统计学常用分布及其分位数

§1.4 常用的分布及其分位数1. 卡平方分布卡平方分布、t 分布及F 分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。

当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从N(0,1)时，Z=∑ii X 2 的分布称为自由度等于n 的2χ分布，记作Z ～2χ(n)，它的分布密度 p(z )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ--,,00,2212122其他z e x n z n n 式中的⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ2n =u d e u u n ⎰∞+--012，称为Gamma 函数，且()1Γ=1，⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ21=π。

2χ分布是非对称分布，具有可加性，即当Y 与Z 相互独立，且Y ～2χ(n )，Z ～2χ(m )，则Y+Z ～2χ(n+m )。

证明: 先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独立且都服从N(0,1)，再根据2χ分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令Y=X 21+X 22+…+X 2n ，Z=X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +，Y+Z= X 21+X 22+…+X 2n + X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +，即可得到Y+Z ～2χ(n +m )。

2. t 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～N(0,1)，Y ～2χ(n )，则Z =nY X 的分布称为自由度等于n 的t 分布，记作Z ～ t (n )，它的分布密度P(z)=)()(221n nn ΓΓ+2121+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n z 。

请注意：t 分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。

这时， t 分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。

3. F 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～2χ(n )，Y ～2χ(m )， 则Z=mY n X的分布称为第一自由度等于n 、第二自由度等于m 的F 分布，记作Z ～F (n , m )，它的分布密度 p(z)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++-⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ•。

其他,00,2)(1222222z m n z n m n z m n m n m m n n 请注意：F 分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当Z ～F (n , m )时，Z1～F (m ,n )。

4. t 分布与F 分布的关系若X ～t(n )，则Y=X 2～F(1,n )。

证：X ～t(n )，X 的分布密度p(x )=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ221n n n π2121+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n x 。

Y=X 2的分布函数F Y (y ) =P{Y<y }=P{X 2<y }。

当y ≤0时，F Y (y)=0，p Y (y )=0；当y >0时，F Y (y ) =P{-y <X<y } =x d x p y y )(⎰-=2x d x p y )(0⎰， Y=X 2的分布密度p Y (y )=21)(121221212n y n y n n n n ++-⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ•，与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度相同，因此Y=X2～F(1,n)。

为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。

但是，解应用问题时，通常是查分位数表。

有关分位数的概念如下：4. 常用分布的分位数1）分位数的定义分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用的需要，有三种不同的称呼，即α分位数、上侧α分位数与双侧α分位数，它们的定义如下：当随机变量X的分布函数为F(x)，实数α满足0 <α<1 时，α分位数是使P{X< xα}=F(xα)=α的数xα，上侧α分位数是使P{X >λ}=1-F(λ)=α的数λ，双侧α分位数是使P{X<λ1}=F(λ1)=0.5α的数λ1、使P{X>λ2}=1-F(λ2)=0.5α的数λ2。

因为1-F(λ)=α，F(λ)=1-α，所以上侧α分位数λ就是1-α分位数x1-α；F(λ1)=0.5α，1-F(λ2)=0.5α，所以双侧α分位数λ1就是0.5α分位数x0.5α，双侧α分位数λ2就是1-0.5α分位数x1-0.5α。

2）标准正态分布的α分位数记作uα，0.5α分位数记作u 0.5α，1-0.5α分位数记作u1-0.5α。

当X～N(0,1)时，P{X< uα}=F 0,1(uα)=α，P{X<u0.5α}= F 0,1 (u0.5α)=0.5α，P{X<u1-0.5α}= F 0,1 (u1-0.5α)=1-0.5α。

根据标准正态分布密度曲线的对称性，当α=0.5时，uα=0；当α<0.5时，uα<0。

uα=-u1-α。

如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数，则先查出 u1-α，然后得到uα=-u1-α。

论述如下：当X～N(0,1)时，P{X< uα}= F 0,1 (uα)=α，P{X< u1-α}= F 0,1 (u1-α)=1-α，P{X> u1-α}=1- F 0,1 (u1-α)=α，故根据标准正态分布密度曲线的对称性，uα=-u1-α。

例如，u 0.10=-u 0.90=-1.282，u 0.05=-u 0.95=-1.645，u 0.01=-u 0.99=-2.326，u 0.025=-u 0.975=-1.960，u 0.005=-u 0.995=-2.576。

又因为P{|X|< u1-0.5α}=1-α，所以标准正态分布的双侧α分位数分别是u1-0.5α和-u1-0.5α。

标准正态分布常用的上侧α分位数有：α=0.10，u 0.90=1.282；α=0.05，u 0.95=1.645；α=0.01，u 0.99=2.326；α=0.025，u 0.975=1.960；α=0.005，u 0.995=2.576。

χα(n)。

3）卡平方分布的α分位数记作2χα(n)>0，当X～2χ(n)时，P{X<2χα(n)}=α。

2χ0.005(4)=0.21，2χ0.025(4)=0.48，例如，2χ0.05 (4)=0.71，2χ0.95(4)=9.49，2χ0.975(4)=11.1，2χ0.995(4)=14.9。

24）t分布的α分位数记作tα(n)。

当X～t (n)时，P{X<tα(n)}=α，且与标准正态分布相类似，根据t分布密度曲线的对称性，也有tα(n)=-t1-α(n)，论述同uα=-u1-α。

例如，t0.95(4)=2.132，t 0.975(4)=2.776，t 0.995(4)=4.604，t 0.005(4)=-4.604，t 0.025(4)=-2.776，t 0.05(4)=-2.132。

另外，当n>30时，在比较简略的表中查不到tα(n)，可用uα作为tα(n)的近似值。

5）F分布的α分位数记作Fα(n , m)。

Fα(n , m)>0，当X～F (n , m)时，P{X<Fα(n , m)}=α。

另外，当α较小时，在表中查不出F α(n , m )，须先查F 1-α(m , n )，再求F α(n , m )=),(11n m F α-。

论述如下： 当X ～F(m , n )时，P{X< F 1-α(m , n )}=1-α， P{X 1>),(11n m F α-}=1-α，P{X 1<),(11n m F α-}=α， 又根据F 分布的定义，X 1～F(n , m )，P{X 1<F α(n , m ) }=α， 因此 F α(n , m )= ),(11n m F α-。

例如，F 0.95 (3,4)=6.59，F 0.975 (3,4)=9.98，F 0.99 (3,4)=16.7，F 0.95 (4,3)=9.12，F 0.975 (4,3)=15.1，F 0.99 (4,3)=28.7，F 0.01 (3,4)=7.281，F 0.025 (3,4)=1.151，F 0.05 (3,4)=12.91。

【课内练习】1. 求分位数①χ20.05(8)，②χ20.95(12)。

2. 求分位数① t 0.05(8)，② t 0.95(12)。

3. 求分位数①F 0.05(7,5)，②F 0.95(10,12)。

4. 由u 0.975=1.960写出有关的上侧分位数与双侧分位数。

5. 由t 0.95(4)=2.132写出有关的上侧分位数与双侧分位数。

6. 若X ～χ2(4)，P{X<0.711}=0.05，P{X<9.49}=0.95，试写出有关的分位数。

7. 若X ～F(5,3)，P{X<9.01}=0.95，Y ～F(3,5)，{Y<5.41}= 0.95，试写出有关的分位数。

8. 设X 1、X 2、…、X 10相互独立且都服从N(0,0.09)分布,试求P{X i i2∑>1.44}。

习题答案：1. ①2.73，②21.0。

2. ①-1.860，②1.782。

3. ①1488.，②3.37。

4. 1.960为上侧0.025分位数，-1.960与1.960为双侧0.05分位数。

5. 2.132为上侧0.05分位数，-2.132与2.132为双侧0.1分位数。

6. 0.711为上侧0.95分位数，9.49为上侧0.05分位数，0.711与19.49为双侧0.1分位数。

7. 9.01为上侧0.05分位数，5.41为上侧0.05分位数，1901.与5.41为双侧0.1分位数，1541.与9.01为双侧0.1分位数。

8. 0.1。