工程数学 数学物理方程与特殊函数第三版 王元明
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华东师范大学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=13939&fromuid=9《复变函数论》张锦豪邱维元版高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=5919&fromuid=9算法导论原书第二版 (潘金贵顾铁成李成法著) 机械工业出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=12100&fromuid=9张禾瑞的＜＜近世代数基础＞＞的答案/bbs/viewthread.php?tid=1540&fromuid=9c++程序设计/bbs/viewthread.php?tid=5608&fromuid=9《概率论与统计学》浙大出版社（复习指南）课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=4871&fromuid=9计算机基础课后答案(浙江科学出版社)/bbs/viewthread.php?tid=2014&fromuid=9《C 语言程序设计》张世禄，潘大志，冯天敏电子工业出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=2568&fromuid=9C 语言程序设计(洪维恩)课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=1955&fromuid=9《计算机组成原理》白中英第四版科学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=6433&fromuid=9微机原理与接口技术第 4 版 (周荷琴，吴秀清著) 中国科学技术大学出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=15151&fromuid=9数值计算课后答案（清华大学出版）/bbs/viewthread.php?tid=5246&fromuid=9java 程序设计【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=7541&fromuid=9《高等数值分析》清华大学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=5692&fromuid=9数据与计算机通信（第七版） William Stallings 等【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=5201&fromuid=9数值方法第二版 (金一庆陈越著) 机械工业出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=11539&fromuid=9高等代数北师大高教第三版张和瑞【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=8607&fromuid=9微波技术与天线(第二版) 王新稳李萍李延平编电子工业出版社【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=6534&fromuid=9数据结构（陈慧南编 C＋＋描述）南京邮电大学课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=9506&fromuid=9四川大学出版社编的离散数学教程答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=7402&fromuid=9计算机组成原理（白中英版）【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=3243&fromuid=9现代微型计算机与接口教程课后答案杨文显主编寿庆余副主编【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=7964&fromuid=9C 语言程序设计 3-5 章部分程序题答案杨路明北京邮电大学出版社【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=8775&fromuid=9《操作系统》汤子赢西安电子科技大学答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=6055&fromuid=9数据库原理与应用教程第二版陈志泊人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=9933&fromuid=9数据结构与算法分析（C++ 第二版）Clifford A. Shaffer 电子工业出版社【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=9211&fromuid=9《程序设计基础》练习题及答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=2801&fromuid=9《多媒体技术基础(第2 版)》林福宗清华大学出版社课后参考答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=9299&fromuid=9计算机专业英语(含课文、译文、模拟试题、专业英语习题、答案)【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=9364&fromuid=908 版考研概率复习指南答案/bbs/viewthread.php?tid=509&fromuid=9计算机网络（第4 版） (Andrew S.Tanenbaum 著) 清华大学出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=11361&fromuid=9计算机图形学王汝传 1－4 章人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=10000&fromuid=9计算机网络教程（第3 版）习题答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=7777&fromuid=9c++语言程序设计（实验部分）第 3 版(郑莉著) 清华大学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=15124&fromuid=9数字信号处理学习指导与题解 (丁美玉高西全王军宁著) 电子工业出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=15168&fromuid=9计算机网络第五版 (谢希仁著) 电子工业出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=16108&fromuid=9数学物理方程与特殊函数第三版完整 (东南大学数学系王元明著) 高等教育出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=17311&fromuid=9《操作系统概念》英文版高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=3491&fromuid=9计算机网络第二版蔡开裕朱培栋徐明（国防科技大学版）【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=9239&fromuid=9《C++语言程序设计教程》吕凤翥人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=8119&fromuid=9电工学第七版下册 (秦曾黄著) 高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=19778&fromuid=9vfp 表修复工具/bbs/viewthread.php?tid=73&fromuid=9C++语言基础教程吕凤翥人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=10016&fromuid=9数据库及其应用教材课后习题答案_【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=9530&fromuid=9Turbo C 错误信息表/bbs/viewthread.php?tid=70&fromuid=9《微机原理及汇编技术》课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=5684&fromuid=9复变函数答案第四版 (余家荣著) 高等教育出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=17004&fromuid=9Java 程序设计(第二版) (朱喜福著) 人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=10576&fromuid=9计算机专业英语教程译文（第 4 版） (金志权等主编著) 电子工业出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=14170&fromuid=9数据结构习题/bbs/viewthread.php?tid=4344&fromuid=9《计算机英语》第２版全书翻译及课后答案_【khdaw_lxywyl】。
高等教育出版社样书目录（数学类）
同济大学 10.1 2001 年 2 版
重温微积分
齐民生 39.6 2004 年 1 版
第 2 版 微积分(上)
同济大学 24.9 2003 年 2 版
第 2 版 微积分(下)
同济大学 23.1 2003 年 2 版
微积分学习辅导与习题选解
同济大学 28.4 2004 年 1 版
第 2 版 微积分学简明教程(上)
余家荣 17.9
出版时间 2001 年 3 版 2001 年 3 版 2004 年 1 版 2003 年 1 版 2003 年 1 版 2003 年 4 版 2003 年 4 版 2003 年 2 版 2003 年 2 版 2004 年 1 版 2004 年 2 版 2004 年 2 版 2003 年 1 版 2004 年 1 版 2004 年 1 版 2003 年 3 版 1999 年 4 版 2002 年 2 版 2003 年 2 版 2004 年 1 版 2000 年 1 版 2000 年 1 版 2004 年 1 版 2004 年 2 版 2004 年 2 版 2003 年 2 版 2004 年 1 版 2003 年 3 版
高等教育出版社样书目录(数学类)
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第4版 第3版
概率论与数理统计教程 概率论与数理统计教程学习辅导与习题 选解
概率论与数理统计
沈恒范 沈恒范 盛骤
20.6 2003 年 4 版 17.6 2003 年 1 版 19.3 2001 年 3 版
概率论与数理统计习题全解指南
第 2 版 数学史概论
李文林 21.0 2002 年 2 版
大学文科高等数学(第一册)
姚孟臣 11.9 1997 年 1 版
《数学物理方法A》教学大纲
《数学物理方法A》教学大纲（Methods of Mathematical Physics ）一.课程编号: 040422二.课程类型：必修.学时/学分: 48学时/3学分适用专业: 通信与信息类强化班先修课程: 高等数学, 线性代数, 普通物理三.课程的性质与任务：数学物理方法是我校通信与信息类强化班的一门必修课程。
通过本课程的学习, 使学生初步掌握复变函数和数学物理方程的基本理论与方法, 培养学生的理论思维能力和分析问题、解决问题的能力。
为学生学习有关后继课程以及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
四、教学的主要内容及学时分配（一）教学的主要内容复变函数部分:1.复数与复变函数复数及其代数运算, 复数的几何表示, 复数的乘幂与方根, 复平面上的点集, 复变函数的概念, 复变函数的极限和连续性2.解析函数解析函数的概念, 函数解析的充要条件, 初等函数3.复变函数的积分复变函数积分的概念、存在条件、性质与计算方法, Cauchy基本定理及其推广-复合闭路定理, Cauchy积分公式、解析函数的高阶导数, 解析函数与调和函数的关系4.级.复数项级数、幂级数，Taylor级数，Laurent级.5.留数孤立奇点及其分类、函数的零点与极点的关系, 留数的定义、留数定理、留数的计算规则, 留数在定积分计算上的应用数学物理方程部分:1.典型方程和定解条件1）三类典型方程（波动方程、热传导方程和位势方程）及其定解问题的提出；2）偏微分方程的一些基本知识与定值问题的适定性概念。
2.分离变量法（驻波法）1）分离变量法的基本步骤；2）非齐次方程齐次边界条件的固有函数法；3）非齐次边界条件的处理；4）施特姆-刘维尔方程的固有值问题简介。
3.达郎贝尔法（行波法）1）一维波动方程初值问题的达郎贝尔公式；2）非齐次波动方程的齐次化原理。
4.积分变换法1）傅立叶积分变换的概念及基本性质；2）应用傅立叶变换法解微分方程定值问题；3）拉普拉斯变换的概念和基本性质；4）拉普拉斯变换法在解微分方程中的应用。
数学物理方程研究生教学大纲(应用人才)-学硕和专博
《数学物理方程》（应用人才）教学大纲一、课程基本信息1、课程英文名称：Equations of Mathematical Physics2、课程类别：基础课程3、课程性质：学位课4、课程学时：总学时 365、学分：26、先修课程：《高等数学》、《积分变换》、《复变函数》7、授课方式：多媒体演示、演讲与板书相结合，讨论8、适用专业：工学专业的学术型硕士和博士9、大纲执笔：研究生教研室10、大纲审批：理学院学术委员会11、制定(修订)时间：2015年6月、2018年7月二、课程的目的与任务数学物理方程是工科院校相关专业硕士研究生的一门重要的学位课程，数理方程主要是指在物理学、力学以及工程技术中常见的一些偏微分方程。
通过本课程的学习，要求学生掌握数学物理方程的基本知识、解偏微分方程的经典方法与技巧。
本课程主要讲述三类典型的数学物理方程，即波动方程、热传导方程、调和方程的物理背景、定解问题的概念和古典的求解方法, 如波动方程的分离变量法、D`Alembert解法、积分变换法、Green函数法，算子法等；通过本课程的学习，能够建立一些较为简单的实际问题数学物理模型，学会用数学物理方程理论与方法解决实际问题的初步技能。
三、课程的基本要求1、理解数学物理方程的基本概念。
2、掌握利用微元法建立数学物理方程的思想和方法。
3、理解数学物理方程解的适定性概念。
4、掌握分离变量法在三种定解条件下的求解步骤。
5、理解圆域内二维拉普拉斯方程定解问题的求法。
6、会求解非齐次方程的定解问题。
7、掌握非齐次边界条件的处理方法。
8、了解施图姆—刘维尔问题及其性质。
9、掌握Fourier变换的定义和基本性质，会用Fourier变换求解某些简单的数学物理方程定解问题。
10、掌握Laplace变换的定义和基本性质，会用Laplace变换的在求解某些简单的数学物理方程定解问题。
11、掌握达朗贝尔公式的推导过程和物理意义，掌握解决柯西始值问题的行波法。
数学物理方法(王元明)第二章2
0 < x < l, t > 0 t>0 0≤ x≤l
nπ X n = Bn cos x, n = 0,1,2,3,⋯ l
∞
x
nπ u ( x,0) = ∑ vn (0) cos x=0 l n =0
′ v 0 (t ) = sin ωt
2 2 nπ 2 n π ∑ v n′ (t ) + a l 2 v n (t ) cos l x = sin ωt n=0
n =1
n=2
4π 2 2aπ v ′′(t ) + a t v 2 (t ) = sin 2 2 l l
第2章分离变量法
∂ 2u ∂ 2u 2π 2aπ = a 2 2 + sin x sin t 0 < x < l, t > 0 2 l l ∂x ∂t t>0 u (0, t ) = u (l , t ) = 0, ∂u ( x,0) 0≤ x≤l u ( x,0) = 0, ∂t = 0, ∞ nπ v n (t ) = 0 n≠2 u = ∑ vn (t ) sin x
T ′ + a 2 λT = 0
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
X ′′ + λX = 0 T ′ + a 2 λT = 0
∂u (0, t ) = X ′(0)T (t ) = 0 ∂x ∂u (l , t ) = X ′(l )T (t ) = 0 ∂x
X ′′ + λX = 0 X ′(0) = 0,
0< x<l X ′(l ) = 0
λ = −β 2 < 0
X ′′ − β 2 X = 0
数理方程与特殊函数 第一章 王元明版课件
自变量的个数是两个或者两个以 上的微分方程称为偏微分方程
数理方程学科发展
微积分产生后，人们开始把力学中的一些问 题和规律归结为偏微分方程进行研究。 十八世纪初，弦振动问题归结为偏微分方程 并探讨了它的解法。 流体的运动 弹性体的平衡和振动 热传导 电磁相互作用 原子核和电子的相互作用
发展（续）
在研究物理现象的过程中，人们对偏微分方程的 性质也了解得越来越多，越来越深入，从而形成 了数学中得一门重要得分支——偏微分方程理论。 它既有悠久的历史，又不断地更新它的对象、内 容和方法。由于它直接联系着许多自然现象，所 以又不断地产生需要解决的新课题和新方法。
偏微分方程的有关术语
齐次和非齐次
自由项：方程中不含未知函数及其各阶偏导数的项
∂ 2u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x, t ) ∂t 2 ∂x
∂u ∂ 2u = a2 2 ∂t ∂x
自由项为0 齐次 自由项不为0 非齐次
偏微分方程的有关术语
偏微分方程的解 若一个函数具有所需要的各阶连续偏导数，且代 入方程后使该方程成为恒等式，则该函数称为偏 微分方程的解
课程考核
考核方式： 闭卷书面考试+平时成绩
课程要求
（1）上课认真听讲、积极发言 （2）课前预习，课后复习 （3）独立完成作业，每周一交作业
什么是数理方程？
质点的自由落体运动
位移随时间的变化
∂ u =g 2 ∂t
2
自感电路的 电流滋长
电流随时间的变化
dI ε − L = IR dt
研究某个物理量（位移、电流）怎样随时间变化 以时间为自变量的常微分方程
∂u 小段的相对伸长为 ，在x点处为 ∂u ( x, t ) ∂x ∂x ∂u ( x + Δx, t )
数学物理方程 第三章(东南大学王元明)
2u u u u u 2u 2u 2u 2 2 2 2 y y y 2u 2u 2u 2u u u u u A 2 ( A B) B 2 A B A B xy y y
e
( x at ) 2
]
1 2
x at x at
x at
2ase
s 2
ds
( x at ) 1 [ e 2
2
2
e
( x at ) 2
] 1 [ e 2
x at x at s 2
e
s 2
ds2
e ( xat )
x at
数学物理方程与特殊函数
2u 2u 2u ( A B) AB 2 2 x xy y 2 2 2u 2u 2u 2u 2 u 2 u A 2 AB B ( A B) A 2 ( A B) B 2 2 2
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2 2u 2 u x , t 0 t 2 a x 2 , u ( x,0) ( x), u ( x,0) ( x), x t f2 u f1 ( x at) f 2 ( x at) t
2 utt a u xx 0, x x2 x2 u |t 0 e , ut |t 0 2axe
解：将初始条件代入达朗贝尔公式
u ( x)
( x at ) 1 [ e 2
工程数学-数学物理方程与特殊函数电子教案-王元明-2-4
ab 1 u 1 2 u 2 12 cos 2 2 2 0 2π u | u | 0 0 2π b a
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因子的常微分方程的初值问题(或另一单元函数的常微 分方程的边值问题),用参数变易法或拉氏变换法可求得
其解.
3.将所求得的解代入未知函数的展开式中,即得原定
解问题的解.这种分离变量的方法按其特点又叫特征函
数(或固有函数)法.
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数学物理方程与特殊函数 主页 上一页 下一页 退出
弦的振动是由两部分干扰引起的,一是强迫力,一
是初始状态,所以此时振动可以看作为仅由强迫力引起
的振动和仅由初始状态引起的振动的合成.
可设解为:
U ( x, t ) V ( x, t ) W ( x, t )
其中V ( x , t ) 表示仅由强迫力引起弦振动的位移,它满足:
A0 ( ) c0 d0 ln d0 ln B0 ( ) c0
An ( ) cn n dn n , n 2 n dn n , n 1, 2, 3,… Bn ( ) cn
由条件
(b) 0 An (a) An
可令上式的解为:
u( , ) [ An ( )cos n Bn ( )sin n ]
n 0
代入方程并整理,得到:
数学物理方程与特殊函数 主页 上一页 下一页 退出
2 1 n ( ) An ( ) 2 A （ An n ) cos n n 0 1 n2 2 B ( ) B ( ) B （ ) sin n 12 cos 2 n n n 2
数学物理方程 第一章(东南大学王元明)公开课教学课件
的微小变动。
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
2、微分方程一般分类
(1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程；
(2) 按未知函数及其导数是否线性，分为线性微分方程和 非线性微分方程；
H 0
由此得： 2H(H)
2H 2H
t t
t2
拉普拉斯算子：
2
2 x2
y22
z22
2tH 2 1 ( 2 x H 2 2 yH 2 2 zH 2) ——磁场的三维波动方程
同理可得： 2E 1 2E t2
——电场的三维波动方程
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
例3、静电场
(2) 绝热状态 (3)热交换状态
u 0 n s
第二类边界条件
牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流
到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。
dQk1(uu1)dSdtk u ndSdt
k 1 热交换系数；u 1 周围介质的温度
u n
u
S
u1
S
k1 k
第三类边界条件
数学物理方程与特殊函数
T u 0 x xa
u 0
x xa
ux(a,t) 0
(3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧支承。
T u ku
或
x xa
xa
u x
u
xa
0
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
B、热传导方程的边界条件
数学物理方程与特殊函数 第三版 课后答案 王元明
⎧ ∂ 2v ∂ 2v ⎪ 2 + 2 = f1( x, y), 0 < x < a, 0 < y < b, ⎪ ∂x ∂y ⎪ ⎨ v ( 0, y ) ) 0, v ( a ( y ) ) 0, 0 ≤ y ≤ b , = , = ⎪ ⎪ = = ⎪ v ( x ,0 ) ) ψ 1 ( x ); v ( x , b ) ) ψ 2 ( x ), 0 ≤ x ≤ a . ⎩
∞
∑ n
=1
d na n sin nθ = Tθ (π − θ )
d na
n
∫
π
0
sin nθ d θ = ∫ T θ (π − θ )sin nθ d θ
0
2
π
4T d n = n 3 (1 − cos nπ ), πa n 4T ∞ ρ n u ( ρ ,θ ) = [1 − (− 1)n ]sin nθ . ) ∑ n 3 π n=1 a n
解为:
其中
∞ 1 u ( x , t ) = a0 + ∑ ane ) 2 n=1
⎛ naπ ⎞ t −⎜ l ⎟ ⎝ ⎠
2
nπ cos x l
2 nπ an = ∫ ϕ ( x ))cos xdx， n = 0,1,2,... l l
0
l
练习：在矩形 (0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ b ) 中求解拉普拉斯 方程的定解问题 :
极坐标系下的拉普拉斯方程的表达式
⎧ x = ρ cosθ ⎨ ⎩ y = ρ sinθ
∂ρ ∂θ ⎧ ⎪1 = ∂x ⋅ cosθ − ρ ∂x ⋅ sin θ ⎪ ⎨ ⎪ 0 = ∂ ρ ⋅ sin θ + ρ ∂ θ cos θ ⎪ ⎩ ∂x ∂x ∂ρ ∂θ − sinθ = cosθ , = u( ρ ,θ ) ∂x ∂x ρ
《数理方程与特殊函数》课程教学大纲
《数理方程与特殊函数》课程教学大纲一、课程总述本课程大纲是以2006年本科专业人才培养方案为依据编制的。
二、教学时数分配三、单元教学目的、教学重难点和内容设置第一章一些典型方程和定解条件的推导【教学目的】了解典型方程的物理背景和导出步骤，定解条件所反映的物理意义，以及三种定解问题的提法；【重点难点】典型方程的物理背景和导出步骤；定解条件【教学内容】1．了解三类典型方程的物理背景和导出步骤。
2．了解定解条件所反映的物理意义。
3．了解三种定解问题（初值问题、边值问题、混合问题）的区别。
知道不同方程有不同的定解问题的提法。
4．知道并掌握线性偏微分方程解的叠加性质。
第二章分离变量法【教学目的】掌握分离变量法，掌握求解非齐次方程的固有函数法和齐次化原理，了解对于非齐次边界条件的处理方法【重点难点】分离变量法，非齐次方程的固有函数法和齐次化原理【教学内容】1．掌握分离变量法，能应用于振动方程、传导方程的混合问题和特殊区域上拉普拉斯方程的狄里克莱问题。
2．掌握求解非齐次方程的固有函数法和齐次化原理。
3．了解对于非齐次边界条件的处理方法。
4．Sturm-Liouville理论的简单介绍。
第三章行波法与积分变换法【教学目的】会用行波法导出一维波动方程的达朗贝尔公式，会用上述达朗贝尔公式求解定解问题，【重点难点】无界弦自由振动的达郎贝尔(D’Alembert)解法【教学内容】1．会用行波法导出一维波动方程的达朗贝尔公式（限于齐次方程）。
2．了解弦振动问题的“依赖区间”、“决定区域”和“影响区域”的概念。
3．了解三维波动方程的泊松公式的导出方法。
4．用降维法从三维波动方程的泊松公式导出二维波动方程的泊松公式以及一维波动方程的达朗贝尔公式。
5．用上述三种公式求解定解问题。
6．根据上述三种公式了解三维波的惠更斯原理（无后效现象）和一维、二维波的弥散现象。
7．付里叶变换和拉普拉斯变换简介。
8．会用付里叶变换和拉普拉斯变换求解一些定解问题。
2-数理方程与特殊函数-第一章
偏微分方程定解问题 • 定解问题的适定性
第二讲
数学物理方程与特殊函数
19
相应的物理规律 微分方程
密切相关
数学物理方程与特殊函数
守恒律
推导
质量守恒 动量守恒 能量守恒
应用动量定理建立弦振动方程？
第二讲
传输线方程
R 每回路单位长度的串联电阻 L每回路单位长度的串联电感 C每单位长度的分路电容 G每单位长度的分路电导
偏微分方程定解问题 • 定解问题的适定性
第二讲
数学物理方程与特殊函数
6
弦的横振动方程
数学物理方程与特殊函数
建立如图所示的坐标系，以
弦上一个小微弧段为研究对
象，
表示弦上各点在
时刻 t 沿垂直于x方向的位移。
在弦上取微小弧段，其长度 为
,
找到所研究物理量遵
循的物理定律
第二讲
弦的横振动方程
因为弦是完全均匀柔软的， 因此弦元只受切线方向的应 力-张力T的作用，而没有 法向应力。
2u( x, t ) t 2
a2
2u( x, t ) x 2
,a2
T
数学物理方程与特殊函数
一维波动方程 二阶线性齐次方程
其中 为弦的线密度（单位长度的质量）， 为弦的振动传播速度
T(x + dx) - T(x) = 0 T与位置x无关
T是一个常数
并且在小振动近似下，T与时间t也无关
理由，弦元的伸长量
25
梯度与散度
数学物理方程与特殊函数
• 散度 有矢量场 A，点M为场内的一点，在场内作一包含 M在内的闭曲面S，S包围的空间区域为V，体积记 为△V，则 A 通过S的通量为：
工程数学——数学物理方程与特殊函数 (1)
1
1
v
r ( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2
函 它为数三1r 除维点拉普M拉0 外斯处方处程满的足基拉本普解拉. 斯方程,通常称
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由于 v 1 在 Ω 内有奇
r
异点M0 ,于是如图所示,我们 作一个以 M0 为中心,以充分 小的正数 ε 为半径的球面,
上
1 r
1, a
(1) n r
(1) r r
1 a2
以及 Ka
1 u dS
r n
1
a Ka
u dS
n
0
即可证明该公式.
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4.拉普拉斯方程解的唯一性问题
狄利克莱问题在 C1( ) C 2( ) 内的解是唯一
确定的;牛曼问题的解除了相差一常数外也是唯一确定 的.
(u2v)dV
(uxvx uyv y uzvz )dV
uvndS
或 (u2v)dV uvndS grad u grad vdV
上式称为第一格林(Green)公式.
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交换u,v位置
(v2u)dV
vundS
grad v grad udV
以 u1 , u2表示定解问题的两个解,它们的差v u1 u2 必是原问题满足零边界条件的解.
对于狄氏问题 2v 0, 在内
v | 0
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对于牛曼问题 2v 0, 在内
vn | 0 利用调和函数的极值原理,可以证明狄氏问题在
C1( ) C 2 ( )内的解是唯一的.