导数计算公式
导数七个公式
导数的基本公式包括：
1.常数函数的导数：y = c（c为常数），其导数y' = 0。
2.幂函数的导数：y = x^n，其导数y' = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数：y = a^x，其导数y' = a^x lna；当底数为自然数e时，即y
= e^x，其导数y' = e^x。
4.对数函数的导数：y = log_a x，其导数y' = 1/(xlna)（a > 0且a ≠ 1）；当底
数为自然数e时，即y = ln x，其导数y' = 1/x。
5.三角函数的导数：
•y = sin x，其导数y' = cos x。
•y = cos x，其导数y' = -sin x。
•y = tan x，其导数y' = (sec x)^2 = 1/(cos x)^2。
•y = cotx，其导数y' = -(csc x)^2 = -1/(sin x)^2。
6.反三角函数的导数：
•y = arcsin x，其导数y' = 1/√(1 - x^2)。
•y = arccos x，其导数y' = -1/√(1 - x^2)。
•y = arctan x，其导数y' = 1/(1 + x^2)。
•y = arccot x，其导数y' = -1/(1 + x^2)。
这些公式是导数计算的基础，通过它们可以推导出更复杂的函数的导数。
在解题时，首先确定函数的定义域，然后应用相应的导数公式进行计算，最后根据导数的符号判断函数的增减性，进而描绘函数的图像或求解其他问题。
求函数的导数公式
求函数的导数公式函数的导数公式是描述函数在某一点处斜率的一种数学工具，对于一般的函数f(x)，它的导数可以用下面的公式来表示：1.导数的定义公式f'(x) = lim(h->0) [f(x + h) - f(x)]/h在这个公式中，f(x + h)表示以点(x + h, f(x + h))为端点的割线斜率，f(x)是函数f(x)在点x处的函数值，h表示x + h与x之差，即点(x + h, f(x + h))与点(x, f(x))之间的距离。
这个公式是导数定义的最基本形式，通常用于求解复杂函数的导数。
2.基本求导公式f'(x) = k，k为常数[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)[f(g(x))]’ = f'(g(x))g'(x)f’(x)/g(x) = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)]/[g(x)]^2[f(x)]^n = nf'(x)[f(x)]^(n-1)，n为正整数这里列举了一些常用的求导公式。
对于任何由基本函数组成的函数，都可以使用这些公式求其导数。
3.导数的运算法则导数具有很好的运算性质，常用的运算法则有：（1）线性性质：f(x) ±g(x)的导数为f'(x) ±g'(x)，kf(x)的导数为kf'(x)，k为常数。
（2）乘积法则：[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
（3）商数法则：[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)]/[g(x)]^2。
（4）复合函数的求导法则：如果y = f(g(x)),那么y' = f'(g(x))g'(x)。
以上是函数导数的一些基本公式和运算法则。
导数公式导数运算法则
导数公式导数运算法则导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在其中一点的变化速率。
导数的计算涉及到一系列的运算法则，这些法则可以帮助我们更快、更方便地求取函数的导数。
在以下讨论中，假设函数f(x)和g(x)是可导函数，c是常数。
一、四则运算法则1.加法法则：(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)这个法则表示如果一个函数是两个可导函数的和，那么它的导数等于这两个函数的导数之和。
2.减法法则：(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)同样地，如果一个函数是两个可导函数的差，那么它的导数等于这两个函数的导数之差。
3.乘法法则：(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)这个法则说明了如果一个函数是两个可导函数的乘积，那么它的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
4.除法法则：(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^2这个法则表示，如果一个函数是一个可导函数除以另一个可导函数，那么它的导数等于分子函数的导数乘以分母函数，减去分子函数乘以分母函数的导数，再除以分母函数的平方。
二、连锁法则1.复合函数的导数：如果y=f(u)和u=g(x)是可导函数，那么复合函数y=f(g(x))的导数可以通过以下公式计算：dy/dx = dy/du * du/dx这个公式称为连锁法则，它表示了复合函数的导数与内部函数和外部函数的导数之间的关系。
三、常用函数的导数1.幂函数:d(x^n)/dx = nx^(n-1)这个法则表示了幂函数的导数，其中n是任意实数。
2.指数函数:d(e^x)/dx = e^x这个法则说明指数函数e^x的导数是它本身。
3.对数函数:d(ln(x))/dx = 1/x这个法则说明自然对数函数ln(x)的导数是1除以x。
数学中求导的公式
数学中求导的公式求导是微积分中的一个重要概念，用于描述一个函数在某一点的变化率。
在数学中，求导的公式是通过对函数进行微分来计算它的导数。
导数表示了函数在某一点的切线斜率，也可以用来求函数的最值、高阶导数等。
在求导的过程中，我们常用的求导公式有以下几个：1. 常数函数的导数公式：对于常数函数y = c，其中c为常数，其导数为0。
这是因为常数函数的图像是一条水平直线，斜率为0。
2. 幂函数的导数公式：对于幂函数y = x^n，其中n为常数，其导数为y' = n * x^(n-1)。
这个公式可以通过使用定义来推导，也可以使用幂函数的特殊性质来求导。
3. 指数函数的导数公式：对于指数函数y = a^x，其中a为常数且不等于1，其导数为y' = ln(a) * a^x。
指数函数的导数与函数自身成正比，且比例常数是ln(a)。
4. 对数函数的导数公式：对于对数函数y = log_a(x)，其中a为常数且大于0且不等于1，其导数为y' = 1 / (x * ln(a))。
对数函数的导数可以通过换底公式和指数函数的导数公式推导得到。
5. 三角函数的导数公式：对于三角函数sin(x)、cos(x)、tan(x)等，它们的导数公式分别为cos(x)、-sin(x)、sec^2(x)等。
这些公式可以通过使用极限定义来推导。
6. 反三角函数的导数公式：对于反三角函数arcsin(x)、arccos(x)、arctan(x)等，它们的导数公式分别为 1 / sqrt(1 - x^2)、-1 / sqrt(1 - x^2)、1 / (1 + x^2)等。
这些公式可以通过使用反函数的导数与原函数导数互为倒数的性质来推导。
7. 复合函数的导数公式：对于复合函数y = f(g(x))，其中f和g 分别为函数，其导数可以通过链式法则来计算。
链式法则表示，复合函数的导数等于外层函数在内层函数的导数上乘以内层函数的导数。
16个基本导数公式详解
16个基本导数公式详解在微积分中，导数是指函数在其中一点的切线斜率或变化率。
它在计算斜率、切线和极值时起着重要作用。
以下是16个基本导数公式的详解。
1. 常数函数导数：对于常数函数y=c，导数为dy/dx = 0。
这是因为常数函数在任何点的斜率都是零。
2. 幂函数导数：对于幂函数y=x^n（这里n是常数），其导数为dy/dx = nx^(n-1)。
这个公式可以通过使用极限定义导数来证明。
例如，对于y=x^2，导数为dy/dx = 2x。
3. 指数函数导数：对于指数函数y=a^x（这里a是常数且a>0），其导数为dy/dx = a^x * ln(a)。
这个公式可以通过使用极限定义导数和对数函数的导数来证明。
4. 对数函数导数：对于自然对数函数y=ln(x)，其导数为dy/dx =1/x。
对数函数的导数是指数函数导数的倒数。
这个公式也可以通过使用极限定义导数来证明。
5. 正弦函数导数：对于正弦函数y=sin(x)，其导数为dy/dx =cos(x)。
这个公式可以通过使用极限定义导数和三角函数的定义来证明。
6. 余弦函数导数：对于余弦函数y=cos(x)，其导数为dy/dx = -sin(x)。
这个公式可以通过使用极限定义导数和三角函数的定义来证明。
7. 正切函数导数：对于正切函数y=tan(x)，其导数为dy/dx =sec^2(x)。
这个公式可以通过使用sin(x)和cos(x)的导数公式来证明。
8. 反正弦函数导数：对于反正弦函数y=arcsin(x)，其导数为dy/dx = 1/√(1 - x^2)。
这个公式可以通过使用反三角函数的定义和导数的链式法则来证明。
9. 反余弦函数导数：对于反余弦函数y=arccos(x)，其导数为dy/dx = -1/√(1 - x^2)。
这个公式可以通过使用反三角函数的定义和导数的链式法则来证明。
10. 反正切函数导数：对于反正切函数y=arctan(x)，其导数为dy/dx = 1/(1 + x^2)。
求导基本公式表
导数是微积分学中的重要概念，它表示一个函数在某一点处的变化率。
导数公式是微积分学中的基本公式之一，用于计算函数的导数。
以下是导数的基本公式表：
1.函数y=kx的导数为y′=k，其中k为常数。
2.函数y=axn的导数为y′=naxn−1，其中a为常数，n为正整数。
3.函数y=loga(x)的导数为y′=x ln a1，其中a为常数且a>0且a=1。
4.函数y=ex的导数为y′=ex。
5.函数y=sin(x)的导数为y′=cos(x)。
6.函数y=cos(x)的导数为y′=−sin(x)。
7.函数y=tan(x)的导数为y′=(sec(x))2。
8.函数y=cot(x)的导数为y′=−(csc(x))2。
9.函数y=sec(x)的导数为y′=tan(x)sec(x)。
10.函数y=csc(x)的导数为y′=−cot(x)csc(x)。
这些公式可以在求解函数的导数时提供帮助。
但是需要注意，对于复杂的函数，可能需要使用更高级的导数公式才能求解其导数。
此外，导数的计算还涉及到一些基本的微积分知识和技巧，例如链式法则、乘法法则、指数函数求导法则等等，需要在学习微积分的过程中逐步掌握。
导数的计算方法总结
导数的计算方法总结导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点的变化率。
下面是导数的计算方法的总结：1. 通过定义计算导数：导数的定义是函数在某一点的极限，可以用以下公式表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) f(x)] / h.其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
2. 基本导数法则：常数规则，如果f(x)是常数c，那么f'(x) = 0。
幂函数规则，如果f(x) = x^n，其中n是实数常数，那么f'(x) = nx^(n-1)。
和差法则，如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)。
乘法法则，如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
商法则，如果f(x)和g(x)都是可导函数，且g(x)≠0，那么(f/g)'(x) = [f'(x)g(x) f(x)g'(x)] / [g(x)]^2。
3. 链式法则：链式法则适用于复合函数的导数计算。
如果y = f(g(x))，其中f和g都是可导函数，那么y对x的导数可以通过以下公式计算：dy/dx = f'(g(x)) g'(x)。
4. 高阶导数，导数的导数称为高阶导数。
一阶导数是函数的斜率，二阶导数是函数的曲率。
高阶导数可以通过连续应用导数的定义和法则来计算。
5. 隐函数求导，当函数无法直接表示为y = f(x)的形式时，可以使用隐函数求导方法来计算导数。
6. 参数方程求导，对于参数方程x = f(t)和y = g(t)，可以通过对x和y同时关于t求导来计算参数方程的导数。
以上是导数的计算方法的总结，这些方法可以帮助我们计算函数在特定点的导数，进而了解函数的变化趋势和性质。
基本导数公式16个汇总
基本导数公式16个汇总基本导数公式16个整理16个基本导数公式(y：原函数;y：导函数)：1、y=c，y=0(c为常数)。
2、y=x^μ，y=μx^(μ-1)(μ为常数且μ≠0)。
3、y=a^x，y=a^x lna;y=e^x，y=e^x。
4、y=logax，y=1/(xlna)(a0且a≠1);y=lnx，y=1/x。
5、y=sinx，y=cosx。
6、y=cosx，y=-sinx。
7、y=tanx，y=(secx)^2=1/(cosx)^2。
8、y=cotx，y=-(cscx)^2=-1/(sinx)^2。
9、y=arcsinx，y=1/√(1-x^2)。
10、y=arccosx，y=-1/√(1-x^2)。
11、y=arctanx，y=1/(1+x^2)。
12、y=arccotx，y=-1/(1+x^2)。
13、y=shx，y=ch x。
14、y=chx，y=sh x。
15、y=thx，y=1/(chx)^2。
16、y=arshx，y=1/√(1+x^2)。
导数的几何意义是什么导数的数学意义是：函数y=f(x)在x0点的导数f(x0)的几何意义：表示函数曲线在点P0(x0,f(x0))处的切线的斜率(导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率)。
导数的物理意义是：导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度(就直线运动而言，位移关于时间的一阶导数是瞬时速度，二阶导数是加速度)，可以表示曲线在一点的斜率，还可以表示经济学中的边际和弹性。
导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。
导数运算法则减法法则：(f(x)-g(x))=f(x)-g(x)加法法则：(f(x)+g(x))=f(x)+g(x)乘法法则：(f(x)g(x))=f(x)g(x)+f(x)g(x)除法法则：(g(x)/f(x))=(g(x)f(x)-f(x)g(x))/(f(x))^2常用导数公式1、y=c(c为常数) y=02、y=x^n y=nx^(n-1)3、y=a^x y=a^xlnay=e^x y=e^x4、y=logax y=logae/x y=lnx y=1/x5、y=sinx y=cosx6.y=cosx y=-sinx7、y=tanx y=1/cos^2x8、y=cotx y=-1/sin^2x。
导数公式大全
复合函数的求导法则
定理2.2 若函数u u(x)在点x可导，函数y＝f (u)
在点u处可导，则复合函数y f (u(x))
在点x可导，且
dy dx
dy du
du dx
或记作：
dy dx
f
'(u) u '(x)
推论 设 y = f (u) ， u = (v) ， v =
(x) 均可导，则复合函数 y = f [ ( (x))] 也可
注：当两个二阶导数连续时，它们是相等的
即 f xy ( x, y) f yx (x, y)
例 3 设 z arctan xy,
试求函数的四个二阶偏导函数
2z 2z x2 y2
2z x y
2z y x
思考题一
求曲y 线2x x3 x
上与 轴平行的切线方程 .
思考题一解答
y 2 3x2 令 y 0 2 3x2 0
tan
x
(4) 把 tan x 当作中间变量， y ' (etan x ) ' etan x (tan x) ' sec2 xetan x
(5) 把 x 当作中间变量， y ' (2x ) ' 2x ln 2 (x) ' 2x ln 2
求导方法小结：
先将要求导的函数分解成基本初等函 数 , 或常数与基本初等函数的和、差、积、 商.
z y
2 y ln(x2
y2)
(x2
y2)
2y x2 y2
2 y[ln(x2 y2 ) 1]
二元函数的二阶偏导数
函数 z = f ( x , y ) 的两个偏导
数
z x
f x ( x, y),
导数公式及运算法则
导数公式及运算法则
八个公式：
y=c(c为常数) y'=0；
y=x^n y'=nx^(n-1)；
y=a^x y'=a^xlna y=e^x y'=e^x；
y=logax y'=logae/x y=lnx y'=1/x ；
y=sinx y'=cosx ；y=cosx y'=-sinx ；
y=tanx y'=1/cos^2x ；
y=cotx y'=-1/sin^2x。
运算法则：
加（减）法则：[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)'
乘法法则：[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x)
除法法则：[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。
对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。
寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。
实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。
反
之，已知导函数也可以反过来求原来的函数，即不定积分。
导数公式大全
导数公式大全1、原函数：y=c(c为常数)导数：y'=02、原函数：y=x^n导数：y'=nx^(n-1)3、原函数：y=tanx导数：y'=1/cos^2x4、原函数：y=cotx导数：y'=-1/sin^2x5、原函数：y=sinx导数：y'=cosx6、原函数：y=cosx导数：y'=-sinx7、原函数：y=a^x导数：y'=a^xlna8、原函数：y=e^x导数：y'=e^x9、原函数：y=logax导数：y'=logae/x10、原函数：y=lnx导数：y'=1/xy=f(x)=c (c为常数),则f'(x)=0f(x)=x^n (n不等于0) f'(x)=nx^(n-1) (x^n表示x的n次方)f(x)=sinx f'(x)=cosxf(x)=cosx f'(x)=-sinxf(x)=tanx f'(x)=sec^2xf(x)=a^x f'(x)=a^xlna(a>0且a不等于1,x>0)f(x)=e^x f'(x)=e^xf(x)=logaX f'(x)=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0)f(x)=lnx f'(x)=1/x (x>0)f(x)=tanx f'(x)=1/cos^2 xf(x)=cotx f'(x)=- 1/sin^2 xf(x)=acrsin(x) f'(x)=1/√(1-x^2)f(x)=acrcos(x) f'(x)=-1/√(1-x^2)f(x)=acrtan(x) f'(x)=-1/(1+x^2)导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f(x)的自变量X在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df/dx(x0)。
16个基本导数公式
16个基本导数公式导数是微积分中重要的概念之一，它描述了函数在特定点的局部变化率。
在求导过程中，我们需要掌握一些基本的导数公式，这些公式可以用于求取各种类型函数的导数。
下面，我将介绍16个基本的导数公式，并对每个公式进行详细解释。
总字数超过1200字。
1.常数函数的导数：若f(x)=c，其中c为常数，则f'(x)=0。
常数函数在任何点处的导数都为0，因为它没有变化。
2.幂函数的导数：若f(x)=x^n，其中n为正整数，则f'(x)=n*x^(n-1)。
幂函数的导数可以通过将指数乘以常数并减一，得到新的指数。
3. 指数函数的导数：若f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1，则f'(x) = a^x * ln(a)。
指数函数的导数等于函数值乘以常数ln(a)。
4. 对数函数的导数：若f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1/x。
对数函数的导数等于导数的倒数。
5. 三角函数的导数：(1) 若f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)；(2) 若f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)；(3) 若f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。
三角函数的导数可以通过观察函数的变化规律得到。
6. 反三角函数的导数：(1) 若f(x) = arcsin(x)，则f'(x) =1/√(1 - x^2)；(2) 若f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1/√(1 - x^2)；(3) 若f(x) = arctan(x)，则f'(x) = 1/(1 + x^2)。
反三角函数的导数可以通过求导的逆运算得到。
7.求和函数的导数：若f(x)=u(x)+v(x)，其中u(x)和v(x)都是可导函数，则f'(x)=u'(x)+v'(x)。
求和函数的导数等于各个函数的导数的和。
常用函数导数公式大全
常用函数导数公式大全
导数是微积分中的重要基础概念，用于描述函数在某一点处的变化率。
常用函数的导数公式如下:
1. 常数函数的导数为零。
2. x 的幂函数的导数:y" = yx(x-1)。
3. 指数函数的导数:y" = eax。
4. 对数函数的导数:y" = loga(ex)。
5. 三角函数的导数：
- 正弦函数的导数:y" = cosx。
- 余弦函数的导数:y" = -sinx。
- 正切函数的导数:y" = tanx。
- 余切函数的导数:y" = cotx。
6. 反三角函数的导数：
- 反正弦函数的导数:y" = -cosx。
- 反余弦函数的导数:y" = sinx。
- 反正切函数的导数:y" = -tanx。
- 反余切函数的导数:y" = cotx。
7. 双曲函数的导数:y" = -(abx^2 + 2acy + cy^2)。
8. 反双曲函数的导数:y" = ab(bx^2 - 2acy + cy^2) + 2abcdy。
9. 幂函数的导数:y" = yx^(x-1)。
10. 递归函数的导数:y" = f(x, y) - f(x-1, y)。
这些导数公式只是部分常用函数的导数，还有许多其他函数的导
数公式。
在实际应用中，需要根据具体情况选择适合的函数，并计算出其导数。
导数求导的公式
导数求导的公式定义在微积分中，导数是描述函数变化率的概念。
导数通常用来表示函数在某一点的变化率，即函数在该点附近的变化趋势。
导数求导是微积分中的一种重要操作，它可以帮助我们分析函数的性质、求解极值和优化问题等。
导数的计算导数的计算方法有很多种，其中最基本的方法是使用导数的定义式进行求导。
如果函数f(x)在x点处可导，那么函数在该点处的导数可以表示为：$f'(x) = \\lim_{h \\to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$其中，当x点处函数f(x)可导时，f’(x)即为函数f(x)在x点处的导数。
常见导数求导公式在微积分中，有一些函数的导数求导公式是比较常见的，下面列举几个常见的求导公式：1.常数函数的导数若f(x) = c，其中c为常数，则f’(x)= 0。
2.幂函数的导数若f(x) = x^n，其中n为常数，则f’(x)= nx^(n-1)。
3.指数函数的导数若f(x) = e^x，其中e为自然对数的底，则f’(x) = e^x。
4.对数函数的导数若f(x) = ln(x)，则f’(x) = 1/x。
5.三角函数的导数若f(x) = sin(x)，则f’(x) = cos(x)；若f(x) = cos(x)，则f’(x) = -sin(x)。
通过应用这些常见的导数求导公式，我们可以求解各种函数的导数，从而更好地理解函数的性质和变化规律。
总结导数求导是微积分中的一个重要概念，它可以帮助我们分析函数的性质、求解极值和优化问题等。
导数的计算方法多种多样，常见的导数求导公式可以帮助我们快速求解各种函数的导数。
通过深入学习导数求导的知识，我们可以更好地理解函数的性质和变化规律，为解决实际问题提供有力的数学工具。
以上是关于导数求导的公式的一些基本介绍，希望可以帮助您更好地理解这一重要的微积分概念。
求导公式运算法则
求导公式运算法则
运算法则是：加（减）法则，[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)'；乘法法则，[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g (x)+g(x)'*f(x)；除法法则，[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
导数也叫导函数值，又名微商，是微积分中的重要基础概念。
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
求导运算法则是：加（减）法则：[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)'；乘法法则：[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g (x)+g(x)'*f(x)；除法法则：[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
导数公式一、基本初等函数的导数公式2 1 已知函数：(1)y =f(x) = c ； (2)y = f(x) = x ； (3)y =f(x) = x ； (4)y = f(x)=_ ； X (5)y = f(x)= x.问题：上述函数的导数是什么？ 提示f (x +&厂f (x ) c — c,Jy提示：(1)•怎二 J 二页二°，・・y=j m °忑二°.2)(x)'二 1, (3)(x 2)'二2x , (4)Jx / ——x 2, (5)(冈二歩函数⑵(3)(5)均可表示为y =x a ( a€ Q )的形式，其导数有何规律？1提示：v(2)(X )'二 1x 1 —1, (3)(x 2)'二 2x 2—1 , (5)( . x)'二(x 2 )'二1基本初等函数的导数公式 原函数导函数 f(x)= c(c 为常数) f ' (x)= 0 f(x) = x a a€ Q*) f '(X )= a a 1 f(x)= sin x f ' (x)= cos x f(x) = cos x f ' (x)= — sin x f(x) = ax f ' (x)axIn a f(x) = ex f ' (x)ex f(x) = logaxf ' (x) l' 7xln a f(x)= ln x’ 1 f' x )_ ' 7x_1_ 2：，a — 1=ax、导数运算法则1已知 f(x) = X , g(x) = x ・问题1: f(x), g(x)的导数分别是什么?1 1冋题2:试求Q(x) = x + x , H(x) = x — -的导数.x x•台-1 — 一1—— O (x)- lim 空—lim R ———1——1-1—纟 "A x - l — x (x +A x , (x) _才° A x_20 [ xx +A x )_T x 2.1同理 H ' (x) - 1 + -2.x问题3: Q(x), H(x)的导数与f(x), g(x)的导数有何关系？提示：Q(x)的导数等于f(x), g(x)导数的和，H(x)的导数等于f(x), g(x)导数的差. 导数运算法则1. [f(x) ±(x)]'- f (x) ±' (x)2. [f(x) g(x)]f ' (x)g(x) + f(x)g ' (x)题型一利用导数公式直接求导［例 1］求下列函数的导数：(1)y - 10x ; (2)y - lg x ; (3) ^log-, x ;2Z -2・ X 丄 x ! d(5) y= sin — +cos — | -1. '、、2 2 丿提示:1 x + A x—A xA x +x x + A x-f ' xgx —f x g ' x (g(x)半0) 2[gx](4)y - ^x 3; (1)y ' -(10)' - 10x ln 10; (2)y '-(lg x)' - ~~L ~xl n 10'(3)y ‘ — =-xin 2；⑷y —( x)' =; (5)・y = sin 空+cos ㊁ xln 24^X2- 1 — sin 2X + 2sin|coS2 + cos%— 1— sin x,：y ' — (sin x)'练习求下列函数的导数：(1) y — 2)； (2)y —常);(3)y — lg 5; (4)y — 3lg^x ； (5)y — 2cos ?|— 1. 解：⑴y ' - £)］' = i )ln e =- i=- e —x ；⑵y '-］韵］1 -馬x i — In 10x务 10—pL —- 10—x ln 10;⑶ vy — lg 5是常数函数，二 y ' — (lg 5)' —0；⑷-.y — 3©扳—lg x,Ay ' — (lg x)' — x^10； (5) Ty — 2cos 2x — 1 — cos x ,■'y' — (cos x)' — — sin x.题型二 利用导数的运算法则求函数的导数 ［例2］求下列函数的导数： 3xx x 2e + 1 (1)y — x e ； (2)y — x — sinqcos^； (3)y — x + log 3x ； (4)y — e x —.3 x3, x2 x3 x 2x［解］(1)y — (x ) e + x (e ) — 3x e + x e — x (3 + x)e .1 , , 1 , 1(2) '-y — x — qsin x,.°.y ' — x ' — ^(sin x)' — 1 — qcos x.2 2 1(3)y ' — (x + bg 3x)' — (x)' + (log 3x)' — 2x + x l ^~~3*e x + 1 'e x -1 - e x + 1 e x -1 ' e x e x - 1 - e x + 1 e x(e x —1f—2e xe x — 1 2—cos x.⑷y'—e x — 1 2练习求下列函数的导数:—41— x _ 4 (1— x f —(1—x2⑷y = £ x —x 1 2) = (ig x)' — g)=蛊+良题型三导数几何意义的应用[例3] (1)曲线y = — 5e x + 3在点(0,— 2)处的切线方程为 _________ . (2)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C : y =x 3— 10x + 13上，且在 第［解析］(1)y ' = — 5e x ,・••所求曲线的切线斜率k = y ' |x = o = — 5e 0= — 5,•••切线方程为 y — (— 2)= — 5(x — 0), 即卩 5x + y + 2 = 0.2 2⑵设点P 的坐标为(X 0, y 0),因为y ' = 3x — 10,所以3x 。
一 10= 2,解得 X 0=i2.又点P 在第一象限内，所以X 0= 2,又点P 在曲线C 上，所以y3=2 — 10X2+ 13= 1,所以点 P 的坐标为(2,1). (1)5x + y + 2= 0 ⑵(2,1) 练习 若曲线f(x)= acos x 与曲线g(x) = x 2 + bx + 1在交点(0, m)处有公切 线，贝U a + b = ____________ .解析：f ' (x)= — asin x , g ' (x) = 2x + b ,•••曲线f(x) = acos x 与曲线g(x) = x 2 + bx + 1在交点(0, m)处有公切线，⑴尸 cosx x (2)y=xsin x + x ; (3)y = x — cos x -x '2—x sin x — cos x= 2 =— xxsin x + cos x2x _1_2.x(3) •y =2 + 2x 41 — x 1 — x 1 — x2，小4 \ ----- —2 ' 1— x /1;(4)y = ig x —孑解：(1)y ‘ = (2)y ‘ = (xs in x) =sin x +xcos x +一象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为1■切线方程的求法［典例］已知a€ R,函数f(x) = x3—3x2+ 3ax—3a + 3,求曲线y= f(x)在点(1, f(1))处的切线方程.［解］由已知得f' (x)= 3x2—6x+ 3a,故f' (1) = 3 —6+ 3a = 3a —3, 且f(1) = 1 —3+ 3a —3a + 3= 1.故所求切线方程为y— 1 = (3a—3)(x—1), 即3(a—1)x—y+4 —3a= 0.一、已知斜率，求切线方程.此类问题可以设出切点，利用导数与已知直线的斜率关系来确定切点，进而求出切线方程.例：求与直线x + 4y+ 1 = 0垂直的曲线f(x)= 2x2—1的切线方程.解：所求切线与直线x+ 4y+ 1 = 0垂直，所以所求切线的斜率k= 4. 设切点坐标为(X0,y0)，则f'(X0)= 4x0 = 4,即X0= 1.所以切点坐标为(1,1). 故所求切线方程为y— 1 = 4(x—1),即卩4x —y— 3 = 0.二、已知过曲线上一点，求切线方程.过曲线上一点的切线，该点不一定是切点，故应先设出切点，再利用该点在切线上来确定切点，进而求出切线方程.例：求过曲线f(x) = x3—2x上的点(1,—1)的切线方程.解：设切点坐标为(X0, y0),2因为f' (x) = 3x —2,2 3所以f'(X0)= 3x0 —2,且y0= f(X0)= x°—2x0.所以切线方程为y—y0= (3x2—2)(x—X0),3 2即y—(x0—2x0)= (3x0 —2)(x—X0)・•丁(0) = a=g(0)= 1,且f' (0)= 0= g' (0) = b,；a+ b= 1.答案：1因为切线过点(1,—1),故— 1 —(x0—2x o) = (3x0 —2) (•—x o)即2x o—3x o + 1 = 0,1解得x o= 1或x o = —2故所求切线方程为x—y—2= o或5x+ 4y— 1 = o.三、已知过曲线外一点，求切线方程.这一题型要设出切点，再利用斜率公式及导数的几何意义列方程求出切点，从而求出切线方程.3例:已知函数f(x) = x —3x,过点A(o,16)作曲线y= f(x)的切线，求切线方程.解:由题意知点A(o,16)不在曲线f(x) = x3—3x上，设切点坐标为M(x o,y o).2则f' (x o)= 3X2—3,故切线方程为y—y o= 3(x o—1)(x—x o).又点A(o,16)在切线上，所以16—(x o—3x o)= 3(x o —1)(o —x o),30 8,解得x o= —2,即切点为M( —2,—2),简得故切线万程为9x — y + 16= 0.课后练习1.给出下列结论：①(cos x)'= sin x ； 1 1③若 y = v ，贝U y '= —-;'X ' ' x 其中正确的个数是()C . 2④_1_2x. x所以④正确.答案：B2.函数y = sin x cos x 的导数是(2 2A . y = cos x + sin x C . y '= 2cos x sin x解析： y '= (sin x cos x)'= cos x cos x + sin x (— sin x)= cosx — sin 2x.3.若 f(x)= (2x + a)2，且 f '⑵=20,则 a =解析：f(x) = 4# + 4ax + a 2,f (x) = 8x + 4a ,：f ' (2)= 16+ 4a = 20,/a =1•答案：14.已知曲线y = x 4+ ax 2 + 1在点(—1, a + 2)处切线的斜率为8,贝U a =解析：丫 = 4x 3 + 2ax ,因为曲线在点(—1, a + 2)处切线的斜率为8,所 以 y ' |x =— 1= — 4 — 2a = 8,解得 a = — 6.答案：一6 5.求下列函数的导数：(1)y =x (x 2+x +如;1 + cos x ⑵y = 厂(3) y = (4x — x)(e x + 1).j 2 1 1 ' 3 12 2解：(1)-y =xx + x +x 3 = x 3+1+x 2," = 3x 2—x 3.解析：(cos x)'=— sin x ,所以①错误；sin n=^23,而皆)=0,所以一 2x1 C2 ,0一 Xx一1 1 21 2x2 = 12x x')2 . 2B . y = cosx — sin x D . y '= cos x sin x2 /=一 2x 3,所以③错误;2—(1 + cos x]x )' — xsin x — 2cos x — 2 ⑶法一:十(4x —x)(e x + 1) = 4x e x + 4x —xe x — x ,「.y '二(4x e x + 4x —xe x —x)'二(4x )' e x + 4x (e x )' + (4x )' —[x ' e x + x(e x )' ] — x '二e x 4x ln 4+ 4x e x + 4jn 4 — e x —xe x — 1 = e T (4x | n 4 + 4x — 1— x) + 4jn 4 — 1. 法二：y '二(4x —x)' (e x + 1)+ (4x —x)(e x + 1)' =(4x ln 4— 1)@+ 1)+ (4x —x)e x = e\4x ln 4+ 4x — 1 — x) + 4x ln 4 — 1.f1+ cos x \ • 对= -------------------------- x 4。