第四章 刚体的转动汇总

M J
其中 J m—i 转ri2动惯量
刚体定轴转动，刚体的角加速度与它 所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯 量成反比
3、转动惯量J：描述刚体在
转动中的惯性大小的物理量
转动惯量的大小：刚体内 每个质点的质量与该质点到转轴距离平方 之积的总和。
n
J mi ri2 或 J r 2dm i 1
（3）一般情况由实验求得。
5、刚体定轴定律(M J )
的应用举例
基本方法和步骤
分析力，确 定外力矩
列出转动定律和 牛顿定律方程
列出线量和角量 之间的关系式
求解联 立方程
例题1、图示物体质量mA、mB 圆柱形滑轮质量mc ，半径R， 若不计桌面和轮轴摩擦力，
求：⑴两物体的加速度和绳的张力；
⑵物体B从静止落下距离y时，其速率为多
由薄圆盘的转动惯量式
J 1 mR2 2
dJ 1 dm r 2 2
J dJ R 1(r2 dx ) r2
02
R R2 x2 2 dx 2 R
x
r
dx x o
R
2 mR2 5
转动惯量计算小结
（1）转动惯量的大小与刚 体总质量、质量分布和转轴有关。
（2）多种计算方法，要掌握每一种方法 的思路和要点。
4、转动惯量的计算（一般的需用实验方法求出）
J r2dm 其中
dm dv（质量体分布）
dm ds（质量面分布） dm dl（质量线分布）
z
dm dV
例题1、质量为m ，长为 l
o
dm
r dV
的均匀细棒，计算 J c
（1）通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量
（2）通过棒一端并与棒垂直的轴的转动惯量
的方向，由右手法则确定为沿转
z
o
r
P
x
轴方向），但在刚体定轴转动时，
角速度等矢量方向与轴平行，则它们可以用代数
量来表示
3、匀变速转动公式
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴匀变速转动
v v0 at
0 t
2
2
x
x0
v0t
1
at 2
0 0t 1 t 2
v v0 2ax x0 0 2 0
例题3、质量为m，半径为R
的均匀薄圆盘，求通过中心
o并与圆盘面垂直的轴的转
动惯量
z
解：刚体质量面分布，设
m
R 2
o
计算思路：将一复杂形体的刚体，分作为若干 简单形体的组合，根据转动惯量的可加性，先 算出简单形体转动惯量，然后再求和获得刚体 的转动惯量
将圆盘分成一系列半径 ，r
宽度为dr，质量为 dm 的细
解：刚体质量的线分布 m
（1）取图示坐标系ox：取l一
质元 dm m dx dx z
l
Jc r 2dm
l
o
l 2
2
l
2
dx
x dm
d
z
1 12
x
ml2
（2）取图示坐标系 o
dx
x
dm
x
J l 2 d 1 ml2
0
3
可见：①转动惯量大小与转轴
的位置有关 ②平行轴定理
J 1 ml2 1 ml2 m( l )2
PA
联立求解得
a
mB
g
mA
mB
1 2
mC
FT1
FT1
Fc
Pc
FT2
FT2
mB PB
FT1 FT2
mAmB
mA
mB
1 2
mC
(
mA
1 2
mC
)mB
mA
mB
1 2
mC
g g
mA FN
3 12
2
J Jc md 2
zdz co
刚体对某轴的转动惯量 等J于刚体通过 质和心两与轴该间轴距平离行平的方转乘动积惯之量和。与J c刚体质量
例题2、质量为m的匀质细
圆环，半径为R，求通过中
心o并与环面垂直的轴的转
动惯量。
z
解：取一质元dm
o
则
J r2dm R2 dm mR2
m
m
受力分析：外力Fi
由牛顿第二定律
内力Fi Fi Fi
mi
a
切向 Fit Fit mi at mi ri 乘以 ri Fit ri Fit ri mi ri2
对刚体
Fit ri Fit ri (mi ri2)
Fit ri 0 Fit ri M （为什么？） M ( mi ri2 )
（4）几个外力同时作用在刚体上，则它 们对转轴的合外力矩等于这几个外力矩 的代数和。
（5）一对内力对轴的力矩和等于零， 则质点系对任一轴的内力矩之和必为零。
2、质刚刚点体体：：F定F(轴M转a) 动定律FMm?a
z
设刚体绕定轴Oz转动
任取一质元 m，i 其绕轴作半
径为r的圆周运动
Fi
o
Fi
ri mi
少？ 解：分析力和力矩
⑴列出方程
mA FN
刚体 RFT2 RFT'1 J
J 1 mR2
PA
2
mA
mc1 ,R
FT1 FT1
Pc
Fc FT2
mB FT2
mB PB
物体A FT1 mAa
物体B
mB
g
F' T2
mBa
联系式 a R
FT1
F' T1
FT2
F' T2
mA FN
第四章
刚体的转动
一、刚体的定轴转动 1、刚体的转动
刚体的平动：
刚体的转动：刚体中所有的点 都绕同一直线（转轴）作圆周 运动 刚体的定轴转动：轴为固定的转动
刚体的一般运动：平动和转动的合成运 动
2、描述刚体定轴转动百度文库物
理量 角坐标θ、角位移d
角速度ω=d/dt 角加速度 =d/dt
说度明 都：是角 矢速量度（、如角角位 速移 度、 矢角 量加速
2
2
2
2
4、角量与线v量关r系
a r
an r 2
二、刚体的转动定律 转动惯量 F
1、力矩
r
复习M：力对F转d 轴的Fr力s矩in
d
刚体转动：
截取F参考平面：平面上有力 ，
其对M轴的力F矩d Fr sin
A B
z
回顾：
A B AB sin
方向：右手法则
所以
M
r
F
d
or P F
方向：右手法则确定
讨论：M （1）
r是 力F矩定
义
式（对点、对轴），在定
轴转动中，M力矩 可Fr以si表n示代数量是
F （2）力矩大小由 大小和
d
两个因素确定，
当力平行于转轴和力的作用线通过转轴时，
力对轴的力矩为零。
F （3）定轴转动中，式中
是指在参考平面内的作用力，
如果外力F不在转动平面上， 则上式 理解为外力在该平面上的分力。
圆环“元”组成
由圆环的转动惯量得“元”圆环的
dJ r 2dm
z
dm 2rdr
o r dr
所以圆盘：
J dJ R r2dm 1 mR2
m
0
2
例题4、质量为m，半径为R 的均匀球体，求通过球心的 轴的转动惯量
解：刚体质量体分布
m 4 R3
3
x
r
dx x o
R
由例3得到启示
将球体分成一系列半径不同的质量 为dm的 “元”薄圆盘组成