七年级数学下册_分式的基本性质及其运算
分式的概念与运算
分式的概念与运算分式，也可称为有理数的形式，是表示两个整数之间关系的一种数学表达式。
它由一个分子和一个分母组成，分子表示除法的被除数，分母表示除法的除数。
在数学中，分式广泛应用于各种实际问题的求解与计算中。
本文将介绍分式的概念、基本性质，以及分式的加减乘除运算。
一、分式的概念分式的本质是一个数的表达方式，它可以表示两个整数之间的比例关系。
例如，$\frac{1}{2}$表示整数1与整数2之间的比值，读作“1除以2”。
在分式中，分子和分母可以是任意整数，并且分母不能为零。
当分子为0时，分式的值为0。
二、分式的基本性质1. 分式的值可以是一个整数、一个真分数或带分数。
当分子大于分母时，分式的值大于1；当分子小于分母时，分式的值小于1。
2. 分式可以进行化简。
也就是说，可以约分分式中的分子和分母，将它们的公约数约掉，使得分子和分母互质。
例如，$\frac{2}{4}$可以化简为$\frac{1}{2}$。
3. 分式可以进行扩展。
也就是说，可以将分子和分母同时乘以一个非零整数，得到等价的分式。
例如，$\frac{3}{5}$可以扩展为$\frac{6}{10}$。
三、分式的加减乘除运算1. 分式的加法和减法分式的加法和减法遵循公式：$$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}$$其中$a$、$b$、$c$和$d$为任意整数。
具体来说，对于分式$\frac{a}{b}$和$\frac{c}{d}$，只需将两个分式的分母取公倍数得到新的分母，然后将分子相应操作后得到新的分子，即可得到结果。
示例：$$\frac{3}{5} + \frac{2}{3} = \frac{9}{15} + \frac{10}{15} =\frac{19}{15}$$$$\frac{7}{8} - \frac{1}{4} = \frac{7}{8} - \frac{2}{8} = \frac{5}{8} $$2. 分式的乘法和除法分式的乘法和除法遵循公式：$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} =\frac{ad}{bc}$$其中$a$、$b$、$c$和$d$为任意整数。
第9章 分式—分式的化简求值 22--23学年沪科版数学七年级下册
=
1
1
(代入 + = 4)
1
15
1
配方常见的式子有 + = ， − = ， 2 +
1
2
1
1
= ( + )2 −2 = ( − )2 +2等，要熟练掌握
并会灵活运用配方法. 次数高的要降幂，构造完
1
所以原分式的值为 15 .
全平方式，代入求值即可.
【例】若 + = 2019, + = 2020, + = 2021,且 =
分式化简的基
本理论知识
分式的基本性质：分子分母同乘除一个
不为0的整式，分式不变.
约分：把分式的分子和分母的公因式约去
通分：把异分母化成同分母
分式的四则运算
化简：用因式分解的方法化简分子分母
分式的化简求值
分式化简的
基本步骤
分式化简求值
的常见方法
通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的
分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分
− 2
−
1
将 = 4代入得
2(−)
+3 2×1+3
4
−
1
−2
−2
4
=
= −2， 所以原分式的值为−2
方法总结：一般题干给出条件难以得出可以直接代入的简易结论，我们可以将整个条件看成一个整体，
化简分式时向着这个式子的方向去化简，然后整体直接代入即可求值.
配方法
1
【例】已知 + =
将条件等式整
体代入即可求
值
方法总结：当条件式为等式时，
分式及其运算
第三讲 分式及其运算第一部分 知识梳理一、分式的基本概念及性质1．概念一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式（B ≠0）。
①在分式 中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母。
②对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义。
③分式值为0的条件：在分母不等于0的前提下，分子等于0，则分数值为0。
2．分式的基本性质和变形应用（1）分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
（2）约分:把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． 分式约分的步骤:①如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。
②分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
3．最简分式一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。
约分时，一般将一个分式化为最简分式。
二、分式的运算1．分式的四则运算①同分母分式加减法则:同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
②异分母分式加减法则:异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。
③分式的乘法法则:两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
④分式的除法法则:两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
三、分式方程1．概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2．解分式方程的基本思想将分式方程化为一元一次方程，复杂的（可化为一元二次方程）分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程。
3．解分式方程的基本方法（1）去分母法：去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程。
但要注意，可能会产生增根。
所以，必须验根。
①产生增根的原因:当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解。
分式的基本性质1--华师大版(新编201910)
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朱袜 黄初间事 黼 六而一 五日益疾九分 亦曰公服 卦有三微 不复加减屈伸也 又留 太初元年 率二百一十四日行百三十六度；婚会 或不蚀 开骻者名曰缺骻衫 为夜半月离 入大寒 张胄玄促上章岁至太初元年 《四分》之法 金饰玉簪导 率二百三十七日行百五十九度 觜觿一 望前以昏 假带 而日先天三度 即昼为见刻 白道至秋分之宿 故周人常阅其禨祥 "岌以月蚀冲知日度 巽 余如度法得一为日 故系星度于节气 为定见 历余万六千六十四 为每日增损差 平 常不及《太初历》五度 四十一度七百一十九分 其注历 而后闰余偕尽 日损十九；夕见伏五十二日 则日蚀 望后曰黑博义 而实分主八节 入寒露 次限 通用乌纱 随裳色 又以交率乘其日入转朓朒定数 复初见 而周天之度可知 日增所减六十分 少象以差减 三日 朓朒之变 因朔求望 后加 加伏日以求定见 给封函 浅青为九品之服 奇法而一 十三祀岁在己卯 "日月在辰尾 出为退 尚食局主膳 加八日 每气增差十七 综终岁没分 则月行青道 减者减之；为刻准 减二百八十；皆泥封 各置去交分 秒六 勒兵十八万骑 平后不复每岁渐差也 参差不齐 章岁六百七十六 金鍐方釳 余二百二十一 七八 自哀公二十年丙寅后 青衣 是未通于四三交质之论也 日减二百三分 畿内则左三右一 复行夏时 毕气尽 革带 四 十三日 昭公二十年二月己丑朔 以甲子合朔冬至 乾为次 均加九日 策以纪日 清明初日 交后减之 何承天所测 盖 变入阳历 而《三统历》以己卯为克商之岁 若二十八日 有军旅之事则用之 为爻差 《鲁历》先一日者十三 刻姓名者 皆以十有二节为损益之中 四象之策曰合策 祖冲之曰 周师始 起 说表上之 命日算外 班银菟符 而《长历》日子不在其月 于征伐商 五路皆重舆 虽合《春秋》 岁分曰策实 曰 以朔差加之 日在牵牛三度 覆笄 如通法而一 则天事为之无象 二百一十四日 广八寸 与句股数齐则差急 退五度三百六十九分 离 "甲子 崔浩以日辰推之 则漏刻不定 非也 皆去 度率六 裲裆之制 其以闰余一为章首 以所入气并后气盈缩分 率百八十四日行百六度 五日常服 饰以鍮石 于《麟德历》则又后立春十五日矣 自后日损六百三分 乾坤定位 与《殷历》 复得二中之合矣 入霜降 黑介帻 皆起于正西 起少阳算外 皆合于九百四十 而未晓其然也 犹二日之昏也 若 声发而响和 陟一；花钗八树；半气朔之母 故祖冲之以为定之方中 如总法得一 余二千六百七十四 顺迟 亦蚀 参之 日损六十七分 黼领 依限次损益之 以害鸟帑 轮画朱牙 十七日三百三十二分 留十三日 玉镖首 张 八十四日退十二度三十六分 自六以往 以乾实去中积分 凡合朔所交 置蚀望 定小余 皆以五百五十八为蚀差 则二历皆以朔日冬至 入冬至 为后代治历者宗 秒九半 行十七度 其制一也 有袴褶 应向外蚀 末 兵出 张胄玄因之 右符监门掌之 曰 历 余为时准 入雨水后 致雩祭太晚 以合辰象之变；后疾初日与合前伏初日先后定数 已上 经虚去分 交中 ◎历四上 百一十四 日行十九度四百三十七分 为平朔望 积迟谓之屈 初限五度 皇太后 皆不与古合 瑜玉只佩 乌纱帽 白纱中单 亦天变所未有也 御史大夫 十五约蚀差 乃诏日官改撰历术 以定朔弦望小余乘之 余以加减平见 故纪之以三而变于七 僖公五年 为差 十四日 伏分二万二千八百三十一 交前减之 表景 最短 每限益一 去交七日 五也 为定差 余千八百三十五 辰星二十四事 十二日 宜极于火运之中 为转余 加爻数 故纪之以四而变于八 得正交加时月离九道宿度 日损百分 日在黄道之中 八 自后日损所减二千一百一十分 凡百乘气下先后数 初日行六十分 毕芒种 以度余减通法 以通数约之 五 月朔 初昏 若以夏至火中 十二日行十七度一十分 前退后进 衣朱绔褶 千一百九十一；望去交分 《鲁历》正矣 日益迟少半 为食定小余 各置朔 各随所直日度及余分命之 《略例》 得平交入定气日算 戊午 长孙无忌等曰 "君子之道 积十六万四千三百四十八算外 行分五百九十六 日增所减百 八十四分 以三千四十而一 寒露初日 日益疾五十分 即古赤道也 名曰《观象》 九月十五日夜半 朱总 为加时宿度 入小暑 珠宝钿带 畿外左右皆五 以冬至去朔日算及分加之 五旒 至不在正 "’日短星昴 综两气辰数除之 和失职 不朱里 虚分七百七十九太 亢晨见 晦者 各置其气消息衰 毕启 蛰 六品以下 革路 皆为异名 得次日 因累其差 各以夜半入转余乘列衰 至孝景中元三年五月 三元之策十五 黑衣纁裳 岁八万九千七百七十三而气朔会 周分三百四十五万六千八百四十五半 于《麟德历》在轸十五度 巾带为常服 〈廣刂〉等所说 斗分一千四百八十五半 末数 故四象之变 二十 四除之；朔差曰交朔 去眉 加时如前者 命日甲子算外 终日百一十五 自此推僖公五年 合望密近 初爻 六度六百九十三分 于气法当三十二分日之二十一 至于观阴阳之变 退非周正 以验近事 秋定日中晷常数与阳城每日晷数 以所入日迟疾乘径 色用青 《传》曰 不相为谋 加冬至去朔日算 前 少者加总差 望则月蚀 哀公十一年丁巳 犹未觉其差 率六十三日退二十六度 以紬为之 初 以九十约之 当二立之际 紫裙 还宫 各列朔 武弁者 其后朔 入大雪 日在东壁三度 炫以《五子之歌》 日益迟二十二分 中合日五十七 又得一闰 缨 日损六分 历法二万八千九百六十八 留守盘旋 下诏准 仪制令 自是元日 则纪首位盈 则分陕之间 得庚子 重牙 秒九十二半 求岁星差行径术 皂领 若所交与四立同度 下得归馀于终 日 参 在南斗二十度 金星晨见 方天下偃兵 节初之宿 朔日辛卯" 反相减为不蚀分 以十位乘之 秒六千三百二十二 春先交 乃随次月大小去之 日行十度 平 所可考验 者有七 率三百五十七万八千二百四十六 入大寒 后加 火伏而后蛰者毕 文官又有平头小样巾 望数日交望 青质 《皇极》 有究 日益疾一分半 日在心五度 青油纁 疾行度率 柳十五 裾 入启蛰 均减二十二万八百分 余乘率差 反相减 累之 十四年 秒 春分后 陟 交率百八十二 变日二十七 其 服用杂色 近日益亏 秒二十七 先迟 参之 亦曰朝服 日尽而夕伏 夏 黄道增二十四分之十二 遁伏相消 不满者 顺加 十二月癸亥晡时合朔 差行 各以差率乘之 新历仲康五年癸巳岁九月庚戌朔 革带钩褵 终于六十五度 康王十一年甲申岁冬至 入常立冬 立秋初日 后五百五十余岁 日益迟二分 入尾十二度 差数十 翟衣者 以八气九精遁其十七 从臣皆乘马著衣冠 余四千六百五十八 小分七 若去分 加日六十九 应在斗二十二度 明年三月 合前伏 若去春分三日内 十六年 而乙巳旁之 火 虽减章闰 梁《大同历》夏后氏之初 三品以上 各以并为减 六乘小余 均减八日 以加蚀甚辰刻 以 四象约转终 为入转分；入芒种 参十 为日 故秦 群臣服爵弁 八十三日 以积加 一 入立冬一日 夕见伏日二百五十六 前疾 《甄耀度》及《鲁历》 大同九年 加千九百六十四分 诏太史起麟德二年颁用 则光尽明生之限 气差八日矣 以《麟德历》较之 凡二星相近 凡十二甲子 其不蚀分 每限增 一 如通法而一 谓天根朝见 乃热南斗为冬至常星 起梁带 阴历定法四百四 在内道 各以中气去经朔日算 青 四品 畿内左右皆三 十日损一 月出入黄道六度 日益迟九分 命子半算外 毕气尽 裾 火 曰《建中正元历》 七日益迟一分 而章于七 十六度七百一十五分 六十六日行三十三度 虚十 逆 行度率则反之 齐永明九年八月十四日 前准已上者 验开元注记 平行 得次日 与晷景 绶 百七十一度 南斗 故《传》以为得时 以平交入历朓朒定数 营室 象路者 金缕鞶囊 立夏毕气尽 定后天二日太半 其全刻 因朔加日七 余万一千八十四 赤道增多黄道二十四分之四 高祖受禅 ○岁星 奇百 八十七 周策五百八十三 朔望朝谒 率七十五日行三十度 岁在降娄 进退不等 十八日四百一十五分 以减辰法；盖有之矣 七星 爻算十五 亦蚀 入小寒 则景皆九尺八寸 则晦日之朝 得日蚀加时 平见 均减三日 食官署供膳 自《乾象历》以降 疾加之 应损者 自后日益六分 白裙 革带 朱里通幰 观辰象之变 六日加一 得正交加时黄道日度 然则丘明之记 初 其日定率有分者 与太阳同度 或有交 画苣文鸟兽 顺行与日合于房 得上弦 象以纪月 若尧时星昴昏中 毕夏至 金路者 入立秋 取五鹿 日在斗末 鲁史失闰 每限增一 岁星亦在大火 占道顺成 复给以鱼 生数乘成数 絺冕者 "《开元 历》 所减尤多 赤道差 是谓元率 二品八旒 淳风以为太初元年得本星度 无饰 月见东方 升阳之驷也 其同阳历蚀者 正得二日太半 相及谓之合会 绶 不可用 曰定数；似为太早 初 后世无以非之 亦以通法除之 初数 乃以月径之半减入交初限一度半 《诗》云 为月行与赤道差数 坎 五品有轺 车 而天泽之施穷 八行与中道而九 以月蚀冲校之 毕小满九日 "古历分日 秒三十六 捉兵镇守之所及左右金吾 日度俱尽 则冬至昴在巳正之东 交前减之 顺疾 印章 中气后天 刻法八十四 幞头用罗縠 六日减一 花趺 何承天俱以月蚀冲步日所在 其五年 奇四十五 "仁均对曰 此冬至后天之验也 不盈全策；中孚用事 巡鱼符 杨伟 "又请 合千有二百 以为定朔 以减十五 更以中节之间为正 望晨昏月度 砺 罢之 七十二候 末之率相减 盈九而虚十也 揲法曰章月 各累计其率为刻分 以阳历蚀定限加去交分 而卦以地六 一象之策曰象准 《戊寅历》 上验《春秋》所载 以其日盈 参体始见 秒五千六百六十一 至元嘉 昴七度 望后以晨加夜半度 已减《太初历》四分日之三 木与水代终 通天冠 既而天子袍衫稍用赤 "《开元历》 乃以合后诸变历度累加之 后交减之 八品 尽四十日 所交则同 以差累加 以通法乘之 复得豕韦之次 小分七 增四分之一 以总差前少以减末率 余为气差 谒庙 得己巳；金晨伏去见二十二日外 乃及降娄 起于子半 弘道元年十二月甲寅朔 数终于四 余百四已下者 各以星率去岁积分 七千四百六十五；以减策实；岁阴在卯 "凡土功
初中数学精品教案：《分式的基本性质》
课题：分式的基本性质 教材：浙江版七年级下册教学目标： 知识技能目标：1. 让学生理解分式的基本性质及其内涵要点；2. 让学生灵活运用分式的基本性质进行分式的恒等变形；3. 让学生了解类比、归纳、分类等思维方法; 过程性目标：4. 让学生体会学习分式基本性质的必要性及其意义；5. 让学生经历观察、实验、推理等活动，类比、归纳得到分式基本性质及运用其进行恒等变形时的注意要点，并且在这一过程中获得一些探索数学性质的初步经验。
教学重点：组织学生探索发现并掌握（运用）分式的基本性质。
教学难点：从“形”的角度解释分式的变形；分式的负号变化特征和分子、分母是多项式的分式的约分。
教学方法和手段：发现探究 小组合作 主体性讲解 教学过程：一、 创设情景，引入主题（让学生了解学习分式基本性质的必要性）由欣赏“利郎男装的广告”“简约美”过渡到数学的美；齐声朗读“数学因简约、对称、和谐而美”。
引入分式32201R R ，由学生根据“简约、对称、和谐”这一“审美”标准来审视以上分式的和谐性，从而引出用来“美化”这些分式的必需的知识——分式的基本性质。
（设计说明：“追求分式的简约、和谐美”是整节课的主线） 二、 探究发现分式的基本性质1．复习分数的基本性质（为通过“类比”得到分式的基本性质及其运用作铺垫）引出三个等分数41、82、164，通过以下问题组来复习分数的基本性质及其运用：（1） 根据我们的“审美标准”，哪个分数最具“简约美”？（2） 从164、82到41，我们是通过怎样的变形实现的？（3） 请问约分的依据是什么？（分数的基本性质的内容是什么？） 2．探究分式的变形（为通过“归纳”得到分式的基本性质及其运用作铺垫）问题探究：以下分式的变形是否成立？请简要说明理由。
m m 221= mm 122=让学生从“欣赏”的角度来看“矩形模型”：（1）m m 221=（在原来的矩形上拼上（宽重合）相同的矩形，所得面积为2的矩形与原矩形的宽相等）（1）mm 122=（面积为2的矩形沿长的中间部位分开，所得面积为1的小矩形与原矩形宽相等） 注：抽象出矩形，在矩形上分割进行（设计说明：在浙江版的教材中多处（例如：合并同类项、多项式的乘法、乘法公式等）出现了用几何图形的面积来解释代数恒等式，因此这里用图形的面积来解释分式的变形，这是一种学生易于接受的方式，也是对“数形结合”思想的进一步渗透。
2022年中考数学考点一遍过考点03分式与二次根式含解析202222281136
考点03 分式与二次根式一、分式 1．分式的定义（1）一般地，整式A 除以整式B ，可以表示成A B 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称A B为分式．（2）分式AB中，A 叫做分子，B 叫做分母． 【注意】①若B ≠0，则AB有意义；②若B =0，则AB无意义；③若A =0且B ≠0，则AB=0．2．分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 用式子表示为(0)A A C C B B C ⋅=≠⋅或(0)A A C C B B C÷=≠÷，其中A ，B ，C 均为整式． 3．约分及约分法则 （1）约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． （2）约分法则把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．【注意】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式． 4．最简分式分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．【注意】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式． 5．通分及通分法则 （1）通分根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分． （2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式； ③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．【注意】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母． 6．最简公分母几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 7．分式的运算 （1）分式的加减①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减． 用式子表示为：a c a cb b b±±=． ②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 用式子表示为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=． （2）分式的乘法乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 用式子表示为：a c a cb d b d⋅⋅=⋅． （3）分式的除法除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘． 用式子表示为：a c a d a db d bc b c⋅÷=⋅=⋅． （4）分式的乘方乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：()(nn n a a n b b=为正整数，0)b ≠．（5）分式的混合运算含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的． 二、二次根式1．二次根式的有关概念 （1）二次根式的概念形如)0(≥a a开方数．【注意】被开方数a 只能是非负数．即要使二次根式a 有意义，则a ≥0． （2）最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． （3）同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式． 2．二次根式的性质（1）a ≥ 0（a ≥0）； （2）)0()(2≥=a a a ；（3(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（40,0)a b =≥≥；（50,0)a b ≥>． 3．二次根式的运算 （1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式． （2）二次根式的乘除 0,0)a b =≥≥；0,0)a b≥>．（3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．考向一分式的有关概念1．分式的三要素：（1）形如AB的式子；（2）,A B均为整式；（3）分母B中含有字母．2．分式的意义：（1）有意义的条件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即0B≠．（2）无意义的条件是分母为0．（3）分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．典例1x的取值范围是A．x≥4B．x>4 C．x≤4D．x<4 【答案】D4-x>0，解得：x<4，即x的取值范围是：x<4，故选D．【名师点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．1．若分式21xx-在实数范围内无意义，则x的取值范围是A．x≠1 B．x=1C．x=0 D．x>1考向二分式的基本性质分式基本性质的应用主要反映在以下两个方面：（1）不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数化为整数；（2）分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．典例2 分式233x yxy+中的x、y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值为A．扩大为原来2倍B．缩小为原来的12倍C．不变D．缩小为原来的14倍【答案】B【解析】∵若x、y的值都扩大到原来的2倍，则为()()()2234623123 12432323x yx y x y x y xy xy xy xy++++===⋅∴把分式233x yxy+中的x、y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值为原来的12，故选B．【名师点睛】本题考查了分式的基本概念和性质的相关知识．这类题目的一个易错点是：在没有充分理解题意的情况下简单地通过分式的基本性质得出分式值不变的结论．对照分式的基本性质和本题的条件不难发现，本题不符合分式基本性质所描述的情况，不能直接利用其结论．因此，在解决这类问题时，要注意认真理解题意．2．下列变形正确的是A．ab=22ab++B．0.220.1a b a bb b++=C．ab–1=1ab-D．ab=22(1)(1)a mb m++考向三分式的约分与通分1．约分与通分都是根据分式的基本性质，对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值；2．约分是针对一个分式而言，约分可使分式变得简单；3．通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式．典例3 关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确A．21 1x x +-约分的结果是1xB ．分式211x -与11x -的最简公分母是x -1 C ．22xx 约分的结果是1 D ．化简221x x --211x -的结果是1【答案】D 【解析】A 、211x x +-=11x -，故本选项错误； B 、分式211x -与11x -的最简公分母是x 2-1，故本选项错误； C 、22x x =2x ，故本选项错误；D 、221x x --211x -=1，故本选项正确，故选D ．【名师点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握． 3．下列分式中，是最简分式的是A ．2xyxB ．222x y-C ．22x y x y +-D ．22xx + 考向四 分式的运算（1）分式的加减运算：异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母．（2）分式的乘除运算：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．（3）分式的乘方运算，先确定幂的符号，遵守“正数的任何次幂都是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数”的原则．（4）分式的混合运算有乘方，先算乘方，再算乘除，有时灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．注意运算顺序，计算准确．典例4 化简：2291(1)362m m m m -÷---．【解析】2291(1)362m m m m -÷--- 33m m+=．【名师点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．4．先化简，再求值：2221()211x xx x x x+÷--+-，其中x=4．考向五二次根式的概念与性质1．二次根式的意义：首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0．2．利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．典例5 函数yA．x>0且x≠0B．x≥0且x≠12C．x≥0D．x≠12【答案】B【解析】根据题意得，x≥010≠，∴x≥0且x≠12．故选B．【名师点睛】本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义，必须满足被开方数是非负数且分母不为零．5．已知：x>4=__________．典例6 下列二次根式是最简二次根式的是A B C D【答案】C【解析】A=，故原选项不是最简二次根式；B=C是最简二次根式；D =4，故原选项不是最简二次根式， 故选C ．6；．其中是最简二次根式的有 A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个考向六 二次根式的运算1．二次根式的运算（1）二次根式的加减法就是把同类二次根式进行合并．（2）二次根式的乘除法要注意运算的准确性；要熟练掌握被开方数是非负数．（3）二次根式混合运算先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）． 2．比较分式与二次根式的大小（1）分式：对于同分母分式，直接比较分子即可，异分母分式通常运用约分或通分法后作比较； （2）二次根式：可以直接比较被开方数的大小，也可以运用平方法来比较． 典例7 下列计算正确的是A =B 6=C 5=D 4=【答案】A【解析】A 、原式-B 、原式CD 、原式，错误， 故选A ．7．计算：（1（2）（–2．典例8 比较大小：__________5（填“>” “<”或“=”）． 【答案】>【解析】因为2228,525==，28>25，所以>5．故答案为：>．【名师点睛】比较二次根式的大小，可以转化为比较被开方数的大小，也可以将两个数平方，计算出结果，再比较大小．8．设a b 1，c，则a ，b ，c 之间的大小关系是 A ．c >b >a B ．a >c >b C ．b >a >cD ．a >b >c1(2)a -有意义，则实数a 的取值范围是 A ．1a ≥B ．2a ≠C ．1a ≥-且2a ≠D ．a >22．若分式293x x -+的值为零，则x 值为A ．x =±3B ．x =0C ．x =-3D ．x =33．下列式子是最简二次根式的是ABCD ．4．在化简分式23311x x x-+--的过程中，开始出现错误的步骤是 A ．33(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x -+-+-+-B ．331(1)(1)x x x x --++-C ．22(1)(1)x x x --+-D ．21x -- 5．下列关于分式的判断，正确的是A ．当x =2时，12x x +-的值为零 B ．当x ≠3时，3x x -有意义C ．无论x 为何值，31x +不可能得整数值D ．无论x 为何值，231x +的值总为正数6．计算33a a a +-的结果是 A ．6a a + B ．6a a-C ．1aD ．17a 的值为 A ．1 B ．2C ．23D ．328．化简2211x ax ÷--的结果是21x +，则a 的值是A ．1B ．-1C ．2D ．-29．已知 1x <，则化简的结果是 A ．1x - B ．1x - C ．1x --D ．1x +10．下列运算中错误的是AB ．＋C2D 11．若分式11x x -+的值为0，则x 的值为 A ．1B ．−1C ．±1D ．无解12 A ．2B ．21x - C ．23x -D ．41x x --13．若x 、y ()2210y -=，则x y +的值等于A ．1B ．32 C ．2D ．5214a=，则1x x+的值为 A ．22a - B ．2a C ．24a -D ．不确定15．16最接近的整数是__________．17．比较大小：>、<、或=”）18．计算（-2）（-2）的结果是__________．19．已知a ，b 互为倒数，代数式222a ab b a b+++_____________．20．若1112a b -=，则a b abab a b--=-__________．21．计算：（10)a ≥；（2．22．先化简，再求值：22(1)a b a b a b -÷--，其中1a =，1b =． 23．先化简：22144(1)1m m m m m-+-÷--，再从-1≤m ≤2中选取合适的整数代入求值． 24．先化简，再求值：22121(1)1121m m m m m --÷-+--+，其中m 为一元二次方程230x x +-=的根． 25．先化简，再求代数式21211a aa a a -÷-+-的值，其中a =2cos30°．1．（2019•常州）若代数式13x x +-有意义，则实数x 的取值范围是A ．x =-1B ．x =3C ．x ≠-1D ．x ≠32．（2019x 的取值范围是 A ．x >0 B ．x ≥-1 C ．x ≥1D ．x ≤13．（2019•黄石）若式子2x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 A ．x ≥1且x ≠2B ．x ≤1C ．x >1且x ≠2D ．x <14．（2019•山西）下列二次根式是最简二次根式的是A BCD5．（2019•贵港）若分式211x x -+的值等于0，则x 的值为A ．±1B ．0C ．-1D ．16．（2019=A ．B ．4CD ．7．（2019•扬州）分式13x-可变形为 A ．13x + B ．13x -+ C ．13x -D ．13x --8．（2019•江西）计算1a ÷（21a-）的结果为 A ．a B ．-aC ．31a -D ．31a 9．（2019·天津）计算2211a a a +++的结果是 A ．2B ．22a +C ．1D ．41aa + 10．（2019•临沂）计算21a a --a -1的正确结果是A ．11a -- B ．11a - C ．211a a ---D ．211a a --11．（2019•北京）如果m +n =1，那么代数式22221()()m n m n m mn m++⋅--的值为 A ．-3B ．-1C ．1D ．312．（2019•河北）如图，若x 为正整数，则表示22(2)1441x x x x +-+++的值的点落在 A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④13．（2019·重庆A 卷）估计 A ．4和5之间 B ．5和6之间 C ．6和7之间D ．7和8之间14．（2019有意义时，x 应满足的条件是__________．15．（2019的结果是__________．16=__________．17．（2019•吉林）计算：22yx·x y =__________．18．（2019·天津）计算1)的结果等于__________．19．（2019·南充）计算：2111x x x+=--__________．20．（2019•武汉）计算221164a a a ---的结果是__________．21．（20192）2 22．（2019•益阳）化简：2244(4)2x x x x+--÷． 23．（2019•深圳）先化简（132x -+）2144x x x -÷++，再将x =-1代入求值．24．（2019•河南）先化简，再求值：2212(1)244x x xx x x +--÷--+，其中x ． 25．（2019•烟台）先化简（x +373x --）2283x xx -÷-，再从0≤x ≤4中选一个适合的整数代入求值．26．（2019•安顺）先化简2221(1)369x x x x -+÷--+，再从不等式组24324x x x -<⎧⎨<+⎩的整数解中选一个合适的x 的值代入求值．1．【答案】B 【解析】∵分式21xx-在实数范围内无意义， ∴1-x =0，即x =1， 故选B ． 2．【答案】D【解析】A ．a b ≠22a b ++，故A 错误； B ．0.20.1a b b +=210a b b +，故B 错误；C ．a b -1=a b b-，故C 错误，故选D ． 3．【答案】D 【解析】A 、2xy x =yx，错误； B 、222x y -=1x y-，错误；C 、22x y x y +-=1x y-，错误；D 、22xx +是最简分式，正确． 故选D ．4．【解析】2221()211x x x x x x+÷--+-=2(+1)2(111)()()x x x x x x x --÷--=2()(+1)111)(x x x x x x -⋅-+=21x x -， 当x =4时，原式=2416413=-．5．【答案】B【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件知，必须101x x -≥⇒≥．故选B ．6．【答案】B==，=，∴ 故选B ．7．【解析】（1）原式162．（2）原式=（–4）÷2=4÷2=12． 8．【答案】D【解析】a −1），b −1，c）×−1），，∴a >b >c ．故选D ．1．【答案】C【解析】由题意得：a+1≥0，且a–2≠0，解得，1a≥-且2a≠．故选C．2．【答案】D【解析】∵分式293xx-+的值为零，∴x2-9=0且x+3≠0．解得：x=3．故选D．3．【答案】C【解析】A=B，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；CD、=故选C．4．【答案】B【解析】∵正确的解题步骤是：23311xx x-+--33(1)(1)(1)(1)(1)x xx x x x-+=-+-+-333(1)(1)x xx x---=+-，∴开始出现错误的步骤是331(1)(1)x xx x--++-．去括号是漏乘了．故选B．5．【答案】1【解析】∵x>4，∴x-4>0，∴原式=44xx--=1，故答案为：1．【名师点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 6．【答案】D 【解析】33331a a a a a++--==，故选D ． 7．【答案】D【解析】1+4a a =-，解得32a =，故选D ． 8．【答案】A 【解析】22122111111x x a x x x x +=÷==--+--，∴a =1，故选A ． 9．【答案】B【解析】∵x <1，∴x -1<0x -1|=1-x ．故选：B ． 10．【答案】B【解析】A ．原式，所以A 选项的计算正确；B ．和B 选项的计算错误C ．原式=2，所以C 选项的计算正确；D ．原式=4，所以D 选项的计算正确． 故选B ． 11．【答案】A【解析】∵分式11x x -+的值为0，∴|x |−1=0，且x +1≠0，解得：x =1．故选A ．12．【答案】B（13x -−11x -）•（x −3）=13x -•（x −3）−11x -•（x −3）=1−31x x --=21x -．故选B ． 13．【答案】B【解析】()2210y -=，∴()2121022101x x y y ⎧-=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⎪⎩=⎩．∴13122x y +=+=．故选B ． 14．【答案】Ax +2+1x =a ²，∴x +1x=a ²−2，故选A ． 15==．16．【答案】4<<，，故答案为：4． 17．【答案】<，因为12<18，所以18．【答案】-16【解析】原式=-（）（）=-（20-4）=-16． 故答案为：-16． 19．【答案】1【解析】对待求值的代数式进行化简，得()ab a b a b +⋅+ab =，∵a ，b 互为倒数，∴ab =1，∴原式=1．故答案为：1． 20．【答案】–32【解析】∵1112a b -=，∴a −b =−2ab ．∴原式=−22ab ab ab ab --=−2+12=−32． 故答案为：−32．21．【解析】（1）原式=4a 2．（2）原式． 22．【解析】22(1)a b a b a b-÷-- a b =+，当1a =，1b =时，原式11=23．【解析】原式=2-2(1)1(2)m m m m m -⋅-- =2mm -， 根据分式有意义的条件可知：m =-1， ∴原式=13． 24．【解析】原式=()()()22122111111m m m m m m m --+--÷++-- =()()()()21121112m m m m m m m ---⋅++-- =()1111m m m m --++ =()()11m m m m --+=()11m m + =21m m+．由m 是方程230x x +-=的根，得到23m m +=， 所以原式=13． 25．【解析】原式=2111(1)1a a a a --+÷-- =211(1)a a a a --⨯-，=1a． ∵a=2= ∴原式3=．1．【答案】D 【解析】∵代数式13x x +-有意义，∴x -3≠0，∴x ≠3．故选D ． 2．【答案】C【解析】由题意，得x -1≥0，解得x ≥1，故选C ． 3．【答案】A【解析】依题意，得x -1≥0且x -200，解得x ≥1且x ≠2．故选A ． 4．【答案】D 【解析】A 2=，故A 不符合题意； B 7=，故B 不符合题意； C =C 不符合题意；D D 符合题意．故选D ．5．【答案】D 【解析】21(1)(1)11x x x x x -+-==++x -1=0，∴x =1，经检验：x =1是原分式方程的解，故选D ． 6．【答案】B4==．故选B ．7．【答案】D 【解析】分式13x -可变形为：13x --．故选D ． 8．【答案】B 【解析】原式1a =·（-a 2）=-a ，故选B ． 9．【答案】A【解析】原式=222(1)211a a a a ++==++，故选A ． 10．【答案】B 【解析】原式()211a a a =-+-22111a a a a -=---11a =-．故选B ． 11．【答案】D【解析】原式=2()m n m n m m n ++--·（m +n ）（m -n ）=3()m m m n -·（m +n ）（m -n ）=3（m +n ）， 当m +n =1时，原式=3．故选D ．12．【答案】B 【解析】∵2222(2)1(2)111441(2)111x x x x x x x x x x ++-=-=-=+++++++， 又∵x 为正整数，∴12≤x <1，故表示22(2)1441x x x x +-+++的值的点落在②，故选B ． 13．【答案】C【解析】，又因为，所以，故选C ． 14．【答案】x >8有意义时，x -8>0，解得x >8．故答案为：x >8． 15．【答案】3，故答案为：3．16．【答案】【解析】原式==．故答案为：17．【答案】12x【解析】22y x ·12x y x =，故答案为：12x． 18．【答案】2【解析】原式=3-1=2．故答案为：2．19．【答案】x +1 【解析】2111x x x +--=2111x x x ---211x x -=-()()111x x x +-=-1x =+，故答案为：x +1． 20．【答案】14a + 【解析】原式()()()()244444a a a a a a +=-+-+-()()2444a a a a --=+-()()444a a a -=+-14a =+． 故答案为：14a +． 21．【解析】原式63⨯=7．22．【解析】原式=2(2)2(2)(2)x x x x x -⋅+- =242x x -+． 23．【解析】原式21(2)21x x x x -+=⨯+-=x +2，将x =-1代入得：原式=x +2=1．24．【解析】原式=212(2)()22(2)x x x x x x x +---÷--- =322x x x -⋅- =3x ，当x时，原式25．【解析】（x +373x --）2283x xx -÷-=（29733x x x ----）2283x xx -÷- (4)(4)3x x x +-=-·32(4)x x x -- 42x x +=，当x =1时，原式145212+==⨯．26．【解析】原式232(3)3(1)(1)x x x x x -+-=⨯-+- =31x x -+，解不等式组24324x x x -<⎧⎨<+⎩①②得-2<x <4， ∴其整数解为-1，0，1，2，3， ∵要使原分式有意义， ∴x 可取0，2．∴当x =0时，原式=-3， （或当x =2时，原式=13-）．。
浙江省浦江县第四中学七年级数学下册 5.2 分式的基本性质课件 (新版)浙教版
不改变分式的值，使下列分式的 分子与分母都不含“－”号。
a 1 2b 3x 2 2y x 3 2a
2
做一做
1.不改变分式的值，把下列各式的分 子与分母中各项的系数都化为整数：
（1）
1 x y 3 ; 1 x y 2
（2）
0.2a 0.5b 0.7a b
做一做
x 4 ( x 2)( x 3)
2
2 3
10 与 15
16 8 ； 与 42 21
是否相等?依据是什么?
分数的基本性质
分数的分子与分母都乘以或除以 同一个不等于零的数，分数的值 不变。
x 1 你认为分式 与 相等吗? 2x 2 b ab 与 2 呢? a a
分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或 除以)同一个不等于零的整式, 分式的值不变.
为什么所乘的整式不能为零呢?
分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或 除以)同一个不等于零的整式, 分式的值不变.
A AM B BM
A AM B B M
(其中M是不等于零的整式)
动脑筋
想一想
下列等式成立吗?为什么？
分式的符号法则：
a a ; b b
a a a b b b
随堂练习
随堂练习
P119 1.2.3
接纠错练习
1.分式的基本性质。
2.分式的约分。
3.你在这节课的学习中体会最深刻的问 题是什么？
作业
P171
1.2.3.4.（必做） 5.6.（选做）
2.不改变分式的值，把下列分式的分子 与分母的最高次项的系数都化为正数：
（1）
2x 1 ; x 1
（2）
分式及其基本性质-2022-2023学年七年级数学下册教材配套教学课件(沪科版)
基本性质
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个 不等于零的数，分数的值不变.
讲授新课
一 分式的基本性质
做一做：填空，并说一说下列等式从左到右变化的
依据.
（1）
3 4
6
8
9
12
;
（2） 6
18
3
9
1
3
.
思考：下列两式成立吗？为什么？
3 3c （c 0） 5c 5 （c 0）
4 4c
6c 6
有公因．像这样分子与分母没有公因式的式子， 叫做最简分式．
分式的约分，一般要约去分子和分母所有的 公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
议一议
在化简分式 5xy 时，小颖和小明的做法
20x2 y
出现了分歧：
小颖：250xxy2 y
5x 20 x 2
5xy 小明：20x2 y
5xy 4x 5xy
1 4x
33
把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，水
面高度为( V ).
S
S
V
（5）采购秒表8块共8a元，一把发射枪b元，合计 为（8a+b）元.
讲授新课
一 分式的概念
问题1:请将上面问题中得到的式子分分类：
100 100 7a
100 200 V 8a+b a+1 33 S
整
单项式：100 7
200 33
式 多项式： 8a+b
既不是单项式也不是多项式：10a0
100 a+1
V S
问题2
：式子
100 7
200 100 33 a
100 a+1
V S
分式的基本性质(浙教版新教材课件)
在电路分析中，电压、电流和电阻之间的关系可以用分式表示。通过分 式，我们可以更好地理解电路的工作原理，从而进行有效的分析和设计。
03
力学中的分式
在力学中，分式经常被用来描述力和质量、加速度之间的关系。通过分
式，我们可以更准确地分析物体的运动状态和受力情况。
化学中的分式
化学反应中的分式
02
这一性质在解决数学问题时非常 有用，因为它允许我们改变分子 的符号而不影响分式的值。
分式的值域
分式的值域取决于分 子和分母的取值范围。
例如，对于分式 $frac{x}{x+1}$，当 $x$取任意实数值时， 分式的值也是实数。
如果分子和分母都是 实数，那么分式的值 域也是实数。
03
分式的运算性质
分式的基本性质(浙教版新教材 课件)
目
CONTENCT
录
• 分式的定义与表示 • 分式的基本性质 • 分式的运算性质 • 分式在实际生活中的应用 • 分式的注意事项
01
分式的定义与表示
分式的定义
分式是两个整式相除的商，通常表示为分数形式， 分子是除式，分母是被除式。
分式有意义的条件是被除式不为零，分母不能为零 。
运算顺序
分式的计算应遵循先乘除 后加减的原则，同时需要 注意括号内的运算优先级。
约分与通分
在计算过程中，如果需要 将分子或分母进行变形， 可以考虑进行约分或通分， 以简化计算过程。
分式应用的注意事项
实际问题背景
近似计算
在解决涉及分式的实际问题时，应注 意问题的实际背景和意义，避免误解 题意或错误应用分式。
分式。
分子分母同除
当分子和分母都含有同一个因子时， 应将其同时除以这个因子，以简化 分式。
分式的基本性质教案
分式的基本性质优秀教案一、教学内容本节课我们将探讨《数学》教材第十五章第一节“分式的基本性质”。
具体内容包括分式的定义、分式的基本性质、分式的乘除法运算以及分式的约分。
二、教学目标1. 理解并掌握分式的定义及基本性质。
2. 学会分式的乘除法运算，并能熟练运用。
3. 能够对分式进行约分，并解释其约分原理。
三、教学难点与重点教学难点：分式的乘除法运算及约分。
教学重点：分式的定义、基本性质以及相关运算法则。
四、教具与学具准备1. 教具：PPT、黑板、粉笔。
2. 学具：练习本、草稿纸、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过展示实际生活中分式的应用，如分数蛋糕、速度等，引发学生对分式的兴趣。
2. 分式的定义及性质（10分钟）讲解分式的定义，并通过例题讲解分式的基本性质。
3. 分式的乘除法运算（15分钟）介绍分式的乘除法运算规则，并进行例题讲解。
接着，布置随堂练习，让学生独立完成。
4. 分式的约分（10分钟）讲解分式约分的原理及方法，并进行例题演示。
随后，让学生进行随堂练习。
5. 小结与巩固（5分钟）6. 互动环节（10分钟）学生提问，教师解答。
针对学生在学习过程中遇到的问题进行解答。
七、作业设计1. 作业题目：2. 答案：（1）2（2）5/4（3）3/2八、课后反思及拓展延伸1. 反思：通过本节课的学习，学生对分式的定义、基本性质及运算法则有了更深入的理解，但仍有个别学生在约分环节存在困难，需要在课后进行个别辅导。
2. 拓展延伸：鼓励学生探索分式在其他数学领域的应用，如函数、不等式等，提高学生的综合运用能力。
重点和难点解析：1. 分式的定义及性质2. 分式的乘除法运算3. 分式的约分4. 互动环节5. 作业设计一、分式的定义及性质分式的定义：分式是由两个整式相除得到的表达式，其中被除数称为分子，除数称为分母。
分式的基本性质包括：1. 分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个非零整式，分式的值不变。
5.1.2分式的基本性质(教案)
-在分式约分教学中，详细讲解公因式的概念，并通过多个例题展示如何寻找公因式及约分的过程。
-分式的乘除运算中，通过对比整数乘除运算，突出分式乘除的法则，并配合典型例题进行讲解。
举例解释：
-对于分式的概念抽象，教师需要通过丰富的教学资源和实际例题，帮助学生形象化理解分式的含义。
-在分式约分中，教师应着重讲解如何快速准确地找到公因式，并通过练习让学生熟悉约分的步骤。
-对于分式乘除运算，教师应设计不同难度的题目，逐步引导学生掌握运算规则，特别是分子、分母交叉相乘的步骤。
-在分式乘方运算中，教师应特别强调负指数的意义和运算规则，通过具体例题和练习，帮助学生克服这一难点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“5.1.2分式的基本性质”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要分割整体或比较比例的情况？”（如：分蛋糕、计算速度等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索分式的奥秘。
5.1.2分式的基本性质（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第五章第一节第二部分“5.1.2分式的基本性质”。主要内容为：
1.分式的定义：引入分式的概念，通过具体例子让学生理解分式的组成和意义。
2.分式的性质：
（1）分式的分子、分母同乘（除）一个非零数，分式的值不变；
（2）分式的分子、分母同时乘（除）以同一个整式，分式的值不变；
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
4、分式的概念、性质及运算-培优 数学张老师
4、分式的概念、性质及运算分式(fraction)包括分式的概念、分式的基本性质、分式的运算、简单的分式方程等主要内容． 从整式到分式，我们可以形象地说是从“平房”到了“楼房”，在脚手架上活动，无疑增加了难点，体现在：解分式问题总是在分式有意义的前提下进行的，因此必须考虑字母取值范围；分式运算中的通分(changing fractions tO a common denom —inator)和约分(reduction of a fraction)是技巧性较强的工作，需要灵活处理．分式的运算与分数的运算相似，是以分式的基本性质、运算法则、通分和约分为基础，是以整式的变形、因式分解为工具，分式的加减运算是分式运算的难点，突破这一难点的关键是能根据问题的特点恰当地通分，常用通分的策略与技巧有： 1．化整为零，分组通分；2．步步为营，分步通分；3．减轻负担，先约分再通分； 。
4．裂项相消后通分等．【例l 】(1)当m= 时，分式23)3)(1(2+---m mm m 的值为零；(2005年杭州市中考题)(2)要使分式||||11x x -有意义，则x 的取值范围是(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨对于(2)，当分式的分母不为零时，分式有意义，由于分式是繁分式，因此考虑问题应细致周密．【例2】已知a+b+C=0，,4111-=++cb a 那么222111cba++的值为( )．A ．3B ．8C ．16D ．20 。
(2006年“CASl0杯”武汉市选拔赛试题)思路点拨由222222)1()1()1(111Cb a cba++=++想到完全平方公式． 【例3】计算下列各式： ;4211)1(44322b a a ba a ba ba ⋅++++++- ;)()()()2(222222xyz y x z xy z zxy x z y zxy yzx z y x yz x ---+++++-+--++⋅(第12届“五羊杯”竞赛题);1)1(212211221)3(22233233-+--+-+++++-x x x x x x x x x x(江西省赣州市竞赛题)⋅+--+--+-+-+--+-++---)2)(2())(()2)(2())(()2)(2())(()4(z y x x z y z y z x x z y z y x y x y z x y x z y x x z x y(安徽省马鞍山市竞赛题)思路点拨 因各分式复杂，故须观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧．对于(1)，分步通分；对于(2)，拆项再通分；对于(3)，先约分再通分；(4)注意到分母与分子的项与项之间的关系，如．x —2y+z=(x —y)一(y —z)，采用换元法简化式子．【例4】 已知,1)1(112222-++⋅=--+x C xB xA x x x x 其中A 、B 、c 为常数．求A+B+c 的值．． (第17届“五羊杯”竞赛题) 思路点拨将右边通分，比较分子，建立A 、B 、C 的等式．【例5】 (1)n 为自然数，著n+6︱n 3+1996，则称n 为1996的吉祥数，如4+6︱43+1996，4就是l996年的一个吉祥数．试求l996年的所有吉祥数的和；(北京市竞赛题) (2)计算：⋅+-++-+++-++-500099009999500010050002002250001001122222222k k k． (上海市“宇振杯”竞赛题)思路点拨(1)由于n3 + 1996的次数高于n+6的次数，所以，通过变形将两个整式整除的问题转化为一个分式的问题来解决，是解本例的b键；(2)首尾配对，考查一般情形，把数值计算转化为分式的运算．1．(1)若使分式aaa Z23114++- 没有意义，则a 的值为(2)若,32=a 则1273222+---a a a a 的值等于(2005年天津市中考题)2．已知,511=+yx则=+++-yxy x y xy x 2252(第16届“希望杯”邀请赛试题)3．已知22-+x b x a 与的和等于,442-x x 则a= ，b=(山东省竞赛题)4．学校用一笔钱买奖品，若以1枝钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖 品；若以l 枝钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品．那么，这笔钱全部用来买钢笔可以买 枝． (江苏省镇江市中考题) 5．已知式子1||)1)(8(-+-x x x 的值为零，则2的值为( )．A ．±lB ．一lC ．8D ．一l 或8(第15届江苏省竞赛题) 6．计算：22224421b ab a ba ba ba ++-÷+--的结果是( )． ba b A +.ba b B +-. ba a C +.ba a D +-..(2005年河南省竞赛题)7．若x 取整数，则使分式1236-+x x 的值为整数的x 的值有( )．A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个(第17届江苏省竞赛题)8．若a 、b 、C 满足a+b+c=0，abc=8，则cb a 111++的值是( )．A ．正数B ．负数C ．零D ．正数或负数 、(第13届“希望杯”邀请赛试题) 9．化简下列各题：;12).2142)(1(2-+---x x x x x(2004年陕西省中考题));2.(121)2(y x xy x yx x--++-(2005年苏州市中考题)(3)请将下面代数式尽可能化简，再选择一个你喜欢的数代入求值：⋅--++-11)1(22a a a a(2005年安徽省中考题) 10．甲、乙两个公司用相同的价格购粮，他们各购两次，已知两次的价格不同，甲公司每次购粮1万千克，乙公司每次用l 万元购粮，那么两次平均价格较低的是哪个公司?(第16届“希望杯”邀请赛试题)11．若,1321161814121218168232xxxxxxxa ++++++++++-=-则a 的值是 ．(2005年河南省竞赛题)12．若关于x 的方程122-=-+x a x 的解为正数，则a 的取值范围是 ．(湖北省选拔赛试题)13．代数式1112++=x x y 的值为整数的全体自然数x 的和是(2005年全国初中数学联赛题)14．已知612602-+a a是正整数，则正整数a=(第14届“希望杯”邀请赛试题)15．设a 、b 、c 均为正数，若,ac b cb a ba C +<+<+ 则a 、b 、C 三个数的大小关系是A ．c<a<bB ．b<c<口C ．a<b<cD ．c<b<a 16．计算))(())(())((b c a c c a b c b b c a b a a --+--+--的值是( )．))((2.c a b a a A -- ))((2.c b b a b B -- ))((2.c b c a c C -- 0.D(2004年河北省竞赛题)17．分式221012622++++x x x x 可取的最小值为( )．A ．4B ．5 ．C ．6D ．不存在 18．设有理数a 、b 、C 都不为零，且a+b+C=0，则+-++-+22222211ba c ac b 2221cb a -+的值是( )．A ．正数B ．负数C ．零D ．不能确定(2004年重庆市竞赛题)19．计算下列各题：;1814121111)1(842+-+-+-+--x x x x x;1113421793)2(2322-++---+-+++x x x x x x x x x⋅+---++----+---abbc ac c ba acab bc b a c bc ac ab a cb 222)3(20．某工程，甲队单独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的n 倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的b 倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的C 倍，求11111+++++c cb a 的值．(江苏省竞赛题)21．已知正整数n 大于30，且使得4n--1整除2002n ，求n 的值．(第14届“五羊杯”邀请赛试题)22．已知,321)3)(2)(1(60++-++=+-+x C x B x A x x x 其中A 、B 、C 为常数，求A+B+C 的值．(第16届“五羊杯”邀请赛试题) 答案：。
分式的基本性质与运算
分式的基本性质与运算1. 分式的基本性质分式是数学中一种特殊的表示形式，由分子和分母组成，分子与分母之间用分数线分隔。
分式在代数运算中有着重要的地位，它具备以下基本性质：1.1. 分式的定义域分式的定义域是指使分式中的分母不为零的实数集合。
因为在分式运算中，分母为零的情况是不合法的，会导致分式无法计算。
所以在定义分式运算时，需要排除分母为零的情况。
1.2. 分式的约束条件分式的约束条件是指对分子和分母的进行约束，使分式保持在最简形式。
一个约束条件是分子与分母的最大公约数为1，即分子和分母没有共同的因子。
另一个约束条件是分式的分子没有负号，而负号只出现在分式的整体前面。
1.3. 分式的唯一性分式在满足定义域和约束条件的前提下，具备唯一性。
即给定一个分式，它的分子和分母确定后，分式的值也就确定了。
这个性质在分式的运算中是非常重要的，保证了分式的计算结果是确定的。
2. 分式的运算分式的运算包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算。
下面分别对这四种运算进行讨论。
2.1. 分式的加法两个分式的加法可以通过通分的方式来实现。
通分是指使两个分式的分母相同，然后将它们的分子相加。
通分的方法是将两个分式的分母取最小公倍数，然后分别将分子乘以相应的倍数。
最后得到的分式就是它们的和。
2.2. 分式的减法分式的减法与加法类似，也可以通过通分来实现。
通分的方法与加法相同，只是将分子相减而不是相加。
最后得到的分式就是它们的差。
2.3. 分式的乘法分式的乘法可以通过将两个分式的分子相乘，分母相乘来实现。
最后得到的分式就是它们的乘积。
2.4. 分式的除法分式的除法可以通过将一个分式的分子乘以另一个分式的倒数来实现。
倒数是指将分子和分母交换位置得到的新的分式。
最后得到的分式就是它们的商。
3. 分式的简化与展开在分式的运算中，有时需要将分式进行简化来得到最简形式。
分式的简化可以通过约分来实现，即将分子和分母同时除以它们的最大公约数。
七年级下册数学分式
七年级下册数学分式
一、分式的基本概念与性质
1.分式的定义：分式是指一个含有两个数的表达式，其中分母不能为零。
分式的形式为a/b，其中a称为分子，b称为分母。
2.分式的基本性质：
（1）分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个非零整式，分式的值不变。
（2）分式的分子与分母同时加减同一个整式，分式的值不变。
（3）分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个有理数，分式的值不变。
二、分式的运算
1.分式加减法：分式加减法实质上是通分后的同分母分式的加减运算。
首先确定最简公分母，然后将各分式的分子按照最简公分母进行变换，最后进行加减运算。
2.分式乘除法：分式乘除法实质上是分子与分母的乘除运算。
分子与分母的乘法遵循分配律，除法则是分子与分母的乘法的逆运算。
3.乘法公式在分式中的应用：平方差公式、完全平方公式等乘法公式在分式运算中同样适用。
三、分式方程与不等式
1.分式方程的解法：先将分式方程转化为整式方程，然后求解整式方程，最后验根。
2.分式不等式的解法：与分式方程类似，先将分式不等式转化为整式不等式，然后解整式不等式，最后验根。
四、分式应用题
1.实际问题与分式的联系：许多实际问题都可以用分式来表示，如速度与时间的关系、单价与数量的关系等。
2.解题策略与方法：分析题目中的数量关系，将未知数用分式表示，然后建立分式方程或不等式，最后求解。
分式是七年级下册数学的重要内容，掌握分式的基本概念、运算方法、方程与不等式的解法以及应用题的解题策略，有助于提高我们的数学素养。
9.2.2 分式的加减 第1课时 分式的通分 沪科版七年级数学下册教学课件
课程讲授
1 通分
练一练：把下列各组分式通分：
（2）x2
1
y2
,
x2
1
xy
.
解：最简公分母是 x(x+y)(x-y).
x2
1
y2
x(x
x y)(x
, y)
x2
1
xy
x y x(x y)(x
. y)
随堂练习
1.分式 3a 的分母经过通分后变成 2（a-b）2（a+b）， a2 b2
课堂小结
分式的 加减
最简公分母
取做最简公 分母
通分
化异分母分式为同分母的分式的过 程.
那么分子应变为（ C ）
A. 6a（a-b）2（a+b） B. 2（a-b） C. 6a（a-b） D. 6a（a+b）
随堂练习
2.将分式
1 2a3b2
,
2x 3a2b2c
,
5y abc3
通分 ，分子所乘的单项式
依次为 3c3 ， 2ac2 ， 6a2b .
随堂练习
3.将分式
a2
1
3a
,
a
1
定义： 化异分母分式为同分母分式的过程，叫做分
式的通分.
课程讲授
1 通分
例 通分：
(1) 3 ， a b ；
2a2b
ab2c
解：最简公分母是2a2b2c
(2) 2x ， 3x . x5 x5
解：最简公分母是(x+5)(x-5)
3 2a2b
3 bc 2a2b bc
3bc 2a2b2c
,
2x 2x(x 5) 2x2 5x
分式的概念及其基本性质
分式及其基本性质（2）
沪科版七年级数学下册第九章源自四、巩固练习1、填空：
(1)
x2
x 2x
( ) x2
3x2 + 3xy , 6x2
x+ y ( )
（2）a + b ( ab
) a2b ,
2a a2
b
(
) a2b
分式及其基本性质（2）
沪科版七年级数学下册第九章
2、不改变分式的值，把下列各 式的分子与分母的各项系数都化 为整数。
(1) 0.2a + 0.5b , 0.7a b
x+ 1b
(2)
1
x
3
y
2
分式及其基本性质（2）
沪科版七年级数学下册第九章
3、不改变分式的值，使下列分子与分母
都不含“－”号。
(1) a , (2) 3x , (3) x2 .
2b
2y
2a
分式的符号法则：（１） a a b b
a+b (3) a 2b + ab 2
a+b ab(a + b)
1 ab
(4) a 2a 2a a + b 2(a + b) 2a + 2b
分式及其基本性质（2）
沪科版七年级数学下册第九章
例2 不改变分式的值，把分式
中的各
项系数都化成整数。
解析：根据分式的基本性质，分子、分母同时乘以100，可将分 式中的各项系数都化为整数。
分式及其基本性质（2）
沪科版七年级数学下册第九章
分式的基本性质: 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于 零的整式,分式的值不变。
【初中数学精品资料】分式的基本性质、乘除及乘方运算
年级初二学科数学内容标题分式的基本性质、乘除及乘方运算编稿老师何莹娟一、学习目标：1.了解分式的定义，并能正确地判断一个代数式是否是分式.2.掌握分式的基本性质，掌握分式约分的方法，熟练进行约分、通分并了解最简分式的意义.3.进一步理解分式的基本性质以及分式的变号法则.4.熟练地进行分式乘除法和乘方的混合运算.二、重点、难点：1.探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件.2.分式约分、通分的方法.3.分式的乘除法、乘方运算.4.分式的乘除法、及乘方的混合运算，分式乘法，除法、乘方运算中符号的确定.三、考点分析：分式作为初中数学的重点内容之一，也是每年中考的热门考点，考查题型多种多样，分值一般在6－9分.知识点一：分式的概念分式的定义： 形如BA的式子，当A 、B 都是整式，且B （除式不能为零）中含有字母时，这样的式子叫做分式.其中A 叫分式的分子，B 叫分式的分母.例题讲解例1：当x 为何值时，下列分式有意义.（1）2-x x ； （2）141+-x x .思路分析：题意分析：本题考查分式的定义.解题思路：若要使分式有意义，只需分式的分母不为零，可据此进一步解出字母x 的取值范围.解答过程：（1）2≠x （2）41-≠x 解题后的思考：如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎样解题吗？这样可以使一题二用，也可以全面地感受到分式及有关概念.例2：当m 为何值时，分式的值为0？（1）1-m m ；（2）32+-m m ；（3）112+-m m .思路分析：题意分析：本题考查分式值为0的问题.解题思路： 分式的值为0时，必须同时．．满足两个条件：①分母不能为零；②分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. 解答过程：（1）m=0 （2）m=2 （3）m=1解题后的思考：我们从实例中发现了分式和整式的不同之处：分式的分母中含有字母，整式的分母中不含字母，且除式不能为零，即分母不能为零，明白了分式中的字母是有条件约束的，分式中的字母的取值必须保证分母不为零. 小结：1. 掌握理解分式的概念.2. 分式的概念和分式有意义的条件.应用分式有意义的条件——分母不为零，解出字母的值.还可以利用不改变分式，只把题目改成“分式无意义”，使学生比较全面地理解分式及有关的概念，也为今后求函数的自变量的取值范围，打下良好的基础.3. “在什么条件下，分式的值为0？”，分式的值为0时，必须同时满足两个条件：①分母不能为零；②分子为零.由这两个条件得到的解集的公共部分才是这一类题目的解.知识点二：分式的基本性质分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示是：MB MA B A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=, （其中M 是不等于零的整式）. 与分数类似，根据分式的基本性质，可以对分式进行约分和通分. 1、分式的变号法则例3：不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数： （1）21x x -； （2）322+--x x. 思路分析：题意分析：本题考查分式的基本性质的知识.解题思路：（1）根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用.（2）当括号前添“+”号时，括号内各项的符号不变；当括号前添“－”号时，括号内各项都变号. 解答过程：（1）1122--=-x x x x ； （2）323222--=+--x x x x . 解题后的思考：不改变分式的值，使分式的分子和分母都不含“－”号.它是由分式的基本性质得出分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.“不改变分式的值，使分式的分子和分母都不含‘－’号”是分式的基本性质的应用之一. 2、分式的约分例4：约分（1）4322016xy y x -； （2）44422+--x x x . 思路分析：题意分析：本题考查利用分式的基本性质进行约分.解题思路：约分时要找准分子和分母的公因式，最后的结果必须是最简分式. 解答过程：（1）;542016432y xxyy x -=- （2）44422+--x x x ＝2)2()2)(2(--+x x x ＝22-+x x .解题后的思考：在进行分式约分时，若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分解因式（即化成乘积的形式），然后再进行约分.约分后，分子与分母不再有公因式，我们把这样的分式称为最简分式. 3、分式的通分思考：如何把分数65,43,21通分. 解：126261621=⨯⨯=，129433343=⨯⨯=，1210625265=⨯⨯= 思考：什么叫分数的通分？答：把几个异分母的分数化成与原来的分数相等的同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分.和分数通分类似，把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分.通分的关键是确定几个分式的公分母.例5：通分 （1）4322361,41,21xy y x z y x ；（2）2241xx -与412-x . 思路分析：题意分析：本题考查有关实数的知识.解题思路：（1）对于三个分式的分母中的系数2，4，6，取其最小公倍数12；对于三个分式的分母的字母，以字母x 为底的幂的因式，取其最高次幂x 3，以字母y 为底的幂的因式，取其最高次幂y 4，再取字母z .所以三个分式的最小公分母为12x 3y 4z .（2）先把这两个分式的分母中的多项式分解因式，即4x －2x 2=－2x （x －2），x 2－4=（x+2）（x －2），把这两个分式的分母中所有的因式都取到，其中，系数取正数，取它们的积，即()()222-+x x x 就是这两个分式的最简公分母.解答过程：（1）;1262143223zy x y z y x = ;123414332z y x xyzy x = ;122614324zy x zx xy = （2）()();22222412-++-=-x x x x x x)2)(2(22412-+=-x x x xx . 解题后的思考：通分是要正确地确定各个分母的最简公分母1. 取各分式的分母中系数的最小公倍数；2. 各分式的分母中所有字母或因式都要取到；3. 相同字母（或因式）的幂取指数最大的；4. 所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母.5. 分式是多项式时，一般应先将各分母分解因式，然后按上述的方法确定最简公分母. 小结：知识点三：分式的运算 1、分式的乘除例6：计算：（1）x b ay by x a 2222⋅ ； （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷a bc ac b 2110352 ；（3）493222--⋅+-x x x x ； （4）)3(2962y y y y -÷++-；（5）)4(3)98(23232b x b a xy y x ab -÷-⋅；（6）x x x x xx x --+⋅+÷+--3)2)(3()3(44622. 思路分析：题意分析：本题考查分式的乘除运算解题思路：①本题是几个分式在进行什么运算？②每个分式的分子和分母都是什么代数式？③在分式的分子、分母中的多项式是否可以分解因式，怎样分解因式？ ④怎样应用分式乘法法则得到积的分式？解答过程：（1）3323232222ba xyb xy a x b ay by x a ==⋅；（2）222222730105102135211035cb abc ab bc a ac b a bc ac b -=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷； （3）原式＝)2)(2()3)(3(32-+-+⋅+-x x x x x x ＝23+-x x ； （4）31)3(196)3(96222-=⋅-=⋅+-=-÷+-y y y y y y y ； （5）)4(3)98(23232b xb a xy y x ab -÷-⋅=()x b ba xy y x ab 34)98(23232-⋅-⋅=xb b a xy y x ab 349823232⋅⋅ =32916ax b ； （6）x x x x xx x --+⋅+÷+--3)2)(3()3(44622x x x x x x x --+++--3)2)(3(3144622=x x x x x x --+⋅+⋅--3)2)(3(31)2()3(22 =)3()2)(3(31)2()3(22---+⋅+⋅--x x x x x x =22--x . 解题后的思考：（1）根据分式的乘除法法则进行运算.应该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，再计算结果.（2）分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进行约分.结果中如果分母如果不是单一的多项式，而是多个多项式相乘时不必把它们展开. 2、分式的乘方讲解分式乘方的运算法则之前，根据乘方的意义和分式乘法的法则，计算2)(b a =⋅b a b a =b b a a ⋅⋅=22b a ，3)(b a =⋅b a ⋅b a b a =b b b a a a ⋅⋅⋅⋅=33ba ，……顺其自然地推导可得：归纳出分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方.例7：计算：（1）332)23(c b a -； （2）32223)2()3(xay xy a -÷； （3）)()()(422xy xy y x -÷-⋅-. 思路分析：题意分析：本题考查分式的乘除及乘方运算.解题思路：（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判断乘方结果的符号，再分别把分子、分母乘方.第（2）、（3）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应注意运算顺序：先做乘方，再做乘除. 解答过程：（1）936332827)23(cb ac b a -=-； （2）43663239889)2()3(y x a y a x y x a x ay xy a -=⋅-=-÷； （3）4422242211)()()(yxy x y y x xy x y y x =⋅⋅=-÷-⋅-. 解题后的思考：分式的乘除与乘方的混合运算是分式中的重点，也是难点，要注意运算顺序，不要盲目地跳步计算，提高正确率，突破难点.小结：分式的运算以有理数和整式的运算为基础，以因式分解为手段，经过转化后往往可视为整式的运算.分式法乘除的法则和运算顺序可类比分数的有关内容得到.所以，用类比的数学思想方法能较好地实现新知识的转化.特别要注意运算符号的问题.1. 突破难点的方法是利用分式与分数有许多类似之处，从分数入手，研究出分式的有关概念，同时还要清楚分式与分数的联系与区别.通过复习分数的通分、约分总结出分数的基本性质，再用类比的方法得出分式的基本性质.应用分式的基本性质导出通分、约分的概念，使学生在理解的基础上灵活地将分式变形.2. 分式的乘除法法则和运算顺序可类比分数的有关内容得到.所以学会用类比的数学思想方法能较好地实现新知识的转化.另外要紧紧抓住做分式乘除法的混合运算时先统一成乘法运算这一点，分式乘除法的混合运算，要注意运算顺序，不要跳步.还要注意运算符号问题、变号法则.（答题时间：60分钟）一、填空题1. 分式24xx -，当x_______时，分式有意义；当x_______时，分式的值为零. 2. 当x_______时，分式15x -+的值为正；当x______时，分式241x -+的值为负.二、选择题3. 下列式子①2x ，②5x y +，③12a -，④1x π-中，是分式的有（ ） A . ①②B . ③④C . ①③D . ①②③④4. 分式31x ax +-中，当x=－a 时，下列结论正确的是（ ） A . 分式的值为零 B . 分式无意义C . 若a ≠－13时，分式的值为零 D . 若a ≠13时，分式的值为零 5. 下列各式中，可能取值为零的是（ ）A . 2211m m +-B . 211m m -+C . 211m m +- D . 211m m ++6. 使分式||1xx -无意义，x 的取值是（ ）A . 0B . 1C . －1D . ±17. 计算（2x y ）·（y x ）÷（－yx ）的结果是（ ）A . 2x yB . －2x yC .xyD . －x y8. 122+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n m b 的值是（ ）A . 2321n n b m ++B . －2321n n b m ++C . 4221n n b m ++D . －4221n n b m++9. 化简：（3x y z ）2·（xz y ）·（2yzx ）3等于（ ）A . 232y z xB . xy 4z 2C . xy 4z 4D . y 5z*10. 如果（32a b ）2÷（3a b）2=3，那么48b a 等于（ ）A . 6B . 9C . 12D . 81三、解答题11. 计算：（1）2222213462a a a a a a a a a a -⋅--÷+-+；（2）269x x -+÷29x -·3x +.**12. 已知0233132=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-b a b a =0. 求2b a b +÷[（b a b -）·（ab a b +）]的值.13. 先化简，再求值：232282x x x x x +-++÷（2x x -·41x x ++）. 其中x=－45.一、填空题1. ≠±2，=02. <5，任意实数二、选择题3. C4. C5. B6. D7. B8. D9. B10. 3662242842342()()3339a a a b a b a b b bb a ÷=⋅=⋅=⋅= 答案是B三、解答题11. （1）22222234962aa a a a a a a a -⋅--÷+-+ ()()()()()22222332a a a a a a a a a -⋅-+-⋅-+=31-=a （2）102310396962222-+⋅---÷--+-x x x x x x x x x()()()()()()()()52333252332-+⋅-++-⋅+--=x x x x x x x x x 21= 12. ,013,0233132=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-b a b a b a 2,1,0233-=-==-b a b a .代入2b a b +÷[（b a b -）·（aba b +）]=－1 13. ⎪⎭⎫⎝⎛++⋅-÷++-+142282232x x x x x x x x x ()()()()()()4211242+-+⋅+-+=x x x x x x x x 11+=x把54-=x 代入11+x ，原式=5。
七年级数学下册分式的基本性质及其运算
Ⅳ、保证凡出现的字母（或含有字母的式子)为底的幂的因式都要取。
注意：分式的分母为多项式时,一般应先因式分解。
知识点六分式的四则运算与分式的乘方
①分式的乘除法法则:
分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。式子表示为：
分式除以分式:把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。式子表示为
４.若 则 。
5．已知 ，则 的值是（)A． B. C.1D.
【练习】１.已知 ,则分.已知a2-６a+９与│b-1│互为相反数,则式子( )÷（a+b)的值为__＿_.
5.已知实数a，b满足ａb-a-2b＋２＝0,那么 的值等于( ）.
十．化简、求值
②分式的乘方:把分子、分母分别乘方。式子
③分式的加减法则：
同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为
异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式,然后再加减。式子表示为
整式与分式加减法:可以把整式当作一个整数,整式前面是负号，要加括号,看作是分母为1的分式,再通分。
④分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
知识点二:与分式有关的条件
分式有意义：分母不为０( ）
分式无意义:分母为0（ )
分式值为0：分子为0且分母不为0（ )
④分式值为正或大于0：分子分母同号( 或 )
分式值为负或小于0：分子分母异号（ 或 ）
分式值为1:分子分母值相等(A=B）
分式值为-１:分子分母值互为相反数（A+Ｂ＝0）
知识点三：分式的基本性质
二．分式的值
【例题】
1.当ａ时，分式 有意义；２.当_____时,分式 无意义;
初中数学分式的概念、运算及分式方程培优(含解析)
初中数学分式的概念、运算及分式方程培优考试要求：例题精讲：模块一分式的概念【例1】x为何值时，分式29113xx-++有意义？【解析】根据题意可得：110330xx⎧+≠⎪+⎨⎪+≠⎩，解得3x≠-且4x≠-;如果问：x为何值时，分式29113xx-++值为零，答案为3x=.【答案】3x=【巩固】⑴若分式216(3)(4)xx x--+有意义，则x;⑵若分式216(3)(4)xx x--+无意义，则x;【解析】⑴若分式216(3)(4)xx x--+有意义，则3x≠且3x≠-且4x≠-;⑵若分式216(3)(4)xx x--+无意义，则3x=或3x=-或4x=-；【答案】⑴3x≠且3x≠-且4x≠-；⑵3x=或3x=-或4x=-【例2】解下列不等式：①53xx-<-；②523xx->-【解析】①由题意可知5030xx->⎧⎨-<⎩或者5030xx-<⎧⎨->⎩，解得3x<；5x>，所以原不等式的解集为3x<或5x>；②5203x x -->-，即11303xx ->-，由题意可知113030x x ->⎧⎨->⎩或者113030x x -<⎧⎨-<⎩， 解得1133x <<；无解，所以原不等式的解集为1133x <<. 【答案】3x <或5x >；1133x <<．【巩固】⑴解不等式304x x +<- ；⑵解不等式334x x +>- .【解析】 ⑴由题意可知3040x x +>⎧⎨-<⎩或者3040x x +<⎧⎨->⎩,由得34x -<<；无解集，所以原不等式的解集为34x -<<；⑵由题意可知3304x x +->-，15204xx ->-，可得：152040x x ->⎧⎨->⎩或者152040x x -<⎧⎨-<⎩得1542x <<；无解集，所以原不等式的解集为1542x <<. 【答案】34x -<<；1542x <<．模块二 分式的运算☞分式的化简求值裂项【例3】 设为正整数，求证：. 【解析】，故【答案】【巩固】化简：. 【解析】 【答案】2100100x x+n 1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+111111111(1.....)(1)233521212212n n n -+-++-=-<-++1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++111111111.........(1)(1)(2)(99)(100)11299100x x x x x x x x x x x x +++=-+-+-++++++++++211100100100x x x x =-=++【巩固】化简： 【解析】 原式 【答案】255x x+【例4】 化简：. 【解析】同理，，故.【答案】0【巩固】(第11届希望杯试题)已知，，为实数，且，，，求. 【解析】 由已知可知 ，三式相加得，，故. 【答案】16【巩固】化简：. 【解析】同理，， 故 【答案】022222111113256712920x x x x x x x x x x +++++++++++++11111(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)x x x x x x x x x x =+++++++++++++211555x x x x =-=++222()()()()()()a bc b ac c aba b a c b c b a c a c b ---++++++++22()()()()a bc a ac ac bc a ca b a c a b a c a b a c-+--==-++++++2()()b ac b a b c b a b c b a -=-++++2()()c ab c bc a c b c a c b-=-++++2220()()()()()()a bcb ac c aba b a c b c b a c a c b ---++=++++++a b c 13ab a b =+14bc b c =+15ca c a =+abc ab bc ca++113114115a b b cc a ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩1116a b c ++=1111116abc ab bc ca ab bc ca abc a b c===++++++222222a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab ------++--+--+--+221111()()a b c a b a c a ab ac bc a b a c a b a c a b c a---+-==+=---+------2211b c a b ab bc ac b c a b --=---+--2211c a b c ac bc ab c a b c --=---+--2222220a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab ------++=--+--+--+☞分式的恒等变形部分分式【例5】 下面的等式成立：22465()()x y x y x y A x y B -+--=--++，求A 、B . 【解析】2222465()()()()x y x y x y A x y B x y B A x A B y AB -+--=--++=-+--+-， 故有4B A -=，6A B +=，所以1A =，5B =.【答案】1A =5B =【巩固】若代数式(1)(2)(3)x x x x p ++++恰好能分解为两个二次整式的乘积(其中二次项系数均为1，且一次项系数相同)，则p 的最大值是 . 【解析】设原式可分解为22()()x ax m x ax n ++++，展开可得：224322()()2()()x ax m x ax n x ax a m n x a m n x mn ++++=+++++++. 比较等号两边的系数可得：32a m n mn p =⎧⎪+=⎨⎪=⎩，，故22(2)21(1)1p m m m m m =-=-=--≤，最大值为1.【答案】1【例8】 若213111a M Na a a -=+--+，求M 、N 的值. 【解析】 2213()()1111a M N M N a M N a a a a -++-=+=--+-，所以31M N M N +=-⎧⎨-=⎩，所以12M N =-⎧⎨=-⎩ 【答案】1,2M N =-=-【巩固】(06年宁波市重点中学提前考试招生试题)已知2a x +与2b x -的和等于244xx -，求a ，b .【解析】 22()2()42244a b a b x a b x x x x x +--+==+--- 所以40a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩【答案】2,2a b ==分式恒等证明【例9】 求证：()()332222222222a a a ab b a ab b a ab b a ab b a b a b ⎛⎫⎛⎫++--+-=++-+ ⎪⎪-+⎝⎭⎝⎭【解析】 左边()()333333333322a b a b a b a a b a a b a b a b a b a b a b -+--⎛⎫⎛⎫-+=--=⋅ ⎪⎪--++-+⎝⎭⎝⎭ ()()33332222a b a b a ab b a ab b a b a b -+=⋅=++-+=-+右边。
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分式的基本性质及其运算【知识点归纳】知识点一：分式的定义一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式，A 为分子，B 为分母。
知识点二：与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=0B A ）④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><0B A ）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：C B C ••=A B A ，CB C÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即BB A B B --=--=--=AA A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。
知识点四：分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式。
注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。
最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
知识点五：分式的通分①分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
②分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
确定最简公分母的一般步骤：Ⅰ、 取各分母系数的最小公倍数；Ⅱ、 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； Ⅲ、相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ、 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。
注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。
知识点六分式的四则运算与分式的乘方① 分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
式子表示为：db ca d cb a ••=• 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
式子表示为cc ••=•=÷b da db a dc b a ② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。
式子n n nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛③ 分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。
式子表示为cba cb ±=±c a 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。
式子表示为bdbcad d c ±=±b a 整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。
④ 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。
注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。
【精讲精练】 一．分式【例题】下列有理式中是分式的有(1)－3x ；(2)y x ；(3)22732xy y x -；(4)x 81-；(5)35+y ； (6)112--x x ；(7)π12--m ；(8)5.023+m ； 【练习】1、在下列各式m a m x x b a x x a ,),1()3(,43,2,3222--÷++π中，是分式的有_____个 2.找出下列有理式中是分式的代号___________________________ (1)－3x ；(2)yx；(3)22732xy y x -；(4)－x 81；(5) 35+y ；(6)112--x x ；(7) π-12m ； (8)5.023+m .二．分式的值【例题】1.当a 时，分式321+-a a 有意义；2.当_____时,分式4312-+x x 无意义； 3.若分式33x x --的值为零，则x = ；4.当_______时,分式534-+x x 的值为1；5.当______时,分式51+-x 的值为正；6.当______时分式142+-x 的值为负.【练习】1．①分式36122--x x 有意义，则x ；②当x_____时，分式 1x x x -- 有意义；③当x ____时分式x x 2121-+有意义； ④当x_____时,分式11x x +-有意义； ⑤使分式9x 1x 2-+有意义的x 的取值范围是 ；2.当x = 3时，分式bx ax +-无意义，则b ______ 3. ①若分式11x x -+的值为零，则x 的值为 ；②若分式0)1x )(3x (1|x |=-+-，则x 的值为_________________；③分式392--x x 当x __________时分式的值为0；④当ｘ= ＿时，分式22943x x x --+的值为0；⑤当a=______时,分式2232a a a -++ 的值为零； 4.当x __ 时，分式x -51的值为正. 5.当x=_____时,分式232x x --的值为1. 6.若分式231-+x x 的值为负数，则x 的取值范围是__________。
7.x______时,分式x x++51的值等于21. 8当分式44x x --=-1时,则x______；9.要使2415--x x 与的值相等，则x =__________。
三．分式的基本性质1．把分式0.1220.30.25x x -+的x 系数化为整数，那么0.1220.30.25x x -+=2．化简11341123a b a b +- 3.不改变分式52223x yx y -+的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果是( ) A.2154x y x y -+ B.4523x y x y -+ C.61542x y x y -+ D.121546x y x y -+四．约分1．d b a c b a 32232432- 2.()()y x a x y a --271223 3.xx x 22497--4.xy xy y x 222+ 5.m m m -+-1122 6.22969x x x --+【练习】1. 22222b a b ab a -+- 2.63422-+++x x xx 3. 3322b a b ab a ++-五．通分1. ac bb ac c b a 107,23,5422 2.2223211,,13223x x x x x x x x -+---+-+【练习】1. 221,,b a b a b a b --- 2. 222111,,21121a a a a a -+-++六．分式的乘除法1.222224693a a a a a a a +-÷-+-2.23()224x x x x x x -÷-+- 3.22144422a a a a a --⨯-+-七.分式的乘方1．计算2323()a b a b --÷ 2.1201(1)5(2004)2π-⎛⎫-+-÷- ⎪⎝⎭八.分式的混合运算1.23651x x x x x+---- 2.2424422x y x y x x y x y x y x y ⋅-÷-+-+九. 灵活应用 【例题】1.已知115x y +=，则分式2322x xy y x xy y-+++=________ ； 2.已知14x x+=，则2421x x x =++ ． 3．已知++4a 9-b =0，则=--⋅+22222ba aba b ab a _________.4.若432zy x ==则=+--+zy x z y x 232 。
5．已知432cb a ==，则c b a +的值是（）A ．54 B. 47 C.1 D.45【练习】1.已知113x y-=，则分式2322x xy yx xy y +---的值为 ；2.若b ab a b ab a b a +++-=+23,211则=_______.3．若=++=-1,31242x x x x x则_ _。
4.已知a 2-6a+9与│b-1│互为相反数,则式子(a b ba-)÷(a+b)的值为____. 5．已知实数a ，b 满足ab-a-2b+2=0，那么a bab+的值等于（ ）. 十．化简、求值1． abba ab b b a a +÷-+-)(222.有一道题：“先化简，再求值：22241()244x x x x x -+÷+-- 其中，x=—3”．小玲做题时把“x=—3”错抄成了“x=3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？5. 当56,1949x y =-=-时，代数式4422222x y y xx xy y x y --⋅-++值为多少？6．先化简，再求值： a a a a a a a a ---⎛⎫-÷ ⎪++++⎝⎭222142442，其中a 满足：2210a a +-=。