代数几何综合题(专项训练)

x2﹣ 2 x+2与x
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解：（1）令y=0得﹣ x2﹣2 x+2=0， ∴x2+2x﹣8=0， 解得x=﹣4或2， ∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0）， 当x=0时，y=2，∴点C坐标（0，2）．
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题组训练
7 1．（2016•新疆）如图，对称轴为直线x= 2 的抛物线经
过点A（6，0）和B（0，﹣4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第一象 限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行 四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式； （3）当（2）中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判 断平行四边形OEAF是否为菱形．
1 15 作EM⊥AD于M，如图1，则AM= 2 AD= 2 ，
∵∠MAE=∠HAD， ∴Rt△AME∽Rt△AHD， 25 15 ∴AE：AD=AM：AH，即AE：15= ：9，解得AE= ； 2 2 ②GA=GE时，则∠GAE=∠AEG， ∵∠AGE=∠DAB， 而∠AGE=∠ADG+∠DAG，∠DAB=∠GAE+∠DAG， ∴∠GAE=∠ADG， ∴∠AEG=∠ADG， ∴AE=AD=15． 综上所述，△AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段 25 AE的长为 或15；
2．（2016•上海）如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）经 过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于 点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D． （1）求这条抛物线的表达式； （2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积； ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E 的坐标．
例2（2016•广东）如图，BD是正方形ABCD的对角线， BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的 线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O， 连接OA、OP． （1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什 么四边形？ （2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以 证明； （3）在平移变换过程中，设y=S△OPB，BP=x （0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最 大值．
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（3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9HE=AE﹣AH=x﹣9， 2 2 12 + ( x 9) 在Rt△HDE中，DE= ， ∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA， ∴△EAG∽△EDA， ∴EG：AE=AE：ED，即EG：x=x：122 + (x - 9)2 ， x ∴EG= 12 + ( x - 9) ， x ∴DG=DE﹣EG= 12 + (x - 9) ﹣ 12 + ( x - 9) ， ∵DF∥AE， ∴△DGF∽△EGA， x 2 2 ∴DF：AE=DG：EG，即y：x=（ 12 + (x - 9) ﹣ 12 + ( x - 9) ） x ： ，
4．（2016•上海）如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC， ∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点 ，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且 ∠AGE=∠DAB． （1）求线段CD的长； （2）如果△AEG是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的 长； （3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x， DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
解：（1）四边形APQD为平行四边形； （2）OA=OP，OA⊥OP，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°， ∵OQ⊥BD， ∴∠PQO=45°， ∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°， ∴OB=OQ， ∴△AOB≌△OPQ（SAS）， ∴OA=OP，∠AOB=∠PQO， ∴∠AOP=∠BOQ=90°， ∴OA⊥OP；
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣5与y轴交于点C， ∴C（0，﹣5）， ∴OC=5． ∵OC=5OB， ∴OB=1， 又点B在x轴的负半轴上， ∴B（﹣1，0）． ∵抛物线经过点A（4，﹣5）和点B（﹣1，0），
∴
ì ï 16a + 4b - 5 = - 5 í ，解得 ï î a- b- 5=0
（3）平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF 不能为菱形，理由如下： 当平行四边形OEAF的面积为24时，即 ﹣4x2+28x﹣24=24， 化简，得 x2﹣7x+12=0，解得x=3或4， 当x=3时，EO=EA，平行四边形OEAF为菱形． 当x=4时，EO≠EA，平行四边形OEAF不为菱形． ∴平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF可 能为菱形．
解：（1）∵A（﹣2，0），B（2，0）； ∴设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）（x+2）…①， 把C（3，5）代入①得a=1； ∴二次函数的解析式为：y=x2﹣4； 设一次函数的解析式为：y=kx+b（k≠0）…② 把A（﹣2，0），C（3，5）代入②得 ì ì k =1 ï - 2k + b = 0 ï í ，解得 í ， ï î 3k + b = 5 ï îb=2 ∴一次函数的解析式为：y=x+2；
代数几何综合题
1 例1（2016•滨州）如图，已知抛物线y=﹣4
轴交于A、B两点，与y轴交于点C. （1）求点A，B，C的坐标； （2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求 以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积； （3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等 腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说 明理由．
ì ï a =1 í ï îb =-4
，
∴这条抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5．
3．（2016•赤峰）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2， 0），B（2，0），C（3，5）． （1）求过点A，C的直线解析式和过点A，B，C的抛物线 的解析式； （2）求过点A，B及抛物线的顶点D的⊙P的圆心P的坐标； （3）在抛物线上是否存在点Q，使AQ与⊙P相切，若存 在请求出Q点坐标．
解：（1）作DH⊥AB于H，如图1， 易得四边形BCDH为矩形， ∴DH=BC=12，CD=BH， 在Rt△ADH中，AH= 152 - 122 =9， ∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7， ∴CD=7； （2）①EA=EG时，则∠AGE=∠GAE， ∵∠AGE=∠DAB， ∴∠GAE=∠DAB， ∴G点与D点重合，即ED=EA，