7.4 函数幂级数展开式汇总

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第五节函数的幂级数展开式

f ( n ) ( 0) n x n!
称为n阶余项.
6
函数 f(x) 展开成幂级数

n 0

f ( n ) ( 0) n x 具体步骤： n!
1. 求出 x 0 处的函数值及各阶导数值
( n) f (0) , f (0) , f (0) ,, f (0), ；

2. 写出幂级数
2
克劳林级数.
x x arctan x ， arctanx 解 f ( x ) 2 2 1 x 1 x x 1 又 arctanx dx 2 0 1 x

x 0
x (1) 2n 1 , ( 1 x 1) (1) x dx n 0 n 0
x (,)
两边求导, 得
2n 2 4 x x x n cos x ( 1) 1 , ( 2n ) ! 2! 4! n 0
x (,)
12
例4
解
将 f ( x) ln( 1 x) 展开成 x 的幂级数.
1 n | x|1 因为 f ( x ) ( x ) ， 1 x n 0
证设函数 f ( x ) 能展开成幂级数
于是存在r 0 使得
n 0
a
n 0
n
x ，
n
f ( x ) an x n a0 a1 x a2 x 2 ( | x | r )
2
f ( x ) an x a0 a1 x a2 x ( | x | r )
x

n 0
f
( n)
( 0) n x ，并求其收敛域 D. n!
3. 考察 lim Rn ( x ) 0 在 D 上是否成立。

函数展成幂级数的公式

函数展成幂级数的公式幂级数是一种特殊的无限级数形式，能够以函数的形式展开。

它在数学、物理和工程领域中具有重要的应用。

将一个函数表示为幂级数的形式，可以帮助我们在分析和计算中简化问题。

一个一般的幂级数的表示形式如下：\[f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots\]其中，$f(x)$是我们要展开的函数，$a_0, a_1, a_2, a_3,\ldots$是常数系数。

$x$是独立变量。

这里的$x$可以是实数或复数。

当幂级数展开时，我们通常选择一个特定的点作为展开点。

这个点通常是函数的一些特殊值，比如0或无穷大。

以0为展开点的幂级数称为麦克劳林级数，以无穷大为展开点的幂级数称为朗伯级数。

麦克劳林级数的形式如下：\[f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots\]其中，$a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots$是常数系数，可以通过导数求值来确定。

朗伯级数的形式如下：\[f(x) = \ldots + \frac{a_{-3}}{x^3} + \frac{a_{-2}}{x^2} +\frac{a_{-1}}{x} + a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots\]其中，$a_{-3}, a_{-2}, a_{-1}, a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots$是常数系数。

通过使用导数和积分的性质，我们可以确定函数$f(x)$的常数系数。

具体来说，如果我们知道函数在展开点的所有导数的值，我们可以使用泰勒公式来确定这些常数系数。

\[f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \ldots\]其中，$f(a)$表示函数在展开点$a$处的值，$f'(a)$表示函数在展开点$a$处的一阶导数，$f''(a)$表示函数在展开点$a$处的二阶导数，依此类推。

函数的幂级数展开式

函数的幂级数展开式
函数的幂级数展开式是将一个函数表示成幂函数的和的形式，即
f(x) = a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + a_3*x^3 + ...
其中a_0, a_1, a_2, a_3, ...是待定的常数系数，x是变量。

这个
等式表示了函数f(x)在某个点(可以是无限远)附近的展开形式。

当x接近0的时候，这个级数可以收敛到函数f(x)。

幂级数展
开式的一个常见形式是泰勒级数展开式。

泰勒级数展开式是一种特殊的幂级数展开式，用于将一个光滑函数表示成无穷级数的形式。

泰勒级数展开式的一般形式是：
f(x) = a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + a_3*x^3 + ...
其中a_0, a_1, a_2, a_3, ...是待定的常数系数，x是变量。

这个
级数的系数可以通过函数在某个点处的导数来计算。

泰勒级数展开式在数学分析和物理学中有广泛的应用，可以用于近似计算函数的值、求导和积分等问题。

函数的幂级数展开

2013-2-27 8

f (x ) 在
定理 2 ( 充要条件 ) 设函数 f (x ) 在点 x0 有任意阶导数 . 则 f (x) 在区间 ( x0 r , x0 r ) ( r 0 ) 内等于其 Taylor 级数 ( 即可展 )的充要条件是: 对 x ( x0 , r ) , 有 lim Rn ( x) 0 . 其 n 中 Rn (x) 是 Taylor 公式中的余项. 证把函数 f (x ) 展开为 n 阶 Taylor 公式, 有
1 ( n 1) Rn (x) f ( )( x ) n x, n!
在 0 与 x 之间.
Taylor 公式的项数无限增多时, 得
f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 ( x x0 ) n 2! n!
f ( n ) ( x) n! , n 1 (1 x) 1 在点 x 0 1 x
无限次可微. 求得
( x 1 ), f ( n ) (0) n!
2013-2-27
. 其 Taylor 级数为
4
1 x x x xn .
2 n

n 0
该幂级数的收敛域为 ( 1 , 1 ) . 仅在区间 ( 1 , 1 ) 内有 f (x) = x n .
a a
x
x ln a
x n ln n a , n! n 0

| x | .
2
2013-2-27
x 2 n 1 sin x ( 1 ) , (2n 1)! n 0
n
x( , ).

幂级数展开

Lemma 设函数 ϕ ( x ) 在区间 [0, 1] 上有 n + 1 阶连续导函数，连续导函数，则
ϕ (1) = ϕ (0) + ϕ '(0) ϕ ''(0)
1! + 2!
1 0
+L +
ϕ ( n ) (0)
n!
1 1 ( n +1) + ∫ ϕ (t )(1 − t ) n dt . n! 0
α
α (α −1)
2!
α (α −1)L(α − n +1)
n!
x
n
+ Rn ( x).
Taylor级数收敛半径为 R = 1. 级数收敛半径为级数 Lagrange余项余项
α (α − 1)L (α − n)
(n + 1)! (1 + ξ )α − n −1 x n +1 ,
是否趋向 0 ？说不清说不清. n o (x ) n Peano余项 o ( x ) , x → 0 时， x n → 0, 余项 14 x 不动时， o ( x n ) → 0 ? 也说不清也说不清. n→∞ 但不动时，
∞
f
(n)
( x0 ) n ( x − x0 ) . n!
1
x2 e , x ≠ 0, e x t f '(0) = lim = lim t = 0. 例4 f ( x ) = x →0 x t →∞ e 0, x = 0. 1 − 2 x 1 e 2 − x2 3 2t 4 x ≠ 0时，f '( x) = 3 e , f ''(0) = lim x = lim t = 0. x →0 t →∞ x x e 1 − 2 4 6 x ≠ 0时，f ''( x) = ( 6 − 4 )e x , LL LL x x

函数幂级数展开式

函数幂级数展开式
假设我们需要展开一个函数 f(x) 的幂级数。

幂级数展开是将一个函数表示为无穷级数的形式，其中每一项都是 x 的幂次的多项式。

我们可以使用泰勒级数展开来近似表示一个函数。

泰勒级数展开的一般形式如下：
f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ...
其中 a0, a1, a2, a3, ...是待定系数，它们的值可以通过函数求导后代入来确定。

假设我们希望将函数 f(x) 在点 x = a 处展开，我们需要依次求取 f(a), f'(a), f''(a), f'''(a), ... 等导数，并代入泰勒级数展开式中。

之后，我们就可以得到幂级数展开式：
在实际操作中，我们可以选择一个适当的点 a，计算出 a 处的函数值和各阶导数的值，然后代入上述展开式中即可获得函数 f(x) 的幂级数展开式。

需要注意的是，幂级数展开只能在某个范围内是有效的，展开后的级数在展开点附近收敛。

当使用幂级数展开来近似函数时，需要确保展开的范围合适，以获得较好的近似效果。

函数的幂级数展开式

函数的幂级数展开式【实用版】目录1.幂级数展开式的定义2.幂级数展开式的性质3.幂级数展开式的求法4.幂级数展开式的应用正文一、幂级数展开式的定义幂级数展开式，是数学分析中的一种重要概念，主要用于描述函数在某一点附近的近似值。

设函数 f(x) 在点 a 附近展开为幂级数，即：f(x) = a_0 + a_1(x-a) + a_2(x-a)^2 +...+ a_n(x-a)^n +...其中，a_0, a_1, a_2,..., a_n,...为泰勒级数展开式的各项系数，(x-a) 为展开的基函数。

二、幂级数展开式的性质幂级数展开式具有以下性质：1.在收敛域内，幂级数展开式是唯一的。

2.幂级数展开式的各项系数满足：a_n = f^(n)(a) / n!，其中 f^(n)(a) 表示 f(x) 在点 a 处的 n 阶导数。

3.幂级数展开式在收敛域内是连续的，且其极限值为函数 f(x) 在点a 处的值。

4.幂级数展开式可以推广到复数域，此时需要考虑收敛半径。

三、幂级数展开式的求法求幂级数展开式，一般采用泰勒级数展开法。

具体步骤如下：1.确定展开点 a，求出函数 f(x) 在点 a 处的各阶导数 f^(n)(a)。

2.根据泰勒级数展开式的定义，计算各项系数 a_n = f^(n)(a) / n!。

3.将系数代入幂级数展开式的基函数 (x-a)，得到幂级数展开式。

四、幂级数展开式的应用幂级数展开式在数学分析中有广泛应用，如求函数的近似值、求解微分方程、研究函数的性质等。

特别是在数值计算中，幂级数展开式可以作为一种有效的逼近方法，用于求解一些难解的问题。

函数展成幂级数的公式

函数展成幂级数的公式首先，我们来了解一下函数展成幂级数的定义。

给定一个函数 f(x)，我们希望能够找到一系列常数 a0、a1、a2...an 和幂级数∑(n=0 to∞)an(x-c)^n，使得对于给定的 x 的一些范围内，f(x)可以用幂级数进行近似表示。

这个幂级数的展开点 c 表示了幂级数的发散点或收敛点。

接下来，我们介绍一些常见的函数展成幂级数的公式。

1.泰勒级数：泰勒级数是展开函数的一种特殊情况，它是函数f(x)在一些点c处的幂级数表示。

泰勒级数的公式为：f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+f''(c)(x-c)^2/2!+f'''(c)(x-c)^3/3!+... 2.麦克劳林级数：麦克劳林级数是中心点c为0的泰勒级数，它是函数在原点附近的幂级数表示。

麦克劳林级数的公式为：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+f'''(0)x^3/3!+...3.求和公式：对于一些特定的函数，我们可以使用求和公式来展开函数为幂级数表示。

例如：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...exp(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...这些公式是函数展成幂级数的基础，可以通过逐阶求导和求和运算得到。

其中，泰勒级数和麦克劳林级数是最常见的展开形式，适用于大多数函数的近似表示。

求和公式则适用于一些特定的函数，如三角函数、指数函数和对数函数等。

此外，函数展成幂级数还有一些重要的性质和定理，如幂级数的收敛域、幂级数的计算方法（如微积分运算）、幂级数的和函数和导数等。

函数的幂级数展开式

函数的幂级数展开式摘要：1.幂级数展开式的概念与意义2.幂级数展开式的基本公式3.常见函数的幂级数展开式4.幂级数展开式的应用5.总结与展望正文：**一、幂级数展开式的概念与意义**在数学中，幂级数展开式是一种将函数表示为无穷级数的方法。

它通过将函数的自变量逐步代入，展开成一个无穷多项的级数，从而实现对函数的近似表示。

幂级数展开式具有重要的理论意义和实际应用价值，是数学、物理等领域研究的基础工具。

**二、幂级数展开式的基本公式**对于一个幂级数展开式，通常形式如下：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ...其中，ai（i=0,1,2,...）为展开式各项的系数，x为自变量。

通过选择合适的级数项数，可以实现对函数f(x)的近似表示。

**三、常见函数的幂级数展开式**1.指数函数：e^x = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + ...2.三角函数：sin(x) ≈ x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...cos(x) ≈ 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...3.多项式函数：f(x) = ax^n + bx^(n-1) + ...+ zx + k其中，a、b、c...、k为多项式各项的系数，n为最高次数。

**四、幂级数展开式的应用**1.数值计算：在科学计算中，幂级数展开式可用于求解微分方程、积分等问题。

2.近似计算：在工程、物理等领域，通过幂级数展开式，可以对复杂函数进行近似表示，从而简化问题。

3.函数分析：在数学分析中，幂级数展开式是研究函数性质、求解方程等问题的有力工具。

**五、总结与展望**幂级数展开式是数学中一种重要的表示方法，它在理论研究和实际应用中具有广泛的应用。

掌握幂级数展开式的基本概念、公式和常见函数的展开式，有助于提高我们在各个领域中的计算能力和问题解决能力。

七个常用幂级数展开式

七个常用幂级数展开式1 示例：二项式定理二项式定理是一阶微分方程处理问题的重要工具，它将幂级数表达式简化为一个函数。

二项式定理为$(a + b)^n =\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$，即一个多项式$x^n$可以通过 $x^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$ 来表达。

2 欧拉公式欧拉公式是一个著名的数学公式，它可以用幂级数表示，即$e^x= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n$。

这里x是任意实数，n是一个正整数，$n!$是n的阶乘。

3 泰勒三阶展开式泰勒三阶展开式它可以用幂级数表达，即$f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots$。

其中f(x)是给定的函数，$f'(x)$是f的导函数，$f''(x)$是f的二阶导函数;而$a$是函数f的一个自变量。

4 高斯展开式高斯展开式也叫渐近级数，它可以用幂级数表示，即$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$，其中a_n是正常序数$n=0,1,2,\cdots,$的一组常数，而$x_0$是 f的某一点。

5 拉格朗日幂级数拉格朗日幂级数是由法国数学家拉格朗日提出的，它可以用幂级数表示，即$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$，其中a_n是正常序数$n=0,1,2,\cdots,$的一组常数，而x 是一个可以取任意值的自变量。

6 波动现象展开式波动现象展开式可以用幂级数表示，即$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n$，其中c_n是正常序数$n=0,1,2,\cdots,$的一组常数，而x 是一个可以取任意值的自变量。

常见函数的幂级数展开

常见函数的幂级数展开1. 指数函数 (Exponential Function)定义指数函数是指以常数e为底数的幂函数，通常表示为e^x。

其中e是一个常数，约等于2.71828。

用途指数函数在数学、物理、工程等领域中广泛应用。

它的幂级数展开形式可以用于近似计算指数函数的值，特别是当指数函数无法直接计算时。

工作方式指数函数的幂级数展开中，每一项的系数都是x的幂次与常数e的幂次之比。

通过将幂级数的前n项相加，可以近似计算指数函数的值。

指数函数的幂级数展开如下所示：e^x = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + … + x^n/n! + …其中n!表示n的阶乘（n的所有正整数乘积），定义为n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1。

通过增加幂级数的项数，可以获得更精确的结果。

然而，幂级数展开通常在x的绝对值较小的范围内有效，当x的绝对值较大时，需要使用其他方法来计算指数函数的值。

指数函数的幂级数展开可以通过计算机程序来实现，例如使用Python编写以下代码：import mathdef exponential_series(x, n):result = 0for i in range(n):result += x**i / math.factorial(i)return resultx = 2.0n = 10print(exponential_series(x, n))上述代码计算了指数函数e^2的近似值，使用了前10项的幂级数展开。

2. 正弦函数 (Sine Function)定义正弦函数是一个周期函数，常用于描述周期性的波动现象。

它的幂级数展开可以用于近似计算正弦函数的值。

用途正弦函数在物理、工程等领域中广泛应用，例如描述振动、波动、电磁波等现象。

通过正弦函数的幂级数展开，可以计算正弦函数在给定角度处的近似值。

工作方式正弦函数的幂级数展开中，每一项的系数都与角度的幂次相关。

函数的幂级数展开及其应用

函数的幂级数展开及其应用
函数的幂级数展开指将一个函数表示成一个无穷级数的形式，其中每一项都是该函数的幂函数，常常用于求解微积分问题和数学物理问题。

以函数$f(x)$在$x_0$处的幂级数展开为例，其一般形式为：
$$ f(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} a_n (x-x_0)^n $$
其中，$a_n$为展开系数，可以通过求解$f(x)$在$x_0$处的各阶导数来计算，即：
$$ a_n = \\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} $$
应用幂级数展开，可以求解一些常见的数学问题，例如：
1. 求解函数在某一点的近似值：可以通过对函数在该点处的幂级数展开，截取前几项进行计算，得到一个逼近函数。

2. 求解函数的极限：当幂级数的展开系数趋近于零时，可以证明该函数收敛于幂级数展开式。

3. 求解常微分方程：有些常微分方程可以通过将其转化为幂级数展开的形式，从而求解其解析解。

4. 计算函数的积分、导数等：有时候可以通过将函数先展开成幂级数，在进行积分、导数等运算。

常用的幂级数展开式

常用的幂级数展开式幂级数展开式是数学中常用的一种表达式形式，它可以将一个函数表示为一系列幂函数的和的形式。

常用的幂级数展开式包括泰勒级数、麦克劳林级数和洛朗级数等。

泰勒级数是将一个可导函数展开成一系列无限次可导函数的和的形式。

其表达式为：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}}{n!}(x-a)^n$$其中$f^{(n)}$表示$f$的$n$阶导数，$a$是展开点。

泰勒级数具有很好的逼近性质，因为它是在展开点处的无限阶导数的展开。

麦克劳林级数是泰勒级数的一种特殊情形，即展开点$a=0$的情况。

其表达式为：$$ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n $$洛朗级数是将一个函数在一个圆环内展开成带有负幂次的幂函数的和的形式。

其表达式为：$$ f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n $$其中$z_0$是展开点，$a_n$是展开系数。

洛朗级数可以用于分析包括孤立奇点在内的复变函数的性质。

除了上述三种常用的幂级数展开式外，还有一些特殊的幂级数，如勒让德级数、傅立叶级数和庞加莱级数等。

这些级数在物理学、工程学、数学等领域中具有重要的应用。

在实际应用中，人们常常需要根据需要选择适当的幂级数展开式，并确定展开点和展开系数，以尽可能准确地描述函数的性质和行为。

例如，在微积分和物理学中，通过泰勒级数展开可以求得一个函数在某一点的导数和高阶导数，从而可以了解函数在该点的特征。

而在信号处理、图像处理等领域，则广泛应用傅里叶级数展开来描述信号的频域特性。

因此，深入理解各种幂级数展开式及其应用，对于数学和应用学科的学习都具有重要的意义。