矩形中的折叠问题教案

课题：矩形中的折叠问题

114中学 张爱 教学目标：

知识与技能：灵活运用矩形的性质、轴对称性质、全等三角形等知识解决矩形中

的折叠问题.

过程与方法：在分析三类基本折叠问题的过程中，体会利用方程思想、转化思想

解决折叠问题的一般方法.

情感态度价值观：通过综合应用数学知识解决折叠问题，体会知识间的联系，感

受数学学习的乐趣.

教学重点：解决矩形中的折叠问题.

教学难点：综合运用知识挖掘矩形折叠问题中角度和线段的数量关系. 教学方法：引导探究式教学

教学过程

（一）课堂引入

师：将矩形按不同要求进行折叠，就会产生丰富多彩的几何问题，今天我们就来研究矩形的折叠问题.

（二）讲授新课 例1：如图，已知矩形ABCD ，将BCD △沿对角线BD 折叠，

点C 落在点E 处，BE 交AD 于点F .

师：根据图像，你能发现图中有哪些相等的线段和角吗？ 生：AB=DC=ED ，BF=DF ，AF=EF ，BC=BE=AD ；

∠E =∠A=90°，∠ABF =∠EDF ，∠FBD =∠FDB =∠DBC ，∠BDC =∠BDE ；

师：由此，我们可以归纳出图中的三角形具有哪些特殊的性质？

生：△EBD ≅△CBD ≅△ADB 且都是直角三角形，△ABF ≅△EDF ；△FBD 是等腰

三角形；并且△EBD 与△CBD 关于直线BD 对称，若连接EC ，则BD 垂直平分EC （对称轴垂直平分对应点之间的连线）.

师：我们将矩形纸片沿对角线进行折叠，折叠后的图形中含有全等三角形、等腰

三角形，以及轴对称图形，下面我们就来看看几个具体的问题：

（1） 若∠ADE =20°，求∠EBD 的度数．

（2） 若4=AB ，8BC =，求AF ．

B C D E F A

解：（1）∵矩形ABCD 中，∠C =90°，又∵翻折，∴∠E =∠C =90°，

∵∠ADE =20°，∴∠EFD =70°.∵AD ∥BC ，∴∠FDB =∠DBC ，

又∵∠FBD =∠DBC ，∴ ∠FBD =∠FDB ，∴∠FBD =35°.

（2）∵∠FBD =∠FDB ，∴FB=FD ，设AF 为x ，则FD=FB= 8-x ，在△ABF

中，∠A =90°，222AF AB BF +=，因此，()222

48+=-x x ，解得3=x ，∴AF =3.

【小结】

师生共同小结，教师进行归纳：

将矩形沿对角线进行折叠，我们从翻折产生的性质和背景图形的性质两方面入手，分析出了图中相等的线段和角，找到了全等三角形，等腰三角形，从而解决了问题.

图中还隐含着一个重要的基本几何图形， 即角平分线和平行线结合在了一起，这时会出现等腰三角形，这对于我们解题有很大帮助.因此我们在识图时一

定要注意挖掘出图中的基本几何图形.

例2：将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与点D 重合，

点A 落在点G 处.

师：请你分析出图中存在着哪些数量关系. 生：AB=DC=DG ，BF=DF=DE ，AE=EG=FC ；∠G =∠A=90°，

∠CDF =∠GDE ，∠DFC =∠DEG ，∠BFE =∠DFE =∠FED ；

△DGE ≅△DCF ，且都是直角三角形，△DEF 是等腰三角形；并且四边形EABF 与四边形EGDF 关于直线EF 对称.

师：下面我们来看具体问题：

（1） 判断四边形BFDE 的形状；

（2） 若AB =2，BC =4，求折痕EF 的长.

解：（1）四边形BFDE 是菱形

证法一： ∵B 与D 关于直线EF 对称 ∴EF ⊥BD ，且BO=OD

∵AD ∥BC ∴EO ：OF=BO ：DO

∴EO=OF ∴四边形BFDE 是菱形.

证法二： ∵ED 平行且等于BF

∴四边形BFDE 是平行四边形

∵△DGE ≅△DCF ，ED=DF

∴四边形BFDE 是菱形 A B C

F E

G D A B C F E G D O

（2）∵四边形BFDE 是菱形

∴DC BF EF BD S ⋅=⋅=2

121 设FC 为x ，则FD=FB= 4-x ，在△DFC 中，2

22FC DC DF +=，因此，()22224+=-x x ，解得5.1=x ，∴FC =1.5 ，BF=2.5

又∵DC =2 ，BD =52

∴22

552⋅=⋅EF ， EF =25. 这里问题的解法比较多，教师鼓励学生一题多解，给学生展示不同思路的机会.

【小结】

师生共同小结，教师适当归纳：

例2中的图形是沿着某一直线折叠，使矩形对角的顶点互相重合.我们仍然找到了相等的线段、角，全等三角形，等腰三角形，还有特殊的四边形——菱形. 回顾例1、例2中两个计算边长的问题，勾股定理是解决此类问题的有力工具，并且两题都用到了和设未知数的方法，这里也体现了数学中的方程思想.

例3：如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好

落在BC 边上F 点处.

问题：若=∠EFC sin 3

1，求tan ∠DAE . 师：请你先分析图形中的数量关系，写在学案上，然后独立完成问题.

生：图中的主要关系有：A FE DE ∆≅∆A ，B F A ∆∽FCE ∆，︒=∠=∠=∠=∠90AFE D C B ，勾股定理可以用于任何一个直角三角形.

解：∵∠B=∠C=∠AFE =90°，∠BAF +∠BF A =90°，∠BF A +∠EFC =90°，

∴∠BAF=∠EFC ，∴∴B F A ∆∽FCE ∆ ∴3

1AF BF FE EC sin ===∠EFC 设EC 为a ，则EF=ED =3a ，∴AB =DC =4a ，

∴AF=a 23

∴AD=a

23F E D C B A