结构动力学2-1(运动方程的建立)
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结构动力学第二章 运动方程的建立
h—框架结构的高度 E—弹性模量 Ib和Ic—梁和柱的截面惯性矩
ρ→∞:
k
24EIc h3
ρ→0
:
k
6EIc h3
2.1 基本动力体系
3. 阻尼力(Damping Force)
阻尼:引起结构能量的耗散,使结构振幅逐渐变小的一种作用 阻尼来源(物理机制): (1)固体材料变形时的内摩擦,或材料快速应变引起的热耗散; (2)结构连接部位的摩擦,结构构件与非结构构件之间的摩擦; (3)结构周围外部介质引起的阻尼。例如,空气、流体等。
非保守力做功的变分等于0。
t2 (T V )dt t2 Wncdt 0
t1
t1
Wnc Pncju j
j
其中:
T —— 体系的总动能; V —— 体系的位能,包括应变能及任何保守力的势能; Wnc—— 作用于体系上非保守力(包括阻尼力及任意外荷载)所做的功; δ —— 指(在指定时间段内)所取的变分。
p(t) fI fD fs 0 fI mu fD cu fs ku
mu cu ku p(t)
图2.8 单质点体系的受力分析
2.2 运动方程的建立
3. 虚位移原理
虚位移原理的优点:虚位移原理是建立在对虚功分析的基础之 上,而虚功是一个标量,可以按代数方式运算,因 而比Newton第二定律,或D’Alembert原理中需要采 用的矢量运算更简便。
对如下图所示结构体系,用虚位移原理建立方程更简便一些
2.2 运动方程的建立
4. Hamilton原理
应用变分法来建立结构体系的运动方程。 动力学中广泛应用的变分法是Hamilton原理 体系的平衡位置是体系的稳定位置,在稳定位置,体系的能量取得极值, 一般是极小值。
结构动力学第二章
∂T ∂V d ∂T ( )− + = Pncj (t ), & dt ∂u j ∂u j ∂u j
其中: T —— 体系的动能;
j = 1,2,L , N
V —— 体系的位能,包括应变能及任何保守力的势能; Pncj ——与 uj 相应的非保守力(包括阻尼力及任意外荷载)。
– 红色部分为引入动力自由度概念的目的,蓝色部分为实 现此目的的手段。 – 概念中的“全部”、“独立”两个条件非常关键。
• 严格来说,所以结构体系质量都是连续分布的,为无限自 由度体系,研究比较困难。但许多情况下,可以作一定的 简化,变为有限自由度体系。 • 简化并确定结构动力自由度最典型的方法:集中质量法
动能
1 & mu 2 转动质量 2
T =
1 &2 Jθ 2
1 2 V = ku 转动弹簧 2
1 &2 V = kθ θ 2
位能
1 1 & & &j T = ∑ ∑ mij u i u j = ∑ m j u 2 2 i j 2 j
V =
1 ∑ ∑ kij ui u j 2 i j
∫
1 体系的动能:T = mu 2 & 2
粘滞(性)阻尼力可表示为:
& f D = -cu
D — 表示阻尼(damping) c — 阻尼系数(Damping coefficient)
k c
u m
f S(t) m f D(t) f I (t)
& u — 质点的运动速度
阻尼系数 c 的确定:
• 不能像结构刚度 k 那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸等 来获得,因为 c 是反映了多种耗能因素综合影响的系数, 阻尼系数一般是通过结构原型振动试验的方法得到。 • 粘性(滞)阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。 • 其它常用的阻尼:
2运动方程建立的基本原理-1
24
单自由度体系: SDOF (Single-Degree-of-Freedom) System 结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定
基本动力体系: 应包括结构动力分析中涉及的所有物理量。 质量;弹簧;阻尼器。
25
基本动力体系
两个典型的单自由度体系
物理元件: 质量 阻尼器 弹簧
集中质量m 阻尼系数c 弹簧刚度k
约束方程:
2 2 2 x1 + y1 = l1 2 2 2 x − x + y − y = l ( ) ( ) 2 1 2 2 1
广义坐标有2个,可以选(x1, y2)、(x2, y1)、 (x1, x2)、(y1, y2)或(θ1, θ2)中的任何一对
10
2.1.2 功和能 功的定义 有势力和势能 动能
2 2 2
Ø
Ø
情况(c)弹簧摆。受到约束
约束方程不含时间,称为定常约束。 约束方程随时间变化,称为非定常约束。
6
关于约束的另一种分类: n 完整约束:
只限制质点位置,而不限制速度。即约束方 程不显含坐标对时间的一阶导数。
n
非完整约束:
约束方程显含坐标对时间的导数,并且不可积。
7
静力自由度的概念:确定结构体系在空间中位置所需 的独立参数的数目称为结构的自由度。 动力自由度的定义:结构体系在任意瞬时的一切可能的 变形中,决定全部质量位置所需的独立参数的数目称为 结构的动力自由度。
(a) 单层框架结构
两个力学模型完全等效 因为两个体系的运动方程相同
(b) 弹簧―质点体系
26
2.2 基本力学原理与运动方程的建立
2.2.0 牛顿(Newton)第二定律
F = ma
单自由度体系: SDOF (Single-Degree-of-Freedom) System 结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定
基本动力体系: 应包括结构动力分析中涉及的所有物理量。 质量;弹簧;阻尼器。
25
基本动力体系
两个典型的单自由度体系
物理元件: 质量 阻尼器 弹簧
集中质量m 阻尼系数c 弹簧刚度k
约束方程:
2 2 2 x1 + y1 = l1 2 2 2 x − x + y − y = l ( ) ( ) 2 1 2 2 1
广义坐标有2个,可以选(x1, y2)、(x2, y1)、 (x1, x2)、(y1, y2)或(θ1, θ2)中的任何一对
10
2.1.2 功和能 功的定义 有势力和势能 动能
2 2 2
Ø
Ø
情况(c)弹簧摆。受到约束
约束方程不含时间,称为定常约束。 约束方程随时间变化,称为非定常约束。
6
关于约束的另一种分类: n 完整约束:
只限制质点位置,而不限制速度。即约束方 程不显含坐标对时间的一阶导数。
n
非完整约束:
约束方程显含坐标对时间的导数,并且不可积。
7
静力自由度的概念:确定结构体系在空间中位置所需 的独立参数的数目称为结构的自由度。 动力自由度的定义:结构体系在任意瞬时的一切可能的 变形中,决定全部质量位置所需的独立参数的数目称为 结构的动力自由度。
(a) 单层框架结构
两个力学模型完全等效 因为两个体系的运动方程相同
(b) 弹簧―质点体系
26
2.2 基本力学原理与运动方程的建立
2.2.0 牛顿(Newton)第二定律
F = ma
刘晶波结构动力学课件21w
线弹性体系:由线性弹簧(或线性构件)组成的体 系。
—最简单的理想化力学模型。
阻尼弹性体系:当线弹性系统中进一步考虑阻尼 影响时
15/45
2.1 基本概念
阻尼系数 c 的确定: 不能像结构刚度k那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸和
材料的力学性质等来获得,因为c是反映了多种耗能因 素综合影响的系数,阻尼系数一般是通过结构原型振 动试验的方法得到。 粘性(滞)阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。 其它常用的阻尼: 摩擦阻尼:阻尼力大小与速度大小无关,一般为常数; 滞变阻尼:阻尼力大小与位移成正比(相位与速度相同); 流体阻尼:阻尼力与质点速度的平方成正比。
方向指向体系的平衡位置。
fs ku
fs
k
1
a
d
-u0
O
b
u u0
fs k
1
u
s— 表示弹簧(Spring)
c
(a)
k— 弹簧的刚度(Spring Stiffness)
u— 质点位移
(b)
11/45
2.1 基本概念
2.1.5 惯性力(Inertial Force)
惯性:保持物体运动状态的能力。 惯性力:大小等于物体的质量与加速度的乘积,
动力自由度的定义:结构体系在任意瞬时的一切可能的 变形中,决定全部质量位置所需的独立参数的数目称 为结构的动力自由度(数)。
4/45
2.1.1 广义坐标与动力自由度
静力自由度:确定结构体系在空间中位置所需的独立参 数的数目称为结构的自由度。
动力自由度:决定结构体系质量位置所需的独立参数的 数目称为结构的动力自由度(数)。
结构动力学
教师:刘晶波 助教:王东洋
清华大学土木工程系 2015年秋
—最简单的理想化力学模型。
阻尼弹性体系:当线弹性系统中进一步考虑阻尼 影响时
15/45
2.1 基本概念
阻尼系数 c 的确定: 不能像结构刚度k那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸和
材料的力学性质等来获得,因为c是反映了多种耗能因 素综合影响的系数,阻尼系数一般是通过结构原型振 动试验的方法得到。 粘性(滞)阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。 其它常用的阻尼: 摩擦阻尼:阻尼力大小与速度大小无关,一般为常数; 滞变阻尼:阻尼力大小与位移成正比(相位与速度相同); 流体阻尼:阻尼力与质点速度的平方成正比。
方向指向体系的平衡位置。
fs ku
fs
k
1
a
d
-u0
O
b
u u0
fs k
1
u
s— 表示弹簧(Spring)
c
(a)
k— 弹簧的刚度(Spring Stiffness)
u— 质点位移
(b)
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2.1 基本概念
2.1.5 惯性力(Inertial Force)
惯性:保持物体运动状态的能力。 惯性力:大小等于物体的质量与加速度的乘积,
动力自由度的定义:结构体系在任意瞬时的一切可能的 变形中,决定全部质量位置所需的独立参数的数目称 为结构的动力自由度(数)。
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2.1.1 广义坐标与动力自由度
静力自由度:确定结构体系在空间中位置所需的独立参 数的数目称为结构的自由度。
动力自由度:决定结构体系质量位置所需的独立参数的 数目称为结构的动力自由度(数)。
结构动力学
教师:刘晶波 助教:王东洋
清华大学土木工程系 2015年秋
【结构动力学】第1章 运动方程 2020
12
承受动力荷载的任何线性结构体系的主要物理特性是体系的质量、弹 性特性(刚度或柔度)、能量耗散机理或阻尼、以及外部扰力或荷载
单自由度
c
体系模型
k
y (t )
F(t) m
▪ 质量块m,用来表示结构的质量和惯性特性 ▪ 自由度只有一个:水平位移 y(t) ▪ 无重弹簧,刚度为 k,提供结构的弹性恢复力 ▪ 无重阻尼器,阻尼系数c,表示结构的能量耗散,提供结
y P (FI FD )
改写成:
FI
FD
1
y
P
28
位移方程:
FI
FD
1
y
P
其中:
p为动荷载 q(t) 引起的质量沿y方向的位移:
q (t)y(t )
P
5l 4 384 EI
q(t )
惯性力: FI my 阻尼力: FD cy
为自由度方向加单位力所引起的位移,即柔度: 由此得到体系的运动方程:
my cy ky F(t) (2-3)
y(t )
EI l 1
my
cy
12EI
l13
12EI l23
y
FP (t)
12EI 12EI
令: k FS1 FS 2 l13 l23
;k 为(等效)刚度系数。
由此得到体系的运动方程: my cy ky FP (t)
运动方程与(2-3)的形式是一样的!
my cy ky F(t)
(2-3)
14
直接平衡法(达朗贝尔原理)
直接平衡法,又称动静法,将动力学问题转化为任 一时刻的静力学问题:根据达朗贝尔原理,把惯性 力作为附加的虚拟力,并考虑阻尼力、弹性力和作 用在结构上的外荷载,使体系处于动力平衡条件, 按照静力学中建立平衡方程的思路,直接写出运动 方程。
承受动力荷载的任何线性结构体系的主要物理特性是体系的质量、弹 性特性(刚度或柔度)、能量耗散机理或阻尼、以及外部扰力或荷载
单自由度
c
体系模型
k
y (t )
F(t) m
▪ 质量块m,用来表示结构的质量和惯性特性 ▪ 自由度只有一个:水平位移 y(t) ▪ 无重弹簧,刚度为 k,提供结构的弹性恢复力 ▪ 无重阻尼器,阻尼系数c,表示结构的能量耗散,提供结
y P (FI FD )
改写成:
FI
FD
1
y
P
28
位移方程:
FI
FD
1
y
P
其中:
p为动荷载 q(t) 引起的质量沿y方向的位移:
q (t)y(t )
P
5l 4 384 EI
q(t )
惯性力: FI my 阻尼力: FD cy
为自由度方向加单位力所引起的位移,即柔度: 由此得到体系的运动方程:
my cy ky F(t) (2-3)
y(t )
EI l 1
my
cy
12EI
l13
12EI l23
y
FP (t)
12EI 12EI
令: k FS1 FS 2 l13 l23
;k 为(等效)刚度系数。
由此得到体系的运动方程: my cy ky FP (t)
运动方程与(2-3)的形式是一样的!
my cy ky F(t)
(2-3)
14
直接平衡法(达朗贝尔原理)
直接平衡法,又称动静法,将动力学问题转化为任 一时刻的静力学问题:根据达朗贝尔原理,把惯性 力作为附加的虚拟力,并考虑阻尼力、弹性力和作 用在结构上的外荷载,使体系处于动力平衡条件, 按照静力学中建立平衡方程的思路,直接写出运动 方程。
结构动力学 -单自由度体系的振动
负号表示等效力的方向和地面加速度方向相反。
13
§2.2 无阻尼自由振动
自由振动(free vibration) :无外界干扰的体系振动形 态称为自由振动(free vibration)。振动是由初始位 移或初始速度或两者共同影响下所引起的。 无阻尼自由振动:如果阻尼系数等于零,则这种自由 振动称为无阻尼自由振动(undamped free vibration)。 假设由于外界干扰,质点离开平衡位置,干扰消失后, 质点将围绕静力平衡点作自由振动。
或:m y ( t) c y ( t) k ( t) y m y g ( t) P e( f t) f
Peff (t ) :等效荷载,即在地面加速度yg (t )影响下,结构的响
应就和在外荷载p (t )作用下的响应一样,只是外荷载 p (t )
等于质量和地面加速度的乘积。
干扰力的大小只能影响振幅A的大小,而对结构自
振周期T的大小没影响。
(2)自振周期与质量平方根成正比,质量越大,则
周期越大;自振周期与刚度的平方根成反比,刚度
越大,则周期越小。要改变结构的自振周期,只有
改变结构的质量或刚度。
24
§2.2 无阻尼自由振动
k g
m
st
(3)把集中质点放在结构上产生最大位移的地方,则可
1、位移以静力平衡位置作为基准的,而这样确定的位移 即为动力响应。
2、在求总挠度和总应力时,要把动力分析的结果与静
力分析结果相加。
9
§2.1运动方程的建立
3、支座运动的影响 结构的动位移和动应力既可以由动荷载引起,也
可以由结构支座的运动而产生。 1)由地震引起建筑物基础的运动; 2)由建筑物的振动而引起安置在建筑物内的设备 基底的运动等等。
13
§2.2 无阻尼自由振动
自由振动(free vibration) :无外界干扰的体系振动形 态称为自由振动(free vibration)。振动是由初始位 移或初始速度或两者共同影响下所引起的。 无阻尼自由振动:如果阻尼系数等于零,则这种自由 振动称为无阻尼自由振动(undamped free vibration)。 假设由于外界干扰,质点离开平衡位置,干扰消失后, 质点将围绕静力平衡点作自由振动。
或:m y ( t) c y ( t) k ( t) y m y g ( t) P e( f t) f
Peff (t ) :等效荷载,即在地面加速度yg (t )影响下,结构的响
应就和在外荷载p (t )作用下的响应一样,只是外荷载 p (t )
等于质量和地面加速度的乘积。
干扰力的大小只能影响振幅A的大小,而对结构自
振周期T的大小没影响。
(2)自振周期与质量平方根成正比,质量越大,则
周期越大;自振周期与刚度的平方根成反比,刚度
越大,则周期越小。要改变结构的自振周期,只有
改变结构的质量或刚度。
24
§2.2 无阻尼自由振动
k g
m
st
(3)把集中质点放在结构上产生最大位移的地方,则可
1、位移以静力平衡位置作为基准的,而这样确定的位移 即为动力响应。
2、在求总挠度和总应力时,要把动力分析的结果与静
力分析结果相加。
9
§2.1运动方程的建立
3、支座运动的影响 结构的动位移和动应力既可以由动荷载引起,也
可以由结构支座的运动而产生。 1)由地震引起建筑物基础的运动; 2)由建筑物的振动而引起安置在建筑物内的设备 基底的运动等等。
2-1结构动力学(单自由度)
c 2 m
O
t
这条曲线仍具有衰减性,但不具有波动性。
1, cr 2m
c 2m
c cr
阻尼比
(2)ξ> 1(强阻尼)情况
1,2 2 1 0
y t C1e1t C2e2t
t
y( t )
O
y (t ) e t C1 sinh 2 1 t C 2 cosh 2 1 t
g y st
y st m T 2 2 k g
频率只取决于体系的质量和刚度,而与外界因素 无关,是体系本身固有的属性,所以又称为固有频率
(natural frequency)。
(3)简谐自由振动的特性
y(t ) Asin( t )
(t ) A 2 sin(t ) y 加速度为: 惯性力为: FI (t ) m (t ) mA 2 sin(t ) y
特征根 一般解
2 2 2 0
1, 2 2 1
y(t ) C1e
1t
C2 e
2t
(1)ξ= 1(临界阻尼)情况
1,2
y C1 C2 t e t
y( t )
tan v
t
y y0 (1 t ) v0t e
d
阻尼对自振频率、周期的影响
,
d
Td T
在工程结构问题中,若0.01<ξ<0.1,可近似取:
d , Td T
y(t ) e t Asin ( d t )
阻尼对振幅的影响
yk Aetk Td e y k 1 Ae (tk Td )
O
t
这条曲线仍具有衰减性,但不具有波动性。
1, cr 2m
c 2m
c cr
阻尼比
(2)ξ> 1(强阻尼)情况
1,2 2 1 0
y t C1e1t C2e2t
t
y( t )
O
y (t ) e t C1 sinh 2 1 t C 2 cosh 2 1 t
g y st
y st m T 2 2 k g
频率只取决于体系的质量和刚度,而与外界因素 无关,是体系本身固有的属性,所以又称为固有频率
(natural frequency)。
(3)简谐自由振动的特性
y(t ) Asin( t )
(t ) A 2 sin(t ) y 加速度为: 惯性力为: FI (t ) m (t ) mA 2 sin(t ) y
特征根 一般解
2 2 2 0
1, 2 2 1
y(t ) C1e
1t
C2 e
2t
(1)ξ= 1(临界阻尼)情况
1,2
y C1 C2 t e t
y( t )
tan v
t
y y0 (1 t ) v0t e
d
阻尼对自振频率、周期的影响
,
d
Td T
在工程结构问题中,若0.01<ξ<0.1,可近似取:
d , Td T
y(t ) e t Asin ( d t )
阻尼对振幅的影响
yk Aetk Td e y k 1 Ae (tk Td )
02第二讲:运动方程的建立
2015/10/8
第二讲:运动方程的建立
一、基本动力体系 一、 基本动力体系
两个典型的单自由度体系
第二讲:运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
1. 牛顿( 牛顿(Newton Newton) )第二定律
F ma
物理元件: 质量 集中质量m 集中质量m 阻尼器 阻尼系数 阻尼系数c c 弹簧 弹簧刚度 弹簧刚度k k
t1
2 1
t2
单质点系的受力图
cu ku p(t ) mu
T —— 体系的动能; V —— 体系的位能,包括应变能及任何保守力的势能; Pncj—— ——与 与uj相应的非保守力(包括阻尼力及任意外荷载 相应的非保守力(包括阻尼力及任意外荷载)。 )。
用Hamilton 原理推导 原理推导Lagrange Lagrange 方程
1 1 2 V ku 2 W p(t )u f D u T mu 2 2
T ( s, t ) W ( s , t ) V ( s, t )dt 0
t1
t2
u cu u kuu p (t )u dt 0 mu t u cu u kuu p (t )u dt 0 t mu
u t2 mu udt mu udt mu
t1 t1
第二讲:运动方程的建立
单质点体系的受力分析
F p(t ) f D f s
ma f D f s p (t )
au
f D cu
(a) 单层框架结构
两个力学模型完全等效 因为两个体系的运动方程相同 单自由度系统虽然简单,但是包含了 单自由度系统 虽然简单,但是包含了 结构动力学的全部思想和方法。 多自由度系统还可通过振型迭加法转 多自由度系统 还可通过振型迭加法转 化为单自由度系统,因此学习它非常重要。
第二讲:运动方程的建立
一、基本动力体系 一、 基本动力体系
两个典型的单自由度体系
第二讲:运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
1. 牛顿( 牛顿(Newton Newton) )第二定律
F ma
物理元件: 质量 集中质量m 集中质量m 阻尼器 阻尼系数 阻尼系数c c 弹簧 弹簧刚度 弹簧刚度k k
t1
2 1
t2
单质点系的受力图
cu ku p(t ) mu
T —— 体系的动能; V —— 体系的位能,包括应变能及任何保守力的势能; Pncj—— ——与 与uj相应的非保守力(包括阻尼力及任意外荷载 相应的非保守力(包括阻尼力及任意外荷载)。 )。
用Hamilton 原理推导 原理推导Lagrange Lagrange 方程
1 1 2 V ku 2 W p(t )u f D u T mu 2 2
T ( s, t ) W ( s , t ) V ( s, t )dt 0
t1
t2
u cu u kuu p (t )u dt 0 mu t u cu u kuu p (t )u dt 0 t mu
u t2 mu udt mu udt mu
t1 t1
第二讲:运动方程的建立
单质点体系的受力分析
F p(t ) f D f s
ma f D f s p (t )
au
f D cu
(a) 单层框架结构
两个力学模型完全等效 因为两个体系的运动方程相同 单自由度系统虽然简单,但是包含了 单自由度系统 虽然简单,但是包含了 结构动力学的全部思想和方法。 多自由度系统还可通过振型迭加法转 多自由度系统 还可通过振型迭加法转 化为单自由度系统,因此学习它非常重要。
结构动力学-2(哈工大结构动力学)
m y(t)
cy(t)
my(t) k11 y(t )
运动方程 my cy k11y 0
令 c / 2m y 2y 2 y 0
设 y(t) Aet
2 2 2 0 特征方程
根为 i 1 2 由初始条件
小阻尼情况
y(0) y0 , y(0) v0
1 (c 2m)
c1 (v0 y0 ) / D , c2 y0
k
k
k
PROBLEMS:
3.A mass m is at rest,partially supported by a spring and partially by stops.In the position shown,the spring force is mg/2. At time t=0 the stops are rotated,suddenly releasing the mass.Determine the motion of the mass.
第二章单自由度体系的振动分析
§2.1 自由振动
一. 无阻尼体系 运动方程
y(t) 11[my(t)] k11y(t) my(t) 令 2 k11 1
m m11
y(t) 2 y(t) 0
二阶线性齐次常微分方程
m
my(t)
y(t)
l EI
km
运动方程的通解 y(t) c1 cost c2 sin t
令 D 1 2
方程的通解为
y(t) Aet sin( Dt D )
A
y02
( v0
y0 D
)2
y(t) et (c1 sin Dt c2 cosDt) tan D y0D /(v0 y0 )
3(运动方程的建立)
f S 1 k11 f k S 2 = 21 f SN kN1 k12 k22 kN 2 k1 j k2 j k Nj fS = ku k1N u1 k2 N u2 k NN u N
20/78
第2章 运动方程的建立
2.5.2 Lagrange方程法
21/78
例 如图所示一复合摆,摆的杆长分别为l1和l2,摆的质量 分别为 m1 和 m2 ,忽略杆的分布质量,建立体系无阻尼 自由运动方程,并讨论。 广义坐标q1和q2取为 杆1和杆2的转角。
为方便计算体系的动 能,也给出了直角坐 标系,在直角坐标系 中更容易建立体系的 势能和动能公式。
V j= c j ∆ j
阻尼力
1 + c2 ( u 1 − u 2 ) f D1 = c1u
f D1 fD2
2 − u 1 ) fD2 = c2 ( u
1 u c1 + c2 −c2 = or f D cu −c 2 c2 2 u
m1 0
u
1 0 u f D1 f S1 p1 ( t ) + + = 2 m2 u fD2 fS 2 p2 ( t )
m1 u1 = m 0 u2 0 fD = m2 f D1 = fS fD2 f S1 = p fS 2 p1 p2 Biblioteka (例子见后)8/78
第2章 运动方程的建立
2.4 地基运动的影响
9/78
地基运动问题: 结构的动力反应不是由直接作用到结构 上的动力引起的,而是由于结构基础的运动引起的。
20/78
第2章 运动方程的建立
2.5.2 Lagrange方程法
21/78
例 如图所示一复合摆,摆的杆长分别为l1和l2,摆的质量 分别为 m1 和 m2 ,忽略杆的分布质量,建立体系无阻尼 自由运动方程,并讨论。 广义坐标q1和q2取为 杆1和杆2的转角。
为方便计算体系的动 能,也给出了直角坐 标系,在直角坐标系 中更容易建立体系的 势能和动能公式。
V j= c j ∆ j
阻尼力
1 + c2 ( u 1 − u 2 ) f D1 = c1u
f D1 fD2
2 − u 1 ) fD2 = c2 ( u
1 u c1 + c2 −c2 = or f D cu −c 2 c2 2 u
m1 0
u
1 0 u f D1 f S1 p1 ( t ) + + = 2 m2 u fD2 fS 2 p2 ( t )
m1 u1 = m 0 u2 0 fD = m2 f D1 = fS fD2 f S1 = p fS 2 p1 p2 Biblioteka (例子见后)8/78
第2章 运动方程的建立
2.4 地基运动的影响
9/78
地基运动问题: 结构的动力反应不是由直接作用到结构 上的动力引起的,而是由于结构基础的运动引起的。
第2章 结构动力方程的建立
2014-04-19
第二章 结构动力方程的建立
结构动力学
第一节 达朗贝尔原理 第二节 虚位移原理及应用
结构动力方程的建立
第三节 拉格朗日方程及应用
第四节 哈密顿原理及其应用
汪梦甫
退出
第一节
达朗贝尔原理
1.一个自由度的质点运动 设在质量m上沿y的正向作用一个力P(t)(称为主动
在动力计算中需要列出运动方程,通常应用得 较多的一种方法是直接平衡法。它是根据达朗贝尔 原理将惯性力假想地加在质量上,然后当作平衡状 态去建立动力平衡方程,故该法又有“惯性力学” 之称。 下面扼要阐述达朗贝尔原理。
U W
或写成:
We W Wd U qi qi i qi qi (i 1,2,, k ) qi qi qi qi
在上式中惯性力所作虚功可改用质量的动能来表示。
U W qi qi qi qi
退出 退出
7
2014-04-19
设以 T表示质量的动能,则有:
0
l
u udx
0
l
m* m 2 ( x)dx M 2 (l )
0
l
c* c( x) 2 ( x)dx
0 l
l
u( x, t ) ( x)q(t )
( Mg 2 ( x)dx)q q
0
l
kG q q
q W阻尼 c*q
kG Mg ( x)dx
2 0
* U弯曲 kE q q
l
* kE EI ( )2 dx 0
l
kG Mg 2 ( x)dx
0
p* p( x) ( x)dx
0
第二章 结构动力方程的建立
结构动力学
第一节 达朗贝尔原理 第二节 虚位移原理及应用
结构动力方程的建立
第三节 拉格朗日方程及应用
第四节 哈密顿原理及其应用
汪梦甫
退出
第一节
达朗贝尔原理
1.一个自由度的质点运动 设在质量m上沿y的正向作用一个力P(t)(称为主动
在动力计算中需要列出运动方程,通常应用得 较多的一种方法是直接平衡法。它是根据达朗贝尔 原理将惯性力假想地加在质量上,然后当作平衡状 态去建立动力平衡方程,故该法又有“惯性力学” 之称。 下面扼要阐述达朗贝尔原理。
U W
或写成:
We W Wd U qi qi i qi qi (i 1,2,, k ) qi qi qi qi
在上式中惯性力所作虚功可改用质量的动能来表示。
U W qi qi qi qi
退出 退出
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设以 T表示质量的动能,则有:
0
l
u udx
0
l
m* m 2 ( x)dx M 2 (l )
0
l
c* c( x) 2 ( x)dx
0 l
l
u( x, t ) ( x)q(t )
( Mg 2 ( x)dx)q q
0
l
kG q q
q W阻尼 c*q
kG Mg ( x)dx
2 0
* U弯曲 kE q q
l
* kE EI ( )2 dx 0
l
kG Mg 2 ( x)dx
0
p* p( x) ( x)dx
0
清华大学结构动力学2-1
对如下图所示结构体系,用虚位移原理建立方程更简便一些
2.2 运动方程的建立 4. Hamilton原理
可以应用变分法(原理)建立结构体系的运动方程。 体系的平衡位置是体系的稳定位置,在稳定位置,体系 的能量取得极值,一般是极小值。 Hamilton原理是动力学中的变分法(原理)。
2.2 运动方程的建立 4. Hamilton原理(积分形式的动力问题的变分方法)
∫
t2 t1
用 Hamilton 原理推导 Lagrange 方程 对于有 N 个自由度的结构体系,体系的动能和位能分别为:
& & & T = T ( u1 , u 2 , L u N , u1 , u 2 , L u N ) V = V ( u1 , u 2 ,L u N )
(a) (b)
因此动能和位能的变分为:
∫
∫
t2 t1
t2
t1
& & & [ muδu − cuδu − kuδu + p(t )δu]dt = 0
对上式中的第一项进行分部积分
& & & muδudt = ∫ mu(δ
t2 t1 t t t t d d & & & && && u )dt = ∫ mu (δu )dt = ∫ mud (δu ) = muδu tt − ∫ δu ⋅ mudt = − ∫ muδudt t t t t dt dt
结构动力学
(2004秋)
结构动力学
第二章
运动方程的建立
运动方程: 描述结构中力与位移关系的数学表达式 (有时称动力方程) 运动方程是进行结构动力分析的基础 运动方程的建立是结构动力学的重点和难点
2.2 运动方程的建立 4. Hamilton原理
可以应用变分法(原理)建立结构体系的运动方程。 体系的平衡位置是体系的稳定位置,在稳定位置,体系 的能量取得极值,一般是极小值。 Hamilton原理是动力学中的变分法(原理)。
2.2 运动方程的建立 4. Hamilton原理(积分形式的动力问题的变分方法)
∫
t2 t1
用 Hamilton 原理推导 Lagrange 方程 对于有 N 个自由度的结构体系,体系的动能和位能分别为:
& & & T = T ( u1 , u 2 , L u N , u1 , u 2 , L u N ) V = V ( u1 , u 2 ,L u N )
(a) (b)
因此动能和位能的变分为:
∫
∫
t2 t1
t2
t1
& & & [ muδu − cuδu − kuδu + p(t )δu]dt = 0
对上式中的第一项进行分部积分
& & & muδudt = ∫ mu(δ
t2 t1 t t t t d d & & & && && u )dt = ∫ mu (δu )dt = ∫ mud (δu ) = muδu tt − ∫ δu ⋅ mudt = − ∫ muδudt t t t t dt dt
结构动力学
(2004秋)
结构动力学
第二章
运动方程的建立
运动方程: 描述结构中力与位移关系的数学表达式 (有时称动力方程) 运动方程是进行结构动力分析的基础 运动方程的建立是结构动力学的重点和难点
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2.1.9 非弹性体系 (Inelastic System)
结构构件的力—变形关系为非线性关系,结构刚度不再为常数。 构件(或弹簧)的恢复力可表示为
fs fs(u,u)
fs是位移和速度的 非线性函数。
图2整.6理p非pt 弹性体系中结构构件的力与位移关系
14
第2章 分析动力学基础及运动方程的建立
2.2 基本力学原理与 运动方程的建立
2.2.0 牛顿(Newton)第二定律
Fma
单质点体系的受力分析
Fp(t)fDfs ma fD fsp (t)
a u fD cu fs ku
m u cu k up(t)
——单质点体系运动时整要理p满pt 足的控制方程—运动方程
19
基本动力体系: 应包括结构动力分析中涉及的所有物理量。 质量;弹簧;阻尼器。
整理ppt 17
基本动力体系
两个典型的单自由度体系
(a) 单层框架结构 (b) 弹簧―质点体系
物理元件: 质量
阻尼器 弹簧
集中质量m 阻尼系数c 弹簧刚度k
两个力学模型完全等效 因为两个体系的运动方程相同
整理ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱpt 18
2.2 基本力学原理与运动方程的建立
u u0
fs k
1
u
s— 表示弹簧(Spring) c (a)
k— 弹簧的刚度(Spring Stiffness)
u— 质点位移
整理ppt
(b)
9
2.1 基本概念
单层框架结构的水平刚度
k24hE 3Ic6 6 1 4; hIb/LIc
h—框架结构的高度 L—梁的长度
:
E—弹性模量 Ib和Ic—梁和柱的截面惯性矩整理ppt
本章首先通过对简单结构体系(单自由度体系)的讨论介
绍结构动力分析中存在的基本物理量及建立运动方程
的方法,然后介绍更复杂的多自由度体系运动方程的
建立。
整理ppt
16
单自由度体系: SDOF (Single-Degree-of-Freedom) System 结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定
整理ppt 6
2.1 基本概念
2.1.4 广义力
略◦◦◦◦◦◦
整理ppt 7
2.1 基本概念
2.1.5 惯性力(Inertial Force)
惯性:保持物体运动状态的能力。 惯性力:大小等于物体的质量与加速度的乘积,
方向与加速度的方向相反。
fI mu
I — 表示惯性(Inertial);
m— 质量(mass);
4
2.1 基本概念
2.1.2 功和能 功的定义 有势力和势能 动能
略◦◦◦◦◦◦
整理ppt 5
2.1 基本概念
2.1.3 实位移、可能位移和虚位移
可能位移: 满足所有约束方程的位移称为体系的可能位移。
实位移: 如果位移不仅满足约束方程,而且满足运动方程 和初始条件,则称为体系的实位移。
虚位移: 在某一固定时刻,体系在约束许可的情况下可能 产生的任意组微小位移,称为体系的虚位移。
0 :
k
24 EI c h3
k
6EI c h3
10
2.1 基本概念
2.1.7 阻尼力(Damping Force)
阻尼:引起结构能量的耗散,使结构振幅逐渐变小的一种作用。
阻尼的来源(物理机制):
(1)固体材料变形时的内摩擦,或材料快速应变引起的热耗散; (2)结构连接部位的摩擦,结构构件与非结构构件之间的摩擦; (3)结构周围外部介质引起的阻尼。例如,空气、流体等。
◆ 牛顿(Newton)第二定律 ◆ D’Alembert原理 ◆ 虚位移原理 ◆ Hamilton原理 ◆ Lagrange方程
整理ppt 15
2.2 基本力学原理与运动方程的建立
运动方程:
描述结构中力与位移(包括速度和加速度)关系 的数学表达式。(有时也称为动力方程)
❖运动方程是进行结构动力分析的基础 ❖运动方程的建立是结构动力学的重点和难点
粘性(滞)阻尼力可表示为:
fD cu
fD
u fD
fD
c 1
u
D — 表示阻尼(Damping)
(a)
c — 阻尼系数(Damping coefficient)
u — 质点的运动速度
整理ppt
(b)
11
2.1 基本概念
阻尼系数 c 的确定:
不能像结构刚度k那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸和 材料的力学性质等来获得,因为c是反映了多种耗能因 素综合影响的系数,阻尼系数一般是通过结构原型振 动试验的方法得到。
结构动力学
整理ppt 1
结构动力学
第2章 分析动力学基础及 运动方程的建立
整理ppt 2
第2章 分析动力学基础及运动方程的建立
2.1 基本概念
● 广义坐标与动力自由度 ★ 功和能 ★ 实位移、可能位移和虚位移 ★ 广义力 ● 惯性力 ● 弹簧的恢复力 ● 阻尼力 ● 线弹性体系和粘弹性体系 ● 非弹性体系
整理ppt 3
2.1 基本概念
2.1.1 广义坐标与动力自由度
广义坐标:能决定质点系几何位置的彼此独立的量称为 该质点系的广义坐标。 广义坐标可以取长度量纲的量,也可以用角度甚至面 积和体积来表示。
静力自由度的概念:确定结构体系在空间中位置所需的 独立参数的数目称为结构的自由度。
动力自由度的定义:结构体系在任意瞬时的一切可能的 变形中,决定全部质量位置所需的独立参数的数目称 为结构的动力自由度。 整理ppt
(Linearly Elastic System and Viscous Elastic System)
线弹性体系:由线性弹簧(或线性构件)组成的体系。
—最简单的理想化力学模型。
粘弹性体系:当线弹性系统中进一步考虑阻尼(粘性阻 尼)的影响时的体系。
—结构动力分析中的最基本力学模型。
整理ppt 13
2.1 基本概念
坐标方向:向右为正
ü — 质点的加速度。
整理ppt
8
2.1 基本概念
2.1.6 弹簧的恢复力(Resisting Force of Spring)
对弹性体系,弹簧的恢复力也被称为弹性恢复力 弹性恢复力:大小等于弹簧刚度与位移(弹簧变形)的乘积
方向指向体系的平衡位置。
fs ku
fs
k
1
a
d
-u0
O
b
粘性(滞)阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。
其它常用的阻尼:
摩擦阻尼:阻尼力大小与速度大小无关,一般为常数; 滞变阻尼:阻尼力大小与位移成正比(相位与速度相同); 流体阻尼:阻尼力与质点速度的平方成正比。
滞变阻尼——时整滞理pp阻t 尼——复阻尼
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2.1 基本概念
2.1.8 线弹性体系和粘弹性体系
结构构件的力—变形关系为非线性关系,结构刚度不再为常数。 构件(或弹簧)的恢复力可表示为
fs fs(u,u)
fs是位移和速度的 非线性函数。
图2整.6理p非pt 弹性体系中结构构件的力与位移关系
14
第2章 分析动力学基础及运动方程的建立
2.2 基本力学原理与 运动方程的建立
2.2.0 牛顿(Newton)第二定律
Fma
单质点体系的受力分析
Fp(t)fDfs ma fD fsp (t)
a u fD cu fs ku
m u cu k up(t)
——单质点体系运动时整要理p满pt 足的控制方程—运动方程
19
基本动力体系: 应包括结构动力分析中涉及的所有物理量。 质量;弹簧;阻尼器。
整理ppt 17
基本动力体系
两个典型的单自由度体系
(a) 单层框架结构 (b) 弹簧―质点体系
物理元件: 质量
阻尼器 弹簧
集中质量m 阻尼系数c 弹簧刚度k
两个力学模型完全等效 因为两个体系的运动方程相同
整理ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱpt 18
2.2 基本力学原理与运动方程的建立
u u0
fs k
1
u
s— 表示弹簧(Spring) c (a)
k— 弹簧的刚度(Spring Stiffness)
u— 质点位移
整理ppt
(b)
9
2.1 基本概念
单层框架结构的水平刚度
k24hE 3Ic6 6 1 4; hIb/LIc
h—框架结构的高度 L—梁的长度
:
E—弹性模量 Ib和Ic—梁和柱的截面惯性矩整理ppt
本章首先通过对简单结构体系(单自由度体系)的讨论介
绍结构动力分析中存在的基本物理量及建立运动方程
的方法,然后介绍更复杂的多自由度体系运动方程的
建立。
整理ppt
16
单自由度体系: SDOF (Single-Degree-of-Freedom) System 结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定
整理ppt 6
2.1 基本概念
2.1.4 广义力
略◦◦◦◦◦◦
整理ppt 7
2.1 基本概念
2.1.5 惯性力(Inertial Force)
惯性:保持物体运动状态的能力。 惯性力:大小等于物体的质量与加速度的乘积,
方向与加速度的方向相反。
fI mu
I — 表示惯性(Inertial);
m— 质量(mass);
4
2.1 基本概念
2.1.2 功和能 功的定义 有势力和势能 动能
略◦◦◦◦◦◦
整理ppt 5
2.1 基本概念
2.1.3 实位移、可能位移和虚位移
可能位移: 满足所有约束方程的位移称为体系的可能位移。
实位移: 如果位移不仅满足约束方程,而且满足运动方程 和初始条件,则称为体系的实位移。
虚位移: 在某一固定时刻,体系在约束许可的情况下可能 产生的任意组微小位移,称为体系的虚位移。
0 :
k
24 EI c h3
k
6EI c h3
10
2.1 基本概念
2.1.7 阻尼力(Damping Force)
阻尼:引起结构能量的耗散,使结构振幅逐渐变小的一种作用。
阻尼的来源(物理机制):
(1)固体材料变形时的内摩擦,或材料快速应变引起的热耗散; (2)结构连接部位的摩擦,结构构件与非结构构件之间的摩擦; (3)结构周围外部介质引起的阻尼。例如,空气、流体等。
◆ 牛顿(Newton)第二定律 ◆ D’Alembert原理 ◆ 虚位移原理 ◆ Hamilton原理 ◆ Lagrange方程
整理ppt 15
2.2 基本力学原理与运动方程的建立
运动方程:
描述结构中力与位移(包括速度和加速度)关系 的数学表达式。(有时也称为动力方程)
❖运动方程是进行结构动力分析的基础 ❖运动方程的建立是结构动力学的重点和难点
粘性(滞)阻尼力可表示为:
fD cu
fD
u fD
fD
c 1
u
D — 表示阻尼(Damping)
(a)
c — 阻尼系数(Damping coefficient)
u — 质点的运动速度
整理ppt
(b)
11
2.1 基本概念
阻尼系数 c 的确定:
不能像结构刚度k那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸和 材料的力学性质等来获得,因为c是反映了多种耗能因 素综合影响的系数,阻尼系数一般是通过结构原型振 动试验的方法得到。
结构动力学
整理ppt 1
结构动力学
第2章 分析动力学基础及 运动方程的建立
整理ppt 2
第2章 分析动力学基础及运动方程的建立
2.1 基本概念
● 广义坐标与动力自由度 ★ 功和能 ★ 实位移、可能位移和虚位移 ★ 广义力 ● 惯性力 ● 弹簧的恢复力 ● 阻尼力 ● 线弹性体系和粘弹性体系 ● 非弹性体系
整理ppt 3
2.1 基本概念
2.1.1 广义坐标与动力自由度
广义坐标:能决定质点系几何位置的彼此独立的量称为 该质点系的广义坐标。 广义坐标可以取长度量纲的量,也可以用角度甚至面 积和体积来表示。
静力自由度的概念:确定结构体系在空间中位置所需的 独立参数的数目称为结构的自由度。
动力自由度的定义:结构体系在任意瞬时的一切可能的 变形中,决定全部质量位置所需的独立参数的数目称 为结构的动力自由度。 整理ppt
(Linearly Elastic System and Viscous Elastic System)
线弹性体系:由线性弹簧(或线性构件)组成的体系。
—最简单的理想化力学模型。
粘弹性体系:当线弹性系统中进一步考虑阻尼(粘性阻 尼)的影响时的体系。
—结构动力分析中的最基本力学模型。
整理ppt 13
2.1 基本概念
坐标方向:向右为正
ü — 质点的加速度。
整理ppt
8
2.1 基本概念
2.1.6 弹簧的恢复力(Resisting Force of Spring)
对弹性体系,弹簧的恢复力也被称为弹性恢复力 弹性恢复力:大小等于弹簧刚度与位移(弹簧变形)的乘积
方向指向体系的平衡位置。
fs ku
fs
k
1
a
d
-u0
O
b
粘性(滞)阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。
其它常用的阻尼:
摩擦阻尼:阻尼力大小与速度大小无关,一般为常数; 滞变阻尼:阻尼力大小与位移成正比(相位与速度相同); 流体阻尼:阻尼力与质点速度的平方成正比。
滞变阻尼——时整滞理pp阻t 尼——复阻尼
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2.1 基本概念
2.1.8 线弹性体系和粘弹性体系