§2.3-初等解析函数和多值函数(精)
§2初等解析函数解读
§2 初等解析函数一、教学目标或要求：掌握初等解析函数的定义、性质二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：初等解析函数的定义、性质重点：初等解析函数性质难点：解析函数的性质三、教学手段与方法：讲授、练习思考题、讨论题、作业与练习：12－19§2 初等解析函数1．指数函数定义2.4 设y x z i +=，称)sin i (cos e e y y x z ⋅+=为指数函数，其等式右端中的e 为自然对数的底，即 2.71828e =．指数函数性质（1） 它是实指数函数的自然推广。
（2） 对任意二复数111i y x z +=与222i y x z +=,有2121e e ez z z z +=⋅。
（3） z e 在复平面上为解析函数，且有z z e )(e=' （4） 对任意一复数y x z i +=，有 π2)(Arg ,e e k y z x z +== （k ：整数）（5）z e 只以i π2k (k 为整数)为周期，是以为基本周期的周期函数。
（6）21e e z z =的充分必要条件是i π212k z z =- （k 为整数）（7）z z e lim ∞→不存在．（8）设y x z i +=，若0=y ，则x z e e =；若0=x ，则y y y sin i cos e i ⋅+=。
这便是欧拉公式．（9）若y x z i +=，则zz e e =．2．三角函数与双曲函数由方程可得因此我们可定义复三角函数为定义2.5 设z 为复数，称i 2e e i i zz -- 与2e e i i z z -+ 分别为z 的正弦函数和余弦函数，分别记作i2e e sin i i zz z --= 与 2e e cos i i z z z -+= 正、余弦函数的性质：（1）z sin 与z cos 在复平面解析，且有z z z z sin )(cos ,cos )(sin -='=' 事实上，同理，可证另一个。
第2章：初等解析函数
z = re
iϑ
z = ± re
iϑ / 2
iϑ / 2
w = cos z = cos ± r e
(
iϑ / 2
) = cos(
re
)
26
——只有一个值：单值函数！
(b)
w = z + 1 = ( z + i )( z − i )
2
= r1e i (ϑ1 + 2 n1π ) ⋅ r2 ei (ϑ2 + 2 n2π ) = r1r2 e
第2章
解析函数
2.1 初等函数 2.2 多值函数——根式 2.3 多值函数——对数 2.4 反三角函数和其它
1
2.1 初等函数
幂函数 f ( z ) = z n （1）当 n=1,2,3….
df ( z ) = nz n −1 dz
在整个复平面上有确定的值，且满足C-R条件， 故 zn 是全平面上的解析函数（不包括无限大） （2）当 n=–1, – 2, – 3…, zn 导数表达式亦是nzn1(除 z=0 外)，并且满足C-R 条件，故 zn 亦是全平 面上的解析函数。 z=0是该函数的奇点
注意3：当主值定义为 0 < arg z ≤ 2π ，函数 w = z 在正实轴上不连续
22
上半平面趋近正实轴上
w = z = r e i 0 = r [cos(0) + i sin(0)] = r
下半平面趋近正实轴上
w = z = r e i 2π / 2 = r [cos(π ) − i sin(π )] = − r
-i
z+i
——z=i 和-i 是枝点
•
29
z在包围z=∞的路径绕一周：即包围所有枝点的 路径反绕一周 辐角变化为
2.3初等函数
类似地，连续变动k周回到z1时，
辐角arg z1变为arg z1＋2k (k 1, 2, ).
(4) 当z从z1开始按照逆时针方向 沿着C \{0}内一条围绕z0( 0,) (不围绕原点)的简单闭曲线L3连续 变动一周，回到z1时，arg z1不变.
设F (z)是区域( C )上的一个多值函数， z0 C.若在z0的某个充分小的邻域内，存在 一条包围z0的简单闭曲线L，当动点z沿L旋转 一周，回到起点时，F (z)的函数值发生变化， 则z0称为多值函数F (z)的支点.
连接多值函数F (z)的支点，用来剪开z平面， 借以分出多值函数F (z)的单值分支的割线，称为 多值函数F ( z)的支割线.
1 ln 13 i(arc tan 3 2k ), (k ),
2
2
ln(2 3i) ln | 2 3i | i arg(2 3i)
如果ez1 ez2，那么z1 z2 2k i，反之亦真.
(5) z C, ez 0, ez eRez ,
Argez Im z 2k (k Z );
2. 三角函数
由Euler公式，对x R,
eix cos x i sin x, eix cos x i sin x.
所以
cos x eix eix , sin x eix eix .
sin z
cos z
sin z
二、初等多值函数
1. 辐角函数
辐角函数F(z) Argz是C \{0}上的一个多值函数. 将辐角函数在某些区域内分解为一些单值连续函数， 每一个单值连续函数称为辐角函数在这个区域内 的一个单值连续分支.
考虑沿负实轴(包括原点0)剪开复平面而得到的
初等解析函数和多值函数.ppt
(vi) lim ez不存在。
z
证明：(iv) w' lim ezz ez
ez lim
ez 1
z0 z
z0 z
lim ez ex cos y i sin y 1
z0
z
lim ez 1 x1 iy 1 ez
z 0
z
(3) 三角函数 sin z 1 eiz eiz , cos z 1 eiz eiz
点，则连续Байду номын сангаас变的幅角回到原来
的值，而w的值也回到w1。但如
果曲线包含原点，则旋转一周后，w的值不再回到w1，而
是回到w2：
w re 3
i
0 3
2 3
2
我们称z=0为w 3 z 的支点。
定义(支点)：若z绕某点旋转一周回到初始点，多值函数 w=f(z)由一个分支变到另外一个分支，我们称这样的点 为多值函数的支点。
bn zn
(2) 指数函数 w ez exeiy ex (cos y i sin y)
指数函数的性质：
(i) ez 0
(ii) 对于实数z=x来说，复数域中的指数定义与实数域中
的定义一致。
(iii) ez1ez2 ez1z2
(iv) 指数函数处处解析，且：w' ez
(v) ezi2k ez
所以：w l n z ln r iarg(z)
显然：w Lnz l n z i2n , n 0, 1,
如在w平面上用平行于实轴 的直线画出一个宽为2的条 带，例如图中的I，则z与w 为一一对应的关系。I为z=ew 的单叶性区域。
同样，对数函数也存在两个 支点：z=0和z=。两个支点间的任意连线就构成了支割线。 支割线映射为w平面上的单值分支之间的端线：
复变函数 2.3初等多值解析函数
w L n z l n r i ( 2 k ) ( k E )
z
L n zln |z|iA rgz
的
由于Argz的多值性导致w=Lnz
主
是一个具有无穷多值的多值函数
辐
规定： ln zln r i ln z ia r g z.
角
为对数函数Lnz的主值
于是： w L n z ln z 2 ki(k E )
角 2kn域 T n n: n n π 映 映 射 射 成 2成 kn负 负 实 实 n轴 轴 的 的 下 上 角 2岸 k岸 域 G nπ :k 2k
y
z
v
w
n
o
n
W=zn x
从原点起沿负实轴剪开的精选w课平件 面
上岸
G0 o
下岸
u
5
映射特点: 把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点 的角形域, 但张角变成为原来的 n 倍.
Ln2ln22ki,
因 为arg(-1),
L n ( 1 ) ln 1 ii.
L n ( 1 ) ln 1 2 k i
(2k1)i (k为整 ) 数
注意: 在实对数函数中, 零和负数无对数, 这一点 在复对数函数中不再成立.
精选课件
15
例5 解方 ez 1 程 3 i 0 . 解 因ez为 13 i,
显然,区域D到区域G的单叶满变换w=f(z) 就是D 到G的一一变换.
f(z)=z2不是C上的单叶函数. f(z)=z3是C上的单叶函数
精选课件
2
2.3.0幂函数的变换性质及其单叶性区域
设有幂函数: w=zn
令z=rei, w=ei ,则： w=zn ei = rnein= rn, =n
复变函数 2.3初等多值解析函数ppt课件
p ln a i p(arga2k)
ab eq
eq q
e
p q
ln
a
cos
p q
(arga
2kπ)
i
sin
p q
(arga
2kπ)
ab具有 q 个值, 即取 k 0,1,2,,(q 1)时相应的值.
25
特殊情况: 1)当 b n (正整数)时,
an enLna eLnaLnaLna
的
由于Argz的多值性导致w=Lnz
主
是一个具有无穷多值的多值函数
辐
角
规定： ln z ln r i ln z i arg z.
为对数函数Lnz的主值
于是： w Lnz ln z 2k i(k E)
13
对于每一个固定的k, 上式确定一个单值函数, 称为Lnz 的一个分支. 特殊地, 当 z x 0时, Lnz 的主值 ln z ln x, 是实变数对数函数.
从原点起沿负实轴剪开的w平面
上岸
G0 o
下岸
u
5
映射特点: 把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点
的角形域, 但张角变成为原来的 n 倍.
角域Tn
:
2k
n
n
2k
n
n
k 0,1,
n1
是幂函数的单叶性区域的一种分法
总之：幂函数w=zn (n>1) 单叶性区域是顶点 在原点，张度不超过2/n的角形区域
n1
w0 n rei0 2 w1 n rei1
22 w2 n rei2
第二章第二节：初等解析函数
cos( z1 z2 ) cos z1 cos z2 sin z1 sin z2 sin( z1 z2 ) sin z1 cos z2 cos z1 sin z2 sin 2 z cos 2 z 1 • 由此得 cos(x+iy)=cosxcosiy-sinxsiniy,
初等复变函数：基本初等复变函数经过加、减、乘、除、 乘方和开方等基本运算，或经历有限次复合运算，所形 成的复变函数称为初等复变函数,简称为复变函数.
思考题: 实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些
异同?
思考题答案
两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的, 而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公 式也有相同的形式. 最大的区别是, 实变三角函数中, 正余弦函数都是 有界函数, 但在复变三角函数中,
sin(z) 60 60 40 40 20 0 0 -20 -40 -60 5 5 0 -5 0 -5 -60 -20 20
-40
由于ez是以2i为周期的周期函数, 因此cos z和sin z以2 为周期, 即 cos(z+2)=cos z, sin(z+2 )=sin z. 也容易推出cos z是偶函数: cos(-z)=cos z 而sin z是奇函数: sin(-z)=-sin z 由指数函数的导数公式可以求得 (cos z)‘=-sin z, (sin z)’=cos z 易知 eiz=cos z+isin z 普遍正确, 即对于复数, 欧拉公式仍然成立.
sin z cos z tg z , ctg z , cos z sin z 1 1 sec z , csc z . cos z sin z
tan(z) 5 4 30 20 10 0 0 -10 -1 -20 -2 -30 5 5 0 -5 -4 0 -5 -5 -3 3 2 1
复变函数-2.3 初等函数共26页
25/25
休息一下 ……
数
2
eiwz z21, iw L(zn z2 1),
w A cz r o i c L s( z n z 2 1 ) .
同理可得 A sr z i n c iL (iz n 1 z 2 );
Artcazni Ln iz. 2 iz
§2.3 初等函数
事实上，在无穷远点有
当 y0,x 时，ez ;
当 y0,x 时，ez 0.
(3) ez 0. 因为 e x 0 ,co y is siy n 0 .
§2.3 初等函数
5/25
第 一、指数函数
二 章
性质
解
事实上，
析 函
e z 1 e z 2 e x 1 (y c 1 i s o y 1 ) i e x s 2 n (y c 2 i s o y 2 ) is n
解 析
|w| ex,
Aw r y g 2 k π ,
由 z 的实部得到 w 的模； 由 z 的虚部得到 w 的辐角。
函 数
(k0 ,1 ,2 , )
y
(z)
v
(w)
y4π
y2π y
z xx
wez
zLnw
w
ex
y
u
§2.3 初等函数
7/25
第 二、对数函数
二 章
对数函数定义为指数函数的反函数。
析
函
主值 ln (1)πi.
数
可见，在复数域内，负实数是可以求对数的。
12/25
§2.3 初等函数
第 ▲例 求对数 Ln2 以及它的主值。 二 章 解 L 2 l n |2 n | ia2 r 2 k π g iln 22kπi;
2.3初等多值函数
arg z arg z0 L Argz
z 0 点并指定初值arg z0 的前提下,终值 arg z 唯一,即辐角函数可单值化，
必须使辐角改变量仅与起点和终点有关而与曲线的形状无关.
L1 Argz L2 Argz L L Argz 0 (即原点在闭曲线 L1 L2 的外部). 1 2
1 i L Argz n
,
k
| z |e
n
e
i L Argz n
（4 ） z G : arg z , k Z .
,
或
wk
z
n
k
n | z|e
i
arg z 2 k n
z G : arg z , k Z .
（6）
,
（5 ）
定理2 在上述区域内各单值分值函数 ( n z ) k 解析, 且 d n 1 ( n z )k k 0,1,, n 1 . z k dz n z
2.2 由已知的某单值解析分支的初值求终值
2.2 由已知的某单值解析分支的初值求终值
wk
或
z
n
k
（4） n | z |e i arg w0 e , z G : arg z , k Z .
w n z n | z |e
i
Argz n
, z 0, .
(2)
2.1分出根式函数 w n z 的单值解析分支
(1) w n z 在某区域 D 内可单值化的充要条件及单值化方法 定理1 多值函数F z 可单值化的充要条件是对任意简单闭曲线L, 有
L n z 0.
L F z 0
第二章_解析函数
基本要求：1 掌握函数在一点处（区域）可导，一点处解析（区域）的概念及相互之间的联系；2掌握函数在一点处可导的充分必要条件；3 掌握函数 解析性的判定方法，掌握解析函数与调和函数之间的关系。
第二章 解析函数解析函数是本课程讨论的中心，是复变函数研究的主要对象，它在理论和实际问题中有着广泛的应用。
本章先引入复变函数的导数的概念，然后讨论解析函数，介绍函数解析的一个充分必要条件，它是用函数的实部和虚部所具有的微分性质来表达的。
最后介绍一些常用的初等函数，并讨论它们的解析性。
§1 解析函数的概念1.1 复变函数的导数定义1.1区域D ， 0Z 为D 中一点，点0Z +z 不出D 的范围。
如果极限0+0z 0(z -(lim zf z f z ）） 存在，则称f(Z)在0Z 处可导，这个极限值称为(z)f )在0Z 处的导数，记作()00 z=z |'=d f dz z ω= 0+0z 0(z -(lim z f z f z →））， （2.1）也就是说，对于任给的ε>0,相应地有δ（ε）>0,使得当0<|Δz|<δ时，有| 0+0(z -(zf z f z ））—()0'f z | < ε. 如果()f z 在区域D 内处处可导，则称()f z 在D 内可导. 也称()df z = ()0z 'f z 或()0z 'd f z 为()f z 在0z 处的微分.例1.1 求()2=f z z 的导数.解 因为0+0z 0(z -(lim z f z f z →））=+22z 0(z -z lim zf z →）=z 0 lim (2z+z)=2z → 所以'(z)=2z f .例 1.2 问(z)f =x+2yi 是否可导？ 解 +z 0(z -(lim zf z f z →））=z 0(+- (y+y i--2yi lim zf x x f x →）） = z 0+2yilim +yi x x →若z+Δz 沿平行于x 轴的方向趋向于z ，则Δy=0，z 0+2yi lim +2yi x x →=z 0lim x x →=1.若z+Δz 沿平行于y 轴的方向趋向于z ，则Δx=0，z 0+2yi lim +yix x →= z 02lim yi yi →=2. 故(z)f = +2x yi 的导数不存在.由例1.2可见，函数(z)f = +2x yi 在复平面内处处连续但处处不可导，然而，反过来容易证明在0z 可导的函数必定在0z 连续.事实上，由(z)f 在0z 可导的定义，对于任给的ε>0,有δ>0，当0<|Δz|<δ时，有 |0+0(z -(z f z f z ））—()0'f z | < ε.令()z ρ=0+0(z -(z f z f z ））—()0'f z ， 则0+0(z )-(z )z f f =0+z z '(z )()z f ρ.(2.2)而z z 0lim =0ρ→（）， 所以+z 0z 0lim =(z )f f →0（z ）.即(z)f 在0z 连续.由导数的定义和极限运算法则，不难得出如下的求导公式与法则：（1） （C ）’=0，其中C 为复常数.（2） (nz )’=n n-1z ,其中n 为正常数. （3） [(z)g(z)]'='(z)g'(z).f f ±±（4） [(z)g(z)]'='(z)g(z)+(z)g'(z)f f f .（5） 2(z)1[]'=['(z)g(z)-(z)g'(z)],g(z)0.(z)g (z)f f fg ≠ （6） {[(z)]}'='()g'(z)f g f ω，其中ω=(z)g .（7） '(z)f =1'ϕω（）,其中=(z)f ω与z=ϕω（）是两个互为反函数的单值函数，且'ϕω（）≠0.1.2 解析函数的概念定义1.2 如果(z)f 在0z 及 0z 的邻域内处处可导，则称(z)f 在0z 处解析；如果(z)f 在区域D 每一点解析，则称(z)f 在D 内解析，或说(z)f 是D 内的解析函数.如果(z)f 在0z 不解析，则称0z 为(z)f 的奇点.若函数在一点解析，则一定在该点可导，但过来不一定成立.函数在一点解析和在一点可导是两个不等价的概念.但是函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.例1.2 研究函数(z)f =2z ，g(z)=+2x yi ， 2h(z)=|z |的解析性.解 例1.1知(z)f =2z 在复平面内处处解析，由例1.2知g(z)=+2x yi 处处不解析.下面研究2h(z)=|z |的解析性. .由于0+0h(z -h(z z z ））=0+220|z|-||zz z =00000+z z +z -z z =z +z+z zz z z （）（）， （i ） 若0z =0，当z →0时，上式的极限是零.（ii ） 若0z 0≠，当0+z z 沿平行于x 轴方向趋于0z 时，y =0， 0z 00z -lim =lim =lim =1z +z x x yi x x yi x →→→. 当0+z z 沿平行于y 轴方向趋于0z 时，x =0， 0z 00z --lim =lim =lim =-1z +z x x yi yi x yi yi→→→. 从而0+000z -()z =z +z+z zz z z h （）h ， 当z →0时，极限不存在.由（i ），（ii ）可知，2h(z)=|z |仅在z=0处可导，而在其他点都不可导，从而它在复平面内处处不解析。
2.3初等多值函数
3
z = w (w ∈Tj ,)都是单叶解析函数，
3
函数 z = w 的单叶性区域为： 的单叶性区域为： 2π 顶点在原点、 顶点在原点、张度不超过 的 n 角形区域. 角形区域
n
从而w = z (w ∈Tj )也都是单叶解析函数,
支点及支割线的概念
y
z
→
x
O
w=( 3 z )k
T2 u
1 . 根式函数 w = n z 叫做根式函数 定义: 叫做根式函数. 定义 函数 iθ n 考虑根式函数 w = z ，记 z = re 不必取主值，但需取定一分支） （其中 θ 不必取主值，但需取定一分支）
w = re = re
n n
iθ
i ( θ + 2 kπ )
= re
n
i
θ + 2 kπ
O
w
v
T3 ←
z =w
3
3
T1
1 2π ∆ C arg w = ∆ C arg z = ∆ C arg z = 3 3
如果让z 沿闭曲线C 绕原点转一周回到z， 如果让 沿闭曲线 绕原点转一周回到 ， 则z 的辐角就从θ变成 ±2π (其中“+”号对应于 的辐角就从 变成θ± 其中“ 号对应于 变成 其中 逆时针绕行， 号对应于顺时针绕行)， 逆时针绕行， “ - ” 号对应于顺时针绕行 ，函 数值也就从w 变成w 数值也就从 1变成 2 . 如果z 绕其它点转一周， 如果 绕其它点转一周，而所沿曲线不包围 原点， 的辐角不变，因而函数值也不变． 原点，则z 的辐角不变，因而函数值也不变． 可见原点具有特殊地位， 可见原点具有特殊地位，这样的点称为多 值函数的支点． 值函数的支点．函数 w = n z 只有一个有限支点 z = 0．另一个支点为 = ∞. ．另一个支点为z
复变函数2.3第三节 初等多值函数
(ln 22k )i(ln 22k )
2e2k (cosln 2 i sin ln 2) (k 0,1,2, ,)
2 e e e 2
2Ln2
2[ln 2i(arg 22k )]
2ln 22 2ki
2 2 e2 2ki (k 0,1,2, )
2
2
01
2
arg(i 2) arctan1 ,
2
所以
w(i)
4
i ( arctan1 )
10e 2 4
2
4
i arctan1
10e 2 3 .
例2：
例2、验证函数
w 4 z(1 z)3 ,
在区域D=C-[0,1]内可以分解成解析分支；求出 这个分支函数在(0,1)上沿取正实值的一个分支 在z=-1处的值及函数在（0，1）下沿的值。
无穷阶支点:
（2）a不是有理数时，容易验证原点和无穷远点
是 w z a 的无穷阶支点。
当a不是整数时，由于原点和无穷远点是w z a
的支点，所以任取连接这两个支点的一条简单连
续曲线作为 内，可以把
wK1割线z a，分得解一成个解区析域分D支1。。在
D1
幂函数的映射性质:
关于幂函数当a为正实数时的映射性质，有下面
的角形，同时，这个函数把A中以原点为心的
圆弧映射成中 A1 以原点为心的圆弧。
a
幂函数的映射性质:
类似地，我们有，当n(>1)是正整数时，
wn z
的n个分支
i 1 2 k
w n z(n 1 e n ) (k 0,1,2,...,n 1)
分别把区域D*双射成w平面的n个角形
解析函数
§1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程 §２ 初等解析函数 §3 初等多值解析函数
§1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程
１．复变函数的导数与微分
定义2.1 设函数 w f ( z ) 在点 z0 的邻域内D （或含 z0的区域
内）有定义， 若极限 存在， 则称此极限为函数 f ( z )在点 z0 的导数，记为 f ( z0 ) 这时也称 f ( z ) 在点 z0 可导
例2.3 设多项式P( z) an z n an1z n1 a0 (an 0) ，则由 基本性质（１）知， P( z ) 在
z
平面上解析，且
n1 n 2 P ( z) nan z (n 1)an1z a1
对于参数方程
z (t ) x(t ) iy(t ) (t [ , ]) ， 则可直
[ f1 ( z) f2 ( z)] f1( z) f 2( z)
[ f1 ( z) f 2 ( z)] f1( z) f 2 ( z) f1 ( z) f 2( z)
f1 ( z ) f1( z ) f 2 ( z ) f1 ( z ) f 2( z ) [ ] f2 ( z) [ f 2 ( z )]2
定理2.2 设 f ( z ) u( x, y) iv( x, y) 在区域 D 则 在 D f ( z ) 内一点 充要条件是： 内有定义，
z x 可微（或在 iy
内解析）的 D
（１） u ( x, y ) ，v( x, y )在点 ( x,
y) （或在 D 内）可微；
v( x, y ) 在点 （２） u ( x, y ) ，
( x, y )（或在 D 内）满足C-R条
第二章_解析函数-全
1
2.1 解析函数的概念
也就是说，对于任意给定的 0，相应的有一个 0， 使得当 0 z 时，有
f ( z0 z ) f ( z0 ) f z0 z
z 0
因为 f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 )z ( z )z ,
所以 lim f ( z0 z ) f ( z 0 ),
z 0
即f ( z )在 z0 连续.
[证毕]
6
2.1 解析函数的概念
3.求导法则: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函 数中导数的定义在形式上完全相同, 而且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 求导公式与法则: (1) (c ) 0, 其中c为复常数.
第二章 解析函数
0
2.1 解析函数的概念 一、复变函数的导数与微分
1.导数的定义:
设函数 w f ( z ) 定义于区域 D, z0 为D 中的一 点, 点 z0 z 不出 D 的范围,
f ( z0 z ) f ( z0 ) 如果极限 lim 存在, z 0 z
那么就说 f ( z ) 在z0可导。这个极限值称为 f ( z ) 在 z0 的导数，记作
在定义中应注意: z0 z z0 (即z 0)的方式是任意的.
即z0 z在区域D内以任意方式趋于 0时, z f ( z0 z ) f ( z0 ) 比值 都趋于同一个数 . z 如果函数 f ( z ) 在区域 D 内处处可导, 我们
初等函数
§2.3 初等函数教学目的：理解并掌握复变量初等函数的概念与性质；熟练掌握几 类常用初等单值解析函数的运算与性质，并了解几类典型 的初等多值解析函数．能正确灵活地计算复数式的值、解 复方程．重点：正确进行初等函数的相关运算．难点：对数函数与幂函数的 概念理解与相关计算．教学方法：启发式讲授与指导练习相结合教学过程：在前面, 我们考虑了多项式函数和有理函数的解析性.本节我们将把高数中的一些常用的初等函数推广到复数域上来,并讨论它们的解析性.初等复变函数是一种最简单、最基本也是最常用的函数，其在复变函数论及其应用中有着重要意义和应用. 初等函数的很多性质在高等数学中受实数范围的限制；推广到复数时展示了许多重要性质.如指数函数的周期性，对数函数的无穷多值性，正弦函数、余弦函数的无界性，特别是多值函数的本质在此得到了完满阐述与充分揭示.§2.3.1 指数函数1.指数函数定义 由前面的例题知函数)sin (cos )(y i y e z f x +=在z 平面上解析, 且)()(z f z f =', 并且由复数的乘法还可以验证, 对任意两个复数12,z z 总有)()()(2121z f z f z z f ⋅=+.【定义2.5】对于复数iy x z +=,称()(cos sin )xw f z e y i y ==+为复指数函数, 记为exp z w e z ==或)sin (cos y i y e e e x iy x z +==+.2.复指数函数的一些常用性质(1) 当x z =(实数, 此时虚部0=y )时, x z e e =,即此时复指数就是通常的实指数,这表明复指数函数是实指数函数在复数域上的推广.当iy z =(纯虚数, 此时实部0=x )时,y i y e e iy z sin cos +==---------- 欧拉公式0>=x z e e , 2z Arge y k i π=+ (0,1,2k =±±，… )；从而在z 平面上 0≠z e ,这表明复指数函数在z 平面上无零点.(2) z e 在z 平面上解析, 且 z z e e =')(.(3) 加法法则成立, 即对任意两个复数z 1,z 2 , 总有2121z z z z e e e ⋅=+.证：事实上, 设222111,iy x z iy x z +=+=,则)()(212121y y i x x z z +++=+从而由复指数函数的定义： )]sin()[cos(21212121y y i y y e e x x z z +++=++12121222(cos sin )(cos sin )z z x x e e e y i y e y y ⋅=+⋅+＝)]sin()[cos(212121y y i y y e x x ++++.故加法法则成立.(4) ze 是以2k i π为周期的周期函数（1,2,k =±±）.说明：由定义易知, 21k i e π=（1,2,k =±±）, 所以由加法法则得 22z i z i z e e e e ππ+=⋅=.从而 i k z z e e z z π21221+=⇔= (Z k ∈).(5) zz e ∞→lim 不存在 ( 即 ∞e 无意义), 且 z e 是无界函数. 说明：事实上,当z 沿着实轴趋于∞+时, +∞→z e即0lim lim z x z x x z e e =>→+∞→∞==+∞, 而当z 沿着实轴趋于∞-时, 0→z e即0lim lim 0z x z x x z e e =<→-∞→∞==, 故 z z e ∞→lim 不存在. 例1 求122,,,i i k i i e e e e πππ+，34i eπ-+的值. 解 由复指数的定义：)1sin 1(cos 1i e e i +=+；20(cos 2sin 2)1k i e e k i k πππ=+=；0(cos sin )1i e e i πππ=+=-；i i e ei =+=)2sin 2(cos 02πππ；34i e π-+＝333(cos sin )((1)44222e i e i e i ππ---+=+=+. 例2 利用复数的指数表示计算 13212i i -+⎛⎫ ⎪+⎝⎭.解1133212i i ⎫-+⎛⎫= ⎪+⎝⎭ 1113(2)(arctan arctan 2)322(0,1,2)i k i e e k πππ+--⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 或566211,,22i i i e i e i e i πππ-=+⋅=+⋅=-. 例3 证明减法法则对复指数函数也成立.证明 由复指数的加法法则, 对任意复数z ,10)(===⋅-+-e e e e z z z z , 所以z z e e-=1 从而对任意21,z z , 212121z z z z z z e e e e e --=⋅=, 即减法法则成立. §2.3.2 对数函数1．幅角函数※由于初等多值函数的多值性都归结为幅角函数的多值性.对多值函数的研究, 我们通常是借助单值函数的研究方法来进行的, 因此, 对多值函数我们常常是先对多值函数的定义域进行适当的处理( 即用支割线将其定义域割破 ), 再将多值函数在其处理后的定义域内单值化( 即分出其单值分支函数 ), 最后用单值函数的研究再来研究各单值分支函数.在第一章,考虑过 0,≠=z Argz w ------ 称为幅角函数. 由不为零的复数幅角的含义知, 对任意0≠z , Argz w =一般是一个多值函数. 如果我们用z arg 表示0≠z 的幅角主值, 则幅角函数可表示为πk z Argz w 2arg +==, 其中k可为一切整数 ----------------- 称为幅角函数的分支表示.其中 ππ≤<-z a r g , 对每个固定的整数k , πk z w k 2arg )(+=称为幅角函数的第k 分支函数.当k =0时, z w arg )(0=称为幅角函数的主值(支). 可见, 幅角函数一般是由无穷多个分支函数构成在复平面除取负实轴(包括0点)而得的区域D }arg {ππ<<-=z z . 显然,在D 内, 幅角函数的主值z arg 是一个单值连续的函数, 从而其每一个分支函数πk z w k 2arg )(+=在D 内也是单值连续函数, 所以, 我们说幅角函数在上述区域D 内可以分解出无穷多个单值连续的分支函数.注: 10. 上述区域D 是将复平面沿负实轴割开而得到的, 习惯上, 我们把负实轴称为幅角函数的一条支割线.它是区域D 的边界.20 支割线的两侧, 习惯上也称为两沿, 按照位置关系上述支 割线的两沿分别称为上沿和下沿. 显然, 我们只要补充幅角函 数的各单值分支函数在上下沿处的函数值(如补充主值支 z arg 在上下沿处的函数值分别为π和π-)就可使各单值分 支函数延拓成直到负实轴(除去0)的上下沿的连续函数.30. 各单值分支函数在上下沿处补充的函数值, 称为该分支函 数在上下沿处的函数值, 一般, 同一单值分支函数在上下沿处 的函数值是不相等的.对Argz w =而言, 使它产生多值的主 要原因是它有两个支点0和∞, 且在其定义区域内, 动点可以 单独围绕各支点变化. 因此, 如果我们能对其定义区域作适当 的处理(通常的做法是用连接0和∞的连线作为割线(称为支割 线), 将定义区域割破), 则在处理后的区域内Argz w =就能 单值化, 即它的每一个分支函数就成为单值连续分支函数. 说明：一般地, 支点是引起多值函数产生多值的主要原因. 我们把连接多值函数所有支点的适当连线, 称为支割线. 沿支割线将多值函数的定义区域(如果需要)割破也就是使多值函数单值化(即使得它的每一个分支函数成为单值函数)的方法.§2.3.2对数函数2.【定义2.6】 设复数0≠z ,把满足w e z =的复数w 称为复数z 的 对数, 记z Ln w =z Log w =.当z 在复平面除去原点的区域D 内变化时, z Ln w =也就是一个定义在复平面除去原点的区域D 内的函数,也称此函数为对数函数, 仍记为z Ln w =, D z ∈. 显然, 此函数是指数函数w e z =的反函数.令iv u w +=, 由iv u iv u e e ez ⋅==+得, z u ln =, Argz v =.于是 z Ln w =可表示为iArgz z z Ln w +==ln , D z ∈ ------------------对数函数的一般表示其中, z ln 是z 的通常的实对数, 它是一个单值函数, 并且也是连续的.由于Argz 是无穷多值函数, 所以z Ln w =也是一个无穷多值函数(它的多值性是由Argz 的多值性引起的) .由Argz 的分支表示可得ln ln arg 2w Lnz z iArgz z i z k i π==+=++, k 可为一切整数 ------------对数函数的分支表示其中 ππ≤<-z arg , 对每个固定的整数k ,()ln arg 2k w z i z k i π=++称为对数函数的第k 分支函数. 当k =0时, z i z w arg ln )(0+=称为对数函数的主值(支), 记为z w ln =. 于是对数函数也可表示成ln ln 2w Lnz z i Argz z k i π==+=+,其中k 可为一切整数 可见, 对数函数一般是由无穷多个分支函数构成, 并且任何不为零的复数有无穷多个对数, 其中任意两个相差i π2的整数倍. 如果z 是正实数, 则z Ln 主值z z ln ln =恰好就是通常的实对数.2. 对数函数的性质：1）对数函数的运算法则： 设1z , 2z 是不为零的复数,则 121212()ln ()Ln z z z z iArg z z ⋅=⋅+⋅121212ln ln ()z z i Argz Argz Lnz Lnz =+++=+ 111222ln z z z Ln iArg z z z =+ 121212ln ln ()z z i Argz Argz Lnz Lnz =-+-=-注意1： 上面两个法则虽然形式上与实对数法则类似, 但在理解时应按照集合相等来理解.注意2：等式 1,n Lnz nLnz Lnz n==（其中n 为大于1的正整数）不再成立.(对于给定的n 值而言)2）解析性：z w ln =＝ln arg (arg )z i z z ππ+-<≤在除原点和负实轴外的复平面上解析. z Ln w =的各个分支在除原点和负实轴外的复平面上也处处解析.且1(ln )d z dz z =. 例2 i i i i i 2arg ln ln π=+=,i k i k i i k i Lni ππππ214222ln +=+=+=, k 为一切整数. 设0>a , 则i k a Lna π2ln +=, k 为一切整数；i k a i k i a i k a a Ln ππππ)12(ln 2ln 2)ln()(++=++=+-=-, k 为一切整数.特别, i π=-)1ln(, i k Ln π)12()1(+=-, k 为一切整数.注: 10. 对数函数z Ln 在区域G 内的每一个单值连续分支, 也称为z Ln 的单值解析分支. 可见, 对数函数z Ln 在区域G 内可分出无穷多个单值解析分支, 因此,有时我们也说z Ln 是一个多值解析函数.20. 今后我们说多值函数是解析函数,实际上是指它的一个单值解析分支函数.例3 求)21ln(),22(i i Ln -+，(1),ln(23)Ln i --ln ,ln(23)i i -+.解 根据对数函数的定义, 因为22i +=arg(22)4i π+=;12i -=arg(12)arctan 2i -=-所以,(22)ln 24Ln i i k i ππ+=+ (0k =,1±,2±,)ln(12)arctan 2i i -=.同理可求(1)ln1(2)(12)(0,1,2,)Ln i k i k k πππ-=++=+=±±. 13(23)ln13(arctan 2)(12)22Ln i i k i k ππ-=-+=+(0,1,2,)k =±±.ln i ＝ln arg 2i i i i π+=.ln(23)ln 23arg(23)i i i i -+=-++-+13ln13(arctan )22i π=+-.例4 解下列方程： (1) i e z 31+=; (2)i z 2ln π=;(3)01=+iz e .解 (1) 方程i e z 31+=的解为(1)z Ln =ln 1arg(1)2ln 223i k i i k i πππ=++++=++ (0k =,1±,2±,). (2) 方程i z 2ln π=的解为 ln 2i z z e e i π===. (2) 方程01=+iz e 的解为(1)ln1(21)(21)iz Ln k i k i ππ=-=++=+ (0k =,1±,2±,) 即 (21)z k π=+ (0k =,1±,2±,). 例5※ 设θi re z =, 证明: )cos 21ln(21)]1Re[ln(2θr r z -+=- 解 因为 11c o s 1s i n i z r e r i r θθθ-=-=-+,1cos 1sin z r ir θθ-=-+=所以 R e [l n (1)]R e [l n 1a r g (1)]l n 1z z i z z -=-+-=-21ln(12cos )2r r θ==+-. §2.3.3 幂函数1．根式函数※【定义】 对任意复数0≠z , 我们把z 的n 次方根所确定的函数称为根式函数, 仍记为 n z w =, 其中n 为大于0的整数. 显然它是指数为正整数的幂函数n wz =的反函数,且它的定义域也是复平面除去原点所得的区域 D }arg {ππ≤<-=z z .由第一章所得到的复数的n 次方根n k z i n n A rg zi n n e z e z z w π2a r g +⋅=⋅==,1,,2,1,0-=n k 知, n z w = 在D 内是一个多值函数, 且为n 值的多值函数, 其中n z 表示通常正实数的算术根, 而上述复数的方根表示也称为n z w =分支表示, 对每个固定的整数k , n k z i n k e z w π2arg )(+⋅=称为根式函数的第k 分支函数. 当k =0时,n zi n e z w arg 0)(⋅=称为根式函数的主值(支). 根式函数一般是由n 个分支函数构成. 注: 虽然幅角Argz 有无穷多个取值, 但Arg zi n e 只取n 个不同的值,此为根式函数为n 值多值函数的原因; 习惯上,根式函数的主值仍记为n z w =.由根式函数的表示知, 根式函数的多值性也是由幅角函数的多值性引起的.对n z w =而言, 使它产生多值的主要原因也是它有两个支点0和∞, 且在其定义区域内, 动点可以单独围绕各支点变化. 因此对其定义区域作适当的处理(比如:用连接0和∞的连线作为支割线, 将定义区域割破), 则在处理后的区域内n z w =就能单值化, 即它的每一个分支函数就成为单值分支函数. 另外,由于n z 及幅角函数的各分支函数在上述区域内是连续的, 从而由连续函数的四则运算性及复合函数的连续性知,根式函数的每一个单值分支函数还是连续的,即都是单值连续分支函数.特别, 我们取从原点出发的负实轴作为支割线, 记将复平面沿此支割线割破所得的区域为G , 则n z w =在G 内可以分出n 个单值连续分支函数(ππ<<-z G arg :).n k z i n n e z z w π2arg +⋅==, 1,,2,1,0-=n k , G z ∈ ，其中k =0的那个单值分支,仍称为主值支, 并仍记为n z w =, ππ<<-z arg .类似于对数函数单值分支的解析性, 我们可以证明,根式函数的每一个单值连续分支函数在G 内也是解析的, 并且zz f n z f )(1)(⋅=' G z ∈,其中)(z f 为根式函数在G 内的一个单值连续分支函数.注:10. 根式函数在区域G 内的每一个单值连续分支, 也称为根式函数的单值解析分支. 可见, 根式函数在区域G 内可分出n 个单值解析分支.20. 作变量代换a z u -=,可将对根式函数n z w =讨论的结 果移植到函数n a z w -=得到类似的结论: 它是一个n 值多 值函数, 且以a z =和∞=z 为支点,我们以从a 出发到∞的 广义简单曲线作为支割线将复平面割破, 则在割破的复平面上 此函数可以分出n 个单值解析分支函数.2．一般幂函数【定义2.7】函数w z α=（α为复常数, z 为任意不为零的复数）定义Lnz e z αα=,并称它为复变量z 的一般幂函数.规定：当α为正实数且0z =时，0z α=.由于Lnz 的多值性，n L xeα一般为多值函数. 结论：w z α=的相应的各个分支在除去原点和负实轴的复平面上解析.显然此定义在形式上是实数域中等式n L x x eαα= (0>x ,α为实数)在复数域中的推广. 由于ln 2Lnz z k i π=+, k 为一切整数, 其中z i z z arg ln ln +=为主值, ππ≤<-z arg , 则ln 2Lnz z k i z e e e ααααπ⋅==⋅, k 为一切整数 -------- 一般幂函数的分支表示可见, 对于不为零的复数z ,Ln z z e αα=的取值个数主要因式子2k i e απ⋅的取值个数确定.下面, 我们分三种情形来讨论一般幂函数（1） 当α为整数时, 由于21k i e απ⋅=, 且ln (arg 2)ln arg n arg z i z k z i z L z i z e ee z e z ααααπαααα+++===⋅=, 所以 Lnz z e αα=是单值函数,而且就是通常的指数为整数的幂函 数.1） 当α为正整数n 时,[ln (arg 2)]arg n n z i z k n nLnz in z w z e ez e π++====是一个单值函数. 2）当α=0时,0001Lnz z ee ⋅===. （2）当α为有理数p q（p 与q 互质，且1q ≥即成既约分数）即p q α=时,ln 2p p p pLnz z i k q q q q z e e π+⋅==（k 为整数）. 由于p 与q 互质，当kp 取0，1，2，1q -时， 22i k p q p i k q e e ππ⋅⋅=是q 个不同的值.但若kp 再取其它不同值时，将重复上述q 个值.所以pq w e =是q 值函数，有q 个不同的分支.特别地，当1nα=（n 为正整数）时, 11arg 21(0,1,2,,1)z k Lnz i n n n n z e z e k n π+===-是一个n 值函数（它就是上面我们介绍的根式函数）.易知, 当p qα=时, Lnz e z αα=恰好也是幂函数m u w =与根式函数n z u =复合而成的函数.（3）当α为无理数或虚数（0Im α≠）时, 由于2k i eαπ⋅有无穷多个取值,因此, 此时Lnz e z αα=是一个无穷多值的多值函数.由于Lnz 的各个分支在除原点和负实轴的复平面内是解析的，因而w z α=的相应分支在除原点和负实轴的复平面内也是解析的. 总结： 一般幂函数Lnz e z αα=(除α为整数的情形)是多值函数, 显然它的多值性是由对数函数(本质地讲是由幅角函数)的多值性引起的, 因此,将Lnz e zαα=单值化的方法与对数函数和幅角函数相同, 即当α不是整数时, Lnz e z αα=有两个支点0和∞,且在其定义区域内, 动点可以单独围绕各支点变化.我们用连接0和∞的连线作为支割线, 将定义区域割破, 则在割破的复平面所成的区域内Lnz e z αα=就能单值化, 即它的每一个分支函数就成为单值连续的分支函数.注: 10.习惯上, 一般幂函数Lnz e z αα=中,k =0的那个单值分支 z e z ln αα=,称为主值支, 并仍记为αz ,ππ<<-z arg .在不引起混淆的情况下,有时我们也αz ,ππ<<-z arg 表示z e z ln αα=的一个确定的分支.20.记G }arg {ππ<<-=z , 由对数函数的各单值分支函数在G 内的解析性以及复合函数的解析性知Lnz e zαα=的各单值分支函数(仍以z e z ln αα=表示)在G 内也是解析的, 且1ln ln )ln ()()(-⋅=⋅='⋅='='ααααααααz z z z e e z z z 例6 求i i ； i +12并指出它们的主值. 解 πππππ214)22()22(+-+-+====k k i k i i iLni i e e ee i , k 为一切整数. 它的主值为2π-e .1(1)2(1)(ln 22)(ln 22)(ln 22)2i i Ln i k i k i k e e e πππ+++⋅+-++===(ln 22)(cos ln 2sin ln 2)k e π-=+, k 为一切整数.它的主值为 )2ln sin 2ln (cos 2)2ln sin 2ln (cos 2ln +=+e .练习： 试求i i )1(+, i 3的值.解 1(l n 22)(l n 1a r g (1)2)(1)24(1)i i k i i i i i k i i iLn i i e e e πππ++++++++=== 11(2)(ln 2)(2)(ln 2)4242k i k i ee e ππππ-++-+==(0,1,2,k =±±);3(l n 3a r g 32)(l n 32)2l n 33i i L n i i k i i k i k i k ie e e e e e ππππ+++-+-===== (0,1,2,k =±±).§2.3.4 三角函数1． 正弦、余弦函数：由欧拉公式得x i x e ix sin cos +=, x i x e ix sin cos -=-两式相加或相减得 2cos ix ix e e x -+=, ie e x ixix 2sin --=. 将上面所得两式中的实数x 换成复数z , 利用复指数可得如下定义.【定义2.8】对任意复数z ,规定i e e z iz iz 2sin --=, 2cos iziz e e z -+= 分别称为z 的(复)正弦函数和(复)余弦函数.2．正、余弦复变函数的性质(1) 当x z =(实数)时, x z x z cos cos ,sin sin ==,即此时复正、余弦就是通常的实、余弦,这表明复正、余弦函数是实正、余弦函数在复数域上的推广.(2) z sin ,z cos 都在z 平面上解析, 且z z cos )(sin =', z z sin )(cos -='.证明：由解析函数的四则运算性, 复合运算性以及ze 的解析性易知z sin ,z cos 都在z 平面上解析, 并且z e e i e e z iz iz iz iz cos )(21)2()(sin =+='-='--, (cos )()()22iz iz iz iz e e i z e e --+''==- 1()sin 2iz iz e e z i-=--=-. (3) z sin 是奇函数, z cos 是偶函数, 且满足通常的三角恒等式, 如： 1cos sin 22=+z z ；z z z cos sin 22sin =；z z z z z 2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 212121sin cos cos sin )sin(z z z z z z ±=±212121sin sin cos cos )cos(z z z z z z =± 等等.证明：z ie e i e e z iz iz z i z i sin 22)sin())()(-=--=-=-----, 即z sin 是奇函数, 同理可得z cos 是偶函数.1212()()12sin()2i z z iz z e e z z i±-±-±=112211222222iz iz iz iz iz iz iz iz e e e e e e e e i i-----++-=⋅±⋅ 2121sin cos cos sin z z z z ±=. 同理可证其他恒等式.(4) z sin , z cos 都是以π2为周期的周期函数.证明：由于ze 是以2i π为周期, 所以 z ie e i e e z iziz z i z i sin 22)2sin()2()2(=-=-=+-+-+πππ 即z sin 以π2为周期. 同理可得z cos 都是以π2为周期.(5) z sin 的零点为 ),2,1,0( ±±==n n z π；z cos 的零点为 ),2,1,0()21( ±±=+=n n z π.(6) z sin , z cos 在z 平面上无界, 从而1cos ,1sin ≤≤z z 不再成立.证明：取)0(>=y iy z ,则)(22)cos(+∞→+∞→>+=-y e e e iy yy y ,所以 z cos 在z 平面上无界. 同理可得z sin 在z 平面上无界. 例如：()2233(3)(3)2sin (3)24i i i i e e ee i i -----⎡⎤--==-⎢⎥⎣⎦是负数，2cos (1)i -是纯虚数.例7 )1sin(i +，cos(1)i +的值.解 由正弦函数的定义(1)(1)11sin(1)22i i i i i ie e e e i i i+-+-+---+== 1(cos1sin1)(cos1sin1)2e i e i i-+--= 11sin1cos11sin11cos122e e e e i ch ish --+-=+=⋅+⋅. cos(1)i +＝(1)(1)2i i i i e e +-++112i ie e -+-+= 111()cos1()sin122i e e e e --=++-＝1cos11sin1ch ish ⋅-⋅. 例8 证明:对任意复数z,z i z e iz sin cos +=----------- 推广的欧拉公式证明 由正余弦函数的定义立即可得.例9 解方程 sin cos 2z z -=.解 原方程可化为)2sin()sin 444z z z Arc πππ-=⇒-=⇒-=故方程的解为 4z Arc π=+3.类似地,我们还可定义其它复三角函数. 【定义2.9】 z z z cos sin tan =, z z z sin cos cot =, z z cos 1sec =, zz sin 1csc = 分别称为复正切函数、余切函数、正割函数、余割函数.结论：1.复正切函数、余切函数、正割函数、余割函数都在z 平面上使分母不为零的点处解析, 且z z 2sec )(tan =', z z 2csc )(cot -=',z z z tan sec )(sec ⋅=',z z z cot csc )(csc ⋅-='2.复正切函数、余切函数是以π为周期的周期函数, 而正割函数、余割函数是以π2为周期的周期函数.§2.3.5 反三角函数【定义2.9】如果cos w z =，则称w 为复变量z 的反余弦函数，记作cos Arc z .即w ＝cos Arc z .由 1cos ()(2iw iw z w z e e iw Ln z -=⇒=+⇒=+(w iLn z ⇒=-.结论：反余弦函数为多值函数.同理可推：sin (Arc z iLn iz =-，tan 2i i z Arc z Ln i z+=-且它们都是多值函数.§2.3.6 复双曲函数与反双曲函数将实双曲函数中的实变量换成复变量可得：【定义2.10】对任意复数z , 称 2sinh z z e e z --=, 2cosh z z e e z -+=, zz z cosh sinh tanh = , z z z z tanh 1sinh cosh coth ==,zhz cosh 1sec = , 1csc sinh hz z =分别为复双曲正弦函数、双曲余弦函数、双曲正切函数、双曲余切函数、双曲正割函数、双曲余割函数.显然, 它们都在其定义域内解析, 且复双曲正弦函数、双曲余弦函数、双曲正割函数、双曲余割函数都是以i π2为周期的函数. 双曲函数与三角函数的关系：sin shz i iz =-，cos chz iz =，tan thz i iz =-，coth cot z i iz =.双曲函数的性质：双曲函数都是单值函数，且是以2i π为周期的周期函数.它们在复平面上解析，且有()shz chz '=，()chz shz '=.shz 为奇函数，chz 为偶函数.由双曲函数的周期性知：双曲函数的反函数是多值函数.反双曲函数为：反双曲正弦函数：(Arshz Ln z =；反双曲余弦函数： ()A r c h zL n =； 反双曲正切函数：11t 21z Ar hz Ln z+=-； 反双曲余切函数：11t 21z Arco hz Ln z +=-. 例10 当cos()1x iy +=时，证明22sin x sh y =.证明 cos()1cos()cos()1x iy x iy x iy +=⇒++= 2222cos cos sin sin 1x iy x iy ⇒⋅-⋅=2222(1sin )cos sin sin 1x iy x iy ⇒--⋅=22sin sin x iy ⇒=-222211sin [()]()24y y y y x e e e e sh y i --⇒=--=-=. 例11 证明双曲正切函数、双曲余切函数是以i π为周期的函数. 证明 因为 1-=±i e π，所以()()tanh()tanh z i z i z zz i z i z z e e e e z i z e e e eπππππ+-+-+-+---+===++, 即双曲正切函数是以i π为周期的函数.同理可证双曲余切函数是以i π为周期的函数.练习：1.(L.Hospital 法则) 若)(),(z g z f 都在点0z 解析, 且0)(,0)()(000≠'==z g z g z f , 则)()()()(lim000z g z f z g z f z z ''=→. 证明 由题设及导数的定义得00000000000()()()()()()lim lim lim ()()()()()()z z z z z z f z f z f z f z z z f z f z g z g z g z g z g z g z z z →→→-'--===-'--. 2. 利用1求下列极限 (1)zz z sin lim 0→；(2) z e z z 1lim 0-→；(3) z z z z z z sin cos lim 0--→. 解 (1) 000sin (sin )cos lim lim lim cos 01()1z z z z z z z z →→→'===='. (2) 00001(1)lim lim lim 1()1z z zz z z e e e e z z →→→'--===='. (3) 00cos (cos )lim lim sin (sin )z z z z z z z z z z z z →→'--='-- 01cos sin lim 1cos z z z z z→-+=-0(1cos sin )lim (1cos )z z z z z →'-+='- 02sin cos limsin z z z z z →+=0(2sin cos )lim (sin )z z z z z →'+='03cos sin lim cos z z z zz →+=3cos 00sin 03cos 0+⋅==.3. 证明: 对任意复数z 及整数m , mz m z e e =)(.证明 设z x iy =+, 当m 为零时, 等式显然成立.当m 为正整数时,()()[(cos sin )]z m x iy m x m e e e y i y +==+(cos sin )mx m e y i y =+()(cos sin )mx m x iy mz e my i my e e +=+==当m 为负整数时,()()111()()()z m z m mz z m m z mz e e e e e e -----=====4. 求下列各值(1) i e +2； (2) )1cos(i +-.解 (1) 22(cos1sin1)i e e i +=+(2) (1)(1)11cos(1)22i i i i iie e e e i -+--+--+++-+==11[(cos1sin1)(cos1sin1)]2e i e i -=-++11cos1sin122e e e e i --+-=+.5. 证明： (1) 1cos sin 22=+z z ；(2) z z z cos sin 22sin =；(3) 212121sin sin cos cos )cos(z z z z z z =±.证明 (1) 因为 sin 2iz iz e e z i --=, cos 2iz ize e z -+=. 所以2222s i n c o s ()()22iz iziz ize e e e z z i ---++=+ 222222144iz iz iz ize e e e --+++-=-=.(2) 因为 22sin 22i z i ze e z i --=,2sin cos 2()()22iz iz iz ize e e e z z i ---+=2222()()22iz iz iz ize e e e i i ----==.所以 z z z cos sin 22sin =.(3) 先证121212cos()cos cos sin sin z z z z z z +=- 因为1212()()12cos()2i zz i z z e e z z +-+++=, 又1212cos cos sin sin z z z z -112211222222iz iz iz iz iz iz iz ize e e e e e e e i i ----++--=⋅-⋅121212124iz iz iz iz iz iz iz iz e e e e e e e e ----+++= 121212124i z i z i z i z i z i z i z i ze e e e e e e e ------++ 12122iz iz iz iz e e e e --+=1212()()2i z z i z z e e +-++= 所以, 121212cos()cos cos sin sin z z z z z z +=-.同理可证, 121212cos()cos cos sin sin z z z z z z -=+.6.证明: z z 2sec )(tan =', z z 2csc )(cot -=', z z z tan sec )(sec ⋅=', z z z cot csc )(csc ⋅-='.证:22sin cos sin (sin )(tan )()cos cos z z z z z z z--''== 22222cos sin 1sec cos cos z z z z z+===.同理可证, 2(cot )csc z z '=-. 21(sin )1sin (sec )()sec tan cos cos cos cos z z z z z z z z z--''===⋅=⋅ 同理可证, z z z cot csc )(csc ⋅-='.小结：1.常见初等复变函数：指数函数，对数函数，幂函数，三角函数，反三角函数，双曲函数与反双曲函数.2. 指数函数z w e =在全平面上解析，且有()z ze e '=，以 2(1,2,)k i k π=±±为周期，即2z k i z e e π+=，lim z z e →∞不存在. 3.对数函数(0)w Lnz z =≠为多值函数，其每一单值分支在除 负实轴与原点外的平面上解析. 设1z , 2z 是不为零的复数,则 1212()Ln z z Lnz Lnz ⋅=+，1122z LnLnz Lnz z =-仍成立；等式1,n L n z n L n zz L n z n ==（其中n 为大于1的正整数）不 再成立.4．幂函数w z α=（α为复常数, z 为任意不为零的复数）一般为多值函数，其每一单值分支在除负实轴与原点外的平面上解 析.5. 三角函数重点在正弦、余弦函数z sin , z cos 都在z 平面上 解析,且 z z cos )(sin =', z z sin )(cos -='.周期，奇、偶性， 原有的三角恒等式仍成立，它们是单值函数，但不再是有界函数.6.反三角函数、反双曲函数均为多值函数；双曲函数为单值周期 （2i π）函数，且整个复平面上解析.注意其相关等量关系.易犯错误：乱用对数函数、幂函数的性质，计算错误多.。
初等多值函数
|z1|
i1
)
相应地连续变动到
e e m(ln n
z1
2
n
)
m n
ln
z1
也即第一次回到了它从
z1
出发时的值。这时，我 m
们称原点和无穷远点是 w z n 的n-1阶支点，
也称n-1为阶代数支点。
无穷阶支点:
（2）a不是有理数时，容易验证原点和无穷远点
是 w z a 的无穷阶支点。
2 e e e 1i
(1i ) Ln2
(1i)[ln 2i(arg 22k )]
(1i)[ln 22ki)]
e e ln 22kii ln 22k
(ln 22k )i(ln 22k )
2e2k (cosln 2 i sin ln 2) (k 0,1,2, ,)
幂函数的基本性质：
6、当是无理数或复数时，幂函数是无穷
多值函数；事实上，当是无理数时，有
z e e e
Lnz
[ln|z|i(arg z2k )]
ln zi 2k
当 a bi(b 0)时，有
z e e e
Lnz
[ln|z|i(arg z2k )]
5、当是有理数时，即
p q
(
p与q为互素
的整数，q 0）：
z e e e p q
p q
Lnz
qp[ln|z|i(arg z2k )]Leabharlann p qlnz
1 q
i
2
pk
由于p与q为互素，所以不难看到，当k取 0，1，2， ,q 1时，得到q个不同的值，即这
时幂函数是一个q值的函数；
明德 第二章 解析函数
(1) 可以用此条件判断函数在哪些点不可导
例1 证明 f ( z ) z 在复平面上不可导. 证 由于 f ( z ) x iy ，于是， u( x, y) x, v( x, y) y 从而 u v 1, 1 x y 显然，对复平面上任意一点 ( x, y ) ， f ( z )都不 满足C—R条件，所以 f ( z ) z 在整个复平面 上不可导.
(2) 导数的计算公式
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导，那么
df ( z ) u v v u i i dz x x y y
考虑:是否满足C-R条件就可导?
例：函数f z Re z .Im z 在z 0 处不可导却满足C-R条件。
u v y x
三. 解析函数判断的举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
(1)w z Re( z ) (2) f ( z) e (cos y i sin y)；
x
解(2)∵ f (z)=ex(cosy +isiny) 则 u=excosy, v= exsiny
u e x cos y x v e x sin y x
f ( z0 z ) f ( z0 ) dw 即：f ( z0 ) |z z0 lim , z 0 dz z
是该邻域内任意一点，函数的增量w f ( z0 z ) f ( z0 )，
说明：
(1)复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导 要求高得多，也复杂得多，这是因为Δz 0是在平面 区域上 以任意方式趋于零的。 f z f z0 (2)等价的定义： lim f z z z0 z z0
2.3初等多值函数
第二章复变函数第三节初等多值函数6、根式函数7、对数函数8、幂函数.,,,v e r e z iv u w re z u wi ===+==θθ可得则从令.,,0000u w e r v u u v v v e z =<<-====”变成圆周把线段“变成射线把直线因此，变换ππθ.0000v z v v w e z w<<<<=θ平面上的角形变成平面上的带形把指数函数（2）指数函数的变换性质：.轴的区域平面上除去原点和负实变成平面上的带形把指数函数z v w e z wππ<<-=,2 .w z e z 指数函数单叶性区域是: 平面上平行于实轴宽度不超过的带形区域p =.)()12()12(2轴的区域平面上除去原点和负实变成的带形平面上宽为把指数函数z Z k k v k w e z w∈+<<-=πππ因此，对同一个的不同数值的个数等于不同数值的因子的个数.一般幂函数的定义:利用对数函数，可以定义幂函数：设α是任何复数，则定义z 的α次幂函数为当α为正实数，且z = 0 时，还规定Ln (0)z w z ez αα==≠由于0.z a =ln 2(ln10,arg )z k i w z e e z αααπππ===-<≤0,z w z α≠=)(2Z k ei k a ∈⋅π幂函数的映射性质:(略)关于幂函数当a 为正实数时的映射性质，有下面的结论：设是一个实数，并且在z 平面上取正实数轴（包括原点）作为割线，得到一个区域D*。
考虑D*内的角形，ωπωω2,0<<a 并取在D*内的一个解析分支ω<<z A arg 0:)11(==a a z w a z w =ω当z 描出A 内的一条射线时让从0增加到（不包括0及），那么射线l 扫过角形A ，而相应的射线扫过角形0arg :θ=z l 01arg :θa w l =0θωω1l ωa w A <<arg 0:1ωωa （不包括0），w 在w 平面描出一条射线因此)11(==aa z w 1A ωωa ωωa 把夹角为的角形双射成一个夹角为的角形，同时，这个函数把A 中以原点为心的圆弧映射成中以原点为心的圆弧。
2-3初等解析函数
即e z是以2ni为周期的周期函数。 (5) ez 1 的充分必要条件是z 2ni. (其中n是整数)
4
ez e xiy e x (cos y i sin y)
(1) 证明加法定理 ez1 ez2 e(z1 z2 )
§2.3 初等函数
一、指数函数 二、对数函数 三、幂函数 四Δ、三角函数和双曲函数 五、反三角函数和反双曲函数
1
高数里我们学了基本初等函数： 指数函数，对数函数，幂函数，三角和反三角函数。 初等函数有求导公式。
2
1. 指数函数
定义：设 z x iy，则复变数 z 的指数函数定义为 e x (cos y i sin y)
将两式相加与相减, 得
cos y eiy eiy , 2
sin y eiy eiy . 2i
下面把余弦函数和正弦函数的定义推广到 自变数取复值的情况.
27
定义：对任意z,
余弦函数: cos z eiz eiz , 2
正弦函数 :
sin z
e iz
e iz 2i
,
正切函数:
tan z sin z , cos z
(2)
Ln z1 z2
Lnz1
Lnz2
(z2 0),
(3) 在除去负实轴(包括原点)的复平面内，主值支
和其它各分支处处连续, 处处可导, 且
(ln z) 1 , z
对于某一固定分支，有 (Lnz) 1 z
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注意：(1) Ln(z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 , 上式要理解为无穷多个值组成的集合相等。
证 设 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 , z1 z2 （x1 x2） i（y1 y2）,
初等多值函数
Argz 0 c arg z
其中 c arg z为z 沿曲线C由z0到z的辅角改变量。区域 G : 为 Argz的单值区域。同理G1 : 0 2 和 G2 : 2 4 也均为Argz 的单值区域。
定义3 用来割破z平面，借以区分出多值函数 w=f(z) 的单值（解析）的分支的 割线，称为 f(z) 的支割线。（一般支割线为某些联系的支点）
例 设 w 3 z 确定在从原点 z 0 起沿负实轴割破了的 z 平面上，并且wi i ，试求 w i 之值 解 设 z re ，则 wk 3 r z e
i
i
ห้องสมุดไป่ตู้
z 2 k 3
, k 0,1, 2,
这里 z G : , 且必 r z z 0.
2.
w=Lnz
的单值解析分支
z
w
O
O
2.
w Lnz
的单值解析分支
在z平面上从原点z=0起割破负实轴的区域G内，可以得到 w 不同的单值连续分支函数：
Lnz 的无穷多个
wk ln k z ln r ( z) i[ ( z) 2k ].
( z G, k 0,1,)
它们也可记成：
w ln z (ln1 i 2k ), ( z G)
(k 0,1,)
n w z 的讨论，即可知 当不割破z平面时，参照下图做类似于对 仍只以z=0和z= w Ln z 为支点，仍以链接z=0和z= 的广义简单曲线
（特别是负实轴）为支割线。
z0
z ew
图 2.7
在区域G内可得到
3
z
的3个不同的单值连续分支函数。
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z re
很显然，w与z的模一一对应，但幅角却不然，w的幅角有 三个不同的值与z的幅角对应：
3 3 显然，对于同一个z值，有三个w与之对应，且三个值的幅 角相差2/3。
3r 2n 0 0 , n 0,1, 2
若规定，w只在I区域取值，则z的值域与w的I区域就建立起 了一一对应的关系。而对于其反函数z=w3来说，在区域I， 不同的w值对应于z平面上不同的z值，这样的区域 I(0<Arg(w)< 2/3)，称为z=w3的单叶性区域。同理，区域 II和III也是z=w3的单叶区域，三个单叶区域再加上相邻处的 端边称为根式函数的三个单值分支。
1 iz iz 1 iz iz (3) 三角函数 sin z e e , cos z e e 2i 2
性质： (i) 正弦函数和余弦函数处处解析，且：
d sin z d cos z cos z, sin z dz dz
(ii) 正弦函数为奇函数和余弦函数为偶函数，并遵循三角 公式： sin 2 z cos 2 z 1 cos( z1 z2 ) cos z1 cos z2 sin z1 sin z2 sin( z1 z2 ) sin z1 cos z2 cos z1 sin z2 (iii) 正弦函数和余弦函数以2为周期； (iv) sinz=0，则 z n , n 0, 1, cosz=0，则 z (n 1/ 2) , n 0, 1,
(IV) 对数函数：w Lnz,
z0
i 2 n ln r i 2n w L n z L n re 显然： u( x, y) ln z , v( x, y) 2n
很明显，对数函数是多值函数，一个z对应有无数个w，彼 此的虚部差2的整数倍。
点外解析。 (2) 指数函数
z
an z n 除了 Q( z ) 0 n bn z
n y)
指数函数的性质：
(i)
e 0
(ii) 对于实数z=x来说，复数域中的指数定义与实数域中 的定义一致。 (iii) e 1 e
z z2
w2 3 re
2 i 0 3 3
我们称z=0为w 3 z 的支点。
定义(支点)：若z绕某点旋转一周回到初始点，多值函数 w=f(z)由一个分支变到另外一个分支，我们称这样的点 为多值函数的支点。 对于根式函数来说，原点和无穷远点是其两个支点。 (III) 支割线 连接支点z=0和z=的任意一条射线，称为支割线。支割 线将z平面割开，并规定z连续变化时不得跨越支割线，这 就使得割开的z平面上任意闭合曲线都不包括原点，由此 根式函数只在一个单值分支上取值。 注：把一个多值函数划分为单值分支与支割线的选取密切 相关，不同的支割线选取方式使得单值分支的区域定义也 不相同。
(v) 在复数域中，不能判定 cos( z) 1, sin( z) 1 证明：(ii) cos z1 cos z2 sin z1 sin z2 1 iz 1 iz iz iz iz e e e e e e iz 4 4
1 1 2 2 1
1
(II) 支点
如图，在平面上任选一点z(r,)，
则利用第一个单值分支得：
w1 3 re 3 若让z(r,)按逆时针方向沿一闭合 曲线连续变化，若曲线不包括原 点，则连续改变的幅角回到原来 的值，而w的值也回到w1。但如 果曲线包含原点，则旋转一周后，w的值不再回到w1，而 是回到w2：
i
0
ln z k ln r i 2k
而这无穷多个单值函数皆是解析函数。 证明： f ( z)
ln z k ln r i 2k
§2.3 初等解析函数和多值函数
1、初等单值函数
(1) 幂函数
w z , n 0,1, 2
n
幂函数在复平面上处处解析，同时可以证明多项式函数：
w a0 a1z
也处处解析。
an z
n
P( z ) a0 a1 z 而有理函数： w Q( z ) b0 b1 z
e
iz2
e iz2
1 i z1 z2 i z1 z2 e e cos( z1 z2 ) 2
2、初等多值函数
(I) 根式函数：w 根式函数的多值性
i0 例如： w e 3 3
n
z,
n 0,1, 2
2 n i 0 3 3
e z1 z2
'
(iv) 指数函数处处解析，且： w (v)
e
z
e z i 2 k e z
z z
(vi) lim e 不存在。 证明：(iv)
w lim
'
e
z z
z 0
z
e lim z 0 z
z
e z ez 1 z
x e e cos y i sin y 1 lim z 0 z ez 1 x 1 iy 1 z e lim z 0 z
若限定- <Arg(z)< 很明显，即- <v(x,y)< ，则z的对数 只有一个取值，我们称之为ln(z)的主值支，记做：ln(z)。 所以： w l n z ln r iarg ( z ) 显然： w Lnz l n z i 2n
, n 0, 1,
如在w平面上用平行于实轴 的直线画出一个宽为2的条 带，例如图中的I，则z与w 为一一对应的关系。I为z=ew 的单叶性区域。 同样，对数函数也存在两个 支点：z=0和z=。两个支点间的任意连线就构成了支割线。 支割线映射为w平面上的单值分支之间的端线：