正规子群和商群
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设G是交换群，H G，a G,都有
aH {ah | h H} {ha | h H} Ha
例3 任意群 G,
中心是正规子群吗？
C(G) {c G | a G, ca ac}
称为 G 的中心.
证明：a G,ea ae a,eC(G),C(G)
定义 1 N G, a G, 都有aN Na， 则称 N 是群 G 的一个正规子群（或不变子群）
记作 N G .
例1 任意群 G 的两个平凡子群都是正规子群.
{e}: a G, a{e} {a} {e}a G : a G, aG G Ga
例2 交换群的子群都是正规子群.
x, y C(G), 对a G, xa ax, ya ay
(xy)a x( ya) x(ay) (xa) y (ax) y a(xy), xy C(G)
且x1a x1ae x1axx1 x1(ax)x1 x1(xa)x1 ax1, x1 C(G) 因此C(G) G.
③ (aNbN )cN aN(bNcN ) (abc)N ，有结合律；
④ (eN )(aN ) aN ,有左单位元 eN N ；
⑤ (a1N )(aN ) eN ,每个元有逆元.
对于商群：
1)商群 G / N 的阶＝ [G : N].
2)如果 G 是有限群, 则商群 G / N 的阶＝ [G : N ] ＝ G .
性质1 群 G 的任何两个不变子群的交还是 G 的不变子群.
证明：首先由前面可知它是子群；而且
a H N , H , N是G的不变子群，则x G, xax1 H且xax1 N xax1 H N 因此H N是G的不变子群.
性质2 不变子群与子群的乘积是子群；
性质3 不变子群与不变子群的乘积是不变子群.
问：H G ，SL {aH | a G} 关于子集乘法做成群吗？
定理：N G，G / N {aN | a G} 关于乘法 aN bN (ab)N 做成群.
且称 G / N {aN | a G} 为 G 关于N 的商群.
证明：① N =eNG / N ，故非空；
② 乘法运算是封闭的（该乘法是代数运算）： aN aN ,bN bN ,(aN )(bN ) (ab)N ,(aN )(bN ) (ab)N n1, n2 N , a an1, b bn2 ab a(n1b)n2 a(bn3 )n2 abN abN abN
a 5g (a) 5g N N G
G / N [0],[1],[2],[3],[4]
性质2证明
假定H是G的子群，N是G的不变子群，证 明，HN是G的子群. 证明：
h1n1, h2n2 HN , (h1, h2 H , n1, n2 N )
h1n1 1 h2n2 n11 h11h2 n2
定理 设 N G ，则 N 是 G 的正规子群
a G ,有 aN Na a G ,有 aNa1 N a G ，n N ,有 ana1 N a G ,有 aNa1 N
由前面讨论可知：由不变子群确定的群的左右陪集分解是 一回事，即由此得到的左右商集是一致的。
n11h3n2
h3n3n2
h3 n3n2 HN
另外aC(G) {ac | c C(G)} {ca | c C(G)} C(G)a C(G)是G的不变子群.
注：含于群的中心的子群都是正规子群.
G S3 {(1}, (12), (13), (23), (123), (132)} H {(1), (12)} N {(1), (12 3), (1 3 2)}
（留作练习） 我们知道“子群”的概念具有传递性:
N H，H G N G
那么“正规子群”是否也具有传递性呢？
例 S4中，K4 {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} B4 {(1), (12)(34)}
B4 K 4 , K4 S4 , B4 不是 S4 的不变子群.
bN G / N (b G),则r Z , b ar bN ar N (aN )r
所以 G / N {bN | b G} (aN )为循环群.
从商群的角度重新认识剩余类加群
Zn
第一，回忆剩余类加群。 第二，重新认识 Zn。设
G Z(整数加群)
N (n) {kn k Z}(由n生成的循环群)
注： N H, H G ，但 N 未必是 G 的不变子 群，即无传递性.
补例1 Baidu Nhomakorabea G 为整数加群, N 5g g G
（1）证明 N G ；（2）求 G / N.
5 g1, 5 g2 N
5g1 5g2 5( g1 g2 ) N N G
5g N ,a G,
N
3)有限群的商群还是有限群, 且其任一
商群的阶是群阶数的因数.
4)N G , 则 e eN N 为商群G / N
的单位元, a1N 为 aN 的逆元.
5)交换群的任一子群都是交换群, 且其商群 也是交换群.
6)循环群的任一子群为不变子群，任一商群 都是循环群.
证明：设G (a) 为循环群,N G ，因循环群为交换群， 且循环群的子群为循环群，故 N G.
解：因为 H(13) {(13),(123)}
(13)H {(13), (132)} 所以 H 不是 G 的不变子群.
因为 (1)N {(1), (123), (132)} N (1 ) (12)N {(12), (23), (13)} N(1 2)
所以 N 是 G 的不变子群.
第8节 正规子群和商群
定义 例子 等价条件 商群
这一节里要讲到一种重要的子群，就是正规子群．
给了一个群 G ，一个子群 H，那么 H的一个右陪 集 Ha未必等于 H的左陪集 aH ，这一点我们在上一节 的例２里已经看到．
伽罗华在180年多前发现，对任意群G， H是G的任一子群，a为G中任一元，则aH与 Ha未必相等，但对于能使aH=Ha成立的子 群H则具有特别重要的意义，他把这类子群 叫做正规子群（也叫不变子群），由它可以 定义一种和G相关的新群—商群.
aH {ah | h H} {ha | h H} Ha
例3 任意群 G,
中心是正规子群吗？
C(G) {c G | a G, ca ac}
称为 G 的中心.
证明：a G,ea ae a,eC(G),C(G)
定义 1 N G, a G, 都有aN Na， 则称 N 是群 G 的一个正规子群（或不变子群）
记作 N G .
例1 任意群 G 的两个平凡子群都是正规子群.
{e}: a G, a{e} {a} {e}a G : a G, aG G Ga
例2 交换群的子群都是正规子群.
x, y C(G), 对a G, xa ax, ya ay
(xy)a x( ya) x(ay) (xa) y (ax) y a(xy), xy C(G)
且x1a x1ae x1axx1 x1(ax)x1 x1(xa)x1 ax1, x1 C(G) 因此C(G) G.
③ (aNbN )cN aN(bNcN ) (abc)N ，有结合律；
④ (eN )(aN ) aN ,有左单位元 eN N ；
⑤ (a1N )(aN ) eN ,每个元有逆元.
对于商群：
1)商群 G / N 的阶＝ [G : N].
2)如果 G 是有限群, 则商群 G / N 的阶＝ [G : N ] ＝ G .
性质1 群 G 的任何两个不变子群的交还是 G 的不变子群.
证明：首先由前面可知它是子群；而且
a H N , H , N是G的不变子群，则x G, xax1 H且xax1 N xax1 H N 因此H N是G的不变子群.
性质2 不变子群与子群的乘积是子群；
性质3 不变子群与不变子群的乘积是不变子群.
问：H G ，SL {aH | a G} 关于子集乘法做成群吗？
定理：N G，G / N {aN | a G} 关于乘法 aN bN (ab)N 做成群.
且称 G / N {aN | a G} 为 G 关于N 的商群.
证明：① N =eNG / N ，故非空；
② 乘法运算是封闭的（该乘法是代数运算）： aN aN ,bN bN ,(aN )(bN ) (ab)N ,(aN )(bN ) (ab)N n1, n2 N , a an1, b bn2 ab a(n1b)n2 a(bn3 )n2 abN abN abN
a 5g (a) 5g N N G
G / N [0],[1],[2],[3],[4]
性质2证明
假定H是G的子群，N是G的不变子群，证 明，HN是G的子群. 证明：
h1n1, h2n2 HN , (h1, h2 H , n1, n2 N )
h1n1 1 h2n2 n11 h11h2 n2
定理 设 N G ，则 N 是 G 的正规子群
a G ,有 aN Na a G ,有 aNa1 N a G ，n N ,有 ana1 N a G ,有 aNa1 N
由前面讨论可知：由不变子群确定的群的左右陪集分解是 一回事，即由此得到的左右商集是一致的。
n11h3n2
h3n3n2
h3 n3n2 HN
另外aC(G) {ac | c C(G)} {ca | c C(G)} C(G)a C(G)是G的不变子群.
注：含于群的中心的子群都是正规子群.
G S3 {(1}, (12), (13), (23), (123), (132)} H {(1), (12)} N {(1), (12 3), (1 3 2)}
（留作练习） 我们知道“子群”的概念具有传递性:
N H，H G N G
那么“正规子群”是否也具有传递性呢？
例 S4中，K4 {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} B4 {(1), (12)(34)}
B4 K 4 , K4 S4 , B4 不是 S4 的不变子群.
bN G / N (b G),则r Z , b ar bN ar N (aN )r
所以 G / N {bN | b G} (aN )为循环群.
从商群的角度重新认识剩余类加群
Zn
第一，回忆剩余类加群。 第二，重新认识 Zn。设
G Z(整数加群)
N (n) {kn k Z}(由n生成的循环群)
注： N H, H G ，但 N 未必是 G 的不变子 群，即无传递性.
补例1 Baidu Nhomakorabea G 为整数加群, N 5g g G
（1）证明 N G ；（2）求 G / N.
5 g1, 5 g2 N
5g1 5g2 5( g1 g2 ) N N G
5g N ,a G,
N
3)有限群的商群还是有限群, 且其任一
商群的阶是群阶数的因数.
4)N G , 则 e eN N 为商群G / N
的单位元, a1N 为 aN 的逆元.
5)交换群的任一子群都是交换群, 且其商群 也是交换群.
6)循环群的任一子群为不变子群，任一商群 都是循环群.
证明：设G (a) 为循环群,N G ，因循环群为交换群， 且循环群的子群为循环群，故 N G.
解：因为 H(13) {(13),(123)}
(13)H {(13), (132)} 所以 H 不是 G 的不变子群.
因为 (1)N {(1), (123), (132)} N (1 ) (12)N {(12), (23), (13)} N(1 2)
所以 N 是 G 的不变子群.
第8节 正规子群和商群
定义 例子 等价条件 商群
这一节里要讲到一种重要的子群，就是正规子群．
给了一个群 G ，一个子群 H，那么 H的一个右陪 集 Ha未必等于 H的左陪集 aH ，这一点我们在上一节 的例２里已经看到．
伽罗华在180年多前发现，对任意群G， H是G的任一子群，a为G中任一元，则aH与 Ha未必相等，但对于能使aH=Ha成立的子 群H则具有特别重要的意义，他把这类子群 叫做正规子群（也叫不变子群），由它可以 定义一种和G相关的新群—商群.