高中数学小课题目

高中数学小课题目

1已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝________.

2.已知函数()ln 3(0)f x x ax a =--≠.

（1）求函数()f x 的极值；

3.已知函数()ln f x x x =. （Ⅰ）求()f x 的最小值；

4.已知函数1()ln ()f x a x a R x

=-∈. （1）若()()2h x f x x =-，当3a =-时，求()h x 的单调递减区间；

1.解析】 ∵f ′(x )＝3ax 2＋1，

∴f ′(1)＝3a ＋1.

又f (1)＝a ＋2，

∴f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2，7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.

【答案】 1,

2.

2，

3.

【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为0∞(，+)， ()f x 的导数()1ln f x x '=+. 令()0f x '>，解得1e x >；令()0f x '<，解得10e x <<.从而()f x 在10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，单调递减，在1e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭

，+单调递增.所以，当1e x =时，()f x 取得最小值1e -.

4.