电子自旋--理论物理导论

-1 1/2 -1/2
18
2
d
0
1 2
1/2 -1/2
1/2 -1/2 1/2 -1/2
26
原子中电子的排列规律：
泡利不相容原理：
在一个原子中，不可能有两个或两个以上的电子具有完全相 同的量子态，即原子中的任何两个电子不可能有完全相同的 一组量子数(n,l,ml,ms) 。
能量最小原理：
当原子处于正常状态时，原子中的电子尽可能地占据未被填 充的最低能级，这一结论叫做能量最低原理。可见，能量较 低的壳层首先被电子填充，只有当低能级的壳层被填充满后， 电子才依次向高能级的壳层填充。
16
t 0 : 可区分粒子 1与2
1
2
设初始时刻二粒子波函 数不重叠
t:
1
2
在交叠区，由于粒子 1、 2固有性质相同， 无法区分 无法指明交叠区是哪个 粒子 17
（2）全同粒子体系H 的交换不变性：
仍以两个粒子为例：
2 2 2 2 ˆ H (q1 , q2 ) 1 2 U (q1 ) U (q2 ) V (q1，q2 ) 2 2
由于粒子为全同粒子，粒子位置互换对整个空间的粒子分 布几率密度无影响：
( xx t ) ( x xt)
2
2
19
故波函数必满足以下条件之一：
(1) (2)
( xxt ) ( x xt) ( xxt ) ( xxt)
满足条件（1）的微观粒子称玻色子，其波函数为粒子 的对称函数。 如光子、基态氢原子、粒子等。其自旋 角动量为0或的整数倍。
(11) 5p
(8) 4p (5) 3p
(3) 2p
(6) 4s
(4 ) 3s 2s (2)
1s
(1)
29
30
Energy Levels
3s 3px 3p
y
3pz
E
2s
2px
2p
y
2pz
H
1s
1s1
31
Energy Levels
3s 3px 3p
y
3pz
E
2s
2px
2p
y
2pz
1s
He 1s2
洪特定则：
在等价轨道上排布的电子将尽可能占据不同的轨道，并且自旋 平行。
27
4f 4d
-1
ENERGY (eV) -10
3d 3p 3s
4p
4s
-100
2p 2s
-1000 1s
1
2
3wenku.baidu.com
4
28
多电子原子轨道的 能级顺序,如图所示
(16) 7s (12) 6s (9) 5s
(20) 7p (15) 6p (18) 6d (14) 5d (10) 4d (7) 3d (17) 5f (13) 4f
1 () ()
2

14
§3 全同粒子波函数 泡利原理
15
微观全同粒子的概念 ：全同粒子是指一切内 禀性质（电荷，质量，自旋等等）都相同的粒 子。
（1）全同粒子的不可区分性：
经典粒子任意时刻均有自己的位置、动量、运动 轨迹等，故均可分辨。 量子力学中只能确定t时刻出现在r处的几率，全 同粒子不可区分。
ˆ r, t Er, t H
12
可见：考虑自旋后能量算符的本征方程完全一样， 能量本征值也一样，只是本征函数系发生了变化， 由空间波函数乘上自旋波函数得到。
对于定态，不考虑时间的影响，则氢原子定态波函 数为：
n,l ,m,m (r, , , ) 'n,l ,m (r, , ) m ( )
3s 3px 3p
y
3pz
E
2s
2px
2p
2pz
Si
1s
y
1s22s22p63s23p2
44
Energy Levels
3s 3px 3p
y
3pz
E
2s
2px
2p
2pz
P
1s
y
1s22s22p63s23p3
45
Energy Levels
3s 3px 3p
y
3pz
E
2s
2px
2p
2pz
S
1s
y
1s22s22p63s23p4
35
Energy Levels
3s 3px 3p
y
3pz
E
2s
2px
2p
2pz
C
1s
y
1s22s22p2
36
Energy Levels
3s 3px 3p
y
3pz
E
2s
2px
2p
2pz
N
1s
y
1s22s22p3
37
Energy Levels
3s 3px 3p
y
3pz
E
2s
2px
2p
2pz
O
1s
y
2p
2pz
Na
1s
y
1s22s22p63s1
41
Energy Levels
3s 3px 3p
y
3pz
E
2s
2px
2p
2pz
Mg
1s
y
1s22s22p63s2
42
Energy Levels
3s 3px 3p
y
3pz
E
2s
2px
2p
2pz
Al
1s
y
1s22s22p63s23p1
43
Energy Levels
N n 22l 1 2n2
l 0 n 1
24
原子中电子壳层与量子数之间关系及其排布规律： n – 主量子数，l – 角量子数 ml – 磁量子数， ms – 自旋量子数
n
shell
l
subshell
ml
Total ms number of electrons 1/2 -1/2
电子自旋 全同粒子 原子中电子的能级排列
1
§1 电子的自旋
2
★ 电子自旋问题的提出：
N
S
实验现象
碱金属原子束通过不均匀磁场后分裂 成两束。
3
1921年，史特恩（O.Stern）和盖拉赫(W.Gerlach）发现 一些处于S 态(l =0,即L=0)的银原子射线束，在非均匀磁 4 场中一束分为两束。
(1)电子具有与自旋磁矩对应的自旋角动量S,在空 间任意方向z的投影只有两个值
（2）自旋磁矩Ms与自旋角动量S的关系是：
在Stern-Gerlach实验中，原子束分裂成两束。
(2s 1) 2
1 1 1 s ; ms , 2 2 2
7
根据上述假设，可以说明原子、分子和物质的许 多性质，所以自旋是一个重要的物理量。但上述 假设有人为规定的性质，从理论上阐明自旋，需 要相对论量子力学。
1s22s22p4
38
Energy Levels
3s 3px 3p
y
3pz
E
2s
2px
2p
2pz
F
1s
y
1s22s22p5
39
Energy Levels
3s 3px 3p
y
3pz
E
2s
2px
2p
2pz
Ne
1s
y
1s22s22p6
40
Energy Levels
3s 3px 3p
y
3pz
E
2s
2px
46
Energy Levels
3s 3px 3p
y
3pz
E
2s
2px
2p
2pz
Cl
1s
18
（3）对称波函数和反对称波函数：
设：两全同粒子q、q´在一维坐标下运动，某状态下， 粒子q在x 坐标、q´在x´坐标
波函数为：
( xx t )
粒子出现在空间各点的几率密度： ( xx t ) 将两粒子位置互换，波函数为：
2
( x xt)
2 粒子出现在空间各点的几率密度： ( x xt)
满足条件（2）的微观粒子称费米子，其波函数为粒子 的反对称函数。 如电子、质子、中子等粒子。其自旋角 动量为 2或 2 的奇数倍。
20
泡利原理：
1925年，Pauli（泡利）提出：由费米子组成 的全同粒子体系，不可能有两个或两个以上 的粒子处于同一单粒子态。
例如：同一个原子中的两个电子，其四个量子数 ( n l m ms )不能完全相同
结果分析
碱金属原子束，内层轨道都已填满，
对角动量无贡献， s 轨道的角动量为
0
( M l ( l 1) 0) ，与磁场无作用，原
子束不应该发生分裂。分裂成两束的 现象说明肯定还存在一种内在的角动 量。
5
★ 自旋假设：
1925年，两位荷兰学生乌仑贝克与古兹米特根据史特
恩-盖拉赫实验等许多实验事实，发展了原子的行星模
型，提出电子不仅有轨道运动，还有自旋运动，它具 有固有的自旋角动量S。
对Stern-Gerlach实验的解释： 由于银原子束无轨道磁矩，只存在自旋磁 矩，且只有两种相互作用（两种趋向），所以
分裂为两束。
6
在非相对论量子力学中假设：
e Ms S u
S z ms
1 h 2
ms为自旋磁量子数
度 A (q1 , q2 ) 0 ，所以不允许。
2
正是这个原理，使核和原子等的结构有序。
22
§4 原子中电子的能级排列
23
氢原子：只有一个电子，波函数可精确求解，En只 与n有关. 多电子原子：电子之间相互作用，波函数只能得到 近似解， En与n，l都有关。 每一壳层上容纳的电子数： 对于每一支壳层，对应的量子数n,l，它们的磁量子 数ml=0,±1,±2,…,±l，共有(2l+1)种可能值；对于每 一个ml值又有两种ms值。所以在同一支壳层上可容纳 的电子数为2(2l+1) 对于某一主壳层n，角量子数可取l=0,1,2,…,(n-1)， 共n种可能值，而对于每一l值，可容纳电子数2(2l+1) 种，故在主壳层n上可容纳的电子数为
1
K
0 0
2
L
1
0 0 1 p 0 1
s s
2
1/2 -1/2 1/2 -1/2
8
1/2 -1/2 1/2 -1/2
25
n
shell
l
subshell
ml
0
Total ms number of electrons 1/2 -1/2
0
s
p
1 3 M
-1 1/2 -1/2 0 1/2 -1/2
1 1/2 -1/2 -2 1/2 -1/2
32
Energy Levels
3s 3px 3p
y
3pz
E
2s
2px
2p
y
2pz
Li
1s
1s22s1
33
Energy Levels
3s 3px 3p
y
3pz
E
2s
2px
2p
2pz
Be
1s
y
1s22s2
34
Energy Levels
3s 3px 3p
y
3pz
E
2s
2px
2p
2pz
B
1s
y
1s22s22p1
S z ms
ms称为自旋磁量子数
ms s, s 1, s 2, s 3, , s
对于电子:
光子:
1 ms , 2
m s 1,
1
1 2
10
因为自旋是电子的固有属性，因此，在描述电子状 态的时候，在电子的波函数中应增加自旋变量。
由于与自旋角动量有关的相互作用能量在非相对论 量子力学中不能表述成空间坐标的函数形式，因此 无法写入到哈密顿算符里，也就不能在算符中包含 对自旋态的描写。 这个问题在相对论量子力学的狄拉克方程中可得到 解决，在这里只讨论与自旋有关的相互作用能可以 忽略，但又在波函数中包含自旋变量的情况。
(r, / 2, t ) (r , S z , t ) (r , / 2, t )
11
分离变量得：
(r, S z , t ) (r, t )(S z )
代入本征方程：
ˆ ( r , S , t ) E ( r , S , t ) H z z ˆ (r , t ) ( S ) E ( r , t ) ( S ) H z z ˆ ( r , t ) E ( r , t ) ( S ) ( S z ) H z
21
对玻色子系统，波函数取形式 s (q1 , q2 ) ，当两个 玻色子处于同一个状态时 s (q1, q2 ) s (q2 , q1 ) ，这
时 s (q1, q2 ) 0 ，故几率密度 s (q1 , q2 ) 2 0 ，所以允许。
对于费米子系统，波函数取 A (q1, q2 ) 形式，当两 费米子处于同一个状态时 A (q1, q2 ) 0 ，故使几率密
2 2 2 ˆ H (q2 , q1 ) 2 2 2 1 U (q2 ) U (q1 ) V (q2，q1 )
2
两个粒子 换位后：
ˆ (q , q ) H ˆ (q , q ) H 1 2 2 1
相对论量子力学证明：电子具有“自旋”角动量 纯粹是一种相对论量子力学效应，不对应于电子 的任何空间运动，与所谓的电子自旋毫无关系。 电子具有“自旋”是电子本身固有的属性，就象 质量和电荷一样，自旋又是状态变量，所以波函 数中应增加自旋变量。
8
§2 自旋算符和自旋波函数
9
自旋角动量的z轴方向的分量取值：
s s
完全波函数
空间波函数
自旋波函数
计入自旋后，氢原子波函数要用四个量子数 n,l,m,ms来表征，才能完整描述其电子的状态。能 量算符和能量本征值的表达式都与原来一样，但是
En的简并度由n2变成2n2。
13
自旋波函数有两种形式
1 ms , 2
1 ( ) ( )
2

1 ms , 2