二项分布的性质及其渐近性

引言 (2)

1.二项分布的初等性质： (3)

1.1 二项分布和二点分布 (3)

1.2 二项分布的数学期望和方差 (4)

1.3 二项分布其中的概率b(k;n,p)中k的研究 (6)

1.4 二项分布的图像 (6)

1.5 二项分布的可加性 (7)

1.6符合二项分布的情形 (7)

2.二项分布的渐进性 (8)

2.1二项分布与超几何分布 (8)

2.2 二项分布与Poisson分布 (8)

2.3 二项分布与正态分布 (14)

参考文献 (17)

二项分布的性质及其渐近性

苏州大学数学科学学院 05师范 顾琦

摘要： 本文主要是对二项分布的初等性质进行系统的整理归纳以及对二项分布的极限情

况进行研究总结．

关键词：随机变量，贝努利试验，二项分布，事件，极限，独立，分布函数

Abstract: This paper discusses systematically the primary properties of binomial distribution as well as its asymptotic behavior.

Key words: random variables, Bernoulli tests, binomial distribution, events, limit, independence, distribution functions

引言

随机变量有千千万万个，但常用分布并不多.常用分布分为两类：离散分布和连续分布，我们要研究的就是离散分布中的二项分布.研究二项分布的性质及其渐进性.

二项分布是一个离散分布，且是常用的.研究二项分布之前，我们先来看看贝努利试验， 定义1.1 如果做一项试验，只观测其中的某一特定的现象是否出现，那么我们就把这种试验叫做贝努利试验.

定义 1.2 如果某次试验的结果恰好就是我们所关心的现象，我们就称该次试验是成功的．如果多次重复地进行这种试验，并且各次试验相互独立地进行，就称这种试验为多（n ）重贝努利试验.

如果记ξ为n 重贝努利试验中成功（记为事件A ）的次数，则ξ的可能取值为0，1，2，……，n .记p 为每次试验中A 发生的概率，即P （A ）=p ，则P （A ）=1-p.即q=1-p

因为n 重贝努利试验的基本结果可以记作 ),...,(21ωωωωn =

其中ωi 或者为A ，或者为A 这样的ω共有n 2个，这n 2个样本点ω组成了样本空间Ω.

下面求ξ的分布列,即求事件{ξ=k }的概率.若某个样本点

),...,(21ωωωωn =∈{ξ=k}意味着ωωωn ,...,21中有k 个A ,n-k 个A ,所以由独立性知,

k n k p p P --=)

1()(ω 而事件{ξ=k }中这样的ω共有)(n k 个,所以ξ的分布列为

)(k P =ζ=k n k n k p p --)1()(,k=0,1,2,…,n

这个分布称为二项分布,记为),(~p n B ξ．

容易验证其和恒为1，

即

∑

=n

k 0k n k n k p p --)1()(=1)]1([=-+n p p

由此可见，二项概率k n k n k

p p --)1()(恰好是二项式n p p )]1([-+的展开式中的第k+1项，这正是其名称的由来.

首先我们来看看

1.二项分布的初等性质：

1.1 二项分布和二点分布

定义1.3二点分布．因为随机变量ξ有可能取值只为

．取这些值的概率分别

为：

，

其中

，

．这种分布称为“0-1”分布.或二点分布，它的分布列

为:

二点分布b(1,p) 主要是用来描述一次伯努利实验中成功出现的次数（0或1）．它是二项分布的一种特殊情形．二项分布和二点分布可以看成是二项分布随机变量是n个独立同分布的二点分布随机变量之和.

1.2 二项分布的数学期望和方差

二项分布的数学期望为np，方差为npq．

证明如下:

设随机变量)

，则

B

n

(

~p

,

应用组合公式

得

故

当然，求二项分布的期望还有一种简单的方法，证明如下：

ξ可以看作是n 重贝努利试验中事件A 出现的次数，其中A 在每次试验中出现的概率为p .现在令=i ζ1;i 0;i A A ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

在第次试验中出现在第次试验中不出现

显然）（n ≤≤i 1i

ζ是服从0—1分布的随机变量，所以 ,p E i =ζ n i ≤≤1

另一方面，我们所关心的随机变量ξ可以表示为∑==

n

i 1i ζζ，于是由数学期望的性质可得np E E n i i ==∑=1ζ

ζ

在上述计算中，我们把一个比较复杂的随机变量ξ拆成n 个比较简单的随机变量i ζ之和，

由数学期望的性质，只要求得这些比较简单的随机变量的数学期望，再把它们相加即可得到ξ的数学期望．这样的方法是概率论中常用的一种方法．

1.3 二项分布其中的概率b(k;n,p)中k 的研究

我们来看看概率b(k;n,p)如何随着k 的变化而变化的规律．写q=1-p ,对k≥1，我们有 b(k;n,p)b(k-1;n,p) = (n-k+1)p kq = 1+(n+1)p-k kq

所以，当k<(n+1)p 时，有b(k;n,p)> b(k-1;n,p);而当k>(n+1)p 时，则有b(k;n,p)< b(k-1;n,p).这就是说，在分布律b(n,p)中，概率b(k;n,p)的值先随着k 的增大而增大，而当k>b(k;n,p)后，则随着k 的增大而减小．因此b(k;n,p)必可达到其最大值．易见，如果m=(n+1)p 为整数，则b(m;n,p)= b(m-1;n,p)同为其最大值；而如果(n+1)p 不是整数，则b(k;n,p)在k=[(n+1)p]处取得最大值．其中[x]表示不超过实数x 的最大整数．我们称使b(k;n,p)达到最大值的正整数m 为服从二项分布b(n,p)的随机变量的最大可能值

如:一射手射击活动目标的命中率为p=0.8 ,共射击10次,求他最大可能的命中次数. 解 每一次射击都对应一个参数为p =0.8的贝努利随机变量,假定各次射击独立进行,则

他命中目标的次数就是10个相互独立的参数同为p=0.8的贝努利随机变量的和,所以服从二项分布B (10,0.8).由于(n+1)p =8.8不是整数,故知他命中目标的最大可能次数为m =[8.8]=8

1.4 二项分布的图像