几类简单的微分方程
简单微分方程的求解
一、一阶微分方程1. 线性齐次方程'y ()0p x y +=①分离变量法求解②两边同时乘以()p x dx e ⎰，积分因子法 通解：()p x dx y Ce -⎰=2. 线性非齐次方程'y ()()p x y g x +=①常数变易法②两边同时乘以()p x dx e ⎰，积分因子法 通解：()()(())p x dx p x dx y e C g x e dx -⎰⎰=+⎰线性微分方程的解有一些很好的性质，例如（1）齐次方程的解或者恒等于零，或者恒不等于零（2）齐次方程任何解的线性组合仍是它的解（3）齐次方程的任一解与非齐次方程任一解之和仍是非齐次方程的解（4）非齐次方程任意两解之差必是对应齐次方程的解（5）非齐次方程的任一解与对应齐次方程的通解之和是非齐次方程的通解。
3. Bernoulli 方程'()()y p x y g x y α+=（1）0α=时，该方程为线性非齐次方程（2）1α=时，该方程为线性齐次方程（3）0,1α≠时，作变量替换1z y α-=，该方程转化为(1)()(1)()dz p x z g x dxαα+-=-，这是关于未知函数z 的一阶线性方程 4. Riccati 方程2()()()dy p x y q x y f x dx=++Riccati 方程在一般情况下无法用初等积分求出解，只是对一些特殊情况或者事先知道了它的一个特解，才能求出其通解。
（1）当()p x 、()q x 、()f x 都是常数时，是可分离变量方程，用分离变量法求解。
（2）当()0p x ≡时，是线性方程。
（3）当()0f x ≡时，是Bernoulli 方程。
当()f x r ≡，设已有一特解1()y x命1()()()z x y x y x =-，代得211(2)dz dy dy pz py q z dx dx dx=-=++ 这是一个关于z 的Bernoulli 方程。
《高等数学A一》教学大纲
《高等数学A（一）》教学大纲一、课程基本情况课程中文名称：高等数学A（一）课程英文名称：Advanced Mathematics A (I)课程代码：GG31001学分/学时：4/102开课学期：第一学期课程类別：必修；1年级；公共基础适用专业：理工科（非数学类）对数学要求较高的各专业先修课程：无后修课程：高等数学A（二）、A（三）开课单位：数学科学学院大学数学教学中心二、课程教学大纲（一）课程性质与教学目标1. 课程性质：《高等数学A(一)》是理工科（非数学）专业必修的公共基础课程，为后续学习其他专业课程提供数学基础知识和工具．2. 教学目标：通过《高等数学A(一)》课程的学习，使学生掌握单变量微积分学的基础知识，同时培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力．3. 本课程知识与能力符合下列毕业要求指标点：（1）能够运用数学与自然科学基础知识，理解理工科专业工作过程中涉及的相关科学原理（1_1）；（2）能够将数学与自然科学的基本概念运用到复杂工程问题的适当表述之中（2_1）．（二）教学内容及基本要求：第1章函数（3学时）§1.1 集合§1.2 函数§1.3 函数的几种特性§1.4 复合函数§1.5 参数方程，极坐标与复数本章的重点是函数概念，复合函数概念，基本初等函数的性质及其图形．难点是参数方程的概念基本初等函数的性质及其图形．本章要求学生掌握函数的表示方法，基本初等函数的性质，参数方程、极坐标及复数的概念．本章习题：见配套习题册．第2章极限与连续（20学时）§2.1 数列的极限§2.2 函数的极限§2.3 两个重要极限§2.4 无穷小量与无穷大量§2.5 函数的连续性§2.6 闭区间上连续函数的性质本章的重点是极限概念，极限四则运算法则，两个重要极限，连续概念．利用无穷小量代换求极限．难点是极限的ε-N定义、ε-δ定义，闭区间上连续函数的性质的应用．本章要求学生掌握极限的性质及四则运算法则．极限存在的准则，并会利用它求极限．数列的极限与其子数列的极限之间的关系．两个重要极限及应用．无穷小的比较方法，利用等价无穷小求极限，判断间断点的类型．本章习题：见配套习题册．第3章导数与微分（9学时）§3.1 导数的概念§3.2 导数的运算法则§3.3 初等函数的求导问题§3.4 高阶导数§3.5 函数的微分§3.6 高阶微分本章的重点是导数和微分的概念，导数的几何意义及函数的可导与连续之间的关系，导数的四则运算法则和复合函数的求导法，基本初等函数的导数公式，初等函数的一阶、二阶导数的求法．难点是复合函数的求导法，隐函数和参数式所确定的函数的高阶导数．本章要求学生掌握导数的四则运算和复合函数的求导法则，隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数，掌握基本初等函数的导数公式，利用一阶微分形式的不变性求微分．本章习题：见配套习题册．第4章微分中值定理及其应用（24学时）§4.1 微分中值定理§4.2 L’Hospital法则§4.3 Taylor公式§4.4 函数的单调性与极值§4.5 函数的凸性和曲线的拐点、渐近线§4.6 平面曲线的曲率本章的重点是Lagrange中值定理及其几何意义，L’Hospital法则求未定式极限，利用导函数判断函数的单调性，极值，凸性与拐点．难点是各种中值定理与Taylor公式的应用．本章要求学生掌握各种中值定理的应用，用L’Hospital法则求未定式极限，用导数判断函数的单调性和求函数极值．求函数最值的方法及其简单应用，利用导数判断函数的凸性，拐点和渐近线，函数作图．本章习题：见配套习题册．第5章不定积分（14学时）§5.1 不定积分的概念与性质§5.2 换元积分法§5.3 分部积分法§5.4 几种特征类型函数的不定积分本章的重点是不定积分的定义，基本公式与性质，第一类换元积分法，第二类换元积分法，分部积分法．难点是不定积分的常见技巧，有理函数的积分，几种不定积分方法的综合应用．本章要求学生掌握有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的不定积分．本章习题：见配套习题册．第6章定积分（12学时）§6.1 定积分的概念§6.2 定积分的性质与中值定理§6.3 微积分基本公式§6.4 定积分的换元法与分部积分法§6.5 定积分的近似计算§6.6 广义积分本章的重点是定积分的概念及性质，定积分的换元法与分部积分法，Newton-Leibniz公式．难点是变上限函数概念与求导，两种广义积分的收敛性判别与计算，几种求定积分方法的综合应用．本章要求学生掌握定积分的性质及其与不定积分的联系，掌握换元积分法，分部积分法和Newton-Leibniz公式．本章习题：见配套习题册．第7章定积分的应用（10学时）§7.1 微元法的基本思想§7.2 定积分在几何上的应用§7.3 定积分在物理上的应用本章的重点是微元法，定积分在几何上的应用，求平面图形的面积，平面曲线的弧长，空间几何体的体积．难点是微元法的基本思想．本章要求学生掌握直角坐标系﹑极坐标系下平面图形的面积公式，平面曲线的弧长公式．已知平行截面积的立体体积公式，旋转体的体积公式，旋转体的侧面积公式．本章习题：见配套习题册．第8章微分方程（10学时）§8.1 微分方程的基本概念§8.2 几类简单的微分方程§8.3 一阶微分方程§8.4 全微分方程与积分因子§8.5 二阶常系数线性微分方程本章的重点是变量可分离方程及一阶线性方程的解法，二阶常系数齐线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程的解法．难点是二阶常系数非齐次线性微分方程的求解．通过代换法将一些特殊的微分方程化成可求解的微分方程(变量分离方程，一阶线性方程，二阶常系数线性方程)．本章要求学生掌握变量分离方程及一阶线性微分方程的解法．会用代换法解齐次方程．二阶常系数线性方程的解法．全微分方程的解法．本章习题：见配套习题册．（三）教学方法：以课堂教学为主，结合习题课、讨论课与自学．（1）课堂教学主要讲解高等数学的基本概念、基本理论以及基本分析方法，并将未来专业学习中可能遇到的相关高数问题等融入基本理论的讲解，使学生更好地熟悉或掌握知识，学习运用数学思维方式和研究方法．（2）对难点和重点例题和习题安排在习题课和讨论课中讲解．（3）对比较容易理解的章节让学生自学，以培养学生自主学习的意识、自主学习的能力和抓住要点的能力．（四）考核内容及方式考核方式为闭卷考试，实行教考分离．成绩由平时成绩（30%）和期末考试（70%）两部分组成．平时成绩含考勤、作业、课堂提问、小测验等．（五）教学安排及方式：（六）教材与参考资料：1.教材《高等数学（上）》（理工类，第3版），杜先能，孙国正等，安徽大学出版社，2011年．2.参考书目（1）《高等数学（上册）》（第7版），同济大学数学系编，高等教育出版社，2014年．（2）《高等数学习题全解指南（上册）》（第7版），同济大学数学系编，高等教育出版社，2014年．撰写人：郑婷婷审核人：。
高等数学：微分方程
两边积分,得
用lnC 表示任意常数,考虑到R >0,得积分结果
即
微分方程
微分方程
二、 一阶线性微分方程
我们把形如
的方程称为一阶线性微分方程.当q(x)≡0时,方程
称为一阶线性齐次微分方程;当q(x)≠0时,方程(6-15)称为一阶
线性非齐次微分方程.
微分方程
一阶线性齐次微分方程(6-16)是可分离变量的微分方程,
当p2-4q=0时,特征方程r2+pr+q=0有两个相等的实根,即
r1=r2=- ,此时
2
可得到方程(6-30)的一个特解y=er1x .容易验证
y=xer1x 也是方程(6-30)的一个特解, 且y1 =er1x 与y2 =xer1x 是线
性无关的.由定理6-1可知,齐次方程(6-30)的通解为
微分方程
1.f(x)=Pm (x)eλx 型
f(x)=Pm (x)eλx 型时,Pm (x)为m 次多项式,λ 为常数.此时,可
以证明方程(6-29)具有形如y* =xkQm (x)eλx 的特解,其中Qm (x)
静止状态下沉,所受阻力与下 沉速度成正比(比例系数为k 的
常数).试求潜水艇下沉深度s与时间t的函数关系式.
微分方程
解 潜水艇下沉过程中所受的力有重力、水对潜艇的浮
力及下沉时遇到的阻力.前两个 力都是常量,其合力称为下沉
力,即下沉力F= 重力-浮力;下沉时遇到的阻力大小为
由牛顿第二定律,有
即
微分方程
假设 y=erx是方程(6-30)的特解,其中r为待定常数.将y=erx 、
y'=rerx 、y″=r2erx代入 方程(6-30),得
微分方程常用解法总结
微分方程常用解法总结微分方程常用解法总结2010年02月14日星期日14：47最近有点懒，有点颓废。
所以今天想写点什么了。
断断续续算是学完了微分方程，就来简单总结一下吧。
1、一阶微分方程可分离变量和齐次微分方程是最简单的微分方程了，而dy/dx=f[(a1x+b1y+c1)/(a2x+b2y+c2)]形式的方程则可以通过坐标平移x=x+h，y=y+k化为齐次方程，dy/dx=f(ax+by+c)形式的方程可以通过u=ax+by+c变为可分离变量的方程。
一阶线性方程dy/dx+P(x)y=Q(x)通常通过"常数变易法"或者直接代入公式求其通解。
但一般来说，通过简单的"凑微分"就可以求解。
考虑D[∫P(x)dx]=P(x)，且e∫P(x)dxP(x)=de∫P(x)dx方程两边同时乘上e∫P(x)dx得e∫P(x)dxdy/dx+de∫P(x)dxy=e∫P(x)dxQ(x)即d(e∫P(x)dxy)=e∫P(x)dxQ(x)两边同时对x求积分得e∫P(x)dxy=∫e∫P(x)dxQ(x)dx+c(不妨取每一个积分的常数项都为0即得y=e﹣∫P(x)dx∫e∫P(x)dxQ(x)dx+c]虽然上面说得很复杂，但上面的推导省去了硬背公式的麻烦，而且能运用于实际的运算。
如果每次运算都使用"常数变易法"，不仅步骤比凑微分长，而且回代后的求导过程也可能会出错。
贝努利方程一般是先化为一阶线性微分方程再求解。
2、二阶微分方程形如y``=f(x)，y``=f(x,y`)，y``=f(y,y`)的微分方程，都可以由教材上给出的方法求得通解。
由于方程都是可化为一阶方程求解，所以称以上三个方程为"可降阶二阶微分方程"。
二阶常系数线性微分方程(或者是更高阶的常系数线性微分方程)是最好求解的。
不仅仅是因为它们都公式可寻，而且因为它们的解法有很多，每一种解法都有其独到的美，包括以前所说过的"D算子法"。
微分方程基本分类
微分方程基本分类微分方程是数学中重要的一门分支，广泛应用于自然科学、工程技术和社会科学等领域。
微分方程可以描述变量之间的关系，通过研究微分方程的分类和求解方法，我们能够深入理解各种自然现象和工程问题，为实际应用提供有力的支撑。
本文将介绍微分方程的基本分类，包括常微分方程和偏微分方程两大类。
一、常微分方程常微分方程是指只涉及一个独立变量和其导数的微分方程。
常微分方程常用于描述一维系统的动力学行为。
根据方程中的变量类型和阶数，常微分方程又可分为以下几类。
1. 一阶常微分方程一阶常微分方程是指方程中的最高阶导数为一阶的微分方程。
常见的一阶常微分方程有线性微分方程、分离变量型微分方程和恰当微分方程等。
线性微分方程可以表示为dy/dx+f(x)y=g(x)，其中f(x)和g(x)是已知函数。
分离变量型微分方程可以表示为dy/dx=f(x)g(y)，通过将dy/g(y)=f(x)dx两边积分来求解。
恰当微分方程可以化为M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的形式，并通过判断M(x,y)和N(x,y)的偏导数是否相等来确定是否是恰当微分方程。
2. 二阶常微分方程二阶常微分方程是指方程中的最高阶导数为二阶的微分方程。
常见的二阶常微分方程有线性齐次微分方程、线性非齐次微分方程和常系数高阶线性微分方程等。
线性齐次微分方程可以表示为d²y/dx²+p(x)dy/dx+q(x)y=0，其中p(x)和q(x)是已知函数。
线性齐次微分方程的求解可以通过特征方程和特解的叠加原理来实现。
线性非齐次微分方程是在线性齐次微分方程的基础上添加了一个非齐次项，求解时需要先求出齐次解，再找到一个特解来满足方程。
常系数高阶线性微分方程是指方程中的系数是常数，可以通过特征方程的根的性质来求解。
二、偏微分方程偏微分方程是指涉及多个独立变量和它们的偏导数的微分方程。
偏微分方程常用于描述多维系统的动力学行为，应用广泛且复杂。
根据方程中的变量类型和方程性质，偏微分方程可分为以下几类。
常微分方程中的一些简单例子和方法
常微分方程中的一些简单例子和方法常微分方程是数学中的一个重要分支，它涉及到很多实际问题的数学模型解析和数值求解。
常微分方程可以用于描述很多自然现象，比如物理、生物、经济和工程学等领域。
它是应用数学中的一部分，也是数学中比较重要的一部分，今天我们就来介绍一下常微分方程中的一些简单例子和方法。
一、一阶常微分方程一阶常微分方程形如: $\frac{dy}{dx}=f(x,y)$，其中y是未知函数，x是自变量，f(x,y)是已知函数。
这种方程的解就是y(x)。
下面我们来看几个例子。
1. 求解方程$y'=3x^2$。
对方程两边求积分，得到$y=\int3x^2dx=x^3+C$。
其中C是常数，可以通过初始条件来确定。
比如，如果y(x)在x=0处等于2，则$y(0)=2$，代入求解得到$C=2$，所以完整的解为$y=x^3+2$。
2. 求解方程$y'=2xy$。
对方程两边分离变量，得到$\frac{dy}{y}=2xdx$，对两边求积分，得到$\ln|y|=x^2+C$。
移项得到$y=Ce^{x^2}$，其中C是常数。
3. 求解方程$y'+2xy=x$。
这是一个非齐次线性微分方程，首先求解它的齐次方程$y'+2xy=0$，这个方程的解是$y=Ce^{-x^2}$。
然后我们要找到一个特殊解，这个特殊解满足非齐次方程。
我们可以猜测特殊解为$y=A+Bx$，代入非齐次方程得到$B=1$，$A=-\frac{1}{2}$，因此特殊解为$y=-\frac{1}{2}+x$。
因为非齐次方程的通解等于它的齐次解加上特殊解，所以得到通解为$y=Ce^{-x^2}-\frac{1}{2}+x$。
二、二阶常微分方程二阶常微分方程形如：$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$。
其中y是未知函数，x是自变量，f(x)、p(x)和q(x)都是已知函数。
这种方程的解是y(x)。
常见的微分程类型归纳
常见的微分方程类型归纳微分方程是指含有未知函数的导数的方程。
未知函数是一元函数的叫做常微分方程，未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。
《微积分》里面的微分方程仅限于常微分方程。
我们所讲到的微分方程归纳为以下几类：一、可分离变量的微分方程 形如：()()dy f x g y dx= 求解方法： 如果()0g y ≠，方程可化为：()()dy f x dx g y = ,两边取积分, ()()dy f x dx c g y =+⎰⎰求出积分，则为方程的通解。
例1：2cos dy y x dx= 解：将变量分离，得到 2cos dy xdx y= 两边积分，即得 1sin x c y -=+ 则通解为 1sin y x c =-+ 二、一阶线性微分方程形如： )()(x Q y x P dxdy =+ （1） 若0)(=x Q ，则原方程称为一阶线性齐次方程；若0)(≠x Q ，原方程称为一阶线性非齐次方程。
求解方法：先解原方程对应齐次方程的通解：对应齐次方程为： 0)(=+y x P dxdy （2） 分离变量，得dx x P y dy )(-= 两边积分，得 ⎰=-dx x P ce y )( （3）（3）为一阶线性齐次方程（2）的通解。
常数变易法：令对应齐次方程的通解⎰=-dx x P ce y )(中的常数c 为 ()c u x =（常数变函数）则⎰=-dx x P e x u y )()(为非齐次方程(1)的通解；将⎰=-dx x P e x u y )()(代入（1）式，解得()u x 的具体函数表达式，即求出（1）式的通解。
例2：求微分方程x xy y =-'2的通解解：对应齐次方程为： 20y xy '-=分离变量，得 12xdx dy y= 两边取积分，得 12 xdx dy y =⎰⎰解得：22211x c c x x y e e e ce +=±=±⋅=令 ()c u x =则 ()2x y u x e =为原方程的通解，带入原式。
微分方程简介与分类
微分方程简介与分类一、引言微分方程(Differential Equation)是数学中重要的分支之一，应用广泛于自然科学、工程技术等领域。
它描述了变量之间的关系，使我们能够理解事物变化的规律，并通过数学方法求解未知函数。
本文将简要介绍微分方程的概念、分类以及一些常见的求解方法，以帮助读者对微分方程有初步了解。
二、微分方程的概念微分方程是含有未知函数及其导数的方程。
一般形式的微分方程可以表示为：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0其中，y是未知函数，y’、y’’、…、y^(n)分别表示y的一阶、二阶、…、n阶导数，x是独立变量。
三、微分方程的分类微分方程可分为以下几类：1.常微分方程(Ordinary Differential Equation, ODE)常微分方程是研究一元函数的微分方程，它的方程中只包含一元函数及其有限个阶数的导数，不包含偏导数。
常微分方程按阶数和线性性质可进一步分为以下几类：•一阶线性常微分方程•一阶非线性常微分方程•高阶常微分方程2.偏微分方程(Partial Differential Equation, PDE)偏微分方程是研究多元函数的微分方程，它的方程中包含多元函数及其偏导数。
偏微分方程按阶数和线性性质可进一步分为以下几类：•一阶线性偏微分方程•一阶非线性偏微分方程•高阶线性偏微分方程•高阶非线性偏微分方程3.分离变量微分方程分离变量微分方程是一类特殊的微分方程，它的解可以通过将未知函数及其导数分离后进行积分得到。
4.齐次微分方程齐次微分方程是指方程中每一项都是未知函数及其导数的同次多项式的微分方程。
5.非齐次微分方程非齐次微分方程是指方程中包含了非齐次项的微分方程，解的求解方法一般需要借助常数变易法。
四、微分方程的求解方法对于微分方程的求解，常用的方法有以下几种：1.分离变量法对分离变量微分方程，将未知函数及其导数分离到方程两侧，然后进行变量的分离并积分。
第7节微分方程基础
第七章 微分方程内容提要： 一、 微分方程的概念1． 微分方程：0),,,,()(='n y y y x F 2． 微分方程的阶3． 微分方程的解)(x f y =隐式解0),(=y x f 4． 微分方程的通解c x f y +=)(与隐式通解0),,(=c y x f5． 微分方程的特解 6． 微分方程的初值问题 7． 微分方程的积分曲线8．增根与失根问题：（奇解：不能从通解中取得的解） 例1求微分方程的通解 xdx y dy =。
解：kx ：y c x y ：，xdx y dy =+==⎰⎰显式通解隐式通解;||ln ||ln 。
增根：原方程解的曲线不过原点 例2解方程dx dy xy dx dy x y =+22。
解：JCP306，通解为：c xy y +=||ln ；失根：实际上微分方程的解包括)0,0(或说积分曲线过原点。
建议：注意题目是 解方程 仍是 求方程的通解 二、 一阶微分方程1可分离变量方程： dx x f dy y g )()(= 例 y x dxdy +=。
解：拆不成绩捆令1,1,+==+=+u dxdu dx du dx dy u y x 成可分离了注意倒过来的情况：y x dx dy +=1----JCP3132齐次方程： ux y xy dx dy == ),(令ϕ3一阶线性方程：)()(x Q yx P y =+'其解：[]⎰+=⎰⎰-C dx ex Q e y dxx P dx x P )()()(建议：⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰dxx P e x A C dx x A x Q x A y )()(,)()()(例y x dxdy +=即：x y y =-' 注意倒过来的情况：yx dx dy +=1，即y x x =-'4*贝努利方程 )1,0()()(≠=+'n y x Q y x P y n 解法：令n y z -=1 变成)()1()()1(x Q n z x P n z -=-+'5*全微分方程 0),(),(=+dy y x Q dx y x P 知足 xy Q P '=' 例：0)()(=-++dy y x dx y x 解1：齐次方程；解2：凑微分法；解3：拆微分法；…三、 *可降阶的微分方程：直接积分型；不显含Y 型；不显含X 型 1.()y f x ''=型的微分方程 特点：右端仅含x . 解法：积分两次. 2.(,)y f x y '''=型的微分方程特点：右端不显含未知函数y .解法：换元，化为一阶方程求解. 步骤如下： ⑴ 令y p '=，则dpy p dx'''==，方程化为(,)p f x p '= （这是关于变量x ，p 的一阶方程）；⑵ 解出p ；⑶ 再由y p '=解出y .例题1 求微分方程x y y +'=''的通解. （JCP323T1-5）3.(,)y f y y '''=型的微分方程特点：右端不显含x .解法：换元，化为一阶方程求解. 步骤如下： ⑴ 令y p '=，则dp dp dy dpy p dx dy dx dy''===，方程化为(,)dp p f y p dy = （这是关于变量y ，p 的一阶方程）；⑵ 解出p ；⑶ 再由y p '=解出y .例题2 求微分方程y y y '+'=''3)(的通解.（JCP323T1-10） 练习题1.微分方程03='+''y y x 的通解为 . 【221x C Cy +=】2.求初值问题2(1)2,(0)1,(0)3x y xy y y '''⎧+=⎨'==⎩的解. 【y3.解方程20yy y '''-=. 【12C x y C e =】4.求初值问题0)1(,1)1(,12='='+=''y y y y y 的解. 【)(2111x x e e y --+=】5.求微分方程2()y x y y ''''+=知足初始条件(1)(1)1y y '==的特解. 【07-2，322133y x =+】四、 高阶线性微分方程解的结构1．齐次的：0)()(=+'+''y x Q y x P y结论1：若是)(1x y 与)(2x y 是方程的两个解，则)()(2211x y C x y C y +=也是其解 结论2：若是)(1x y 与)(2x y 是方程的两个无关的解，则)()(2211x y C x y C y +=是方程的通解推论：若是)()(1x ，y ，x y n 是齐次方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x a y x a y x a y n n n n 的N 个无关的解，则其通解为)()()(2211x y C x y C x y C y n n +++= 2． 非齐次的：)()()(x f y x Q y x P y =+'+''结论1：设)(*x y 是方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的一个特解，)(x Y 则是对应的齐次方程的通解，则)(*)(x y x Y y +=是非齐次的通解结论2：若是非齐次方程为)()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+'+''而)(*1x y 与)(*2x y 别离是方程)()()(1x f y x Q y x P y =+'+''和)()()(2x f y x Q y x P y =+'+''的特解，则+)(*1x y )(*2x y 是原方程的特解五、 二阶常系数线性微分方程1．常系数齐次线性微分方程0 0)()(=+'+''⇒=+'+''qy y p y y x Q y x P y例1：065 =+'+''y y y ；例2：044 =+'-''y y y ；例3：052 =+'-''y y y ，i，r 2121±= 2． 常系数非齐次线性微分方程（简单的）)( x f qy y p y =+'+'' 特解的求法：待定系数法，（常数变易法，微分算子法）结论1：若是x m e x P x f λ)()(=，则方程有形如x m k e x Q x y λ)(*=的特解，⎪⎩⎪⎨⎧=是特征方程的重根是特征方程的单根不是特征方程的根λλλ，，k 21 ,0例1：x e y y y 22 =-'+'' 例2：x xe y y y -=+'+''323 例3x e x y y y 3)1(96 +=+'-''解1：1=λ不是特征方程2/12,11,0122=-==-+r r r r 的根，故x Ce y =*代入原方程得C=1解2：1-=λ是特征方程22,11,0232-=-==++r r r r 的单根，故x e B Ax x y -+=)(* ，代入原方程得3,2/3-==B A解3：3=λ是特征方程321,0962===+-r r r r 的重根， 故x e B Ax x y 32)(*+=代入原方程得2/1,6/1==B A结论2：若是[]x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=，则方程有形如[]x x R x x R e x y m m x k ωωλsin )(cos )(*21+=的特解，⎩⎨⎧-+-+=是特征方程的单根不是特征方程的根)( ,1)( 0ωλωλωλωλi i i i ，k ，},max{n l m =，次多项式是m x R x R m m )(),(21例4：x e y y y x 2sin 52 =+'-'' 例5x x y y cos 4 =+''解4：i i 21+=+ωλ是特征方程i r r r 212,1,0522±==+-的单根，故[]x B x A xe y x 2sin 2cos *+=代入原方程得0,4/1=-=B A 即：4/)2cos (*x xe y x-=解5：i i =+ωλ不是特征方程i r r 22,1,042±==+的单根，故x D Cx x B Ax y sin )(cos )(*+++=代入原方程得9/2,0,0,3/1====D C B A 即：x x x y sin 92cos 31*+=六、 微分方程的简单应用1．几何中的应用 2．*力学中的应用例1一质量均匀的链条挂在一无摩擦的钉子上，运动开始时，链条的一边下垂8米，另一边下垂10米，试问整个链条滑过钉子需多长时间？解：设链条的线密度为μ，通过t 时间下滑了x 米，由牛顿第二定律，得g x g x dtxd m μμ)8()10(22--+=，μ18=m ，0)0(,0)0(='=x x即：⎪⎩⎪⎨⎧='==-''0)0(,0)0(99x x g x g x 解得1)(21)(3131-+=-gt gte e t x ，令8=x ，则)809ln(3+=gt3． 经济应用第七讲 微分方程-题型一、解与通解问题例2ydxdy =，通解c x y +-=1，不包括0=y二、一阶线性方程：)()(x Q y x P y =+'其解：[]⎰+=⎰⎰-C dx ex Q e y dxx P dxx P )()()(例1．设)(x f 可导，且1)(21)(1+=⎰x f du ux f ，求)(x f 解：将原方程两边乘以X ，得x x xf x du ux f +=⎰)(21)(1对左端积分令 t ux = x x xf dt t f x+=⎰)(21)(0，求导得：1)]()([21)(+'+=x f x x f x f 即：xx f xx f 2)(1)(-=-'通解：2)(+=Cx x f例2．求解微分方程1)2sin cos (=+'y y x y解：yx y x y y x x yy x y 2sin )(cos ,2sin cos ,2sin cos 1=-'+='+='， 对应的齐次方程：0)(cos =-'x y x 的解为y Ce x sin =，再用常系数变易法y e y C x sin )(=代入原方程求出解。
数学分析知识点总结（微分方程）
2.7．微分方程初步2.7.1 概说涉及到量的变化率满足的制约关系，通常是含有导数的方程——微分方程。
涉及到量的变化率满足的制约关系，通常是含有导数的方程——微分方程。
简单例子：（1）放射性物质，在每一时刻t ，衰变的速率d m d t-（由于是减少，因此0d m d t<，速率为标量，是正值）正比于该放射性物质尚存的质量，因此质量应满足一下微分方程。
标量，是正值）正比于该放射性物质尚存的质量，因此质量应满足一下微分方程。
d m km d t-=（2）质量为m 的物体自由落体，取坐标轴沿竖直方向指向地心，下落距离()y y t =应该满足牛顿第二定律F m a =，即，即22d y m g mdt=（3）质量为m 的跳伞员下落，所受空气阻力正比下降的速度，取坐标轴沿竖直方向指向地心，则t 时刻下降距离()y y t =满足满足22dyd y m g kmdtdt-=（1）如下图所示，钢球在以水平光滑杆上，受到弹力而来回整栋，原点位置为O，钢球在t 时刻的坐标()x x t =满足微分方程满足微分方程()22d x kx mdt-=如果钢球还受到一个与速度成正比，方向与速度相反的阻尼力的作用，那么它所满足的微分方程是方程是22dxd x kx h m dtdt--=总结：最简单的一阶微分方程是最简单的一阶微分方程是()d x f t d t=其中t 是自变量，上述方程的一般解应该是是自变量，上述方程的一般解应该是()x f t dt C =+ò最简单的n 阶方程阶方程()nnd xf t dt=它等价于说11n nn d x dt--是()f t 的原函数，即的原函数，即11()n n ndxf t dt C dt --=+ò则再次积分，一直积分下去得到则再次积分，一直积分下去得到111()(1)!n nn n t x f t dt dt C C t C n --=++++-òò2.7.2 一阶线性微分方程考察下面的方程考察下面的方程()()d x a t x b t d t+=方程中有未知函数的一阶导数，且其一阶导数的系数为常数，其余部分未知函数最高层次数为一次，称为线性，上述方程为一阶线性微分方程。
大学课件高等数学微分方程
将 y , y , y 代入微分方程中, 得
r 3r 2 0
2
( r 2 )( r 1 ) 0
r1 2 , r2 1
得两个解 y1 e 2 x , y 2 e x .
15
微分方程的基本概念
最后,看一个相反的问题
例 求含有两个任意常数C1, C2的曲线族
一般的n阶微分方程为
, , y ( n ) ) 0 , F ( x, y, y
已解出最高阶导数的微分方程 今后讨论
y
(n)
f ( x , y , y , , y
( n 1 )
).
y f ( x, y ) 一阶 几何意义 是过定点的积分曲线; y x x0 y 0 y f ( x , y , y ) 二阶 y x x0 y 0 , y x x0 y 0
微分方程的基本概念
问题的提出 基本概念
(differential equation)
小结
思考题
作业
第十二章
微分方程
4
微分方程的基本概念
一、问题的提出
例 一曲线通过点 (1 , 2 ), 且在该曲线上任一点
M ( x , y ) 处的切线的斜率为 2 x , 求这曲线的方程.
解 设所求曲线为 y y ( x )
第十二章
微分方程
2
本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几 种常用的微分方程的解法,讨论如下几个问题: 1. 微分方程的基本概念; 2. 一阶微分方程; 3. 几种可积的高阶微分方程; 4. 线性微分方程及其通解的结构; 5. 常系数齐次线性方程;
6. 常系数非齐次线性方程.
3-10一阶微分方程
例10
求方程 yy 2xy x 0满足条件y
2
x0
1 的特解。
分析：
解
( y 2 ) 4xy 2 2x
令y 2 u u 4 xu 2 x
1 齐次通解
2 常数变易法
2 x2
u 4 xu, ln u 2x C, u Ce
2
2x2
令u h( x)e
y y P( x) y1 Q( x)
( y
1
) (1 )y y
令y1 v代入 :
v (1 ) P( x)v (1 )Q( x )
16
dy 1 例9 求解方程 的通解. 2 3 dx xy x y dx yx y 3 x 2 解 贝努利方程 ( x为函数, y为自变量) dy dv y 2 dx 3 1 yv y 3 x y 令v x dy dy x 1 dv dv y2 ydy yv v Ce 2 齐次通解 : v dy
y f ( x) g ( y )
g ( y) 0
dy f ( x) g ( y ) dx
dy f ( x)dx g ( y)
(1)
dy f ( x)dx C g ( y)
(2)
y y( x)是方程()的隐式解 (2)就是(1)的通解
若存在y y0使g ( y0 ) 0, 则y y0也是原方程的解
(1)求 y P( x) y 0 的通解
dy P( x)dx y
ln y P( x)dx C1
P x dx y Ce
C e
C1
9
简单常微分方程
两边积分，得
P ( x ) dxdx C , 代入(4-3)，即得 C ( x ) Q( x ) e
一阶线性非齐次微分方程的通解公式：
ye
P ( x )dx
C Q( x )e P ( x )dx dx （4-4）
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(C为任意常数 )
C ( x ) e
P ( x ) dx
P ( x ) e P ( x ) dx C ( x) P ( x ) dx P( x) C ( x) e Q( x )
P ( x ) dx , 即 C ( x ) Q ( x ) e
微分方程；当Q (x) ≠ 0时， 方程（4-1）称为一阶线 性非齐次微分方程．
2 sin2 x 如方程y y ，y (sin x ) y 0 x x
都是一阶线性微分方程，其中第二个是齐次的．
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1. 一阶线性齐次微分方程
当Q (x) ≡0时，方程(4-1)是可分离变量的． 分离变量，得 两边积分，得
因此，原方程的通解为
1 y sin x C ，C为任意常数 x 将初始条件 ( ) 1代入, 得C , y
1 因此所求特解为 sin x . y x
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sin x sin x 例7 求方程 ye e y cos x 1 0 的通解.
x
+ e – x是方程 y + 2y + y = 4e x的解.
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3 ) 例2 验证 y Cx (C为任意常数 是方程3y-xy 0
的通解,并求满足初始条件 y(1) = 1/3 的特解.
微分方程的基本概念
微分方程的基本概念1. 概念定义微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程。
一般形式为：F(x, y, dy/dx, d^2y/dx^2, ..., d^n-1y/dx^n-1) = 0其中，x是自变量，y是因变量，dy/dx是y对x的导数，依此类推。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程中只涉及一个自变量，而偏微分方程中涉及多个自变量。
2. 重要性微分方程在物理学、工程学、生物学等领域中有着广泛的应用。
通过建立物理规律或实验数据与数学模型之间的联系，可以利用微分方程来预测和解释自然现象和工程问题。
它是现代科学研究和工程技术应用的基础。
具体而言，微分方程在以下几个方面具有重要性：(1) 描述动态过程微分方程可以描述许多动态过程，如运动物体的运动轨迹、电路中电流和电压随时间的变化、化学反应速率等。
通过求解这些微分方程，可以得到关于系统行为的详细信息。
(2) 预测未来行为通过已知的初始条件和微分方程，可以求解出函数在未来某个时间点的值。
这使得微分方程成为预测和规划问题的重要工具，如天气预报、金融市场预测等。
(3) 优化问题求解许多优化问题可以归结为微分方程的求解。
例如，在物理中常常需要找到使某个物理量最小或最大的条件。
这些问题可以通过求解微分方程获得最优解。
(4) 建模与仿真通过将实际问题建模成微分方程，可以进行数值模拟和仿真。
这对于工程设计、新产品开发等领域非常重要。
例如，在飞机设计中，可以使用微分方程来模拟空气动力学效应，从而改进飞机性能。
3. 应用举例微分方程在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些典型的应用举例：(1) 物理学中的运动描述经典力学中，牛顿第二定律描述了物体运动与作用力之间的关系：m * d^2x/dt^2 = F(x, dx/dt)其中，m是物体的质量，x是位置，t是时间，F(x, dx/dt)是作用力。
(2) 生物学中的生长模型生物学中，许多生物体的生长过程可以用微分方程来描述。
几类简单的微分方程资料
即
两端积分得对应齐u 次 方Q程(x通) e解 P(x)ydx dCxeC P(x)dx
故原方程的通解
y
e
P
(
x
)d
x
Q(
x)
e
P(
x
)d
x
d
x
C
即
y Ce P( x) d x e P(x)d x Q(x) e P(x)d xdx
齐次方程通解
2008年12月17日
南京航空航天大学 理学院 数学系
22
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换. 新未知函数 u( x) 原未知函数 y( x),
作变换 y u( x)e P( x)dx
y u( x)e P( x)dx u( x)[ P( x)]e P( x)dx ,
讨论
dy y
Q( x) y
P(
x)dx,
两边积分
ln
y
Q( x)dx y
P(
x)dx,
设
Q( x y
)dx为v(
x),
ln y v( x) P( x)dx,
即 y e e v( x) P( x)dx . 非齐方程通解形式
与齐方程通解相比: C u( x)
设函数G( y)和F ( x)是依次为g( y) 和 f ( x) 的原函
数, G( y) F ( x) C 为微分方程的解.
2008年12月17日
南京航空航天大学 理学院 数学系
17
简单的二阶微分方程
问题: yC1y1C2y2一定是通解
第七章 微分方程
课题二十一 简单的二阶微分方程
定义：设 y1 , y2 ,, yn为定义在区间I 内的n
个函数．如果存在n个不全为零的常数，使得当 x在
该区间内有恒等式成立
一个初始速度v0 0,物体便离开平衡位置,并在平
衡位置附近作上下振动.试确定物体的振动规律
x x(t).
解 受力分析
1.恢复 f c 力 (x c0),
2.阻力 Rdx(0).
dt
o x
x
第七章 微分方程
课题二十一 简单的二阶微分方程
且 F令 m2 a,n, cmddk222tx,则 c得 xddxt,
2C1
2
将初始条件 y'(0)p(0)0代入①式，解得
C 11 或 C 1 1 (舍 ).再将 C1 代1入①式，得 将 p y' 代入上式，并积分得 ya(eax
2
p
1(eax
x
ea
x 2 e a)C2
②
),
将初始条件 y(0)a 代入②式，解得 C2 0,
将
C2
第七章 微分方程
课题二十一 简单的二阶微分方程
解 建立坐标系如图所示，设曲线方程为 y f(x),
由题意得 T s i nS ,T c o H s,将此两式相除，得
tana1S,(aH )
tany',Sx 1y'2dx 0
y'1 x 1y'2dx a0
取原点O到点A的距离为定值 a
0
代入②式，解得曲线方程为
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第6节 几类简单的微分方程第6节 几类简单的微分方程
5.微分方程的初始条件
称问题⎪⎩⎪⎨⎧==′==′′′−−.1)
1(1)()( , ,)(,)(
,0) , ,, , ,(n n n y x y
y x y y x y y y y y x F 为初值问题或Cauchy 问题。
微分方程满足初始条件的解称为特解。
称附加条件
1)
1(21)( , ,)(,)(,)(−−==′′=′=n n y x y
y x y y x y y x y
阶为 n 微分方程0) , , , , ,()
(=′′′n y
y y y x F 的初始条件。
6.微分方程的解的几何意义
一般地，微分方程的每一个解都是一个一元函数
y=，其图形是一条平面曲线，我们称它为微分 y
)
(x
方程的积分曲线，通解的图形是平面上的一族曲线，
称为积分曲线族，特解的图形是积分曲线族中的一条
确定的曲线。
这就是微分方程的通解与特解的几何意义。
（2）x C x C y 3sin 3cos 21+=。
解：x C x C y 3cos 33sin 321+−=′，
)3sin 3cos (93sin 93cos 92121x C x C x C x C y +−=−−=′′， 故所求的微分方程为y y 9−=′′。
注：这类问题的解法是先求导，再消去任意常数，若通解中 含有两个或三个任意常数，则需求二阶或三阶导数。
2
12
2y C x C y Cx C =+=+请分别求函数 特例 和所满足的微：分方程。
（二）一阶线性非齐次方程的解法
)()(x Q y x P y =+′ ①
所对应的齐次微分方程为
0)(=+′y x P y ② 1．常数变易法
及其导数∫−∫′=′−−dx
x P dx
x P e
x P x C e x C y )()()()()(
代入方程①，则有
∫=−dx
x P Ce
y )(是方程②的通解，将x C 变易为的
待定函数)(x C ，猜想∫=−dx
x P e
x C y )()(是①的解。
将 ∫=−dx
x P e
x C y )()( ③
例9．求下列方程的通解。
（1）0)1(2)22(2
2
=−+−++dy y dx y x y x ；
分析：观察方程，发现dy 前的因子)1(2−y 恰与
y y 22−有导数关系，故令y y z 22−=。
解：令y y z 22
−=，则dy y dz )1(2−=， 原方程改写为0)2(2=+++dz dx z x x ， )2(2
x x z z +−=+′，
])2([[2
∫
+∫+−∫=−C dx e x x e
z dx dx
]
)2([2∫
+−=−dx e x x C e x x 2
22][])2([x Ce
e x C e
dx e x x C e x
x x
x x −=−=+−=−−−∫
，
把y y z 22
−=代入，得原方程的通解：
x
Ce
y y x −=−+222。
例11．设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与它下落 的速度成正比（比例系数为0 >k 常数），起跳时的速 度为0，求下落的速度与时间之间的函数关系。
解：设跳伞员下落速度为)(t v v =。
跳伞员所受的外力等于重力和阻力之和，重力 的大小mg 为，方向与速度的方向一致；阻力的大 小kv 为，方向与速度的方向相反，故所受外力为 kv mg F −=，
例2．求解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=′==′′− .0)0( ,1)0( , y y xe y x 解：x xe y −=′′，
∫∫∫−−−−+−=−==′dx e xe e
xd dx xe y x x x x )(1C e xe
x x +−−=−−， 将初始条件0)0(=′y 代入上式，1 1=C 得，故 1+−−=′−−x x e
xe y 。
22)1 (C x e xe dx e xe y x x x x +++=+−−=−−−−∫， ∴所求特解为12−++=−−x e xe y x x 。
将初始条件1)0(=y 代入上式，1 2−=C 得，。