《数值分析》教案5
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1.6.4 分段三次Hermite 插值
为了利用多项式插值方法而又克服高次插值多项式的缺陷，便引入了分段插值的概念。它的基本思想是把函数整个区间上分成许多段，每段都选用适当的低次插值多项式代替函数，整体上按一定的要求连接起来，构成一个分段的插值函数。
为此，把函数)(x f 的自变量x 在区间],[b a 上用)1(+n 个节点分割成n 段：
b x x x x x a n n =<<<<<=-1210
根据这些节点的取值
i x ，)(x f 在节点上的函数值i i y x f =)(和导数值
i i m x f =')(),,2,1,0(n i =，可以构造一个分段三次插值函数)(x H ，它满足
下述条件：
①i i y x H =)(,i i y x H '=')(),,2,1,0(n i =。
② 在每个小区间],[1+i i x x ),,2,1,0(n i =上，都是一个三次多项式：
3
32210)(x
a x a x a a x H i i i i i +++=
把这样构成的分段三次函数)(x H 称为分段三次Hermite 插值函数，它的
各小段均为三次多项式，而整体上具有一阶连续导数。
由式（1-34）可直接写出分段三次Hermite 插值函数的分段表达式
12
112
1112
1112
111)()(2121)(++++++++++++'⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=i i i i
i i i i i i i i i i
i i i i i i i i i i
y x
x x x x x y x x x x x x y x
x x x x x x x y x x x x x
x x x x H
也可通过构造基函数给出分段三次Hermite 插值函数的表达式。参照分段线性插值与Hermite 插值基函数公式（1-31）和式（1-32），可得出分段三次
Hermite 插值的基函数为
⎪⎩⎪⎨⎧∈∈⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=]
,[0
],[21)(1102
1010100n x x x x x x x x x x x x x x x h
)1,,1(],(),[0]
,(21],[21)(11012
11112
111-=⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧∈∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
--+∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=+-++++----n i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x h n i i i i i i i i i i i i i i i i i i i （1-38）
⎪⎩⎪⎨⎧∈∈⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=-----]
,[0
],[21)(1012
111n n n n n
n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x h
⎪⎩⎪⎨⎧∈∈⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---=]
,[0
],[)()(1102
10
100n x x x x x x x x x x x x x H
)1,,1(],(),[0],[)(],[)()(11012
1112
11-=⎪⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪⎨⎧∈∈⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛---∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+-+++---n i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x H n i i i i i i i i i i i i i i i （1-39）
⎪⎩⎪⎨⎧∈∈⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---=----]
,[0
],[)()(1012
11n n n n n
n n n x x x x x x x x x x x x x H
分段三次Hermite 插值函数为
])()([)(0
∑='+=n
i i i i i x H y x h y x H （1-40）
由余项公式（1-37）可以导出，分段三次Hermite 插值的误差有如下估计
)
(max 384)()()()
4(4
x f h x H x f x R b x a ≤≤≤-= （1-41）
其中
)(max 11
0i i n i x x h -=+-≤≤。
分段三次Hermite 插值函数是插值区间上的光滑函数，它与函数)(x f 在节点处密合程度较好。
1.6.5 分段三次Hermite 插值的MATLAB 实现
【例1-18】给定函数55,11
)(2
≤≤-+=x x
x f ，取插值节点k x k +-=5，10,,1,0 =k ，用分段Hermite 插值计算)(x ϕ，并画出)(x ϕ与)(x f 的图形。
解：在编辑窗口输入以下命令： a=-5;b=5;n=10;h=(b-a)/n x=a:h:b;y=1./(1+x.^2); xx=a:0.01:b;yy=1./(1+xx.^2); m=length(xx);z=zeros(1,m);