弗赖登塔尔数学教育思想整理稿

概括---归纳,总括。把事物的共同特点归结在一起加以简明地叙述,扼要重述

用一句话概括

概念---在头脑里所形成的反映对象的本质属性的思维形式。把所感知的事物的共同本质特点抽象出来,加以概括,就成为概念,概念都具涵和外延,并且随着主观、客观世界的发展而变化

定义---- 对概念的涵或语词的意义所做的简要而准确的描述

加法----数学运算法之一,是把两个或两个以上的数合成一个数的法

和----数学上指加法运算中的得数：二加二的～是四。

减法--- 将一个数或量从另一个数或量中减去的一种数学法,这一法可用公式概括为m-s=r,其中差数r加上减数s,总数等于被减数m

乘---算术中的乘法运算,亦指乘法的运算法[multiplication]。如:加减乘除

乘积---- 由两个或两个以上的数或量相乘所得出的数或量

乘法---- 一般指ab,a·b这些数学运算,其含义随有关的类型不同而异。当a和b为正整数时,这些运算的含义最简单,它们代表以a作单位重复取b次或反过来以b作单位重复取a次

类比---- 根据两种事物在某些特征上的相似,推论出它们在其他特征上也有可能相似。用这种推理法推出的结论是或然性的,是否正确还有待实践证明

比较---- 对比几种同类事物的异同、高下

对比------[两种事物或一事物的两个面] 相对比较--新旧对比

弗赖登塔尔的数学教育思想

荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔是国际上知名的数学教育面的权威学者。30年代就享有盛誉，从50年代起就逐渐转向数学教育的研究，形成了他自己的独特的观点。

第一节关于现代数学特性的论述

弗赖登塔尔认为现代数学的特性可以归结为以下几个面。

1．数学表示的再创造与形式化活动。如果认真分析一下近几十年来数学的变化，就会发现其变化主要是它的外表形式，而不是它的实质容。这是一个自然演变的过程，在数学的各个领域，逐渐渗透与发展了各种新知识与新词汇，最终汇成一个新潮流--形式化，这是组织现代数学的重要法之一，也是现代数学的标志之一。

微积分的发展是一个例子，当牛顿、莱布尼兹开始引入微分、积分以及无穷小的时候，这都是一些具有某种直观背景的模糊观念。根据某些实际需要，对它们进行各种描述，以及各种运算，经过了一段很长的历史，才逐渐形成了极限的概念，才有了-形式的定义，于是微积分才有密、精确而又完整的外衣，也才形成了清晰而又相容的逻辑演绎体系，这是对长期的非形式化运算过程进行形式化改造的结果。

形式化要求以语言为工具，按逻辑的规律，有意识地精确地表达密的数学含义，不容混淆，也不容矛盾。换句话说，数学需要有自己特定的语言，密、精确、完整而且相容。随

着数学抽象程度的提高，语言表达的密性日益增强，甚至像计算机语言似的向着符号逻辑的趋势发展。但这种数学语言的发展显然也不是绝对的，需要有个过程，这也就反映了数学有各种不同程度的形式化，在特定环境下，可以为特定的目的构造不同的形式化语言。

根据弗赖登塔尔的分析，我们认为现代社会的数学教育，当然不可能要求一下子飞跃到20世纪数学发展的最前沿，以形式化的现代数学容，充塞于各种课程、教材之中。因为教育必然有一定的滞后性，儿童、少年的生理、心理发展规律，也必须要求以直观的具体容作为抽象形式的背景与基础，可是最终达到的目的也应该使学生理解现代数学这一以特定的数学语言表达的形式体系。当然这里有各种不同的要求，因而也要掌握不同层次的形式化，并且运用着不同水平的数学语言。

2．数学概念的建设法，从典型的通过外延描述的抽象化，进而转向实现公理系统的抽象化，承认隐含形式的定义，从而在现代科学法论的道路上，迈开决定性的一步。

若是把康脱(Cantor)的集合论作为现代数学的开端，你就会看到建设概念的典是通过"外延"来描述一个概念，即描述具有概念所反映的特性的对象全体，由此来了解并掌握这个概念。

随着现代数学的进展，人们感到通过"外延"的描述形成概念的法，在不少情况下难以达到预定的目的。在更多的容中，人们借助于具有这些特性的所有对象，从各种特殊情况中，描述它们的共性，阐述它们所必须满足的共有关系，解释它们所受的相关的约束、限制条件等等，从而抽象出一个更广泛、更一般的概念，这就是用公设或者是公理法建立的概念。它的实质就是以隐含的式描述了所要研究的对象，它并未明确指出概念的"外延"，但却已经规定了它必须满足的条件，这就是以隐含的形式作为定义，使现代数学跨上了更高水平的形式体系。

3．传统的数学领域之间的界限日趋消失，一贯奉为密性典的几，表面上看来似乎已经丧失了昔日的地位，但实质上却正是几直观在各个数学领域之间起着联络的作用。正如康德(Kant)所说：没有概念的直观是无用的，没有直观的概念是盲目的。

大多数现代数学的概念和问题，都有着一定的几背景，有关问题的解决，也常常依赖于头脑中能否出现清晰的n维空间甚至无限维空间的直观形象，或是找到适当的几解释，几形象常常为问题解决提供途径。

多少年来数学课程的设置常在"分久必合，合久必分"的一对"分""合"矛盾之间徘徊，算术、代数、几、三角、微积分、...这一系列的学科，反映了数学发展史中各个不同阶段、不同侧面的情况，它们都有各自的特点与规律。结合学生的认知发展规律及教育教学规律来设计课程，不同时期侧重不同面是完全应该的。但总的目标，即使分也不能一分到底，完全分家，总还应该将数学视为一个整体；当学生运用数学这个工具解决问题时，必须善于综合地应用代数、几、三角、...等各种法，应该使之互相渗透，互相结合，从中找出最佳的组合，而不是互相割裂，生搬硬套。

4．相对于传统数学中对算法数学的强调，应该认为现代数学更重视概念数学，或者说是思辨数学。

现代数学中开始现代化进程的主要标志--集合论、抽象代数和分析、拓扑等都是概念，思辨的喷发，它冲破了传统数学的僵化外壳，但是每个概念的革新，都包含着自身的算法萌芽，这是数学发展的道路。算法数学与思辨数学之间是一个相对的辩证关系，这并不等同于新与旧、高与低；概念数学果然体现了机械操作运算的突破，提高了理论的深度；而算法数学则意味着巩固，因为它提供了技术法，可以探索更进一步的概念深度。