试卷分配问题的优化模型

试卷分配问题的优化模型

摘要

本文主要研究试卷的合理分配问题。试卷分配的合理性既是竞赛规则的要求，也是竞赛评判的公平性的重要保证。因此，解决试卷分配的合理性问题有很强的现实意义。本文所考察的考试涉及200余份试卷和12位评委，数据规模大，人工求解分配方案计算量较大，难以实现。为此，我们采用了计算机编程的方法解决问题。

对问题一，我们采取了下面的方法：

（1）利用计算机随机产生一系列的试卷分配方案，在此过程中，通过机器判断，使产生的试卷分配方案满足R1、R2和D2的要求。

（2）利用不均衡度D对（1）中的试卷分配方案进行限制，使产生的试卷分配方案满足D1的要求。

（3）利用不均衡度Dd对（2）得到的方案进行筛选，使得输出的试卷分配方案满足D3的要求。从而得出问题一的比较公平合理的分配方案。

（4）用上述方法产生50个可行解，筛选出它们中两位或三位评委相同的情况较少的解。

这样我们得到了问题一的解。

在问题一的基础上，我们通过讨论，采用了同一份试卷的四个评委中，判高分和判低分的评委数最多相差1的限制条件，得到问题二的解。

关键词：公平随机不均衡度D 加权不均衡度Dd

一、问题背景

数模竞赛一般采取多位评委打分的方式确定名次，评委大都来自各参赛高校。

竞赛规则规定：

R1.每份试卷由四位不同的评委评阅。

R2.每个评委只能评阅非本单位的试卷。

同时，为了保证最终阅卷结果的客观性与公正性，竞赛组委认为一个理想的试卷分配方案应满足如下要求：

D1. 各评委评阅的试卷数量应尽可能均衡。

D2. 任意两份试卷不能由相同的四位评委评阅，并应尽量减少有两位或三位评委相同的情况。

D3. 同一单位的试卷在评委中的分布应尽量均衡。

我们需要根据上述要求设计合理的试卷分配方案，并就附录中的数据实例给出具体的分配方案及该方案对D1～D3的满足情况。

在此基础上，根据以往评阅记录，统计得出各位评委的判分高低倾向，例如附录中评委1、2、3有判高分倾向，评委4、5、6有判低分倾向，如何利用此信息结合以上要求设计公平合理的试卷分配方案是我们面临的又一问题。

二、符号说明

D——不均衡度

Dd——加权不均衡度

iN——第i个单位的试卷总数

p[i]——第i位评委（1≤i≤12）的实际阅卷量

iA(j)——第j个评委评阅的第i个单位的试卷的份数（1≤j≤12）iB——i号单位的试卷按理想情况平均分给各位评委时，每位评委得到的i号单位试卷数

三、问题分析

我们的目标是建立一个公平合理的试卷分配方案。所谓“公平合理”是指满足竞赛规则规定R1、R2并尽量满足理想的试卷分配方案的要求D1、D2、D3。其中R1是对评委评阅试卷“广泛性”的要求，即一份试卷尽量由较多数量的评委评阅以避免仅由一位评委评阅所引起的成绩的不公平性、主观性和偶然性；R2是为了避免评委对本单位的试卷人为的抬高分数；D1是为了使每位评委都能够同等程度的参与到试卷的评阅之中，避免少数评委对整体的评卷结果影响过大；D2增加了评委组合的多样性；D3 避免了同一单位的试卷仅由少数的几位评委评阅，当这几位评委有判分不公正倾向时，该单位整体将会受到不公正的待遇。

1、不均衡度D与要求D1

对于条件D1我们设置一个参数D，称为“不均衡度”。227份试卷共需要227*4=928人次评阅，因此，每位评委在理想情况（试卷分配均衡）下，每人评阅的试卷数是928/12=227/3份。对于一种确定的试卷分配方案，我们统计出第i位评委（1≤i≤12）的实际阅卷量p[i]，以此计算D。

D的计算公式为：

D=∑{(p[i]-227/3)*(p[i]-227/3)}（1≤i≤12）

2、加权不均衡度Dd与要求D3

1）选择了Dd作为条件D3的限制条件的原因

对于条件D3我们设置了一个参数Dd，称为“加权不均衡度”，具体含义、计算方法见步骤2）。对于某一种试卷分配方案，我们可以统计出33个单位各自的试卷在评委中的分布情况。由此，对于单位i，我们有了12个数据iA(1)--iA(12)，（其中1≤i≤11时，i A(i)=0）,iA(j)表示第j个评委评阅的第i个单位的试卷的份数（1≤j ≤12）。D3要求同一单位的试卷在评委中的分布应尽量均衡。我们固然可以对每个单位都设置限制条件，使试卷的分配方案很好的满足D3的要求，但这些限制条件的增加，有可能成为计算机程序运行时

的主要

．．障碍，导致时间复杂度过大，况且仍有其他多项限制条件，若此处条件过窄，有可能得不到较好满足题目其他要求的解。从整体考虑，我们选择了Dd作为D3的限制条件。

2）设参数iN表示第i个单位的试卷总数，设参数iB表示i号单位的试卷平均分给各位评委时，每位评委得到的i号单位试卷数(由于本单位的评委不评阅本单位的试卷，当i≤11时iB=iN*4/11)。比如，i=14时，14号单位有4分试卷，需要4*4=16人次评阅，因此，每位评委在理想情况（试卷分配均衡）下，每人评阅的试卷数是14B=16/12=1.3份。第j个评委实际评阅的14号单位的试卷的份数（1≤j≤12）是14A(j),此时实际情况与理想情况下的偏差可以用Dd(14)=∑{（14A(j)- 14B）*（14A(j)- 14B）}（1≤j≤12）表示。

当i≥12时，Dd(i)=∑{（iA(j)- iB）*（iA(j)- iB）}（1≤j≤12）, 当i≤11时，Dd(i)=∑{（iA(j)- iB）*（iA(j)- iB）}（1≤j≤12，j ≠i）,

Dd的计算公式为：Dd=∑{Dd(i)*iN/227}（1≤i≤33）

3、D2的较好满足

对D2中任意两份试卷不能由相同的四位评委评阅的要求，我们在将评委组合进行排序时加以控制；对于D 2中要求尽量减少有两位或三位评委相同的情况，我们采取了让计算机随机产生50组可行的解，通过比较各可行解的三位评委和两位评委数目相同情况的多少，检验并输出三位评委相同的情况最少的解，。这样保证了在一定的范围内能够较好的满足D2。

4、问题一的解题思路