二次函数考查重点与常见题型

二次函数考查重点与常见题型（复习）

1． 考查二次函数的定义、性质，如：

已知以x 为自变量的二次函数2)2(2

2--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是 2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像。

如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12

-+=bx kx y 的图像大致是（ ） y y y y

1 1

0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D

3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式。如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为3

5

=

x ，求这条抛物线的解析式。

4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值。

已知抛物线2

y ax bx c =++（a ≠0）与x 轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y 轴交点的纵坐标是－3

2

（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 【例题经典】

例1 （1）二次函数2y ax bx c =++的图像如图1，则点),(a

c b M 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

（2）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图2所示，•则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

(1) (2)

例2.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于点(-2，O)、(x 1，0)，且1

2)的下方．下列结论：①aO；③4a+cO ，其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D ．4个

例3.已知：关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( )

A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D ．(3，2)

例4、（2006年烟台市）如图（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重合．设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym 2． （1）写出y 与x 的关系式；

（2）当x=2，3.5时，y 分别是多少？ （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，

三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、 对称轴.

例5、已知抛物线y=

12x 2+x-52

． （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．

（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，求线段AB 的长．

例6.已知：二次函数y=ax 2-(b+1)x-3a 的图象经过点P(4，10)，交x 轴于)0,(1x A ，)0,(2x B 两点)(21x x <，交y 轴负半轴于C 点，且满足3AO=OB ．

(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M ，使锐角∠MCO>∠A CO?若存在，请你求出M 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由．

例7、 “已知函数c bx x y ++=

2

2

1的图象经过点A （c ，－2），

求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。

（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，

并画出二次

函数图象；若不能，请说明理由。

（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。

用二次函数解决最值问题

例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．

例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）•与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：

x（元）1

5 2

3

…

y（件）2

5 2

1

…

若日销售量y是销售价x的一次函数．

（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？•此时每日销售利润是多少元？

例3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m，则学生丁的

身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示) ( )

A．1．5 m B．1．625 m C．1．66 m

D．1．67 m

分类试题

二次函数的定义（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式）1、下列函数中，是二次函数的是 .

①y=x 2－4x+1； ②y=2x 2； ③y=2x 2+4x ； ④y=－3x ； ⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2+nx+p ； ⑦y =(4,x) ； ⑧y=－5x 。

2、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。

二次函数的对称轴、顶点、最值

2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )

5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴 6．已知抛物线

y ＝x 2＋(m －1)x －

1

4

的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ . 8．若二次函数y=3x 2+mx －3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。

9．当n ＝______，m ＝______时，函数y ＝(m ＋n)x n ＋(m －n)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.。

函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质

1．把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x 2－3x+5，试求b 、c 的值。

函数y=a(x －h)2的图象与性质

1．已知函数y=2x 2,y=2(x －4)2，和y=2(x+1)2。

（1）分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。

（2）分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线y=2x 2得到抛物线y=2(x －4)2和y=2(x+1)2？

2．二次函数

y=a(x －h)2的图象如图：已知

a=1

2

，OA ＝OC ，试求该抛物线的解析式。 二次函数的增减性

1.二次函数y=3x 2－6x+5，当x>1时，y 随x 的增大而 ；当x<1时，y 随x 的增大而 ；当x=1时，函数有最 值是 。

2.已知函数y=4x 2－mx+5，当x> －2时,y 随x 的增大而增大；当x< －2时，y 随x 的增大而减少；则x ＝1时,y 的值为 。

3.已知二次函数y=－12 x 2

+3x+5

2 的图象上有三点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)且3

为 .

二次函数的平移

6.抛物线y= －3

2 x 2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式为 。

7.抛物线y= 2x 2， ，可以得到y=2(x+4}2－3。

8.将抛物线y=x 2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。

函数的交点

11.抛物线y=x 2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为 。 12.直线y=7x+1与抛物线y=x 2+3x+5的图象有 个交点。