高三立体几何大题线面角专题

高三立体几何专题

1.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，

（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面； （Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值. 1.解析 （Ⅰ）连接，易知，.又由，故，

又因为平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）取棱的中点，连接.依题意，得，又因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，故.

又已知，，所以平面.

（Ⅲ）连接，由（Ⅱ）中平面，可知为直线与平面所成的角，

因为为等边三角形，且为的中点，所以

又， 故在中，. 所以，直线与平面所成角的正弦值为

. 2.如图

，已知三棱柱，平面平面,，

分别是AC ，A 1

B 1的中点. （1）证明：；

（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.

P ABCD -ABCD PCD PAC ⊥PCD PA CD ⊥2CD =3AD =G H ，

PB AC ，GH ∥PAD PA ⊥PCD AD PAC BD AC

BD H =BH DH =BG PG =GH PD ∥GH ⊄PAD PD ⊂PAD GH ∥PAD PC N DN DN PC ⊥PAC ⊥PCD PAC

PCD PC =DN ⊥PAC PA ⊂PAC DN PA ⊥PA CD ⊥CD DN D =PA ⊥PCD AN DN ⊥PAC DAN ∠AD PAC PCD △2CD =N PC DN =DN AN ⊥Rt AND △sin 3

DN DAN AD ∠=

=AD PAC 3

111ABC A B C -11A ACC ⊥ABC 90ABC ∠=︒11

30,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==EF BC ⊥

2.（I ）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥A C. 又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E 平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ， 所以，A 1E ⊥平面ABC ，则A 1E ⊥BC . 又因为A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，故BC ⊥A 1F . 所以BC ⊥平面A 1EF . 因此EF ⊥B C.

（Ⅱ）取BC 中点G ，连接EG ，GF ，则EGFA 1是平行四边形． 由于A 1E ⊥平面ABC ，故AE 1⊥EG ，所以平行四边形EGFA 1为矩形． 由（I ）得BC ⊥平面EGFA 1，则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1， 所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上.

连接A 1G 交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角（或其补角）. 不妨设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E

EG

. 由于O 为A

1G 的中点，故， ⊂122

A G EO OG ==

=

所以．

因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是

． 3．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30︒，若SAB

△的面积为8，则该圆锥的体积为_____． 3．8π【解析】由题意画出图形，如图，

设AC 是底面圆O 的直径，连接SO ，则SO 是圆锥的高，设圆锥的母线长为l ， 则由SA SB ⊥，SAB △的面积为8，得

2

182

l =，得4l =，在Rt ASO ∆中， 由题意知30SAO ∠=，所以1

22

SO l =

=

，AO ==

故该圆锥的体积221

12833

V AO SO πππ=⨯⨯=⨯⨯=．

4．如图，在四面体ABCD 中，ABC ∆是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱

AB 的中点，2AB =

，AD =90BAD ∠=．

(1)求证：AD ⊥BC ；

(2)求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； (3)求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．

4．【解析】(1)由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD =AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ．

2223

cos 25

EO OG EG EOG EO OG +-∠==⋅3

5

O

C

B

A

S

M A B

C

D

(2)取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以DMN ∠（或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．

在Rt DAM ∆中，1AM =

，故DM

因为AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC ． 在Rt DAN ∆中，1AN =

，故DN ．

在等腰三角形DMN 中，1MN =

，可得12cos MN

DMN DM ∠==

． 所以，异面直线BC 与MD

(3)连接CM ．因为ABC ∆为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB ，

CM =．又因为平面ABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，

故CM ⊥平面ABD ．所以，CDM ∠为直线CD 与平面ABD 所成的角． 在Rt CAD ∆

中，4CD =

=．

在Rt CMD ∆

中，sin CM CDM CD ∠=

=

． 所以，直线CD 与平面ABD

． 5．如图，已知多面体111ABCA B C ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=，

14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．

N

M A B

C

D