多项式练习题参考答案

多项式练习题参考答案

一、填空题

1..13)(,14)(234--=--=x x x g x x x f 则)(x f 被)(x g 除所得的商式为22x x --,余式为73x --.

2．(),(),(),()[],()()()()2,f x g x u x v x P x u x f x v x g x ∈+=若则((),())f x g x = 1 ((),())u x v x = 1 ．

3.10()[]0,()|(),((),())n n n f x a x a x a P x a f x g x f x g x =+++∈≠=且1()n f x a . 4．1,42,0),3)(1(,232-++-+x x x x x 中是本原多项式的为22,(1)(3),x x x +-+ 31x -.

5. 多项式200120002322002()4(54)21(8112)f x x x x x x ⎡⎤=----+⎣⎦的所有系数之和＝

1 （取1x =得到），常数项＝20022-（取0x =得到）.

6. 能被任一多项式整除的式项式是 零多项式 ；能整除任意多项式的多项式一定是 零次多项式 .

7.多项式()f x 除以(0)ax b a -≠的余式为()b f a . 8. 设3232235(2)(2)(2)x x x a x b x c x d -+-=-+-+-+，则,,,a b c d 的值为 2，9，23，13 .

9.5432()41048f x x x x x x =++--+在有理数上的标准分解式是23(1)(2)x x -+. 10. 242322x x x mx px +++-+，则m = -6 ，p = 3 .

二、判断说明题(先判断正确与错误,再简述理由)

1．若),()()()()(x d x g x v x f x u =+则)(x d 必为)(x f 与)(x g 的最大公因式. 错.如()1,()1,()1,()f x x g x x u x x v x x =-=+=+=-，则()1d x x =--，但)(x f 与)(x g 互素.

2．若)(),()(|)(x p x g x f x p 在P 上不可约，且)]()([|)(x g x f x p +，则)(|)(x f x p 且

).(|)(x g x p

对.由)(),()(|)(x p x g x f x p 在P 上不可约可得)(|)(x f x p 或).(|)(x g x p 若

)(|)(x f x p ，

又)]()([|)(x g x f x p +，因此()|[()()]()p x f x g x f x +-，即).(|)(x g x p 3．设)(),(x f x p 为P 上的多项式，且)(x p 不可约.若)(x p 为)('x f 的k 重因式,则)(x p 必为)(x f 的1+k 重因式．

错.如25()(2)5f x x =++，22x +是)('x f 在Q 上的4重因式，但22x +不是)(x f 的因式.

4．有理系数多项式)(x f 在Q 上可约,则)(x f 有有理根.

错.如()f x =4224(2)(2)x x x -=+-在Q 上可约，但)(x f 没有有理根.

5.若q p

是整系数多项式()f x 的根，,p q 为互素的整数，则()(1)p q f -. 对. 由q p

是整系数多项式()f x 的根可得px q -为()f x 的因式，即 ()()()f x px q g x =-，且()g x 是整系数的，取1x =可得()(1)p q f -.

6.奇数次实系数多项式在实数域上一定有实根，因此在实数域上一定可约. 错.一次实系数多项式有实根但不可约.

7. 若()()f x h x 且()()g x h x ，则()()()f x g x h x .

错.缺(),()f x g x 互素.

8. 若()|()g x f x 则()(),()1f x g x =.

错.如231|1x x --/

，但23(1,1)1x x x --=- 9. 数域P 上的任意一个不可约多项式()p x 在复数域内没有重根. 正确.

10. 多项式()f x 有重根当且仅当()f x 有重因式.

与所考虑的范围有关，在复数域上正确，在其它数域上有重因式未必有重根.

三、计算题

1．设,12)(,12)(3234+-=-+--=x x x g x x x x x f 求))(),((x g x f 以及),(),(x v x u 使)).(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+

解：利用辗转相除法得

2112122123()()()()()(1),

()()()()()(1)1,()()()(1)().

f x

g x q x r x g x x x x g x r x q x r x x x x x r x r x q x x x =+=-+-=+=-+-+==-+-

因此((),()) 1.f x g x x =-又

21212212()()()()()(()()())()

()()(1()()).r x g x r x q x g x f x g x q x q x q x f x q x q x =-=--=-++

2212((),())()()()(1()())()f x g x r x q x f x q x q x g x =-=-+.

所以2212()()1,()1()()1(1)(1).u x q x x v x q x q x x x x ==+=--=---+=-

2．设234)(235+-+-=x x x x x f

(1)判断)(x f 在R 上有无重因式?如果有,求出所有的重因式及重数;

(2)求)(x f 在R 上的标准分解式.

解:（1）42()538 3.f x x x x '=-+-运用辗转相除法可得：2((),())1f x f x x x '=-+. 21x x -+为)(x f 在R 上二重因式.

(2)由(1)可得)(x f 在R 上的标准分解式为

22()(1)(2)f x x x x =-++.

解法2: )(x f 的可能有理根为1,2±±,经检验2-为)(x f 的有理根,由综合除法可得

2101432

2464212

3210--------

因此有43222()(2321)(2)(1)(2)f x x x x x x x x x =-+-++=-++.21x x -+为