最新数列中an与Sn的关系资料

对于任意一个数列，当定义数列的前n 项和通常用S n 表示时，记作S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，此时通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧

S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2． 而对于不同的题目中的a n 与S n 的递推关系，在解题时又应该从哪些方向去灵活应用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)去解决不同类型的问题呢？

我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的a n 与S n 相关的问题：

归纳起来常见的角度有：

角度一：直观运用已知的S n ，求a n ；

角度二：客观运用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，求与a n ，S n 有关的结论；

角度三：a n 与S n 的延伸应用．

方法：已知S n 求a n 的三个步骤(此时S n 为关于n 的代数式)：

(1)先利用a 1＝S 1求出a 1；

(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；

(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．

同时，在部分题目中需要深刻理解“数列的前n 项和”的实际意义，对“和的式子”有本质的认识，这样才能更好的运用S n 求解．如：a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n －1，其中a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 表示数列{na n }的前n 项和．

1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为( )

A ．a n ＝2n －3

B ．a n ＝2n ＋3

C ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，n ＝12n －3，n ≥2

D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧

1，n ＝12n ＋3，n ≥2 【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3．当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，不满足上式．

【答案】C

2．(2015·河北石家庄一中月考)数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1) ·3n +1＋3(n ∈N *)，则数列的通项公式a n ＝ ．

【解析】当n ≥2时，a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＝(n －2) ·3n ＋3；则用已知等式减去上式得(2n －

1)·a n ＝(2n －1)·3n ，得a n ＝3n ；当n ＝1时，a 1＝3，满足上式；故a n ＝3n ．

【答案】a n ＝3n

3．(2015·天津一中月考)已知{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝ ．

【解析】由已知得S n ＋1＝2n ＋1，则S n ＝2n ＋1－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋

1－1－2n ＋1＝2n ；当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，不满足上式；故a n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧ 3，n ＝12n ，n ≥2． 【答案】a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧

3，n ＝12n ，n ≥2 4．(2015·四川成都树德期中)已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 5＝45，a 2＋a 6＝14．

(1)求{a n }的通项公式；

(2)若数列{b n }满足：b 12＋b 222＋…＋b n 2n ＝a n ＋1(n ∈N *)，求{b n }的前n 项和． 【解】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0，

由a 2＋a 6＝14，可得a 4＝7

由a 3a 5＝45，得(7－d )(7＋d )＝45，解得d ＝2 或d ＝－2(舍)

∴a n ＝a 4＋(n －4)d ＝7＋2(n －4)，即a n ＝2n －1．

(2)令c n ＝b n 2n ，则c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝a n ＋1＝2n ① 当n ≥2时，c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n －1＝2(n －1) ②

由①－②得，c n ＝2，

当n ＝1时，c 1＝2，满足上式；

则c n ＝2(n ∈N *)，即b n 2n ＝2，∴b n ＝2n ＋1， 故数列{b n }是首项为4，公比为2得等比数列，

∴数列{b n }的前n 项和S n ＝4(1－2n )1－2

＝2n ＋2－4．

此类题目中，已知条件往往是一个关于a n 与S n 的等式，问题则是求解与a n ，S n 有关联的结论．那么我们需要通过对所求问题进行客观分析后，判定最后的结果中是保留a n ，还是S n ．那么，主要从两个方向

利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)：

方向一：若所求问题是与a n 相关的结论，那么用S n －S n －1＝a n (n ≥2)消去等式中所有S n 与S n －1，保留项数a n ，在进行整理求解；

1．(2015·广州潮州月考)数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1，n ∈N *)，则数列的通项公式是 ．

【解析】当n ≥2时，a n ＝2S n －1＋1，两式相减得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)，即a n ＋1－a n ＝2a n ，得a n ＋1＝3a n ；当n ＝1时，a 2＝3，则a 2＝3a 1，满足上式；故{a n }是首项为1，公比为3得等比数列，∴a n ＝3n －

1． 【答案】a n ＝3n －

1 2．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋1＝－4S n ＋1，a 1＝1．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．

【解】(1)当n ≥2时，a n ＝－4S n －1＋1，又a n ＋1＝－4S n ＋1，

∴a n ＋1－a n ＝－4a n ，即a n ＋1a n

＝－3(n ≥2)， 又a 2＝－4a 1＋1＝－3，a 1＝1，

∴数列{a n }是首项为a 1＝1，公比为q ＝－3的等比数列，

∴a n ＝(－3)n －

1． (2)由(1)可得b n ＝n ·(－3)n －

1， T n ＝1·(－3)0＋2·(－3)1＋3·(－3)2＋…＋(n －1)·(－3)n －2＋n ·(－3)n －

1， －3T n ＝1·(－3)1＋2·(－3)2＋…＋(n －2)·(－3)n －2＋(n －1)·(－3)n －

1＋n (－3)n ， ∴4T n ＝1＋(－3)1＋(－3)2＋…＋(－3)n －

1－n ·(－3)n ， 所以，T n ＝1－(4n ＋1)(－3)n 16

． 方向二：若所求问题是与S n 相关的结论，那么用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)消去等式中所有项数a n ，保留S n 与S n －1，在进行整理求解．

1．已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12

． (1)求证：⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1S n 是等差数列； (2)求a n 的表达式．

【解】(1)证明：∵a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又a n ＝－2S n ·S n －1，

∴S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0．