2020北京市中考数学专题复习 函数图象与性质探究题
北京市2020〖人教版〗九年级数学下册二次函数的图象信息题
北京市2020年〖人教版〗九年级数学下册二次函数的图象信息题1．·防城港期中二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图5－ZT－1所示，则点M(a，b＋c)在( )图5－ZT－1A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．如图5－ZT－2，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的大致图象为( )图5－ZT－23．·恩施州抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝－1，部分图象如图5－ZT－3所示，下列判断中：①abc＞0；②b2－4ac＞0；③9a－3b＋c＝0；④若点(－0.5，y1)，(－2，y2)均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a－2b＋c＜0.其中正确的个数为( )图5－ZT－3A．2B．3C．4D．54．如图5－ZT－4，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－1，且过点(12，0)，有下列结论：①abc＞0；②a－2b＋4c＝0；③25a－10b＋4c＝0；④3b＋2c＞0；⑤a－b≥m(am－b)．其中所有正确的结论是________．(填写正确结论的序号)图5－ZT－4►类型二利用二次函数的图象比较大小5．·江津区期末点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－(x－1)2＋2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( ) A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1＝y2C．y1＞y2＞y3D．y1＝y2＞y3►类型三利用二次函数的图象求方程的解或不等式的解集6．如图5－ZT－5，以点(1，－4)为顶点的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的负半轴交于点A，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的正数解的范围是( )图5－ZT－5A．2＜x＜3B．3＜x＜4C．4＜x＜5D．5＜x＜67．如图5－ZT－6是抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分，其对称轴为直线x＝1，它与x轴的一个交点为A(3，0)，根据图象，可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是________．图5－ZT－68．如图5－ZT －7是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象，由图象可知不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是________．图5－ZT －79．如图5－ZT －8，二次函数y 1＝a(x －2)2的图象与直线l 交于A(0，－1)，B(2，0)两点．(1)确定二次函数的表达式；(2)设直线l 的表达式为y 2＝kx ＋b ，根据图象，确定当y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围．图5－ZT －8►类型四二次函数与其他函数的组合图象问题10．·曲靖一模在同一坐标系中，一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋b 的大致图象是( )图5－ZT －911．函数y ＝k x与y ＝－kx 2＋k(k ≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是( ) 图5－ZT －1012．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图5－ZT －11所示，则一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝c x在同一平面直角坐标系中的大致图象为( ) 图5－ZT －11图5－ZT －1213．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象如图5－ZT －13所示，则一次函数y ＝bx ＋c 的图象不经过第________象限．图5－ZT －13►类型五利用二次函数图象的位置变化求阴影部分的面积14．如图5－ZT －14，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝12x 2经过平移得到抛物线y ＝12x 2－2x ，新抛物线的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为( )图5－ZT －14A ．2B ．4C ．8D ．1615．如图5－ZT －15，抛物线y ＝－12x 2＋72x 与矩形OABC 的边AB 交于点D ，B ，若A(0，3)，C(6，0)，则图中阴影部分的面积为( )图5－ZT －15A ．3B ．4C ．5D ．616．如图5－ZT －16，抛物线y 1＝－x 2＋2向右平移1个单位长度得到抛物线y 2.回答下列问题：图5－ZT －16(1)抛物线y 2的表达式是____________，顶点坐标为________；(2)阴影部分的面积为________；(3)若再将抛物线y 2绕原点O 旋转180°得到抛物线y 3，则抛物线y 3的表达式为____________，开口向________，顶点坐标为________．17．如图5－ZT －17，7×8网格中的每个小正方形的边长均为1，将抛物线y 1＝x 2－1向右平移2个单位长度得到抛物线y 2.(1)请直接写出抛物线y 2的函数表达式：________；(2)图中阴影部分的面积为________；(3)若将抛物线y2沿x轴翻折，求翻折后的抛物线的表达式．图5－ZT－17详解详析1．[解析]D∵抛物线开口向上，∴a＞0.∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0.∵对称轴在y轴右侧，∴a，b异号，即b＜0，∴b＋c＜0，∴点M(a，b＋c)在第四象限．故选D.2．[解析]B∵a＜0，∴抛物线的开口向下，故C选项不合题意．∵c＜0，∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，故A选项不符合题意．∵a＜0，b＞0，对称轴为x＝－b2a＞0，∴对称轴在y轴右侧，故D选项不符合题意．故选B. 3．[解析]B∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，它经过点(1，0)，∴－b2a＝－1，a＋b＋c＝0，∴b＝2a，c＝－3a.∵a＞0，∴b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①错误．∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，故②正确．∵由抛物线的对称性，知抛物线与x轴的另一个交点坐标为(－3，0)，∴9a－3b＋c＝0，故③正确．∵由抛物线的对称性，知点(－1.5，y1)在抛物线上，又－1.5＞－2，则y1＜y2，故④错误．∵5a－2b＋c＝5a－4a－3a＝－2a＜0，故⑤正确．故选B.4．[答案]①③⑤5．[解析]D∵y＝－(x－1)2＋2，∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，P1(－1，y1)关于直线x＝1的对称点是(3，y1)，∵1＜3＜5，∴y1＝y2＞y3，故选D.6．[解析]C∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点坐标为(1，－4)，∴对称轴为直线x＝1，而对称轴左侧图象与x轴交点的横坐标的取值范围是－3＜x＜－2，∴对称轴右侧图象与x轴交点的横坐标的取值范围是4＜x＜5.故选C.7．[答案]x1＝3，x2＝－1[解析]设抛物线与x轴的另一个交点坐标为(x，0)．∵抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等，∴3＋x2＝1，解得x＝－1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(－1，0)，∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝3，x2＝－1.8．[答案]x＜－1或x＞5[解析]由图可知，图象的对称轴为直线x＝2，它与x轴的一个交点坐标为(5，0)，∴函数图象与x轴的另一个交点坐标为(－1，0)，∴ax2＋bx＋c＜0的解集是x＜－1或x＞5.9．[解析] (1)将(0，－1)代入抛物线的表达式，即可求出a的值，进而确定二次函数的表达式．(2)确定y1＞y2时，自变量x的取值范围即为抛物线在一次函数图象上方时对应的x的取值范围，观察图形即可得出．解：(1)∵二次函数y 1＝a (x －2)2的图象与直线交于点A (0，－1)，∴－1＝a (0－2)2，解得a ＝－14， ∴二次函数的表达式为y 1＝－14(x －2)2， 即y 1＝－14x 2＋x －1. (2)∵二次函数y 1＝a (x －2)2的图象与直线l 交于A (0，－1)，B (2，0)两点，直线l 的表达式为y 2＝kx ＋b ，∴当y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围为0＜x ＜2.10．[答案]C11．[解析]B 由表达式y ＝－kx 2＋k (k ≠0)可得抛物线的对称轴为直线x ＝0.A 项，由双曲线的两支分别位于第二、四象限，可得k ＜0，则－k ＞0，抛物线开口向上，抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上．本选项图象与k 的取值相矛盾，故A 错误．B 项，由双曲线的两支分别位于第一、三象限，可得k ＞0，则－k ＜0，抛物线开口向下，抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，本选项图象符合题意，故B 正确．C 项，由双曲线的两支分别位于第一、三象限，可得k ＞0，则－k ＜0，抛物线开口向下，抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，本选项图象与k 的取值相矛盾，故C 错误．D 项，由双曲线的两支分别位于第一、三象限，可得k ＞0，则－k ＜0，抛物线开口向下，抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，本选项图象与k 的取值相矛盾，故D 错误．故选B.12．[解析]B ∵二次函数的图象开口向上，∴a >0.∵x ＝－b 2a>0，∴b <0.∵抛物线与y 轴的正半轴相交，∴c >0.∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限．故选B.13．[答案]四[解析]∵二次函数图象的对称轴在y 轴的右侧，∴a ，b 异号．∵a <0，∴b ＞0.∵二次函数的图象与y 轴的交点在正半轴，∴c ＞0.∴一次函数y ＝bx ＋c 的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．14．[答案]B15．[解析]A 过点D 作DE ⊥OC 于点E ，根据抛物线的对称性得到：S 阴影＝S 矩形OADE .∵A (0，3)，∴点D 的纵坐标为3，将y ＝3代入y ＝－12x 2＋72x ，得 3＝－12x 2＋72x ，解得x ＝1或x ＝6， ∴AD ＝1，OA ＝3，∴S 阴影＝S 矩形OADE ＝1×3＝3.故选A.16．[解析] (1)根据抛物线的移动规律“左加右减”可直接得出抛物线y 2的表达式，再根据y 2的表达式求出顶点坐标即可；(2)利用割补法将阴影部分的面积转化为长方形的面积，再列式计算即可；(3)先求出抛物线y2旋转后的开口方向和顶点坐标，从而得出抛物线y3的表达式．解：(1)∵抛物线y1＝－x2＋2向右平移1个单位长度得到抛物线y2，∴抛物线y2的表达式是y2＝－(x－1)2＋2，顶点坐标为(1，2)．故答案为：y2＝－(x－1)2＋2，(1，2)．(2)阴影部分的面积是1×2＝2.故答案为：2.(3)∵将抛物线y2绕原点O旋转180°后，得到抛物线y3的顶点坐标为(－1，－2)，∴抛物线y3的表达式为y3＝(x＋1)2－2，开口向上．故答案为：y3＝(x＋1)2－2，上，(－1，－2)．17．[解析] (1)根据左加右减的平移规律即可求解；(2)把阴影部分进行平移，可得到阴影部分的面积即为长为4，宽为2的长方形的面积；(3)根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的坐标特征得出答案．解：(1)将抛物线y1＝x2－1向右平移2个单位长度得到抛物线y2，则y2＝(x－2)2－1，即y2＝x2－4x＋3.(2)由题意，得图中阴影部分的面积为2×4＝8.(3)将抛物线y2沿x轴翻折，翻折后的抛物线的表达式为－y＝x2－4x＋3，即y＝－x2＋4x－3.。
2020年九年级数学中考三轮专题复习：函数及其图象(含答案)
2020年中考数学三轮专题复习函数及其图象（含答案）一、选择题（本大题共6道小题）1. 二次函数y=(x-1)2+3的图象的顶点坐标是 ()A.(1，3)B.(1，-3)C.(-1，3)D.(-1，-3)2. 若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为直线x=-1，则使函数值y>0成立的x的取值范围是()A.x<-4或x>2B.-4≤x≤2C.x≤-4或x≥2D.-4<x<23. 如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标A的位置表述正确的是()A.在南偏东75°方向处B.在5 km处C.在南偏东15°方向5 km处D.在南偏东75°方向5 km处4. 第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢.结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是()5. 从某容器口以均匀地速度注入酒精，若液面高度h随时间t的变化情况如图所示，则对应容器的形状为()6. 如图，☉O的半径为2，双曲线的解析式分别为y=和y=-，则阴影部分的面积为()A.4πB.3πC.2πD.π二、填空题（本大题共5道小题）7. 星期天，小明上午8:00从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家，他离家的距离y(千米)与时间t(分)的关系如图所示，则上午8:45小明离家的距离是千米.8. 如图，直线y=kx+b(k<0)经过点A(3，1)，当kx+b<x时，x的取值范围为.9. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的x和y满足下表:x…-1 0 1 2 3 …y… 3 0 -1 0 m…(1)观察上表可求得m的值为;(2)这个二次函数的解析式为;(3)若点A(n+2，y1)，B(n，y2)在该抛物线上，且y1>y2，则n的取值范围为.10. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1，其部分图象如图所示，下列说法中:①b>0;②a-b+c<0;③b+2c>0;④当-1<x<0时，y>0，正确的是__________________(填写序号).11. 如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，D为AB的中点，反比例函数y=(k>0)的图象经过点D，且与BC交于点E，连接OD，OE，DE，若△ODE的面积为3，则k的值为.三、解答题（本大题共6道小题）12. 为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元.(1)求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元?(2)学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由.13. 小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进.图中的折线表示两人之间的距离y(km)与小王的行驶时间x(h)之间的函数关系.请你根据图象进行探究:(1)小王和小李的速度分别是多少?(2)求线段BC所表示的y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.14. 如图，二次函数的图象与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，交y轴于点C(0，3)，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D.(1)请直接写出点D的坐标;(2)求二次函数的解析式;(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.15. 如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点N，过A点的直线l:y=kx+n与y轴交于点C，与抛物线y=-x2+bx+c的另一个交点为D，已知A(-1，0)，D(5，-6)，P点为抛物线y=-x2+bx+c上一动点(不与A，D重合).(1)求抛物线和直线l的解析式;(2)当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值;(3)设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N，C，M，P为顶点的四边形为平行四边形.若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由.16. 某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50 m.设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m2).(1)如图①，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大?(2)如图②，现要求在图中所示位置留2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大.小敏说:“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了.”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确.17. 在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下:x…-1 0 1 2 3 …y甲… 6 3 2 3 6 …乙写错了常数项，列表如下:x…-1 0 1 2 3 …y乙…-2 -1 2 7 14 …通过上述信息，解决以下问题:(1)求原二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的表达式;(2)对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，当x时，y的值随x的值增大而增大;(3)若关于x的方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 2020年中考数学三轮专题复习函数及其图象-答案一、选择题（本大题共6道小题）1. 【答案】A2. 【答案】D[解析]∵二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为直线x=-1，∴二次函数的图象与x轴另一个交点为(-4，0)，∵a<0，∴抛物线开口向下，则使函数值y>0成立的x的取值范围是-4<x<2.3. 【答案】D[解析]目标A的位置在南偏东75°方向5 km处，故选D.4. 【答案】B[解析]根据题意可知兔子先让乌龟跑了一段距离，但是比乌龟晚到终点，故选项B正确.5. 【答案】C6. 【答案】C[解析]根据反比例函数y=，y=-及圆的中心对称性和轴对称性知，将二、四象限的阴影部分旋转到一、三象限对应部分，显然所有阴影部分的面积之和等于一、三象限内两个扇形的面积之和，也就相当于一个半径为2的半圆的面积.=π×22=2π.故选C.∴S阴影二、填空题（本大题共5道小题）7. 【答案】1.58. 【答案】x>3[解析]当x=3时，x=×3=1，∴点A在一次函数y=x的图象上，且一次函数y=x的图象经过第一、三象限，∴当x>3时，一次函数y=x的图象在y=kx+b的图象上方，即kx+b<x.9. 【答案】解:(1)3[解析]观察表格，根据抛物线的对称性可得x=3和x=-1时的函数值相等，∴m的值为3，故答案为:3.(2)y=(x-1)2-1[解析]由表格可得，二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标是(1，-1)，∴y=a(x-1)2-1.又当x=0时，y=0，∴a=1，∴这个二次函数的解析式为y=(x-1)2-1.(3)n>0[解析]∵点A(n+2，y1)，B(n，y2)在该抛物线上，且y1>y2，∴结合二次函数的图象和性质可知n>0.10. 【答案】①③④[解析]根据图象可得:a<0，c>0，对称轴:直线x=-=1，∴b=-2a.∵a<0，∴b>0，故①正确;把x=-1代入y=ax2+bx+c，得y=a-b+c.由抛物线的对称轴是直线x=1，且过点(3，0)，可得当x=-1时，y=0，∴a-b+c=0，故②错误;当x=1时，y=a+b+c>0.∵b=-2a，∴-+b+c>0，即b+2c>0，故③正确;由图象可以直接看出④正确.故答案为:①③④.11. 【答案】4[解析]过点D作DH⊥x轴于H点，交OE于M，∵反比例函数y=(k>0)的图象经过点D，E，∴S△ODH=S△ODA=S△OEC=，∴S△ODH-S△OMH=S△OEC-S△OMH，即S△OMD=S四边形EMHC，∴S△ODE=S梯形DHCE=3，设D(m，n)，∵D为AB的中点，∴B(2m，n).∵反比例函数y=(k>0)的图象经过点D，E，∴E2m，，∴S梯形=+n m=3，DHCE∴k=mn=4.三、解答题（本大题共6道小题）12. 【答案】解:(1)设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，根据题意，得解得答:1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元.(2)设购买A型节能灯a只，则购买B型节能灯(200-a)只，总费用为w元，w=5a+7(200-a)=-2a+1400，∵a≤3(200-a)，∴a≤150，∵-2<0，w随a的增大而减小，∴当a=150时，w取得最小值，此时w=1100，200-a=50.答:最省钱的购买方案是:购买A型节能灯150只，B型节能灯50只.13. 【答案】解:(1)从线段AB得:两人从相距30 km的两地同时出发，1 h后相遇，则v小王+v小李=30 km/h，小王从甲地到乙地行驶了3 h，∴v小王=30÷3=10(km/h)，∴v小李=20 km/h.(2)C点的意义是小李骑车从乙地到甲地用了30÷20=1.5(h)，此时小王和小李的距离是1.5×10=15(km)，∴C点坐标是(1.5，15).设直线BC的解析式为y=kx+b，将B(1，0)，C(1.5，15)分别代入解析式，得解得:∴线段BC的解析式为y=30x-30(1≤x≤1.5).14. 【答案】解:(1)D(-2，3).(2)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，且a≠0)，根据题意，得解得∴二次函数的解析式为y=-x2-2x+3.(3)x<-2或x>1.15. 【答案】[分析] (1)将点A，D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解;(2)设出P点坐标，用参数表示PE，PF的长，利用二次函数求最值的方法.求解;(3)分NC是平行四边形的一条边或NC是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可.解:(1)将点A，D的坐标代入y=kx+n得:解得:故直线l的表达式为y=-x-1.将点A，D的坐标代入抛物线表达式，得解得故抛物线的表达式为:y=-x2+3x+4.(2)∵直线l的表达式为y=-x-1，∴C(0，-1)，则直线l与x轴的夹角为45°，即∠OAC=45°，∵PE∥x轴，∴∠PEF=∠OAC=45°.又∵PF∥y轴，∴∠EPF=90°，∴∠EFP=45°.则PE=PF.设点P坐标为(x，-x2+3x+4)，则点F(x，-x-1)，∴PE+PF=2PF=2(-x2+3x+4+x+1)=-2(x-2)2+18，∵-2<0，∴当x=2时，PE+PF有最大值，其最大值为18.(3)由题意知N(0，4)，C(0，-1)，∴NC=5，①当NC是平行四边形的一条边时，有NC∥PM，NC=PM.设点P坐标为(x，-x2+3x+4)，则点M的坐标为(x，-x-1)，∴|y M-y P|=5，即|-x2+3x+4+x+1|=5，解得x=2±或x=0或x=4(舍去x=0)，则点M坐标为(2+，-3-)或(2-，-3+)或(4，-5);②当NC是平行四边形的对角线时，线段NC与PM互相平分.由题意，NC的中点坐标为0，，设点P坐标为(m，-m2+3m+4)，则点M(n'，-n'-1)，∴0==，解得:n'=0或-4(舍去n'=0)，故点M(-4，3).综上所述，存在点M，使得以N，C，M，P为顶点的四边形为平行四边形，点M的坐标分别为:(2+，-3-)，(2-，-3+)，(4，-5)，(-4，3).16. 【答案】解:(1)∵y=x·=-(x-25)2+，∴当x=25时，占地面积y最大.(2)y=x·=-(x-26)2+338，∴当x=26时，占地面积y最大.即当饲养室长为26 m时，占地面积最大.∵26-25=1≠2，∴小敏的说法不正确.17. 【答案】解:(1)根据甲同学的错误可知x=0时，y=c=3是正确的，由甲同学提供的数据，选择x=-1，y=6;x=1，y=2代入y=ax2+bx+3，得解得a=1是正确的.根据乙同学提供的数据，选择x=-1，y=-2;x=1，y=2代入y=x2+bx+c，得解得b=2是正确的，∴y=x2+2x+3.(2)≥-1[解析]抛物线y=x2+2x+3的对称轴为直线x=-1，∵二次项系数为1，故抛物线开口向上，∴当x≥-1时，y的值随x值的增大而增大.故答案为≥-1.(3)∵方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根，即x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根，∴Δ=4-4(3-k)>0，解得k>2.。
2020年中考一轮复习 二次函数的图像与性质 讲义
二次函数的图像与性质中考一轮复习教学目标1.理解懂得二次函数的图像的开口、对称轴、顶点坐标与a、b、c的关系；会根据图像推断a、b、c及相关式子的符号；2.能借助二次函数的图像进行推理探究；3.学会进行数形转化，能从图形中抽象出数量关系，建立方程模型和不等式模型求解.4.经典考题【例1】根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图象与x轴( ) A.只有一个交点B.有两个交点，且它们分别在x轴两侧C.有两个交点，且它们均在y轴同侧D.无交点x…-1 0 1 2 …y…-174--274-…【解法指导】本题要先画出啊、二次函数的图像。
根据对称性知（1，-2）是抛物线的顶点，且其开口向上。
因而二次函数的图像与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧。
本题应选B。
【变式题组】1.2x…-2 -1 0 1 2 …y…162--4122--2122-…根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax+bx+c在x=3时，y= 。
2.已知二次函数2x…-1 0 1 2 3 4 …y…10 5 2 1 2 5 …(1)(2)当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？(3)若两点A(m,y1),B(m+1,y2)都在该函数的图像上，试比较y1与y2的大小.【例2】函数y=ax+1与y=ax2+bx+c（0a≠）的图像可能是（）【解法指导】本题应用逐一排除法.解：两函数图像与y轴交于同一点（0,1），A不正确；B中直线中a>0，抛物线中a<0,不正确；D中直线的a<0，抛物线中a>0，不正确。
故应选C。
【变式题组】3.已知0a≠，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图像有可能是（）4.在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2(m是常数，且0m≠)的图像可能是（）5.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则一次函数y=-bx-4ac+b2与反比例函数a b cyx++=在同一坐标系内的图像大致为（）【例3】已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点（-2,0）、（x1，0），且1<x1<2,与y轴的正半轴的交点在(0,2)的下方。
2020年部编人教版北京中考试题分类精析汇编(6)函数的图像与性质
一、选择题1. （2020年北京市4分）如果反比例函数k y x =的图象经过点P （－2，3），那么k 的值是【 】A. －6B. 32- C. 23- D. 62. （2020年北京市大纲4分）一次函数y=x+3的图象不经过．．．的象限是【 】 A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限3. （2020年北京市4分）将二次函数2y x 2x 3=-+化成的2y (x h)k =-+形式，结果为【 】A. 2y (x 1)4=++B. 2y (x 1)4=-+C. 2y (x 1)2=++D. 2y (x 1)2=-+4.（2020年北京市4分）抛物线ｙ=ｘ2﹣6ｘ+5的顶点坐标为【】A、（3，﹣4）B、（3，4）C、（﹣3，﹣4）D、（﹣3，4）二、填空题1. （2020年北京市4分）已知函数y=kx的图象经过点（2，－6），则函数kyx的解析式可确定为▲ ．2. （2020年北京市4分）我们学习过反比例函数．例如，当矩形面积S一定时，长a是宽b的反比例函数，其函数关系式可以写为a=Sb（S为常数，S≠0）．请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数关系式．实例：▲ ；函数关系式：▲ ．3. （2020年北京市4分）反比例函数ky=x的图象经过点（1，﹣2），则这个反比例函数的关系式为▲ ．4. （2020年北京市大纲4分）如果正比例函数的图象经过点(1，2)，那么这个正比例函数的解析式为▲ 。
5.（2020年北京市4分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式▲ .三、解答题1. （2020年北京市8分）已知：抛物线2y ax 4ax t =++与x 轴的一个交点为A （－1，0）（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到x 轴，y 轴的距离 的比为5：2的 点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问 ：在抛物线的对称轴上是否存在点P ， 使△APE 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由。
2020中考数学解答题专练-函数的图象与性质探究(学生用)
2020中考数学题位复习系统之解答题专练5函数的图象与性质探究1. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题“的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义|a|＝．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1．（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法面出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质；（3）已知函y＝x﹣3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx﹣3|+b≤x﹣3的解集．2．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数y＝﹣2|x|的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．写出点A，B的坐标和函数y＝﹣2|x+2|的对称轴．（2）探索思考：平移函数y＝﹣2|x|的图象可以得到函数y＝﹣2|x|+2和y＝﹣2|x+2|的图象，分别写出平移的方向和距离．（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数y＝﹣2|x﹣3|+1的图象．若点（x1，y1）和（x2，y2）在该函数图象上，且x2＞x1＞3，比较y1，y2的大小．3. 有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）化简函数解析式，当x≥﹣1时，y＝，当x＜﹣1时y＝；（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y＝的图象；（3）结合函数图象，写出该函数的一条性质：．（4）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程ax+1＝的只有一个实数根，直接写出实数a的取值范围：．4. 有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整：（1）函数y＝的自变量x的取值范围是；的值为；（3）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；（4）观察图象，写出该函数的一条性质：；（5）若函数y＝的图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），且x1＜3＜x2＜x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为：；5. 小邱同学根据学习函数的经验，研究函数y＝的图象与性质．通过分析，该函数yy﹣1﹣2﹣3.4﹣7.5 2.4（1）函数y＝的自变量x的取值范围是；（2）在图中补全当1≤x＜2的函数图象；（3）观察图象，写出该函数的一条性质：；（4）若关于x的方程＝x+b有两个不相等的实数根，结合图象，可知实数b的取值范围是．6.若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与﹣﹣﹣标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点A（﹣5，y1），B（﹣，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1y2，x1x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）②当函数值y＝2时，求自变量x的值；③在直线x＝﹣1的右侧的函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3＝y4，求x3+x4的值；④若直线y＝a与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围．7.有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）化简函数解析式，当x≥3时，y＝，当x＜3时y＝；（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y＝的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程ax+1＝只有一个实数根，直接写出实数a的取值范围：．。
2020北京中考数学26题解析
2020北京中考数学26题解析
**2020北京中考数学26题解析**
一、问题描述：
26题是北京中考数学中的压轴题，主要考察学生的综合数学能力。
本题主要涉及函数、几何等方面的知识，难度较大。
二、考点分析：
这道题考点主要集中在二次函数和几何证明上。
要求学生能够熟练运用二次函数的性质，结合几何知识，通过计算、推理等过程得到答案。
三、解题思路：
1. 首先，根据题意，分析已知条件，建立函数关系式，通过函数的性质进行求解。
2. 其次，根据几何图形，分析图形的性质，结合函数关系式进行推导，得到答案。
3. 解题过程中，要注意细节，特别是在使用函数性质和几何性质时，要确保正确理解和使用。
4. 最后，答案验证过程中，要仔细核对答案和解题过程，确保无误。
四、详细解析：
1. 先根据已知条件，建立二次函数关系式，求出函数的顶点坐标和开口方向等信息。
2. 再结合几何图形，观察图形的特点，将几何问题转化为函数问题。
3. 通过计算和推理，得到答案，并进行验证。
五、总结：
26题的解题关键在于将几何问题与函数问题相结合，通过计算和推理得到答案。
在解题过程中，要注意细节和步骤的正确性，特别是对于函数的性质和几何图形的特点，要正确理解和使用。
总的来说，要想成功解答26题，需要学生具备扎实的数学基础知识和良好的综合运用能力。
希望以上解析能够帮助大家更好地理解2020北京中考数学26题！。
2020年中考数学复习专题训练 专题一 二次函数的图像和性质
2020年中考数学复习专题训练专题一、二次函数的图像与性质1、已知抛物线y=x 2-4x+3与x 轴相交于点A,B(A 在点B 左侧),顶点为M,平移该抛物线,使点M 平移后的对应点M ＇落在x 轴上,点B 平移后的对应点B ＇落在y 轴上,则平移后的抛物线解析式为（ ）A.A=x 2+2x+1B.B=x 2+2x-1C.C=x 2-2x+1D.D=x 2-2x-12、将抛物线y=2x 2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）A ．y=2（x+2)2+3B ．y=2（x ﹣2)2+3C ．y=2（x ﹣2)2﹣3D ．y=2（x+2)2﹣33、将抛物线y=x 2+2x+3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线与直线y=3的交点坐标是（ ）A ．（0，3）或（﹣2，3）B ．（﹣3，0）或（1，0）C ．（3，3）或（﹣1，3）D ．（﹣3，3）或（1，3）4、将抛物线y=（x ﹣3)2﹣2向左平移 _______ 个单位后经过点A （2，2）．5、将抛物线y ＝(x ＋1)(x －2019)＋4向下平移______个单位，所得抛物线与x 轴的两个交点距离为2020.6、在同一平面直角坐标系中，若抛物线y=x 2+（2m ﹣1）x+2m ﹣4与y=x 2﹣（3m+n ）x+n 关于y 轴对称，则符合条件的m ，n 的值为（ ） A ．m=75 ,n=-718B ．m=5，n=﹣6C ．m=﹣1，n=6D ．m=1，n=﹣27、在平面直角坐杯系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y=x 2+5x+6，则原抛物线的解析式为（ ） A.y=-(x-25)2-411B.y=-(x+25)2-411C.y=-(x-25)2-41D. y=-(x+25)2-418、已知抛物线y=ax 2(a>0)过A(2,y 1)、B(−1,y 2)两点,则下列关系式一定正确的是( )A.y 1>0>y 2B. y 2>0>y 1C. y 1>y 2>0D. y 2>y 1>09、已知一次函数y 1=4x ，二次函数y 2=2x 2+2，在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值为y 1与y 2，则下列关系正确的是（ ） A.y 1﹥y 2 B.y 1≥y 2 C.y 1＜y 2 D.y 1≤y 2 10、关于抛物线y=-61x 2-32x+2，下列说法不正确的是（ ） A.开口向下B.对称轴是直线x=-2C.与坐标轴有3个交点D.若抛物线经过A （-1，y 1）、B （1，y 2），则y 1＜y 211、抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为直线x=-1，图象过（1，0）点，部分图象如图4所示，下列判断中： ①abc ＞0；②b 2-4ac ＞0；③9a-3b+c=0 ④若点（-0.5，y 1），（-2，y 2）均在抛物线上，则y 1＞y 2；⑤．5a-2b+cⅢ、二次函数的性质Ⅳ、二次函数的图像位置与系数关系＜0其中正确的个数有（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．512、如图,抛物线y=ax 2+bx+c 过点(−1,0)，且对称轴为直线x=1，有下列结论：①abc<0;②10a+3b+c>0;③抛物线经过点(4,y 1)与点(−3,y 2),则y 1>y 2;④无论a,b,c 取何值,抛物线都经过同一个点(−ac,0);⑤am 2+bm+a ⩾0，其中所有正确的结论是___.13、如图，已知二次函数y=a （x ﹣h)2+的图象经过原点O （0，0），A （2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA 绕点O 逆时针旋转60°到OA ′，试判断点A ′是否为该函数图象的顶点？14、在平面直角坐标系中,设二次函数y 1=(x +a )(x −a −1)，其中a ≠0.(1)若函数y 1的图象经过点(1,−2),求函数y 1的表达式； (2)若一次函数y 2=ax +b 的图象与y 1的图象经过x 轴上同一点，探究实数a ，b 满足的关系式；(3)已知点P (x 0,m )和Q (1,n )在函数y 1的图象上,若m <n ,求x 0的取值范围。
2020北京市中考数学专题复习 函数图象与性质探究题
一、简单专题集训函数图象与性质探究题(连续5年考查)类型一分析数据、探究函数问题(2019.24新考查)1.(2019房山区一模改编)如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一动点，过点C作⊙O直径CD，过点B作BE⊥CD于点E.连接AC，已知AB＝6cm.第1题图小东根据学习函数的经验，对线段AC、BE的长度之间的关系进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)对于点C在⊙O上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC、BE的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6BE/cm 1.27 2.82 2.82 2.63 1.840AC/cm 1.24 3.45 4.91 5.16 5.676在AC、BE的长度这两个变量中，确定的长度是自变量，的长度是这个自变量的函数；(2)在同一平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定的函数的图象；(3)结合画出的函数图象，解决问题：当BE＝2时，AC的长度约为cm.2.(2019通州区期末改编)如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB＝30°，D是直径AB上一动点，连接CD并过点D作CD的垂线，与⊙O的其中一个交点记为点E(点E位于直线CD上方或左侧)，连接E C.第2题图小东根据学习函数的经验，对线段AD，CD，EC的长度之间的关系进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)对于点D在直径AB上的不同位置，画图，测量，得到了线段AD，CD，EC的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7AD/cm0 1.1423456CD/cm 5.20 4.49 3.60 3.00 2.65 2.65 3.00EC/cm 5.20 4.24 4.22 4.24 4.77 5.60 6.00在AD，CD，EC的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；(2)在同一平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定函数的图象；(3)结合函数图象，解决问题：当∠ECD＝60°时，AD的长度约为cm.3.(2019门头沟区二模改编)如图，E为半圆O直径AB上一动点，C为半圆上一定点，连接AC和BC，AD平分∠CAB交BC于点D，连接CE和DE.第3题图小腾根据学习函数的经验，对线段AE，CE，DE长度之间的关系进行了探究.下面是小腾的探究过程，请补充完整：(1)对于点E在直径AB上的不同位置，画图，测量，得到了线段AE，CE，DE的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7CE/cm 2.50 2.28 2.50 3.00 3.72 4.64 5.44DE/cm 2.98 2.29 1.69 1.69 2.18 3.05 3.84AE/cm0.000.87 2.11 3.02 4.00 5.12 6.00在AE，CE，DE的长度这三个量中，确定的长度是自变量，自变量的取值范围是；(2)在同一平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定函数的图象；(3)结合函数的图象，解决问题：当△ACE为等腰三角形时，AE的长度约为cm(结果精确到0.01).4.(2019丰台区二模改编)如图，点M 是⊙O 中AB ︵上一定点，点P 是弦AB 上一动点.过点A 作射线MP 的垂线交⊙O 于点C ，连接PC ，已知AB ＝5cm.第4题图小腾根据学习函数的经验，对线段AP ，AC ，PC 的长度之间的关系进行了探究.下面是小腾的探究过程，请补充完整：(1)对于点P 在弦AB 上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP ，AC ，PC 的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6AP /cm 0.000.99 2.47 3.01 3.98 5.00AC /cm 2.55 3.10 4.31 4.74 4.97 4.31PC /cm2.552.612.522.121.112.55在AP ，AC ，PC 的长度的三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；(2)在同一平面直角坐标系xOy 中，画出(1)中所确定函数的图象；(3)结合函数图象，解决问题：在点P 的运动过程中，当AC 与PC 的差为最大值时，AP 的长度约为cm.类型二测量与分析数据、探究函数问题(8年2考：2018.24、2017.26)1.(2019朝阳区一模)小超在观看足球比赛时，发现了这样一个问题，两名运动员从不同的位置出发，沿着不同的方向，以不同的速度直线奔跑，什么时候他们离对方最近呢？小超通过一定的测量，并选择了合适的比例尺，把上述问题抽象成如下数学问题：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D以1cm/s的速度从点C向点B运动，点E以2cm/s的速度从点A向点B运动，当点E到达点B时，两点同时停止运动，若点D，E同时出发，多长时间后DE取得最小值？第1题图小超猜想当DE⊥AB时，DE最小.探究后发现用几何的知识解决这个问题有一定的困难，于是根据函数的学习经验，设C，D两点间的距离为x cm，D，E两点的距离为y cm，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小超的探究过程，请补充完整：(1)由题意可知线段AE和CD的数量关系是：；(2)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值；x/cm012345y/cm 6.0 4.8 3.8 2.7 3.0(说明：补全表格时相关数值保留一位小数)(3)在平面直角坐标系中，描出以补全后表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；(4)结合画出的函数图象，解决问题：小超的猜想；(填“正确”或“不正确”)当两点同时出发了s时，DE取得最小值，为cm.2.(2019西城区一模)如图，AB ︵是直径AB 所对的半圆弧，C 是AB ︵上一定点，D 是AB ︵上一动点，连接DA 、DB 、D C.已知AB ＝5cm ，设D 、A 两点间的距离为x cm ，D 、B 两点间的距离为y 1cm ，D ，C 两点间的距离为y 2cm.第2题图小腾根据学习函数的经验，分别对函数y 1，y 2随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究.下面是小腾的探究过程，请补充完整：(1)按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了y 1，y 2与x 的几组对应值；x /cm 012345y 1/cm 5 4.9430y 2/cm43.322.47 1.43(2)在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x ，y 1)，(x ，y 2)，并画出函数y 1，y 2的图象；(3)结合函数图象，解决问题：连接BC ，当△BCD 是以CD 为腰的等腰三角形时，DA 的长度约为cm.3.(2019东城区一模)如图，点E 在弦AB 所对的优弧上，且BE ︵为半圆，C 是BE ︵上的动点，连接CA ，C B.已知AB ＝4cm ，设B ，C 两点间的距离为x cm ，点C 到弦AB 所在直线的距离为y 1cm ，A ，C 两点间的距离为y 2cm.第3题图小明根据学习函数的经验，分别对函数y 1，y 2随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究.下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了y 1，y 2与x 的几组对应值；x /cm 0123456y 1/cm 00.78 1.76 2.853.984.95 4.47y 2/cm44.695.265.965.944.47(2)在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x ，y 1)，(x ，y 2)，并画出函数y 1，y 2的图象；(3)结合函数图象，解决问题：①连接BE ，则BE 的长约为cm ；②当以A ，B ，C 为顶点组成的三角形是直角三角形时，BC 的长度约为cm.4.(2019海淀区一模)如图，线段AB及一定点C，P是线段AB上一动点，作直线CP，过点A作AQ⊥CP 于点Q.已知AB＝7cm，设A，P两点间的距离为x cm，A，Q两点间的距离为y1cm，P，Q两点间的距离为y2cm.小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.第4题图下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm00.30.50.81 1.5y1/cm00.280.490.791 1.48y2/cm00.080.090.0600.29x/cm234567y1/cm 1.87 2.37 2.61 2.72 2.76 2.78y2/cm0.73 1.82 4.20 5.33 6.41(2)在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，(x，y2)，并画出函数y1，y2的图象；(3)结合函数图象，解决问题：当△APQ中有一个角为30°时，AP的长度约为cm.类型三新函数性质探究问题(8年2考：2016.26、2015.26)1.(2019西城区二模)某医药研究所开发一种新的药物，据监测，如果成年人按规定的剂量服用，服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值，之后每毫升血液中的含药量逐渐衰减.若一次服药后每毫升血液中的含药量y(单位：微克)与服药后的时间t(单位：小时)之间近似满足某种函数关系，下表是y与t的几组对应值，其部分图象如图所示.t012346810…y024 2.83210.50.25…第1题图(1)在所给平面直角坐标系中，继续描出上表中已列出数值所对应的点(t，y)，并补全该函数图象；(2)结合函数图象，解决下列问题：①某病人第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为微克；若每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约小时；②若某病人第一次服药后8小时进行第二次服药，第二次服药对血液中含药量的影响与第一次服药相同，则第二次服药后2小时，每毫升血液中的含药量约为微克.2.(2019海淀区二模)有这样一个问题：探究函数y ＝18x 2－1x的图象与性质.小宇从课本上研究函数的活动中获得启发，对函数y ＝18x 2－1x 的图象与性质进行了探究.下面是小宇的探究过程，请补充完整：(1)函数y ＝18x 2－1x的自变量x 的取值范围是；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，完成以下作图步骤：①画出函数y ＝14x 2和y ＝－2x的图象；②在x 轴上取一点P ，过点P 作x 轴的垂线l ，分别交函数y ＝14x 2和y ＝－2x 的图象于点M ，N ，记线段MN 的中点为G ；③在x 轴正半轴上多次改变点P 的位置，用②的方法得到相应的点G ，把这些点用平滑的曲线连接起来，得到函数y ＝18x 2－1x 在y 轴右侧的图象.继续在x 轴负半轴上多次改变点P 的位置，重复上述操作得到该函数在y 轴左侧的图象.第2题图(3)结合函数y ＝18x 2－1x的图象，发现：①该函数图象在第二象限内存在最低点，该点的横坐标约为(保留小数点后一位)；②该函数还具有的性质为：(一条即可)。
2020北京各区中考一模分类汇编-专题08 探究函数图象解决问题(答案含解析)
专题08 探究函数图象解决问题一．解答题（共13小题）1．（2020•丰台区一模）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（不与点A，B重合），⊥于点D，E是CD的中点，连接AE并延长交AB于点F，连接FD．小腾根=，过点C作CD AB6AB cm据学习函数的经验，对线段AC，CD，FD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC，CD，FD的长度的几组值，如表：在AC，CD，FD的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解答问题：当CD DF>时，AC的长度的取值范围是．【分析】（1）根据函数的定义可得结论．（2）利用描点法画出函数图象即可．（3）利用图象法，观察图象写出函数CD的图象在函数DF的图象上方时，自变量的取值范围即可．【解答】解：（1）由题意可知：AC是自变量，CD，DF是自变量AC的函数．故答案为：AC，CD，FD．（2）函数图象如图所示：（3）观察图象可知CD DF<<．>时，3.55cm x cm故答案为：3.55cm x cm<<．2．（2020•燕山一模）如图，半圆O的直径6=，点P是AB上的BM cm=，点M在线段AB上，且1AB cm动点，过点A作AN⊥直线PM，垂足为点N．小东根据学习函数的经验，对线段AN，MN，PM的长度之间的关系进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）对于点P在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AN，MN，PM的长度的几组值，如表：在AN，MN，PM的长度这三个量中，确定的长度是自变量，和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当AN MN=时，PM的长度约为cm．【分析】（1）根据题意直接得出结论；（2）先描点，再连线，即可得出结论；（3）根据图象估计出AN MN=时的PM的长度，即可得出结论．【解答】解：（1）点P在AB上的不同位置，得到了线段AN，MN，PM的长度的几组值，PM∴的长度是自变量，AN，MN的长度都是PM这个自变量的函数，故答案为：PM，AN，MN；（2）由表格，描点，再连线，得出如图所示的图象；（3）由图可知，AN MN=时，PM的长度约为1.23cm或4.06com，故答案为：1.23或4.06．3．（2020•平谷区一模）如图1，P是ABC∆外部的一定点，D是线段BC上一动点，连接PD交AC于点E．小明根据学习函数的经验，对线段PD，PE，CD的长度之间的关系进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）对于点D在BC上的不同位置，画图、测量，得到了线段PD，PE，CD的长度的几组值，如表：在PD，PE，CD的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出图2中所确定的两个函数的图象； （3）结合函数图象，解决问题：连接CP ，当PCD ∆为等腰三角形时，CD 的长度约为 cm ．（精确到0.1) 【分析】（1）根据函数的定义，确定自变量，函数即可． （2）利用描点法画出函数图象即可．（3）分三种情形：当PD PC =时，见图中点B ，此时 1.9CD cm ≈．当CD PD =时，见图中点A ，此时3.5CD cm ≈．当CD PC =时， 2.6CD cm ≈．【解答】解：（1）确定CD 的长度是自变量，PD 的长度和PE 的长度都是这个自变量的函数；（2）函数图象如图所示：（3）观察图象可知， 2.6PC cm =，当PD PC =时，见图中点B ，此时 1.9CD cm ≈． 当CD PD =时，见图中点A ，此时 3.5CD cm ≈． 当CD PC =时， 2.6CD cm ≈． 故答案为2.6，1.9，3.5．4．（2020•顺义区一模）如图，D 是直径AB 上一定点，E ，F 分别是AD ，BD 的中点，P 是AB 上一动点，连接PA ，PE ，PF ．已知6AB cm =，设A ，P 两点间的距离为xcm ，P ，E 两点间的距离为1y cm ，P ，F 两点间的距离为2y cm ．小腾根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值：（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点1(,)x y ，2(,)x y ，并画出函数1y ，2y 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PEF ∆为等腰三角形时，AP 的长度约为 cm ．【分析】（1）通过测量可得表中的所填数值； （2）根据表格数据即可画出函数1y ，2y 的图象；（3）结合函数图象，即可得当PEF ∆为等腰三角形时，AP 的长度． 【解答】解：（1）通过测量可知： 表中的所填数值是1.90， 故答案为：1.90；（2）函数1y ，2y 的图象如图：（3）观察图象可知：当PEF∆为等腰三角形时，AP的长度约为3.5或3.8或4.6cm．故答案为：3.5或3.8或4.6cm．5．（2020•东城区一模）如图，P是线段AB上的一点，6=，O是AB外一定点．连接OP，将OP绕AB cm点O顺时针旋转120︒得OQ，连接PQ，AQ．小明根据学习函数的经验，对线段AP，PQ，AQ的长度之间的关系进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）对于点P在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP，PQ，AQ的长度（单位：)cm的几组值，如表：在AP，PQ，AQ的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当AQ PQ=时，线段AP的长度约为cm．【分析】（1）根据变量的定义即可求解；（2）依据表格中的数据描点、连线即可得；（3）两函数图象交点的横坐标即为所求．【解答】解：（1）根据变量的定义，AP是自变量，PQ、AQ是因变量，即PQ、AQ是AP的函数，故答案为：AP、PQ、AQ；（2）依据表格中的数据描点、连线即可得；（3）当AQ PQ=时，即为两个函数图象的交点，从图上看，交点的横坐标大约为3.07cm，故答案为：3.07（答案不唯一）．6．（2020•石景山区一模）如图，C是AB上的一定点，P是弦AB上的一动点，连接PC，过点A作AQ PC⊥交直线PC于点Q．小石根据学习函数的经验，对线段PC，PA，AQ的长度之间的关系进行了探究．（当点P与点A重合时，令0)=AQ cm下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）对于点P在弦AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PA，AQ的几组值，如表：在PC，PA，AQ的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当AQ PC=时，PA的长度约为cm．（结果保留一位小数）【分析】（1）根据变量的定义即可求解；（2）依据表格中的数据描点、连线即可得；（3）两函数图象交点的横坐标即为所求．【解答】解：（1）根据变量的定义，AP 是自变量，PC 、AQ 是因变量，即PC 、AQ 是AP 的函数， 故答案为：PA 、PC 、AQ ；（2）依据表格中的数据描点、连线即可得；（3）当AQ PC =时，即为两个函数图象的交点， 从图上看，交点的横坐标大约为2.8cm 或6.0cm ， 故答案为：2.8或6.0（答案不唯一）．7．（2020•西城区一模）如图，在ABC ∆中，4AB cm =，5BC cm =．P 是AB 上的动点，设A ，P 两点间的距离为xcm ，B ，P 两点间的距离为1y cm ，C ，P 两点间的距离为2y cm ．小腾根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值：（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点1(,)x y ，点2(,)x y ，并画出函数1y ，2y 的图象； （3）结合函数图象，①当PBC ∆为等腰三角形时，AP 的长度约为 cm ；②记AB 所在圆的圆心为点O ，当直线PC 恰好经过点O 时，PC 的长度约为 cm ．【分析】（1）利用图象法解决问题即可； （2）描点绘图即可；（3）①分PB PB =、PC BC =、PB BC =三种情况，分别求解即可； ②当直线PC 恰好经过点O 时，PC 的长度取得最大值，观察图象即可求解． 【解答】解：（1）由画图可得，4x =时，1 3.09y cm ≈（答案不唯一）． 故答案为：3.09（答案不唯一）．（2）描点绘图如下：（3）①由1y 与2y 的交点的横坐标可知，0.83x cm ≈时，PC PB =， 当 2.49x cm ≈时，25y cm =，即PC BC =， 观察图象可知，PB 不可能等于BC ，故答案为：0.83或2.49（答案不唯一）．②当直线PC恰好经过点O时，PC的长度取得最大值，从图象看，25.32PC y cm=≈，故答案为5.32（答案不唯一）．8．（2020•延庆区一模）如图1，AB是O的弦，5AB cm=，点P是弦AB上的一个定点，点C是弧AB上的一个动点，连接CP并延长，交O于点D．小明根据学习函数的经验，分别对AC，PC，PD长度之间的关系进行了探究（1）对于点C在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC，PC，PD的长度的几组值，如表：在AC，PC，PD的长度这三个量中，确定的长度是自变量，其他两条线段的长度都是这个自变量的函数；（2）请你在如图2所示的同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的两个函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：①当PC PD=时，AC的长度约为cm；②当APC∆为等腰三角形时，PC的长度约为cm．【分析】（1）根据变量的定义即可求解；（2）根据表格数据描绘如下函数图象；（3）①当PC PD =时，即PC PD y y =，从图象看，两个函数的交点即为所求点； ②分AP AC =、AC PC =、AP PC =三种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）根据变量的定义，AC 的长度是自变量， 故答案为：AC ；（2）根据表格数据描绘如下函数图象：（3）①当PC PD =时，即PC PD y y =， 从图象看，两个函数的交点即为所求点， 此时 2.88x ≈，故答案为2.88（答案不唯一）； ②从表格看，当0x =时，1CP AP ==，4PD PB ==， 即1AP =，4BP =． （Ⅰ）当AP AC =时， 则1AP AC ==，当1x AC ==时，0.69PC y =， 即0.69PC =； （Ⅱ）当AC PC =时， 即PC y x =，作直线y x =，该直线与曲线PC 的交点，即为所求点，此时交点的横坐标0.8x AC PC ≈==； （Ⅲ）当AP PC =时， 1AP PC ==；故当APC ∆为等腰三角形时，PC 的长度约为0.8，0.69，1（答案不唯一）， 故答案为：0.8，0.69，1（答案不唯一）．9．（2020•房山区一模）如图1，在弧MN 和弦MN 所组成的图形中，P 是弦MN 上一动点，过点P 作弦MN 的垂线，交弧MN 于点Q ，连接MQ ．已知6MN cm =，设M 、P 两点间的距离为xcm ，P 、Q 两点间的距离为1y cm ，M 、Q 两点间的距离为2y cm ．小轩根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小轩的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值：/x cm ．上表中m 的值为 ．（保留两位小数）（2）在同一平面直角坐标系xOy （图2)中，函数1y 的图象如图，请你描出补全后的表中2y 各组数值所对应的点2(,)x y ，并画出函数2y 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当MPQ ∆有一个角是30︒时，MP 的长度约为 cm ．（保留两位小数）【分析】（1）利用测量法解决问题即可．（2）利用描点画出函数图象即可．（3）利用图象法求出函数1y与直线y=，直线y的交点的横坐标即可解决问题．【解答】解：（1）利用测量法可知：当4x=时，24.90y=，4.90m∴=，故答案为4.90．（2）函数图象如图所示：（3）函数1y与直线y=的交点的横坐标为1.50，函数1y与直线y的交点的横坐标为4.50，故当MPQ∆有一个角是60︒时，MP的长度约为1.50或4.50．故答案为：1.50或4.50．10．（2020•门头沟区一模）如图，点M是O直径AB上一定点，点C是直径AB上一个动点，过点C作⊥交O于点D，作射线DM交O于点N，连接BD．CD AB小勇根据学习函数的经验，对线段AC，BD，MN的长度之间的数量关系进行了探究．下面是小勇的探究过程，请补充完整：（1）对于点C在AB的不同位置，画图，测量，得到了线段AC，BD，MN的长度的几组值，如表：在AC，BD，MN的长度这三个量中，如果选择的长度为自变量，那么的长度和的长度为这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中确定的函数的图象；（3）结合函数图象解决问题：当BD MN=时，线段AC的长度约为cm（结果精确到0.1)．【分析】（1）根据函数的定义解决问题即可（答案不唯一）．（2）利用描点法画出函数图象即可．（3）利用两个函数的图象判断出交点的横坐标即可解决问题．【解答】解：（1）如果选择AC的长度为自变量，那么BD的长度和MN的长度为这个自变量的函数（答案不唯一）．故答案为：AC，BD，MN．（2）函数图象如图所示：（3）观察图象可知两个函数的图象的交点的横坐标约为5.3cm，BD∴与MN的值相等时，AC的值约为5.3．11．（2020•朝阳区一模）有这样一个问题：探究函数6|2|yx=-的图象与性质并解决问题．小明根据学习函数的经验，对问题进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）函数6|2|yx=-的自变量x的取值范围是2x≠；（2）取几组y与x的对应值，填写在下表中．m 的值为 ；（3）如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象； （4）获得性质，解决问题：①通过观察、分析、证明，可知函数6|2|y x =-的图象是轴对称图形，它的对称轴是 ； ②过点(1P -，)(02)n n <<作直线//l x 轴，与函数6|2|y x =-的图象交于点M ，N （点M 在点N 的左侧），则PN PM -的值为 ．【分析】（2）把5x =代入函数解析式求出函数值即可． （3）利用描点法画出函数图象即可． （4）①根据轴对称图形的定义判断即可．②求出PN ，PM 的长（用n 表示）即可解决问题． 【解答】解：（2）由题意5x =时，62|52|y ==-， 2m ∴=，故答案为2．（3）函数图象如图所示：（4）①观察图象可知图象是轴对称图形，对称轴2x =． 故答案为2x =．②由题意，6(2M n -+，)n ，6(2N n +，)n ，66213PN n n ∴=++=+，661(2)3PM n n=---+=-，663(3)6PN PM n n∴-=+--=， 故答案为6．12．（2020•密云区一模）如图，点O 是线段AB 的中点，EF 是以O 为圆心，EF 长为直径的半圆弧，点C 是EF 上一动点，过点O 作射线AC 的垂线，垂足为D ．已知10AB cm =，6EF cm =，设A 、C 两点间的距离为xcm ，O 、D 两点间的距离为1y cm ，C 、D 两点间的距离为2y cm ．小丽根据学习函数的经验，分别对函数1y 和2y 随自变量x 变化而变化的规律进行了探究．下面是小丽的探究过程，请将它补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到1y 和2y 与x 的几组对应值：经测量，m 的值是 ；（保留一位小数）（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点1(,)x y 和2(,)x y ，并画出函数1y 、2y 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：连接OC ，当ODC ∆是等腰三角形时，AC 的长度约为 cm ．（结果保留一位小数）【分析】（1）当4x =，20y =时，故点C 、D 重合，在Rt AOD ∆中，1OD y =，235AO AE OE =+=+=，24AD AC x y x ==+==，即可求解；（2）描点绘出函数图象即可；（3）当ODC ∆是等腰三角形时，则ODC ∆是等腰直角三角形，故12y y =，即可求解． 【解答】解：（1）点O 是线段AB 的中点，10AB =，6EF =，2AE BF ∴==，3OE OF ==，当4x =，20y =时，故点C 、D 重合，∴在Rt AOD ∆中，1OD y =，235AO AE OE =+=+=，24AD AC x y x ==+==，则13OD y m ====， 故答案为：3.0；（2）描点绘出如下函数图象：（3）当ODC ∆是等腰三角形时，AD OD ⊥，则ODC ∆是等腰直角三角形，故12y y =，从图象看，12y y =时， 2.4x cm ≈或6.3cm ， 故答案为：1.4或6.3（答案不唯一）．13．（2020•大兴区一模）已知：如图，线段5AB cm =，90BAM ∠=︒，P 是AB 与BAM ∠所围成的图形的外部的一定点，C 是AB 上一动点，连接PC 交弦AB 于点D ．设A ，D 两点间的距离为xcm ，P ，D 两点间的距离为1y cm ，P ，C 两点间的距离为2y cm ．小腾根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整：按照表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值：（1）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出各组数值所对应的点1(,)x y ，2(,)x y ，并画出函数1y ，2y 的图象；（2）连接BP ，结合函数图象，解决问题：当BDP ∆为等腰三角形时，x 的值约为 cm （结果保留一位小数）．【分析】（1）利用描点法会产生图象即可．（2）函数1y 与直线5y x =-+的交点T 的横坐标，即为x 的值．【解答】解：（1）函数图象如图所示：（2）BDP ∆是等腰三角形，DB DP ∴=，5AD PD AD BD ∴+=+=，∴函数1y 与直线5y x =-+的交点T 的横坐标，即为x 的值， 观察图象可知 1.5x =，故答案为1.5．。
北京中考 探究函数图象解决问题 猛练13题,有答案可编辑
专题08 探究函数图象解决问题一．解答题（共13小题）1．（2020•丰台区一模）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（不与点A，B重合），⊥于点D，E是CD的中点，连接AE并延长交¶AB于点F，连接FD．小腾根=，过点C作CD AB6AB cm据学习函数的经验，对线段AC，CD，FD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C在·AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC，CD，FD的长度的几组值，如表：在AC，CD，FD的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解答问题：当CD DF>时，AC的长度的取值范围是．2．（2020•北京一模）如图，半圆O的直径6=，点P是¶AB上的BM cmAB cm=，点M在线段AB上，且1动点，过点A作AN⊥直线PM，垂足为点N．小东根据学习函数的经验，对线段AN，MN，PM的长度之间的关系进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）对于点P在¶AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AN，MN，PM的长度的几组值，如表：在AN，MN，PM的长度这三个量中，确定的长度是自变量，和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当AN MN=时，PM的长度约为cm．3．（2020•平谷区一模）如图1，P 是ABC ∆外部的一定点，D 是线段BC 上一动点，连接PD 交AC 于点E ． 小明根据学习函数的经验，对线段PD ，PE ，CD 的长度之间的关系进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）对于点D 在BC 上的不同位置，画图、测量，得到了线段PD ，PE ，CD 的长度的几组值，如表：在PD ，PE ，CD 的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出图2中所确定的两个函数的图象； （3）结合函数图象，解决问题：连接CP ，当PCD ∆为等腰三角形时，CD 的长度约为 cm ．（精确到0.1)4．（2020•顺义区一模）如图，D 是直径AB 上一定点，E ，F 分别是AD ，BD 的中点，P 是¶AB 上一动点，连接PA ，PE ，PF ．已知6AB cm =，设A ，P 两点间的距离为xcm ，P ，E 两点间的距离为1y cm ，P ，F 两点间的距离为2y cm ．小腾根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值：（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点1(,)x y ，2(,)x y ，并画出函数1y ，2y 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PEF ∆为等腰三角形时，AP 的长度约为 cm ．5．（2020•东城区一模）如图，P 是线段AB 上的一点，6AB cm =，O 是AB 外一定点．连接OP ，将OP 绕点O 顺时针旋转120︒得OQ ，连接PQ ，AQ ．小明根据学习函数的经验，对线段AP ，PQ ，AQ 的长度之间的关系进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）对于点P 在AB 上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP ，PQ ，AQ 的长度（单位：)cm 的几组值，如表：在AP ，PQ ，AQ 的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当AQ PQ=时，线段AP的长度约为cm．6．（2020•石景山区一模）如图，C是¶AB上的一定点，P是弦AB上的一动点，连接PC，过点A作AQ PC⊥交直线PC于点Q．小石根据学习函数的经验，对线段PC，PA，AQ的长度之间的关系进行了探究．（当点P与点A重合时，令0)=AQ cm下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）对于点P在弦AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PA，AQ的几组值，如表：在PC，PA，AQ的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当AQ PC=时，PA的长度约为cm．（结果保留一位小数）7．（2020•西城区一模）如图，在ABC ∆中，4AB cm =，5BC cm =．P 是¶AB 上的动点，设A ，P 两点间的距离为xcm ，B ，P 两点间的距离为1y cm ，C ，P 两点间的距离为2y cm ．小腾根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值：（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点1(,)x y ，点2(,)x y ，并画出函数1y ，2y 的图象； （3）结合函数图象，①当PBC ∆为等腰三角形时，AP 的长度约为 cm ；②记¶AB 所在圆的圆心为点O ，当直线PC 恰好经过点O 时，PC 的长度约为 cm ．8．（2020•延庆区一模）如图1，AB是Oe的弦，5AB cm，点P是弦AB上的一个定点，点C是弧¶AB上的一个动点，连接CP并延长，交Oe于点D．小明根据学习函数的经验，分别对AC，PC，PD长度之间的关系进行了探究（1）对于点C在¶AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC，PC，PD的长度的几组值，如表：在AC，PC，PD的长度这三个量中，确定的长度是自变量，其他两条线段的长度都是这个自变量的函数；（2）请你在如图2所示的同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的两个函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：①当PC PD =时，AC 的长度约为 cm ；②当APC ∆为等腰三角形时，PC 的长度约为 cm ．9．（2020•房山区一模）如图1，在弧MN 和弦MN 所组成的图形中，P 是弦MN 上一动点，过点P 作弦MN 的垂线，交弧MN 于点Q ，连接MQ ．已知6MN cm =，设M 、P 两点间的距离为xcm ，P 、Q 两点间的距离为1y cm ，M 、Q 两点间的距离为2y cm ．小轩根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小轩的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值：/x cm ．上表中m 的值为 ．（保留两位小数）（2）在同一平面直角坐标系xOy （图2)中，函数1y 的图象如图，请你描出补全后的表中2y 各组数值所对应的点2(,)x y ，并画出函数2y 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当MPQ ∆有一个角是30︒时，MP 的长度约为 cm ．（保留两位小数）10．（2020•门头沟区一模）如图，点M 是O e 直径AB 上一定点，点C 是直径AB 上一个动点，过点C 作CD AB ⊥交O e 于点D ，作射线DM 交O e 于点N ，连接BD ．小勇根据学习函数的经验，对线段AC ，BD ，MN 的长度之间的数量关系进行了探究． 下面是小勇的探究过程，请补充完整：（1）对于点C在AB的不同位置，画图，测量，得到了线段AC，BD，MN的长度的几组值，如表：在AC，BD，MN的长度这三个量中，如果选择的长度为自变量，那么的长度和的长度为这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中确定的函数的图象；（3）结合函数图象解决问题：当BD MN=时，线段AC的长度约为cm（结果精确到0.1)．11．（2020•朝阳区一模）有这样一个问题：探究函数6|2|yx=-的图象与性质并解决问题．小明根据学习函数的经验，对问题进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）函数6|2|y x =-的自变量x 的取值范围是2x ≠； （2）取几组y 与x 的对应值，填写在下表中．m 的值为 ；（3）如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象； （4）获得性质，解决问题：①通过观察、分析、证明，可知函数6|2|y x =-的图象是轴对称图形，它的对称轴是 ； ②过点(1P -，)(02)n n <<作直线//l x 轴，与函数6|2|y x =-的图象交于点M ，N （点M 在点N 的左侧），则PN PM -的值为 ．12．（2020•密云区一模）如图，点O 是线段AB 的中点，¶EF 是以O 为圆心，EF 长为直径的半圆弧，点C 是¶EF上一动点，过点O 作射线AC 的垂线，垂足为D ．已知10AB cm =，6EF cm =，设A 、C 两点间的距离为xcm ，O 、D 两点间的距离为1y cm ，C 、D 两点间的距离为2y cm ．小丽根据学习函数的经验，分别对函数1y 和2y 随自变量x 变化而变化的规律进行了探究．下面是小丽的探究过程，请将它补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到1y 和2y 与x 的几组对应值：经测量，m 的值是 ；（保留一位小数）（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点1(,)x y 和2(,)x y ，并画出函数1y 、2y 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：连接OC ，当ODC ∆是等腰三角形时，AC 的长度约为 cm ．（结果保留一位小数）13．（2020•大兴区一模）已知：如图，线段5AB cm =，90BAM ∠=︒，P 是¶AB 与BAM ∠所围成的图形的外部的一定点，C 是¶AB 上一动点，连接PC 交弦AB 于点D ．设A ，D 两点间的距离为xcm ，P ，D 两点间的距离为1y cm ，P ，C 两点间的距离为2y cm ．小腾根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整：按照表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值：（1）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出各组数值所对应的点1(,)x y ，2(,)x y ，并画出函数1y ，2y 的图象； （2）连接BP ，结合函数图象，解决问题：当BDP ∆为等腰三角形时，x 的值约为 cm （结果保留一位小数）．专题07 圆的有关计算及证明一．选择题（共9小题）1．（2020•丰台区一模）在⊙O中按如下步骤作图：（1）作⊙O的直径AD；（2）以点D为圆心，DO长为半径画弧，交⊙O于B，C两点；（3）连接DB，DC，AB，AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（）A．∠ABD＝90°B．∠BAD＝∠CBD C．AD⊥BC D．AC＝2CD2．（2020•海淀区一模）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC，若OC=12OA，则∠C等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°3．（2020•平谷区一模）已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧DE，交射线OB于点F，连接CF；（2）以点F为圆心，CF长为半径作弧，交弧DE于点G；（3）连接FG，CG．作射线OG．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠BOG＝∠AOB B．若CG＝OC，则∠AOB＝30°C．OF垂直平分CG D．CG＝2FG4．（2020•石景山区一模）如图，点A，B，C，D在⊙O上，弦AD的延长线与弦BC的延长线相交于点E．用①AB是⊙O的直径，②CB＝CE，③AB＝AE中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，则组成真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．35．（2020•西城区一模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点．若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（）A．65°B．35°C．32.5°D．25°̂上，将弧BĈ沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若6．（2020•延庆区一模）如图，在⊙O中，点C在优弧AB⊙O的半径为√5，AB＝4，则BC的长是（）A ．2√3B ．3√2C ．5√32D ．√6527．（2020•朝阳区一模）如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，CD ＝4，tan C =12，则AB 的长为（ ）A ．2.5B ．4C ．5D ．108．（2020•朝阳区一模）如图，直线l 1∥l 2，点A 在直线l 1上，以点A 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l 1，l 2于B ，C 两点，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，与前弧交于点D （不与点B 重合），连接AC ，AD ，BC ，CD ，其中AD 交l 2于点E ．若∠ECA ＝40°，则下列结论错误的是（ ）A ．∠ABC ＝70°B ．∠BAD ＝80°C ．CE ＝CDD ．CE ＝AE9．（2020•大兴区一模）如图，A 、B 、C 三点在⊙O 上，且∠AOB ＝80°，则∠ACB 等于（ ）A ．100°B ．80°C ．50°D ．40°二．填空题（共6小题）10．（2020•北京一模）已知⊙O ．如图， （1）作⊙O 的直径AB ；（2）以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，交⊙O 于C ，D 两点；（3）连接CD交AB于点E，连接AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE＝DE；②BE＝3AE；③BC＝2CE．所有正确推断的序号是．11．（2020•东城区一模）如图，半径为√3的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝．12．（2020•石景山区一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为寸．13．（2020•延庆区一模）把光盘、含60°角的三角板和直尺如图摆放，AB＝2，则光盘的直径是．14．（2020•房山区一模）如图，AC是⊙O的弦，AC＝6，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝60°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．15．（2020•密云区一模）如图，AB为⊙O直径，点C为⊙O上一点，点D为AĈ的中点，且OD与AC相交于点E，若⊙O的半径为4，∠CAB＝30°，则弦AC的长度为．三．解答题（共14小题）16．（2020•北京一模）如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，点D为BĈ中点，过点D作DE⊥直线AC，垂足为E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若EF＝4，sin∠F=35，求⊙O的半径．17．（2020•海淀区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于G．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）若AF＝6，⊙O的半径为5，求BE的长．18．（2020•平谷区一模）如图，等边△ABC，作它的外接圆⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交AC的延长线于点F．（1）依题意补全图形并证明：DF与⊙O相切；（2）若AB＝6，求CF的长．19．（2020•顺义区一模）如图，在▱ABCD中，∠B＝45°，点C恰好在以AB为直径的⊙O上．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连接BD，若AB＝8，求BD的长．20．（2020•东城区一模）如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA＝5．C是直线l 上一点，连接CP并延长，交⊙O于点B，且AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若tan∠ACB=12，求线段BP的长．21．（2020•石景山区一模）如图，AB是⊙O的直径，直线PQ与⊙O相切于点C，以OB，BC为边作▱OBCD，连接AD并延长交⊙O于点E，交直线PQ于点F．（1）求证：AF⊥CF；（2）连接OC，BD交于点H，若tan∠OCB＝3，⊙O的半径是5，求BD的长．22．（2020•西城区一模）如图，四边形OABC中，∠OAB＝90°，OA＝OC，BA＝BC．以O为圆心，以OA为半径作⊙O．（1）求证：BC是⊙O的切线；̂=AĈ，（2）连接BO并延长交⊙O于点D，延长AO交⊙O于点E，与BC的延长线交于点F，若AD①补全图形；②求证：OF＝OB．23．（2020•通州区一模）已知：△ABC为等边三角形．（1）求作：△ABC的外接圆⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）（2）射线AO交BC于点D，交⊙O于点E，过E作⊙O的切线EF，与AB的延长线交于点F．①根据题意，将（1）中图形补全；②求证：EF∥BC；③若DE＝2，求EF的长．24．（2020•延庆区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点D是弧BC的中点，连接AC，BD，过点D作AC的垂线EF，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．（1）依题意补全图形；（2）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB＝5，BD＝3，求线段BF的长．25．（2020•门头沟区一模）如图，∠APB，点C在射线PB上，PC为⊙O的直径，在∠APB内部且到∠APB 两边距离都相等的所有的点组成图形M，图形M交⊙O于D，过点D作直线DE⊥P A，分别交射线P A，PB于E，F．（1）根据题意补全图形；（2）求证：DE是⊙O的切线；（3）如果PC＝2CF，且DF=√3，求PE的长．26．（2020•朝阳区一模）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．在同一平面内，△ABC内部一点O 到AB，AC，BC的距离都等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G．（1）直接写出a的值；（2）连接BO并延长，交AC于点M，过点M作MN⊥BC于点N．①求证：∠BMA＝∠BMN；②求直线MN与图形G的公共点个数．27．（2020•密云区一模）如图，AB为⊙O的直径，点C、点D为⊙O上异于A、B的两点，连接CD，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，连接AC、AD．（1）若∠ABD＝2∠BDC，求证：CE是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为√5，tan∠BDC=12，求AC的长．28．（2020•大兴区一模）已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C．以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D 作DE⊥AC于点E．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）延长DE交BA的延长线于点F，若AB＝8，sin B=√55，求线段F A的长．29．（2020•丰台区一模）在Rt ABC∆中，90A∠=︒，22.5B∠=︒，点P为线段BC上一动点，当点P运动到某一位置时，它到点A，B的距离都等于a，到点P的距离等于a的所有点组成的图形为W，点D为线段BC延长线上一点，且点D到点A的距离也等于a．（1）求直线DA与图形W的公共点的个数；（2）过点A作AE BD⊥交图形W于点E，EP的延长线交AB于点F，当2a=时，求线段EF的长．专题07 圆的有关计算及证明一．选择题（共9小题）1．（2020•丰台区一模）在⊙O中按如下步骤作图：（1）作⊙O的直径AD；（2）以点D为圆心，DO长为半径画弧，交⊙O于B，C两点；（3）连接DB，DC，AB，AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（）A．∠ABD＝90°B．∠BAD＝∠CBD C．AD⊥BC D．AC＝2CD̂=CD̂，根据垂径定理即可判断A、B、C正确，再【分析】根据作图过程可知：AD是⊙O的直径，BD根据DC＝OD，可得AD＝2CD，进而可判断D选项．【解答】解：根据作图过程可知：AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴A选项正确；∵BD＝CD，∴BD̂=CD̂，∴∠BAD＝∠CBD，∴B选项正确；根据垂径定理，得AD⊥BC，∴C选项正确；∵DC＝OD，∴AD＝2CD，∴D选项错误．故选：D．2．（2020•海淀区一模）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC，若OC=12OA，则∠C等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】连接OB，构造直角△ABO，结合已知条件推知直角△ABO的直角边OB等于斜边OA的一半，则∠A＝30°．【解答】解：如图，连接OB．∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°．∵OB＝OC，OC=12 OA，∴∠C＝∠OBC，OB=12OA，∴∠A＝30°，∴∠AOB＝60°，则∠C+∠OBC＝60°，∴∠C＝30°．故选：B．3．（2020•平谷区一模）已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧DE，交射线OB于点F，连接CF；（2）以点F为圆心，CF长为半径作弧，交弧DE于点G；（3）连接FG，CG．作射线OG．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠BOG＝∠AOB B．若CG＝OC，则∠AOB＝30°C．OF垂直平分CG D．CG＝2FG【分析】依据作图即可得出△OCF≌△OGF（SSS），即可得到对应角相等；再根据等边三角形的性质，即可得到∠AOB＝30°；依据OC＝OE，FC＝FG，即可得出OF垂直平分CG，CG＝2MG＜2FG．【解答】解：由作图可得，OC＝OE，FC＝FG，OF＝OF，∴△OCF≌△OGF（SSS），∴∠BOG＝∠AOB，故A选项正确；若CG＝OC＝OG，则△OCG是等边三角形，∴∠COG＝60°，∴∠AOB=12∠COG＝30°，故B选项正确；∵OC＝OE，FC＝FG，∴OF垂直平分CG，故C选项正确；∴CG ＝2MG ＜2FG ，故D 选项错误； 故选：D ．4．（2020•石景山区一模）如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，弦AD 的延长线与弦BC 的延长线相交于点E ．用①AB 是⊙O 的直径，②CB ＝CE ，③AB ＝AE 中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，则组成真命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】根据题意和图形，可以写出其中的两个为题设，一个为结论时的命题是否为真命题，然后写出理由即可．【解答】解：当①②为题设时，③为结论，这个命题是真命题， 理由：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠ACB ＝∠ACE ＝90°， 在△ACB 和△ACE 中， {AC =AC∠ACB =∠ACE BC =EC， ∴△ACB ≌△ACE （SAS ）， ∴AB ＝AC ；当①③为题设，②为结论时，这个命题是真命题，理由：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠ACB ＝∠ACE ＝90°， 在Rt △ACB 和Rt △ACE 中， {AB =AE AC =AC， ∴Rt △ACB ≌Rt △ACE （HL ）， ∴CB ＝CE ；当②③为题设，①为结论时，这个命题是真命题， 理由：在△ACB 和△ACE 中， {AB =AE AC =AC CB =CE， ∴△ACB ≌△ACE （SSS ）， ∴∠ACB ＝∠ACE ，又∵∠ACB +∠ACE ＝180°， ∴∠ACB ＝∠ACE ＝90°， ∴AB 是⊙O 的直径； 故选：D ．5．（2020•西城区一模）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点．若∠CAB ＝65°，则∠ADC 的度数为（ ）A ．65°B ．35°C ．32.5°D ．25°【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB ＝90°，然后根据∠CAB ＝65°求得∠ABC 的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可． 【解答】解：∵AB 是直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵∠CAB ＝65°，∴∠ABC ＝90°﹣∠CAB ＝25°， ∴∠ADC ＝∠ABC ＝25°， 故选：D ．6．（2020•延庆区一模）如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB ̂上，将弧BC ̂沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⊙O 的半径为√5，AB ＝4，则BC 的长是（ ）A ．2√3B ．3√2C ．5√32D ．√652【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图，利用垂径定理得到OD ⊥AB ，则AD ＝BD =12AB ＝2，于是根据勾股定理可计算出OD ＝1，再利用折叠的性质可判断弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到AĈ=CD ̂，所以AC ＝DC ，利用等腰三角形的性质得AE ＝DE ＝1，接着证明四边形ODEF 为正方形得到OF ＝EF ＝1，然后计算出CF 后得到CE ＝BE ＝3，于是得到BC ＝3√2．【解答】解：连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图， ∵D 为AB 的中点， ∴OD ⊥AB ，∴AD ＝BD =12AB ＝2，在Rt △OBD 中，OD =√(√5)2−22=1， ∵将弧BĈ沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ． ∴弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆， ∴AĈ=CD ̂，∴AC＝DC，∴AE＝DE＝1，易得四边形ODEF为正方形，∴OF＝EF＝1，在Rt△OCF中，CF=√(√5)2−12=2，∴CE＝CF+EF＝2+1＝3，而BE＝BD+DE＝2+1＝3，∴BC＝3√2．故选：B．7．（2020•朝阳区一模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，CD＝4，tan C=12，则AB的长为（）A．2.5B．4C．5D．10【分析】首先根据垂径定理和CD的长求得CE和DE的长，然后根据同弧所对的圆周角相等确定∠B＝∠C，根据正切的定义求得AE和BE的长即可求得答案．【解答】解：∵AB⊥CD，CD＝4，∴CE＝DE＝2，∵∠B＝∠C，tan C=1 2，∴tan B=1 2，∴AE＝1，BE＝4，∴AB＝AE+BE＝1+4＝5，故选：C．8．（2020•朝阳区一模）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接AC，AD，BC，CD，其中AD交l2于点E．若∠ECA＝40°，则下列结论错误的是（）A．∠ABC＝70°B．∠BAD＝80°C．CE＝CD D．CE＝AE【分析】根据平行线的性质得出∠CAB＝40°，进而利用圆的概念判断即可．【解答】解：∵直线l1∥l2，∴∠ECA＝∠CAB＝40°，∵以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，∴BA＝AC＝AD，∴∠ABC=180°−40°2=70°，故A正确；∵以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），∴CB＝CD，∴∠CAB＝∠DAC＝40°，∴∠BAD＝40°+40°＝80°，故B正确；∵∠ECA＝40°，∠DAC＝40°，∴CE＝AE，故D正确；故选：C．9．（2020•大兴区一模）如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB＝80°，则∠ACB等于（）A．100°B．80°C．50°D．40°【分析】由圆周角定理知，∠ACB=12∠AOB＝40°．【解答】解：∵∠AOB＝80°∴∠ACB=12∠AOB＝40°．故选：D．二．填空题（共6小题）10．（2020•北京一模）已知⊙O．如图，（1）作⊙O的直径AB；（2）以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点；（3）连接CD交AB于点E，连接AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE＝DE；②BE＝3AE；③BC＝2CE．所有正确推断的序号是．【分析】①连接OC，根据作图过程可得AĈ=AD̂，再根据垂径定理即可判断；②根据作图过程可得AC＝OA＝OC，即△AOC是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可判断；③可以根据直角三角形30度角所对直角边等于斜边的一半，也可以根据三角形相似对应边成比例得结论．【解答】解：如图，连接OC，①∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点，∴AĈ=AD̂，根据垂径定理，得AB⊥CE，CE＝DE，所以①正确；②∵AC＝OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∵AB⊥CE，∴AE＝OE，∴BE＝BO+OE＝3AE，∴②正确；③方法一：∵∠CAO＝60°，∠ACB＝90°，∠CBE＝30°，∴BC＝2CE．所以③正确．方法二：由△ACE∽△CBE，∴AC：AE＝BC：CE＝2：1，∴BC＝2CE，所以③正确．11．（2020•东城区一模）如图，半径为√3的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝．【分析】根据切线长定理得出∠OBC＝∠OBA=12∠ABC＝30°，解直角三角形求得BD，即可求得CD，然后解直角三角形OCD即可求得tan∠OCB的值．【解答】解：连接OB，作OD⊥BC于D，∵⊙O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，∴∠OBC＝∠OBA=12∠ABC＝30°，∴tan ∠OBC =OD BD ， ∴BD =OD tan30°=√3√33=3，∴CD ＝BC ﹣BD ＝8﹣3＝5，∴tan ∠OCB =OD CD =√35．故答案为√35．12．（2020•石景山区一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，BE ＝1寸，CD ＝1尺，那么直径AB 的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为 寸．【分析】连接OC ，由直径AB 与弦CD 垂直，根据垂径定理得到E 为CD 的中点，由CD 的长求出DE 的长，设OC ＝OA ＝x 寸，则AB ＝2x 寸，OE ＝（x ﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB 的长．【解答】解：连接OC，∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE=12CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得：x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸，故答案为：26．13．（2020•延庆区一模）把光盘、含60°角的三角板和直尺如图摆放，AB＝2，则光盘的直径是．【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理得出AB＝CB＝2，∠OBA＝60°，根据OA＝AB tan∠OBA可得答案．【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，如图所示：由切线长定理知AB＝CB＝2，OA平分∠ABC，∴∠OBA＝60°，在Rt△ABO中，OA＝AB tan∠OBA＝2√3，∴光盘的直径为4√3，故答案为：4√3．14．（2020•房山区一模）如图，AC是⊙O的弦，AC＝6，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝60°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．【分析】作直径AD，如图，先判断NM为△CAB的中位线得到MN=12AB，再根据圆周角定理得到∠ACD＝90°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AD＝4√3，由于AB＝AD时，AB的值最大，从而得到MN的最大值．【解答】解：作直径AD，如图，∵点M、N分别是AC、BC的中点，∴NM为△CAB的中位线，∴MN=12AB，∵AD为直径，∴∠ACD＝90°，∵∠ADC＝∠ABC＝60°∴CD=√33AC＝2√3，AD＝2CD＝4√3，当AB＝AD时，AB的值最大，∴AB最大值为4√3，MN的最大值为2√3．故答案为2√3．15．（2020•密云区一模）如图，AB为⊙O直径，点C为⊙O上一点，点D为AĈ的中点，且OD与AC相交于点E，若⊙O的半径为4，∠CAB＝30°，则弦AC的长度为．【分析】利用垂径定理得到OD⊥AC，AE＝CE，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出AE，从而得到AC的长．【解答】解：∵点D为AĈ的中点，∴OD⊥AC，∴AE＝CE，在Rt△OAE中，∵∠OAE＝30°，∴OE=12OA＝2，AE=√3OE＝2√3，∴AC＝2AE＝4√3．故答案为4√3．三．解答题（共14小题）16．（2020•北京一模）如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，点D为BĈ中点，过点D作DE⊥直线AC，垂足为E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若EF＝4，sin∠F=35，求⊙O的半径．【分析】（1）如图，连接BC ，OD ，根据圆周角定理得到∠ACB ＝90°，求得OD ⊥BC ，得到OD ⊥EF ，于是得到结论；（2）解直角三角形得到AE ＝3，AF ＝5，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：如图，连接BC ，OD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，又∵EF ⊥AE ，∴BC ∥EF ，∵点D 为BC ̂中点，∴OD ⊥BC ，∴OD ⊥EF ，又∵OD 是⊙O 的半径，∴EF 是⊙O 的切线；（2）解：在Rt △AEF 中，∠AEF ＝90°，EF ＝4，sin ∠F =35，∴AE ＝3，AF ＝5，∵OD ∥AE ，∴△ODF ∽△AEF ，∴OD AE =OF AF ，设⊙O 的半径为r ，则OD ＝r ，OF ＝AF ﹣AO ＝5﹣r ，∴r 3=5−r 5，解得r =158， ∴⊙O 的半径为158．17．（2020•海淀区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 为BC 边的中点，以AD 为直径作⊙O ，分别与AB ，AC 交于点E ，F ，过点E 作EG ⊥BC 于G ．（1）求证：EG 是⊙O 的切线；（2）若AF ＝6，⊙O 的半径为5，求BE 的长．【分析】（1）先判断出EF 是⊙O 的直径，进而判断出OE ∥BC ，即可得出结论；（2）先根据勾股定理求出AE ，再判断出BE ＝AE ，即可得出结论．【解答】（1）证明：如图，连接EF ，∵∠BAC ＝90°，∴EF 是⊙O 的直径，∴OA ＝OE ，∴∠BAD ＝∠AEO ，∵点D 是Rt △ABC 的斜边BC 的中点，∴AD ＝BD ，∴∠B ＝∠BAD ，∴∠AEO ＝∠B ，∴OE ∥BC ，∵EG ⊥BC ，∴OE⊥EG，∵点E在⊙O上，∴EG是⊙O的切线；（2）∵⊙O的半径为5，∴EF＝2OE＝10，在Rt△AEF中，AF＝6，根据勾股定理得，AE=√EF2−AF2=8，由（1）知OE∥BC，∵OA＝OD，∴BE＝AE＝8．18．（2020•平谷区一模）如图，等边△ABC，作它的外接圆⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交AC的延长线于点F．（1）依题意补全图形并证明：DF与⊙O相切；（2）若AB＝6，求CF的长．【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）连接DC，根据等边三角形的性质和直径所对圆周角是直径即可求出CF的长．【解答】解：（1）如图，。
2020北京市中考数学专题复习：一次函数、反比例函数综合题(含答案)
2. (2019 通州区一模)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y ＝2x 与函数 y ＝ x (x >0)的图象交于点 A (1， (2)过点 A 作 x 轴的平行线 l ，直线 y ＝2x ＋b 与直线 l 交于点 B ，与函数 y ＝ (x >0)的图象交于点 C ，与一、简单专题集训一次函数、反比例函数综合题(连续 5 年考查)类型一根据线段关系确定参数取值范围(8 年 2 考：2017.23、2016.21)1. (2019 海淀区二模)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y ＝x ＋b 与 x 轴、y 轴分别交于点 A ，B ，2与双曲线 y ＝x 的交点为 M ，N .(1)当点 M 的横坐标为 1 时，求 b 的值；(2)若 MN ≤3AB ，结合函数图象，直接写出 b 的取值范围.第 1 题图m2).(1)求 m 的值；mxx 轴交于点 D.①当点 C 是线段 BD 的中点时，求 b 的值；②当 BC >BD 时，直接写出 b 的取值范围.第 2 题图3.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，3)、点B(3，0)，一次函数y＝－2x的图象与直线AB交于点P.(1)求点P的坐标；(2)若点Q是x轴上一点，且△PQB的面积为6，求点Q的坐标；(3)若直线y＝－2x＋m与△AOB三条边只有两个公共点，求m的取值范围.第3题图数 y ＝x (x ＜0)的图象经过点 A. (2)若过点 A 的直线 l 平行于直线 OB ，且与函数 y ＝ (x ＜0)图象的另一个交点为 D. ②横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记函数 y ＝x (x ＜0)的图象在点 A ，D 之间的部分与线段 AD 围成的类型二根据区域内整点个数确定参数取值范围(8 年 2 考：2019.25、2018.23)1. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)与直线 y ＝kx (k ≠0)平行，与直线 y ＝3 相交于点A (3，3).(1)求 k 和 b 的关系式；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记直线 l ∶y ＝kx ＋b 、y ＝kx 、y ＝3 与 x 轴构成的封闭区域(不含边界)为 W .①当 k ＝2 时，结合函数图象，求区域 W 内的整点个数；②若区域 W 内恰有 2 个整点，直接写出 k 的取值范围.2. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，B (3，－3)，C (5，0)，以 OC ，CB 为边作平行四边形 OABC ，函k(1)求 k 的值；kx①求直线 l 的表达式；k区域(含边界)为 W .结合函数图象，直接写出区域 W 内(含边界)的整点个数.第 2 题图3. (2019 延庆区一模)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y ＝x (x＞0)的图象经过边长为 2 的正方形OABC 的顶点 B ，直线 y ＝mx ＋m ＋1 与 y ＝ (x ＞0)的图象交于点 D (点 D 在直线 BC 的上方)，与 x 轴交于点 (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记y ＝ (x ＞0)的图象在点 B 、D 之间的部分与线段 AB 、AE 、DEkkxE .(1)求 k 的值；kx围成的区域(不含边界)为 W .1①当 m ＝2时，直接写出区域 W 内的整点个数；②若区域 W 内恰有 3 个整点，结合函数图象，求 m 的取值范围.第 3 题图2.(2018石景山区一模)在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x(x＞0)的图象与直线l1：y＝x＋b交于点类型三根据面积关系确定参数取值范围1.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx＋1(k≠0)交y轴于点A，交x轴于点B(3，0)，平行于y轴的直线x＝2交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线x＝2上一点，且在点D的上方，设P(2，n).(1)求直线l的表达式和点A的坐标；(2)连接AP、BP，若△SABP ≤2△SABO，求n的取值范围.第1题图aA(3，a－2).(1)求a，b的值；(2)直线l2：y＝－x＋m与x轴交于点B，与直线l1交于点C，若S△ABC≥6，求m的取值范围.1. 如图，直线 y ＝3x ＋4 与 x 轴相交于点 A ，与 y 轴相交于点 B.2. (2019 东城区一模)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y ＝kx (k ≠0)与双曲线 y ＝x (x ＞0)交于点 A (2，n ).类型四根据线段、面积、图形求点坐标(8 年 2 考：2015.23、2012.17)2(1)求△AOB 的面积；(2)过点 B 作直线 BC 与 x 轴相交于点 △C ，若 ABC 的面积是 16，求点 C 的坐标.第 1 题图8(1)求 n 及 k 的值；(2)点 B 是 y 轴正半轴上的一点，且△OAB 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点 B 的坐标.k3.(2019房山区一模)已知一次函数y＝2x的图象与反比例函数y＝x(k≠0)在第一象限内的图象交于点A(1，m).(1)求反比例函数的表达式；(2)点B在反比例函数的图象上，且点B的横坐标为2.若在x轴上存在一点M，使MA＋MB的值最小，求点M的坐标.第3题图k4.(2019西城区二模)在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝ax＋b与双曲线y＝x交于点A(1，m)和点B(－2，－1)，点A关于x轴的对称点为点C.(1)①求k的值和点C的坐标；②求直线l的表达式；(2)过点B作y轴的垂线与直线AC交于点D，经过点C的直线与直线BD交于点E.若30°≤∠CED≤45°，直接写出点E的横坐标t的取值范围.1. 解：(1)∵点 M 是双曲线 y ＝ 上的点，且点 M 的横坐标为 1， b2. 解：(1)把 A (1，2)代入函数 y ＝ (x ＞0)中，把 y ＝1 代入函数 y ＝x中，参考答案类型一根据线段关系确定参数取值范围2x∴点 M 的坐标为(1，2).∵点 M 是直线 y ＝x ＋b 上的点， ∴b ＝1；(2)b ≤－1 或 b ≥1.【解法提示】当 b ＝±1 时，满足 MN ＝3AB ，如解图，结合函数图象可得， 的取值范围是 b ≤－1 或 b ≥1.第 1 题解图mx解得 m ＝2；(2)①如解图①，过点 C 作 x 轴的垂线，交直线 l 于点 E ，交 x 轴于点 F . ∵点 C 是线段 BD 的中点， ∴CE ＝CF ＝1.∴点 C 的纵坐标为 1.2得 x ＝2.∴点 C 的坐标为(2，1).把 C (2，1)代入函数 y ＝2x ＋b 中得：1＝4＋b ， 解得 b ＝－3；第 2 题解图①【解法提示】如解图②，当 BC >BD 时，点 C 在 AB 的上方，当 BC ＝BD 时，y C ＝2y B ＝4，∴可得 C (2 ，4).把 C ( ，4)代入函数 y ＝2x ＋b 中解得 b ＝3.∴当 BC ＞BD 时，b 的取值范围为 b ＞3.由题意：2·|m －3|·6＝6，⎩ ⎩②b ＞3.112第 2 题解图②3. 解：(1)如解图，∵A (0，3)、点 B (3，0)，∴直线 AB 的解析式为 y ＝－x ＋3.⎧⎪y ＝－2x ， 由⎨⎪y ＝－x ＋3，⎧⎪x ＝－3， 解得⎨⎪y ＝6，∴P (－3，6)；(2)设 Q (m ，0)，1解得 m ＝5 或 1，∴Q (1，0)或 Q (5，0)；(3)当直线 y ＝－2x ＋m 经过点 O 时，m ＝0， 当直线 y ＝－2x ＋m 经过点 B 时，m ＝6，∴若直线 y ＝－2x ＋m 与△AOB 三条边只有两个公共点，则 M 的取值范围为 0＜m ＜6.第 3 题解图【解法提示】将函数表达式 y ＝x与直线表达式 y ＝－x －5 联立并整理得：x 2＋5x ＋6＝0，解得 x ＝－2类型二根据区域内整点个数确定参数取值范围1. 解：(1)∵直线 l ：y ＝kx ＋b 过点 A (3，3)， ∴3＝3k ＋b .∴k 和 b 的关系式为 b ＝3－3k ； (2)①如解图所示，当 k ＝2 时，直线 l 表达式为 y ＝2x －3，直线 y ＝kx 为 y ＝2x ， 结合函数图象，区域 W 内的整点个数有 2 个；第 1 题解图②1＜k ≤2.【解法提示】当直线 y ＝kx 过点(2，2)时，此时直线的表达式为 y ＝x ，∵直线 l ：y ＝kx ＋b 过点(3，3)且与 y ＝x 平行，故此时直线 l 的表达式也为 y ＝x ，区域 w 内没有整点，又由(1)可知，当区域 W 内有 2 个整点时，k ＝2.综上所述，若区域 W 内恰有 2 个整点时，k 的取值范围为 1<k ≤2.2. 解：(1)∵B (3，－3)，C (5，0)，四边形 OABC 是平行四边形，∴AB ＝OC ＝5.∴点 A 的坐标为(－2，－3). ∴k ＝6；(2)①设直线 OB 的表达式为 y ＝mx ， 由 B 点坐标(3，－3)，可得 m ＝－1， ∵过点 A 的直线 l 平行于直线 OB ， ∴设直线 l 的表达式为 y ＝－x ＋b ，把点 A 的坐标(－2，－3)代入上式并解得 b ＝－5， ∴直线 l 的表达式为 y ＝－x －5； ②区域 W 内(含边界)有两个整点．6或－3，由(1)知 A (－2，－3)，∴点 D 的坐标为(－3，－2)，∴区域 W 内(含边界)只有 D 、A 两个整点．3. 解：(1)∵正方形 OABC 的边长为 2，把 B (2，2)代入 y ＝x(x ＞0)中，解得 k ＝2×2＝4； 【解法提示】①当 m ＝2时，则直线 y ＝mx ＋m ＋1 为 y ＝2 x ＋2 ，②当直线 y ＝mx ＋m ＋1 过(0，2)时，区域 W 内恰好有 2 个整点，如解图①所示，此时 m ＝2 ，结合函数图象，区域 W 内恰有 3 个整点，m 的取值范围为2 ＜m ≤1.∴B (2，2).k(2)①区域 W 内有 2 个整点；1 1 3作出图象如解图①所示，结合函数图象，区域 W 内有 2 个整点．第 3 题解图①3 1当直线 y ＝mx ＋m ＋1 过(0，2)时，区域 W 内恰好有 3 个整点，如解图②所示，第 3 题解图②则 2＝m ＋1，解得 m ＝1，1∴直线 l 的表达式是 y ＝－3x ＋1.∵x ＝2 时，y ＝－3 x ＋1＝3 ，且点 P 在点 D 的上方，∴PD ＝n －3 ，∴△S APD ＝2AM ·PD ＝2 ×2×(n －3 )＝n －3 ； ∴△S BPD ＝2×1×(n －3 )＝2 (n －3 )， ∴△S P AB ＝△S APD ＋△S BPD ＝2n －2 ； ∵2△S ABO ＝2×2 ·AO ·BO ＝1×3＝3.当 △S ABP ＝2△S ABO 时，2n －2 ＝3，解得 n ＝3 ， 综上所述，当 △S ABP ≤2△S ABO 时，n 的取值范围为3<n ≤3 . 2. 解：(1)∵点 A 在 y ＝ 图象上，类型三根据面积关系确定参数取值范围1. 解：(1)∵直线 l ：y ＝kx ＋1(k ≠0)交 y 轴于点 A ，交 x 轴于点 B (3，0)， ∴0＝3k ＋1.1∴k ＝－3 .1当 x ＝0 时，y ＝1，∴点 A (0，1)；(2)如解图，过点 A 作 AM ⊥PD ，垂足为点 M ，则有 AM ＝2，1 111 1 1 1∵B (3，0)，∴点 B 到直线 x ＝2 的距离为 △1，即 BDP 的边 PD 上的高长为 1，1 1 1 13 113 1 71 7第 1 题解图axa∴a －2＝3 .∴a ＝3.∴A (3，1).∵点 A 在 y ＝x ＋b 图象上，⎧x ＝m ＋2，解得⎨ ∴C ( 2， ). ∴2 ·(m －2)· 2－ (m －2)×1≥6. ⎪ ⎩ 2∴1＝3＋b .∴b ＝－2；(2)由(1)知直线 l 1 为 y ＝x －2.设直线 l 1∶y ＝x －2 与 x 轴的交点为 D ， ∴D (2，0).①当点 C 在点 A 的上方如解图①，第 2 题解图①∵直线 y ＝－x ＋m 与 x 轴交点为 B ，∴B (m ，0).∵点 C 在点 A 的上方， ∴m ＞4.∵直线 y ＝－x ＋m 与直线 y ＝x －2 相交于点 C ，⎧y ＝x －2， ∴⎨⎪y ＝－x ＋m ，2⎩y ＝m －2．m ＋2 m －22∵△S ABC ＝△S BCD －△S ABD ≥6，1 m －2 1 2∴m ≥8；②若点 C 在点 A 下方，如解图②， 此时 m ＜4.第 2 题解图②∵△S ABC ＝△S ABD ＋△S BCD ≥6，1 1 2－m∴2 (2－m )×1＋2 (2－m )·2 ∴m ≤－2.综上所述，m ≥8 或 m ≤－2.≥6.1.解：(1)把x＝0代入y＝x＋4得：y＝4，把y＝0代入y＝x＋4得：x＋4＝0，33∴△S AOB＝×6×4＝12；2∴△S ABC＝×4·AC＝16，22.解：(1)∵点A(2，n)在双曲线y＝上，∴n＝＝4.2(2)点B坐标为(0，8)，(0，25)，(0，).解得m＝，22类型四根据线段、面积、图形求点坐标23∴B(0，4)，22解得x＝－6，∴A(－6，0)，1(2)根据题意得：点B到AC的距离为4，1解得AC＝8，即点C到点A的距离为8，∴点C的坐标为(－14，0)或(2，0).8x8∴点A的坐标为(2，4).将A(2，4)代入y＝kx，得：4＝2k，解得k＝2；52【解法提示】分三种情况考虑，过点A作AC⊥y轴于点C，如解图所示．①当AB1＝AO时，CO＝CB1＝4，∴点B1的坐标为(0，8)；②当OA＝OB2时，∵点A的坐标为(2，4)，∴OC＝4，AC＝2.∴OA＝OC2＋AC2＝25.∴OB2＝25.∴点B2的坐标为(0，25)；③当B3O＝B3A时，设OB3＝m(m＞0)，则CB3＝4－m，AB3＝m，在Rt△ACB3中，AB3＝CB23＋AC2，即m2＝(4－m)2＋22，5∴点B3的坐标为(0，2).将A(1，2)代入反比例函数y＝x得k＝2，∴反比例函数的表达式为y＝x；∴点M的坐标为(3，0).⎪⎩⎩55综上所述：点B的坐标为(0，8)，(0，25)，(0，2).第2题解图3.解：(1)∵A(1，m)在一次函数y＝2x的图象上，∴m＝2.k2(2)如解图所示，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点M，此时MA＋MB最小，∴点A关于x轴的对称点A′(1，－2)，∵B(2，1)，⎧－2＝n＋b，设A′B的表达式为y＝nx＋b，代入点A′、B得⎨⎪1＝2n＋b，⎧⎪n＝3，解得⎨⎪b＝－5，∴直线A′B的表达式为y＝3x－5.5第3题解图4. 解：(1)①∵点 B (－2，－1)在双曲线 y ＝ 上， ∵点 A (1，m )在双曲线 y ＝ 上，x⎩ kx∴k ＝(－2)×(－1)＝2.2∴反比例函数解析式为 y ＝x .2∴m ＝2.∴A (1，2).∵点 A 关于 x 轴的对称点为点 C ， ∴C (1，－2)；②∵直线 l ：y ＝ax ＋b 经过点 A (1，2)和点 B (－2，－1)，⎧⎪2＝a ＋b ， 得⎨⎪－1＝－2a ＋b ，⎧⎪a ＝1， 解得⎨⎪⎩b ＝1.∴直线 l 的解析式为 y ＝x ＋1；(2)1－ 3 ≤t ≤0 或 2≤t ≤1＋ 3 .【解法提示】如解图，∵点 A 关于 x 轴的对称点为点 C ， ∴AC ∥y 轴． ∵BD ⊥y 轴，∴∠BDC ＝90°，D (1，－1). ∵C (1，－2)， ∴CD ＝1.①当点 E 在点 D 左侧时，当∠CED ＝45°时，DE ＝CD ＝1， ∴t ＝0.当∠CE ′D ＝30°时，DE ′＝ 3 CD ＝ 3 ， ∴t ＝1－ 3 .∵30°≤∠CED ≤45°， ∴1－ 3 ≤t ≤0；②当点 E 在点 D 右侧时，同理可得，2≤t ≤1＋ 3 ，综上所述，1－ 3 ≤t ≤0 或 2≤t ≤1＋ 3 .第4题解图。
2020中考数学复习(北京)第12课时 一次函数的图象与性质
由A、B两点均在直线l1上得
∴n的取值范围为n<2.(5分)
4 2k b， 0 6k b，
解得 k 1， 2
b 3，
则直线l1的表达式为y＝
1 2
x＋3；(2分)
第12课时 一次函数的图象与性质
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2. (2019北京25题5分)在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx＋1(k≠0)与直线x＝k， 直线y＝－k分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝－k交于点C. (1)求直线l与y轴的交点坐标； (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域(不含边界) 为W. ①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数； ②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围.
第1题图
第12课时 一次函数的图象与性质
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解：(1)∵点B在直线l2上，
(2)∵点C、D分别为直线x＝n与直线l1、l2的交点，
∴4＝2m，m＝2， ∴B点坐标为(2，4)， 设直线l1的表达式为y＝kx＋b，
∴当点C位于点D的上方时，l1在l2上方， 结合图象可知，当x<2时，l1在l2上方成立，
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(6)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点Q(0，q)为直线l下方一点，过点Q作x轴 的平行线，交直线l于点D，交y轴于点E，记线段ED，DN，EN围成的区域(不含边界) 为W. ①当q＝1时，直接写出区域W内的整点个数； ②若区域W内恰有6个整点，结合函数图象，求q的取值范围.
例1题图
第12课时 一次函数的图象与性质
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第12课时 一次函数的图象与性质
(5)已知一次函数y= 1 x+n的图像与线段MN有交点，求n的取值范围 2
2020年北京中考数学一模分类汇编——函数探究(学生版)
2020年北京中考数学一模分类汇编——函数探究1．（2020•西城区一模）如图，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝5cm．P是上的动点，设A，P两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为y1cm，C，P两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm01234y1/cm 4.00 3.69 2.130y2/cm 3.00 3.91 4.71 5.235（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），点（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，①当△PBC为等腰三角形时，AP的长度约为cm；②记所在圆的圆心为点O，当直线PC恰好经过点O时，PC的长度约为cm．2．（2020•朝阳区一模）有这样一个问题：探究函数的图象与性质并解决问题．小明根据学习函数的经验，对问题进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）函数的自变量x的取值范围是x≠2；（2）取几组y与x的对应值，填写在下表中．x…﹣4﹣2﹣101 1.2 1.252.75 2.834568…y…1 1.52367.5887.563m 1.51…m的值为；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象；（4）获得性质，解决问题：①通过观察、分析、证明，可知函数的图象是轴对称图形，它的对称轴是；②过点P（﹣1，n）（0＜n＜2）作直线l∥x轴，与函数的图象交于点M，N（点M在点N的左侧），则PN﹣PM的值为．3．（2020•东城区一模）如图，P是线段AB上的一点，AB＝6cm，O是AB外一定点．连接OP，将OP绕点O顺时针旋转120°得OQ，连接PQ，AQ．小明根据学习函数的经验，对线段AP，PQ，AQ的长度之间的关系进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）对于点P在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP，PQ，AQ的长度（单位：cm）的几组值，如表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7 AP0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00PQ 4.00 2.310.84 1.43 3.07 4.77 6.49AQ 4.00 3.08 2.23 1.57 1.40 1.85 2.63在AP，PQ，AQ的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当AQ＝PQ时，线段AP的长度约为cm．4．（2020•大兴区一模）已知：如图，线段AB＝5cm，∠BAM＝90°，P是与∠BAM所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．设A，D两点间的距离为xcm，P，D两点间的距离为y1cm，P，C两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0.00 1.00 1.56 1.98 2.50 3.38 4.00 4.40 5.00 y1/cm 2.75 3.24 3.61 3.92 4.32 5.06 5.60 5.95 6.50 y2/cm 2.75 4.74 5.34 5.66 5.94 6.24 6.37 6.43 6.50（1）在同一平面直角坐标系xOy中，画出各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（2）连接BP，结合函数图象，解决问题：当△BDP为等腰三角形时，x的值约为cm （结果保留一位小数）．5．（2020•石景山区一模）如图，C是上的一定点，P是弦AB上的一动点，连接PC，过点A作AQ⊥PC交直线PC于点Q．小石根据学习函数的经验，对线段PC，PA，AQ的长度之间的关系进行了探究．（当点P与点A重合时，令AQ＝0cm）下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）对于点P在弦AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PA，AQ的几组值，如表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9 PC/cm 4.07 3.10 2.14 1.68 1.260.890.76 1.26 2.14PA/cm0.00 1.00 2.00 2.50 3.00 3.54 4.00 5.00 6.00AQ/cm0.000.250.71 1.13 1.82 3.03 4.00 3.03 2.14在PC，PA，AQ的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当AQ＝PC时，PA的长度约为cm．（结果保留一位小数）6．（2020•通州区一模）如图1，四边形ABCD为矩形，曲线L经过点D．点Q是四边形ABCD 内一定点，点P是线段AB上一动点，作PM⊥AB交曲线L于点M，连接QM，点D、Q、L在同一条直线上．小东同学发现：在点P由A运动到B的过程中，对于x1＝AP的每一个确定的值，θ＝∠QMP都有唯一确定的值与其对应，x1与θ的对应关系如表所示：x1＝AP012345θ＝∠QMPα85°130°180°145°130°小芸同学在读书时，发现了另外一个函数：对于自变量x2在﹣2≤x2≤2范围内的每一个值，都有唯一确定的角度θ与之对应，x2与θ的对应关系如图2所示：根据以上材料，回答问题：（1）表格中α的值为．（2）如果令表格中x1所对应的θ的值与图2中x2所对应的θ的值相等，可以在两个变量x1与x2之间建立函数关系．①在这个函数关系中，自变量是，因变量是；（分别填入x1和x2）②请在网格中建立平面直角坐标系，并画出这个函数的图象；③根据画出的函数图象，当AP＝3.5时，x2的值约为．7．（2020•门头沟区一模）如图，点M是⊙O直径AB上一定点，点C是直径AB上一个动点，过点C作CD⊥AB交⊙O于点D，作射线DM交⊙O于点N，连接BD．小勇根据学习函数的经验，对线段AC，BD，MN的长度之间的数量关系进行了探究．下面是小勇的探究过程，请补充完整：（1）对于点C在AB的不同位置，画图，测量，得到了线段AC，BD，MN的长度的几组值，如表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7 AC/cm0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 BD/cm 6.00 5.48 4.90 4.24 3.46 2.450.00 MN/cm 4.00 3.27 2.83 2.53 2.31 2.14 2.00在AC，BD，MN的长度这三个量中，如果选择的长度为自变量，那么的长度和的长度为这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中确定的函数的图象；（3）结合函数图象解决问题：当BD＝MN时，线段AC的长度约为cm（结果精确到0.1）．8．（2020•房山区一模）如图1，在弧MN和弦MN所组成的图形中，P是弦MN上一动点，过点P作弦MN的垂线，交弧MN于点Q，连接MQ．已知MN＝6cm，设M、P两点间的距离为xcm，P、Q两点间的距离为y1cm，M、Q两点间的距离为y2cm．小轩根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小轩的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0123456y1/cm0 2.24 2.83 3.00 2.83 2.240y2/cm0 2.45 3.46 4.24m 5.486上表中m的值为．（保留两位小数）（2）在同一平面直角坐标系xOy（图2）中，函数y1的图象如图，请你描出补全后的表中y2各组数值所对应的点（x，y2），并画出函数y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△MPQ有一个角是30°时，MP的长度约为cm．（保留两位小数）9．（2020•丰台区一模）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（不与点A，B重合），AB＝5cm，过点C作CD⊥AB于点D，E是CD的中点，连接AE并延长交于点F，连接FD．小腾根据学习函数的经验，对线段AC，CD，FD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC，CD，FD的长度的几组值，如表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8 AC/cm0.10.5 1.0 1.9 2.6 3.2 4.2 4.9 CD/cm0.10.5 1.0 1.8 2.2 2.5 2.3 1.0 FD/cm0.2 1.0 1.8 2.8 3.0 2.7 1.80.5在AC，CD，FD的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解答问题：当CD＞DF时，AC的长度的取值范围是．10．（2020•平谷区一模）如图1，P是△ABC外部的一定点，D是线段BC上一动点，连接PD交AC于点E．小明根据学习函数的经验，对线段PD，PE，CD的长度之间的关系进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）对于点D在BC上的不同位置，画图、测量，得到了线段PD，PE，CD的长度的几组值，如表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9 PD/cm 2.56 2.43 2.38 2.43 2.67 3.16 3.54 4.45 5.61 PE/cm 2.56 2.01 1.67 1.47 1.34 1.32 1.34 1.40 1.48 CD/cm0.000.450.93 1.40 2.11 3.00 3.54 4.68 6.00在PD，PE，CD的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出图2中所确定的两个函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：连接CP，当△PCD为等腰三角形时，CD的长度约为cm．（精确到0.1）11．（2020•顺义区一模）如图，D是直径AB上一定点，E，F分别是AD，BD的中点，P 是上一动点，连接PA，PE，PF．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，E两点间的距离为y1cm，P，F两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0123456y1/cm0.97 1.27 2.66 3.43 4.22 5.02y2/cm 3.97 3.93 3.80 3.58 3.25 2.76 2.02（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△PEF为等腰三角形时，AP的长度约为cm．12．（2020•密云区一模）如图，点O是线段AB的中点，是以O为圆心，EF长为直径的半圆弧，点C是上一动点，过点O作射线AC的垂线，垂足为D．已知AB＝10cm，EF＝6cm，设A、C两点间的距离为xcm，O、D两点间的距离为y1cm，C、D两点间的距离为y2cm．小丽根据学习函数的经验，分别对函数y1和y2随自变量x变化而变化的规律进行了探究．下面是小丽的探究过程，请将它补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到y1和y2与x的几组对应值：x/cm234 4.55 5.5678y1/cm0 2.76m 2.96 2.86 2.70 2.49 1.850y2/cm 3.00 1.1800.470.90 1.30 1.67 2.36 3.00经测量，m的值是；（保留一位小数）（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1）和（x，y2），并画出函数y1、y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：连接OC，当△ODC是等腰三角形时，AC的长度约为cm．（结果保留一位小数）13．（2020•延庆区一模）如图1，AB是⊙O的弦，AB＝5cm，点P是弦AB上的一个定点，点C是弧上的一个动点，连接CP并延长，交⊙O于点D．小明根据学习函数的经验，分别对AC，PC，PD长度之间的关系进行了探究（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC，PC，PD的长度的几组值，如表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9 AC/cm00.37 1.00 1.82 2.10 3.00 3.50 3.91 5.00 PC/cm 1.000.810.690.75 1.26 2.11 2.50 3.00 4.00 PD/cm 4.00 5.00 5.80 6.00 3.00 1.90 1.50 1.32 1.00在AC，PC，PD的长度这三个量中，确定的长度是自变量，其他两条线段的长度都是这个自变量的函数；（2）请你在如图2所示的同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的两个函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：①当PC＝PD时，AC的长度约为cm；②当△APC为等腰三角形时，PC的长度约为cm．。
第11讲 一次函数的图象与性质(讲练)(解析版)
2021年中考数学一轮复习讲练测专题11一次函数的图像与性质1、知道一次函数与正比例函数的意义．2、结合具体情境体会一次函数的意义,根据已知条件确定一次函数表达式.3、会画一次函数的图象,根据一次函数的图象和解析表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解其性质(k＞0或k＜0时,图象的变化情况).1．（2020·北京中考真题）有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（）A．正比例函数关系B．一次函数关系C．二次函数关系D．反比例函数关系【答案】B【分析】hcm注水时间为t分钟，根据题意写出h与t的函数关系式，从而可得答案．设水面高度为,【详解】解：设水面高度为,hcm 注水时间为t 分钟，则由题意得：0.210,h t =+所以容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系，故选B ．【点睛】本题考查的是列函数关系式，判断两个变量之间的函数关系，掌握以上知识是解题的关键．2．（2020·广西中考真题）直线y ＝kx +2过点（﹣1，4），则k 的值是（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2【答案】A【分析】由直线y ＝kx +2过点（﹣1，4），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k 的一元一次方程，解之即可得出k 值．【详解】解：∵直线y ＝kx +2过点（﹣1，4），∴4＝﹣k +2，∴k ＝﹣2．故选：A ．【点睛】本题考查的是一次函数图像上点的坐标特点，以及利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握一次函数图像上的点满足函数解析式是解题的关键．3．（2020·安徽中考真题）已知一次函数3y kx =+的图象经过点A ，且y 随x 的增大而减小，则点A 的坐标可以是（ ）A ．()1,2-B ．()1,2-C ．()2,3D ．()3,4 【答案】B【分析】先根据一次函数的增减性判断出k 的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可．【详解】∵一次函数3y kx =+的函数值y 随x 的增大而减小，∴k ﹤0，A ．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意；B ．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意；C ．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意；D ．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k=13﹥0，此选项不符合题意， 故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的性质、待定系数法，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．4．（2020·江苏泰州市·中考真题）点(),P a b 在函数32y x =+的图像上，则代数式621a b -+的值等于（ ）A ．5B ．3C ．3-D ．1-【答案】C【分析】把(),P a b 代入函数解析式得32=+b a ，化简得32-=-a b ，化简所求代数式即可得到结果；【详解】把(),P a b 代入函数解析式32y x =+得：32=+b a ，化简得到：32-=-a b ，∴()()621=231=221=-3-+-+⨯-+a b a b ．故选：C ．【点睛】本题主要考查了通过函数解析式与已知点的坐标得到式子的值，求未知式子的值，准确化简式子是解题的关键．5．（2020·浙江嘉兴市·中考真题）一次函数21y x =--的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据一次函数的图象与系数的关系选出正确选项．【详解】解：根据函数解析式21y x =--，∵k 0<，∴直线斜向下，∵0b <，∴直线经过y 轴负半轴，图象经过二、三、四象限．故选：D ．【点睛】本题考查一次函数的图象，解题的关键是能够根据解析式系数的正负判断图象的形状． 6．（2020·山东济南市·中考真题）若m <﹣2，则一次函数()11y m x m =++-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由m ＜﹣2得出m +1＜0，1﹣m ＞0，进而利用一次函数的性质解答即可．【详解】解：∵m ＜﹣2，∴m +1＜0，1﹣m ＞0，所以一次函数()11y m x m =++-的图象经过一，二，四象限，故选：D ．【点睛】本题考查的是一次函数的图像与性质，不等式的基本性质，掌握一次函数y kx b =+中的,k b 对函数图像的影响是解题的关键 ．7．（2020·四川凉山彝族自治州·中考真题）已知一次函数y =（2m +1）x +m -3的图像不经过第二象限，则m 的取值范围（ ）A ．m>-12B ．m<3C ．-12<m<3D ．-12<m≤3 【答案】D【分析】一次函数的图象不经过第二象限，即可能经过第一，三，四象限，或第一，三象限，所以要分两种情况.【详解】当函数图象经过第一，三，四象限时，21030m m ⎧⎨-⎩＋＞＜，解得：－12＜m ＜3. 当函数图象经过第一，三象限时，21030m m ＋＞＝⎧⎨-⎩，解得m ＝3. ∴－12＜m≤3. 故选D.【点睛】一次函数的图象所在的象限由k ，b 的符号确定：①当k ＞0，b ＞0时，函数y ＝kx ＋b 的图象经过第一，二，三象限；②当k ＞0，b ＜0时，函数y ＝kx ＋b 的图象经过第一，三，四象限；③当k ＜0，b ＞0时，函数y ＝kx ＋b 的图象经过第一，二，四象限；④当k ＜0，b ＜0时，函数y ＝kx ＋b 的图象经过第二，三，四象限.注意当b ＝0的特殊情况.8．（2020·西藏中考真题）如图，一个弹簧不挂重物时长6cm ，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y （单位：cm ）关于所挂物体质量x（单位：kg ）的函数图象如图所示，则图中a 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】 根据题目中的函数解析式，可以求得y 与x 的函数关系式，然后令y ＝7.5，求出x 的值，即此时x 的值就是a 的值，本题得以解决．【详解】解：设y 与x 的函数关系式为y ＝kx+b ，6910.5b k b =⎧⎨+=⎩， 解得，k 0.5b 6=⎧⎨=⎩， 即y 与x 的函数关系式是y ＝0.5x+6，当y ＝7.5时，7.5＝0.5x+6，得x ＝3，即a 的值为3，故选：A ．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．9．（2019·浙江杭州市·中考真题）某函数满足当自变量1x =时，函数值0y =；当自变量0x =时，函数值1y =，写出一个满足条件的函数表达式_____.【答案】1y x =-+或21y x =-+或1y x =-等.【分析】由于题中没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，二次函数等方面考虑，只要符合题中的两个条件即可．【详解】符合题意的函数解析式可以是1y x =-+或21y x =-+或1y x =-等，(本题答案不唯一) 故答案为如1y x =-+或21y x =-+或1y x =-等.【点睛】本题考查一次函数、二次函数的解析式，解题的关键是知道一次函数、二次函数的定义. 10．（2020·贵州黔东南苗族侗族自治州·中考真题）把直线y ＝2x ﹣1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为_____．【答案】y ＝2x +3【分析】直接利用一次函数的平移规律进而得出答案．【详解】解：把直线y ＝2x ﹣1向左平移1个单位长度，得到y ＝2（x +1）﹣1＝2x +1，再向上平移2个单位长度，得到y ＝2x +3．故答案为：y ＝2x +3．【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握是解题的关键．11．（2020·天津中考真题）将直线2y x =-向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为________．【答案】21y x =-+【分析】根据直线的平移规律是上加下减的原则进行解答即可．【详解】解：∵直线的平移规律是“上加下减”，∴将直线2y x =-向上平移1个单位长度所得到的的直线的解析式为：21y x =-+； 故答案为：21y x =-+．【点睛】本题考查的是一次函数的图像与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解决本题目的关键． 12．（2020·山东临沂市·中考真题）点1,2m ⎛⎫-⎪⎝⎭和点(2,)n 在直线2y x b =+上，则m 与n 的大小关系是_________．【答案】m ＜n【分析】先根据直线的解析式判断出函数的增减性，再根据两点的横坐标大小即可得出结论．【详解】解：∵直线2y x b =+中，k=2＞0，∴此函数y 随着x 的增大而增大， ∵12-＜2， ∴m ＜n ．故答案为：m ＜n ．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 13．（2020·四川成都市·中考真题）一次函数(21)2y m x =-+的值随x 值的增大而增大，则常数m 的取值范围为_________． 【答案】12m >【分析】根据一次函数的性质得2m-1＞0，然后解不等式即可．【详解】解：因为一次函数(21)2y m x =-+的值随x 值的增大而增大，所以2m-1＞0． 解得12m >. 故答案为：12m >． 【点睛】本题考查了一次函数的性质：k ＞0，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；k ＜0，y 随x 的增大而减小，函数从左到右下降.14．（2020·辽宁丹东市·中考真题）一次函数2y x b =-+，且0b >，则它的图象不经过第_________象限．【答案】三【分析】根据一次函数的性质，即可得到答案．【详解】解：在一次函数2y x b =-+中，∵20-<，0b >，∴它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限；故答案为：三【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握0k <，0b >，经过第一、二、四象限是解题的关键．15．（2020·江苏宿迁市·中考真题）已知一次函数y ＝2x ﹣1的图象经过A （x 1，1），B （x 2，3）两点，则x 1_____x 2（填“＞”“＜”或“＝”）．【答案】＜【分析】由k ＝2＞0，可得出y 随x 的增大而增大，结合1＜3，即可得出x 1＜x 2．【详解】解：∵k ＝2＞0，∴y 随x 的增大而增大．又∵1＜3，∴x 1＜x 2．故答案为：＜．【点睛】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是牢记“当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小”．16．（2020·江苏南京市·中考真题）将一次函数24y x =-+的图象绕原点O 逆时针旋转90，所得到的图像对应的函数表达式是__________．【答案】122y x =+ 【分析】 根据原一次函数与x,y 轴的交点坐标，并求出旋转后这两点对应的坐标，再由待定系数法求解一次方程的表达式即可.【详解】∵一次函数的解析式为24y x =-+，∴设与x 轴、y 轴的交点坐标为()2,0A 、()0,4B ，∵一次函数24y x =-+的图象绕原点O 逆时针旋转90，∴旋转后得到的图象与原图象垂直，旋转后的点为()10,2A 、()1-4,0B ， 令y ax b =+，代入点得12a =，2b =， ∴旋转后一次函数解析式为122y x =+． 故答案为122y x =+． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像与几何变换，正确把握互相垂直的两直线的位置关系是解题的关键．17．（2020·湖南中考真题）已知一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象经过A （3，18）和B （﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数y ＝m x （m ≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．【答案】（1）一次函数的解析式为y ＝2x +12；（2）（﹣3，6）．【分析】（1）直接把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y ＝kx +b 中可得关于k 、b 的方程组，再解方程组可得k 、b 的值，进而求出一次函数的解析式；（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式可得2x 2+12x ﹣m ＝0，再根据题意得到△＝0时，两函数图像只有一个交点，解方程即可得到结论．【详解】解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y ＝kx +b （k ≠0），得31828k b k b +=⎧⎨-+=⎩， 解得212k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为y ＝2x +12；（2）∵一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数y ＝mx（m ≠0）的图象只有一个交点，∴212y x my x =+⎧⎪⎨=⎪⎩只有一组解， 即2x 2+12x ﹣m ＝0有两个相等的实数根， ∴△＝122﹣4×2×（﹣m ）＝0， ∴m ＝-18．把m ＝-18代入求得该方程的解为：x ＝-3， 把x ＝-3代入y ＝2x +12得：y ＝6， 即所求的交点坐标为（-3，6）． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法确定一次函数的解析式，运用判别式△求两个不同函数的交点坐标；特别地，小题（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式，运用只有一个交点时△＝0的知识点，是解答本小题关键所在．18．（2020·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象由函数y x =的图象平移得到，且经过点(1，2)． （1）求这个一次函数的解析式；（2）当1x >时，对于x 的每一个值，函数(0)y mx m =≠的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围． 【答案】（1）1y x =+；（2）2m ≥ 【分析】（1）根据一次函数(0)y kx b k =+≠由y x =平移得到可得出k 值，然后将点（1，2）代入y x b =+可得b 值即可求出解析式；（2）由题意可得临界值为当1x =时，两条直线都过点（1，2），即可得出当12x m >>，时，(0)y mx m =≠都大于1y x =+，根据1x >，可得m 可取值2，可得出m 的取值范围．【详解】（1）∵一次函数(0)y kx b k =+≠由y x =平移得到， ∴1k =，将点（1，2）代入y x b =+可得1b =， ∴一次函数的解析式为1y x =+；（2）当1x >时，函数(0)y mx m =≠的函数值都大于1y x =+，即图象在1y x =+上方，由下图可知：临界值为当1x =时，两条直线都过点（1，2）， ∴当12x m >>，时，(0)y mx m =≠都大于1y x =+， 又∵1x >，∴m 可取值2，即2m =， ∴m 的取值范围为2m ≥． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，函数图像的平移，一次函数的图像，找出临界点是解题关键．考点一一次函数图像与系数的关系例1．（2020·明光市明湖学校八年级月考）若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y＝bx+k的图象大致是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一次函数y=kx+b图象在坐标平面内的位置关系先确定k，b的取值范围，再根据k，b 的取值范围确定一次函数y=bx+k图象在坐标平面内的位置关系，从而求解．【详解】解：∵一次函数y=kx+b过一、二、四象限，∴则函数值y随x的增大而减小，图象与y轴的正半轴相交∴k＜0，b＞0，∴一次函数y＝bx+k的图象y随x的增大而增大，与y轴负半轴相交，∴一次函数y＝bx+k的图象经过一三四象限.故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的性质．函数值y随x的增大而减小⇔k＜0；函数值y随x的增大而增大⇔k＞0；一次函数y=kx+b图象与y轴的正半轴相交⇔b＞0，一次函数y=kx+b图象与y轴的负半轴相交⇔b＜0，一次函数y=kx+b图象过原点⇔b=0．【变式训练】=+的图象如图所示，则下列结论正确的1．（2020·湖南益阳市·中考真题）一次函数y kx b是（）A ．0k <B ．1b =-C ．y 随x 的增大而减小D ．当2x >时，0kx b +<【答案】B 【分析】根据一次函数的图象与性质判断即可． 【详解】由图象知，k ﹥0，且y 随x 的增大而增大，故A 、C 选项错误； 图象与y 轴负半轴的交点坐标为（0，-1），所以b=﹣1，B 选项正确； 当x ﹥2时，图象位于x 轴的上方，则有y ﹥0即+kx b ﹥0，D 选项错误， 故选：B ． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，利用数形结合法熟练掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键．2．（2020·江苏镇江市·中考真题）一次函数y ＝kx +3（k ≠0）的函数值y 随x 的增大而增大，它的图象不经过的象限是（ ） A ．第一 B ．第二C ．第三D ．第四【答案】D 【分析】根据一次函数y ＝kx +3（k ≠0）的函数值y 随x 的增大而增大，可以得到k ＞0，与y 轴的交点为（0，3），然后根据一次函数的性质，即可得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，从而可以解答本题． 【详解】解：∵一次函数y ＝kx +3（k ≠0）的函数值y 随x 的增大而增大， ∴k ＞0，该函数过点（0，3），∴该函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D ． 【点睛】本题考查了一次函数的性质及一次函数的图象．解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．考点二 一次函数的性质例2． （2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）对于一次函数2y x =+，下列说法不正确的是（ ） A ．图象经过点()1,3 B ．图象与x 轴交于点()2,0- C ．图象不经过第四象限 D ．当2x >时，4y <【答案】D 【分析】根据一次函数的图像与性质即可求解． 【详解】A.图象经过点()1,3，正确；B.图象与x 轴交于点()2,0-，正确C.图象经过第一、二、三象限，故错误；D.当2x >时，y ＞4，故错误； 故选D ． 【点睛】此题主要考查一次函数的图像与性质，解题的关键是熟知一次函数的性质特点． 【变式训练】1.（2020·广东广州市·中考真题）一次函数31y x =-+的图象过点()11,x y ，()121,x y +，()132,x y +，则（ ）A ．123y y y <<B ．321y y y <<C ．213y y y <<D ．312y y y <<【答案】B 【分析】根据一次函数的图象分析增减性即可． 【详解】因为一次函数的一次项系数小于0,所以y 随x 增减而减小． 故选B ． 【点睛】本题考查一次函数图象的增减性,关键在于分析一次项系数与零的关系．2.（2020·辽宁丹东市·中考真题）一次函数2y x b =-+，且0b >，则它的图象不经过第_________象限． 【答案】三 【分析】根据一次函数的性质，即可得到答案． 【详解】解：在一次函数2y x b =-+中， ∵20-<，0b >，∴它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限； 故答案为：三 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握0k <，0b >，经过第一、二、四象限是解题的关键．考点三 求一次函数的解析式例3（2020·湖南郴州市·中考真题）小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：小红的仰卧起坐成绩y 与日期x 之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为__________． 【答案】y=3x+37． 【分析】利用待定系数法即可求出该函数表达式．【详解】解：设该函数表达式为y=kx+b ，根据题意得：40243k b k b +⎧⎨+⎩＝＝， 解得337k b ⎧⎨⎩＝＝，∴该函数表达式为y=3x+37． 故答案为：y=3x+37． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，会利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键． 【变式训练】1．（2020·江西中考真题）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线223y x x =--与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，连接AB ，将Rt OAB 向右上方平移，得到Rt O A B '''△，且点O '，A '落在抛物线的对称轴上，点B '落在抛物线上，则直线A B ''的表达式为（ ） A ．y x = B ．1y x =+C ．12y x =+D ．2y x =+【答案】B 【分析】先求出A 、B 两点的坐标和对称轴，先确定三角形向右平移了1个单位长度，求得B′的坐标，再确定三角形向上平移5个单位，求得点A′的坐标，用待定系数法即可求解． 【详解】解：当y=0时，2230x x --=，解得x 1=-1，x 2=3， 当x=0时，y=-3， ∴A （0，-3），B （3，0）， 对称轴为直线12bx a=-=， 经过平移，A '落在抛物线的对称轴上，点B '落在抛物线上， ∴三角形Rt OAB 向右平移1个单位，即B′的横坐标为3+1=4， 当x=4时，y=42-2×4-3=5，∴B′（4，5），三角形Rt OAB 向上平移5个单位， 此时A′（0+1，-3+5），∴A′（1，2）， 设直线A B ''的表达式为y=kx+b ， 代入A′（1，2），B′（4，5），可得254k bk b =+⎧⎨=+⎩ 解得：11k b =⎧⎨=⎩，故直线A B ''的表达式为1y x =+， 故选：B ． 【点睛】本题考查二次函数的图象和与坐标轴的交点坐标、图形的平移和待定系数法求一次函数表达式等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图形和性质．2．（2020·贵州黔西南布依族苗族自治州·中考真题）如图，正比例函数的图象与一次函数y ＝－x ＋1的图象相交于点P ，点P 到x 轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是________．【答案】y ＝－2x 【分析】首先将点P 的纵坐标代入一次函数的解析式求得其横坐标，然后代入正比例函数的解析式即可求解． 【详解】∵点P 到x 轴的距离为2， ∴点P 的纵坐标为2，∵点P 在一次函数y ＝－x ＋1上， ∴2＝－x ＋1，解得x ＝－1， ∴点P 的坐标为（－1，2）． 设正比例函数解析式为y ＝kx ，把P （－1，2）代入得2＝－k ，解得k ＝－2， ∴正比例函数解析式为y ＝－2x ， 故答案为：y ＝－2x ． 【点睛】本题考查了用待定系数法求正比例函数解析式，及两函数交点问题的处理能力，熟练的进行点与线之间的转化计算是解题的关键．考点四 一次函数式图像的平移变换例4． （2020·山东日照市·中考真题）将函数y ＝2x 的图象向上平移3个单位，则平移后的函数解析式是（ ） A ．y ＝2x +3 B ．y ＝2x ﹣3C ．y ＝2（x +3）D ．y ＝2（x ﹣3）【答案】A 【分析】直接利用一次函数“上加下减”的平移规律即可得出答案． 【详解】解：∵将函数y ＝2x 的图象向上平移3个单位， ∴所得图象的函数表达式为：y ＝2x +3． 故选：A ． 【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，正确记忆“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键． 【变式训练】1．（2020·四川内江市·中考真题）将直线21y x =--向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（ ） A ．25y x =-- B ．23y x =--C ．21y x =-+D ．23y x =-+【答案】C【分析】向上平移时，k的值不变，只有b发生变化．【详解】解：原直线的k=-2，b=-1；向上平移两个单位得到了新直线，那么新直线的k=-2，b=-1+2=1．∴新直线的解析式为y=-2x+1．故选：C．【点睛】本题主要考查了一次函数图象的变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k和b的值发生变化．2.（2020·四川广安市·中考真题）一次函数y=2x＋b的图象过点（0，2），将函数y=2x＋b 的图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为________．【答案】y=2x＋7【分析】将点（0，2）代入一次函数解析式中,即可求出原一次函数解析式,然后根据平移方式即可求出结论．【详解】解：将点（0，2）代入y=2x＋b中，得2=b∴原一次函数解析式为y=2x＋2将函数y=2x＋2的图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为y=2x＋2＋5=2x＋7 故答案为：y=2x＋7．【点睛】此题考查的是求一次函数解析式和图象的平移，掌握利用待定系数法求一次函数解析式和一次函数的平移规律是解题关键．。
2020年北京初三数学一模分类汇编：函数图像性质探究(教师版)-
2020中考一模汇编---函数图像性质探究教师版（2020西城一模）24.如图，在△ABC 中，AB =4cm ，BC =5cm, P 是弧AB 上的动点.设A ，P 两点间的距离为x cm ，B ，P 两点间的距离为y 1cm ，C ，P 两点间的距离为y 2cm.小腾根据学习函数的经验，分别对函数y 1，y 2随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究。
下面是小腾的探究过程，请补充完整:(1)(2)在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x ， y 1)，(x ，y 2)，并画出函数y 1， y 2的图象:(3)结合函数图象。
①当△PBC 为等腰三角形时，AP 的长度约为____cm 24（2）画出函数y 1的图像：PC BA（2020朝阳一模）24．有这样一个问题：探究函数26-=x y 的图象与性质并解决问题． 小明根据学习函数的经验，对问题进行了探究. 下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）函数26-=x y 的自变量x 的取值范围是x ≠2；（2）取几组y 与x 的对应值，填写在下表中．4 2 1 m 的值为 ；（3）如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象； （4）获得性质，解决问题：①通过观察、分析、证明，可知函数62y x =-的图象是轴对称图形，它的对称轴是 ；②过点P （1，n ）（0＜n ＜2）作直线l ∥x 轴，与函数62y x =-的图象交于点M ，N (点M 在点N 的左侧)，则PN PM -的值为 .24.解：（2）m =2； （3）（4）①直线x =2；②6（2020丰台一模）25．如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（不与点A，B重合），AB=6cm，过点C作CD⊥AB于点D，E是CD的中点，连接AE并延长交弧AB于点F，连接FD．（3）结合函数图象，解答问题：当CD＞DF时，AC的长度的取值范围是.25. 解：（1）AC，CD，FD. …….…...…...…….…….….……….…...….….....………2分（2）正确画出函数图象：（3）3.5cm<x<5cm.（2020延庆一模）25．如图，AB是⊙O的弦，AB=5cm，点P是弦AB上的一个定点，点C是弧AB上的一个动点，连接CP并延长，交⊙O于点D.小明根据学习函数的经验，分别对AC，PC，PD长度之间的关系进行了探究.下面是小明的探究过程：的长度这三个量中，确定的长度是自变量，其他两条线段的长度都是这个自变量的函数；（2）请你在同一平面直角坐标系xOy中，画（1）中所确定的两个函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：①当PC=PD时，AC的长度约为cm；②当△APC为等腰三角形时，PC的长度约为cm.解：（1）由于PC和PD随着AC的变化而变化，∴确定AC的长度是自变量，其他两条线段的长度都是这个自变量的函数，故答案为：AC；（2）函数图象如图所示：第（2）问图第（3）问图（3）①由函数图象得：当PC=PD时，AC的长度约为2.9cm；②∵当AC＝0时，点A和点C重合，此时PC＝1cm，∴AP＝1cm，当AP＝AC＝1cm时，由表格得，PC＝0.69cm，当AP＝PC＝1cm时，则PC＝1cm，当AC＝PC时，如图，由函数图象得，PC≈0.8cm，（2020房山一模）25.如图25-1，在弧MN和弦MN所组成的图形中，P是弦MN上一动点，过点P作弦MN的垂线，交弧MN于点Q，连接MQ．已知MN＝6 cm，设M、P两点间的距离为x cm，P、Q两点间的距离为y1cm，M、Q两点间的距离为y2cm．小轩根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小轩的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cmx/cm0 1 2 3 4 5 6y1/cm0 2.24 2.83 3.00 2.83 2.24 0y2/cm0 2.45 3.46 4.24 m 5.48 6上表中m的值为_______.（保留两位小数）（2）在同一平面直角坐标系xOy（图25-2）中，函数y1的图象如图，请你描出补全后的表中y2各组数值所对应的点（x，y2），并画出函数y2的图象；图25-1 图25-2（3）结合函数图象，解决问题：当△MPQ有一个角是30°时，MP的长度约为________cm.（保留两位小数）解：（1）4.90（2）第（2）问图第（3）问图（3）1.50，4.50（2020平谷一模）25.如图，P 是△ABC 外部的一定点，D 是线段BC 上一动点，连接PD 交AC 于点E .小明根据学习函数的经验，对线段PD ，PE ，CD 的长度之间的关系进行了探究， 下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）对于点D 在BC 上的不同位置，画图、测量，得到了线段PD ，PE ，CD 的长度的几组值，如下表:在PD ，PE ，CD 的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出(1)中所确定的两个函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：连接CP ，当△PCD 为等腰三角形时，CD 的长度约为 cm （精确到0.1） 解：25.（1）确定 CD 的长度是自变量， PD 的长度和 PE 的长度都是这个自变量的函数；(2)(3)2.6，1.9，3.5（2020顺义一模）24．如图，D是直径AB上一定点，E，F分别是AD，BD的中点，P是弧AB上一动点，连接P A，PE，PF．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为x cm，P，E两点间的距离为y1cm，P，F两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：(1)(2)在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，(x，y2)，并画出函数y1，y2的图象；(3)结合函数图象，解决问题：当△PEF为等腰三角形时，AP的长度约为cm．24．解：（1）表中的所填数值是1.9；……………………………………………1分（2）（3）结合函数图象，解决问题：当△PEF为等腰三角形时，AP的长度约为3.5，3.8，4.6 cm．BA（2020密云一模）25. 如图，点O 是线段AB 的中点，EF 是以O 为圆心，EF 长为直径的半圆弧，点C 是EF 上一动点，过点O 作射线AC 的垂线，垂足为D .已知AB=10cm ，EF=6cm ，设A 、C 两点间的距离为xcm ，O 、D 两点间的距离为y 1cm ，C 、D 两点间的距离为y 2cm .小丽根据学习函数的经验，分别对函数y 1和y 2随自变量x 变化而变化的规律进行了探究.下面是小丽的探究过程，请将它补充完整：（1）表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到y 1和y 2与x 的几组对应值：经测量，m 的值是 ；（保留一位小数）（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x ，y 1）和（x ，y 2），并画出函数y 1、y 2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：连接OC ，当△ODC 是等腰三角形时，AC 的长度约为 cm . （结果保留一位小数） 25．（1）3.0 （2）（3）2.4或6.6x(2020通州一模)25.如图1，四边形ABCD为矩形，曲线L经过点D，点Q是四边形ABCD内一定点，点P是线段AB 上一动点，作PM⊥AB交曲线L于点M，链接QM。
2014-2023北京中考真题数学汇编：二次函数的图像和性质
2014-2023北京中考真题数学汇编二次函数的图像和性质（1）求点C 的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．7．（2017北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=x 2-4x+3与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求直线BC 的表达式；（2）垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点()()1122P ,,,x y Q x y ，与直线BC 交于点()33N ,x y ，若x 1<x 2<x 3，结合函数的图象，求x 1+x 2+x 3的取值范围.8．（2016北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=mx 2－2mx ＋m －1（m ＞0）与x 轴的交点为A ，B ．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求线段AB 上整点的个数；②若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m 的取值范围．9．（2015北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，过点（0，2）且平行于x 轴的直线，与直线y ＝x －1交于点A ，点A 关于直线x ＝1的对称点为B ，抛物线C 1：y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A ，B ．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若拋物线C2：y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围.（3）过点(0，m)（0m >）作平行于x 21||(1)(2)6y x x x x =-+≥-的图象有两个交点，则抛物线的表达式为对称轴的取值范围是∵经过点代入得：∴抛物线的表达式为对称轴二次函数的最小值为的解析式为时，的取值范围是251034a a a --=，解得13a =．②当抛物线过点B 时．34a -=，解得43a =-．③当抛物线顶点在BC 上时．此时顶点为（1，4）∴234a a a --=，解得1a =-．∴综上所述43a <-或13a ≥或1a =-点睛：属于二次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，点的平移，抛物线对称轴，抛物线与线段交点问题，注意分类讨论思想在解题中的应用7．（1）y=-x+3;(2)7<x 1+x 2+x 3<8.【详解】试题分析：（1）先求A 、B【点睛】本题考查二次函数与形正确地求解是关键.8．（1）顶点坐标（1，－【详解】试题分析：（1）将抛物线表达式变为顶点式，即可得到顶点坐标；（2）①m=1时，抛物线表达式为②抛物线顶点为（1，-1）0，所以即要求AB线段上（含到A、B两点坐标分别为（得到123m≤<，即可得到结论．试题解析：（1）将抛物线表达式变为顶点式（2）①m=1时，抛物线表达式为的整点有（0，0），（1，0②抛物线顶点为（1，-1）。
北京市2020年中考数学真题模拟题汇编专题2图形的性质之解答题含解析
专题12 图形的性质之解答题（1）（50道题）一．解答题（共50小题）1．（2019•北京）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD ＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．【答案】（1）证明：∵到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∴图形G为△ABC的外接圆⊙O，∵AD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴，∴AD＝CD；（2）如图，∵AD＝CM，AD＝CD，∴CD＝CM，∵DM⊥BC，∴BC垂直平分DM，∴BC为直径，∴∠BAC＝90°，∵，∴OD⊥AC，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线，∴直线DE与图形G的公共点个数为1．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和圆周角定理、切线的判定．2．（2019•北京）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP＝∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON＝QP，并证明．【答案】解：（1）如图1所示为所求．（2）设∠OPM＝α，∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN∴∠MPN＝150°，PM＝PN∴∠OPN＝∠MPN﹣∠OPM＝150°﹣α∵∠AOB＝30°∴∠OMP＝180°﹣∠AOB﹣∠OPM＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α∴∠OMP＝∠OPN（3）OP＝2时，总有ON＝QP，证明如下：过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2∴∠NCP＝∠PDM＝∠PDQ＝90°∵∠AOB＝30°，OP＝2∴PD OP＝1∴OD∵OH 1∴DH＝OH﹣OD＝1∵∠OMP＝∠OPN∴180°﹣∠OMP＝180°﹣∠OPN即∠PMD＝∠NPC在△PDM与△NCP中∴△PDM≌△NCP（AAS）∴PD＝NC，DM＝CP设DM＝CP＝x，则OC＝OP+PC＝2+x，MH＝MD+DH＝x+1∵点M关于点H的对称点为Q∴HQ＝MH＝x+1∴DQ＝DH+HQ＝1+x+1＝2+x∴OC＝DQ在△OCN与△QDP中∴△OCN≌△QDP（SAS）∴ON＝QP【点睛】本题考查了根据题意画图，旋转的性质，三角形内角和180°，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中心对称的性质．第（3）题的解题思路是以ON＝QP为条件反推OP的长度，并结合（2）的结论构造全等三角形；而证明过程则以OP＝2为条件构造全等证明ON＝QP．3．（2019•北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧．（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．【答案】解：（1）如图2，以DE为直径的半圆弧，就是△ABC的最长的中内弧，连接DE，∵∠A＝90°，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，∴BC4，DE BC4＝2，∴弧2π＝π；（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，①当t时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），F（，1），设P（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1，∵OA＝OC，∠AOC＝90°∴∠ACO＝45°，∵DE∥OC∴∠AED＝∠ACO＝45°作EG⊥AC交直线FP于G，FG＝EF根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；∴m综上所述，m或m≥1．②如图4，设圆心P在AC上，∵P在DE中垂线上，∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM，∴P（t，），∵DE∥BC∴∠ADE＝∠AOB＝90°∴AE，∵PD＝PE，∴∠AED＝∠PDE∵∠AED+∠DAE＝∠PDE+∠ADP＝90°，∴∠DAE＝∠ADP∴AP＝PD＝PE AE由三角形中内弧定义知，PD≤PM∴AE，AE≤3，即3，解得：t，∵t＞0∴0＜t．【点睛】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．4．（2019•北京）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O．若BD＝4，tan G，求AO的长．【答案】（1）证明：连接BD，如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD，∵BE＝DF，∴AB：BE＝AD：DF，∴EF∥BD，∴AC⊥EF；（2）解：如图2所示：∵由（1）得：EF∥BD，∴∠G＝∠ADO，∴tan G＝tan∠ADO，∴OA OD，∵BD＝4，∴OD＝2，∴OA＝1．【点睛】本题考查了菱形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．5．（2019•怀柔区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点A，B和图形ω，如果在图形ω上存在点P，Q（P，Q可以重合），使得AP＝2BQ，那么称点A与点B是图形ω的一对“倍点”．已知⊙O的半径为1，点B（0，3）．（1）①点B到⊙O的最大值，最小值；②在A1（5，0），A2（0，10），A3（，）这三个点中，与点B是⊙O的一对“倍点”的是A1；（2）在直线y x+b上存在点A与点B是⊙O的一对“倍点”，求b的取值范围；（3）正方形MNST的顶点M（m，1），N（m+1，1），若正方形上的所有点与点B都是⊙O的一对“倍点”，直接写出m的取值范围．【答案】解：（1）①点B到⊙O的最大值是BO+r＝3+1＝4；点B到⊙O的最小值是BO﹣r＝3﹣1＝2；②A1到圆O的最大值6，最小值4；A2到圆O的最大值11，最小值9；A3到圆O的最大值3，最小值1；点B到⊙O的最大值是4，最小值是2；在圆O上存在点P，Q，使得AP＝2BQ，则A1与B是⊙O的一对“倍点”，故答案为A1；（2）∵点B到⊙O的最大值是4，最小值是2∴4≤2BQ≤8，∵O到直线的最大距离是9，即OD＝9，∵∠DCO＝60°，∴CO＝6∴∴；（3）当m＞0时，S（m+1，0），T（m，0），则m+1≥4，∴m≥3，S（m+1，2），T（m，2），则OS≤9，∴9，∴m1；∴3≤m1；当m＜0时，S（m+1，0），T（m，0），则m≤﹣4，S（m+1，2），T（m，2），则OT≤9，∴9，∴m，∴m≤﹣4；综上所述：3≤m1或m≤﹣4；【点睛】本题考查圆的综合；熟练掌握圆与直线，圆与正方形的关系，点到圆上距离的最值的求法是解题的关键．6．（2019•东城区二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形P和直线AB，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为直线AB上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P和直线AB之间的“确定距离”，记作d（P，直线AB）．已知A（2，0），B（0，2）．（1）求d（点O，直线AB）；（2）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1，若d（⊙T，直线AB）≤1，直接写出t的取值范围；（3）记函数y＝kx，（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形Q．若d（Q，直线AB）＝1，直接写出k的值．【答案】解：（1）如图1中，作OH⊥AB于H．∵A（2，0），B（0，2），∴OA＝OB＝2，AB＝2，∵OA×OB AB×OH，∴OH，∴d（点O，直线AB）；（2）如图2中，作TH⊥AB于H，交⊙T于D．当d（⊙T，直线AB）＝1时，DH＝1，∴TH＝2，AT＝2，∴OT＝22，∴T（2﹣2，0），根据对称性可知，当⊙T在直线AB的右边，满足d（⊙T，直线AB）＝1时，T（2+2，0），∴满足条件的t的值为2﹣2t．（3）如图3中，当直线经过点D（2，0）与直线AB平行时，此时两直线之间的距离为1，该直线的解析式为y＝﹣x+2，当直线y＝kx经过E（1，1）时，k＝1，当直线y＝kx经过F（﹣1，3），k＝﹣3，综上所述，满足条件的k的值为﹣3或1．【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，图形P和直线AB之间的“确定距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．（2019•朝阳区二模）∠MON＝45°，点P在射线OM上，点A，B在射线ON上（点B与点O在点A的两侧），且AB＝1，以点P为旋转中心，将线段AB逆时针旋转90°，得到线段CD（点C与点A对应，点D与点B对应）．（1）如图，若OA＝1，OP，依题意补全图形；（2）若OP，当线段AB在射线ON上运动时，线段CD与射线OM有公共点，求OA的取值范围；（3）一条线段上所有的点都在一个圆的圆内或圆上，称这个圆为这条线段的覆盖圆．若OA＝1，当点P 在射线OM上运动时，以射线OM上一点Q为圆心作线段CD的覆盖圆，直接写出当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时OP和OQ的长度．【答案】解：（1）∵OA＝1，OP，∠MON＝45°，∴PA⊥OA，PA＝1∴OC∥OA，PC＝1．由旋转性质可知：PC⊥CD，CD＝AB＝1，∴D正好落在OM上．补全图形，如图1所示．（2）如图2，作PE⊥OM交ON于点E，作EF⊥ON交OM于点F．∵OP，∠MON＝45°，∴OE＝2．由题意可知，当线段AB在射线ON上从左向右平移时，线段CD在射线EF上从下向上平移，且OA＝EC．如图2，当点D与点F重合时，OA取得最小值为1．如图3，当点C与点F重合时，OA取得最大值为2．综上所述，OA的取值范围是1≤OA≤2．（3）如图4．作PE⊥OM交ON于点E，作EF⊥ON交OM于点Q．当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时直径为CD＝1，Q在CD的中点，QC由（2）可知CE＝OA＝1，∴QE，∵∠MON＝45°，∴OP，OQ．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是根据旋转的性质找到OA＝CE，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．8．（2019•海淀区二模）对于平面直角坐标系xOy中的两个图形M和N，给出如下定义：若在图形M上存在一点A，图形N上存在两点B，C，使得△ABC是以BC为斜边且BC＝2的等腰直角三角形，则称图形M与图形N具有关系φ（M，N）．（1）若图形X为一个点，图形Y为直线y＝x，图形X与图形Y具有关系φ（X，Y），则点，P2（1，1），P3（2，﹣2）中可以是图形X的是P1；（2）已知点P（2，0），点Q（0，2），记线段PQ为图形X．①当图形Y为直线y＝x时，判断图形X与图形Y是否既具有关系φ（X，Y）又具有关系φ（Y，X），如果是，请分别求出图形X与图形Y中所有点A的坐标；如果不是，请说明理由；②当图形Y为以T（t，0）为圆心，为半径的⊙T时，若图形X与图形Y具有关系φ（X，Y），求t的取值范围．【答案】解：（1）P1；如图1，过P1作P1∁I⊥y轴交直线y＝x于点C1，作P1B1⊥x轴于B1（B1与O重合），∵P1（0，），∴P1O，将y代入y＝x中，得x∴C1（，），即：C1P1＝B1P1∴ 2∴P1（0，）与图形Y（直线y＝x）具有关系φ（X，Y）；∵P2（1，1）在直线y＝x上，∴P2（1，1）与图形Y（直线y＝x）不具有关系φ（X，Y）；∵P3（2，﹣2）∴B3（﹣2，﹣2），C3（2，2），∴B3C34 2∴P3（2，﹣2）与图形Y（直线y＝x）不具有关系φ（X，Y）；故答案为P1（0，）（2）①是，如图2，在直线y＝x上取点B，C，且BC＝2，则满足△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形的点A，在到直线y＝x距离为1的两条平行直线上．这两条平行直线与PQ分别交于A1，A2两点．故图形X与图形Y满足φ（X，Y）．直线y＝x与线段PQ交于点M（1，1），过点M作MH⊥y轴于H，与A1B交于点N，则MA1＝1，，可得A1（，）．同理可求得A2（，）．如图3，在线段PQ上取点B，C，且BC＝2，则满足△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形的点A在图中的两条线段上，这两条线段与直线y＝x交于A3，A4两点．故图形X与图形Y满足φ（Y，X）．同上可求得A3（，），A4（，）．②如图3，当△QB1C1为等腰直角三角形，且斜边B1C1＝2时，连接QT1交B1C1于S，则QS＝B1S＝C1S＝1，B1T1，∴T1S＝2，T1Q＝2+1＝3∴T1O∴T1（，0），同理可求得：T2（﹣1，0），T3（2，0），T4（5，0），∴或．【点睛】本题是一道新定义的圆综合题，考查了等腰直角三角形的性质，圆的性质等，关键是要理解新定义，并能够运用新定义解决问题．9．（2019•丰台区一模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：若在图形G上存在两个点A，B，使得以P，A，B为顶点的三角形为等边三角形，则称P为图形G的“等边依附点”．（1）已知M（﹣3，），N（3，）．①在点C（﹣2，2），D（0，1），E（1，）中，是线段MN的“等边依附点”的是D，E；②点P（m，0）在x轴上运动，若P为线段MN的“等边依附点”，求点P的横坐标m的取值范围；（2）已知⊙O的半径为1，若⊙O上所有点都是某条线段的“等边依附点”，直接写出这条线段长n的取值范围．【答案】解：（1）①D，E；如图1，过点C作CD⊥MN于D，连接CM，过点E作EF⊥MN于F，连接EN，EM，DM，DN，∵tan∠CMD2tan60°，∴∠CMD＞60°，∴点C不是线段MN的“等边依附点”；∵tan∠DMN＝tan∠DNM，∴∠DMN＝∠DNM＜60°∴D是线段MN的“等边依附点”；∵tan∠ENF，tan∠EMN∴∠ENF＝60°，∠EMN＜60°∴E是线段MN的“等边依附点”；故答案为D，E②在图1中，分别在线段MN上方作∠NMQ＝∠MNP＝60°，角的一条边与MN重合，另一边分别与x 轴交于Q，P，作QD⊥MN于D，∵tan60°，即：，解得：MD＝1∴Q（﹣2，0）同理，可得P（2，0）∴点P的横坐标m的取值范围为：﹣2≤m≤2；（2）如图2，△ABC是等边三角形，点O为AB的中点，⊙O与AC、BC分别相切于P、Q，∵△ABC是等边三角形∴∠BAC＝∠ABC＝60°连接CO，OP，OQ，则OC⊥AB，OP⊥AC，OQ⊥BC∴sin60°，sin60°；∵OP＝OQ＝1∴OA＝OB∴AB的最小值为，∴．【点睛】本题是有关圆的一道综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质，等边三角形的性质等，解题的关键是正确理解新定义：图形G的“等边依附点”；并能够结合定义画出图形．10．（2019•房山区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝4∠BAC．延长BC到点D，使CD＝CB，连接AD，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠B＝2∠BAD；（3）用等式表示线段EA，EB和DB之间的数量关系，并证明．【答案】解：（1）补全图形如图：（2）证明：∵∠ACB＝90°，CD＝CB，∴AD＝AB．∴∠BAD＝2∠BAC．∵∠B＝4∠BAC，∴∠B＝2∠BAD．（3）EA＝EB+DB，证明：在EA上截取EG＝EB，连接DG．∵DE⊥AB，∴DG＝DB．∴∠DGB＝∠B．∵∠B＝2∠BAD，∴∠DGB＝2∠BAD．∵∠DGB＝∠BAD+∠ADG，∴∠BAD＝∠ADG．∴GA＝GD．∴GA＝DB．∴EA＝EG+AG＝EB+DB．【点睛】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识．11．（2019•通州区三模）如图，已知线段AB＝6cm，过点B做射线BF且满足∠ABF＝40°，点C为线段AB 中点，点P为射线BF上的动点，连接PA，过点B作PA的平行线交射线PC于点D，设PB的长度为xcm，PD的长度为y1cm，BD的长度为y2cm．（当点P与点B重合时，y1与y2的值均为6cm）小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x（0≤x≤6）的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0 1 2 3 4 5 6y1/cm 6.0 4.7 3.9 4.1 5.1 6.6 8.4y2/cm 6.0 5.3 4.7 4.2 3.9 4.1 （说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出y1，y2的图象；（3）结合函数图象解决问题：当△PDB为等腰三角形时，则BP的长度约为 3.1或3.9cm；（4）当x＞6时，是否存在x的值使得△PDB为等腰三角形否（填“是”或者“否”）．【答案】解：（1）由画图可得，x＝4时，BD＝y2≈3.9．（2）如图所示，（3）由y1与y2的交点的横坐标可知，x＝3.1cm时，PD＝BD，由直线y＝x与y2的交点的横坐标可知，x＝3.9cm时，PB＝BD，观察图象可知，PB不可能等于PD，故答案为3.1或3.9．（4）观察图象可知，x＞6时，△PDB不可能为等腰三角形．故答案为否．【点睛】本题考查函数的图象，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．12．（2019•石景山区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在边AC上，⊙O与边AC相交于点D、与边AB相切于点E，过点D作DP∥BC交AB于点P．（1）求证：PD＝PE；（2）连接CP，若点E是AP的中点，OD：DC＝2：1，CP＝13，求⊙O的半径．【答案】（1）证明：∵DP∥BC，∠C＝90°，∴∠ADP＝∠C＝90°．∴PD⊥OD．∴PD是⊙O的切线，∵PE是⊙O的切线，∴PD＝PE；（2）解：连接OE，DE．∵点E是AP的中点，∴DE＝EP＝EA．∵PD＝PE，∴PD＝PE＝DE．∴△DEP是等边三角形，∴∠APD＝60°，∴∠A＝30°．∵PE与⊙O切点E，∴∠AEO＝90°．∵OD：DC＝2：1，∴设DC＝x，则OD＝2x．在Rt△AOE中，tan A则OE＝OD＝2x，则AE＝PD＝2x．在Rt△CPD中，DC2+PD2＝CP2，∴x2+（2x）2＝132，解得x∴⊙O的半径为2．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，切线长定理，直角三角形斜边中线的性质，直角三角函数等，作出辅助线构建等边三角形是解题的关键．13．（2019•丰台区二模）如图1，M是圆中上一定点，P是弦AB上一动点，过点A作射线MP的垂线交圆于点C，连接PC．已知AB＝5cm，设A、P两点间的距离为xcm，A、C两点间的距离为y1cm，P、C 两点的距离为y2cm．小帅根据学习函数的经验，分别对函数y1、y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小帅的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点，画图、测量，分别得到了y1、y2与x的几组对应值；x/cm0 1 2 3 4 5y1/cm 2.55 3.15 3.95 4.76 4.95 4.30y2/cm 2.55 2.64 2.67 2.11 1.13 2.55 （2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1、y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：在点P的运动过程中，当AC与PC的差为最大值时，AP的长度约为4 cm．【答案】解：（1）经测量得：当x＝3时，y2＝2.11；（2）用描点法，描绘如下图象，（3）从图象可以看出，当x＝4时，AC与PC的差为最大值，故答案为4．【点睛】本题为圆的综合运用题，主要考查的是描点作图，根据图象，确定题设已知条件，从图中观察、测量出求解得结论，一般难度不大．14．（2019•西城区二模）对于平面内的∠MAN及其内部的一点P，设点P到直线AM，AN的距离分别为d1，d2，称和这两个数中较大的一个为点P关于∠MAN的“偏率”．在平面直角坐标系xOy中，（1）点M，N分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的两个点．①若点P的坐标为（1，5），则点P关于∠MON的“偏率”为5；②若第一象限内点Q（a，b）关于∠MON的“偏率”为1，则a，b满足的关系为a＝b；（2）已知点A（4，0），B（2，2），连接OB，AB，点C是线段AB上一动点（点C不与点A，B重合）．若点C关于∠AOB的“偏率”为2，求点C的坐标；（3）点E，F分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的两个点，动点T的坐标为（t，4），⊙T是以点T为圆心，半径为1的圆．若⊙T上的所有点都在第一象限，且关于∠EOF的“偏率”都大于，直接写出t的取值范围．【答案】解：（1）①∵点M，N分别在x轴正半轴，y轴正半轴上∴点P（1，5）到OM距离d1＝5，到ON距离d2＝1∴点P关于∠MON的“偏率”为： 5故答案为：5．②∵点Q（a，b）在第一象限，到OM距离d1＝b，到ON距离d2＝a∴点Q关于∠MON的“偏率”为：1或 1∴a＝b故答案为：a＝b．（2）过点C作CD⊥OA于点D，CH⊥OB于点H，如图1，∴∠CDA＝∠CHB＝90°∵点A（4，0），B（2，2）∴OA＝4，OB4，AB 4∴OA＝OB＝AB∴△OAB是等边三角形∴∠OAB＝∠OBA＝60°∵∠CDA＝∠CHB＝90°∴△CDA∽△CHB∴∵点C关于∠AOB的“偏率”为2∴2或 2①当2，则 2∴CA AB∴DA＝CA•cos60°，CD＝CA•sin60°∴OD＝OA﹣DA＝4∴C（，）②当2，则 2∴CA AB∴DA＝CA•cos60°，CD＝CA•sin60°∴OD＝OA﹣DA＝4∴C（，）综上所述，点C的坐标为（，）或（，）．（3）∵T（t，4）∴点T在直线y＝4上∵⊙T上的所有点都在第一象限，且半径为1∴⊙T与y轴相离∴t＞1设⊙T上的点R坐标为（x，y）（x＞0，y＞0）∵点R关于∠EOF的“偏率”都大于∴或①若，则y x∴点R在直线y x的上方，即⊙T在直线y x左侧且与其相离当⊙T与直线y x相切于点I，如图2，设直线y＝4与y轴交于点G，与直线y x交于点J∴GT＝t，OG＝y J＝4，∴GJ＝x J∴tan∠OJG∴∠OJG＝60°∵TI＝1，TI⊥OJ∴Rt△TIJ中，sin∠OJG∴TJ TI∴GT＝GJ﹣TJ∴当⊙T在直线y x左侧与其相离时，1＜t②若，则y x∴点R在直线y x的下方，即⊙T在直线y x右侧且与其相离当⊙T与直线y x相切于点K，如图3，设直线y＝4与y轴交于点G，与直线y x交于点L∴GL＝x L y L＝4∴tan∠OLG∴∠KLT＝∠OJG＝30°∵TK＝1，TK⊥OK∴Rt△TKL中，sin∠KLT∴LT＝2TK＝2∴GT＝GL+LT＝4 2∴当⊙T在直线y x右侧与其相离时，t＞4 2综上所述，t的取值范围为1＜t或42．【点睛】本题考查了新定义的理解，点到直线距离，平面直角坐标系点的特征，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，特殊三角函数值的应用，圆的切线性质．解题关键是新定义的理解和应用，根据新定义的表述画出图形数形结合地解决问题．第（3）题问题转化到圆与直线相离后，先计算相切时t的值，再判断相离时t的范围．15．（2019•平谷区二模）如图，点P是半圆O中上一动点，连接AP，作∠APC＝45°，交弦AB于点C．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．（当点P与点A重合时，y1，y2的值为0）．小元根据学习函数的经验，分别对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小元的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值；x/cm0 1 2 3 4 5 6y1/cm0 1.21 2.09 m 2.99 2.82 0y2/cm0 0.87 1.57 2.20 2.83 3.61 6 经测量m的值是 2.7（保留一位小数）．（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△ACP为等腰三角形时，AP的长度约为 4.2或2.3cm（保留一位小数）．【答案】解：（1）经测量：m＝2.7；（2）通过描点，画出如下图象；（3）①当AC＝PC时，即：y1＝y2，从图象可以看出：x＝4.2；②当AP＝PC时，画出函数：y＝x的图象，图象与y1的交点处x的为2.3；故：答案为4.2或2.3．【点睛】本题为圆的综合题，主要是研究函数y随自变量x的变化而变化的规律，此类题目，主要通过画出函数图象，根据题设条件，找出图象对应的点的值即可．16．（2019•通州区三模）在平面直角坐标系xOy中，点P，Q（两点可以重合）在x轴上，点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，若平面内的点M的坐标为（n，|m﹣n|），则称点M为P，Q的跟随点．（1）若m＝0，①当n＝3时，P，Q的跟随点的坐标为（3，3）；②写出P，Q的跟随点的坐标；（用含n的式子表示）；③记函数y＝kx﹣1（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G，若图形G上不存在P，Q的跟随点，求k的取值范围；（2）⊙A的圆心为A（0，2），半径为1，若⊙A上存在P，Q的跟随点，直接写出m的取值范围．【答案】解：（1）①把m＝0，n＝3代入点P，Q的跟随点的坐标（n，|m﹣n|）＝（3，|0﹣3|）＝（3，3）．故答案为：（3，3）；②把m＝0代入P，Q的跟随点的坐标（n，|m﹣n|），当n＞0时，（n，n）；当n＜0时，（n，﹣n）．所以P，Q的跟随点的坐标为（n，n）或（n，﹣n）；③由②可知，当m＝0时，P，Q的跟随点在函数y＝x（x≥0）或y＝﹣x（x≤0）的图象上，且函数y＝x（x≥0）或y＝﹣x（x≤0）的图象上的每一个点都是P，Q的跟随点．令x＝1，则y＝1，图形G经过点（1，1）时，k＝2；令x＝﹣1，则y＝1，图形G经过点（﹣1，1）时，k＝﹣2；由图可知，k的取值范围是﹣2＜k＜0或0＜k＜2．（2）因为⊙A的圆心为A（0，2），半径为1，若⊙A上存在P，Q的跟随点，∴m的取值范围为：﹣2m2或2m≤2．【点睛】本题考查圆综合题、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题17．（2019•昌平区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝6cm，E是线段AB上一动点，D是BC的中点，过点C作射线CG，使CG∥AB，连接ED，并延长ED交CG于点F，连接AF．设A，E两点间的距离为xcm，A，F两点间的距离为y1cm，E，F两点间的距离为y2cm．小丽根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小丽的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；x/cm0 1 2 3 4 5 6y1/cm9.49 8.54 7.62 6.71 5.83 5.00 4.24y2/cm9.49 7.62 5.83 3.16 3.16 4.24（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△AEF为等腰三角形时，AE的长度约为 3.50或5或6cm．【答案】解：（1）当x＝3时，点E是AB的中点，易证△ECF是等腰直角三角形，EF EC＝3 4.24．（2）函数图象如图所示：（3）由直线y＝x与两个函数图象的交点A，B，以及函数y1与函数y2的交点C的横坐标可知，当△AEF为等腰三角形时，AE的长度约为3.50或5或6．故答案为：3.50或5或6．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了画出的图象与性质，解题的关键是理解题意，学会利用描点法画出函数图象，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．18．（2019•昌平区二模）在数学课上，老师提出如下问题：如何使用尺规完成“过直线l外一点P作已知直线l的平行线”．小明的作法如下：①在直线l上取一点A，以点A为圆心，AP长为半径作弧，交直线l于点B；②分别以P，B为圆心，以AP长为半径作弧，两弧相交于点Q（与点A不重合）；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小明的作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB＝AP＝PQ＝BQ．∴四边形ABQP是菱形（四边相等的四边形是菱形）（填推理的依据）．∴PQ∥l．【答案】解：（1）如图所示．（2）：∵AB＝AP＝PQ＝BQ．∴四边形ABQP是菱形（四边相等的四边形是菱形）．∴PQ∥l．故答案为：PQ，BQ，四边相等的四边形是菱形．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19．（2019•房山区二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠CAB＝30°，AB＝4.5cm．D是线段AB上的一个动点，连接CD，过点D作CD的垂线交CA于点E．设AD＝xcm，CE＝ycm．（当点D与点A或点B 重合时，y的值为5.2）探究函数y随自变量x的变化而变化的规律．（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组对应值，如下表：x/cm0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5y/cm 5.2 4.8 4.4 4.0 3.8 3.6 3.5 3.6 5.2（要求：补全表格，相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系xOy，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当CE＝2AD时，AD的长度约为 1.9cm（结果保留一位小数）．【答案】解：（1）如图1，过E作EF⊥AB于F，由表格可知：AC＝5.2，AB＝4.5，Rt△ACB中，∠A＝30°，∴BC AC＝2.6，当x＝4时，即AD＝4，∴BD＝0.5，∵∠EDC＝90°，易得△EFD∽△DBC，∴，设EF＝5a，FD＝26a，则AE＝10a，AF＝5a，∵AD＝4，∴5a+26a＝4，a，∴y＝AC﹣AE＝5.2﹣10 5.2 4.0；x/cm0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 y/cm 5.2 4.8 4.4 4.0 3.8 3.6 3.5 3.6 4.0 5.2 故答案为：4.0；（2）如图2所示：（3）设EF＝a，则AE＝2a，AF a，如图，由（1）知：△EFD∽△DBC，∴，即，∵AC＝2a+y＝5.2，当CE＝2AD时，y＝2x，则2a+2x＝5.2，a+x＝2.6，∴a＝2.6﹣x，∴2.6（2.6﹣x）＝（4.5﹣x）[x（2.6﹣x）]，2.73x2﹣19.383x+27.001＝0，x1≈5.2（舍），x2≈1.9，答：AD的长度约为1.9cm；故答案为：1.9．【点睛】此题是三角形与函数图象的综合题，主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，函数图象的画法，直角三角形的性质，勾股定理，并与方程相结合，计算量比较大．20．（2019•房山区二模）阅读下面材料：小明遇到一个问题：如图，∠MON，点A在射线OM上，点B在∠MON内部，用直尺和圆规作点P，使点P同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）：a．点P到A，B两点的距离相等；b．点P到∠MON的两边的距离相等．小明的作法是：①连接AB，作线段AB的垂直平分线交AB于E，交ON于F；②作∠MON的平分线交EF于点P．所以点P即为所求．根据小明的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（2）证明：∵EF垂直平分线段AB，点P在直线EF上，∴PA＝PB．∵OP平分∠MON，∴点P到∠MON的两边的距离相等角平分线上的点到角两边的距离相等（填推理的依据）．所以点P即为所求．【答案】（1）解：如图，（2）证明：∵EF垂直平分线段AB，点P在直线EF上，∴PA＝PB．∵OP平分∠MON，∴点P到∠MON的两边的距离相等（角平分线上的点到角两边的距离相等）．所以点P即为所求．故答案为PB；角平分线上的点到角两边的距离相等．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．21．（2019•昌平区二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形M及以点C为圆心，1为半径的⊙C，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为⊙C上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M到⊙C的“圆距离”，记作d（M﹣C）．（1）点C在原点O时，①记点A（4，3）为图形M，则d（M﹣O）＝4；②点B与点A关于x轴对称，记线段AB为图形M，则d（M﹣O）＝3；③记函数y＝kx+4（k＞0）的图象为图形M，且d（M﹣O）≤1，直接写出k的取值范围；（2）点C坐标为（t，0）时，点A，B与（1）中相同，记∠AOB为图形M，且d（M﹣C）＝1，直接写出t的值．【答案】解：（1）①如图1，点A（4，3），则OA＝5，d（M﹣O）＝AQ＝5﹣1＝4，故答案为4；②如图1，由题意得：d（M﹣O）＝PQ＝4﹣1＝3；③如图1，过点O作OP′⊥直线l于点P′，直线l与y轴交于点D，则d（M﹣O）＝P′Q′，当P′Q′＝2为临界点的情况，OD＝4，∴∠P′DO＝30°，∴k，故k；（2）①如图2，当点为角的顶点O（P）时，则PQ＝1，则OC＝2，即：t＝2；②如图3，当点P在射线OA时，tan∠AOC，则sin∠AOC，CP＝CQ+PQ＝1+1＝2，t＝OC；故：t＝2或．【点睛】本题为圆的综合题，涉及到一次函数、解直角三角形的知识，这种新定义类型的题目，通常按照题设的顺序，逐次求解，一般难度不大．22．（2019•通州区三模）已知：如图，∠MAN＝90°，线段a和线段b求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD的两条边长分别等于线段a和线段b．下面是小东设计的尺规作图过程．作法：如图，①以点A为圆心，b为半径作弧，交AN于点B；②以点A为圆心，a为半径作弧，交AM于点D；③分别以点B、点D为圆心，a、b长为半径作弧，两弧交于∠MAN内部的点C；④分别连接BC，DC．所以四边形ABCD就是所求作的矩形．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB＝CD；AD＝BC；∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠MAN＝90°；∴四边形ABCD是矩形（填依据有一个角为直角的平行四边形是矩形）．。
2020中考复习——函数图像信息题训练一(含答案)
2020中考复习——函数图像信息题训练（一）班级：___________姓名：___________ 得分：___________一、选择题1.一次函数y=ax+b，ab<0，则其大致图象正确的是()A. B.C. D.2.关于函数y=−(x+2)2−1的图象叙述正确的是()A. 开口向上B. 顶点(2,−1)C. 与y轴交点为(0,−1)D. 图象都在x轴下方3.函数y=︱x+1︱的图像是()A. B.C. D.4.老师布置课外学习作业：探究函数y=2x+2的性质，小明根据研究函数的方法：x列表、描点、连线画出图像，观察图像后，他得到如下性质：①x取值范围是不等随x的增大于0的一切实数，y的取值范围是y≥4；②当x>1时，函数y=2x+2x 而增大；③函数图像的对称轴为直线x=1；④函数图像关于原点对称.其中正确的是()A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④5.一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度y(cm)与燃烧时间x(小时)的关系用图象表示为()A. B. C. D.6.如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为()A.B.C.D.7.如图，小亮在操场上玩，一段时间内沿M−A−B−M的路径匀速散步，能近似刻画小亮到出发点M的距离y与时间x之间关系的函数图象是()8.甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间t(分)之间的关系如图所示，下列结论正确的是()A. 甲步行的速度为60米/分B. 乙走完全程用了32分钟C. 乙用16分钟追上甲D. 乙到达终点时，甲离终点还有300米二、填空题9.如图，放学后，小明骑车回家，他经过的路程s(千米)与所用时间t(分钟)的函数关系如图所示，则s与t的函数关系式为_______ ．(x>0)的图象10.如图，一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)和反比例函数y=4x<kx+b的解集是．交于A、B两点，利用函数图象直接写出不等式4xx+3的图象大致如图.若y1<y2则自变量x的取值11.已知函数y1=x2与函数y2=−12范围是____________．12.周末，小明和爸爸一起去登山，到达山脚后，爸爸遇上一朋友，准备和朋友聊会天，于是爸爸让小明先出发.爸爸和朋友聊了5分钟后，立即沿小明行径的路线匀速登山去追小明，经过一段时间，爸爸追上了小明，但他没作停留，继续按原速度登山，登上山顶才停下来等待小明.整个过程中，小明一直按一定的速度匀速登山，没有休息.设小明登山的时间为x(分钟)，小明与爸爸之间的距离为y(米)，y与x的关系如图所示，则a+b的值=_____．13.直线y1=k1x+a与y2=k2x+b的图象如图，则：(1)当x________时，k1x+a=k2x+b；(2)当x________时，k1x+a>k2x+b；(3)当x________时，k1x+a<k2x+b．14.在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境：情境a：小明离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回家里找到了作业本再去学校.情境b：小明从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．(1)情境a，b所对应的函数图象分别是___________，___________.(填序号)(2)请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境．15.阅读下面材料：小明想探究函数y=√x2−1的性质，他借助计算器求出了y与x的几组对应值，并在平面直角坐标系中画出了函数图象：x…−3−2−1123…y… 2.83 1.7300 1.73 2.83…小聪看了一眼就说：“你画的图象肯定是错误的．”请回答：小聪判断的理由是______.请写出函数y=√x2−1的一条性质：______．三、解答题16.已知函数y=−12x+1。
2020年北京中考数学真题模拟题汇编专题9：函数之解答题
专题09 函数之解答题参考答案与试题解析一．解答题（共73小题）̂与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是AB̂上一动点，连接PC交弦AB 1．（2019•北京）如图，P是AB于点D．小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：̂上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：（1）对于点C在AB位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.360.96 1.13 2.00 2.83AD/cm0.000.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定AD的长度是自变量，PD的长度和PC的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PC＝2PD时，AD的长度约为 2.3和4cm．【答案】解：（1）根据函数的定义，PC、PD不可能为自变量，只能是AD为自变量故答案为：AD、PC、PD；（2）描点画出如图图象；（3）PC ＝2PD ，从图和表格可以看出位置4和位置6符合要求， 即AD 的长度为2.3和4.0．【点睛】本题考查的是动点的函数图象，此类问题主要是通过描点画出函数图象，根据函数关系，在图象上查出相应的近似数值．2．（2019•北京）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx −1a与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上． （1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P （12，−1a ），Q （2，2）．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．【答案】解：（1）A （0，−1a ）点A 向右平移2个单位长度，得到点B （2，−1a ）； （2）A 与B 关于对称轴x ＝1对称， ∴抛物线对称轴x ＝1； （3）∵对称轴x ＝1， ∴b ＝﹣2a ， ∴y ＝ax 2﹣2ax −1a ， ①a ＞0时，当x ＝2时，y =−1a ＜2，当y =−1a时，x ＝0或x ＝2， ∴函数与AB 无交点； ②a ＜0时，当y ＝2时，ax 2﹣2ax −1a=2， x =a+|a+1|a 或x =a−|a+1|a 当a+|a+1|a≤2时，a ≤−12；∴当a ≤−12时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点；【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．3．（2019•北京）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝kx +1（k ≠0）与直线x ＝k ，直线y ＝﹣k 分别交于点A ，B ，直线x ＝k 与直线y ＝﹣k 交于点C ． （1）求直线l 与y 轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB ，BC ，CA 围成的区域（不含边界）为W ． ①当k ＝2时，结合函数图象，求区域W 内的整点个数； ②若区域W 内没有整点，直接写出k 的取值范围． 【答案】解：（1）令x ＝0，y ＝1， ∴直线l 与y 轴的交点坐标（0，1）； （2）由题意，A （k ，k 2+1），B （−k−1k，﹣k ），C （k ，﹣k ），①当k ＝2时，A （2，5），B （−32，﹣2），C （2，﹣2），在W 区域内有6个整数点：（0，0），（0，﹣1），（1，0），（1，﹣1），（1，1），（1，2）； ②直线AB 的解析式为y ＝kx +1， 当x ＝k +1时，y ＝﹣k +1，则有k 2+2k ＝0， ∴k ＝﹣2，当0＞k ≥﹣1时，W 内没有整数点，∴当0＞k ≥﹣1或k ＝﹣2时W 内没有整数点；【点睛】本题考查一次函数图象上点的特征；能够数形结合解题，根据k 变化分析W 区域内整数点的情况是解题的关键．4．（2019•朝阳区校级一模）如图，半圆O的直径AB＝5cm，点M在AB上且AM＝1cm，点P是半圆O上的动点，过点B作BQ⊥PM交PM（或PM的延长线）于点Q．设PM＝xcm，BQ＝ycm．（当点P与点A 或点B重合时，y的值为0）小石根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如表：x/cm1 1.52 2.53 3.54y/cm0 3.74 3.8 3.3 2.50（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当△PBM的面积为1时，PM的长度约为 1.1或3.7cm．【答案】解：（1）当x＝2时，PM⊥AB，此时Q与M重合，BQ＝BM＝4，当x＝4时，点P与B重合，此时BQ＝0．故答案为4；0．（2）函数图象如图所示：（3）如图，在Rt△BQM中，∵∠Q＝90°，∠MBQ＝60°，∴∠BMQ＝30°，∴BQ=12BM＝2，观察图象可知y＝2时，对应的x的值为1.1或3.7．故答案为1.1或3.7．【点睛】本题考查圆综合题，垂径定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形30度角的性质、坐标与函数图象问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题．5．（2019•怀柔区二模）研究发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的．讲课开始时，学生的注意力激增，中间有一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）．当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分；当10≤x≤20和20≤x≤45时，图象是线段．根据图象回答问题：（1）课堂上，学生注意力保持平稳状态的时间段是10到20分钟．（2）结合函数图象回答，一道几何综合题如果需要讲25分钟，老师最好在上课后大约第4分钟到第29分钟讲这道题，能使学生处于注意力比较集中的听课状态．【答案】解：（1）由图象可知，学生注意力保持平稳状态的时间段为：10到20分钟时， 故答案为：10到20分钟．（2）当0≤x ≤10时，设抛物线的函数关系式为y ＝ax 2+bx +c ， ∵图象过点（0，20），（5，39），（10，48） ∴{c =2025a +5b +c =39100a +10b +c =48 解得a =−15，b =245，c ＝20 ∴y =−15x 2+245x +20，（0≤x ≤10）． 当20≤x ≤45，设其函数解析式为y ＝kx +b 将（20，48），（45，20）代入得 {48=20k +b 20=45k +b 解得{k =−1.12b =70.4∴y ＝﹣1.12x +70.4 令y ＝39得x =2812828128−5=23128∴老师最好在上课后大约第 4分钟到第 29分钟讲这道题，能使学生处于注意力比较集中的听课状态． 故答案为4，29．【点睛】本题是一次函数，二次函数结合函数图象在实际问题中的应用，理论联系实际是解决此类问题的关键．6．（2019•朝阳区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过点A （2，0）的直线l ：y ＝mx ﹣3与y 轴交于点B ．（1）求直线l 的表达式；（2）若点C 是直线l 与双曲线y =n x的一个公共点，AB ＝3AC ，求n 的值．【答案】解：（1）∵直线l ：y ＝mx ﹣3过点A （2，0）， ∴0＝2m ﹣3． ∴m =32．∴直线l 的表达式为y =32x ﹣3；（2）当x ＝0时，y ＝﹣3， ∴点B （0，﹣3），如图1，当点C 在BA 延长线上时，作CD ⊥y 轴于点D ，则△BAO ∽△BCD ， ∴BA BC=OA CD=BO BD，即34=2CD=33+OD，解得：CD =83，OD ＝1， ∴点C （83，1），则n =83×1=83；如图2，当点C 在线段AB 上时，作CE ⊥y 轴于点E ，则△BAO ∽△BCE ， ∴BC BA=CE AO=BE BO，即23=CE 2=BE 3，解得：CE =43，BE ＝2， ∴OE ＝BO ﹣BE ＝1， ∴点C 的坐标为（43，﹣1），则n =43×（﹣1）=−43， 综上，n =83或−43．【点睛】本题主要考查直线和双曲线的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式和相似三角形的判定与性质是解题的关键．7．（2019•西城区二模）某医药研究所开发一种新的药物，据监测，如果成年人按规定的剂量服用，服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值，之后每毫升血液中的含药量逐渐衰减．若一次服药后每毫升血液中的含药量y （单位：微克）与服药后的时间t （单位：小时）之间近似满足某种函数关系，如表是y 与t 的几组对应值，其部分图象如图所示． t 0 1 2 3 4 6 8 10 … y242.83210.50.25…（1）在所给平面直角坐标系中，继续描出上表中已列出数值所对应的点（t ，y ），并补全该函数的图象； （2）结合函数图象，解决下列问题：①某病人第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为 1.41 微克；若每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约 7.75 小时；②若某病人第一次服药后8小时进行第二次服药，第二次服药对血液中含药量的影响与第一次服药相同，则第二次服药后2小时，每毫升血液中的含药量约为 4.25 微克．【答案】解：（1）如图所示：（2）①由函数图象得：某病人第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为1.41微克；当y＝0.5时，t=14或8，8−14=7.75，∴则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约7.75小时；故答案为：1.41，7.75；②第一次服药8小时后2小时，即10小时含药量为0.25微克，第二次服药2小时含药量为4微克，所以第二次服药后2小时，每毫升血液中的含药量约为：4+0.25＝4.25微克；故答案为：4.25．【点睛】本题主要考查利用函数的模型解决实际问题的能力和读图能力．要先根据坐标画出图象，解题的关键是要分析题意，并会根据图示得出所需要的信息．8．（2019•海淀区二模）有这样一个问题：探究函数y=18x2−1x的图象与性质．小宇从课本上研究函数的活动中获得启发，对函数y=18x2−1x的图象与性质进行了探究．下面是小宇的探究过程，请补充完整：（1）函数y=18x2−1x的自变量x的取值范围是；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，完成以下作图步骤：①画出函数y=14x2和y=−2x的图象；②在x轴上取一点P，过点P作x轴的垂线l，分别交函数y=14x2和y=−2x的图象于点M，N，记线段MN的中点为G；③在x轴正半轴上多次改变点P的位置，用②的方法得到相应的点G，把这些点用平滑的曲线连接起来，得到函数y=18x2−1x在y轴右侧的图象．继续在x轴负半轴上多次改变点P的位置，重复上述操作得到该函数在y轴左侧的图象．（3）结合函数y=18x2−1x的图象，发现：①该函数图象在第二象限内存在最低点，该点的横坐标约为（保留小数点后一位）；②该函数还具有的性质为：当x＞0时，y随x的增大而增大（一条即可）．【答案】解：（1）∵x在分母上，∴x≠0．故函数y=18x2−1x的自变量x的取值范围是x≠0；（2）画出该函数在y轴左侧的图象如图：（3）①点的横坐标约为﹣1.6；（在﹣1.9至﹣1.3之间即可）②该函数的其它性质：当x＞0时，y随x的增大而增大．故答案为：当x＞0时，y随x的增大而增大．【点睛】本题考查了分式有意义的条件、反比例函数的图象、二次函数的图象以及函数的最值，解题的关键是：（1）根据分母不为0，找出x的取值范围；（2）连点，画出函数图象；（3）根据函数图象，寻找函数的性质．9．（2019•丰台区二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A、B，使得点P在射线BC上，且∠APB=14∠ACB（0°＜∠ACB＜180°），则称P为⊙C的依附点．（1）当⊙O的半径为1时，①已知点D（﹣1，0），E（0，﹣2），F（2.5，0），在点D、E、F中，⊙O的依附点是E，F；②点T在直线y＝﹣x上，若T为⊙O的依附点，求点T的横坐标t的取值范围；（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点M、N，若线段MN上的所有点都是⊙C的依附点，直接写出圆心C的横坐标m的取值范围．【答案】解：（1）①如图1中，根据P为⊙C的依附点，可知：当r＜OP＜3r（r为⊙C的半径）时，点P为⊙C的依附点．∵D （﹣1，0），E （0，﹣2），F （2.5，0），∴OD ＝1，OE ＝2，OF ＝2.5，∴1＜OE ＜3，1＜OF ＜3，∴点E ，F 是⊙C 的依附点，故答案为：E 、F ；②如图2中，当点T 在第四象限，OT ′＝1时，作T ′N ⊥x 轴于N ，易知N （√22，0），OT ＝3时，作TM ⊥x 轴于M ，易知M （32√2，0）， ∴满足条件的点T 的横坐标t 的取值范围：√22＜t ＜3√22． 当点T 在第二象限时，同法可得满足条件的t 的取值范围为−3√22＜t ＜−√22，综上所述，满足条件的t 的值的范围为：√22＜t ＜3√22或−3√22＜t ＜−√22．（2）如图3﹣1中，当点C 在点M 的右侧时，由题意M（2，0），N（0，2）当CN＝6时，OC=√CN2−ON2=4√2，此时C（4√2，0），当CM＝2时，此时C（4，0），∴满足条件的m的值的范围为4＜m＜4√2．如图3﹣2中，当点C在点M的右侧时，当⊙C与直线MN相切时，易知C′（2﹣2√2，0），当CM＝6时，C（﹣4，0），∴满足条件的m的值的范围为﹣4＜m＜2﹣2√2，综上所述，满足条件的m的值的范围为：4＜m＜4√2或﹣4＜m＜2﹣2√2．【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，P为⊙C的依附点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．10．（2019•昌平区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx（x＞0）的图象与直线y＝2x﹣2交于点为A（2，m）．（1）求k，m的值；（2）点B 为函数y =k x（x ＞0）的图象上的一点，直线AB 与y 轴交于点C ，当AC ＝2AB 时，求点C 的坐标．【答案】解：（1）∵直线y ＝2x ﹣2过点A （2，m ），∴m ＝2×2﹣2＝2∴A （2，2），∵y =k x （x ＞0）过点A （2，2），∴k ＝2×2＝4；（2）∵AC ＝2AB ，∴B 点的横坐标为1或3，把x ＝1或3代入y =4x 得，y ＝4或43， ∴B （1，4），或（3，43）， 设直线AB 为y ＝ax +b ，把A 、B 的坐标代入求得解析式为y ＝﹣2x +6或y =−23x +103，令x ＝0，则C （0，6）或C （0，103）．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出B 点的坐标．11．（2019•通州区三模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，B （3，﹣3），C （5，0），以OC ，CB 为边作平行四边形OABC ，函数y =k x （x ＜0）的图象经过点A ．（1）求k 的值；（2）若过点A 的直线l 平行于直线OB ，且交函数y =k x （x ＜0）的图象于点D ．①求直线l 的表达式；②定义：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数y =k x （x ＜0）的图象在点A ，D 之间的部分与线段AD围成的区域（含边界）为W．结合函数图象，直接写出区域W内（含边界）的整点个数．【答案】解：（1）∵B（3，﹣3），C（5，0），四边形OABC是平行四边形，∴AB＝OC＝5，∴点A的坐标为（﹣2，﹣3），∴k＝6；（2）①设直线OB的表达式为y＝mx，由B点坐标（3，﹣3），可求m＝﹣1，∵过点A的直线l平行于直线OB，∴设直线l的表达式为y＝﹣x+b，把点A的坐标（﹣2，﹣3）代入上式并解得：b＝﹣5，故：直线l的表达式为y＝﹣x﹣5；②将函数表达式：y=6x与直线表达式：y＝﹣x﹣5联立并整理得：x2+5x+6＝0，解得：x＝﹣2或﹣3，故点D的坐标为（﹣3，﹣2），而点A（﹣2，﹣3），由图象分析可见：在点A，D之间的部分与线段AD围成的区域（含边界）为W内，只有D、A两个整点．【点睛】本题考查的是反比例函数综合应用，涉及到一次函数、一元二次方程、平行四边形的知识，综合性强、难度适中．12．（2019•房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（2，2），抛物线F：y＝x2﹣2mx+m2﹣2．（1）求抛物线F的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．【答案】解：（1）由函数解析式y＝x2﹣2mx+m2﹣2，可求顶点坐标为（m，﹣2）；（2）当m≤0时，抛物线F与线段AB有公共点时，令x＝0，则m2﹣2≤2，∴﹣2≤m≤2，∴﹣2≤m≤0；当0＜m＜2时，抛物线F与线段AB有公共点时，m2﹣2＞2或m2﹣4m+2＞2，∴m＞2或m＜﹣2或m＞4或m＜0，∴m不存在；当m≥2时，抛物线F与线段AB有公共点时，令x＝2，则m2﹣4m+2≤2，∴0≤m≤4，∴2≤m≤4；综上所述：﹣2≤m≤0，2≤m≤4；【点睛】本题考查二次函数图象及性质；分情况讨论函数图象与线段的交点的存在，并将问题转化为不等式求解是关键．13．（2019•通州区三模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a≠0）与y轴交于点A．（1）求点A的坐标和抛物线的对称轴；（2）过点B（0，3）作y轴的垂线l，若抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a≠0）与直线l有两个交点，设其中靠近y轴的交点的横坐标为m，且|m|＜1，结合函数的图象，求a的取值范围．【答案】解：（1）y＝ax2﹣4ax+4＝a（x﹣2）2+4﹣4a．∴点A的坐标为（0，4），抛物线的对称轴为直线x＝2．（2）当a＞0时，临界位置如右图所示：将点（1，3）代入抛物线解析式得3＝a＝4a+4．a=1 3．当a＜0时，临界位置如右图所示：将点（﹣1，3）代入抛物线解析式得3＝a+4a+4．a =−15．∴a 的取值范围为a ＜−15或a ＞13．【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与y 轴的交点．14．（2019•房山区二模）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在点A ，使得∠APC ＝30°，则称P 为⊙C 的半角关联点．当⊙O 的半径为1时，（1）在点D （12，−12），E （2，0），F （0，2√3）中，⊙O 的半角关联点是 D ，E ； （2）直线l ：y =−√33x −2交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，若直线l 上的点P （m ，n ）是⊙O 的半角关联点，求m 的取值范围．【答案】解：（1）由题意可知在圆上存在点A 使∠ADO ＝30°和∠AEO ＝30°，∴D ，E 是，⊙O 的半角关联点，故答案为D ，E ；（2）由直线解析式可直接求得M(−2√3，0)，N(0，2)，以O 为圆心，ON 长为半径画圆，交直线MN 于点G ，可得m ≤0，设小圆⊙O 与y 轴负半轴的交点为H ，连接OG ，HG ∵M （−2√3，0），N （0，2）∴OM =2√3，ON ＝2，tan ∠OMN =√33∴∠OMN ＝30°，∠ONM ＝60°∴△OGN 是等边三角形∴GH ⊥y 轴，∴点G 的纵坐标为﹣1，代入y =−√33x −2，可得，横坐标为−√3，∴m ≥−√3，∴−√3≤m ≤0；【点睛】本题考查一次函数的综合，新定义，圆的基本概念；理解题意，结合图形，构造三角形求解；15．（2019•昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+3a交于点A和点B，点A在x轴上．（1）点A的坐标为（﹣1，0）．（2）①用等式表示a与b之间的数量关系，并求抛物线的对称轴；②当3√2≤AB≤5√2时，结合函数图象，求a的取值范围．【答案】解：（1）令y＝0，x+1＝0，则A点坐标为（﹣1，0）；故答案为（﹣1，0）；（2）①将（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3a，∴a﹣b+3a＝4a﹣b＝0，∴b＝4a，∵x=−b2a=−2；②设B（m，m+1），AB=√2(m+1)2=√2|m+1|，∵m+1＝am2+4am+3a，m+1＝a（m+1）（m+3），∵m≠﹣1，∴m=1a−3，∴AB=√2|1a−2|，∵3√2≤AB≤5√2，∴3√2≤√2|1a−2|≤5√2，∴−1≤a≤−13或17≤a≤15；【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；熟练掌握交点坐标的含义，不等式的解法是解题的关键．16．（2019•房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx(x＞0)的图象G与直线l：y＝﹣x+7交于A（1，a），B两点．（1）求k的值；（2）记图象G在点A，B之间的部分与线段AB围成的区域（不含边界）为W．点P在区域W内，若点P的横纵坐标都为整数，直接写出点P的坐标．【答案】解：（1）把A（1，a）代入y＝﹣x+7得，a＝﹣1+7＝6，∴A（1，6），把（1，6）代入y=kx中可得k＝6；（2）画出直线y＝﹣x+7和函数y=6x（x＞0）的图象如图：由图象可知：点P的坐标．（2，4），（3，3），（4，2）．【点睛】本题考查了新定义和反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，并利用数形结合的思想．17．（2019•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中．已知抛物线y＝ax2+bx+a﹣2的对称轴是直线x＝1．（1）用含a的式子表示b，并求抛物线的顶点坐标；（2）已知点A（0，﹣4），B（2，﹣3），若抛物线与线段AB没有公共点，结合函数图象，求a的取值范围；（3）若抛物线与x轴的一个交点为C（3，0），且当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y≤6，结合函数图象，直接写出满足条件的m，n的值．【答案】解：（1）∵−b2a=1，∴b＝﹣2a．∴抛物线为y＝ax2﹣2ax+a﹣2，当x ＝1时，y ＝a ﹣2a +a ﹣2＝﹣2， ∴抛物线的顶点坐标为：（1，﹣2）．答：b ＝﹣2a ；抛物线的顶点坐标为：（1，﹣2）． （2）若a ＞0，抛物线与线段AB 没有公共点；若a ＜0，当抛物线经过点B （2，﹣3）时，它与线段Ab 恰有一个公共点， 此时﹣3＝4a ﹣4a +a ﹣2，解得a ＝﹣1． ∵抛物线与线段AB 没有公共点，∴结合函数图象可知，﹣1＜a ＜0或a ＞0．（3）抛物线与x 轴的一个交点为C （3，0），代入y ＝ax 2﹣2ax +a ﹣2得 0＝9a ﹣6a +a ﹣2， ∴a =12，∴抛物线为y =12x 2﹣x −32，∵当m ≤x ≤n 时，y 的取值范围是m ≤y ≤6， 令y ＝6得：6═12x 2﹣x −32，解得x ＝﹣3（舍）或x ＝5∴由自变量的最小值为m 与函数值的最小值也为m ，由{y =12x 2−x −32y =x得x 2﹣4x ﹣3＝0，∴x ＝2+√7或x ＝2−√7＞−2，此时顶点（1，﹣2）包含在范围内，不符合要求，故舍去； 故满足条件的m ，n 的值为：m ＝2+√7，n ＝5；或m ＝﹣2，n ＝5．【点睛】本题属于二次函数压轴题，综合性较强，需要数形结合来分析，并准确利用二次函数的性质来解题．18．（2019•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）的对称轴与x轴交于点P．（1）求点P的坐标（用含a的代数式表示）；（2）记函数y=−34x+94（﹣1≤x≤3）的图象为图形M，若抛物线与图形M恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．【答案】解：（1）抛物线y＝ax2﹣2a2x的对称轴是直线x=−−2a22a=a，∴点P的坐标是（a，0）；（2）由题意可知图形M为线段AB，A（﹣1，3），B（3，0）．当抛物线经过点A时，解得a=−32或a＝1；当抛物线经过点B时，解得a=3 2．……………………………………………………（3分）如图1，当a=−32时，抛物线与图形M恰有一个公共点．如图2，当a＝1时，抛物线与图形M恰有两个公共点．如图3，当a=32时，抛物线与图形M恰有两个公共点．结合函数的图象可知，当a ≤−32或0＜a ＜1或a ＞32时，抛物线与图形M 恰有一个公共点． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系，熟练掌二次函数图象性质是解题的关键． 19．（2019•怀柔区二模）阅读材料：1903年，英国物理学家卢瑟福通过实验证实，放射性物质放出射线后，这种物质的质量将减少，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．镭的质量由m 0缩减到12m 0需1620年，由12m 0缩减到14m 0需1620年，由14m 0缩减到18m 0需1620年，即镭的质量缩减为原来的一半所用的时间是一个不变的量﹣﹣1620年，一般把1620年称为镭的半衰期．实际上，所有放射性物质都有自己的半衰期．铀的半衰期为4.5×109年，蜕变后的铀最后成为铅．科学家们测出一块岩石中现在含铀和铅的质量，便可以利用半衰期算出从原来含铀量到现在含铀量经过了多少时间，从而推算出这块岩石的年龄． 根据以上材料回答问题：（1）设开始时岩石中含有铀的质量为m 0千克，经过n 个半衰期后，剩余的铀的质量为m 1千克，下表是m 1随n 的变化情况，请补充完整：半衰期n 0 1 2 3 45… 岩石中剩余 铀的质量m 1m 012m 014m 018m 0116m 0132m 0…（2）写出矿石中剩余的铀的质量m 1与半衰期n 之间的函数关系；（3）设铀衰变后完全变成铅，如图是岩石中铅的质量m 2与半衰期n 的函数关系图象，请在同一坐标系中，利用描点法画出岩石中含铀的质量m 1与半衰期n 的函数关系图象： （4）结合函数图象，估计经过个半衰期（精确到0.1），岩石中铀铅质量相等．【答案】解：（1）剩余的铀的质量为：(12)4m0=116m0．故答案为：116m0；（2）根据题意可知：m1=m0⋅(12)n；（3）如图所示：；（4）大约经过个1.1半衰期，岩石中铀铅质量相等．【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．20．（2019•顺义区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx﹣3（m＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，该抛物线的顶点D的纵坐标是﹣4．（1）求点A、B的坐标；（2）设直线与直线AC 关于该抛物线的对称轴对称，求直线的表达式；（3）平行于x 轴的直线b 与抛物线交于点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），与直线交于点P （x 3，y 3）．若x 1＜x 3＜x 2，结合函数图象，求x 1+x 2+x 3的取值范围．【答案】解：（1）∵抛物线 y ＝mx 2+2mx ﹣3（m ＞0）的顶点D 的纵坐标是﹣4， ∴−12m−4m 24m=−4，解得m ＝1，∴y ＝x 2+2x ﹣3，令y ＝0，则 x ＝﹣3或1， ∴A （﹣3，0）B （1，0）；（2）∵y ＝x 2+2x ﹣3＝（x +1）2﹣4， ∴抛物线的对称轴为x ＝﹣1，∵点C （0，﹣3）关于抛物线的对称轴的对称点坐标是E （﹣2，﹣3），点A （﹣3，0）关于该抛物线的对称轴的对称点坐标是B （1，0）， 设直线的表达式为y ＝kx +b ，∵点E （﹣2，﹣3）和点B （1，0）在直线上 ∴{−2k +b =−3k +b =0，解得{k =1b =−1， ∴直线的表达式为y ＝x ﹣1； （3）由对称性可知 x 1+x 22=−1，∴x 1+x 2＝﹣2， ∵x 1＜x 3＜x 2，∴﹣2＜x3＜1，∴﹣4＜x1+x2+x3＜﹣1．【点睛】本题考查了抛物线和x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．21．（2019•朝阳区二模）M（﹣1，−12），N（1，−12）是平面直角坐标系xOy中的两点，若平面内直线MN上方的点P满足：45°≤∠MPN≤90°，则称点P为线段MN的可视点．（1）在点A1(0，12)，A2(12，0)，A3(0，√2)，A4（2，2）中，线段MN的可视点为A1，A3；（2）若点B是直线y＝x+12上线段MN的可视点，求点B的横坐标t的取值范围；（3）直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点，直接写出b的取值范围．【答案】解：（1）如图1，以MN为直径的半圆交y轴于点E，以E为圆心，EM长为半径的⊙E交y轴于点F ，∵MN 是⊙G 的直径， ∴∠MA 1N ＝90°，∵M （﹣1，−12），N （1，−12） ∴MN ⊥EG ，EG ＝1，MN ＝2 ∴EM ＝EF =√2，∴∠MFN =12∠MEN ＝45°， ∵45°≤∠MPN ≤90°，∴点P 应落在⊙E 内部，且落在⊙G 外部 ∴线段MN 的可视点为A 1，A 3； 故答案为A 1，A 3；（2）如图，以（0，−12）为圆心，1为半径作圆，以（0，12）为圆心，√2为半径作圆，两圆在直线MN上方的部分与直线y =x +12分别交于点E ，F ． 过点F 作FH ⊥x 轴，过点E 作EH ⊥FH 于点H ， ∵FH ⊥x 轴， ∴FH ∥y 轴，∴∠EFH ＝∠MEG ＝45°， ∵∠EHF ＝90°，EF =√2， ∴EH ＝FH ＝1，∴E （0，12），F （1，32）．只有当点B 在线段EF 上时，满足45°≤∠MBN ≤90°，点B 是线段MN 的可视点． ∴点B 的横坐标t 的取值范围是0≤t ≤1．（3）如图，⊙G 与x 轴交于H ，与y 轴交于E ，连接GH ，OG =12，GH ＝1， ∴OH =√GH 2−OG 2=√12−(12)2=√32， ∴H （√32，0）．E （0，12） 当直线y ＝x +b （b ≠0）与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，若线段CD 上存在线段MN 的可视点，①直线y ＝x +b 与y 轴交点在y 负半轴上 将H （√32，0）代入y ＝x +b 得√32+b ＝0，解得b 1=−√32，将N （1，−12）代入y ＝x +b 得1+b =−12，解得b 2=−32 ∴−32＜b ≤−√32②直线y ＝x +b 与y 轴交点在y 正半轴上 将 E （0，12）代入得b =12，当直线y ＝x +b 与⊙E 相切于T 时交y 轴于Q ，连接ET ，则ET ⊥TQ ， ∵∠EQT ＝45°， ∴TQ ＝ET ＝EM =√2，∴EQ =√ET 2+TQ 2=√(√2)2+(√2)2=2 ∴OQ ＝OE +EQ =12+2=52 ∴12≤b ≤52综上所述：12≤b ≤52或−32＜b ≤−√32．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，圆周角、圆心角的性质，解题关键要将可视点转化为圆内点、圆上点、圆外点分别对弦的视角问题．22．（2019•丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）和点A（0，﹣3），将点A向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线C1的对称轴；（3）把抛物线C1沿x轴翻折，得到一条新抛物线C2，抛物线C2与抛物线C1组成的图象记为G，若图象G与线段AB恰有一个交点时，结合图象，求a的取值范围．【答案】解：（1）∵点A（0，﹣3），将点A向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到点B，∴点B的坐标为（2，2）；（2）∵抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a，∴对称轴是直线x=−−2a2a=1；（3）当抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a过点A（0，﹣3）时，此时﹣3a＝﹣3，得a＝1，∵对称轴是直线x＝1，∴当x＝2时，y＜3，点B在抛物线C2下方，此时抛物线C1与线段AB一个交点，抛物线C2与线段AB 没有交点，当抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a过点（0，﹣2）时，﹣3a＝﹣2，得a=2 3，∵对称轴是直线x＝1，∴当x＝2时，y＝2，点B在抛物线C2上，此时抛物线C1与线段AB一个交点，抛物线C2与线段AB有一个交点，∴a 的取值范围是23＜x ≤1； 同理可得，当抛物线C 2：y ＝﹣ax 2+2ax +3a 过点A （0，﹣3）或（0，﹣2）时，可以求得a ＝﹣1或a =−23， ∴a 的取值范围是﹣1≤a ＜−23，由上可得，a 的取值范围是﹣1≤a ＜−23或23＜x ≤1．【点睛】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．23．（2019•东城区二模）在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx +2与双曲线y =6x的一个交点是A （m ，3）．（1）求m 和k 的值；（2）设点P 是双曲线y =6x 上一点，直线AP 与x 轴交于点B ．若AB ＝3PB ，结合图象，直接写出点P 的坐标．【答案】解：（1）把点A （m ，3）的再把代入y =6x 得到m ＝2，再把A （2，3）的再把代入y ＝kx +2，3＝2k +2，解得k =12，所以m ＝2，k =12．（2）①当点P 在第三象限时，如图1，作AE ⊥x 轴于E ，PF ⊥x 轴于F ，∵AE ∥PF ，∴AE PF =AB PB =3， ∴3PF =3，∴PF ＝1，∴P （﹣6，﹣1）．②当点P 在第一象限时，如图2，作AE ⊥x 轴于E ，PF ⊥x 轴于F ，∵AE ∥PF ，∴AE PF =AB PB =3， ∴3PF =3，∴PF ＝1，∴P （6，1），综上所述，满足条件的点P 坐标为（﹣6，﹣1）或（6，1）．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用分类退了的思想思考问题，属于中考常考题型．24．（2019•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y =k x的图象经过点P （3，4）．（1）求k 的值；（2）求OP 的长；（3）直线y ＝mx （m ≠0）与反比例函数的图象有两个交点A ，B ，若AB ＞10，直接写出m 的取值范围．【答案】解：（1）∵反比例函数y =k x 的图象经过点P （3，4），∴k ＝12，（2）过点P 作PE ⊥x 轴于点E ．∵点P （3，4），∴OE ＝3，PE ＝4．∴在Rt △EOP 中，由勾股定理可求OP ＝5；（3）由（2）可知，当A （﹣3，﹣4），B （3，4）或A （﹣4，﹣3），B （4，3）时，AB ＝10，m =43或m =34若AB ＞10，则m ＞43或0＜m ＜34．【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，勾股定理的应用．25．（2019•东城区二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2﹣2mx +m 2﹣1与y 轴交于点C ．（1）试用含m 的代数式表示抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y ＝x 2﹣2mx +m 2﹣1沿直线y ＝﹣1翻折，得到的新抛物线与y 轴交于点D ．若m ＞0，CD ＝8，求m 的值；（3）已知A （2k ，0），B （0，k ），在（2）的条件下，当线段AB 与抛物线y ＝x 2﹣2mx +m 2﹣1只有一个公共点时，直接写出k 的取值范围．【答案】解：（1）∵y ＝x 2﹣2mx +m 2﹣1＝（x ﹣m ）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（m ，﹣1）；（2）由对称性可知，点C 到直线y ＝﹣1的距离为4，∴OC ＝3，∴m 2﹣1＝3，∵m ＞0，∴m ＝2；（3）∵m ＝2，∴抛物线为y ＝x 2﹣4x +3，当抛物线经过点A （2k ，0）时，k =12或k =32；当抛物线经过点B （0，k ）时，k ＝3；∵线段AB 与抛物线y ＝x 2﹣2mx +m 2﹣1只有一个公共点，∴12≤k ＜32或k ＞3．【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，数形结合解题是解决本题的关键．26．（2019•西城区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+3k+6＝0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程有一个根大于﹣2且小于0，k为整数，求k的值．【答案】（1）证明：∵△＝[﹣（k﹣5）2]﹣4（3k+6）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴无论k为何值，方程总有两个实数根；（2）设方程的两个根分别是x1，x2，解方程得x=(k+5)±√(k−1)22，∴x1＝k+2，x2＝3．由题意可知﹣2＜k+2＜0，即﹣4＜k＜﹣2．∵k为整数．∴k＝﹣3．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式，根与系数的关系，综合性较强，难度适中．27．（2019•顺义区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+k与双曲线y=4x（x＞0）交于点A（1，a）．（1）求a，k的值；（2）已知直线l过点D（2，0）且平行于直线y＝kx+k，点P（m，n）（m＞3）是直线l上一动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交双曲线y=4x（x＞0）于点M、N，双曲线在点M、N之间的部分与线段PM、PN所围成的区域（不含边界）记为W．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m＝4时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内的整点个数不超过8个，结合图象，求m的取值范围．。
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一、简单专题集训函数图象与性质探究题(连续5年考查)类型一分析数据、探究函数问题(2019.24新考查)1.(2019房山区一模改编)如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一动点，过点C作⊙O直径CD，过点B作BE⊥CD于点E.连接AC，已知AB＝6cm.第1题图小东根据学习函数的经验，对线段AC、BE的长度之间的关系进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)对于点C在⊙O上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC、BE的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6BE/cm 1.27 2.82 2.82 2.63 1.840AC/cm 1.24 3.45 4.91 5.16 5.676在AC、BE的长度这两个变量中，确定的长度是自变量，的长度是这个自变量的函数；(2)在同一平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定的函数的图象；(3)结合画出的函数图象，解决问题：当BE＝2时，AC的长度约为cm.2.(2019通州区期末改编)如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB＝30°，D是直径AB上一动点，连接CD并过点D作CD的垂线，与⊙O的其中一个交点记为点E(点E位于直线CD上方或左侧)，连接E C.第2题图小东根据学习函数的经验，对线段AD，CD，EC的长度之间的关系进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)对于点D在直径AB上的不同位置，画图，测量，得到了线段AD，CD，EC的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7AD/cm0 1.1423456CD/cm 5.20 4.49 3.60 3.00 2.65 2.65 3.00EC/cm 5.20 4.24 4.22 4.24 4.77 5.60 6.00在AD，CD，EC的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；(2)在同一平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定函数的图象；(3)结合函数图象，解决问题：当∠ECD＝60°时，AD的长度约为cm.3.(2019门头沟区二模改编)如图，E为半圆O直径AB上一动点，C为半圆上一定点，连接AC和BC，AD平分∠CAB交BC于点D，连接CE和DE.第3题图小腾根据学习函数的经验，对线段AE，CE，DE长度之间的关系进行了探究.下面是小腾的探究过程，请补充完整：(1)对于点E在直径AB上的不同位置，画图，测量，得到了线段AE，CE，DE的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7CE/cm 2.50 2.28 2.50 3.00 3.72 4.64 5.44DE/cm 2.98 2.29 1.69 1.69 2.18 3.05 3.84AE/cm0.000.87 2.11 3.02 4.00 5.12 6.00在AE，CE，DE的长度这三个量中，确定的长度是自变量，自变量的取值范围是；(2)在同一平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定函数的图象；(3)结合函数的图象，解决问题：当△ACE为等腰三角形时，AE的长度约为cm(结果精确到0.01).4.(2019丰台区二模改编)如图，点M 是⊙O 中AB ︵上一定点，点P 是弦AB 上一动点.过点A 作射线MP 的垂线交⊙O 于点C ，连接PC ，已知AB ＝5cm.第4题图小腾根据学习函数的经验，对线段AP ，AC ，PC 的长度之间的关系进行了探究.下面是小腾的探究过程，请补充完整：(1)对于点P 在弦AB 上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP ，AC ，PC 的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6AP /cm 0.000.99 2.47 3.01 3.98 5.00AC /cm 2.55 3.10 4.31 4.74 4.97 4.31PC /cm2.552.612.522.121.112.55在AP ，AC ，PC 的长度的三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；(2)在同一平面直角坐标系xOy 中，画出(1)中所确定函数的图象；(3)结合函数图象，解决问题：在点P 的运动过程中，当AC 与PC 的差为最大值时，AP 的长度约为cm.类型二测量与分析数据、探究函数问题(8年2考：2018.24、2017.26)1.(2019朝阳区一模)小超在观看足球比赛时，发现了这样一个问题，两名运动员从不同的位置出发，沿着不同的方向，以不同的速度直线奔跑，什么时候他们离对方最近呢？小超通过一定的测量，并选择了合适的比例尺，把上述问题抽象成如下数学问题：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D以1cm/s的速度从点C向点B运动，点E以2cm/s的速度从点A向点B运动，当点E到达点B时，两点同时停止运动，若点D，E同时出发，多长时间后DE取得最小值？第1题图小超猜想当DE⊥AB时，DE最小.探究后发现用几何的知识解决这个问题有一定的困难，于是根据函数的学习经验，设C，D两点间的距离为x cm，D，E两点的距离为y cm，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小超的探究过程，请补充完整：(1)由题意可知线段AE和CD的数量关系是：；(2)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值；x/cm012345y/cm 6.0 4.8 3.8 2.7 3.0(说明：补全表格时相关数值保留一位小数)(3)在平面直角坐标系中，描出以补全后表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；(4)结合画出的函数图象，解决问题：小超的猜想；(填“正确”或“不正确”)当两点同时出发了s时，DE取得最小值，为cm.2.(2019西城区一模)如图，AB ︵是直径AB 所对的半圆弧，C 是AB ︵上一定点，D 是AB ︵上一动点，连接DA 、DB 、D C.已知AB ＝5cm ，设D 、A 两点间的距离为x cm ，D 、B 两点间的距离为y 1cm ，D ，C 两点间的距离为y 2cm.第2题图小腾根据学习函数的经验，分别对函数y 1，y 2随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究.下面是小腾的探究过程，请补充完整：(1)按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了y 1，y 2与x 的几组对应值；x /cm 012345y 1/cm 5 4.9430y 2/cm43.322.47 1.43(2)在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x ，y 1)，(x ，y 2)，并画出函数y 1，y 2的图象；(3)结合函数图象，解决问题：连接BC ，当△BCD 是以CD 为腰的等腰三角形时，DA 的长度约为cm.3.(2019东城区一模)如图，点E 在弦AB 所对的优弧上，且BE ︵为半圆，C 是BE ︵上的动点，连接CA ，C B.已知AB ＝4cm ，设B ，C 两点间的距离为x cm ，点C 到弦AB 所在直线的距离为y 1cm ，A ，C 两点间的距离为y 2cm.第3题图小明根据学习函数的经验，分别对函数y 1，y 2随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究.下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了y 1，y 2与x 的几组对应值；x /cm 0123456y 1/cm 00.78 1.76 2.853.984.95 4.47y 2/cm44.695.265.965.944.47(2)在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x ，y 1)，(x ，y 2)，并画出函数y 1，y 2的图象；(3)结合函数图象，解决问题：①连接BE ，则BE 的长约为cm ；②当以A ，B ，C 为顶点组成的三角形是直角三角形时，BC 的长度约为cm.4.(2019海淀区一模)如图，线段AB及一定点C，P是线段AB上一动点，作直线CP，过点A作AQ⊥CP 于点Q.已知AB＝7cm，设A，P两点间的距离为x cm，A，Q两点间的距离为y1cm，P，Q两点间的距离为y2cm.小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.第4题图下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm00.30.50.81 1.5y1/cm00.280.490.791 1.48y2/cm00.080.090.0600.29x/cm234567y1/cm 1.87 2.37 2.61 2.72 2.76 2.78y2/cm0.73 1.82 4.20 5.33 6.41(2)在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，(x，y2)，并画出函数y1，y2的图象；(3)结合函数图象，解决问题：当△APQ中有一个角为30°时，AP的长度约为cm.类型三新函数性质探究问题(8年2考：2016.26、2015.26)1.(2019西城区二模)某医药研究所开发一种新的药物，据监测，如果成年人按规定的剂量服用，服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值，之后每毫升血液中的含药量逐渐衰减.若一次服药后每毫升血液中的含药量y(单位：微克)与服药后的时间t(单位：小时)之间近似满足某种函数关系，下表是y与t的几组对应值，其部分图象如图所示.t012346810…y024 2.83210.50.25…第1题图(1)在所给平面直角坐标系中，继续描出上表中已列出数值所对应的点(t，y)，并补全该函数图象；(2)结合函数图象，解决下列问题：①某病人第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为微克；若每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约小时；②若某病人第一次服药后8小时进行第二次服药，第二次服药对血液中含药量的影响与第一次服药相同，则第二次服药后2小时，每毫升血液中的含药量约为微克.2.(2019海淀区二模)有这样一个问题：探究函数y ＝18x 2－1x的图象与性质.小宇从课本上研究函数的活动中获得启发，对函数y ＝18x 2－1x 的图象与性质进行了探究.下面是小宇的探究过程，请补充完整：(1)函数y ＝18x 2－1x的自变量x 的取值范围是；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，完成以下作图步骤：①画出函数y ＝14x 2和y ＝－2x的图象；②在x 轴上取一点P ，过点P 作x 轴的垂线l ，分别交函数y ＝14x 2和y ＝－2x 的图象于点M ，N ，记线段MN 的中点为G ；③在x 轴正半轴上多次改变点P 的位置，用②的方法得到相应的点G ，把这些点用平滑的曲线连接起来，得到函数y ＝18x 2－1x 在y 轴右侧的图象.继续在x 轴负半轴上多次改变点P 的位置，重复上述操作得到该函数在y 轴左侧的图象.第2题图(3)结合函数y ＝18x 2－1x的图象，发现：①该函数图象在第二象限内存在最低点，该点的横坐标约为(保留小数点后一位)；②该函数还具有的性质为：(一条即可)。