第四章 刚体的转动汇总
大学物理第四章刚体转动
进动和章动在自然界中实例
陀螺仪
地球极移
陀螺仪的工作原理即为进动现象。当 陀螺仪受到外力矩作用时，其自转轴 将绕某固定点作进动，通过测量进动 的角速度可以得知外力矩的大小和方 向。
地球极移是指地球自转轴在地球表面 上的移动现象，其产生原因与章动现 象类似。地球极移的周期约为18.6年 ，且极移的幅度会受到地球内部和外 部因素的影响。
天体运动
许多天体的运动都涉及到进动和章动 现象。例如，月球绕地球运动时，其 自转轴会发生进动，导致月球表面的 某些特征（如月海）在地球上观察时 会发生周期性的变化。同时，行星绕 太阳运动时也会发生章动现象，导致 行星的自转轴在空间中的指向发生变 化。
感谢观看
THANKS
02
刚体定轴转动动力学
转动惯量定义及计算
转动惯量定义
刚体绕定轴转动时，其惯性大小的量度称为转动惯量，用字母$J$表示。它是一个与刚体质量分布和转轴位置有 关的物理量。
转动惯量计算
对于形状规则的均质刚体，可以直接套用公式计算其转动惯量；对于形状不规则的刚体，则需要采用间接方法， 如分割法、填补法等，将其转化为规则形状进行计算。
刚体性质
刚体是一个理想模型，它在力的作用 下，只会发生平动和转动，不会发生 形变。
转动运动描述方式
01
02
03
定轴转动
平面平行运动
ห้องสมุดไป่ตู้
定点转动
物体绕一固定直线（轴）作转动。
物体上各点都绕同一固定直线作 不同半径的圆周运动，同时物体 又沿该固定直线作平动。
物体绕一固定点作转动。此时物 体上各点的运动轨迹都是绕该固 定点的圆周。
非惯性系下刚体转动描述方法
欧拉角描述法
第四章刚体的转动
fi
mi ai
切向分量式为：Fi sin i fi sini miait
两边同乘ri
ait ri
Firi sin i firi sini miri2
z
fi
Fi
i
O ri mi i
外力矩
内力矩
对所有质点求和： Firi sini firi sini ( miri2 )
firi sini 0 Firi sini ( miri2 )
R R 2m M
2
例2 一个飞轮的质量为69kg ，半径为0.25m,正在以每分1000转 的转速转动。现在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速而 最后停下来。摩擦系数为0.46。求闸瓦对轮子的压力N为多大？ （J = mR2 ）
解：飞轮制动时有角加速度
0 0 t 5s
t
0 1000转 / 分 104.7rad/s
dm dl
dm ds
为质量的线密度 为质量的面密度
质量为体分布
dm dV
为质量的体密度
线分布
面分布
体分布
注
只有几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才
意 用积分计算其转动惯量,一般刚体则用实验求其转动惯量。
例4 求质量为m 半径为R 的均匀圆环的转动惯量。轴 与圆环平面垂直并通过圆心。
解: 在环上任取一小线元dl 其质量 dm m dl
令 J miri2
转动惯量
用M表示合外力矩, 则有: M＝J 矢量式: M J
刚体定轴转动的转动定律: 刚体绕定轴转动时，作用于刚体上 的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。
说明： 1.
M
J
与
F＝ma
第04章 刚体的转动
dv a= = 1.0 v dt
v = v0 e
t 0
1.0 t
o
v v0
y dy 1.0 t v= = v0e dy = v0 0 dt y = 10(1 e 1.0 t ) m
∫
∫e
1.0t
dt
y
v = v0 e
v0
0
1.0 t
y = 10(1 e
r r r r 相同， （2）任一质点运动的 θ , ω , α 相同，但 v , a 不同
2．角量与线量的关系 ．
dθ ω= dt 2 dω d θ α= = 2 dt dt
ω
v
v a
v v an r
v v v = rω et
a t = rα a n = rω
2
v et v vv a
t
v v 2v a = rα et + rω en
发生变化的物体。 任意两质点间 发生变化的物体。(任意两质点间 距离保持不变的特殊质点组) 距离保持不变的特殊质点组 刚体运动的基本形式：平动、转动。 刚体运动的基本形式：平动、转动。
平动： 平动：若刚体中所有
点的运动轨迹都保持完 全相同。 全相同。
刚体平动 质点运动
刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运 转动： 转动： 动。转动又分定轴转动和非定轴转动 .
v (bt ) an = = r r 2 4 b t 2 2 12 12 = b ( 2 + 1) （3） a = ( a t + a n ) ） r 2 4 at b t 1 2 tan = = ( 2 + 1) a r
dv dv =b （2） at = ） dt
第四章 刚体的转动
m r
2 i i
2
用转动惯量表示
1 2 E k＝ J 2
四、刚体绕定轴转动的动能定理 设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角 位移为dθ，合外力矩对刚体所作的元功为 d dW =M dθ,由转动定律 M J J dt 得 d d
M＝r F r Fi r Fi M i
M F1 r1 sin 1 F2 r2 sin 2 F3 r3 sin 3
单位： N.m 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的 不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
§4－2 力矩
转动定律
转动惯量
一、力矩 从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转 轴的力矩。用M表示。 用矢量表示 M rF 或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个 力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。 合力矩对于每个分力的力矩之和。
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。 说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
第四章 刚体转动
第四章 刚体的转动 问题4-1 以恒定角速度转动的飞轮上有两个点，一个点在飞轮的边缘，另一个点在转轴与边缘之间的一半处。
试问：在t ∆时间内，哪一个点运动的路程较长？哪一个点转过的角度较大？哪一个点具有较大的线速度、角速度、线加速度和角加速度？ 解 在一定时间内，处于边缘的点，运动的路程较长，线速度较大；它们转动的角度、角速度都相等；线加速度、角加速度都为零。
考虑飞轮上任一点P ，它随飞轮绕转轴转动，设角速度为ω，飞轮半径为r 。
在t ∆内，点P 运动的路程为P P l r t ω=∆，对于任意点的角速度ω恒定，所以离轴越远的点（P r 越大）运动的路程越长。
又因为点P 的线速度P P v r ω=，即离轴越远，线速度也越大。
同理，点P 转动的角度P t θω=∆，对于飞轮上任一个点绕轴转动的角速度ω都相等，即在相等的时间内，飞轮上的点转动的角度都相等。
又角速度ω恒定，即线加速度0P Pd a r dtω==，角加速度0P d dtωα==.4-2 如果一个刚体所受合外力为零，其合力矩是否也一定为零？如果刚体所受合外力矩为零，其合外力是否也一定为零？解 不一定。
如图（a ）轻杆（杆长为l ）在水平面内受力1F 与2F 大小相等方向相反，合力为零，但它们相对垂直平面内通过O 点的固定轴的力矩1M F l =不为零。
如图（b ），一小球在绳拉力作用下在水平面内绕固定轴作圆周运动，小球所受的合外力通过O 点，它所受的力矩为零。
4-3 有两个飞轮，一个是木制的，周围镶上铁制的轮缘，另一个是铁制的，周围镶上木制的轮缘，若这两个飞轮的半径相同，总质量相等，以相同的角速度绕通过飞轮中心的轴转动，哪一个飞轮的动能较大。
1F（a ） （b ）解 两飞轮的半径、质量都相同，但木制飞轮的质量重心靠近轮缘，其转动惯量要大于铁制轮缘。
飞轮的动能212k E J ω=，ω相同，转动惯量J 越大，动能越大。
即木制飞轮动能较大。
大学物理一复习第四章刚体的转动-文档资料
mg FT2 ma2
FT1 FT2
R
mg FT1 r
m
a1
J
a1 r
a2 R
FT1 r R
FT1'
A
mg
β
FT2
FT2'
B
mg
mg(R r)
J mR2 mr2
a1
r
J
mgr(R r) mR2 mr2
40 半径减小角速度增加。
（2）拉力作功。请考虑合外力矩为0， 为什么拉力还作功呢？
W
0
Md
在定义力矩作功 时，我们认为只 有切向力作功， 而法向力与位移 垂直不作功。
但在例题中，小 球受的拉力与位 移并不垂直，小 球的运动轨迹为 螺旋线，法向力 要作功。
o
F
r d Fn F
解得
a2
R
mgR(R r) J mR2 mr2
FT1 mg ma1
FT2 mg ma2
例2：光滑斜面倾角为 ，顶端固定一半 径为 R ，质量为 M 的定滑轮，质量为 m 的物体用一轻绳缠在定滑轮上沿斜面 下滑，求:下滑的加速度 a 。
解：物体系中先以
物体 m 研究对象，
A
分别根据牛二定律和转动定律列方程：
角量、线量关系式
解得：
a
mB g
mA mB mC 2
T1
mAmB g
mA mB mC
2
T2
(mA mC 2)mBg mA mB mC 2
如令 mC 0，可得：
第四章刚体的转动
4-1 刚体的定轴转动定律 4-2 力矩 转动定律 转动惯量 4-3角动量 角动量守恒定律 4-4力矩作功 定轴转刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量 的关系.
二 理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转 动定理.
三 理解角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕 定轴转动情况下的角动量守恒问题.
四 理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定 轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律 能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系
统的力学问题.
大学物理-ch4_刚体的转动汇总
J
dJ
2m R2
R 0
r 3dr
1 2
mR2
m
R 2
J
常 见 刚 体 的 转 动 惯 量
三、 力矩
使物体转动，必须给定一 个作用力，另外考虑转动与力 的作用点以及作用力的方向有 关，因此在研究物体转动中引
（入1力）矩若这刚一体物所理受量力。F在转动平面内
z
Od
r
F
F
P
力臂：rsin = d 表示转轴到力作用线的垂直距离。
（2）转动惯量J的大小决定于
刚体的质量：同形状的刚体，ρ(λ,σ)越大，J 就越大 质量的分布：质量相同，dm 分布在 r 越大的地方，则 J越大 刚体的转轴位置：同一刚体依不同的转轴而有不同的J
（3）转轴相同的刚体系统的总转动惯量等于各刚体转动
惯量的代数和
J J1 J2 Jn
转动惯量的计算：
c
2
t2
2 600π 3002
π 75
rad s3
1 ct 2 π t 2
2 150
由 d π t 2
dt 150
得
d
π
t t 2dt
0
150 0
π t 3 rad
450
在 300 s 内转子转过的转数
N π (300)3 3104
2π 2π 450
例 一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机，滑轮半
向转动，则力矩Mz为正，反之为Mz为负。
力矩
M
r
F
M
ห้องสมุดไป่ตู้
F
方向：满足右手螺旋法则 对于定轴转动，力矩的方向沿 转轴方向，但只有两种可能， 则可用正负表示
即：力矩与坐标轴同向时为正 ，反向时为负
第4章刚体转动
T2
时受到了摩擦阻力矩 的作用。M设阻 绳
m
不可伸长且与滑轮间无相对滑动，求物
M
体的加速度及绳中的张力。
a2
Pm
PM
第四章 刚体转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
解 受力分析如图所示.对于上下作平动
的两物体，可以视为质点，由牛顿 第二运动定律得
m：-T1 mg ma1 M：Mg T2 Ma2
特伍德机.
第四章 刚体转动
4-3 角动量 角动量守恒定律 力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理. 力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量、角动量定理.
质点运动状态的描述 p mv Ek mv2 2
刚体定轴转动运动状态的描述 L J Ek J2 2
0, p 0
0, p 0
pi
pj
mR k
60 0.2520.9 392 N
0.8
第四章 刚体转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
例 一绳跨过定滑轮，两端分别系有质量分
别为m和M的物体，且 M 。m滑轮可看
作是质量均匀分布的圆盘，其质量为 ， 半径m为R ，转轴垂直于盘面通过盘心， a1
R
M阻mo
如图所示。由于轴上有摩擦，滑轮转动 T1
0
5
第四章 刚体转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
作用于飞轮的对固定转轴的外力矩是摩擦力矩
M fR k NR
F
根据刚体定轴转动定律得 f
M J k NR
因为飞轮的质量均匀分布在轮的外 m 周上，所以飞轮对转轴的转动惯量 可视为圆环对轴的转动惯量
N
0
J mR2
N
J k R
mR2 k R
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第四章 刚体的转动 问题与习题解答问题：4-2、4-5、4-94-2如果一个刚体所受合外力为零，其合力矩是否也一定为零？如果刚体所受合外力矩为零，其合外力是否也一定为零？答：一个刚体所受合外力为零，其合力矩不一定为零，如图a 所示。
刚体所受合外力矩为零，其合外力不一定为零，例如图b 所示情形。
4-5为什么质点系动能的改变不仅与外力有关，而且也与内力有关，而刚体绕定轴转动动能的改变只与外力矩有关，而与内力矩无关？答：因为合外力对质点所作的功，等于质点动能的增量；而质点系中内力一般也做功，故内力对质点系的动能的增量有贡献。
而在刚体作定轴转动时，任何一对内力对转轴的力矩皆为一对大小相等、方向相反的力矩，且因定轴转动时刚体转过的角度d θ都一样，故其一对内力矩所作的功()0inij ij ji ij ji W M d M d M M d θθθ=+=+=，其内力功总和也为零，因而根据刚体定轴转动的动能定理可知：内力矩对其转动动能的增量无贡献。
4-9一人坐在角速度为0ω的转台上，手持一个旋转的飞轮，其转轴垂直地面，角速度为ω'。
如果突然使飞轮的转轴倒转，将会发生什么情况？设转台和人的转动惯量为J ，飞轮的转动惯量为J '。
答：（假设人坐在转台中央，且飞轮的转轴与转台的转轴重合）视转台、人和飞轮为同一系统。
（1）如开始时飞轮的转向与转台相同，则系统相对于中心轴的角动量为：10L J J ωω''=+飞轮转轴快速倒转后，飞轮的角速度大小还是ω'，但方向与原来相反；如设转台此时的角速度为1ω，则系统的角动量为：21L J J ωω''=-在以上过程中，外力矩为零，系统的角动量守恒，所以有：10J J J J ωωωω''''-=+即 102J Jωωω''=+，转台的转速变大了。
（2）如开始时飞轮的转向与转台相反，则系统相对于中心轴的角动量为：10L J J ωω''=-飞轮转轴快速倒转后，飞轮的角速度大小还是ω'，但方向与原来相反；如设转台此时的角速度为1ω，则系统的F 1F 3ab角动量为：21L J J ωω''=+在以上过程中，外力矩为零，系统的角动量守恒，所以有：10J J J J ωωωω''''+=-即 102J Jωωω''=-，转台的转速变慢了。
刚体的转动知识点总结
一、刚体的基本概念1. 刚体的定义：刚体是一个质点系列，这些质点之间的相对位置在任意时刻都是固定的，不会改变。
2. 刚体的运动方式：除了平动外，刚体还可以进行转动运动。
3. 刚体的主要特征：刚体在转动运动中的主要特征是角位移、角速度和角加速度。
二、刚体的转动定律1. 牛顿第一定律在转动中的应用：刚体静止或匀速转动时，对固定轴的力矩为零。
2. 牛顿第二定律在转动中的应用：刚体转动的加速度和力矩之间的关系。
3. 牛顿第三定律在转动中的应用：力矩的作用对应地产生反作用力矩。
三、刚体的转动运动学1. 角度和弧度的关系：1弧度对应角度2pi，即1弧度=180°/π。
2. 角速度和角位移的关系：角位移是角速度随时间的积分。
3. 角加速度和角速度的关系：角加速度是角速度随时间的导数。
4. 刚体的角度运动学方程：θ=θ0+ω0t+1/2αt²，ω=ω0+αt，ω²=ω0²+2α(θ-θ0)。
四、刚体的转动动力学1. 转动惯量的概念：刚体对任意轴的转动惯量是对角速度与角动量之间关系的比较重要的物理量。
2. 转动惯量与质量的关系：转动惯量与质量和物体形状有关，质量越大，转动惯量越大。
3. 转动惯量的计算方法：在一个轴上转动的刚体对该轴的转动惯量的计算方法是对每个质点的质量进行求和。
4. 牛顿第二定律在转动中的适用条件：转动惯量与角加速度的关系。
五、刚体的转动运动与平动的转换1. 垂直平动和转动的关系：刚体在平动运动中的质心对其转动惯量有影响。
2. 能量守恒在转动中的应用：刚体在转动运动中的动能和势能之间的转换过程与保守力的性质有关。
1. 刚体的转动平衡条件：刚体在平衡时，合外力和合力矩均为零。
2. 刚体的稳定条件：刚体在平衡时，摆子有稳定和不稳定平衡之分。
以上便是刚体的转动知识点总结，这些知识点涵盖了刚体的基本概念、转动定律、转动运动学、转动动力学、转动运动与平动的转换以及转动稳定性等内容。
大学物理第四章-刚体的转动-习题及答案
1．刚体绕一定轴作匀变速转动，刚体上任一点是否有切向加速度？是否有法向加速度？切向和法 向加速度的大小是否随时间变化？
答：当刚体作匀变速转动时,角加速度 不变。刚体上任一点都作匀变速圆周运动，因此该点速
率在均匀变化，v l ，所以一定有切向加速度 at l ，其大小不变。又因该点速度的方向变化，
ω dr
（1）圆盘上半径为r、宽度为dr的同心圆环所受的摩擦力矩
为
dM
m
(
R2
2 rdr)grBiblioteka 2r 2 mgdr/
R2
负号表示摩擦力矩为阻力矩。对上式沿径向积分得圆盘所受
r dF
的总摩擦力矩大小为
M dM R 2r2mgdrdr 2 mgR
0
R2
3
（2）由于摩擦力矩是一恒力矩，圆盘的转动惯量 I 1 mr2 ，由角动量定理可得圆盘停止的 2
度．
解：碰撞过程满足角动量守恒：
2 3
mv0l
1 2
mv0
2 3
l
I
而
I m( 2 l)2 2m(1 l)2 2 ml2
3
33
所以
mv0l
2 3
ml 2
由此得到： 3v0 2l
2m
1 3
l
O⅓l
1 2
v
0
2 3
l
m
⅓l m v0
⅓l
15. 如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，设两轮的转动惯量分别为 JA＝10 kg·m2 和 JB
2
2
22
2
2
1 16
( Ld14
1 2
ad24
第四章刚体的运动总结
第三章 刚体的运动一、基本要求1.了解转动惯量的概念。
2.理解刚体绕定轴转动的转动定律。
3.通过质点在平面内运动的情况理解角动量（动量矩）概念和角动量守恒定律，并能用它分析解决质点在平面内转动时的简单问题。
4.理解刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒定律。
5.理解力矩对刚体所作的功及刚体转动的动能定理。
二、内容提要1、 基本概念（１） 刚体及其运动的描述刚体：固体物件的理想化模型，是指在外力作用下物体的体积和形状不发生变化的物体。
刚体的运动形式：平动和转动，大学物理学主要研究刚体定轴转动的规律。
刚体绕定轴转动时，刚体中所有的质元都绕定轴作圆周运动，可以用圆周运动中的角位置θ、角位移d θ、角速度ω、角加速度β等物理量来描述刚体的运动。
其相互关系为：刚体的角量描述： 大小：d d tθω=方向：d d tθω=v r ω=⨯222d d d d t n t t v r a r a r ωθβωβω===== ω、β是矢量，在定轴转动中用标量来表示，用正负来表示其方向。
（２） 转动惯量转动惯量：物体在转动中惯性大小的量度。
其定义为：2i i iJ m r =∆∑其中i m ∆为刚体中任一质元的质量，i r 为该质元到转轴的距离。
当刚体的质量连续分布的情况下，可以写成积分式：⎰=mdm r J 2转动惯量只与刚体的质量、质量分布及转轴的位置有关。
（３） 力矩力矩是反映力的大小、方向、和作用点对物体转动的影响，是物体转动状态改变的原因。
力矩是矢量，定义为：M r F =⨯ 大小：θsin Fr M = 方向：垂直于F 和r所在的平面，用右手螺旋法则来判断。
在定轴转动中，只用量值表示，用正负表示方向。
（４） 定轴转动时的力矩的功21W Md θθθ=⎰（５） 角动量（动量矩）a.质点的角动量为：p r L ⨯=其中，r 为质点相对于参考点的位矢，p为其在该位置处的动量。
角动量为矢量： 大小：θsin rmv L =，其中θ为r 与p （或v ）的夹角，方向：垂直于r 和p （或v）所在的平面，用右手螺旋法 则。
四刚体的运动汇总
(3)质量连续分布时, I = r 2dm
[例1]求质量为m，长为L的均匀细棒在下面三种情 况下的转动惯量： (1)转轴通过棒的一端并与棒垂直； (2)转轴通过棒的中心并与棒垂直； (3)转轴通过棒上离中心h的一点并与棒垂直。
3. 平面平行运动：刚体在运动过程中，其上每一点都在 与某固定平面相平行的平面内运动，这种运动称为刚 体的平面平行运动，这时。刚体内任一与固定平面相 垂直的直线上所有点的运动情况完全相同，因而刚体 的运动可用与固定平面相平行的任一截面的运动来代 表，而该截面在通过自身平面内的运动可以看成其上 任一点A（称为基点）在平面上的移动与该截面绕过 该点且垂直于平面的轴线的转动的组合。确定基点的 位置需要两个平动参量，在与基点相对静止的参照系 上，刚体的运动成为绕过基点的固定轴的转动，即定 轴转动，这需要一个转动参量。于是，刚体的平面平 行运动的自由度为3。
§4.1 刚体运动学
刚体是这样一种质点组，组内任意两质点间的距离保持续分布的质点所组成的质点组，刚体的质心为：
mC dm
rC
rdm dm
dV
rdV dV
这里的积分应遍及刚体的全部体积。在实际计算时，我们常
用质心位矢的分量形式，为：
)ω
2
令
I
=Σ
Δ
m
i
r
2
i
转动动能：
Ek =
1 2
Iω
2
注:
Σ (1)其形式与 E k
=
1 2
(2) I = Δ m相当i r于i2
mv2
相似
Ek
=
12中m的v 2
m,m为质点平动惯性的量度。
第4章-刚体转动
例1 如图, 有一半径为 R 质量为 m的匀质圆盘, 可绕
通过盘心 O 垂直盘面的水平轴转动. 转轴与圆盘之间的
摩擦略去不计. 圆盘上绕有轻而细的绳索, 绳的一端固
定在圆盘上, 另一端系质量为 m 的物体. 试求物体下落
时的加速度、绳中的张力和圆盘的角加速度.
m
Ro
m
oR
m
T
m
T'
Py
解：1） 分析受力 2）选取坐标
2 刚体定轴转动的角动量
L mirivi ( miri2 )
i
i
L J
单位：kg·m2·s-1，量纲：ML2T-1
二 刚体定轴转动的角动量定理
z
O ri
vi
mi
dL d(J) J d J M
dt dt
dt
t2
t1
Mdt t2 Mdt
t1
L2
L1
dL L2 dL
L1
J2 J1
➢ 角速度矢量 lim d
t t0 dt
方向: 右手螺旋方向
参考轴
6
4-1 刚体的定轴转动
➢ 刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以用角速
度的正负来表示 .
➢
角加速度
d
dt
z
z
定轴转动的特点
0 0
1） 2）
每任一一质 质点 点均 运作 动圆周 ,运动,，均圆相面同为，转但动v平,面a 不；同；
球体（沿任一直径）： 圆筒（沿几何中心轴）：
J 2 mR2 5
J m 2
R12 R22
21
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
讨论 ➢ 有两个飞轮：一个是木制的，周围镶上铁制
第四章刚体的定轴转动
L 2
x2dx
1
ML2
L L2
12
z
(2) 由平行轴定理：
zc L/2
C
I
I C M (
L 2
)2
1 12
ML2
1 4
ML2
1 3
ML2
例题4-2： 求密度均匀的圆盘对通过中心并与盘面垂直的转轴 的转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为M。
在圆盘上取一半径为r、宽度为dr的圆环，环的面积为2rdr，
环的质量为：
dm
2rdr
M
R2
2rdr
2M R2
rdr
转动惯量：
M
dr
I
r 2dm
2M R2
R r 3dr 1 MR 2
0
2
r p
§4-4 刚体的转动定理
1、力矩：
外力在平行于转轴方向的分力对刚体定轴转动不起作用，
所以只需考虑外力在垂直于轴的平面内的分力。
M
f
定义：外力相对于某固定轴的力矩为：
开始运动时的角速度；
(1)棒和子弹的转动惯量：
IM
1 3
Ml 2
,
Im
m(
3 4
l
)2
9 16
ml 2
由角动量守恒：
o θ0
3l
4C
mv 3 l ( 1 Ml 2 9 ml 2 )
A
43
16
求得：
36 mv
8.88 ( rad / s )
( 16 M 27 m )l
习题4-23 一匀质木棒l = 0.40m，M=1.00kg，可绕轴o在竖直面内 无摩擦转动，开始棒处于竖直位置，一质量m=8g，
第四章 刚体的转动
四、角量与线量的关系
v r 2 an r
11
例1 在高速旋转的微型电动机里，有一圆柱形转子可 绕垂直其横截面并通过中心的转轴旋转。开始起动时， 角速度为零。起动后其转速随时间变化关系为：
m (1 e
t /
1 式中 : 540 r s ， 2.0 s ) m
平动与转动的叠加
5
随质心的平动
+
绕质心的转动
合成
6
5.刚体定轴转动的特点
(1)任一质点都是在某个垂直 转轴的平面内作圆周运动。 (2)各质点的轨迹是半径大小 不一的圆周。在同一时间内， 各质点转过的圆弧长度不相 同。
A
A
z
r1
O1B rFra bibliotek2 O2 B
(3)各质点半径所扫过的角度
z
0
z
0
8
2.角加速度
d lim dt t 0 t
1
O
2 1
0
2
O
1 1
O
2
2 1
0
2
O
1
2
9
3.角速度矢量和线速度矢量的关系
v r
v
O
O
v
10
三、匀变速转动公式
1 1 2 3 p0 Lh gLh 2 6
y
2.14 10 N m
12
h dF
O
dy
y
Q
22
二、转动定律
1.受力分析
Fi、Fi 均在与Oz轴相垂直 的平面内。 2.运动方程
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讨论：M （1）
r是 力F矩定
义
式（对点、对轴），在定
轴转动中，M力矩 可Fr以si表n示代数量是
F （2）力矩大小由 大小和
d
两个因素确定，
当力平行于转轴和力的作用线通过转轴时，
力对轴的力矩为零。
F （3）定轴转动中，式中
是指在参考平面内的作用力，
如果外力F不在转动平面上， 则上式 理解为外力在该平面上的分力。
（3）一般情况由实验求得。
5、刚体定轴定律(M J )
的应用举例
基本方法和步骤
分析力，确 定外力矩
列出转动定律和 牛顿定律方程
列出线量和角量 之间的关系式
求解联 立方程
例题1、图示物体质量mA、mB 圆柱形滑轮质量mc ，半径R， 若不计桌面和轮轴摩擦力，
求：⑴两物体的加速度和绳的张力；
⑵物体B从静止落下距离y时，其速率为多
第四章
刚体的转动
一、刚体的定轴转动 1、刚体的转动
刚体的平动：
刚体的转动：刚体中所有的点 都绕同一直线（转轴）作圆周 运动 刚体的定轴转动：轴为固定的转动
刚体的一般运动：平动和转动的合成运 动
2、描述刚体定轴转动的物
理量 角坐标θ、角位移d
角速度ω=d/dt 角加速度 =d/dt
说度明 都：是角 矢速量度（、如角角位 速移 度、 矢角 量加速
4、转动惯量的计算（一般的需用实验方法求出）
J r2dm 其中
dபைடு நூலகம் dv（质量体分布）
dm ds（质量面分布） dm dl（质量线分布）
z
dm dV
例题1、质量为m ，长为 l
o
dm
r dV
的均匀细棒，计算 J c
（1）通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量
（2）通过棒一端并与棒垂直的轴的转动惯量
圆环“元”组成
由圆环的转动惯量得“元”圆环的
dJ r 2dm
z
dm 2rdr
o r dr
所以圆盘：
J dJ R r2dm 1 mR2
m
0
2
例题4、质量为m，半径为R 的均匀球体，求通过球心的 轴的转动惯量
解：刚体质量体分布
m 4 R3
3
x
r
dx x o
R
由例3得到启示
将球体分成一系列半径不同的质量 为dm的 “元”薄圆盘组成
（4）几个外力同时作用在刚体上，则它 们对转轴的合外力矩等于这几个外力矩 的代数和。
（5）一对内力对轴的力矩和等于零， 则质点系对任一轴的内力矩之和必为零。
2、质刚刚点体体：：F定F(轴M转a) 动定律FMm?a
z
设刚体绕定轴Oz转动
任取一质元 m，i 其绕轴作半
径为r的圆周运动
Fi
o
Fi
ri mi
的方向，由右手法则确定为沿转
z
o
r
P
x
轴方向），但在刚体定轴转动时，
角速度等矢量方向与轴平行，则它们可以用代数
量来表示
3、匀变速转动公式
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴匀变速转动
v v0 at
0 t
2
2
x
x0
v0t
1
at 2
0 0t 1 t 2
v v0 2ax x0 0 2 0
少？ 解：分析力和力矩
⑴列出方程
mA FN
刚体 RFT2 RFT'1 J
J 1 mR2
PA
2
mA
mc1 ,R
FT1 FT1
Pc
Fc FT2
mB FT2
mB PB
物体A FT1 mAa
物体B
mB
g
F' T2
mBa
联系式 a R
FT1
F' T1
FT2
F' T2
mA FN
2
2
2
2
4、角量与线v量关r系
a r
an r 2
二、刚体的转动定律 转动惯量 F
1、力矩
r
复习M：力对F转d 轴的Fr力s矩in
d
刚体转动：
截取F参考平面：平面上有力 ，
其对M轴的力F矩d Fr sin
A B
z
回顾：
A B AB sin
方向：右手法则
所以
M
r
F
d
or P F
方向：右手法则确定
受力分析：外力Fi
由牛顿第二定律
内力Fi Fi Fi
mi
a
切向 Fit Fit mi at mi ri 乘以 ri Fit ri Fit ri mi ri2
对刚体
Fit ri Fit ri (mi ri2)
Fit ri 0 Fit ri M （为什么？） M ( mi ri2 )
PA
联立求解得
a
mB
g
mA
mB
1 2
mC
FT1
FT1
Fc
Pc
FT2
FT2
mB PB
FT1 FT2
mAmB
mA
mB
1 2
mC
(
mA
1 2
mC
)mB
mA
mB
1 2
mC
g g
mA FN
由薄圆盘的转动惯量式
J 1 mR2 2
dJ 1 dm r 2 2
J dJ R 1(r2 dx ) r2
02
R R2 x2 2 dx 2 R
x
r
dx x o
R
2 mR2 5
转动惯量计算小结
（1）转动惯量的大小与刚 体总质量、质量分布和转轴有关。
（2）多种计算方法，要掌握每一种方法 的思路和要点。
解：刚体质量的线分布 m
（1）取图示坐标系ox：取l一
质元 dm m dx dx z
l
Jc r 2dm
l
o
l 2
2
l
2
dx
x dm
d
z
1 12
x
ml2
（2）取图示坐标系 o
dx
x
dm
x
J l 2 d 1 ml2
0
3
可见：①转动惯量大小与转轴
的位置有关 ②平行轴定理
J 1 ml2 1 ml2 m( l )2
M J
其中 J m—i 转ri2动惯量
刚体定轴转动，刚体的角加速度与它 所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯 量成反比
3、转动惯量J：描述刚体在
转动中的惯性大小的物理量
转动惯量的大小：刚体内 每个质点的质量与该质点到转轴距离平方 之积的总和。
n
J mi ri2 或 J r 2dm i 1
例题3、质量为m，半径为R
的均匀薄圆盘，求通过中心
o并与圆盘面垂直的轴的转
动惯量
z
解：刚体质量面分布，设
m
R 2
o
计算思路：将一复杂形体的刚体，分作为若干 简单形体的组合，根据转动惯量的可加性，先 算出简单形体转动惯量，然后再求和获得刚体 的转动惯量
将圆盘分成一系列半径 ，r
宽度为dr，质量为 dm 的细
3 12
2
J Jc md 2
zdz co
刚体对某轴的转动惯量 等J于刚体通过 质和心两与轴该间轴距平离行平的方转乘动积惯之量和。与J c刚体质量
例题2、质量为m的匀质细
圆环，半径为R，求通过中
心o并与环面垂直的轴的转
动惯量。
z
解：取一质元dm
o
则
J r2dm R2 dm mR2
m
m