量子力学第三章11

cn ,
2
cn = f n Ψ .
ˆ 如果 Q 的谱是连续的，具有实数本征值 q ( z ) 及狄拉克-正交归一的本征 函数 f z ( x ) ，则得到结果在范围 dz 的几率是
c ( z ) dz
2
c( z ) = f z Ψ .
测量之后，波函数“坍塌”于相应的本征态。
Q 的期望值：
Q = ∑ qn cn .
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第三章
形式理论
§1.希尔伯特（Hilbert）空间 §2.可观测量 §3.厄密算符的本征函数 §4.广义统计诠释 §5.不确定原理 §6.狄拉克符号
本章目的：把前面讨论的具体体系所具有的普遍特点上升到理论。
物理工程学院 §1.希尔伯特（Hilbert）空间
b
有
σ σ = f f
2 A 2 B
g g ≥
f g
2
.
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对于任意一个复数z，有
⎡1 ⎤ z = [ Re( z ) ] + [ Im( z ) ] ≥ [ Im( z ) ] = ⎢ ( z − z ∗ ) ⎥ . ⎣ 2i ⎦
⎛ a1 ⎞ ⎜ ⎟ a α → a = ⎜ 2 ⎟. ⎜M ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ aN ⎠
两个矢量的内积 α β 是一个复数，
α β = a1*b1 + a2*b2 + L aN *bN .
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线性变换用矩阵表示，通过普通的矩阵乘法规则作用于矢量上。
如果厄密算符的谱是连续的,本征函数是不可归一化的，它们不在希尔 伯特空间内,并且不能代表可能的物理态；但是，具有实数本征值的本征函 数具有狄拉克正交归一性，并且是完备的。
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§4. 广义统计诠释
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对于一个处于 Ψ( x, t )态的粒子，测量可观测量 Q ( x, p )，其结果一定是厄密算符 ˆ Q ( x, −id h / dx) 的本征值。 ˆ 如果 Q 的谱是分立的，得到与正交归一本征函数 f n ( x) 相应的本征值的几率是
ˆ ˆ ( A − A )Ψ ( A − A )Ψ
= f f ,
ˆ f ≡ A− A Ψ
(
)
对于另外一个可观测量 B，有
2 σB = g g ,
ˆ g ≡ B − B Ψ.
(
)
由Schwarz不等式，
∫
b
a
f ( x)* g ( x) dx ≤
∫
b
a
f ( x) dx ∫ g ( x) dx .
2 2 a
如果我们限定于实数本征值，动量算符的本征函数都不是平方可积的， 它们不位于希尔伯特空间。但可以得到一个人为的 “正交归一性”。
∫
∞
−∞
f ( x) f p ( x)dx = A
∗ p′
2
∫
∞
−∞
ei ( p − p ′) x / h dx = A 2π hδ ( p − p′).
2
取 A = 1/ 2π h ，有
∫ ψ dx = 1
这个空间称它为“希尔伯特空间”。 结论：波函数是希尔伯特空间的矢量，也称为态矢量。
2
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定义两个函数 f ( x) 和 g ( x ) 的内积：
f g
*
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≡
∫
b a
f ( x )* g ( x )d x.
b 2
问题：是否能够制备一个态，使得对某一个观测量 Q 的每一次观测 都一定得到同样的值（记作 q ） 。
Q 的标准差，在确定值态下应该是0，即：
ˆ ˆ ˆ ˆ σ 2 = (Q − Q )2 = Ψ (Q − q)2 Ψ = (Q − q)Ψ (Q − q)Ψ = 0.
所以
ˆ QΨ = qΨ
ˆ ˆ 这称为算符 Q 的本征值方程； Ψ 是 Q 的本征函数，q 是相对应的本征值。 ˆ 结论：确定值态是 Q 的本征态，相应的本征值是测量值。
g f = f g .
f f = ∫ f ( x) dx,
a
如果一个函数与自身的内积为1，称之为归一化的；如果两个函数的内积为0， 那么这两个函数是正交的；如果一组函数既是归一的也是相互正交的，称它们 为正交归一的。 f m f n = δ mn . 如果存在一组函数，其它任意函数（希尔伯特空间中）都可以表示为这组函数 的线性迭加，那么这组函数是完备的:
∞
⎡ pp0 ⎛ p ⎞⎤ + tan −1 ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ 2 2 ⎝ p0 ⎠ ⎦ ⎣ p + p0
∞ p0
=
1 1 − = 0.0908 4 2π
物理工程学院 §5.不确定原理
不确定原理的证明 对于任意一个可观测量 A ，有
2 σA =
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---动量空间波函数， Φ ( p, t )
∞ 1 − ipx / h ∫−∞ e Φ( p, t )dp. 2π h
Φ ( p, t ) =
∞ 1 − ipx / h ∫−∞ e Ψ ( x, t )dx; 2π h
Ψ ( x, t ) =
2
测量得到结果在 dp 范围的几率是： Φ ( p, t ) dp.
期望值应该是实数，
Q = Q .
*
ˆ ˆ ψ Qψ = Qψ ψ ,
任意波函数都满足此式。因此表示可观测量的算符有非常特殊的性质：
ˆ ˆ f Qf = Qf f
对任何 f ( x) 成立.
这样的算符称为厄密（hermitian）算符。 结论：可观测量由厄密算符表示。
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确定值态
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⎛ t11 t12 L t1N ⎞ ⎛ a1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ t21 t22 L t2 N ⎟ ⎜ a2 ⎟ β = T α → b = Ta = ⎜ . ⎜ M M M ⎟ ⎜M ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ t N 1 t N 2 L t NN ⎠⎝ aN ⎠ ⎝
量子力学中，体系的波函数的集合构成了一个无穷维的矢量空间，并且 波函数必须是归一化的。
−∞ ∞
所以，获得结果处于某一范围 dy 的几率就是 Ψ ( y, t ) dy ，
2
这正是原先的统计诠释。 对粒子动量的测量 动量算符的本征函数
c( p ) = f p Ψ = 1
f p ( x) = (1/ 2π h ) exp(ipx / h)
∞
2π h ∫−∞
e − ipx / h Ψ ( x, t ) dx.
2、不确定原理在实验室是怎么起作用的？ — 为什么就不能同时确定(比方说)一个粒子的坐标和动量呢？ 测量一个粒子的位置，使波函数坍塌为一个尖峰，这样波的傅立叶展开 中波长(动量)分布范围很宽。测量动量，使这个态坍塌为一个长正弦波，具 有确定的波长。这两个结果是不相容的。 只有波函数同时是两个力学量的本征态时，测量两个量同时得到确定值， 又不改变状态。 最小不确定波包 问题：什么样的状态粒子坐标、动量具有最小不确定性？ 证明不确定原理时使用了两个不等式，现在取它们均为等式。 Schwarz不等式，当 g ( x ) = cf ( x) 时，等式成立。
ˆˆ ˆ ˆ = Ψ ABΨ − B Ψ AΨ − A Ψ BΨ + A B Ψ Ψ
ˆˆ = AB − B A − A B + A B
ˆˆ = AB − A B .
类似有
ˆˆ g f = BA − A B ,
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因此
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ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ f g − g f = AB − BA = ⎡ A, B ⎤ , ⎣ ⎦
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例题3.4 一个质量为 m 的粒子处在 δ 函数势 V ( x ) = −αδ ( x ) 中。 对其动量进行测量，得到结果比 p0 = mα / h 大的几率是多少？ 解：波函数是
Ψ ( x, t ) = mα − mα x / h2 − iEt / h e e h
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体系的状态用波函数 表示，可观察量用算符表示。 数学上，波函数满足抽象矢量的定义，算符作为线性变换作用于矢量之上。 因此，量子力学的自然语言是线性代数。 按照线性代数，在N维空间中，可以选择N个正交归一基矢量，一个矢量 用其在各个基矢量方向上的分量表示。
⎛ 1 ⎡ ˆ ˆ⎤ ⎞ 2 2 σ Aσ B ≥ ⎜ A, B ⎦ ⎟ . 2i ⎣ ⎝ ⎠
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ⎡ A, B ⎤ ≡ AB − BA ⎣ ⎦
------不确定原理
举例： A = x
B = ( h / i ) d / dx
⎛ 1 ⎞ ⎛h⎞ σ σ ≥ ⎜ ih ⎟ = ⎜ ⎟ , ⎝ 2i ⎠ ⎝ 2 ⎠
f p ( x) =
f p′ f p = δ ( p − p′) ---称为 Driac 正交归一性。
1 eipx / h , 2π h
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本征函数集合是完备的，任何（平方可积的）函数 f ( x) 都可以写成：
f ( x) = ∫ c( p ) f p ( x)dp =
−∞
∞ −∞
∞
∞ 1 ipx / h ∫−∞ c( p)e dp. wenku.baidu.comπ h
∞
------傅立叶展开
f p ′ f = ∫ c( p) f p ′ f p dp = ∫ c( p)δ ( p − p′)dp = c( p′).
−∞
动量的本征函数加上时间因子，就是平面波，其波长为
λ=
2π h . p
------正是德布罗意公式
q f f = q∗ f f
q = q∗
证毕
定理2：属于不同本征值的本征函数正交。 证明：假设
ˆ Qf = qf
ˆ ˆ f Qg = Qf g
ˆ Qg = q′g
q′ f g = q ∗ f g
f g =0
如果
q′ ≠ q
则
证毕
对有限维空间 可以证明， 但不能推广到 无限维空间。
公理：可观测量算符的本征函数集合是完备的。（在希尔伯特空间中）任何 函数都可以用它们的线性迭加来表达。
f ( x ) = ∑ cn f n ( x).
∞
如果函数
{ f n ( x)} 是正交归一的，则
n =1
cn = f n f ,
物理工程学院 §2.可观测量
厄密算符
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ˆ ˆ 一个可观测量 Q ( x, p ) 的期望值： Q = ∫ψ *Qψ dx = ψ Qψ .
2 2 2 2 2
令 z= f g
⎛1 ⎞ σ σ ≥ ⎜ ⎡ f g − g f ⎤⎟ ⎦⎠ ⎝ 2i ⎣
2 A 2 B 2
f g =
=
ˆ ˆ ( A− A )Ψ (B − B )Ψ ˆˆ ˆ ˆ Ψ ( AB − A B − B A +
ˆ = Ψ A− A
A
( B )Ψ
ˆ )(B − B ) Ψ
2 x 2 p 2 2
ˆ ˆ [ x, p ] = i h
σ xσ p ≥ .
h 2
-----最初的海森堡不确定原理
讨论： 1、两个可观测量的算符不对易，它们存在不确定原理，称为不相容。 不相容可观测量没有共同的完备的本征函数系，相反，相容（可对 易的）的可观测量有共同的本征函数系。
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E = − mα 2 / 2h 2
动量空间的波函数是
Φ ( p, t ) = 1 2π h
3 mα − iEt / h ∞ − ipx / h − mα x / h2 2 p0 / 2e − iEt / h e dx = 2 ∫−∞ e e h π p 2 + p0
所求的几率为：
2
3 p0 ∫
π
1 1 dp = p0 ( p 2 + p 2 ) 2 π 0
一个算符所有本征值的集合称为这个算符的谱。
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厄密算符的本征值问题 1、分立谱
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本征函数处于希尔伯特空间中，并且构成物理上可实现的态。
定理1：厄密算符的本征值是实数。 证明：假设
ˆ Qf = qf ,
ˆ ˆ f Qf = Qf f
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2、连续谱
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本征函数是不可归一化的，不能代表可能的物理态。 例3.2 求动量算符的本征值与本征函数。
解：设 f p ( x ) 是本征函数， p 是本征值。
h d f p ( x ) = pf p ( x ). i dx
f p ( x) = Aeipx / h .
2 n
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对粒子位置的测量 其结果一定是坐标算符
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的本征值。相应的本征函数是
g y ( x) = δ ( x − y )
c( y ) = g y Ψ = ∫ δ ( x − y )Ψ ( x, t )dx = Ψ ( y, t ),