换元法.题库教师版

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小学思维数学：换元法-带答案解析

换元法对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．”三、换元思想解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．【例 1】计算：1111111111(1)()(1)()2424624624++⨯++-+++⨯+ 【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令1111246a +++=，111246b ++=，则：原式11()()66a b a b =-⨯-⨯-1166ab b ab a =--+1()6a b =-11166=⨯= 【答案】16【巩固】 11111111111111(1)()(1)()23423452345234+++⨯+++-++++⨯++ 【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设111234a =++，则原式化简为：1111(1555a a a a +(+)(+)-+)=【答案】15【巩固】计算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令621739458126358947a ++=；739458358947b +=，原式378378207207a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3786213789207126207a b =-⨯=⨯= 【答案】9【巩固】计算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++) 例题精讲教学目标【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++，原式=(0.1x +)y ⨯-(0.1y +)0.1x ⨯=⨯(y x -)0.054321=【答案】0.054321【巩固】计算下面的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【关键词】希望杯，2试【解析】换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，则原式a =⨯(10b +)-(10a +)b ⨯=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=⨯(a b -) 10=⨯(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=⨯=【答案】0.2【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。

换元法专题含答案

的斜率为，是坐标原点．（1）求的方程；（2）设过点的直线与相交于，两点，当
的面积最大时，求直线的方程．
14. 已知椭圆 t
t 的离心率为，左焦点到点区的距离为 t．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，则
内切圆的面积是否存
在最大值?若存在，求出这个最大值及此时直线的方程；若不存在，请说明理由．
t
区． t
在 t区 t 上恒成立，
即：
t
t 在 t区 t 上恒成立，令
，则
log ．
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t
t
t
t
t
在
区t 时恒成立，所以
t
因为 t，所以 t
，所以 t

所以 t
，
t
，
min
，
所以
，
t min
所以
．
5. （1）因为
，
所以 sin sin⸷，
16. 已知椭圆㌱： t
t 的左右焦点和短轴的两个端点构成边长为的正方形．
（1）求椭圆㌱的方程；
（2）过点区t 的直线与椭圆㌱相交于，⸷ 两点，且点
别为，，当
取最大值时，求直线的方程．
区，记直线， ⸷ 的斜率分
第 5页（共 38 页）来自 QQ 群高中数学解题研究会 339444963
（1）求椭圆㌱的方程；（2）设过点的动直线与椭圆㌱相交于，两点，当
程．
的面积最大时，求直线的方
29. 已知函数（1）若函数（2）若

高中换元法专题(有答案)

高中换元法专题(有答案)通过换元法可以把未知问题化为已知问题，把抽象问题化为具体问题，把较复杂的问题化为简单问题. 通过问题化为具体问题，把较复杂的问题化为简单问题. 通过换元可以清楚的认识问题的实质，迅速寻找和选择解决问题的途径的方法. 根据数式的特点常见的换元法有：（1）整体换元；（2）平均数换元法；（3）比值换元法；（4）三角代换法；（5）不等量换元法；（6）根式换元法；（7）倒数换元法；（8）相反数换元法；（9）坐标换元法等等.一、整体换元例1：求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值.练习1. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx ＋cosx)－sinx ·cosx －2a 2的最大值和最小值。

练习2. 设对所于有实数x ，不等式x 2log 241()a a +＋2x log 221a a +＋log 2()a a +1422>0恒成立，求a 的取值范围。

例2.已知01x <<,,a b 为正常数,求221a b y x x=+-的最小值.练习1. 已知a b c >>,求证:114a b b c a c+≥---.练习2. 求函数28(1)1x y x x +=≠-的值域.二、三角换元例3：求函数25x x y -+=的值域.三、平均数换元法例4：已知正数1125,1,:()().4x•y x y x y x y +=++≥满足求证练习3． △ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A ＋C ＝2B ，1cos A ＋1cos C ＝－2cos B ，求cos A C -2的值。

四、比值换元例5：已知sin θx ＝cos θy ，且cos 22θx ＋sin 22θy ＝10322()x y + (②式)，求x y 的值。

练习4.已知x ，y ，z 满足x -1=3221-=+z y ，试问实数x ，y ，z 为何值时，x 2+y 2+z 2达到最小值？五、根式换元例6：求函数y =2x +x 21-的值域.六、巩固性题组：1. 已知f(x 3)＝lgx (x>0)，则f(4)的值为_____。

高中数学换元法(附答案)

二、换元法（课时10）一、知识提要解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等.二、例题讲解例1．（1）已知：x xf lg )12(=+，求)(x f . （2）设实数x 、y 满足0122=-+xy x ，则y x +的取值范围是_________. （3）方程2)22(log )12(log 122=+⋅++x x的解集是______________.解：（1）)1)(1lg(2lg )(>--=x x x f ；（2）设k y x =+，则1044,01222≥⇒≥-=∆=+-k k kx x 或1-≤k ；（3）令)12(log 2+x=t ，可得原方程的解集为}0{.例2．（1）函数223)1(x x x y +-=的值域是_____________. (2)已知：数列}{n a 的11=a ，前n 项和为n S ，241+=+n n a S .求}{n a 的通项公式.解：（1）令θtan =x ，)2,2(ππθ-∈，则θθθθθθsin )tan 1(cos )tan 1(tan tan 23223-=+-=y θθθθθθθθ4sin 412cos cos sin )sin (cos sin cos 22=⋅=-=， ∴]41,41[-∈y . （2）由241+=+n n a S ，知)2(241≥+=-n a S n n ，∴)2)((411≥-=--+n a a S S n n n n ，即)2)((411≥-=-+n a a a n n n∴)2)(2(2211≥-=--+n a a a a n n n n ，令n n n a a b 21-=+，则)2(21≥=-n b b n n∵11=a ，52=a ，∴31=b ，123-⨯=n n b ，即n n n a a 22311+⨯=-+.两边除以12+n 得：432211=-++n n n n a a ，令nn n a c 2=，则有431=-+nn c c ， ∴)13(41-=n c n ，代入nn n a c 2=得： 22)13(-⋅-=n n n a . 例3．实数x 、y 满足4x 2－5xy ＋4y 2＝5 （ ①式），设S ＝x 2＋y 2，求m ax1s ＋m in1s 的值.（93年全国高中数学联赛题）方法1：设⎪⎩⎪⎨⎧==ααsin cos s y s x 代入①式得： 4S －5S ·sin αcos α＝5解得 S ＝α2sin 5810- ；∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴1013≤1085-sin α≤103∴m ax1s ＋m in1s ＝310＋1310＝1610＝85方法2：由S ＝x 2＋y 2，设x 2＝2s ＋t ，y 2＝2s －t ，t ∈[－S 2，S 2]，则224t s xy －±=代入①式得：4S ±5224t s －=5，移项平方整理得 100t 2+39S 2－160S ＋100＝0 .∴ 39S 2－160S ＋100≤0 解得：1013≤S ≤103∴m ax1s ＋m in1s ＝310＋1310＝1610＝85方法3：（和差换元法）设x ＝a ＋b ，y ＝a －b ，代入①式整理得3a 2＋13b 2＝5 ，求得a 2∈[0,53]，所以S ＝(a －b)2＋(a ＋b)2＝2(a 2＋b 2)＝1013＋2013a 2∈[1013,103]，再求m ax1s ＋m in1s 的值.三、同步练习1．x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值是__12＋2___. 2．已知数列}{n a 中，n n n n a a a a a -=⋅-=++111,1a 1＝－1，则数列通项n a ＝_____n1____. 3．已知x 2＋4y 2＝4x ，则x ＋y 的范围是_____]25,25[---______.4．设等差数列}{n a 的公差21=d ，且145100=s ，则99531a a a a ++++ 的值为（C ）A. 85B. 72.5C. 60D. 52.55．已知0,0≥≥b a ，1=+b a ，则a +12＋b +12的范围是__]2,226[+__. 6．函数12++=x x y 的值域是_____),2[+∞-_____.7．已知正四棱锥ABCD S -的侧面与底面所成的角为β，相邻两侧面所成的角为α 求βα2cos cos +的值.解答：08．如图，已知椭圆1925:22=+y x C ，圆∈=+P y x O ,4:22椭圆C 而PA 、PB 是圆O 任意切线，A 、B 为切点.（1）求AB 中点M 的轨迹方程；（2）设AB 所在直线交x 轴于C ，交y 轴与D ，求COD S ∆的最小值.解：（1）)(225)169(162222y x y x +=+；（2）1516)(min=∆COD S .x。

初中数学专题训练换元法解题方法练习及试题解析

专题02 换元法【规律总结】换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果.换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的问题.其理论根据是等量代换.我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量取值范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。

【典例分析】例1、已知方程组{2a −3b =133a +5b =30.9的解是{a =8.3b =1.2，则{2(x −2)−3(y +1)=133(x −2)+5(y +1)=30.9的解是：（）A. {x =8.3y =1.2B. {x =10.3y =2.2C. {x =6.3y =2.2D. {x =10.3y =0.2【答案】D 【解析】【分析】本题考查了换元法和二元一次方程组的解，掌握其解得定义是解题的关键．根据换元法先令x −2=a ，y +1=b ，再根据二元一次方程组的解，得x −2=8.3和y +1=1.2，即可求得x 与y 的值．【解答】解：令x −2=a ，y +1=b ，则方程组{2(x −2)−3(y +1)=133(x −2)+5(y +1)=30.9, 可化为：{2a −3b =133a +5b =30.9，∵方程组{2a −3b =133a +5b =30.9的解为{a =8.3b =1.2，∴{x −2=8.3y +1=1.2, ∴{x =10.3y =0.2．故选：D ．例2、已知(2016+a)(2018+a)=b ，则(2016+a)2+(2018+a)2=_________________(用含b的代数式表示)【答案】4+2b【解析】1.【分析】本题考查了完全平方公式和整体代入法的思想，灵活使用整体代入法是解本题的关键．令2016+a=x，2018+a=y，将原式化为(x−y)2+2xy，即可求解．【解答】解：令2016+a=x，2018+a=y，则(2016+a)(2018+a)=xy=b，(2016+a)2+(2018+a)2=x2+y2=(x−y)2+2xy=(−2)2+2b=4+2b；故答案为4+2b．例3、【阅读材料】若x满足(80−x)(x−60)=30，求(80−x)2+(x−60)2的值．解：设(80−x)=a，(x−60)=b，则(80−x)(x−60)=ab=30，a+b=(80−x)+ (x−60)=20，所以(80−x)2+(x−60)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=202−2×30=340【解决问题】(1)若x满足(2019−x)2+(2017−x)2=4042，求(2019−x)(2017−x)的值；(2)已知a1,a2,a3,...a2015均为负数，M=(a1+a2+...+a2014)(a2+a3+...+a2015)，N=(a1+a2+...+a2015)(a2+a3+...+a2014)，比较M与N的大小关系并说明理由；(3)如图，正方形ABCD的边长为x，AE=1，CG=2，长方形EFGD的面积是5，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，则图中阴影部分的面积为多少？直接写出答案.(结果必须是一个具体的数值)．【答案】解：(1)设(2019−x)=c,(2017−x)=d，则c−d=(2019−x)−(2017−x)=2，(2019−x)(2017−x)=cd，∴(2019−x)2+(2017−x)2=c2+d2=(c−d)2+2cd=4042，即22+2cd=4042解得：cd=2019，即(2019−x)(2017−x)=2019；(2)设x=a1+a2+⋯+a2014，y=a2+a3+⋯+a2015，则M=xy，2，N=(x+a2015)(y−a2015)=xy+a2015(y−x)−a2015M−N=a2015(y−x−a2015)=−a1a2015由于a1,a2,a3,...a2015均为负数所以−a1a2015为负数，则M−N=−a1a2015<0，M<N；(3)由题意得：(x−1)(x−2)=5，设x−1=a，x−2=b，则ab=5，a−b=1，∴(a +b )2=(a −b )2+4ab =21．则阴影部分的面积为21．【解析】本题考查完全平方公式，换元法等知识，解题的关键是学会利用换元法解决问题，熟练掌握完全平方公式．(1)模仿例题，利用换元法解决问题即可．(2)设x =a 1+a 2+⋯+a 2014，y =a 2+a 3+⋯+a 2015，则M =xy ，N =(x +a 2015)(y −a 2015)=xy +a 2015(y −x)−a 20152，M −N =a 2015(y −x −a 2015)=−a 1a 2015由于a 1,a 2,a 3,...a 2015均为负数，所以−a 1a 2015为负数，则M −N =−a 1a 2015<0，最后得M <N ； (3)模仿例题，利用换元法解决问题：由题意得：(x −1)(x −2)=5，设x −1=a ，x −2=b ，则ab =5，a −b =1，得出(a +b )2=(a −b )2+4ab =21．【好题演练】一、选择题1.设a 、b 是实数，且11+a −11+b =1b−a ，则1+b1+a 的值为( )．A. 1±√52B. ±1±√52C. ±3−√52D. 3±√52【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．先设1+a =x ，1+b =y ，则b −a =y −x ，原方程可化为1x −1y =1y−x ，整理得，y 2−3xy +x 2=0，方程两边同除以x 2，解关于yx 的一元二次方程即可．【解答】解：解：设1+a =x ，1+b =y ，则b −a =y −x ，原方程可化为1x −1y =1y−x ，整理得，y 2−3xy +x 2=0，两边同除以x2，得(yx )2−3(yx)+1=0，解得yx =3±√52，即1+b1+a 等于3±√52，故选D．2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，1a+1+1b+3+1c+5=0，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为()．A. 125B. 120C. 100D. 81【答案】C【解析】【分析】本题考查换元法和整体代入法，巧妙利用换元法是解题的关键.首先令a+1=x，b+3=y，c+5=z，分别求出x+y+z和xy+yz+xz，然后所求代数式即为x2+y2+z2，整体代入可求出值．【解答】解：令a+1=x，b+3=y，c+5=z，∵a+b+c=1∴x+y+z=(a+1)+(b+3)+(c+5)=10，又1a+1+1b+3+1c+5=0则1x +1y+1z=0，∴xy+yz+xz=0，∴(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2=x2+y2+z2=(x+y+z)2−2(xy+yz+xz)=102=100．故选C．3.已知(x−2015)2+(x−2017)2=34，则(x−2016)2的值是()A. 4B. 8C. 12D. 16【答案】D【解析】【分析】本题考查了完全平方公式以及换元法．将x−2016设为t，则x−2015=t+1，x−2017=t−1，代入原方程中，可得到关于t 的方程，进而求解。

(755)换元法解一元二次方程专项练习35题(有答案)8页 ok

换元法解一元二次方程专项练习35题（有答案）(1)（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0(2)（2x2﹣3x）2+5（2x2﹣3x）+4=0．(3)已知：（x2+2x﹣1）（x2+2x+2）=4，求x2+2x的值”(4)已知：（x2+y2﹣3）（2x2+2y2﹣4）=24，求x2+y2的值．（5）（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣2=0 （6）2（﹣x）2﹣（x ﹣）﹣1=0．（7）（x﹣1）2+5（1﹣x）﹣6=0 （8）（x+3）2﹣5（x+3）﹣6=0．（9）2（x﹣1）2+5（x﹣l）+2=0．（10）（x+2）2﹣3（x+2）+2=0．（11）（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）=﹣6（12）（2x﹣x2）2﹣2（x2﹣2x）+1=0．（13）（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0．（14）（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3=0（15）已知（a+2b）2﹣2a﹣4b+1=0，求（a+2b）2010的值．（16）（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6=0，（17）已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，求a2+b2的值．（18）（2x+1）2﹣6（2x+1）+5=0（19）（x2+3x﹣4）2+（2x2﹣7x+6）2=（3x2﹣4x+2）2．（20）已知（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣40=0，求x2+y2．（21）（x2+x）（x2+x﹣3）﹣3（x2+x）+8=0．（22）（x+2）2+6（x+2）﹣91=O；（23）（3x﹣2）2+（2﹣3x）=20．（24）（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0．（25）（x2﹣2）2﹣7（x2﹣2）=0．（26）已知（x2+y2）（x2+y2+2）﹣8=0，求x2+y2的值．（27）已知x，y满足方程x4+y4+2x2y2﹣x2﹣y2﹣12=0，求x2+y2的值．（28）（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，（29）（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12=0．（30）（x2+x）2﹣8（x2+x）+12=0． (31)（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，(32)（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3=0(33)（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，（34）x（x+3）（x2+3x+2）=24．（35）已知：（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，求x2+y2的值．换元法解一元二次方程35题参考答案：(1)（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0解：设x2﹣3x=y则原方程可化为y2﹣2y﹣8=0解得：y1=﹣2，y2=4当y=﹣2时，x2﹣3x=﹣2，解得x1=2，x2=1当y=4时，x2﹣3x=4，解得x1=4，x2=﹣1∴原方程的根是x1=2，x2=1，x3=4，x4=﹣1，(2)（2x2﹣3x）2+5（2x2﹣3x）+4=0．解：设2x2﹣3x=y，原方程转化为：y2+5y+4=0（1分），解得：y1=﹣4，y2=﹣1（3分）当y1=﹣4时，2x2﹣3x+4=0，无实数根．（4分）当y2=﹣1时，2x2﹣3x+1=0，解得x1=，x2=1．故原方程根为x1=，x2=1(3)（x2+2x﹣1）（x2+2x+2）=4，求x2+2x的值”，解：设x2+2x=y，则原方程可变为：（y﹣1）（y+2）=4 整理得y2+y﹣2=4即：y2+y﹣6=0解得y1=﹣3，y2=2∴x2+2x的值为﹣3或2(4)已知：（x2+y2﹣3）（2x2+2y2﹣4）=24，求x2+y2的值．解：设x2+y2=m，则原方程可变为：（m﹣3）（2m﹣4）=24∴2（m﹣3）（m﹣2）=24．∴m2﹣5m+6=12．∴m2﹣5m﹣6=0解得m1=6，m2=﹣1∵x2+y2≥0∴x2+y2的值为6（5）（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣2=0解：设y=x2﹣2x原方程可变为：y2+y﹣2=0解方程得y=﹣2或1所以x2﹣2x=﹣2或1．当x2﹣2x=﹣2时，△＜0，没实数根，当x2﹣2x=1时，解得x=1±．∴原方程的根是x1=1+，x2=1﹣（6）2（﹣x）2﹣（x ﹣）﹣1=0．解：2（﹣x）2﹣（x ﹣）﹣1=0，变形得：2（x ﹣）2﹣（x ﹣）﹣1=0，设y=x ﹣，则原方程可化为2y2﹣y﹣1=0，…（2分）因式分解得：（2y+1）（y﹣1）=0，解得：y=﹣或y=1，…（5分）当y=﹣时，x ﹣=﹣，解得：x=0；当y=1时，x ﹣=1，解得：x=，∴x1=，x2=0（7）（x﹣1）2+5（1﹣x）﹣6=0解：设x﹣1=y，则原方程可化为：y2﹣5y﹣6=0，∴y1=﹣1，y2=6，∴x﹣1=﹣1，x﹣1=6∴x1=0，x2=7（8）（x+3）2﹣5（x+3）﹣6=0．解：设y=x+3，则原方程可化为y2﹣5y﹣6=0．解得：y1=6，y2=﹣1．当y1=6时，x+3=6，x1=3；当y2=﹣1时，x+3=﹣1，x2=﹣4．∴x1=3，x2=﹣4（8）2（x﹣1）2+5（x﹣l）+2=0．解：设x﹣l=y，则由原方程，得2y2+5y+2=0，即（y+2）（2y+1）=0，∴y+2=0，或2y+1=0，解得，y=﹣2，或y=﹣；①当y=﹣2时，x﹣1=﹣2，解得，x=﹣1；②当y=﹣时，x﹣1=﹣，解得，x=；综上所述，原方程的解是x1=﹣1，x2=（9）（x+2）2﹣3（x+2）+2=0．解：令x+2=t，原方程可化为t2﹣3t+2=0，（t﹣1）（t﹣2）=0，解得t1=1，t2=2，∴x+2=1或x+2=2，∴x1=﹣1，x2=0（10）（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）=﹣6解：（1）∵3x2﹣5x﹣2=0∴（3x+1）（x﹣2）=0即3x+1=0或x﹣2=0解得x1=2；x2=．（11）设t=2x﹣3，则原方程可化为：t2﹣5t+6=0∴（t﹣2）（t﹣3）=0∴t=2或3，即2x﹣3=2或3解得x1=；x2=3（12）根据题意，令y=x2﹣2x，原方程可化为：y2﹣2y+1=0，解得y=1，即x2﹣2x=1，可用公式法求解，其中a=1，b=﹣2，c=﹣1，∴△=8＞0，∴方程的解为x==，即x1=1﹣，x2=1+（13）（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0．解：设x2﹣1=t．则由原方程，得t2﹣5t+4=0，即（t﹣1）（t﹣4）=0，解得，t=1或t=4；①当t=1时，x2﹣1=1，∴x2=2，∴x=±；②当t=4时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=±．综合①②，原方程的解是：x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣（14）（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3=0解：设x2﹣x=y，所以原方程变化为：y2﹣2y﹣3=0，解得y=﹣1或3，当y=﹣1时，x2﹣x=﹣1，无解；当y=3时，x2﹣x=3，解得，x1=，x2=，∴原方程的解为x1=，x2=（15）已知（a+2b）2﹣2a﹣4b+1=0，求（a+2b）2010的值．解：根据题意，设a+2b=x，代入原方程得：x2﹣2x+1=0，即（x﹣1）2=0∴x=1，即a+2b=1，所以（a+2b）2010=1（16）（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6=0解：根据题意x2﹣x=y，把原方程中的x2﹣x换成y，所以原方程变化为：y2﹣5y+6=0，解得y=2或3，当y=2时，x2﹣x=2，解得：x1=2，x2=﹣1；当y=3时，x2﹣x=3，解得，x3=，x4=，∴原方程的解为x1=2，x2=﹣1，x3=，x4=．（17）已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，求a2+b2的值．解：设a2+b2=y据题意得y2﹣y﹣6=0解得y1=3，y2=﹣2∵a2+b2≥0∴a2+b2=3（18）（2x+1）2﹣6（2x+1）+5=0解：设2x+1=a，原方程可化为a2﹣6a+5=0，解得a=1或5，当a=1时，即2x+1=1，解得x=0；当a=5时，即2x+1=5，解得x=2；∴原方程的解为x1=0，x2=2（19）．解：设u=x2+3x﹣4，v=2x2﹣7x+6，则u+v=3x2﹣4x+2．则原方程变为u2+v2=（u+v）2，即u2+v2=u2+2uv+v2，∴uv=0，∴u=0或v=0，即x2+3x﹣4=0或2x2﹣7x+6=0．解得（20）解：设x2+y2=t（t≥0），则t2﹣3t﹣40=0，所以（t﹣8）（t+5）=0，解得，t=8或t=﹣5（不合题意，舍去），故x2+y2=8（21）解：设x2+x=y，原方程可变形为：y（y﹣3）﹣3y+8=0，y2﹣6y+8=0，（y﹣4）（y﹣2）=0，解得：y1=4，y2=2，当y1=4时，x2+x=4，解得：x1=，x2=．当y2=2时，x2+x=2，解得：x3=1，x4=﹣2（22）（x+2）2+6（x+2）﹣91=O；设x+2=y，则原方程可变形为：y2+6y﹣91=0，解得：y1=7，y2=﹣13，当y1=7时，x+2=7，x1=5，当y2=﹣13时，x+2=﹣13，x2=﹣15；（23）设3x﹣2=t，则t2﹣t﹣20=0，∴（t+4）（t﹣5）=0，∴t+4=0或t﹣5=0，解得 t=﹣4或t=5．当t=﹣4时，3x﹣2=﹣4，解得 x=﹣；当t=5时，3x﹣2=5，解得 x=，综上所述，原方程的解为：x=﹣或 x=．（24）解：（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0，分解因式得：（x2﹣3x﹣4）（x2﹣3x+2）=0，即（x﹣4）（x+1）（x﹣1）（x﹣2）=0，可得x﹣4=0或x+1=0或x﹣1=0或x﹣2=0，解得：x1=4，x2=﹣1，x3=1，x4=2（25）解：根据题意，把y=x2﹣2代入方程（x2﹣2）2﹣7（x2﹣2）=0得：y2﹣7y=0，解得y1=0，y2=7，当y1=0时，即x2﹣2=0，解得：x1=﹣，x2=，当y2=7时，即x2﹣2=7，解得：x3=﹣3，x4=3，∴原方程的解为：x1=﹣，x2=，x3=﹣3，x4=3（26）已知（x2+y2）（x2+y2+2）﹣8=0，求x2+y2的值．解：设x2+y2=t，则原方程变形为t（t+2）﹣8=0，整理得t2+2t﹣8=0，∴（t+4）（t﹣2）=0，∴t1=﹣4，t2=2，当t=﹣4时，则x2+y2=﹣4，无意义舍去，当t=2时，则x2+y2=2．所以x2+y2的值为2（27）已知x，y满足方程x4+y4+2x2y2﹣x2﹣y2﹣12=0，求x2+y2的值．解：∵x4+y4+2x2y2﹣x2﹣y2﹣12=0，∴（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，即（x2+y2+3）（x2+y2﹣4）=0，∴x2+y2=﹣3，或x2+y2=4，∵x2+y2≥0，∴x2+y2=4(28)解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，设x2﹣1=y原方程可化为y2﹣5y+4=0，解此方程得y1=1，y2=4．当y=1时，x2﹣1=1，∴x=±；当y=4时，x2﹣1=4，∴x=±，∴原方程的解为x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣．（29）解方程：（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12=0．设x2﹣x=A，由题意，得A2﹣8A+12=0，解得：A1=6，A2=2．当A=6时，x2﹣x=6，解得：x1=3，x2=﹣2；当A=2时，x2﹣x=2，解得：x3=2，x4=﹣1．∴原方程的解为：x1=6，x2=﹣2，x3=2，x4=﹣1 （30）解方程：（x2+x）2﹣8（x2+x）+12=0．解：设y=x2+x，方程化为y2﹣8y+12=0，即（y﹣2）（y ﹣6）=0，解得y=2或y=6，即x2+x=2或x2+x=6，分解因式得：（x+2）（x﹣1）=0或（x﹣2）（x+3）=0，解得：x1=﹣2，x2=1，x3=2，x4=﹣3（31）解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，解;设x2﹣1=y，即（x2﹣1）2=y2，原方程可化为y2﹣5y+4=0，又化为（y﹣1）（y﹣4）=0解得y1=1，y2=4．当y=1即x2﹣1=1时，x2=2，x=±；x1=，x2=﹣当y=4即x2﹣1=4时，x2=5，x=±；x3=，x4=﹣(32)解方程（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3=0解：设x2﹣2x=y，即（x2﹣2x）2=y2，原方程可化为y2﹣2y﹣3=0，解得y1=3，y2=﹣1，当y1=3时，x2﹣2x=3，解得x1=3，x2=﹣1；当y2=﹣1时，x2﹣2x=﹣1，解得x3=x4=1；∴原方程的解为x1=3，x2=﹣1；x3=x4=1（33）解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，解：设x2﹣1=y，则原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y1=1时，x2﹣1=1，∴；当y2=4时，x2﹣1=4，∴．因此原方程的解为：．（34）设x2+3x=y．∵x（x+3）（x2+3x+2）=24，∴（x2+3x）（x2+3x+2）=24，∴y（y+2）=24，即（y﹣4）（y+6）=0，解得，y=4或y=﹣6；①当y=4时，x2+3x=4，即（x﹣1）（x+4）=0，解得，x1=﹣4，x2=1；②当y=﹣6时，x2+3x=﹣6，即x2+3x+6=0，∵△=9﹣24=﹣15＜0，∴该方程无解；综上所述，原方程的根是：x1=﹣4，x2=1 （35）解：（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，设x2+y2=a，则有a2﹣a﹣12=0，因式分解得：（a﹣4）（a+3）=0，解得：a1=4，a2=﹣3，∵x2+y2＞0，即a＞0，∴a=﹣3不合题意，舍去，则x2+y2=a=4。

初中数学换元法练习

（1）求，两个品种去年平均亩产量分别是多少千克?
（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计，两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加和．由于品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨，而品种的售价保持不变，，两个品种全部售出后总收入将增加，求的值．
25.阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为 ①，解得，．
当时，，，；
当时，，，；
原方程的解是，，，．
解答问题：（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中利用了换元法达到了的目的；
（2）利用材料中的方法解方程：．
答案
第一部分
1. B
2. C
因为不小于，
所以．
13. 或
【解析】，
将两边同除以得：，
令，则，
因式分解得：，
解得或，
即的值是或．
14.
【解析】设，则方程可变形为：，
方程两边同乘，整理得．
故答案为：．
15.无解
【解析】设，，则．
原方程化为．
又，
，
，解得．
经检验，是增根．故原方程无解．
7.用换元法解方程时，如果设，则原方程可化为
A. B. C. D.
8.我们知道方程组：的解是则方程组的解是
A. B. C. D.
9.为求的值，可令，则，因此．仿照以上推理，计算出的值为
A. B. C. D.
10.在求的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的倍，于是她设：然后在式的两边都乘以，得：得，即，所以得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“ ”换成字母“ ”（且）能否求出的值?你的答案是

换元法习题训练

换元法习题训练Ⅰ、再现性题组：1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。

2.设f(x2＋1)＝loga(4－x4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。

3.已知数列{an }中，a1＝－1，an+1·an＝an+1－an，则数列通项an＝___________。

4.设实数x、y满足x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。

5.方程1313++-xx＝3的解是_______________。

6.不等式log2(2x－1) ·log2(2x+1－2)〈2的解集是_______________。

Ⅱ、示范性题组：例1. 实数x、y满足4x2－5xy＋4y2＝5 （①式），设S＝x2＋y2，求1Sm ax＋1Sm in的值。

例2．△ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，1cos A＋1cos C＝－2cos B，求cosA C-2的值。

（96年全国理）例3. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a2的最大值和最小值。

例4. 设对所于有实数x，不等式x2log241()aa+＋2x log221aa+＋log2()aa+1422>0恒成立，求a的取值范围。

（87年全国理）例5. 已知sinθx＝cosθy，且cos22θx＋sin22θy＝10322()x y+(②式)，求xy的值。

例6. 实数x、y满足()x-192＋()y+1162＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围。

Ⅲ、巩固性题组：1.已知f(x3)＝lgx (x>0)，则f(4)的值为_____。

A. 2lg2B. 13lg2 C. 23lg2 D. 23lg42.函数y＝(x＋1)4＋2的单调增区间是______。

A. [-2,+∞)B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞)C. (-∞,-1]3.设等差数列{an }的公差d＝12，且S100＝145，则a1＋a3＋a5＋……＋a99的值为_____。

换元法解方程组练习题

换元法解方程组练习题随着数学领域的不断发展，解方程组的方法也在不断地丰富和完善。

本文将介绍一种常见的解方程组方法——换元法，并通过一些练习题来巩固学习。

换元法是解决方程组的一种常见方法，它的基本思想是通过引入新的变量，将原方程组转化为一个更加简单的形式，从而得到方程的解。

下面我们通过一些具体的例子来详细介绍换元法的应用。

例1：解方程组{x + y = 5,x - y = 1}解：我们可以通过换元法将这个方程组转化为一个较为简单的形式。

首先，我们设新的变量u = x + y,v = x - y.则原方程组可以表示为：{u = 5,v = 1}从中可以看出，这两个新变量的值已经确定了，即u = 5，v = 1.接着，我们可以进一步通过反演找到原变量x和y的值。

由u = x + y和v = x - y可得：2x = (u + v)2y = (u - v)解得：x = (u + v) / 2 = (5 + 1) / 2 = 3y = (u - v) / 2 = (5 - 1) / 2 = 2因此，原方程组的解为{x = 3, y = 2}.通过这个例子，我们可以看到换元法的具体应用过程。

下面，我们继续通过练习题来巩固这个方法。

练习题1：{2x - 3y = 4,3x + 5y = 1}解：我们可以设新的变量：u = 2x - 3y,v = 3x + 5y.则原方程组可以表示为：{u = 4,v = 1}进一步解得：x = (u + 3v) / 17 = (4 + 3) / 17 = 7/17y = (-2u + v) / 17 = (-2*4 + 1) / 17 = -7/17因此，原方程组的解为{x = 7/17, y = -7/17}.练习题2：{x + y = 7,x^2 + y^2 = 25}解：我们可以设新的变量：u = x + y,v = xy.则原方程组可以表示为：{u = 7,u^2 - 2v = 25}通过代入和化简，可解得：v = (u^2 - 25) / 2 = (49 - 25) / 2 = 12由v = xy，可以得到一个关于x和y的方程：xy = 12接下来，我们通过求解xy = 12和x + y = 7的一元二次方程，可以得到x和y的值。

换元法解方程练习题

换元法解方程练习题近年来，数学领域中的换元法成为了解方程的常用方法之一。

换元法通过引入新的自变量来转化原方程，从而使得求解过程更加简单和直观。

本文将通过一些练习题，帮助读者巩固和加深对换元法解方程的理解。

1. 例题一解方程：4x^2 + 8x + 3 = 0解答过程：首先，我们观察方程中的二次项，发现系数4是一个平方数，即可尝试进行换元。

令u = 2x + 1，划线可发现u与x之间有如下关系：2x + 1 = u。

将这个关系带入原方程，得到：4(u - 1)^2 - 4(u - 1) + 3 = 0接下来，将上式化简并求解u：4u^2 - 12u + 7 = 0这是一个关于u的一元二次方程，可通过因式分解或配方法解得u 的值：(2u - 1)(2u - 7) = 0所以，u = 1/2 或 u = 7/2。

最后，将u与x的关系式2x + 1 = u带入，得到两组解：当u = 1/2时，2x + 1 = 1/2，解得x = -1/4；当u = 7/2时，2x + 1 = 7/2，解得x = 3/4。

因此，原方程的解为x = -1/4或x = 3/4。

2. 例题二解方程：8x^3 + 9x^2 - 18x - 2 = 0解答过程：观察方程中的三次项系数8，我们发现它并不是一个立方数。

此时，我们可以选择尝试换元，令u = 2x，划线后可得到u与x的关系式：2x = u。

将这个关系式代入原方程，并将方程整理：8(u/2)^3 + 9(u/2)^2 - 18(u/2) - 2 = 0简化得：u^3 + 9u^2 - 36u - 16 = 0化简后，我们可以通过合适的数值逼近或图像分析法来找到近似解。

假设u = 2是一个解，将u = 2带入方程中，得到：2^3 + 9(2)^2 - 36(2) - 16 = 0简化后等于0，所以u = 2是方程的解。

接下来，使用带余除法或多项式因式分解的方法，将方程除以(u - 2)，求得余式。

用换元法解一次方程组习题及答案

１解方程组576233x y x y +=⎧⎨+=⎩， ①． ②2 解方程组521623+126x y x y z x y z +=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩， ①， ②． ③3 解方程组24+393251156713x y z x y z x y z +=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩， ①， ②． ③4. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---=+-+)2.(1213343)1(,04231y x y x5. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=--+=-++.1106,3106y x y x y x y x6. 解方程组7. 解方程组⎩⎨⎧=-=+)2.(97177)1(,1232y x y x8.⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+-=+②)(316①)(236y x y x y x y x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=-+-152223*********yx y x yx y x1. 解：由①令5373x k y k =+=-，，所以3537k x k y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ③． ④ 把③、④代入②，解得18k =-．⑤ 把⑤代入③、④，得原方程组的解为33x y =-⎧⎨=⎩，．2. 解：由①令5828x k y k =+=-，．所以8582k x k y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ④． ⑤ 把④、⑤代入②、③，整理，得1110323104k z k z +=⎧⎨-=-⎩，．解得21k z =⎧⎨=⎩，．把k =2分别代入④、⑤，得23x y =⎧⎨=⎩，．所以原方程组的解为231x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，．3. 解：根据①令：12122=3+4333x k y k z k k ⎧⎪=+⎨⎪=--⎩，，．所以1212323433k x k y k k z +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪--⎪=⎪⎩，，．把④、⑤、⑥代入②、③，整理得121213182318k k k k +=-⎧⎨-=⎩，．解得1251k k =-⎧⎨=-⎩， ⑦． ⑧把⑦、⑧代入④、⑤、⑥，得原方程组的解为1123x y z =-⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，，．4. 解：由①，得4231+=+y x . 设k y x =+=+4231，则13-=k x ，24-=k y ，代入②，得12133244313=-----k k .∴1=k .∴213=-=x ，224=-=y .∴原方程组的解是⎩⎨⎧==.2,2y x 5. 解：设m y x =+6，n yx =-10.原方程组可化为⎩⎨⎧=-=+.1,3n m n m 解得⎩⎨⎧==.2,1n m ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=+.210,16y x yx 即⎩⎨⎧-=-=+.20,6y x y x 解得⎩⎨⎧-==.7,13y x∴原方程组的解为⎩⎨⎧-==.7,13y x6. 解：设， . 原方程组可化为解得 ∴ ，解得7. 解：由①可设t x 662+=，t y 663-=，即t x 33+=，t y 22-=，代入②，得.97)22(17)33(7=--+t t∴2=t .∴,9233=⨯+=x .2222-=⨯-=y ∴原方程组的解为⎩⎨⎧-==.2,9y x说明：本题若按常规设法，可设t x +=62，t y -=63，此时23t x +=，32ty -=﹒由于出现了分数，给运算带来麻烦，因此设t x 662+=，t y 663-=，此时t x 33+=，t y 22-=，没有出现分类，使运算变得简捷.8.解：令a=(x+y);b=(x-y),则原方程组变为：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=④316③236a b a a由③式可得： a=12把a=12代入④得：b=6-4=2将a=12,b=2反代回a=x+y;b=x-y 得方程组⎩⎨⎧=+=-⑥2⑤12y x y x解得：x=7,y=5y x b 521-=⎩⎨⎧=-=+1251034b a b a ⎩⎨⎧==21b a ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-2152123y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧==.221,114y x y x a 231-=。

高考数学大一轮复习多题一法专项训练(二)换元法理苏教版

多题一法专项训练(二) 换元法方法概述适用题型换元法又称辅助元素法、变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化. 换元的常见方法有：局部换元、三角换元、均值换元等，在高考中换元法常适用以下几种类型：(1)复合二次函数的最值问题(局部换元) (2)分式型函数利用均值不等式求最值问题(局部换元)(3)解析几何中涉及最值问题(局部换元) (4)求函数的值域问题(三角换元)一、填空题1．已知f (x 3)＝lg x (x >0)，则f (4)的值为________．解析：令t ＝x 3，(t >0)，则x ＝3t .∴f (t )＝lg 3t ＝13lg t .∴f (4)＝13lg 4＝23lg 2.答案：23lg 22．已知函数f (x )＝1x －1＋2x (x >1)，则f (x )的最小值为________．解析：f (x )＝1x －1＋2(x －1)＋2，令x －1＝t ，则f (t )＝1t＋2t ＋2，(t >0)，∴f (t )≥21t×2t ＋2＝2＋2 2.当且仅当1t＝2t 时等号成立，故f (x )的最小值为2＋22，当且仅当1x －1＝2(x －1)，即x ＝22＋1时等号成立．答案：2＋2 23．已知sin x ＋sin y ＝23，则23＋sin y －cos 2x 的取值范围是________．解析：23＋sin y －cos 2x ＝43－sin x －cos 2x ＝(sin x －12)2＋112.又sin y ＝23－sin x ，∴－1≤23－sin x ≤1，解得－13≤sin x ≤1，∴112≤(sin x －12)2＋112≤79.即所求取值范围为[112，79]．答案：[112，79]4．函数y ＝sin x ·cos x ＋sin x ＋cos x 的最大值为________．解析：令t ＝sin x ＋cos x ，t ∈[－2，2]，则y ＝12t 2＋t －12＝12(t ＋1)2－1，t ＝2时，y max ＝12＋ 2.答案：12＋ 25．已知函数f (x )＝4x －2xt ＋t ＋1在区间(0，＋∞)上的图像恒在x 轴上方，则实数t 的取值范围是__________．解析：令m ＝2x(m >1)，则问题转化为函数f (m )＝m 2－mt ＋t ＋1在区间(1，＋∞)上的图像恒在x 轴的上方，即Δ＝t 2－4(t ＋1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，t2<1，1－t ＋1＋t >0，解得t <2＋2 2.即实数t 的取值范围是(－∞，2＋22)．答案：(－∞，2＋22)6．已知f (x )＝2sin x cos 2x1＋sin x，则f (x )的最大值为________．解析：f (x )＝2sin x cos 2x 1＋sin x ＝2sin x 1－sin 2x 1＋sin x＝2sin x (1－sin x )＝－2sin 2x ＋2sinx ＝－2(sin x －12)2＋12.因为sin x ∈[－1,1]，所以当sin x ＝12时，f (x )取得最大值是12.答案：127．设f (x 2＋1)＝log a (4－x 4)(a >1)，则f (x )的值域是________．解析：设x 2＋1＝t (t ≥1)，∴f (t )＝log a [－(t －1)2＋4]． ∴值域为(－∞，log a 4]．答案：(－∞，log a 4]8．已知数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1·a n ＝a n ＋1－a n ，则数列的通项公式a n ＝________. 解析：由已知变形为1a n ＋1－1a n＝－1，令b n ＝1a n.∴{b n }是以－1为首项，－1为公差的等差数列．则b 1＝－1，b n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n . ∴a n ＝－1n.答案：－1n9．已知不等式x >ax ＋32的解集是(4，b )，则a ＝________，b ＝________.解析：令x ＝t ，则t >at 2＋32，即at 2－t ＋32<0.其解集为(2，b )，故⎩⎪⎨⎪⎧2＋b ＝1a ，2·b ＝32a.解得a ＝18，b ＝36.答案：18 36二、解答题10．求函数y ＝3x ＋2－42－x 的值域．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，2－x ≥0，解得－2≤x ≤2，所以函数的定义域为[－2,2]．因为(x ＋2)2＋(2－x )2＝4，故可设⎩⎨⎧x ＋2＝2sin θ，2－x ＝2cos θ，(θ∈[0，π2])则y ＝3×2sin θ－4×2cos θ＝6sin θ－8cos θ＝10sin (θ－φ)(其中φ∈(0，π2)，cos φ＝35，sin φ＝45)．因为θ∈0，π2，所以θ－φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－φ，π2－φ.所以当θ＝0时，函数取得最小值10sin(－φ)＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－8；当θ＝π2时，函数取得最大值10sin(π2－φ)＝10cos φ＝10×35＝6.综上，函数的值域为[－8,6]．11．已知函数y ＝－sin 2x ＋a sin x －a 4＋12的最大值为2，求a 的值．解：令t ＝sin x ，问题就转化为二次函数在区间上的最值问题．令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，所以y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋14(a 2－a ＋2)，对称轴为t ＝a 2.(1)当－1≤a2≤1，即－2≤a ≤2时，y max ＝14(a 2－a ＋2)＝2，得a ＝－2或a ＝3(舍去)．(2)当a2>1，即a >2时，函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋14(a 2－a ＋2)在[－1,1]上单调递增，所以由y max ＝－1＋a －14a ＋12＝2，得a ＝103.(3)当a 2<－1，即a <－2时，函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋14·(a 2－a ＋2)在[－1,1]上单调递减，所以由y max ＝－1－a －14a ＋12＝2，得a ＝－2(舍去)．综上，可得a ＝－2或a ＝103.12．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足：A ＋C ＝2B ，1cos A ＋1cos C ＝－2cos B，求cosA －C2的值．解：由已知A ＋C ＝2B ，可得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋C ＝120°，B ＝60°，由A ＋C ＝120°，设⎩⎪⎨⎪⎧A ＝60°＋α，C ＝60°－α，代入已知等式得：1cos A ＋1cos C ＝1cos 60°＋α＋1cos60°－α＝112cos α－32sin α＋112cos α＋32sin α＝cos α14cos 2α－34sin 2α＝cos αcos 2α－34＝－22，解得：cos α＝22，即：cos A －C 2＝22.。

一年级数学换元法练习题

一年级数学换元法练习题换元法是数学中常用的一种方法，它可以在求解复杂问题时简化计算过程。

对于一年级学生来说，学习换元法可以培养其逻辑思维和数学运算能力。

本文将为一年级学生提供一些数学换元法练习题，帮助他们巩固和应用所学知识。

1. 将下列算式中的“x”替换为适当的数值，使等式成立：a) 5 + x = 8b) x - 3 = 7c) 2 * x = 10d) x ÷ 4 = 2解析：a) 解答：x = 3b) 解答：x = 10c) 解答：x = 5d) 解答：x = 82. 按照规律，写出下列算式中“x”的取值范围：a) x + 5 = 10b) x - 3 = 2c) 3 * x = 15d) x ÷ 6 = 2解析：a) 解答：x ∈ [5, 10]b) 解答：x ∈ [5, ∞)c) 解答：x ∈ [5, ∞)d) 解答：x ∈ (10, ∞)3. 将下列算式写成等效的换元形式并解答：a) 5 + x = 3 + 2b) 6 * x = 24解析：a) 解答：x = 0b) 解答：x = 44. 根据换元法，求解下列算式：a) 2 * (x + 3) = 10b) 3 * (2x - 1) = 15解析：a) 解答：x = 2b) 解答：x = 45. 按照换元法的思路，解答下列问题：a) 小明有x个苹果，他分给了2个朋友，每人得到3个苹果，剩下多少个苹果？b) 小红买了x本书和5本笔记本，一共花了15元，如果每本书是2元，每本笔记本是1元，x的取值范围是多少？解析：a) 解答：剩下的苹果数为x - 2 * 3 = x - 6b) 解答：2x + 5 = 15，解方程可得x的取值范围为[5, 10]通过以上练习题的训练，相信一年级的学生们已经对数学换元法有了更深入的理解。

继续努力学习，运用所学知识解决实际问题，将会为以后的学习打下坚实的基础。

专题3-2 换元法讲-2018年高考数学文二轮复习讲练测含

换元法又称辅助元素法、变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.纵观近几年高考对于转化与化归思想的的考查，换元法是转化与化归思想中考查的重点和热点之一.换元法是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，使问题得到简化，变得容易处理.换元法的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是通过换元变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.主要考查运用换元法处理以函数、三角、不等式、数列、解析几何为背景的最值、值域或范围问题，通过换元法把不熟悉、不规范、复杂的典型问题转化为熟悉、规范、简单的典型问题，起到化隐形为显性、化繁为简、化难为易的作用，以优化解题过程.要用好换元法要求学生有较强转化与化归意识、严谨治学态度和准确的计算能力.从实际教学来看，换元法是学生掌握最为模糊，知道方法但不会灵活运用的方法.分析原因，除了换元法比较灵活外，主要是学生没有真正掌握换元法的类型和运用其解题的题型与解题规律，以至于遇到需要换元的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现换元法的类型与相关题型作以总结和方法的探讨.换元的常见方法有：局部换元、三角换元等，在高考中换元法常适用以下几种类型： 1、局部换元局部换元是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现.1.1对于形如c x bf x f a y ++=)()]([2的值域（最值）问题，令t x f =)(，化为一元二次函数在某个区间上的值域（最值）问题处理.例1．【2018届湖南省岳阳县第一中学高三上学期第一次月考】设函数，是定义域为R 上的奇函数．（1）求的值；（2）已知，函数，，求的值域；（3）若，试问是否存在正整数，使得对恒成立？若存在，请求出所有的正整数；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）【解析】试题分析：∴的值域．（3）=，，假设存在满足条件的正整数，则，①当时，．②当时，，则，令，则，易证在上是增函数，∴．③当时，，则，令，则，易证在上是减函数，∴．综上所述，，∵是正整数，∴=3或4．∴存在正整数=3或4，使得对恒成立．1.2、分式型函数利用均值不等式求最值问题(局部换元)；例2．【2018届上海市长宁、嘉定区高三一模】已知函数()22xxf x -=+．（1）求证：函数()f x 是偶函数；（2）设a R ∈，求关于x 的函数()22222xx y af x -=+-在[)0,x ∈+∞时的值域()g a 的表达式；（3）若关于x 的不等式()21xmf x m -≤+-在()0,x ∈+∞时恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）()[))224,,2,{2,, 2.a a g a a a -+∞≤=⎡--+∞>⎣（3）1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．()222222y t at t a a =--=---图像的对称轴为直线t a =，当2a ≤时，函数222y t at =--在[)2,t ∈+∞时是增函数，值域为[)24,a -+∞；当2a >时，函数222y t at =--在[]2,t a ∈时是减函数，在[),t a ∈+∞时是增函数，值域为)22,a ⎡--+∞⎣．1.3、常数换元例3.【2018届江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校高三联考】已知tan 34πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则2sin cos 3cos θθθ-的值为__________．【答案】2-【解析】由题意得1tan tan 341tan πθθθ+⎛⎫+==⎪-⎝⎭，解得1tan 2θ=．∴22222213sin cos 3cos tan 32sin cos 3cos 21sin cos tan 1()12θθθθθθθθθθ----====-+++．答案： 2-.1.4.复合函数中的换元例4.已知函数()log a f x x =，()2log (22)a g x x t =+-，其中0a >且1a ≠，t R ∈．（I ）若4t =，且1[,2]4x ∈时，()()()F x g x f x =-的最小值是－2,求实数a 的值；（II ）若01a <<，且1[,2]4x ∈时，有()()f x g x ≥恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（I ）15；（II ）[2,)+∞. 【解析】又∵01a <<，1[,2]4x ∈22x t ≤+-，………………8分22t x ≥-∴恒成立，………………9分∴max (22)t x ≥-.………………10分令2117122)([,2])484y x x =-+=-+∈，∴max 2y =.………………11分故实数t 的取值范围为[2,)+∞.…………………12分 1.5.局部换元法与不等式局部换元法在解关于某个函数的不等式和复杂的不等式证明中，经常用到，通过换元将复杂的不等式问题转化为简单不等式、超越不等式化为一般不等式，将不熟悉的不等式问题转化为熟悉的不等式问题,如在解可化为形式为2[()]()0A f x Bf x C ++<不等式时，常令()f x t =，将复杂不等式化为一元二次不等式20At Bt C ++<，解出t 的范围，再解不等式关于()f x 的简单不等式.例5.【2018届甘肃省西北师范大学附属中学】在等腰梯形中，，其中，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意都有不等式()2128e e t +<恒成立，则的最大值为（） A.74 B. 38 C. 58 D. 54【答案】C例6.【2018届福建省南平市高三上学期第一次综合质量检查（2月）】已知实数,x y 满足20{250 1x y x y y -≥+-≤≥，求()2x y u xy+=的取值范围__________．【答案】164,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦1.6 局部换元法与数列在已知数列递推公式求出通项公式中，常用到构造等比或等差数列法，其实质就是换元法，证明与数列有关的不等式，其实质就是求数列的最值，也常用到换元法.例7.已知在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足)21(2-=n n n S a S 。

初二数学换元法练习题

初二数学换元法练习题换元法是数学中常用的求解复杂问题的方法之一，特别适用于代数和函数的求解。

本篇文章将提供一些初二数学的换元法练习题，帮助读者巩固和应用这一方法。

1. 题目一已知函数y=y^2+y+2，求函数y=2y^2+2y+4的值。

解析：对于第一个函数y=y^2+y+2，可以将y^2+y+2看作是一个整体，用一个新的变量代替。

设y=y^2+y+2，那么第一个函数可以表示为y=y。

将新的变量y代入第二个函数y=2y^2+2y+4，得到y=2y+2。

这个表达式中的y与原来的y有关系，因此我们需要把找到这个关系。

第一个函数中令y=y^2+y+2，将等式两边展开得到y=y^2+y+2。

我们可以发现y=y=y^2+y+2。

将这个关系代入第二个函数，我们得到y=2(y)+2。

解这个方程可以得到y=-2。

因此，函数y=2y^2+2y+4 在给定条件下的值为 -2。

2. 题目二已知函数y=3y^2+2y-1，求函数y=y^2+1的值的范围。

解析：我们需要找到一个变量来代替第一个函数中的复杂部分。

设变量y=y^2+1。

将新的变量代入第一个函数中得到y=3y+y-2。

我们可以将这个方程整理为标准形式，即y-3y+2=0。

现在我们的目标是找到变量y和y之间的关系。

将第一个函数中的y=y^2+1 代入y=3y+y-2，我们得到y^2+1=3y+y-2。

整理这个方程可以得到y^2-2y+3y-3=0。

我们可以继续整理这个方程，得到y^2-2y+(3y-3)=0。

这是一个一元二次方程，我们可以通过判别式来求解。

判别式12-12(3y-3)=0，即 36-36y+36=0。

简化这个方程可以得到 36y=72，从而得到y=2。

因此，函数y=y^2+1在给定条件下的值的范围是y=2。

通过以上两个例题，我们可以看到换元法在解决数学问题时的实际应用。

当我们遇到复杂的函数或方程时，可以通过引入新的变量来简化问题，找到变量之间的关系。

《解析式求法—换元法(教师版)》【高中数学人教版同步测试】

解析式求法—换元法第一组1. 已知f(3x +2)=9x 2+3x −1，则f(x)的解析式为( )A. f(x)=3x 2−x −1B. f(x)=x 2+3x +2C. f(x)=x 2−3x +1D. f(x)=2x 2+2x +1【答案】C【解析】本题考查了函数解析式的求法：换元法，注意函数解析式与自变量的符号无关，属于基础题．设t =3x +2求出x =t−23，代入解析式化简后即可求出f(x)的解析式．【解答】解：设t =3x +2，则x =t−23，代入解析式得， ∴f(t)=9(t−23)2+3·t−23−1=t 2−3t +1，∴f(x)=x 2−3x +1，故选C ．2. 已知f(1x )=x 1−x ，则f(x)的解析式为( )A. f(x)=1−x x(x ≠0，且x ≠1) B. f(x)=11−x (x ≠0，且x ≠1) C. f(x)=1x−1(x ≠0，且x ≠1) D. f(x)=x x−1(x ≠0，且x ≠1)【答案】C 【解析】解：设1x =t ，(t ≠0)，则x =1t ， ∴f(t)=1t 1−1t =1t−1； ∴f (x)的解析式为f(x)=1x−1，(x ≠0且x ≠−1)；故选：C用换元法，设1x =t ，则x =1t ，求出f(t)，即得f (x)的解析式本题考查了用换元法求函数的解析式的问题，是基础题3.已知f(2x x+1)=x 2−1，则f(12)=( ) A. −34B. −89C. 8D. −8【答案】B【解析】本题考查函数的值的求法，函数的解析式的应用，是基础题．直接利用函数的解析式求解函数值即可．【解答】解：因为f(2x x+1)=x 2−1，令2x x+1=t ，则x =t 2−t ，所以f(t)=(t 2−t )2−1，得f(12)=−89．故选B ．第二组1.已知函数f(x)对任意实数x 满足f(2x −1)=2x 2，若f(m)=2，则m =( )A. 1B. 0C. 1或−3D. 3或−1【答案】C【解析】本题考查函数的概念与解析式的求解，属于基础题.【解答】解：令2x −1=t 可得x =12(t +1)，故f(t)=2×14×(t +1)2=12(t +1)2，故f(m)=12(m +1)2=2，故m =1或m =−3．故选C ．2.已知f(1−x)=x 2−2x ，则f(x)= ______ ．【答案】x 2−1【解析】解：由题f(1−x)=x 2−2x =(x −1)2−1∴f(x)=x 2−1故答案为x 2−1由题意可用配方法得到f(1−x)=x 2−2x =(x −1)2−1，再换元求出f(x)=x 2−1得到答案本题考查函数解析式的求法，换元法求解析式是一种重要的方法，其特征是配方--换元得到所求的解析式3. 已知22111(),x x f x x x++=+求()f x ．【解析】（换元法）设1,x t x +=则11x t =-则22211111()()1x x f t f x x x x x ++==+=++ 2221111(1)(1)111()11t t t t t t =++=+-+-=-+--，∴2()1f x x x =-+．。

九年级数学上册第二十一章解-换元法同步练习(新版)新人教版

——————————新学期新成绩新目标新方向——————————21.2.5解一元二次方程-换元法学校：___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共15小题）1．已知方程x2+3x﹣4=0的解是x1=1，x2=﹣4，则方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4=0的解是（）A．x1=﹣1，x2=﹣3.5 B．x1=1，x2=﹣3.5C．x1=1，x2=3.5 D．x1=﹣1，x2=3.52．已知实数a、b满足（a2﹣b2）2﹣2（a2﹣b2）=8，则a2﹣b2的值为（）A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．﹣4或23．已知x、y都是实数，且（x2+y2）（x2+y2+2）﹣3=0，那么x2+y2的值是（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或34．已知方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0的解是（）A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=2，x2=6 D．x1=﹣2，x2=﹣65．如果（x+2y）2+3（x+2y）﹣4=0，那么x+2y的值为（）A．1 B．﹣4 C．1或﹣4 D．﹣1或36．已知x是实数且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，那么x2+3x的值为（）A．3 B．﹣3或1 C．1 D．﹣1或37．若实数x、y满足（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）=0，则x2+y2的值为（）A．1 B．2 C．2或﹣1 D．2或﹣28．若实数x、y满足（x+y﹣3）（x+y）+2=0，则x+y的值为（）A．﹣1或﹣2 B．﹣1或2 C．1或﹣2 D．1或29．已知方程ax2+bx+c=0的解是x1=2，x2=﹣3，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0的解是（）A．x1=1，x2=﹣4 B．x1=﹣1，x2=﹣4 C．x1=﹣1，x2=4 D．x1=1，x2=410．设（x2+y2）（x2+y2+2）﹣15=0，则x2+y2的值为（）A．﹣5或3 B．﹣3或5 C．3 D．511．（m2+n2）（m2+n2﹣2）﹣8=0，则m2+n2=（）A．4 B．2 C．4或﹣2 D．4或212．用“整体法”求得方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解为（）A．x1=1，x2=3 B．x1=﹣2，x2=3 C．x1=﹣3，x2=﹣1 D．x1=﹣2，x2=﹣113．若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8=0，那么x2+2x的值为（）A．﹣2或4 B．4 C．﹣2 D．2或﹣414．已知x为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，那么x2+x+1的值为（）A．1 B．﹣3 C．﹣3或1 D．﹣1或315．若（x2+y2﹣2）2=9，则x2+y2的值为（）A．1 B．﹣1 C．5 D．5或﹣1二．填空题（共5小题）16．若实数a，b满足（2a+2b）（2a+2b﹣2）﹣8=0，则a+b= ．17．设x，y是一个直角三角形两条直角边的长，且（x2+y2）（x2+y2﹣1）=20，则这个直角三角形的斜边长为．18．已知（x2+y2）（x2+y2﹣1）=12，则x2+y2的值是．19．若（x2+y2+3）2﹣6（x2+y2+3）+8=0，则x2+y2﹣5= ．20．如果（m+n）（m+n+5）=6，则m+n= ．三．解答题（共4小题）21．阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0．22．（3x﹣2）2﹣5（3x﹣2）+4=0．23．已知实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣12）=45，求x2+y2的值．24．阅读下面的材料，解答后面的问题材料：“解方程x4﹣3x2+2=0”解：设x2=y，原方程变为y2﹣3y+2=0，（y﹣1）（y﹣2）=0，得y=1或y=2当y=1时，即x2=1，解得x=±1；当y=2时，即x2=2，解得x=±综上所述，原方程的解为x1=1，x2=﹣1，x3=．x4=﹣问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是A．加减消元法 B．代入消元法 C．换元法 D．待定系数法（2）采用类似的方法解方程：（x2﹣2x）2﹣x2+2x﹣6=0．2018-2019学年度人教版数学九年级上册同步练习：21.2.5解一元二次方程-换元法参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．解：把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，所以2x+3=1或2x+3=﹣4，所以x1=﹣1，x2=﹣3.5．故选：A．2．解：设y=a2﹣b2，原式化为y2﹣2y﹣8=0，即（y﹣4）（y+2）=0，可得y﹣4=0或y+2=0，解得：y1=4，y2=﹣2，∴a2﹣b2=4或﹣2．故选：C．3．解：（x2+y2）（x2+y2+2）﹣3=0，（x2+y2）2+2（x2+y2）﹣3=0，（x2+y2+3）（x2+y2﹣1）=0，x2+y2﹣1=0，x2+y2=1，故选：B．4．解：∵方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，∴方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0中x+3=1或﹣3，解得：x=﹣2或﹣6，即x1=﹣2，x2=﹣6，故选：D．5．解：设x+2y=a，则原方程变形为a2+3a﹣4=0，解得a=﹣4或a=1．故选C．6．解：由y=x2+3x，则（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，可化为：y2+2y﹣3=0，分解因式，得，（y+3）（y﹣1）=0，解得，y1=﹣3，y2=1，当x2+3x=﹣3时，经△=32﹣3×4=﹣3＜0检验，可知x不是实数当x2+3x=1时，经检验，符合题意．故选：C．7．解：设t=x2+y2，则t≥0，原方程变形为（t+2）（t﹣2）=0，解得：t=2或t=﹣2（舍去）．故选：B．8．解：t=x+y，则由原方程，得t（t﹣3）+2=0，整理，得（t﹣1）（t﹣2）=0．解得t=1或t=2，所以x+y的值为1或2．故选：D．9．解：设t=x+1，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0化为at2+at+c=0，因为方程ax2+bx+c=0的解是x1=2，x2=﹣3，所以t1=2，t2=﹣3，当t=2时，x+1=2，解得x=1；当t=﹣3时，x+1=﹣3，解得x=﹣4，所以方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0的解是x1=1，x2=﹣4．故选：A．10．解：设t=x2+y2，则原方程可化为t2+2t﹣15=0，∴t=x2+y2=3或t=x2+y2=﹣5，又∵t≥0，∴x2+y2=3．故选：C．11．解：设m2+n2=t（t≥0），由原方程，得t（t﹣2）﹣8=0，整理，得（t﹣4）（t+2）=0，解得t=4或t=﹣2（舍去），所以m2+n2=4．故选：A．12．解：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0，设2x+5=y，则原方程变形为y2﹣4y+3=0，解得：y1=1，y2=3，当y=1时，2x+5=1，解得：x=﹣2，当y=3时，2x+5=3，解得：x=﹣1，即原方程的解为x1=﹣2，x2=﹣1，故选：D．13．解：设x2+2x=y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8=0，解得：y=4或﹣2，当y=4时，x2+2x=4，此时方程有解，当y=﹣2时，x2+2x=﹣2，此时方程无解，舍去，所以x2+2x=4．故选：B．14．解：设y=x2+x+1=y，则（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，可化为：y2+2y﹣3=0，分解因式得：（y+3）（y﹣1）=0，解得：y1=﹣3，y2=1，当x2+x+1=﹣3时，经△=12﹣4×1×4＜0检验，可知x不是实数，当x2+x+1=1时，经检验，符合题意．故选：A．15．解：设t=x2+y2（t≥0），由原方程得：（t﹣2）2=9，解得t﹣2=±3，解得t=5或t=﹣1（舍去）．故选：C．二．填空题（共5小题）16．解：设a+b=x，则由原方程，得2x（2x﹣2）﹣8=0，整理，得4x2﹣4x﹣8=0，即x2﹣x﹣2=0，分解得：（x+1）（x﹣2）=0，解得：x1=﹣1，x2=2．则a+b的值是﹣1或2．故答案是：﹣1或2．17．解：设x2+y2=t，则原方程可化为：t（t﹣1）=20，∴t2﹣t﹣20=0，即（t+4）（t﹣5）=0，∴t1=5，t2=﹣4（舍去），∴x2+y2=5，∴这个直角三角形的斜边长为，故答案为：．18．解：（x2+y2）（x2+y2﹣1）=12，（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，（x2+y2+3）（x2+y2﹣4）=0，x2+y2+3=0，x2+y2﹣4=0，x2+y2=﹣3，x2+y2=4，∵不论x、y为何值，x2+y2不能为负数，∴x2+y2=4，故答案为：4．19．解：设x2+y2+3=t∵（x2+y2+3）2﹣6（x2+y2+3）+8=0，∴t2﹣6t+8=0∴t=2或t=4当t=2时，x2+y2+3=2∴x2+y2=﹣1故t=2舍去当t=4时，x2+y2+3=4∴x2+y2=1∴原式=1﹣5=﹣4故答案为：﹣420．解：设m+n为x则（m+n）（m+n+5）=6变形为x（x+5）=6 移项去括号得x2+5x﹣6=0因式分解得（x+6）（x﹣1）=0解得x=1或﹣6即m+n=1或﹣6．三．解答题（共4小题）21．解：（1）换元，降次（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．22．解：设（3x﹣2）=y，原方程等价于y2﹣5y+4=0因式分解，得（y﹣4）（y﹣1）=0，于是，得y﹣4=0或y﹣1=0，解得y=4或y=1，3x﹣2=4，3x﹣2=1，解得x1=2，x2=1．23．解：设x2+y2=a，则a（a﹣12）=45，a2﹣12a﹣45=0，（a﹣15）（a+3）=0，a1=15，a2=﹣3，∵x2+y2=a≥0，∴x2+y2=15．24．解：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是换元法．故答案是：C；（2）设x2﹣2x=y，原方程化为y2﹣y﹣6=0，整理，得（y﹣3）（y+2）=0，得y=3或y=﹣2当y=3时，即x2﹣2x=3，解得x=﹣1或x=3；当y=﹣2时，即x2﹣2x=2，解得x=1±综上所述，原方程的解为x1=﹣1，x2=3，x3=1+．x4=1﹣．桑水。

换元法题目

换元法题目一、在解方程时，若设 x = sinθ，则原方程可转化为关于θ的方程，这种方法称为？A. 代入法B. 换元法C. 消元法D. 因式分解法（答案）B二、解不等式 (x2 + 1)/x > 2 时，若令 x = 1/t，则原不等式可转化为？A. (t2 + 1) > 2tB. (1 + t2) < 2/tC. (1 + t2)/t > 2D. t2 + 1 > 2/t（答案）D三、在求解积分∫(x2 + 1)(-1/2) dx 时，若设 x = tanθ，则积分可转化为？A. ∫secθ dθB. ∫cosθ dθC. ∫(sec2θ + 1)(-1/2) dθD. ∫(1 + tan2θ)(-1/2) sec2θ dθ（答案）A四、解方程√(x + 3) + √(x - 2) = 5 时，若令√(x + 3) = t，则方程可简化为？A. t + √(t2 - 1) = 5B. t + √(t2 + 5) = 5C. t + √(t2 - 5) = 2D. t + √(t2 + 1) = 5（答案）C（注：此处需进一步化简，但选项C最接近初始换元后的形式，实际应为 t + √((t-3)2 - 1) = 2 后再化简）五、在求解递推关系 a_n+2 = 2a_n + 1 时，若设 a_n = 2n * b_n，则递推关系可转化为？A. b_n+2 = 2b_n + 1/2nB. b_n+2 = 2b_n + 1C. b_n+2 = b_n + 1/2nD. b_n+2 = 4b_n + 1（答案）B六、解方程 x4 - 5x2 + 6 = 0 时，若令 x2 = t，则方程可转化为？A. t2 - 5t + 6 = 0B. t4 - 5t2 + 6 = 0C. t2 - 5t - 6 = 0D. t2 + 5t + 6 = 0（答案）A七、在求解极限 lim(x→0) (sin(3x) - sin(2x))/x 时，若设 x = 1/t，则极限可转化为？A. lim(t→∞) t(sin(3/t) - sin(2/t))B. lim(t→0) t(sin(3t) - sin(2t))C. lim(t→∞) (sin(3/t) - sin(2/t))/tD. lim(t→0) (sin(3t) + sin(2t))/t（答案）A（注：虽然A选项的表述与直接换元后不完全一致，但它是正确的换元思路，即t→∞对应x→0）八、解不等式 (2x - 1)/(x2 - 1) > 0 时，若令 2x - 1 = t，则不等式可转化为关于t 的不等式为？A. t/(t2 - 5) > 0B. t/((t+1)(t-3)) > 0C. t/((t-1)(t+1)) > 0D. t/(t2 - 3) > 0（答案）C（注：需要进一步代入和化简，但C选项最接近）。