结构的振动响应影响不显着。

一般单自由度结构可视为点状结构，计算模型可假定为质量为m 的质点支承在刚度系数为k 的弹簧上，同时与弹簧平行的方向有阻尼系数为c 的黏滞阻尼。

位移u 的运动方程为：totFku u c u m =++... （）式中，tot F 为作用在结构上的顺风向荷载。

荷载tot F 的表达式为：2.)(21u v U A C F D tot -+=ρ （）式中，D C 为空气阻力系数；A 是垂直平均风方向的结构受荷载面积。

顺风向荷载取决于风与结构的相对速度，即与结构振动的速度.u 有关系。

因为，一般情况下平均风速U 比纵向湍流的速度v 要大得多，所以有如下近似：.22.22)(u U Uv U u v U -+=-+ （） 全部的风荷载可分为三部分：平均风荷载q F 、由湍流产生的脉动荷载t F 及气动阻尼所产生的荷载a F ：atqtotF F F F -+= （）221U A C F Dqρ= （）v U A C F Dtρ= （）..u c u U A C F aDt==ρ （）U A C c Daρ= （）气动阻尼常数a c 与结构自身阻尼c 相加可得合租尼0c ：c c c a +=0 （）所以有平均风位移响应ξμ：221UA C kk F D qρμξ== （）结构位移的自谱)(n S ξ表达式为：)(|)(|)(2n S n H n S F=ξ （）式中，)(n H 为结构的频率响应函数；)(n S F 为函数自谱。

风荷载自谱可由下式确定：)(4)()()(222n S UFn S U A C n S uquAF==ρ （）因此，位移u 的方差可通过对式（）中的自谱积分求得：dn n S n H k U k F dn n S uuuq⎰⋅=⎰=∞∞22222222)(|)(|4)(σσσξξ （） 再将湍流强度U I u u σ=代入上式，并利用式（），可得：dn n S n H k Iuuu⎰=∞0222)(|)(|2σμσξξ（） 所以，总的风致响应： dn n S n H k Iuuu⎰=∞0222)(|)(|2σμσξξ顺风向的结构总风致响应由平均风响应、脉动风响应组成，其中脉动风响应包括背景响应和共振响应。

一、平均风响应在顺风向，平均风致响应可通过平均风荷载与影响函数得到 i i i Hdz z z i z p z r ),()()(0⎰= （1）式（1）中：)(z r 表示在结构z 高度处的某一响应均值 )(i z p 表示作用于结构高度i z 处的线平均风力),(i z z i 表示在i z 高度处作用一单位力在z 高度处产生的某一响应值，也称影响函数，包括位移、剪力和弯矩影响函数等，其任意高度z 的表达式如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥= 0z -z 0-0z 1z 01)()(),(i i i i *）时，取；当时，取（当弯矩或）时，取；当时，取剪力（当或阶位移第z z z z z z z z j K z z z z i i i j i j j i ππϕϕ（2）式（2)中，)()(i j j z z ϕϕ和表示某高度处的第j 阶阵型坐标，*j K 代表第j 阶广义刚度。

在竖向悬臂结构中，一般考虑第一阶阵型的影响。

在（2)中，最为关心的是顶部（z=H)位移、底部（z=0)剪力与弯矩的影响函数。

二、脉动风响应一竖向悬臂结构，在与风垂直的迎风表面xz 上，1M 点和2M 点的坐标分别为),,''z x z x ）和（（，准定常假定成立，作用于迎风面上这两点的脉动风压分别为),,(),,(''t z x w t z x w 和，其表达式为(b)),()()(),,((a)),()()(),,(''2''1t z z M C t z x w t z z M C t z x w DDυυρυυρ==由强风观察结果分析得出，式（a)和式（b)中的流脉动风速),),('t z t z （和υυ大体上服从正态分布规律，脉动风速的均值0)(=υE ，并且由前述脉动风的记录可近似作为平稳各态历经的随机过程。

1、运动方程工程中受风敏感的高层建筑或高耸结构，属竖向一维悬臂结构，这类结构沿竖向的质量和刚度分布可以不均匀，随高度发生变化，现将其抽象为一维悬臂的无限自由度体系。

由随机振动的振型分解方法，任意高度z 处的水平位移),(t z y d 可表示为∑∑∞=∞===11)()(),(),(j j j j dj d z q z t z y t z y ϕ （3）式中 ),(t z y dj ——第j 振型的动位移； )(z j ϕ——第j 振型z 高度处的坐标； )(z q j ——第j 振型的广义坐标。

假设振型)(z j ϕ对质量分布和刚度分布正交，阻尼项采用瑞雷阻尼，可得第j 振型的运动方程：)()()2()()2(2)(2t F t q n t q n t q j i j j j j i =++ππζ （4）式中，⎰⎰=HB j jj z dxdz z t z x w M t F 0*)()(),,(1)(ϕ （5）式中 ),,(t z x w ——脉动风压；z B ——建筑物z 高度处的迎风面宽度； H ——建筑物总高；*j M ——建筑物第j 振型的广义质量，其表达式如下：⎰=Hj jdz z z m M 02*)()(ϕ （6）式中，)(z m 为建筑物z 高度处单位长度的分布质量。

2、位移响应根方差由维纳-辛钦关系式，第j 振型和第k 阶振型广义力互谱密度)(n S k j F F 由其互相关函数),,,,(''τz z x x R k j F F 得到：τττττπτπd e t F t F d ez z x x R n S n i k j n i F F F F k j k j 22'')()(),,,,()(-∞∞-∞∞--〉+〈==⎰⎰ （7）由式（5）和（7）可进一步写作dzdxdz dx n z z x x S z z M M dzdxdz dx MM d e t z x w t z x w z z d e Mdz dx z t z x w Mdxdzz t z x w n S w k H HB Bj jj jjn i k HHB Bj n i jHB k j HB j F F z z z z z z k j '''''0**''**2'''002*00'''''*),,,,()()(1]),,(),,([)()(])(),,()(),,([)()()'()()'()()(ϕϕττϕϕτϕτϕτπτπ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=〉+〈=〉+•〈=∞∞---∞∞-（8）式（8）中，),,,,(''n z z x x S w 为21,M M 两点脉动风压互谱密度，为⎰⎰∞∞---∞∞-〉+〈==τττττπτπd et z x w t z x w d e z z x x R n z z x x S n i n i w w 2''2'''']),,(),,(),,,,(),,,,( （9）式（9）中，),,,,(''τz z x x R w 为21,M M 两点脉动风压互相关函数。

由式（a)和（b)，可写出：),,,,()()()()(),,()()(),,()()(),,,,('''2122'''21''n z z x x S z z M C M C d e t z x z M C t z x z M C n z z x x S D D n i D D w υτπυυρττυυρυυρ=〉+〈=⎰∞∞-- （10）引入脉动风相干函数的平方根),,(21n M M R xz 后，)(),,()()(),,(),,(),,(),,(),,,,(2121''21''n S n M M R n S n S n M M R n z x S n z x S n M M R n z z x x S xz xz xz υυυυυυ=== （11）将式（10）连同式（11）带入式（8）中，可得：dz dxdz dx n M M R n S z z M C M C z z M M n S xz D D k H H B B j jj F F z z k j ''21'212'0000**),,()()()()()()()(1)()()'(υυυρϕϕ⎰⎰⎰⎰=（12）忽略交叉项后，式（12)写为)()()()(),,())(()()()()()(2*2212''212''2*2212)()'(n J Mn S M C M C dzdxdz dx n M M R Hzz z z M n S M C M C n S jHD D xz k H HB Bj jHD D F z z j υρϕϕυρυυ==⎰⎰⎰⎰（13）式（13）中，)()(21M C M C D D 和分别为21M M 和的平均压力系数，ααυυυυ)()(,)()('-H '--H -H z z H z z ==，这里，-H υ为来流在建筑物顶部高度的平均风速。