正规子群和商群
高等代数正规子群与商群
. .. . . ..
陪集的乘法
设 G 是一个群，H 是它的一个子群. 令 I 是 G 的全部左陪集的代
表元集，则
∪ G = gH
g∈I
是 G 的全部左陪集的无交并. 提出下列问题：能否在全体左陪集的
集合上建立一个乘法运算使它成为一个群呢？
实际上在群 G 的子集之间是有自然的乘法的.
定义 K, L 是群 G 的两个非空子集，称集合
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
关于商群的一些记号
当 H 在上下文中是给定时，我们也常写 G/H 为 G，而元 gH 写为 g. 注意，不同的 g, g′ 可以有 g = g′. 这时表示 gH = g′H，即 g, g′ 在 H 的同一陪集中. 由于 g1Hg2H = g1g2H，故 g1 g2 = g1g2.
由命题 1，对 H 是正规子群，它的任何一个左陪集也是右陪集，我 们简称为 G 的陪集. 而且 G 的子集间的乘法对于陪集的集合是封 闭的以及 ∀g1, g2 ∈ G，(g1H)(g2H) = g1g2H.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
定义 G 是群，H 是 G 的子群. 若 ∀g ∈ G，有 g−1Hg = H，则称 H 为 G 的正规子群. 记为 H ◁ G.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
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正规子群
定义 G 是群，H 是 G 的子群. 若 ∀g ∈ G，有 g−1Hg = H，则称 H 为 G 的正规子群. 记为 H ◁ G.
群论的分支规则
群论的分支规则群论是数学的一个分支，主要研究的是抽象代数结构——群。
群论的分支规则是指在研究群的过程中，如何将一个大的群分解为更小、更简单的子群。
这些子群之间有一定的关系，可以帮助我们更好地理解和研究整个群的性质。
群论的分支规则主要包括以下几点：1. 正规子群：设G是一个群，H是G的一个子群，如果H满足条件(a) H本身是一个群；(b) H中任意两个元素的乘积仍在H中；(c) G中任意一个元素与H中任意一个元素的乘积仍在G中。
那么H 就是G的一个正规子群。
正规子群具有传递性，即如果H和K都是G 的正规子群，且H包含于K，那么K也包含于H。
2. 商群：设G是一个群，H是G的一个正规子群，那么由G中所有与H无关的元素组成的集合（记作G/H）以及G/H上定义的运算（即将G中的元素g和H中的元素h映射到G/H中的(gH)），就构成了一个群，称为G关于H的商群。
商群可以看作是将G分解为不相交的正规子群H的并集。
3. 循环子群：设G是一个有限群，H是G的一个子群，如果存在一个元素g∈G，使得对于任意的h∈H，都有gh=hg。
那么称H为G 的一个循环子群。
循环子群具有封闭性，即如果H是G的一个循环子群，那么H的任何非空子集也是循环子群。
4. 交换子群：设G是一个群，H是G的一个子群，如果H中任意两个元素的乘积都在H中，那么我们称H为G的一个交换子群。
交换子群具有传递性，即如果H和K都是G的交换子群，且H包含于K，那么K也包含于H。
5. 幂零子群：设G是一个有限群，H是G的一个子群，如果存在一个正整数n，使得hn=e（其中e是G的单位元）对于任意的h∈H都成立，那么我们称H为G的一个幂零子群。
幂零子群具有传递性，即如果H和K都是G的幂零子群，且H包含于K，那么K也包含于H。
通过以上分支规则，我们可以将一个复杂的群分解为更小、更简单的子群，从而更好地理解和研究整个群的性质。
正规子群
定理7.5.3 任意一个群 ( G, ∘)的商群 (G/H, ⊙)都是 定理 的商群 都是 ( G, ∘)的满同态像。 的满同态像。 的满同态像 自然同态 f : G → G/H, g →Hg 是一个满同态。 是一个满同态。 满同态 • 研究子群 的一个作用就是可以通过H来推测整个 研究子群H的一个作用就是可以通过 来推测整个 的一个作用就是可以通过 的性质。 群G的性质。如果现在是一个正规子群 的话， 的性质 如果现在是一个正规子群H 的话， 那么就有两个群，正规子群H以及商群G/H可以 以及商群 那么就有两个群，正规子群 以及商群 可以 利用了。 利用了。
是一个群， 例7.5.1 设( G, ∘)是一个群，令 是一个群 Cg={ c |c ∈ G, c ∘g = g ∘c, ∀g ∈ G }， ， 的正规子群。 则Cg是G的正规子群。 的正规子群
的非空子集。 证 由 e ∈ Cg知， Cg是G的非空子集。 的非空子集 对a, b ∈ Cg, g ∈ G, 因(a∘b)∘g=a∘(b∘g)=a∘(g∘b)=(a∘g)∘b=(g∘a)∘b=g∘(a∘b)， ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ， 又 a-1∘g = (g-1∘a)-1= (a∘g-1)-1= g∘a-1，所以 a∘b, a-1 ∈ Cg， ∘ ∘ ∘ 故Cg是G的子群。 的子群。 对a ∈ G，由于 aCg={ a∘c |c ∈ Cg }={ c∘a |c ∈ Cg } = Cga , ， ∘ ∘ 因此C 的正规子群。 因此 g是G的正规子群。 的正规子群
近世代数--正规子群与商群
练习
1.设N G,且[G : N ] 2,证明: N G.
2.设N G, 证明 : N G NG (N ) G.
作业
教材P69第1,4题
第八节 正规子群与商群
• 正规子群的定义 • 正规子群的等价性命题 • 商群 • 小结
设H G,若
一、正规子群的定义
定义 设N G, 若a G, 有aN Na, 则称N是G的正规子群, 记作N G. 正规子群也称不变子群
例1 任意一个群G都有两个正规子群e与G,
这两个正规子群称为G的平凡正规子群.
证明
(1) (2)an aN Na an n1a, n1 N ana1 n1 N
(2) (3)显然
(3) (4)由(3)知a1Na N n N, a1na N 于是n a(a1na)a1 aNa1 N aNa1 aNa1 N
则(G / N,)是一个群. G / N称为G关于N的商群.
推论 商群G / N的阶是N在G中的指数[G : N ],
当G是有限群时, G / N的阶是 | G | . |N|
四、小结
1.正规子群: G中每个元素a对应的左陪集aN和 右陪集Na都相等;
2.正规子群的等价性命题:它既是正规子群的性质， 也是正规子群的判定定理；
(4) (5)aN,a N ana1 aNa1 N ana1 n1, n1 N an n1a Na aN Na 反之, n N aNa1 n an2a1, n2 N na an2 aN Na aN 故aN Na
3。2 正规子群与商群
§3.2 正规子群与商群对一般的群G 及N G ≤，左、右陪集不一定相等，即一般aN Na ≠， （见上一章例子，3,{(1),(12)}G S N ==，(13)(13)N N ≠）。
但对某些群G 及其子群N G ≤，总有性质：,a G aN Na ∀∈=。
例如，取3,G S = 3{(1),(123),(132)},N A G ==≤ 则当a 取3(1),(123),(132)A ∈时，总有aN Na =。
而当a 取(12),(13),(23)时， (12){(12),(23),(13)}(12)N N ==，(13){(13),(23),(12)}(13)N N ==，(23){(23),(13),(12)}(23)N N ==，所以3a G S ∀∈=，都有aN Na =。
再比如，交换群的子群总满足上述性质。
设G 是群，N G ≤，若,a G aN Na ∀∈=有，则 称N 是G 的正规子群（Normal subgroup ），记作N G 。
由前面，3A 是3S 的正规子群：33.A S交换群的子群都是正规子群； ()C G G 。
{}e 和G 总是G 的正规子群，称为平凡正规子群，其余的正规子 群称为非平凡正规子群。
定理1. 设N G ≤，则 1,NG a G aNa N -⇔∀∈⊆有； ⇔,,a G x N ∀∈∀∈ 都有1.axa N -∈例1 证明n n A S 。
例2. 设(){|(),||0}n n G GL R A A M R A =∈≠且，(){|||1}n N SL R A A R A =∈=，且， 证明：N G 。
证明：,X G A N ∀∈∀∈，则111||||||||||||||||1,X AX X A X X A X A ---==== 从而，1X AX N -∈，所以N G 。
例3 证明：{}44(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)K S =。
3-2正规子群和商群
因为 H (13) = {(13), (123)}
(12) N = {(12), (23), (13)} = N (1 2)
的不变子群. ，所以 N 是 G 的不变子群.
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二、正规子群的性质 性质1 性质1 设 N ≤ G ，则 N 是 G 的不变子群 ⇔ ∀a ∈ G ,有 aN = Na
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G G / N = { aN | a ∈ G } aN ⋅ bN = ( ab ) N 做成群 做成群.
四、商群
N
关于
G G / N = { aN | a ∈ G } aN ⋅ bN = ( ab ) N 做成群 做成群.
定义 2
G ，则称 G / N = { aN | a ∈ G } 关于 aN ⋅ bN = ( ab ) N 做成的群为 G 关于
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五 商群的应用
定理5 是一个pn阶有限交换群 其中p是一个素数 定理 设G是一个 阶有限交换群 其中 是一个素数 则 是一个 阶有限交换群,其中 是一个素数,则 G有p阶元素 从而有 阶子群 阶元素,从而有 阶子群. 有 阶元素 从而有p阶子群 证:
对n用数学归纳法. 当n = 1时, G是p阶循环群, 则G的生成元就是一个p阶 元, 定理成立. 假定定理对阶为pk(1 ≤ k < n)的交换群成立, 下证对 阶为pn的交换群G定理成立. 在G中任取a ≠ e, 若p a , 令
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例
n次交代群 A n 是n次对称群 Sn的一个正规子群 . 证 :由于任意 n次置换 σ与其逆 σ −1有相同的奇偶 性, 从而易知 σA nσ A n > Sn .
710 正规子群与商群
正规子群与商群Normal Subgroup and Quotient Group●设(H, ⋅) 是群(G, ⋅) 的一个子群，若对于任意g∈G，有gH = Hg，则称(H, ⋅) 是(G, ⋅) 的正规子群(normal subgroup)或正则子群、不变子群，记作H G●在正规子群中左陪集和右陪集相等，因此统称为陪集●例◆Abel群的子群都是正规子群◆n是的正规子群●定理◆群(G, ⋅)的子群(H, ⋅)是(G, ⋅)的一个正规子群当且仅当对于任意g∈G，h∈H，有ghg-1∈H●证明◆ (必要性)对于任意g∈G, h∈H，由于gH=Hg，存在h1∈H使得gh=h1g，即ghg-1= h1∈H◆（充分性）即证明对于任意g∈G，gH=Hg•对于任意h∈H，gh∈gH，由于ghg-1∈H，存在h1∈H使得ghg-1=h1，即gh = h1g∈Hg。
这表明gH⊆Hg•类似地可以证明Hg⊆gH。
于是gH=Hg，即H 是G的一个正规子群设(H, ⋅) 是(G, ⋅) 的一个正规子群，定义G/H为{ Hg|g∈G } ，对于任意Ha, Hb∈G/H 定义G/H上的运算◦为Ha◦Hb=Hab。
则(G/H, ◦) 构成一个群，称为G关于H的商群（quotient group）。
G/H={Hg|g∈G}, Ha◦Hb=Hab ●证明◆(1) 首先证明◦运算是良性定义的：即若Ha=Hx且Hb=Hy，则Hx◦Hy = Ha◦Hb•若Ha=Hx=xH，Hb=Hy=yH，则对于任意h∈H，, h2∈H使得hab=xh1b=xyh2∈xyH。
由此得存在h1到Hab ⊆xyH = Hxy•类似地可以证明Hxy ⊆Hab•因此有Hxy = HabG/H={Hg|g∈G}, Ha◦Hb=Hab ●证明◆(2) ◦运算的封闭性是显然的。
◆(3) ◦运算的结合性由群(G, ⋅) 上运算的结合性易得◆(4) G/H中存在关于◦运算的单位元He=H◆(5) G/H中任何一个元素都存在关于◦运算的逆元：(Ha)-1= Ha-1◆因此(G/H, ◦)构成一个群●G = {π0, π1, π2, π3} ●S = {π0, π1}，T = {π2, π3} ●S 是 G 的正规子群 ●G /S = {S , T }●(G /S , ◦) 是一个商群 π0 = 1 2 3 4 1 2 3 4 π2 = 1 2 3 4 1 2 4 3π1 = 1 2 3 4 2 1 3 4 π3 = 1 2 3 4 2 1 4 3 ◦ {π0, π1} {π2, π3} {π0, π1} {π0, π1} {π2, π3} {π, π} {π, π} {π, π}The END。
正规子群,商群与同态基本定理
（VIII ）正规子群，商群与同态基本定理一、正规子群（不变子群）GH G H Ha aH G a G H 的正规子群，记为为则称，有如果、定义：设=∈∀≤,,1·G 为交换群（Abel 群），G 的子群为正规子群。
·{e}，G 是平凡正规子群（trivial ） HaHa HaHa H h G a H aha G H G H =⊆∈∈∀∈⇔≤---111)3()2(,,)1(,2 则设、判法Eg1.)()(R GL R SL n nEg2.群的中心G G C G x xa ax a G C )(},,|{)(∈∀==Eg3.44S AEg4.)}23)(14(),24)(13(),34)(12(),1{(K 4=四元群，Klein ，44S K ，44A K 正规子群不具有传递性！如H={（1），（12）（34）}，H 左三角K4，K4左三角S4，但是H 不是S4的正规子群。
二、商群的商群关于称为是群则在上述条件下上定义代数运算：在、【商群】：设H G H G HG bH aH H ab bH aH H G G a aH H G G H ),/(/,,)(:/}|{/,1⋅∈∀=⋅∈= .||||/]:[/2H G H G H G G H H G 的阶是，且当时有限群时，中的指数在的阶是、商群 （当G 为加群时，则正规子群N 的陪集为a+N ，商群G/N 的运算为（a+N ）+(b+N)=(a+b)+N ）三、群同态基本定理1、同态的像、同态核设G G f →:是群同态，同态的像}|)({Im G a a f f ∈=，核})(|{ker e a f G a f =∈= 则有：（1）G f ≤Im（2）G f ker 2、群同态基本定理设G G f →:是群同态⇒群同构：f f G Im ker /≅ 特别地，当f 为满射时，G f =Im 则有G f G ≅ker /。
正规子群与商群
G/H={a | a∈G }。
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定理: 设H G，则G/H对子集乘法构成群，称为G关 于H的商群。
证明: 不难证明子集乘法:
aH，bH∈G/H， aH·bH ={ah1bh2|h1，h2∈H}
是G/H中的一个二元运算(封闭性，唯一性，结合律)。 且G/H中有单位元H:
aH ∈G/H，aH·H=H ·aH=aH。
⑴ 商群G/H的单位元是eH(=H )；
⑵ aH在G/H中的逆元是a-1H.
推论2 设G为交换群，H是G的子群，则商群G/H也是 交换群。
推2论0213/8/有6 限群G的商群G/H的阶是G的阶的因子。 End9
又任意aH∈G/H，有逆元a-1H。 故G/H关于子集乘法构成群。
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例: 在(Z，+)中， Hm=<m>是正规子群， Z/Hm=Z/(m)={ 0,1,2,,m1 }， 即整数模m的同余类群。
一般地，G/H也称为G模H的同余(剩余)类群。
根据正规子群和商群的定义及性质不难得到： 推论1 设H G，则
§2.2 正规子群与商群
( 2.2 Normal Subgroup and Quotient Group)
前面我们已经看到，一个群G的子群H的左陪集aH与 右陪集Ha不一定相等，当aH＝Ha时，具有此种特性 的子群H叫正规子群或不变子群。正规子群对刻画群 的性质有十分重要的作用，是非常重要的子群。
2.2.1 正规子群(不变子群)(Normal Subgroup)
(2) a ∈G， h ∈H，有aha-1 ∈H (3) a ∈G，有aHa-1 H
(4) a ∈G，有aHa-1= H
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正规子群和商群
性质1 群 G 的任何两个不变子群的交还是 G 的不变子群.
证明：首先由前面可知它是子群；而且
a H I N , H , N是G的不变子群，则x G, xax1 H且xax1 N xax1 H I N 因此H I N是G的不变子群.
性质2 不变子群与子群的乘积是子群；
h1n1 1 h2n2 n11 h11h2 n2
n11h3n2
h3n3n2
h3 n3n2 HN
这一节里要讲到一种重要的子群，就是正规子群．
给了一个群 G ，一个子群 H ，那么 H的一个右陪 集 Ha 未必等于 H的左陪集 aH ，这一点我们在上一节 的例２里已经看到．
伽罗华在180年多前发现，对任意群G， H是G的任一子群，a为G中任一元，则aH与 Ha未必相等，但对于能使aH=Ha成立的子 群H则具有特别重要的意义，他把这类子群
叫做正规子群（也叫不变子群），由它可以 定义一种和G相关的新群—商群.
定义 1 N G, a G, 都有aN Na， 则称 N 是群 G 的一个正规子群（或不变子群）
记作 N G .
例1 任意群 G 的两个平凡子群都是正规子群.
{e}: a G, a{e} {a} {e}a G : a G, aG G Ga
问：H G ，SL {aH | a G} 关于子集乘法做成群吗？
定理：N G，G / N {aN | a G} 关于乘法 aN bN (ab)N 做成群.
且称 G / N {aN | a G} 为 G 关于N 的商群.
证明：① N =eNG / N ，故非空；
② 乘法运算是封闭的（该乘法是代数运算）： aN aN ,bN bN ,(aN )(bN ) (ab)N ,(aN )(bN ) (ab)N n1, n2 N , a an1, b bn2 ab a(n1b)n2 a(bn3 )n2 abN abN abN
(完整word版)3。2 正规子群与商群
§3.2 正规子群与商群对一般的群G 及N G ≤，左、右陪集不一定相等，即一般aN Na ≠， （见上一章例子，3,{(1),(12)}G S N ==，(13)(13)N N ≠）。
但对某些群G 及其子群N G ≤，总有性质：,a G aN Na ∀∈=。
例如，取3,G S = 3{(1),(123),(132)},N A G ==≤ 则当a 取3(1),(123),(132)A ∈时，总有aN Na =。
而当a 取(12),(13),(23)时， (12){(12),(23),(13)}(12)N N ==，(13){(13),(23),(12)}(13)N N ==，(23){(23),(13),(12)}(23)N N ==，所以3a G S ∀∈=，都有aN Na =。
再比如，交换群的子群总满足上述性质。
设G 是群，N G ≤，若,a G aN Na ∀∈=有，则 称N 是G 的正规子群（Normal subgroup ），记作N G 。
由前面，3A 是3S 的正规子群：33.A S交换群的子群都是正规子群；任何群的中心都是的正规子群：()C G G 。
{}e 和G 总是G 的正规子群，称为平凡正规子群，其余的正规子 群称为非平凡正规子群。
定理1. 设N G ≤，则 1,NG a G aNa N -⇔∀∈⊆有； ⇔,,a G x N ∀∈∀∈ 都有1.axa N -∈例1 证明n n A S 。
例2. 设(){|(),||0}n n G GL R A A M R A =∈≠且，(){|||1}n N SL R A A R A =∈=，且， 证明：N G 。
证明：,X G A N ∀∈∀∈，则111||||||||||||||||1,X AX X A X X A X A ---==== 从而，1X AX N -∈，所以N G 。
例3 证明：{}44(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)K S =。
03 正规子群与商群.
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例
G S3
{(1), (12), (13), (23), (123), (132)}
H {(1), (12)}
① H G
②
H 在 G 中的全部不同的左陪集有:
(1) H {(1), (12)} (12) H (13) H {(13), (123)} (123) H (23) H {(23), (132)} (132) H
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G S3
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陪集例
如：3元对称群S3关于交错群A3的所有右陪集？ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 S3 ={ ， ， ， ， ， } 1 2 3 3 1 2 2 3 1 1 3 2 2 1 3 3 2 1 （ { 1），（12），（13），（23），（123），（132） } 交错群A3 ={（1），（123），（132）}。 A（ （ （ , 3 1）=A 3 =A 3 123）=A 3 132） A（ 12），（13），（23）}=A（ （ 3 12）={（ 3 13）=A 3 23）. S3的全部6个元素已经被A3分为两个等价类， S3 =A（ （ 3 1） A 3 12）.
正规子群与商群
正規子群與商群bee *108.03.03∼108.03.03順便證明了Lagrange 定理。
1.定義【共軛變換】(conjugation)：x →gxg −1。
【正規子群的定義與符號】：設N 是G 的子群。
若∀n ∈N,∀g ∈G ，gng −1∈N (即共軛不變)，則N 是G 的一個正規子群(normal subgroup)，記為N ▹G 。
這定義顯然來的突兀，應該了解要這一個定義的目的。
2.陪集設H 是G 的一個子集，考慮aH ={ah }(1)我們發現：當a,b ∈G 時，可得aH =bH 或者是aH ∩bH =∅。
於是我們可以用H 當標準把G 中的元素分類，若aH =bH ，則a,b 為同一類。
這樣我們可以得到一個等價關係，並用符號a 表示{b bH =aH }。
同時，用G H表示集合{g }。
g 實際上是一個集合，稱為左陪集(left coset)，我們現在的想法是把coset 拿來當元素，然後定義一個新的群。
當然，這樣我們需要運算，這個運算就採用原先的運算。
即g 1·g 2={g 1h 1g 2h 2}=g 1hg 2(2)因為G 不一定是交換群，所以g 1h 1g 2h 2的順序不可以隨便交換。
*bee 美麗之家:http:/.tw/bee接下來我們必須驗證這一個運算對於陪集來說擁有群的運算性質。
(1)結合律。
顯然o.k.(2)單位元素。
∀h∈H，h=e=H，我們把e視為單位元素。
計算g·e={gh1eh2}=gH=g。
(3)反元素。
設g∈G，看看g是不是有反元素，直覺的想法是找g−1。
計算g·g−1={gh1g−1h2}=ghg−1?===H(3)如果G是交換群，這件事就搞定拉！可是G不一定是交換群，於是得要求∀g∈G,gh1g−1=h,其中h∈H(4)這就是正規子群的要求。
於是利用原先的群運算，如果H是一個【正規子群】，而不僅僅是一個子群，那麼，我們就可以創造一個新的群：商群：GH(quotient group)3.補充(1)如果G是一個交換群，那麼所有的子群H都是正規群。
正规子群判别
(2) 在 G/ H中a H 的逆元是 a 1H ．
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推论2 设 G 为群，H 是 G 的任一子群． 如果 G 是 交换群， 则商群 G/ H 也是交换群．
由于H 在 G 中的指数[G : H ] 就是 H 在 G 中的陪集
K S4
11
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三、正规子群有下列简单性质
定理2.2.2 设G 为群，H1, H2 是G 的正规子群． 则 H 1 H2与 H 1H2都是 G 的正规子群．
定理2.2.3 设G 是群，H 是G 的一个正规子群，H 的所有陪集组成的集合G /H { a H |a G }关于陪集的 乘法a H b H (a b)H 构成群．
同理有HaaH． 所以 aHHa．因此 H G
由于[Sn:An]2,由此例可知，n 次交代群 A n 是次
对称群S n 的正规子7群．
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二、正规子群的判别
定理2.2.1设G 是群，H 是G 的子群． 则下列四 个条件等价:
(1) H 是G 的正规子群; (2) 对任意的 aG， 有 aHa1H; (3) 对任意的 aG，有 aHa1H; (4) 对任意的aG，有aha1H．
{ a ,b ,c ,d } { 1 ,2 ,3 ,4 } ．则 (( a )( b ) ) (( c )( d ) ) .
因为 可逆，所以 ( a ) , ( b ) , ( c ) , ( d )互不相同，且
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( a ) ,( b ) ,( c ) ,( d ) { 1 , 2 , 3 , 4 } ， 所以1K，由此得
第7章 正规子群,商群(补讲2)
任取b∈G，则有
b∈[a]R
根据定理3 有
<a,b>∈R ab-1∈H
ab-1∈H Ha＝Hb b∈Ha
这就推出 b∈[a]R b∈Ha，从而证明了[a]R＝Ha。 前页 9 前页 前页 前页 返回 后页 目录
定理4推论
推论 设H是群G的子群，则 (1)任取a,b∈G，Ha＝Hb 或 Ha∩Hb＝ (2)∪{Ha|a∈G}＝G 重要结果：给定群G的一个子群H，H的所有右陪集的 集合{Ha|a∈G}恰好构成G的一个划分。
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右陪集
H的右陪集定义，即 Ha＝{ha|h∈H}，a∈G
左陪集
H的左陪集定义，即 aH＝{ah|h∈H}，a∈G 左陪集的性质：
右陪集的性质： 1.He＝H 2.a∈G，a∈Ha 3.a,b∈G，a∈Hbab-1∈H Ha＝Hb 4.若在G上定义二元关系R， a,b∈G,<a,b>∈Rab-1∈H 则R是G上的等价关系， 且[a]R＝Ha。 12 5.a∈G，H≈Ha。
从而得到 HaHb。
反之，任取h1b∈Hb，则有
h1b＝h1(h-1a) ＝(h1h-1)a∈Ha 从而得到 HbHa。 综上所述，Ha＝Hb得证。
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定理3的说明
• 该定理给出了两个右陪集相等的充分必要条件，并 且说明在右陪集中的任何元素都可以作为它的代表 元素。 • 在例1中， H＝{f1,f2}
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例2 在 S3中， 设子群 H {(1),(123),(132)}. 这时，
3-2正规子群和商群
§2 正规子群和商群
1. 正规子群的定义 2.正规子群的性质
3.商群
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一、正规子群的定义
定义 1 N G 且 a G , aN Na ,则称 N 是群 G 的一个正规子群（或不变子群） ，记作
N G .
例1 任意群 G 的两个平凡子群都是正规子群. 例2 任意群 G 的中心
证明： ①N G / N ，故非空； ② 有乘法运算 (aN )( bN ) ( ab) N ； ③ ( aNbN )cN aN ( bNcN ) (abc ) N ，有结合律； ④ ( eN )( aN ) aN ,有左单位元 eN N ； 1 ⑤ (a N )(aN ) eN ,有逆元.
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定理6
有限交换群G为单群的充分必要条件是, G 为素数.
证明:
设 G 为素数.则G是一个素阶循环群 , 从而 反之, 设G是单群且G n 1.在G中任取
G显然是一个单群 . 元素a e.若 a n, 则由于G是交换群, 故 e a G. 这与G是单群矛盾 .因此必a n , 从而G a 为n阶循环群, 再由定理5可知, n必为素数.
N H G ，且 N G，则 N H .
设是群G到群G的一个同态满射 , 则在之下 G的正规子群的像是 G的一个正规子群 , G的 正规子群的逆象是 G的一个正规子群 .
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四、商群
G / N {aN | a G} N G 关于 aN bN ( ab ) N 做成群.
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五 商群的应用
定理5 设G是一个pn阶有限交换群,其中p是一个素数,则 G有p阶元素,从而有p阶子群. 证:
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定理 设 N G ，则 N 是 G 的正规子群
a G ,有 aN Na a G ,有 aNa1 N a G ，n N ,有 ana1 N a G ,有 aNa1 N
由前面讨论可知：由不变子群确定的群的左右陪集分解是 一回事，即由此得到的左右商集是一致的。
N
3)有限群的商群还是有限群, 且其任一
商群的阶是群阶数的因数.
4)N G , 则 e eN N 为商群G / N
的单位元, a1N 为 aN 的逆元.
5)交换群的任一子群都是交换群, 且其商群 也是交换群.
6)循环群的任一子群为不变子群，任一商群 都是循环群.
证明：设G (a) 为循环群,N G ，因循环群为交换群， 且循环群的子群为循环群，故 N G.
另外aC(G) {ac | c C(G)} {ca | c C(G)} C(G)a C(G)是G的不变子群.
注：含于群的中心的子群都是正规子群.
G S3 {(1}, (12), (13), (23), (123), (132)} H {(1), (12)} N {(1), (12 3), (1 3 2)}
③ (aNbN )cN aN(bNcN ) (abc)N ，有结合律；
④ (eN )(aN ) aN ,有左单位元 eN N ；
⑤ (a1N )(aN ) eN ,每个元有逆元.
对于商群：
1)商群 G / N 的阶＝ [G : N].
2)如果 G 是有限群, 则商群 G / N 的阶＝ [G : N ] ＝ G .
性质1 群 G 的任何两个不变子群的交还是 G 的不变子群.
证明：首先由前面可知它是子群；而且
a H N , H , N是G的不变子群，则x G, xax1 H且xax1 N xax1 H N 因此H N是G的不变子群.
性质2 不变子群与子群的乘积是子群；
性质3 不变子群与不变子群的乘积是不变子群.
解：因为 H(13) {(13),(123)}
(13)H {(13), (132)} 所以 H 不是 G 的不变子群.
因为 (1)N {(1), (123), (132)} N (1 ) (12)N {(12), (23), (13)} N(1 2)
所以 N 是 G 的不变子群.
第8节 正规子群和商群
定义 例子 等价条件是正规子群．
给了一个群 G ，一个子群 H，那么 H的一个右陪 集 Ha未必等于 H的左陪集 aH ，这一点我们在上一节 的例２里已经看到．
伽罗华在180年多前发现，对任意群G， H是G的任一子群，a为G中任一元，则aH与 Ha未必相等，但对于能使aH=Ha成立的子 群H则具有特别重要的意义，他把这类子群 叫做正规子群（也叫不变子群），由它可以 定义一种和G相关的新群—商群.
注： N H, H G ，但 N 未必是 G 的不变子 群，即无传递性.
补例1 设 G 为整数加群, N 5g g G
（1）证明 N G ；（2）求 G / N.
5 g1, 5 g2 N
5g1 5g2 5( g1 g2 ) N N G
5g N ,a G,
x, y C(G), 对a G, xa ax, ya ay
(xy)a x( ya) x(ay) (xa) y (ax) y a(xy), xy C(G)
且x1a x1ae x1axx1 x1(ax)x1 x1(xa)x1 ax1, x1 C(G) 因此C(G) G.
定义 1 N G, a G, 都有aN Na， 则称 N 是群 G 的一个正规子群（或不变子群）
记作 N G .
例1 任意群 G 的两个平凡子群都是正规子群.
{e}: a G, a{e} {a} {e}a G : a G, aG G Ga
例2 交换群的子群都是正规子群.
（留作练习） 我们知道“子群”的概念具有传递性:
N H，H G N G
那么“正规子群”是否也具有传递性呢？
例 S4中，K4 {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} B4 {(1), (12)(34)}
B4 K 4 , K4 S4 , B4 不是 S4 的不变子群.
n11h3n2
h3n3n2
h3 n3n2 HN
a 5g (a) 5g N N G
G / N [0],[1],[2],[3],[4]
性质2证明
假定H是G的子群，N是G的不变子群，证 明，HN是G的子群. 证明：
h1n1, h2n2 HN , (h1, h2 H , n1, n2 N )
h1n1 1 h2n2 n11 h11h2 n2
bN G / N (b G),则r Z , b ar bN ar N (aN )r
所以 G / N {bN | b G} (aN )为循环群.
从商群的角度重新认识剩余类加群
Zn
第一，回忆剩余类加群。 第二，重新认识 Zn。设
G Z(整数加群)
N (n) {kn k Z}(由n生成的循环群)
设G是交换群，H G，a G,都有
aH {ah | h H} {ha | h H} Ha
例3 任意群 G,
中心是正规子群吗？
C(G) {c G | a G, ca ac}
称为 G 的中心.
证明：a G,ea ae a,eC(G),C(G)
问：H G ，SL {aH | a G} 关于子集乘法做成群吗？
定理：N G，G / N {aN | a G} 关于乘法 aN bN (ab)N 做成群.
且称 G / N {aN | a G} 为 G 关于N 的商群.
证明：① N =eNG / N ，故非空；
② 乘法运算是封闭的（该乘法是代数运算）： aN aN ,bN bN ,(aN )(bN ) (ab)N ,(aN )(bN ) (ab)N n1, n2 N , a an1, b bn2 ab a(n1b)n2 a(bn3 )n2 abN abN abN