晶体学基础第三章-5晶面间距与晶面夹角
X射线衍射原理
二、布拉格方程
❖ 利用X射线研究晶体结构，主要通过X射线在晶体中产生的衍射。 ❖ X射线照射到晶体时，被晶体中电子散射，每个电子都是一个新
的辐射波源，向空间辐射出与入射波同频率的电磁波。 ❖ 把晶体中每个原子都看作一个新的散射波源，它们各自向空间辐
射与入射波同频率的电磁波；这些散射波干涉： 某些方向叠加，可得到衍射线； 某些方向互相抵消，无衍射线。
四、厄瓦尔德图解——布拉格方程的几何图解
r*HKL为反射晶面（HKL）的倒易矢量， r*HKL的起点（倒易原点O*） 为入射线单位矢量S0的终点，S0与（HKL）晶面反射线S的夹角2θ为
.1 定义：晶体点阵中平行于某轴向[uvw]的所有晶面称为[uvw]晶
带（注意和晶面族的区别）。 晶带轴：同一晶带中的。 2．晶带定律
如果某晶面（hkl）属于晶带[u，v，w]，必定有 hu+kv+lw=0 (a,b,c)为点阵基矢
证明一：晶带轴r的指向矢量为：r = ua + vb + wc
AB ＝ OB – OA ＝ b/K - a/H r*HKL·AB＝(Ha*1+Ka*2+La*3 )·(b/K-a/H)
r*HKL·AB ＝ 0
（二）倒易点阵
(2)倒易点阵与正点阵（HKL）晶面的对应关系
1)一个倒易矢量与一组（HKL）晶面对应，倒易矢量的大小与方向
表达了（HKL）在正点阵中的方位与晶面间距；
在晶轴a、b、c上截距分别为1/h、1/k、1/l。很显然a/h在晶面法线
nhkl上的投影就等于这个晶面的面间距d。即: dhkl=（a/h）·nhkl=（b/k）·nhkl
=（c/l）·nhkl 由右图可知，ABC面的单位法向量可表示 为：
第三章_晶体学基础
十四种空间格子（布拉菲格子）
综合考虑单位平行六面体的划分和附加结点的类型，七个晶系空间格 子的基本类型共有十四种。
三斜晶系：三斜简单格子； 单斜晶系：单斜简单格子，单斜底心格子； 斜方晶系：斜方简单格子，斜方底心格子， (正交） 斜方体心格子，斜方面心格子； 四方晶系：四方简单格子，四方体心格子； 三方晶系：三方简单格子(三方菱面体格子)； 六方晶系：六方简单格子； 立方晶系：立方简单格子，立方体心格子， 立方面心格子。
简单P
立方I
立方F
立方晶系：a = b=c
α=β=γ=90°
四方P 四方晶系： a = b≠c
四方I α=β=γ=90°
正交P
正交C 正交晶系：a≠b ≠ c
正交I α=β=γ=90°
正交F
单斜P 单斜晶系：a≠b ≠ c
单斜C α=γ=90° β＞ 90°
六方H
三方R
三斜P
六方晶系： a = b≠c 三方晶系： a = b=c 三斜晶系：a≠b≠c
故确定的步骤为：
● 选定晶轴X、Y、Z和a、b、c为轴单位；
● 平移晶向（棱）直线过原点；
● 在该直线上任取一结点M，将其投影至X、
。
Y、Z轴得截距OX、OY、OZ；
● 作OX/a：OY/b：OZ/c = u：v：w（最小
整数比）；
● 去掉比号，加中括号，[u v w]即为晶
向符号。
某一晶向指数代表一组在
结构基元：组成晶体的离 子、原子或分子。基元内 的原子数等于晶体中原子 的种类数。
晶体结构=空间点阵+结构基元
实际晶体——质点体积忽略——空间点阵——阵点连线——晶格（空间格子）
晶面间距和晶面指数的关系-概述说明以及解释
晶面间距和晶面指数的关系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述晶面间距是研究晶体结构和性质的重要参数之一，而晶面指数则是描述晶体晶面排列规律的指标。
晶面间距和晶面指数之间存在着密切的关系。
在晶体中，晶面是由原子或者离子按一定的排列顺序组成的。
晶体中的每个原子或者离子都占据了晶体的一个晶胞，而晶面间距则是指相邻两个晶面之间的距离。
通常情况下，晶面间距可以通过测量晶体的晶胞参数来进行计算。
而晶面指数是一种用来描述晶面排列规律的参数。
晶面指数是用一组整数表示晶面与晶轴或平面之间的交点坐标的比值，它可以反映出晶面在晶体中的位置和排列方式。
根据晶面的倾斜和晶面之间的夹角关系，可以用晶面指数来描述晶体晶面的倾斜程度和晶面之间的空间排列关系。
晶面间距和晶面指数之间存在着一定的关系。
晶面间距与晶面指数的关系可以通过晶体的晶胞参数和晶面的倾斜情况来推导和计算。
晶面间距的计算需要考虑晶体的晶胞参数和晶面的倾斜情况，而晶面指数的计算则依赖于晶面在晶轴或者平面上的交点坐标。
研究晶面间距和晶面指数的关系对于理解晶体的结构和性质具有重要的意义。
通过对晶面间距和晶面指数的研究，可以揭示晶体中原子或离子的排列规律，进而解释晶体的物理和化学性质。
此外，晶面间距和晶面指数还可以用于晶体的鉴定和表征，在材料科学和矿物学等领域有着广泛的应用。
综上所述，本文将重点探讨晶面间距和晶面指数的关系，通过详细介绍晶面间距和晶面指数的定义与计算方法，进而深入研究晶面间距与晶面指数之间的联系和相互影响。
最后，将对晶面间距与晶面指数的关系进行总结，并展望其在晶体研究中的未来应用前景。
文章结构部分的内容应该包括对整篇文章的组织结构进行说明，列出各个章节的标题和内容简介。
下面是文章结构部分的一个例子：1.2 文章结构本文将以晶面间距和晶面指数之间的关系为主题展开讨论。
文章主要分为以下几个部分：2.正文2.1 晶面间距的定义与计算方法本部分将介绍晶面间距的定义以及如何计算晶面间距。
04-05 晶体几何学基础概述
晶体结构
萤石结构（ CaF2 ）
氯化钠结构(NaCl)
晶体结构
辉钼矿的化学成分：
MoS2,Mo 59.94%，S 40.06%；
辉钼矿的特征：
铅灰色，金属光泽， 硬度低，底面解理极 完全，比重大，光泽 强。
晶体结构
石墨的晶体结构
C60的晶体结构
金刚石的晶体结构
晶体结构X衍射图谱
石墨
金刚石
C60
b c c a * * a b (b c )(c a ) (c c )(b a ) V V cos * = * * = = abc2 sin a sin b | a b | bc sin a ca sin b V V cosa cos b cos = 同样可求 得α *, β *。 sin a sin b
a=bc, a=b==90
简单三角
四方 六角 立方
简单四方 体心四方
a=b, 六角 b==90, a=120 a=b=c, a=b==90 简单立方，体心立方 面心立方
七大晶系所要求最低的对称性
晶系 三斜 最低特征对称素 无对称素 晶胞形状 任意的平行六面体
单斜 正交 三角 四方 六角 立方
a = = d(200) 2 2 2 2 2 0 0
\ (200)
(110)
a
intersects with
a d(110) = 2 2 2 = 2 1 1 0
\ (110)
晶面间距
晶面间距(d)公式：
立方晶系：
1 d hkl
2
h k l = 2 a
2 2
2
h k l 四方晶系： = 2 2 2 a c d hkl 2 2 2 1 h k l 正交晶系： = 2 2 2 2 b c d hkl 1
晶体学基础3
晶体学基础31．5．2倒格子的性质倒格子具有以下基本性质：（1）以倒格子基矢b 1,b 2,b 3为棱边构成的平行六面体称为倒格子原胞，其体积为v *。
()31232*()cv v π=⋅⨯=b b b …………………（1-5-3）（2）倒格矢112233h h h h =++G b b b 和正格子空间中面指数为（h 1h 2h 3）的晶面族正交，即G h 沿晶面族的法线方向。
我们知道，晶面族中最靠近原点的晶面ABC 在123,,a a a 上的截距分别为312123,,a a a h h h ，如图1-18所示，易写出矢量CA 和CB ：31133223h h h h =-=-=-=-a a CA OA OC a a CB OB OC ………………………………………………………（1-5-4）矢量CA 和CB 都在ABC 面上，因此，只要证明00h h ⋅=⎧⎨⋅=⎩G CA G CB ，则就能说明112233h h h h =++G b b b 与面指数为（h 1h 2h 3）的晶面族正交。
实际上，利用关系式（1-5-2），有31112233133211223323()()0,()()0.h h h h h h h h h h h h ⋅=++⋅-=⋅=++⋅-=a a G CA b b b a a G CB b b b …………………………………………（1-5-5）（3）晶面族（h 1h 2h 3）的面间距d h 与倒格矢G h 的模成反比，关系为2h hd π=G 。
图1-18中ABC 面就是晶面族（h 1h 2h 3）中距原点最近的晶面，所以这族晶面的面间距d h 就等于原点到面ABC 的距离，而之族晶面的法线方向即为G h 的方向，其面间距为1112233111112233()2h h h hh h h d h h h h h π⋅++=⋅==++G a b b b a G b b b G 。
晶体几何学基础
倒易点阵中，晶面（uvw）*的面间距duvw*是正点阵中同 名矢量长度ruvw的倒数，即duvw*＝1/ruvw。
课堂习题
1. 试求出立方晶系[111]晶带的倒易点阵平面。
解： 利用晶带定律：HU+KV+LW=0 ⅰ，用试探法，根椐晶带定律找出不共线的的两个倒易点。
倒易点阵的作法
首先求基矢，然后利用基矢绘图。 由a,b,c,α,β,γ求a*,b*,c*,α*,β*,γ*进而求倒易点阵.
同样可求 得b*,c*。
a*
b*
|
a*
||
b*
|
cos
*
cos *
|aa**bb**|
b
c
c
a
VV
bc sin ca sin
代入晶带定律检证 110 101 ⅱ，利用公式计算两倒易点对应倒易矢量的长度和夹角。
| r* | H 2 K 2 L2 2 | r* |
110
a
a
101
cos
H1H 2 K1K 2 L1L2
111 0 01 1
H
2 1
K12
L12
H
2 2
K
正空间
晶带与倒易面
ruv w
(h3k3l3 )
(h2k2l2 )
晶带正空间 与倒空间对 应关系图
倒空间
a2
1 d hk l 2
h2 k2 a2
l2 c2
1 d hk l 2
h2 a2
晶体学基础
0.25A-1 020 120 220
b (110)
010 110 210
(100) b* H110
H 210
(210)
100
c
a
c* 000
a*
200
晶体点阵
倒易点阵
立方晶系晶体及其倒易点阵
第三章 X射线衍射方向
自伦琴发出X射线后，许多物理学家都在积极地研究和探索，1905年 和1909年，巴克拉曾先后发现X射线的偏振现象，但对X射线究竟是一 种电磁波还是微粒辐射，仍不清楚。1912年德国物理学家劳厄发现了 X射线通过晶体时产生衍射现象，证明了X射线的波动性和晶体内部结 构的周期性，发表了《X射线的干涉现象》一文。
cosa0 H cos0 K
衍射线
1' X
1
显然，当X射线照射二 维原子网时，X、Y晶轴 方向上的那些同轴的圆 锥面上的衍射线要能够 加强，只有同时满足劳 厄第一和第二方程，才 能发生衍射。
衍射线只能出现在沿X晶轴方向及Y晶轴方向的两系列 圆锥簇的交线上。如果照相的底片平行于原子网，圆 锥在底片上的迹线为双曲线。每对双曲线的交点即为 衍射斑点，也相当于圆锥的交线在底片上的投影。不 同的H，K值，可得到不同的斑点。
劳厄的文章发表不久，就引起英国布拉格父子的关注，他们都是X射 线微粒论者，年轻的小布拉格经过反复研究，成功地解释了劳厄的实 验事实。他以更简结的方式，清楚地解释了X射线晶体衍射的形成， 并提出著名的布拉格公式：nX=2dsino这一结果不仅证明了小布拉格的 解释的正确性，更重要的是证明了能够用X射线来获取关于晶体结构 的信息。老布拉格则于1913年元月设计出第一台X射线分光计，并利 用这台仪器，发现了特征X射线。小布拉格在用特征X射线与其父亲合 作，成功地测定出了金刚石的晶体结构，并用劳厄法进行了验证。金 刚石结构的测定完美地说明了化学家长期以来认为的碳原子的四个键 按正四面体形状排列的结论。这对尚处于新生阶段的X射线晶体学来 说用于分析晶体结构的有效性，使其开始为物理学家和化学家普遍接 受。
第3章 晶体学基础 - 晶体结构、晶向、晶面
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21
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1.动画--晶面指数的确定方法
22
2.晶面指数特点与规律：
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（1)与原点位置无关；每一晶面符号对应一组相互平行的晶面。 晶面符号代表在原点同一侧的一组相互平行且无限大的 晶面，而不是某一晶面。 (2) 若晶面指数相同，但正负符号相反，则两晶面是以点为 对称中心，且相互平行的晶面。如（110）和（110）互 相平行。
2014-9-26 此处添加公司信息 3
3.1.1 晶体与非晶体
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准晶:是一种介于晶体和非晶体之间的固体。 准晶具有完全有序的结构，然而又不具有晶 体所应有的平移对称性，因而可以具有晶体所不允 许的宏观对称性。准晶是具有准周期平移格子构造 的固体，其中的原子常呈定向有序排列，但不作周 期性平移重复，其对称要素包含与晶体空间格子不 相容的对称（如5次对称轴） 瑞典皇家科学院将2011年诺贝尔化学奖授予 以色列科学家达尼埃尔· 谢赫特曼，以表彰他“发 现了准晶”这一突出贡献。准晶的发现从根本上改 变了以往化学家对物体的构想。
Total: 24
29
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{123} (123) ( 1 23) (123) (12 3) (132) ( 1 32) (1 3 2) (132) (231) ( 231) (2 3 1) (23 1 ) (213) ( 213) (2 1 3) (21 3) (312) ( 3 12) (3 1 2) (312) (321) ( 3 21) (321) (32 1 )
28
立方晶系： {111}=?
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Total:? 立方晶系：
{112} (112) ( 1 12) (1 1 2) (112) (121) ( 1 21) (121) (12 1 ) (211) ( 211) (2 1 1) (21 1 )
第3章 晶体学基础 - 晶体结构、晶向、晶面
（3） 晶面指数是截距系数的倒数，因此，截距系数越大， 则相应的指数越小，而当晶面平行某一晶轴时，其截距 系数为∞，对应的指数为1/∞＝0.
23
（100）与 ［100］有何关系？
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（4)立方晶系中：相同指数（指数和符号均相同）的晶向和 晶面互相垂直，即同指数的晶向是晶面的法线方向。如： [111] ⊥（111）、[110] ⊥（110）、[100] ⊥（100）。 该规律适用于三根晶轴相互垂直时，如果三轴不相互垂直， 则(hkl)与[hkl]不垂直。
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1.动画--晶面指数的确定方法
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2.晶面指数特点与规律：
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（1)与原点位置无关；每一晶面符号对应一组相互平行的晶面。 晶面符号代表在原点同一侧的一组相互平行且无限大的 晶面，而不是某一晶面。 (2) 若晶面指数相同，但正负符号相反，则两晶面是以点为 对称中心，且相互平行的晶面。如（110）和（110）互 相平行。
（3）如果是非立方晶系，改变晶向指数的顺序所表 示的晶向可能不等同。如正交晶系[100]、[010]、 [001] 19
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<U V W>晶向族：等价晶向 e.g., <100>=[100]+[010]+[001] +[100]+[010]+[001] (立方晶体)
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3.3.2 晶面指数的标定
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立方晶系： {111}=?
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Total:? 立方晶系：
{112} (112) ( 1 12) (1 1 2) (112) (121) ( 1 21) (121) (12 1 ) (211) ( 211) (2 1 1) (21 1 )
晶体学基础第五章-晶面间距与晶格常数
晶面间距与晶格常数第五章 晶体的质点堆积与缺陷¾ 密堆积原理 ¾ 配位数和配位多面体 ¾ 化学键和晶格类型¾ 晶体的缺陷晶体化学晶体化学：研究晶体结构和晶体化学组成与其性质之间的关系和规律性的分支学科。
材料科学：晶体结构=空间点阵+基元Na+Cl-•晶体结构中的质点（阵点或基元）可以是原子、离子 或分子。
•晶体化学主要阐述这些质点的特性：离子类型、离子 和原子半径等； •讨论质点在组成晶体结构时的相互作用和规律：离子 或原子相互结合时的堆积方式和配位形式、键和晶格 类型。
z 理论半径：将原子或离子的电子云分布视为球形，其半 径为原子或离子的理论半径。
• 原子在形成化学键时，总要有一定程度的轨道重叠，而且 与不同的原子分别成化学键时，原子轨道重叠的程度又各 有不同，因此单纯地把原子半径理解成原子最外层电子到 原子核的距离是不严格的。
z 有效半径：以键长数据为基础，由实验方法得到的原子或 离子的半径，称为原子或离子的有效半径。
共价半径、金 属半径、范德华半径。
• 原子或离子半径的影响因素：价态、配位数、电子自旋态• 原子和离子半径的大小，特别是相对大小对晶体结构中的质 点的排列方式影响很大。
其对理解和阐明晶体结构类型的变化、 晶体化学组成的变异以及有关物理性质的变化都是非常重要的。
元素的原子半径和共价半径原子或离子半径的基本规律原子或离子半径的影响因素：价态、配位数、电子自旋态z 同种元素原子半径: 共价半径 < 金属原子半径 z 同种元素离子半径:阳离子半径小于原子半径，价态高半径小； 阴离子半径大于原子半径，负价高半径大； 氧化态相同，配位数高半径大； z 同族元素: 原子和离子半径随周期数增加而增大 z 同周期元素: 原子和离子半径随Z的增加而减小 z 从周期表左上到右下对角线上，阳离子半径近于相等 z 镧系和锕系:阳离子半径随Z增加而略有减小 z 通常, 阳离子半径都小于阴离子半径。
晶体学基础
3. 描述晶胞的六参数 晶胞的尺寸和形状可用点阵参数来描述，它包括晶胞的各 边长度和各边之间的夹角。
图 晶胞、晶轴和点阵参数
§2.2.2 晶系和布拉菲点阵
1.晶系
奥古斯特·布拉菲（Auguste Bravais，又译布拉伐、布喇菲，1811年 －1863年），法国物理学家，于1845年得出了三维晶体原子排列的所 有14种布拉菲点阵结构，首次将群的概念应用到物理学，为固体物理 学做出了奠基性的贡献。除此之外，布拉菲还对磁性、极光、气象、 植物地理学、天文学和水文学等方面进行过研究。
图 几种晶体结构的点阵分析 (a) γ-Fe (b) NaCl (c) CaF2 (d) ZnS
§2.2.3 晶面指数和晶向指数
在材料科学中，讨论晶体的生长、变形和 固态相变等问题时，常要涉及到晶体的某些 方向（晶向）和某些平面（晶面）。
晶向：空间点阵中各阵点列的方向。
晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平 面。
国际上通用米勒指数标定晶向和晶面。
William H. Miller 矿物学家
（1801-1880，英国）
1.晶向指数的标定
晶体中点阵方向的指数，由晶向上 阵点的坐标值决定。
(1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐 标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向 上； (2)确定该晶向上距原点最近的一个阵点P的三个坐标值 (xa，yb，zc)； (3)将x，y，z化成最小的简单整数比u，v，w，且 u∶v∶w = x∶y∶z； (4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。
晶体结构和空间点阵的区别
空间点阵是晶体中质 点排列的几何学抽象， 用以描述和分析晶体 结构的周期性和对称 性，由于各阵点的周 围环境相同，它只能 有14中类型
晶体定向和晶体学符号
c b O a
邻近两平行晶面间的垂直距离称为 晶面间距； • 从原点作（h k l）晶面的法线； • 法线被最近邻的（h k l）面所交截 的距离即是晶面间距。
•
*
• 立方晶系晶面夹角
晶面夹角 —— 晶面法线之间的夹角
晶面与 晶面的夹角为
• 立方晶系中晶向 [h k l] 与晶面 (h k l) 垂直
晶体学基础
第三章
晶体定向和晶体学符号
Chapter Outline
晶胞选取原则 晶体学坐标系 各晶系的定向方法 原子坐标 晶向指数 晶面指数 晶带指数 晶面间距与晶面夹角
晶胞及其选取原则
空间点阵按照平行六面体划 分为许多形状和大小相同的网 格，此平行六面体称为点阵晶 胞或单元晶胞（Unit cell）。
晶面间距与晶格常数
SUMMARY
• 晶胞选取原则
• 各晶系的定向方法
• 晶向指数 • 晶面指数 • 晶带定律 • 晶面间距与晶面夹角
23
晶向指数
晶向指数
确定晶向指数4步骤
1）确定坐标系，过原点作平行于欲求晶向的直线； 2）求该直线上任一点的坐标（a，b，c）； 3）将此3个坐标值化成最小整数 u，v，w； 4）加以方括号，即[u v w]。
简单立方晶格的晶向标志
立方边OA的晶向 立方边共有6个不同的晶向
晶向族<u v w>
晶向族代表由对称性联系的一系列等同晶向 的组合。
同一晶面族具有类似的指数。
{1010}: (1010), (0110), (1100) (1010), (0110), (1100)
4轴坐标晶向指数 [u v t w]
固体物理实验方法课]第1章_晶体学基础
![固体物理实验方法课]第1章_晶体学基础](https://img.taocdn.com/s3/m/e5f159e4700abb68a882fb09.png)
1.2 晶体结构与空间点阵
1.2.5 晶向、晶面及晶向、晶面指数
晶向指数的确定
1. 建立坐标系，结点为原点，三棱为方向，点阵 常数为单位 ； 2. 在晶向上任两点的坐标(x1 , y1 , z1) (x2 , y2 , z2)。 ( 若平移晶向或坐标，让在第一点在原点则下 一步更简单)； 3. 4. 5. 计算x2 - x1 ： y2 - y1 ： z2 - z1 ； 化成最小、整数比 u：v：w ；
其中，a 、b、 c；α、β、γ 为正点阵参数
1.3 倒易点阵
1.3.3 倒易点阵参数的大小和方向
（1） a* b a* c b* a b* c c* a c* b 0
因此，倒易点阵的基本矢量垂直于正点阵中异名矢量构成的平面。 a*垂直于b与c两个矢量构成的平面。同样b*（或c*）垂直于a与c（a与b） 两个矢量构成的平面。
倒易点阵是晶体结构周期性在傅立叶空间中的数学抽象。 如果把晶体点阵本身理解为周期函数，则倒易点阵就是晶体点 阵的傅立叶变换，反之晶体点阵就是倒易点阵的傅立叶逆变换。
所以，倒易点阵只是晶体点阵在不同空间 ( 波矢空间 ) 的
反映。
1.3 倒易点阵
1.3.4 倒易矢量
1、定义： 从倒易点阵原点向任一倒易阵 点所连接的矢量叫倒易矢量，表示为： r* = Ha* + Kb* + Lc*
晶包大小与形状
1.2 晶体结构与空间点阵
1.2.2 基本矢量与晶包
同一个点阵可以由不同的平行六面体晶胞 叠成。即可以任意选择不同的坐标系与基本矢 量来表示。 为了表达最简单，应该选择最理想、最适 当的基本矢量作为坐标系统。即是以结点作为 坐标原点，（ 1 ）选取基本矢量长度相等的数 目最多、（ 2 ）其夹角为直角的数目最多，且 （ 3 ）晶胞体积最小。这样的基本矢量构成的 晶胞称为布拉菲（BRAVAIS）晶胞。
材料科学基础知识点整理
材料科学与基础第一章晶体结构第一节晶体学基础一、空间点阵晶体中原子或分子的空间规则排列，阵点周围环境相同，在空间的位置一定。
（一）晶胞点阵中取出的一个反映点阵对称性的代表性基本单元。
通过晶胞角上的某一阵点，沿其三个棱边作坐标轴X、Y、Z（称为晶轴），则此晶胞就可由其三个棱边的边长a、b、c（称为点阵常数）及晶轴之间的夹角α、β、γ六个参数表达出来。
事实上，采用三个点阵矢量a、b、c来描述晶胞更方便。
（二）晶系（三）布拉菲点阵只能有14种空间点阵，归属于7个晶系。
（四）晶体结构与空间点阵最简单的空间格子，又叫原始格子，以P表示。
对称性高的为高级晶族。
二、晶向指数和晶面指数（一）晶向指数1.以晶胞的晶轴为坐标轴X、Y、Z，以晶胞边长作为坐标轴的长度单位。
2.从晶轴系的原点O沿所指方向的直线取最近一个阵点的坐标u、v、w。
3.将此数化为最小整数并加上方括号，即为晶向指数。
[100],[110],[111̅]晶向指数表示所有相互平行、方向一致的晶向。
晶体中因对称关系而等同的各组晶向可并为一个晶向族，用<uvw>表示。
（二）晶面指数1.对晶胞作晶轴X、Y、Z以晶胞的边长作为晶轴上的单位长度。
2.求出待定晶面在三个晶轴上的截距（如该晶面与某轴平行，则截距为∞）。
3.取这些截距数的倒数。
4.将上述倒数化为最小的简单整数，并加上圆括号，即表示该晶面的指数，记为（hkl ）晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着一组相互平行的晶面。
（化简相等）在晶体中，具有等同条件而只是空间位向不同的各组晶面，可归并为一个晶面族，用｛hkl ｝表示。
在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面必定是相垂直的。
即[hkl ]⊥{hkl} （三）六方晶系指数晶面指数以（hkil ）四个指数来表示，有h +k +i =0； 晶向指数以[uvtw]表示，有u +v +t =0。
六方晶系按两种晶轴系所得的晶面指数和晶向指数可相互转换如下：对晶面指数来说，从（hkil ）转换成（hkl ）只需去掉i ；对晶向指数，[UVW]与[uvtw]的关系为：U =u −t; V =v −t; W =w 。
六方晶系的晶面间距公式为
五、十四种布拉菲（Bravais）点阵
在晶体结构理论中，按照对称的特点将自然界的晶体物质 分成七个晶系，每个晶系都有互相对应的空间点阵，布拉 菲于1848年用布拉菲晶胞证实了七种晶系共仅有十四种 可能的点阵，后人为了纪念他的这一重要论断，称为布拉 菲点阵。
六、 晶体的32种点群及符号
任何一种晶体结构都可能同时具有多种对称元素。在有限 对称图形中由宏观对称元素组合成的对称元素群称为点群。 之所以称为点群，是因为构成它的对称元素必须至少相交 于一点，此点称为点群中心。利用数学方法推导出，点群 只可能有32种。
§2.1 晶体的特征
在自然界的固态物质一般分晶体和非晶体两大类， 绝大多数是晶体，非晶体在一定条件下也可以转 变成晶体。两者的主要差别就在于它们是否具有 周期排列的内部结构。 晶体是由原子、分子或离子等在空间周期地排列 构成的固体物质。在晶体中，原子、分子或离子 等按照一定的方式在空间作周期性规律的排列， 隔一定的距离重复出现，具有三维空间的周期性。
§2.3 晶体的定向和 晶面符号
空间点阵中的结点平面相当于晶体结构中的晶面。在晶体 学中结点平面的空间取向用晶面指数（或称密勒Miller， W.H.指数）来表示。
一、晶向
晶体的定向就是确定晶面在空间的位置。它包括两个方面 的内容，即选择坐标轴（晶轴）和确定单位或其相对比例 （轴率）。 1、晶轴的选择：优先选择对称轴为晶轴；在缺少对称轴时， 可以选择对称面法线。 2、轴单位的确定：轴单位是指在结晶轴上度量距离时，用 作计量单位的那段长度，它等于该行列上的结点间距。
立方晶系的晶面间距公式为：
d
a
h2 k2 l2
四方晶系的晶面间距公式为：
d
1
h2 k2 l2