向量的几何表示(1)

问题3：向量与有向线段的区别？
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无 关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同 的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起 点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向 线段.
问题4：由于向量是有大小的，那么它的大小如何表示呢？ 向量的大小也就是向量的长度
记作 AB , 如图所示：
用表示向量的有向线段的长度表示.
AB
A(起 点)
B(终 点)
问题5：零向量、单位向量是如何定义的？向量的 模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？ 向量的模可以为0,也可以为1,不可以为负数. 为了研究的需要，我们引入以下概念. 【零向量】长度为0的向量叫零向量; 记作0. (书写体用0) 规定：零向量0的方向是任意的. 注意：零向量0与实数0的含义、书写区别. 【单位向量】长度为1个单位长度的向量，叫单 位向量. 〖说明〗零向量、单位向量的定义都只是 限制了大小.
问题6：相等向量 因为向量完全由它的方向和模确定.对于 两个非零向量a、b，就其模等与不等，方向 同与不同而言，有哪几种可能情形？ 模相等, 模相等, 方向相同; 方向不相同;
模不相等, 方向相同;
模不相等, 方向不相同;
【相等向量】
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
a b
（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；
问题2：向量如何表示？
向量用带有箭头的线段来表示，线段按一定 的比例(标度)画出，它的长短表示向量的 大小，箭头的指向表示向量的方向.
①用有向线段表示；
AB
A(起 点)
B(起点 )
②用字母ａ、ｂ、 c…等表示.（印刷 用黑体，手写用 a ） ③用表示向量的有向线段的起点与终点 字母表示，例如 CD . AB，
※注意：
源自文库
AB BA .
向量的定义
向量的表示
字母表示 几何表示
向量
向量的模与零向量、单位向量
相等向量
三种向量关系
注意：(1)向量无大小， 但其模有大小；
平行向量(共线向量）
相反向量
(2)零向量是一个非常特殊的 向量，与任何向量平行。
知识迁移
例1 已知飞机从A地按北偏东30°方 向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏 东30°方向飞行2000km到达C地，再从C 地按西南方向飞行1000 km 2 到达 D 地. （1）画图表示向量 AB, BC, CD； （2）求飞机从A地到达D地的位移所对应 北 B 的向量的模和方向.
A B C D
AB和CD
C
A
D
B
问题6 平行向量 ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量 向量a、b平行，记作 a ∥b 即对于任意向量a，都有 0∥a （2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，如左图
如图:用有向线段表示的两个平行向量a、b
a b
②规定：零向量与任一向量平行.
〖说明〗（1）综合①、②才是平行向量的完整定义 记作ａ∥ｂ∥ｃ.
问题1：向量定义？数量与向量的区 别与联系？
数量----把只有大小，没有方向的量称为数量 向量----数学中，把既有大小，又有方向的量叫 . 向量与数量的联系和区别： 思考：年龄、身高、长度、面积、体积、温 联系：向量与数量都是有大小的量； 时间、路程、质量等是向量吗？ 区别：向量有方向且不能比较大小， 数量无方向且能比较大小.
探究：平行向量与共线向量 思考：如果两个非零向量所在的直线互相平 行，那么这两个向量的方向有什么关系？ 方向相同或相反 思考：我们知道方向相同或相反的非零向量 叫做平行向量，向量a与b平行记作a//b，那 么平行向量所在的直线一定互相平行吗？ 思考：零向量0与向量a平行吗？
零向量与任一向量平行.
思考：将向量平移，不会改变其长度和方向.如图， 设a、b、c是一组平行向量，任作一条与向量a所在 直线平行的直线 l，在l上任取一点O，分别作 OA a, OB b , OC c,那么点A、B、C的位置关系如何？ a 平行向量也叫做共线向量
b c O
B C A
l
点A、B、C在同一条直线上 上述分析表明，任一组平行向量都可以移动到 同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量
思考：如果非零向量 AB与CD 是共线向量，那 么点A、B、C、D是否一定共线？
补充知识 定义：
向量的相反向量
★如果向量 AB 和 CD 的模相等 且方向相反，那么把向量 叫做向 AB 量 CD 的相反向量(或把向量 CD 叫做 向量 AB 的负向量)，记作 AB CD (或 CD AB ) .
A D C
东
例2 如图，四边形ABCD为正方形， △BCE为等腰直角三角形.以图中各点为 起点和终点，写出与向量 AB 平行的所 有向量.
D
C
A
B
E
BA, BE, EB, AE, EA, DC, CD
例3 如图，设O为正六边形ABCDEF的中心，分 别写出与 OA 、 OB、 OC 相等的向量.
（2）零向量与零向量相等； A B （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一 条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关 . （4）在平面上，两个长度相等且指向一致的 有向线段表示同一个向量；因为向量完全由它 的方向和模确定. (5)向量或有向线段平移,不会改变其长度和 方向
思考：用有向线段表示非零向量 如果 AB CD ，那么A、B、C、D四点的位置 关系有哪几种可能情形？
2.由于有向线段具有长度和方向双 重特征，所以向量可以用有向线段表 示，但向量不是有向线段，二者只是一 种对应关系. 3.零向量是一个特殊向量，其模为 0，方向是不确定的.引入零向量将为以 后的研究带来许多方便.
四边形的四顶点（

）

⑤向量ａ与ｂ不共线,则ａ与ｂ都是非零向量（ √） ⑥有相同起点的两个非零向量不平行（ ）

）

归纳与整理
1.向量是为了表示、刻画既有大小， 又有方向的量而产生的，物理中有许多 相关背景材料，数学中的向量是物理中 矢量的提升和拓展，它有一系列的理论 和方法，是沟通代数、几何、三角的一 种工具，有着广泛的实际应用.
B A O F E
OA CB DO EF
C D
OB DC EO FA
OC AB ED FO
例4 判断下列命题是否正确：
①若两个单位向量共线,则这两个向量相等（ ） ②不相等的两个向量一定不共线 （
③ａ与ｂ共线,ｂ与ｃ共线,则ａ与c也共线（ ）
④任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行
2.1平面向量的基本概念
阅读教材P74-P76，并思考以下问题：
（1）向量定义是什么？数量与向量的区别与联系？ （2）向量如何表示？ （3）有向线段与向量有何区别与联系 ？ （4）零向量、单位向量是如何定义的？ （5）单位向量起点都平移到点O，其终点有什么 关系？ （6）什么叫相等向量？单位向量是相等向量吗？ (7)有一组向量方向相同或相反，这些向量有什 么关系？ （8）把一组平行向量的起点平移到一点O，这些 向量是不是平行向量？此时这些向量终点有什么 关系？ （9）平行向量与共线向量间有什么关系？