静电场散度定理推导
第2章静电场
“立个球面”的立体角＝？ 2. “任意曲面”dS对“某点”所张的立体角 (1) 以R0为半径的“球面”
3. “立体角”的重要结论
散度方程微分形式的引出：
请注意：此处的ρ 是指自由电荷的体密度ρvf ！
（强调）散度方程
• 物理意义： 它们描述了静电场的发散性，给出了通过封闭面的 电通量与面内所围电荷量之间的关系； • 积分形式说明： 任意封闭面的电通量＝面内所围电荷总量； 电通量为0，则封闭面内不包含电荷，即面内无源; 进而说明：静电场具有通量源，即自由电荷。 • 微分形式说明： 静电场(电位移)散度＝该点处电荷体密度; 进而，静电场具有散度源，即自由电荷的体密度。
例2. 求电荷分布
已知真空中电场分布,求各处电荷分布的体密度. 分析: 由电场分布可知, 球对称, 电场只有径向分量； 可以直接运用散度方程求解； 仍要分球内和球外两种情况；
作业
• 试计算电荷面密度为σ 的无限大平面周围 的电场。
静电场的旋度方程
• 首先应注意，这是静电场，不是任意电场； • 积分形式: 电场沿任意闭合曲线的积分为0； C指任意闭合曲线； C自身方向与C所围曲面方向满足右手规则； 积分式即电场的环流量； • 微分形式: 静电场的旋度为0 无论在有源区还是无源区； 电荷是静电场的什么源？体密度是什么源？
真空中距离为R的两点电荷q1，q2 q1对q2的作用力，电荷量正比，距离平方反比 矢量方向：q1指向q2 真空中介电常数(Dielectric Constant)
1 12 0 8.85 10 ( F / m) 9 4 9 10
真空中静止点电荷的电场强度
q 2受到的电场力：F R, q1 , q2
总结1：
库仑定律(真空中静止电荷电场)
静电场的麦克斯韦方程组
静电场的麦克斯韦方程组引言静电场是电磁学中的一种特殊情况，指的是电荷分布保持不变或者运动速度远小于光速的情况下所产生的电场。
静电场的研究对于理解电磁现象以及应用于各个领域都具有重要意义。
麦克斯韦方程组是描述电磁现象最基本、最完整的数学表达式，其中包含了静电场的方程组。
麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组由四个基本方程构成，分别是： 1. 高斯定律（Gauss’s law）：描述了电场与其周围电荷分布之间的关系。
2. 高斯定律（Gauss’s law for magnetism）：描述了磁场与其周围磁荷分布之间的关系。
3. 法拉第电磁感应定律（Faraday’s law of electromagnetic induction）：描述了变化磁场引起感应电场产生。
4. 安培环路定律（Ampere’s circuital law）：描述了通过闭合回路的感应电流与该回路内部和周围磁场之间的关系。
这四个方程组成了静电场的麦克斯韦方程组，可以用来描述电场和磁场之间的相互作用以及它们随时间的变化。
静电场的麦克斯韦方程组推导首先，我们从高斯定律开始推导。
高斯定律表达了电场与其周围电荷分布之间的关系，数学形式如下：∇⋅E=ρε0其中，∇是梯度算子，E是电场强度，ρ是电荷密度，ε0是真空介电常数。
接着，我们来推导高斯定律对应的积分形式。
假设我们有一个闭合曲面S，并且曲面内部没有自由电荷。
根据高斯定理（Gauss’s theorem），我们可以得到：∫(∇⋅E) S dS=1ε0∫ρSdS由于曲面内部没有自由电荷，所以右侧积分为零。
因此，我们得到了高斯定律的积分形式：∮ES⋅dS=0其中，S是曲面S的法向量，⋅表示点乘。
接下来，我们推导高斯定律对应的微分形式。
根据矢量分析中的散度定理（divergence theorem），我们可以将上述积分形式转换为微分形式：∇⋅E=0这就是高斯定律的微分形式。
接着，我们来推导高斯定律对应的磁场方程。
静电场的散度与旋度 恒定磁场及其散度与旋度
S
S
1 E ( r ) dS
0
(r ) E (r ) 0
F ( x, y, z ) dl
C
无
0
0
V
( r )dV
S
n
S
F
M
0
高斯定理表明：
C
电磁场与电磁波
第2章 电磁场的基本规律
电磁场与电磁波
第2章 电磁场的基本规律
第一课
2013/3/25
电磁场与电磁波
第2章 电磁场的基本规律
电磁场与电磁波
第2章 电磁场的基本规律
2.2.2 静电场的散度与旋度 1. 静电场散度与高斯定理 回顾1.1 矢量场通量的概念
F ( x, y, z )
1.2 通量的物理意义
en
dS
面积元矢量
dS en dS ——
en ——
d F en dS ——
R (r ) 3 dV R
(r ) R
R3
1 E (r )
0
V
(r ) R dV
V
V
1 dV 4 π 0
V
1 1 2.2.10) p43 (r ) dV 4 π 0 V R 1 1 E (r ) (r ) 2 dV 4π 0 V R 2 1 4 π R R 1 E (r ) (r ) R dV 2.2.11) p43
( R r r )
电磁场与电磁波
第2章 电磁场的基本规律
电磁场与电磁波
点电荷产生电场的散度和旋度
点电荷产生的电场散度和旋度是电场性质的重要描述。
首先，散度描述的是电场在某一点处的发散程度，也就是电场的源头——电荷在该点的分布情况。
对于点电荷来说，其电场散度可以通过计算得到。
在点电荷所在的位置，电场散度是无穷大，因为电荷在该点处集中，电场线从该点向外发散。
而在其他位置，由于电场线分布均匀，电场散度为零。
其次，旋度描述的是电场在某一点处的旋转程度，也就是电场在该点附近是否存在旋涡状的结构。
对于点电荷产生的电场来说，其旋度为零。
这是因为点电荷的电场线是径向分布的，不存在旋涡状的结构，因此电场在该点附近的旋转程度为零。
综上所述，点电荷产生的电场散度在电荷所在位置为无穷大，在其他位置为零；而其旋度处处为零，表示该电场是一个无旋场。
这些性质为我们理解和描述点电荷产生的电场提供了重要的理论基础。
电磁学讲义04-散度、环路、旋度定理
思考：如果已经知道电场分布，如何求电荷分布？•如图以P(x,y,z)点为中心，∆x ，∆y 和∆z 为边长，取小立方体。
先考虑与x 轴垂直的两个面贡献的通量，则只考虑A的x 分量即可：同理有：zy z y xx A z y z y x x A x x x ΔΔ•Δ−−ΔΔ•Δ+=),,2(),,2(φz y x yA yy ΔΔΔ∂∂=φz y x z A zz ΔΔΔ∂∂=φ则有散度：A A A A zy x z y x ∂+∂+∂=++=•∇φφφK )2(),,(),,2(x x A z y x A z y x x A x x x Δ±⋅∂∂+≈Δ±zy x x A z y x x A x x A x x x x ΔΔΔ∂∂=ΔΔ•⎥⎦⎤⎢⎣⎡Δ−∂∂−Δ∂∂≈)2(2φ利用全微分概念，有：则：电场的散度－讨论•电场某处的单位体积内的电通量正比于此处单位体积内的电荷量。
•电场的散度定理说明，在电荷体密度不是无穷大的点，场强矢量在该点连续，在各方向可求导。
•只适用于电荷体密度–而不能用于点电荷、线电荷、面电荷所在的位置，那些位置没法定义电荷的体密度。
同时这些位置的电场强度值无意义。
•可用于计算电荷分布。
•计算场强一般采用高斯定理积分形式，不必采用微分形式，即散度定理。
–教材P54例题4用散度定理求电场的方法少见。
§2.4静电场的高斯定理和环路定理－－静电场的矢量场理论(二)•静电场环路定理•静电场旋度定理# 旋度的定义•如前所述，在矢量场空间任意点，取任意一个方向，则存在一个围绕此方向的环量面密度。
在这一点，有无数个方向可以选择，也因此相应的存在无数个环路面密度。
这些环量面密度之间存在确定的关系。
•旋度：是一个矢量，取矢量场某一点的环量面密度的最大值为模，并取相应的曲面法线方向。
称为矢量场在该点的旋度，记为：–旋度是矢量!•绕任一方向的环量面密度等于旋度在这一方向的投影（证明略）A K ×∇n ˆn ˆA KA K静电场矢量场原理的总结•静电场：有源、无旋场。
【电磁学】高斯定理
【电磁学】高斯定理在高中物竞以及高考物理中经常出现高斯定理（高考物理中一般可以用对称法，填补法等等解出），建议阅读时间：7分钟一、高斯定理简介高斯定理（Gauss' law）也称为高斯通量理论（Gauss' flux theorem），或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式（通常情况的高斯定理都是指该定理，也有其它同名定理）。
在静电学中，表明在闭合曲面内的电荷之和与产生的电场在该闭合曲面上的电通量积分之间的关系。
高斯定律（Gauss' law）表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。
高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。
因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由平方反比律决定的物理量，例如引力或者辐照度。
在麦克斯韦方程组中也有麦克斯韦方程组对麦克斯韦方程组有兴趣的同学可以看看这篇文章，不过以后我也会讲的给一个百度百科的解释[1]好，我们开始了二、电场线电场线密度：经过电场中任一点，作一面积元 dS 并使它与该点的场强垂直，若通过 dS 面的电场线条数为 dN ,则电场线密度为 E=\frac{dN}{dS}可见，电场线密集处电场强度大，电场线稀疏处电场强度小电场强度通量：在电场中穿过任意曲面的电场线的总条数称为穿过该面的电通量，用 \phi_{c} 表示.匀强电场： \phi_{e}=EScos\theta ;非匀强电场：d\phi_{e}=EdS \Rightarrow \phi_{e}=\int_{S}^{}E·dS（哈哈，打不来矢量，看着有点恼火）3.电通量的正负在电磁学中是这样规定:1.对于不闭合的曲面(平面)S,可以任意选取电场线穿进S产生的电通量为正或为负，也就是说完全取决于 dS 与 E 的夹角.\theta<\frac{π}{2}时， \phi_{e}>0 ；\theta>\frac{π}{2}时， \phi_{e}<02.对于闭合的曲面(如球面),规定选取电场线穿出时的电通量为正.\phi_{e}=\iint_{S}EdS三、高斯定理内容穿过一封闭曲面的电通量与封闭曲面所包围的du电荷量成正比。
高斯定理
电场与磁场的散度定理和旋度定理磁通连续性原理散度定理(高斯定理)：一个矢量通过包围它的闭合面的总通量（矢量的面积分）等于该矢量的散度（和算子点乘）在该闭合面构成的体积内的体积分。
散度定理搭建了面积分与体积分之间的转换桥梁。
散度定理可用一个球图示。
散度定理是高斯定理在物理中的应用.即矢量穿过任意闭合曲面的通量等于矢量的散度对闭合面所包围的体积的积分旋度定理（斯托克斯定理）：一个矢量的闭合线积分等于矢量的旋度（和算子叉乘）在该闭合线围成的开放面上的面积分。
旋度定理搭建了线积分与面积分之间的转换桥梁。
旋度定理可用一个环图示。
散度定理和旋度定理是将麦克斯韦方程从积分形式向差分形式转化的基础，而麦克方程的差分形式方才便于求解。
高斯散度定律有"两个"，分别是对电通密度矢量和磁通密度矢量而言，也即分别描述电场和磁场。
高斯定律描述的是流出闭合面的电通/磁通总量与电场源/磁场源之间的对应关系。
1)对电场来说（闭合面内有电场源，对应流出闭合面的是电通总量），高斯定律描述如下：电通密度矢量D在S上的闭合面积分，等于电荷体密度在该闭合面围成的体积内的体积分。
D单位C/m^2，电荷体密度单位C/m^3。
电场高斯定律的物理意义是：流出闭合面的总电通量等于闭合面内包围的总正电荷。
也就是说，电场源是独立的，电场是一去不返的，从正电荷出发，到负电荷终止。
其微分方程如下:表示电场是有散场，这是由于自然界存在着自由电荷，因此，▽·E ≠0的地方，味着此处一定存在着净的正电荷或净的负电荷.（1）自然界存在着自由电荷，电子电荷的绝对值e 就是自由电荷的基本值.（2）静电场的场线即E 线始发于正电荷并终止于负电荷，也就是说静电场的E 线不是闭合曲线，它们没有涡旋状结构.即无旋.静电场的这种性质，反映在电场高斯定理和环路定理中.2)对磁场来说（对应流出闭合面的是磁通总量）(磁通连续性原理)，高斯定律描述如下：磁通密度矢量B在S上的闭合面积分，等于0。
电磁场公式整理
第一章标量三重积： 矢量三重积方向导：梯度：计算公式：矢量线方程:通量：散度：散度计算公式： 散度定理（高斯定理）： 旋度：斯托克斯定理： 拉普拉斯运算：第二章电流连续性方程微分形式：对于恒定电流场： )()()(B A C A C B C B A⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅CB A BC A C B A )()()(⋅-⋅=⨯⨯grad nu u en∂=∂zy x x y x∂∂+∂∂+∂∂=∇e e e ),,(d ),,(d ),,(d z y x F zz y x F y z y x F x z y x ==00cos cos cos |lim M l u u u u ul lx y z αβγ∆→∂∆∂∂∂==++∂∆∂∂∂d d d n SSψψF S F e S==⋅=⋅⎰⎰⎰ττ∆⋅=⎰→∆SSd F div F lim 0z F y F x F Sd F div z y x S ⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂=∆⋅=⎰→∆ττF lim⎰⎰⋅∇=⋅VSVF S F d dmax ]rot [F e F n n =⨯∇zy x z y xF F F z y xe e e F ∂∂∂∂∂∂=⨯∇=⎰⎰⋅⨯∇=⋅SCS F l F d d )()(2F F F ⨯∇⨯∇-⋅∇∇=∇uu 2)(∇=∇⋅∇0d ⎰=⋅SS J 、0=⋅∇JtJ ∂∂-=⋅∇ρ静电场散度：高斯定理的积分形式： 静电场旋度：毕奥萨法尔定律：任意电流回路 C 产生的磁感应强度恒定磁场散度： 恒定磁场是无散场恒定磁场旋度： 恒定磁场是有旋场，它在任意点的旋度与该点的电流密度成正比，电流是磁 场的旋涡源。
极化强度：----------电介质的电极化率电位移矢量：电介质中高斯定理的积分形式： 磁化强度矢量： 磁化电流体密度： 真空中安培环路定理推广到磁介质中： 磁场强度 ：M B H-=0μ麦克斯韦方程组的微分形式传导电流和变化的电场都能产生涡旋磁场。
高斯定理的证明方法和应用
同理可得
dB dS
0 Idl y x dydz dxdz 0 4 S r 2 r2
0 Idl r 2 dS S 4 r
（c）电流元在任意闭曲面内 以此类推，在闭曲面 S 内，以电流元为球心作一辅助球面 S1，因为
dB dS dB dS 0
（2） 当电荷 Q 不包含在闭合曲面 S 内时，则
S V
r E dS dV 0
0
由此，高斯定理得证。 3、 高斯定理的另一种证明
如图所示，设有一电量为 q 孤立的正点电荷，现以点电荷所在处为球心，任意 r 为 半径作一球面为高斯面，球面上任意点的场强为
E
2 S
S
dS
4 r 2
（1）
0
（b）点电荷在任意闭曲面外 闭曲面 S 的电通量为
S
E dS q q
1 4 0
S
q r dS r3
（2）
1 xdydz ydxdz zdxdy 4 0 S r 3 1 1 1 xdydz ydxdz zdxdy 4 0 S r 3 r3 r3
（c）点电荷在任意闭曲面内 在任意闭曲面 S 内以点电荷 q 为球心作一辅助球面 S1，其法向朝内，根据（1）式可知点 电荷 q 在闭曲面 S+S1 的电通量为零，即：
E dS E dS 0
S S1
E dS E dS E dS
S S1 S2
r dS S r 2 dl
dB dS 0
S
（b）电流元 Idl 在任意闭曲面外 电流元的磁感应强度对闭曲面的磁通量为
散度定理计算公式
散度定理计算公式摘要：一、散度定理的概述1.散度定理的定义2.散度定理的数学表达式二、散度定理的应用1.计算梯度2.计算高斯散度3.计算旋度三、散度定理在各领域的应用1.物理领域2.工程领域3.金融领域四、散度定理的优缺点1.优点2.缺点正文：一、散度定理的概述散度定理是向量分析中的一个重要定理，它主要用于计算场论中的各种物理量。
散度定理主要包括梯度、高斯散度和旋度等方面的计算。
下面我们来详细了解一下散度定理在各方面的应用。
1.散度定理的定义散度定理是指：在一个三维空间中，设场函数f(x, y, z)在空间域内有连续的一阶导数，那么以下三个物理量的计算公式分别为：- 梯度：f = (f/x, f/y, f/z)- 高斯散度：f = f/x + f/y + f/z- 旋度：×f = ((fz)/y - (fy)/z, (fx)/z - (fz)/x, (fy)/x - (fx)/y)2.散度定理的数学表达式散度定理的数学表达式如下：- 梯度：f = (f/x, f/y, f/z)- 高斯散度：f = f/x + f/y + f/z- 旋度：×f = ((fz)/y - (fy)/z, (fx)/z - (fz)/x, (fy)/x - (fx)/y)二、散度定理的应用1.计算梯度梯度是表示场函数在某一点变化率的向量，可以通过散度定理计算得到。
梯度可用于研究函数的极值、曲率等性质。
2.计算高斯散度高斯散度又称散度，它表示场函数在空间某一点的浓度程度。
高斯散度在物理、化学、生物等领域具有广泛的应用，例如在流体力学中用于计算流体的密度分布。
3.计算旋度旋度是表示场函数在某一点旋转率的向量，可以通过散度定理计算得到。
旋度在研究流体力学、电磁场等领域具有重要作用。
三、散度定理在各领域的应用1.物理领域散度定理在物理领域中的应用十分广泛，如电磁场、流体力学、热力学等方面。
通过散度定理，可以更好地研究物理场中的各种现象。
静电场高斯定理的理解
静电场高斯定理的理解
静电场高斯定理是描述电荷分布对静电场产生的影响的重要定理。
它是基于高斯法则推导出来的，可以帮助我们更好地理解和计算静电场。
高斯定理表明，电场通过一个封闭曲面的总通量与该曲面内的电荷量成正比。
具体来说，如果一个封闭曲面内没有电荷，则通过该曲面的电场总通量为零；而如果有电荷，则电场总通量与该曲面内的电荷量成正比。
这个比例关系由高斯定理给出。
在数学上，高斯定理可以用公式表示为：
∮E·dA = Q/ε0
其中，∮E·dA表示曲面A上电场矢量E与该曲面上微元面积dA的点积的总和，Q表示曲面A内的电荷总量，ε0是真空介电常数。
高斯定理的应用非常广泛。
首先，它可以用来计算对称分布的电场。
例如，对于球对称分布的电荷，可以选择一个球面作为高斯面，这样通过球面的电场总通量可以很容易地计算出来。
其次，高斯定理还可以用来证明电场的散度定理，即电场的散度等于该点的电荷密度除以真空介电常数。
此外，高斯定理还可以用于计算电场在介质边界上的跳变现象，如电场强度和电位的变化等。
需要注意的是，高斯定理只适用于静电场，即电荷分布不随时间变化的情况下。
对于动态的电磁场，我们需要使用麦克斯韦方程组来描述。
总之，高斯定理是静电学中一项重要的定理，它通过描述电场与电荷分布之间的关系，帮助我们更好地理解和计算静电场。
它的应用范围广泛，可以用于计算对称分布的电场、证明电场的散度定理以及分析介质边界上的跳变现象等。
静电场散度和旋度1
其中，劈形算符
i
j
k
x y z
静电场 Ex、Ey 、 Ez的六个空
间变化率之间相互制约的关系
斯托克斯公式
小正方形 环流
A(1) x x+ A(2) y y -A(3) x x - A(4) y y
A(3)
x=A(1)
x+
∂A x ∂y
y
A(4)
x=A(2)
绕大闭合环路的环流，等于其内部所有面元的环流之和。
因为内部的小环流彼此抵消，只剩下未能抵消的紧贴边 界的面元上的部分线段的贡献，这些部分串起来，正是 宏观闭合环路 的环流，
斯托克斯 公式
闭合曲面 S 以 闭合环路L为边界
—费曼物理学讲义
∂Ax
∂x
x
出自面元 1、2 的通量 出自面元 3、4 的通量
∂A x
∂x
x
y
z
∂A y
∂y
x
y
z
出自面元 5、6 的通量
∂A z
∂z
x
y
z
出自小立方 体的通量
（ ∂A x ∂x
+∂∂Ayy
+∂A z）x y z ∂z
A→
(x,y+y,z)
4
y →
1
A(1)
→n
A(1)x
6
(x,y,z)
z
x
(x,y,z+z)
3
5
→A(2)
2
→n
(x+x,y,z)
V
出自一无限小立方体表 面的通量等于该处散度 乘以立方体体积
A lim A dS
静电场4
例 若真空中电荷q均匀分布在半径为a的球体内，计算电场能量。
解： 用高斯定理可以得到电场为
E E
qr 4 0 a q 4 0 r 3
3
(r<a)
(r<a)
所以
1 We 0 E 2 dV 2 V 1 q 0 4 2 0 3q 2 20 0a
–微分形式说明：
• 静电场具有散度源，即自由电荷的体密度。
旋度方程：
E 0
E dl 0
C
微分形式 积分形式
• 物理意义：
– 它们说明静电场是一种保守场。 – 积分形式说明：电场力做功的大小与路径无关。 – 微分形式说明：静电场没有旋度源；
高斯定理
积分形式 微分形式
内、外导体间的电压为
U E dr E1 dr E2 dr
a a r0
b
r0
b
l 2
1 b 1 r0 1n 1n r0 1 a 2
因此，单位长度的电容为
C
l
U
2
b 1 r0 1n 1n 2 r0 1 b
Q E dS
D dS q
s
S
E
D
利用物质特征方程
D E
1 4 0 9 109
1 0 8.85 1012 ( F / m) 4 9 109
例1 ：已知场求源，书例2.3（球坐标系） 解：真空中高斯定理的微分形式 E ， 得电荷密度为
l E e (V / m) 2
则两导体间的电位差
a b U
高斯公式物理意义
高斯公式物理意义
高斯公式在物理学研究方面，应用非常广泛。
如：电场E为电荷q（原点处）在真空中产生的静电场，求原点外M（x,y,z)处的散度divE(M).
解：div(qR/(4πr^3)=0 R/r--为r的单位矢量，本例说明静电场E是无源场。
应用高斯定理(或散度定理）求静电场或非静电场非常方便。
特别是求静电场中的场强，在普通物理学中常用，这里就再举二例。
现在用高斯公式推导普通物理中的高斯定理，
设S内有一点电荷Q其电场过面积元dS的通量为
E·dS=Ecosθds
=Q/(4πε0r^2)* cosθds θ为(ds^r) ε0----真空中的介电常数
显然cosθds为面元投影到以r为半径的球面的面积，在球体内，面元dS 对电荷Q所张的立体角为dΩ= cosθds/r^2
故E·ds= Q/(4πε0)dΩ
因此，E对闭合曲面S的通量为∮E·dS=Q/(4πε0) ∮dΩ=Q/ε0
场强学过普通物理的多数人都知道
下面用高斯公式来推导电荷守恒定律，设空间区域V,边界为封闭面S，通过界面流出的电流应等于体积
V内电量的减小率，
即∮J·dS=-∫(dρ/dt)dV J,S ---矢量，dρ/dt--------- 这里为ρ对的偏导数
(由于符号在这里用d来代替偏导的符号）
ρ-电荷密度
注：J=Ρv’V’---为速度矢量
用高斯公式进行积分变换,
∮J·dS=∫∫∫▽·JdV
可得到电荷守恒定律的微分形式：▽·J+ dρ/dt=0，此式称电流的连续性方程。
电磁学讲义04-散度、环路、旋度定理
思考：如果已经知道电场分布，如何求电荷分布？•如图以P(x,y,z)点为中心，∆x ，∆y 和∆z 为边长，取小立方体。
先考虑与x 轴垂直的两个面贡献的通量，则只考虑A的x 分量即可：同理有：zy z y xx A z y z y x x A x x x ΔΔ•Δ−−ΔΔ•Δ+=),,2(),,2(φz y x yA yy ΔΔΔ∂∂=φz y x z A zz ΔΔΔ∂∂=φ则有散度：A A A A zy x z y x ∂+∂+∂=++=•∇φφφK )2(),,(),,2(x x A z y x A z y x x A x x x Δ±⋅∂∂+≈Δ±zy x x A z y x x A x x A x x x x ΔΔΔ∂∂=ΔΔ•⎥⎦⎤⎢⎣⎡Δ−∂∂−Δ∂∂≈)2(2φ利用全微分概念，有：则：电场的散度－讨论•电场某处的单位体积内的电通量正比于此处单位体积内的电荷量。
•电场的散度定理说明，在电荷体密度不是无穷大的点，场强矢量在该点连续，在各方向可求导。
•只适用于电荷体密度–而不能用于点电荷、线电荷、面电荷所在的位置，那些位置没法定义电荷的体密度。
同时这些位置的电场强度值无意义。
•可用于计算电荷分布。
•计算场强一般采用高斯定理积分形式，不必采用微分形式，即散度定理。
–教材P54例题4用散度定理求电场的方法少见。
§2.4静电场的高斯定理和环路定理－－静电场的矢量场理论(二)•静电场环路定理•静电场旋度定理# 旋度的定义•如前所述，在矢量场空间任意点，取任意一个方向，则存在一个围绕此方向的环量面密度。
在这一点，有无数个方向可以选择，也因此相应的存在无数个环路面密度。
这些环量面密度之间存在确定的关系。
•旋度：是一个矢量，取矢量场某一点的环量面密度的最大值为模，并取相应的曲面法线方向。
称为矢量场在该点的旋度，记为：–旋度是矢量!•绕任一方向的环量面密度等于旋度在这一方向的投影（证明略）A K ×∇n ˆn ˆA KA K静电场矢量场原理的总结•静电场：有源、无旋场。
补充一高斯定理的微分形式
V
设：A U * U *
A U * U *
U * U * U *2U *
U * 2
零
即得：
U *
2
dV
U*
U *
ds
V
2、再证明U* U U 常数 16
nˆ V
nˆ 导体Ⅰ SⅠ
导体Ⅱ
SⅡ
S
导体Ⅰ界面
V nˆ
导体Ⅱ界面
(divE )i
lim Vi 0
E dS
Si
Vi
lim
Vi 0
i
(divE)i Vi
lim
Vi 0
i
E dS
Si
V
(divE)dV
S
E dS
1
0
(S)
qi
3
(div E )dV
V
1
0
(S)
qi
qi dV
(S)
(div E)dV
V
V
1
0
V
dV
因V任意，则得高斯定理的微分形式
QⅡ
13
设存在两个解：U 和 U ，令 U * U U
2U 0
UIUI
,
0
SⅡ
UⅡ n
dsQⅡ,
US
US
或 US n
US n
2U 0
UIUI
,
0
SⅡ
UⅡds n
QⅡ,
USUS
或 US n
US n
2U * 0
UⅠ* 0,
SⅡ
UⅡ* n
ds0
,
U
* S
0
或
U
* S
n
0
《电磁场理论》2.2 真空中静电场的基本方程
2）解为球坐标系下的表达形式。
Q ( 4 r 2 er ) (r a) 0 (r a) 0 1 2 Qr E ( Qr e ) (r a) r 2 r (r 4 a3 ) (r a) r 0 3 4 a 0 0 E 3Q 4 a3 0 0
S
E (r ) dS
1
(r )dV
Q
球对称分布：
8
a
ρ0 O
9
轴对称分布
无限大平面电荷
例1 求电荷密度为 S 的无限大面电荷在空间中产生的 电场。 分析：电场方向垂直表面。在 S n 平行电荷面的面上大小相等。 解：取如图所示高斯面。 由高斯定律，有
s S E1 (r ) ez S E2 (r ) (ez ) S 0 s ez ( z 0) s 2 0 E 2 0 E s ez ( z 0) 2 0 10
E (r )
1 4 0
V'
(r ')
R dV ' 3 R
(r ') R E 3 dV ' V ' 4 R 0
R 3 0 R
E 0 ——静电场是无旋场，或保守场。 5
2．静电场的环路定理 对静电场取任意闭合回路L作路径积分： 由Stokes定理得： E d l ( E ) d S 0
对高斯定理的讨论 物理意义：静电场 E 穿过闭合面S的通量只与闭合面内
所围电荷量有关
静电场是有源场，静电荷是其散度源。
4
二、真空中静电场的旋度
1．静电场的旋度：
第4讲-静电场定理
r
⎛ ') + ⎜⎜⎝∇
r
1 −r
'3
⎞ ⎟⎟⎠ × (r
−
r
')
点电荷电场强度 的旋度恒等于零
∇× E(r) ≡ 0
4
静电场的旋度
根据叠加原理，对于点电荷系统和连续分布电荷产 生的电场，即任一分布形式的静止电荷产生的电场 的旋度恒等于零，则
∇×E ≡ 0
上述结论的前提是静电场，因为动态场电场的旋度 不为零（动态场部分讲）；
∇ × E = 0 为什么要引入
∇×∇ϕ ≡ 0
电位函数？
E = −∇ϕ
负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。 在未规定参考点情况下，电位函数仅是一个数学 上的辅助函数，而无物理意义。
7
点电荷的电位
E(r) = q ⋅ r − r' 4πε0 r − r' 3
∇ 1 = − r −r' r −r' r −r'3
电偶极矩（dipole moment） 是偶极子强度的度量，并表明 了偶极子的方向是从负电荷指 向正电荷，其表达式为
=
U 2r0 ln
2b r0
(b,0)
最大电场强度约减小一半
静电场定理（二）
静电场的散度 高斯通量定律
真空中的高斯定律 电介质中的高斯定律 高斯定律的应用
静电场的散度
电荷产生的电场
∫ E (r) = 1 4πε 0
V'
r r
− r' − r'3
ρ
(r
'
)dV
'
电荷ρ(r)性质未做 任何限制！其可以 是自由电荷或者极