用向量方法证明平行与垂直

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用向量方法证明平行与垂培训资料

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\cdot \mathbf{C}$和$\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} + \mathbf{C}) = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} + \mathbf{A} \cdot \mathbf{C}$。 • 结合律:$(\lambda\mathbf{A}) \cdot (\mu\mathbf{B}) = \lambda\mu(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})$, 其中$\lambda$和$\mu$是标量。
总结词
向量线性组合定理
详细描述
如果两个平面上的任意两个向量都可以由另一个平面上的某个向量线性组合得到,则这两 个平面一定平行。
证明过程
设两个平面上的任意两个向量$vec{a}$和$vec{b}$可以由另一个平面上的某个向量$vec{c}$ 线性组合得到,即$vec{a} = k_1vec{c}$和$vec{b} = k_2vec{c}$,则根据向量线性组合的性 质,这两个平面一定平行。
03
向量的向量积
向量向量积的定义
总结词
向量积是由两个向量生成的第三个向量,其大小等于两个原向量构成的平行四边形的面 积,方向与原向量构成的平面垂直。
详细描述
向量积的定义基于几何概念,它表示两个向量通过点乘和叉乘运算生成第三个向量。这 个新向量的模等于原向量构成的平行四边形的面积,方向垂直于这个平行四边形所在的
垂直证明
证明两向量垂直,即证明两向量之间 的夹角为90度。
通过向量的点积性质,可以证明两向 量的点积为0,即 $overset{longrightarrow}{AB} cdot overset{longrightarrow}{CD} = 0$。

专题07 立体几何中的向量方法(解析版)

专题07 立体几何中的向量方法(解析版)

专题07 立体几何中的向量方法【要点提炼】1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l 的方向向量为a =(a 1,b 1,c 1),平面α,β的法向量分别为μ=(a 2,b 2,c 2),v =(a 3,b 3,c 3),则 (1)线面平行l ∥α⇔a ⊥μ⇔a ·μ=0⇔a 1a 2+b 1b 2+c 1c 2=0. (2)线面垂直l ⊥α⇔a ∥μ⇔a =k μ⇔a 1=ka 2,b 1=kb 2,c 1=kc 2. (3)面面平行α∥β⇔μ∥v ⇔μ=λv ⇔a 2=λa 3,b 2=λb 3,c 2=λc 3. (4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v ⇔μ·v =0⇔a 2a 3+b 2b 3+c 2c 3=0. 2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线l ,m 的方向向量分别为a =(a 1,b 1,c 1),b =(a 2,b 2,c 2),平面α,β的法向量分别为μ=(a 3,b 3,c 3),v =(a 4,b 4,c 4)(以下相同). (1)线线夹角设l ,m 的夹角为θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2,则cos θ=|a ·b ||a ||b |=|a 1a 2+b 1b 2+c 1c 2|a 21+b 21+c 21a 22+b 22+c 22. (2)线面夹角设直线l 与平面α的夹角为θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2,则sin θ=|cos a ,μ|=|a ·μ||a ||μ|.(3)面面夹角设平面α,β的夹角为θ(0≤θ<π), 则|cos θ|=|cosμ,v|=|μ·v ||μ||v |.考点考向一 利用空间向量证明平行、垂直【典例1】 如图,在四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,AD ⊥AB ,AB ∥DC ,AD =DC =AP =2,AB =1,点E 为棱PC 的中点.证明:(1)BE ⊥DC ; (2)BE ∥平面P AD ; (3)平面PCD ⊥平面P AD .证明 依题意,以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图),可得B (1,0,0),C (2,2,0),D (0,2,0),P (0,0,2).由E 为棱PC 的中点,得E (1,1,1).(1)向量BE →=(0,1,1),DC →=(2,0,0),故BE →·DC →=0. 所以BE ⊥DC .(2)因为AB ⊥AD ,又P A ⊥平面ABCD ,AB ⊂平面ABCD , 所以AB ⊥P A ,P A ∩AD =A ,P A ,AD ⊂平面P AD , 所以AB ⊥平面P AD ,所以向量AB→=(1,0,0)为平面P AD 的一个法向量, 而BE →·AB →=(0,1,1)·(1,0,0)=0,所以BE ⊥AB , 又BE ⊄平面P AD , 所以BE ∥平面P AD .(3)由(2)知平面P AD 的法向量AB →=(1,0,0),向量PD →=(0,2,-2),DC →=(2,0,0),设平面PCD 的法向量为n =(x ,y ,z ),则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →=0,n ·DC →=0,即⎩⎨⎧2y -2z =0,2x =0,不妨令y =1,可得n =(0,1,1)为平面PCD 的一个法向量. 且n ·AB →=(0,1,1)·(1,0,0)=0,所以n ⊥AB →. 所以平面P AD ⊥平面PCD .探究提高 1.利用向量法证明平行、垂直,关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件,准确写出相关点的坐标,进而用向量表示涉及到直线、平面的要素). 2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量,但向量证明仍然离不开立体几何的定理,如在(2)中忽略BE ⊄平面P AD 而致误.【拓展练习1】 如图,在直三棱柱ADE -BCF 中,平面ABFE 和平面ABCD 都是正方形且互相垂直,点M 为AB 的中点,点O 为DF 的中点.证明:(1)OM ∥平面BCF ; (2)平面MDF ⊥平面EFCD .证明 (1)由题意,得AB ,AD ,AE 两两垂直,以点A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz .设正方形边长为1,则A (0,0,0),B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,1,0),F (1,0,1),M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0,0,O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,12,12.OM →=⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-12,-12,BA →=(-1,0,0), ∴OM →·BA →=0,∴OM →⊥BA →. ∵棱柱ADE -BCF 是直三棱柱,∴AB ⊥平面BCF ,∴BA →是平面BCF 的一个法向量, 且OM ⊄平面BCF ,∴OM ∥平面BCF .(2)在第(1)问的空间直角坐标系中,设平面MDF 与平面EFCD 的法向量分别为 n 1=(x 1,y 1,z 1),n 2=(x 2,y 2,z 2).∵DF →=(1,-1,1),DM →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,-1,0,DC →=(1,0,0),CF →=(0,-1,1), 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DF→=0,n 1·DM →=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x 1-y 1+z 1=0,12x 1-y 1=0,令x 1=1,则n 1=⎝ ⎛⎭⎪⎫1,12,-12.同理可得n 2=(0,1,1).∵n 1·n 2=0,∴平面MDF ⊥平面EFCD . 考向二 线线角、线面角的求解【典例2】 (2020·浙江卷)如图,在三棱台ABC -DEF 中,平面ACFD ⊥平面ABC ,∠ACB =∠ACD =45°,DC =2BC .(1)证明:EF ⊥DB ;(2)求直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值.(1)证明 如图(1),过点D 作DO ⊥AC ,交直线AC 于点O ,连接OB .图(1)由∠ACD =45°,DO ⊥AC ,得 CD =2CO .由平面ACFD ⊥平面ABC ,得DO ⊥平面ABC , 所以DO ⊥BC .由∠ACB =45°,BC =12CD =22CO ,得BO ⊥BC . 所以BC ⊥平面BDO ,故BC ⊥DB .由ABC -DEF 为三棱台,得BC ∥EF ,所以EF ⊥DB .(2)解 法一 如图(1),过点O 作OH ⊥BD ,交直线BD 于点H ,连接CH .由ABC -DEF 为三棱台,得DF ∥CO ,所以直线DF 与平面DBC 所成角等于直线CO 与平面DBC 所成角.由BC ⊥平面BDO ,得OH ⊥BC ,故OH ⊥平面DBC , 所以∠OCH 为直线CO 与平面DBC 所成角. 设CD =22,则DO =OC =2,BO =BC =2,得BD =6,OH =233,所以sin ∠OCH =OH OC =33.因此,直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值为33.法二 由ABC -DEF 为三棱台,得DF ∥CO ,所以直线DF 与平面DBC 所成角等于直线CO 与平面DBC 所成角,记为θ.如图(2),以O 为原点,分别以射线OC ,OD 为y ,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系O -xyz .图(2)设CD =22,由题意知各点坐标如下:O (0,0,0),B (1,1,0),C (0,2,0),D (0,0,2). 因此OC→=(0,2,0),BC →=(-1,1,0),CD →=(0,-2,2). 设平面DBC 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),由⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →=0,n ·CD →=0,即⎩⎨⎧-x +y =0,-2y +2z =0,可取n =(1,1,1),所以sin θ=|cos 〈OC →,n 〉|=|OC →·n ||OC →|·|n |=33.因此,直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值为33.探究提高 1.异面直线所成的角θ,可以通过两直线的方向向量的夹角φ求得,即cos θ=|cos φ|.2.直线与平面所成的角θ主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得,即sin θ=|cos φ|,有时也可分别求出斜线与它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).【拓展练习2】 (2020·全国Ⅱ卷)如图,已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形,侧面BB 1C 1C 是矩形,M ,N 分别为BC ,B 1C 1的中点,P 为AM 上一点,过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ,交AC 于F .(1)证明:AA 1∥MN ,且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ;(2)设O 为△A 1B 1C 1的中心.若AO ∥平面EB 1C 1F ,且AO =AB ,求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值.(1)证明 因为侧面BB 1C 1C 是矩形且M ,N 分别为BC ,B 1C 1的中点,所以MN ∥CC 1.又由已知得AA 1∥CC 1,故AA 1∥MN . 因为△A 1B 1C 1是正三角形,所以B 1C 1⊥A 1N . 又侧面BB 1C 1C 是矩形,所以B 1C 1⊥MN . 又A 1N ∩MN =N ,A 1N ,MN ⊂平面A 1AMN , 所以B 1C 1⊥平面A 1AMN .又B 1C 1⊂平面EB 1C 1F , 所以平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F .(2)解 由已知及(1)得AM ⊥BC ,MN ⊥BC ,AM ⊥MN .以M 为坐标原点,MA →的方向为x 轴正方向,|MB →|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系M -xyz ,则AB =2,AM = 3.连接NP ,AO ∥平面EB 1C 1F ,AO ⊂平面A 1AMN , 平面A 1AMN ∩平面EB 1C 1F =PN ,故AO ∥PN . 又AP ∥ON ,则四边形AONP 为平行四边形,故PM =233,E ⎝ ⎛⎭⎪⎫233,13,0.由(1)知平面A 1AMN ⊥平面ABC .作NQ ⊥AM ,垂足为Q ,则NQ ⊥平面ABC . 设Q (a ,0,0),则 NQ =4-⎝ ⎛⎭⎪⎫233-a2, B 1⎝⎛⎭⎪⎫a ,1,4-⎝ ⎛⎭⎪⎫233-a2. 故B 1E →=⎝ ⎛⎭⎪⎫233-a ,-23,-4-⎝ ⎛⎭⎪⎫233-a 2, |B 1E →|=2103.又n =(0,-1,0)是平面A 1AMN 的一个法向量, 故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-〈n ,B 1E →〉=cos 〈n ,B 1E →〉=n ·B 1E →|n |·|B 1E →|=1010.所以直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值为1010. 考向三 利用向量求二面角【典例3】 (2020·全国Ⅲ卷)如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E ,F 分别在棱DD 1,BB 1上,且2DE =ED 1,BF =2FB 1.(1)证明:点C 1在平面AEF 内;(2)若AB =2,AD =1,AA 1=3,求二面角A -EF -A 1的正弦值.解 设AB =a ,AD =b ,AA 1=c .如图,以C 1为坐标原点,C 1D 1→的方向为x 轴正方向, 建立空间直角坐标系C 1-xyz .(1)证明 连接C 1F ,C 1(0,0,0),A (a ,b ,c ),E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ,0,23c ,F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,b ,13c ,EA→=⎝ ⎛⎭⎪⎫0,b ,13c ,C 1F →=⎝ ⎛⎭⎪⎫0,b ,13c ,得EA →=C 1F →, 因此EA ∥C 1F ,即A ,E ,F ,C 1四点共面, 所以点C 1在平面AEF 内.(2)由已知得A (2,1,3),E (2,0,2),F (0,1,1),A 1(2,1,0),AE →=(0,-1,-1),AF →=(-2,0,-2),A 1E →=(0,-1,2),A 1F →=(-2,0,1). 设n 1=(x ,y ,z )为平面AEF 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AE →=0,n 1·AF →=0,即⎩⎨⎧-y -z =0,-2x -2z =0,可取n 1=(-1,-1,1).设n 2为平面A 1EF 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1E →=0,n 2·A 1F →=0,同理可取n 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2,1.设二面角A -EF -A 1的平面角为α,所以cos α=cos 〈n 1,n 2〉=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=-77,则sin α=1-cos2α=42 7,所以二面角A-EF-A1的正弦值为42 7.探究提高 1.二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角(或其补角)或通过二面角的两个面的法向量的夹角求得,它等于两个法向量的夹角或其补角.2.利用向量法求二面角,必须能判定“所求二面角的平面角是锐角或钝角”,否则解法是不严谨的.【拓展练习3】(2020·沈阳一监)如图,已知△ABC为等边三角形,△ABD为等腰直角三角形,AB⊥BD.平面ABC⊥平面ABD,点E与点D在平面ABC的同侧,且CE∥BD,BD=2CE.点F为AD的中点,连接EF.(1)求证:EF∥平面ABC;(2)求二面角C-AE-D的余弦值.(1)证明取AB的中点为O,连接OC,OF,如图.∵O,F分别为AB,AD的中点,∴OF∥BD且BD=2OF.又CE∥BD且BD=2CE,∴CE∥OF且CE=OF,∴OF綊EC,则四边形OCEF为平行四边形,∴EF∥OC.又OC⊂平面ABC,EF⊄平面ABC,∴EF∥平面ABC.(2)解∵△ABC为等边三角形,O为AB的中点,∴OC⊥AB.∵平面ABC ⊥平面ABD ,平面ABC ∩平面ABD =AB ,BD ⊥AB ,BD ⊂平面ABD ,∴BD ⊥平面ABC .又OF ∥BD ,∴OF ⊥平面ABC .以O 为坐标原点,分别以OA ,OC ,OF 所在的直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.不妨令正三角形ABC 的边长为2,则O (0,0,0),A (1,0,0),C (0,3,0),E (0,3,1),D (-1,0,2),∴AC→=(-1,3,0),AE →=(-1,3,1),AD →=(-2,0,2). 设平面AEC 的法向量为m =(x 1,y 1,z 1),则 ⎩⎪⎨⎪⎧AC →·m =-x 1+3y 1=0,AE →·m =-x 1+3y 1+z 1=0. 不妨令y 1=3,则m =(3,3,0). 设平面AED 的法向量为n =(x 2,y 2,z 2),则 ⎩⎪⎨⎪⎧AD →·n =-2x 2+2z 2=0,AE →·n =-x 2+3y 2+z 2=0. 令z 2=1,得n =(1,0,1). ∴cos 〈m ,n 〉=323×2=64.由图易知二面角C -AE -D 为钝角, ∴二面角C -AE -D 的余弦值为-64. 考向四 利用空间向量求解探索性问题【典例4】 (2020·武汉调研)如图所示,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点O 是AC 与BD 的交点,点E 是线段OD 1上的一点.(1)若点E 为OD 1的中点,求直线OD 1与平面CDE 所成角的正弦值;(2)是否存在点E ,使得平面CDE ⊥平面CD 1O ?若存在,请指出点E 的位置,并加以证明;若不存在,请说明理由. 解 (1)不妨设正方体的棱长为2.以D 为坐标原点,分别以DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ,则D (0,0,0),D 1(0,0,2),C (0,2,0),O (1,1,0). 因为E 为OD 1的中点, 所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,12,1.则OD 1→=(-1,-1,2),DE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,12,1,DC →=(0,2,0).设p =(x 0,y 0,z 0)是平面CDE 的法向量, 则⎩⎪⎨⎪⎧p ·DE→=0,p ·DC →=0,即⎩⎪⎨⎪⎧12x 0+12y 0+z 0=0,2y 0=0,取x 0=2,则y 0=0,z 0=-1,所以p =(2,0,-1)为平面CDE 的一个法向量. 设直线OD 1与平面CDE 所成角为θ, 所以sin θ=|cos 〈OD 1→,p 〉|=|OD 1→·p ||OD 1→||p |=|-1×2+(-1)×0+2×(-1)|(-1)2+(-1)2+22×22+(-1)2=23015, 即直线OD 1与平面CDE 所成角的正弦值为23015.(2)存在,且点E 为线段OD 1上靠近点O 的三等分点.理由如下. 假设存在点E ,使得平面CDE ⊥平面CD 1O .同第(1)问建立空间直角坐标系,易知点E 不与点O 重合,设D 1E →=λEO →,λ∈[0,+∞),OC →=(-1,1,0),OD 1→=(-1,-1,2). 设m =(x 1,y 1,z 1)是平面CD 1O 的法向量, 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·OC →=0,m ·OD 1→=0,即⎩⎨⎧-x 1+y 1=0,-x 1-y 1+2z 1=0,取x 1=1,则y 1=1,z 1=1,所以m =(1,1,1)为平面CD 1O 的一个法向量.因为D 1E →=λEO →,所以点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫λ1+λ,λ1+λ,21+λ, 所以DE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫λ1+λ,λ1+λ,21+λ. 设n =(x 2,y 2,z 2)是平面CDE 的法向量, 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE→=0,n ·DC →=0,即⎩⎪⎨⎪⎧λ1+λx 2+λ1+λy 2+21+λz 2=0,2y 2=0,取x 2=1,则y 2=0,z 2=-λ2,所以n =⎝ ⎛⎭⎪⎫1,0,-λ2为平面CDE 的一个法向量. 因为平面CDE ⊥平面CD 1O ,所以m ⊥n . 则m ·n =0,所以1-λ2=0,解得λ=2.所以当D 1E →EO →=2,即点E 为线段OD 1上靠近点O 的三等分点时,平面CDE ⊥平面CD 1O .探究提高 1.空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题,它无需进行复杂的作图、论证、推理,只需通过坐标运算进行判断.但注意空间坐标系建立的规范性及计算的准确性,否则容易出现错误.2.空间向量求解探索性问题:(1)假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论;(2)在这个前提下进行逻辑推理,把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标(或参数)是否有解,是否有规定范围内的解”等.若由此推导出矛盾,则否定假设;否则,给出肯定结论.【拓展练习4】 (2019·北京卷)如图,在四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥平面ABCD ,AD ⊥CD ,AD ∥BC ,P A =AD =CD =2,BC =3.E 为PD 的中点,点F 在PC 上,且PF PC =13.(1)求证:CD ⊥平面P AD ; (2)求二面角F -AE -P 的余弦值;(3)设点G 在PB 上,且PG PB =23.判断直线AG 是否在平面AEF 内,说明理由. (1)证明 因为P A ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,所以P A ⊥CD . 又因为AD ⊥CD ,P A ∩AD =A ,P A ,AD ⊂平面P AD , 所以CD ⊥平面P AD .(2)解 过点A 作AD 的垂线交BC 于点M . 因为P A ⊥平面ABCD ,AM ,AD ⊂平面ABCD , 所以P A ⊥AM ,P A ⊥AD .建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ,则A (0,0,0),B (2,-1,0),C (2,2,0),D (0,2,0),P (0,0,2).因为E 为PD 的中点, 所以E (0,1,1).所以AE→=(0,1,1),PC →=(2,2,-2),AP →=(0,0,2). 所以PF→=13PC →=⎝ ⎛⎭⎪⎫23,23,-23, 所以AF→=AP →+PF →=⎝ ⎛⎭⎪⎫23,23,43. 设平面AEF 的法向量为n =(x ,y ,z ),则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →=0,n ·AF →=0,即⎩⎪⎨⎪⎧y +z =0,23x +23y +43z =0. 令z =1,则y =-1,x =-1. 于是n =(-1,-1,1).又因为平面P AD 的一个法向量为p =(1,0,0), 所以cos 〈n ,p 〉=n ·p |n ||p |=-33.由题知,二面角F -AE -P 为锐角,所以其余弦值为33. (3)解 直线AG 在平面AEF 内,理由如下: 因为点G 在PB 上,且PG PB =23,PB →=(2,-1,-2), 所以PG→=23PB →=⎝ ⎛⎭⎪⎫43,-23,-43, 所以AG→=AP →+PG →=⎝ ⎛⎭⎪⎫43,-23,23. 由(2)知,平面AEF 的一个法向量n =(-1,-1,1), 所以AG →·n =-43+23+23=0.又点A ∈平面AEF ,所以直线AG 在平面AEF 内.【专题拓展练习】一、单选题1.已知三棱锥O -ABC ,点M ,N 分别为AB ,OC 的中点,且,,OA a OB b OC c ===,用,,a b c 表示MN ,则MN 等于( )A .()12b c a +- B .()12a b c ++ C .()12a b c -+D .()12c a b --【答案】D 【详解】MN MA AO ON =++1122BA OA OC =-+ ()1122OA OB OA OC =--+ 111222OA OB OC =--+()12c a b =--. 故选:D2.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,,M N 分别为111,BD B C 的中点,点P 在正方体的表面上运动,且满足MP CN ⊥,则下列说法正确的是( )A .点P 可以是棱1BB 的中点 B .线段MP 3C .点P 的轨迹是正方形D .点P 轨迹的长度为2+5【答案】D 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中,以点D 为坐标原点,分别以DA 、DC 、1DD 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立空间直角坐标系,因为该正方体的棱长为1,,M N 分别为111,BD B C 的中点, 则()0,0,0D ,111,,222M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,1,1,12N ⎛⎫⎪⎝⎭,()0,1,0C , 所以1,0,12CN ⎛⎫=⎪⎝⎭,设(),,P x y z ,则111,,222MP x y z ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭,因为MP CN ⊥, 所以1110222x z ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭,2430x z +-=,当1x =时,14z =;当0x =时,34z =; 取11,0,4E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,11,1,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,30,1,4G ⎛⎫ ⎪⎝⎭,30,0,4H ⎛⎫ ⎪⎝⎭,连接EF ,FG ,GH ,HE ,则()0,1,0EF GH ==,11,0,2EH FG ⎛⎫==- ⎪⎝⎭, 所以四边形EFGH 为矩形,则0EF CN ⋅=,0EH CN ⋅=,即EF CN ⊥,EH CN ⊥, 又EFEH E =,且EF ⊂平面EFGH ,EH ⊂平面EFGH ,所以CN ⊥平面EFGH , 又111,,224EM ⎛⎫=-⎪⎝⎭,111,,224MG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以M 为EG 中点,则M ∈平面EFGH , 所以,为使MP CN ⊥,必有点P ∈平面EFGH ,又点P 在正方体的表面上运动,所以点P 的轨迹为四边形EFGH , 因此点P 不可能是棱1BB 的中点,即A 错; 又1EF GH ==,52EH FG ==,所以EF EH ≠,则点P 的轨迹不是正方形; 且矩形EFGH 的周长为522252+⨯=+,故C 错,D 正确; 因为点M 为EG 中点,则点M 为矩形EFGH 的对角线交点,所以点M 到点E 和点G 的距离相等,且最大,所以线段MP 的最大值为52,故B 错. 3.在空间四边形ABCD 中,AB CD AC DB AD BC ⋅+⋅+⋅=( ) A .-1 B .0 C .1 D .不确定【答案】B 【详解】 如图,令,,AB a AC b AD c ===, 则AB CD AC DB AD BC ⋅+⋅+⋅,()()()a cb b ac c b a =⋅-+⋅-+⋅-,0a c a b b a b c c b c a =⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅=.故选:B4.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形.PA ⊥底面,2,4ABCD PA AB AD ===.E 为PC 的中点,则异面直线PD 与BE 所成角的余弦值为( )A .35B .3010C .1010D .31010【答案】B 【详解】以A 点为坐标原点,AB 为x 轴,AD 为y 轴,AP 为z 轴建立空间直角坐标系如下图所示:则()2,0,0B ,()1,2,1E ,()002P ,,,()0,4,0D , ()1,2,1BE =-∴,()0,4,2PD =-,设异面直线PD 与BE 所成角为θ,则630cos 10625PD BE PD BEθ⋅===⨯⋅. 5.已知四棱锥,-P ABCD 底面是边长为2的正方形,PAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形,AB ⊥平面PAD ,点E 是线段PD 上的动点(不含端点),若线 AB 段上存在点F (不含端点),使得异面直线PA 与 EF 成30的角,则线段PE 长的取值范围是( )A .202⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, B .603⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭, C .222⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭, D .623,⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【详解】由PAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形,AB ⊥平面PAD ,取AD 中点G ,建立如图空间直角坐标系,依题意(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,0,1)G A D B P -,设(1,,0)F y ,,设()()1,0,1,0,DE xDP x x x ===,01x <<,故()1,0,E x x -,()2,,EF x y x =--又()1,0,1PA =-,异面直线PA 与 EF 成30的角,故cos30PA EF PA EF ⋅=⋅︒,即()2223222x y x =-++即()222213y x =--+,01x <<,故220,3y ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,又02y <<,故60y ⎛∈ ⎝⎭,. 故选:B.6.已知二面角l αβ--,其中平面的一个法向量()1,0,1m =-,平面β的一个法向量()0,1,1n =-,则二面角l αβ--的大小可能为( )A .60︒B .120︒C .60︒或120︒D .30【答案】C 【详解】11cos ,222m n m n m n ⋅-<>===-⨯,所以,120m n <>=,又因为二面角的大小与法向量夹角相等或互补, 所以二面角的大小可能是60或120. 故选:C7.已知向量(,,)x y z a a a a =,(,,)x y z b b b b =,{},,i j k 是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算:()()(),,yz xy xz y z z y z x x z x y y x xy z yz xyxz xyz ij ka a a a a a ab a b a b i a b a b j a b a b k a a a b b b b b b b b b ⎛⎫⨯=-+-+-==-⎪ ⎪⎝⎭其中行列式计算表示为a b ad bc c d=-,若向量(2,1,4),(3,1,2),AB AC ==则AB AC ⨯=( )A .(4,8,1)---B .(1,4,8)--C .(2,8,1)--D .(1,4,8)---【答案】C 【详解】由题意得()()()()1241+4322+21132,8,1AB AC i j k ⨯=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=--, 故选:C.8.长方体1111ABCD A B C D -,110AB AA ==,25AD =,P 在左侧面11ADD A 上,已知P 到11A D 、1AA 的距离均为5,则过点P 且与1A C 垂直的长方体截面的形状为( )A .六边形B .五边形C .四边形D .三角形【答案】B 【详解】以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则()()()120,0,5,25,0,10,0,10,0P A C ,()125,10,10AC ∴=--, 设截面与11A D 交于(),0,10Q Q x ,则()20,0,5Q PQ x =-,()12520500Q AC PQ x ∴⋅=---=,解得18Qx =,即()18,0,10Q , 设截面与AD 交于(),0,0M M x ,则()20,0,5M PM x =--,()12520500M AC PM x ∴⋅=--+=,解得22Mx =,即()22,0,0M , 设截面与AB 交于()25,,0N N y ,则()3,,0N MN y =,1253100N AC MN y ∴⋅=-⨯+=,解得7.5Ny =,即()25,7.5,0N , 过Q 作//QF MN ,交11B C 于F ,设(),10,10F F x ,则()18,10,0F QF x =-, 则存在λ使得QF MN λ=,即()()18,10,03,7.5,0F x λ-=,解得22F x =,故F 在线段11B C 上,过F 作//EF QM ,交1BB 于E ,设()25,10,E E z ,则()3,0,10E EF z =--,则存在μ使得EF QM μ=,即()()3,0,104,0,10E z μ--=-,解得 2.5E z =,故E 在线段1BB 上,综上,可得过点P 且与1A C 垂直的长方体截面为五边形QMNEF . 故选:B.9.在四面体ABCD 中,6AB =,3BC =,4BD =,若ABD ∠与ABC ∠互余,则()BA BC BD ⋅+的最大值为( )A .20B .30C .40D .50【答案】B 【详解】设ABD α∠=,可得2ABC πα∠=-,则α为锐角,在四面体ABCD 中,6AB =,3BC =,4BD =, 则()cos cos 2BA BC BD BA BC BA BD BA BC BA BD παα⎛⎫⋅+=⋅+⋅=⋅-+⋅ ⎪⎝⎭()18sin 24cos 30sin αααϕ=+=+,其中ϕ为锐角,且4tan 3ϕ=. 02πα<<,则2πϕαϕϕ<+<+,所以,当2παϕ+=时,()BA BC BD ⋅+取得最大值30.10.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,点E 是底面ABCD 上的动点,则()111CE CA D B -⋅的最大值为( )A .22B .1C .2D .6【答案】B 【详解】以点D 为原点,1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,则111(0,0,1),(1,1,1),(1,0,1),D B A设(,,0)E x y ,其中[],0,1x y ∈,则()()11111,,1,1,1,0CE CA A E x y D B -==--=, 所以111()11CE CA D B x y -⋅=+-≤,等号成立的条件是(1,1,0)E ,故其最大值为1, 故选:B .11.如图,在底面为正方形的四棱锥P-ABCD 中,已知PA ⊥平面ABCD ,且PA =AB .若点M 为PD 中点,则直线CM 与PB 所成角的大小为( )A .60°B .45°C .30°D .90°【答案】C 【详解】如图所示:以A 为坐标原点,以AB ,AD ,AP 为单位向量建立空间直角坐标系A xyz -,设1PA =,则()0,0,0A ,()1,1,0C ,110,,22M ⎛⎫⎪⎝⎭,()0,0,1P ,()1,0,0B , 故()1,0,1PB =-,111,,22MC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,故1132cos ,21111144PB MC PB MC PB MC+⋅===⋅+⋅++, 由异面直线夹角的范围是(]0,90︒︒,故直线CM 与PB 所成角的大小为30. 故选:C.12.如图,在正四面体ABCD 中,,,2BE EC CF FD DG GA ===,记平面EFG 与平面BCD 、平面ACD 、平面ABD ,所成的锐二面角分别为α、β、γ,则( )A .αβγ>>B .αγβ>>C .βαγ>>D .γαβ>>【答案】A【详解】 解:(空间向量法)因为,,2BE EC CF FD DG GA ===,所以E 、F 分别为BC 、CD 的中点,G 为AD 上靠近A 的三等分点,取BD 的中点M ,连接CM ,过A 作AO ⊥平面BCD ,交CM 于点O ,在平面BCD 中过O 作//ON BD ,交CD 于N ,设正四面体ABCD 的棱长为2,则33OM =,233CO =,22222326233OA AC OC ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭, 以O 为原点,OC 为x 轴,ON 为y 轴,OA 为z 轴,建立空间直角坐标系,26A ⎛ ⎝⎭,31,0B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,23C ⎫⎪⎝⎭,3D ⎛⎫ ⎪⎝⎭,31,02E ⎫-⎪⎝⎭,31,062F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,3146,939G ⎛- ⎝⎭,(0,1,0)EF =,53546,8691EG ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,232633AC ⎛=- ⎝⎭,32633AD ⎛=-- ⎝⎭,3261,33AB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭,设平面EFG 的一个法向量为()1,,n x y z =,则110n EF n EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即05354606y x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩,不妨令1z =,则18,0,125n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,同理可计算出平面BCD 、平面ACD 、平面ABD 的一个法向量分别为2(0,0,1)n =,()32,6,1n =,4(22,0,1)n =-,则可得1212517co 1s 5n n n n α⋅==⋅,1313717co 1s 5n n n n β⋅==⋅,14149cos 1751n n n n γ⋅==⋅,所以cos cos cos αβγ<<,又cos y x =在()0.x π∈上递减,所以αβγ>>, 故选:A.13.在正四棱锥P ABCD -中,1PA PB PC PD AB =====,点Q ,R 分别在棱AB ,PC 上运动,当||QR 达到最小值时,||||PQ CQ 的值为( ) A .7010B .355C .3510D .705【答案】A 【详解】以P 在底面的投影O 为坐标原点,建立如图所示的坐标系,设1(,,0)2Q a ,(,,)R m n q因为211(0(,0),22P C -,,112(,22PC =-, 又因为R 在PC 上,PR PC λ=所以(,m m q -=,11(,),22λλ-, 所以R 11(,2222λλ=--+,所以2222111222QR a λλ⎛⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭221324a a λλλ=+-++ 因为[]11,,0,122a λ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦设2213()24f a a a λλλ=+-++,2213()24g a a λλλλ=+-++ 对其求导()2f a a λ'=-,1()22g a λλ'=-+当二个导数同时为0时,取最小值,即20a λ-=,1202a λ-+=所以11,36a λ==时取最小值,所以1121,,,1,,02623PQ CQ ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以PQCQ==10,所以当||QR 达到最小值时,||||PQ CQ 的值为10. 14.如图所示,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,E 、F 、G 分别为BC 、1CC 、1BB 的中点,则( )A .直线1D D 与直线AF 垂直B .直线1A G 与平面AEF 平行C .平面AEF 截正方体所得的截面面积为1D .点C 和点G 到平面AEF 的距离相等 【答案】B 【详解】以D 点为坐标原点,DA 、DC 、1DD 为x ,y ,z 轴建系,则(000)D ,,、(100)A ,,、()010C ,,、1(101)A ,,、1(001)D ,,、 1(10)2E ,,、1(01)2F ,,,1(11)2G ,,, 则()1001DD =,,、1112AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,,,则112DD AF ⋅=, ∴直线1D D 与直线AF 不垂直,A 错误;则11012A G ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,,,1102AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,,,1112AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,,, 设平面AEF 的法向量为()n x y z =,,,则10021002x y AE n AF n x y z ⎧-+=⎪⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩-++=⎪⎩,令2x =,则1y =,2z =,则(212)n =,,,10AG n ⋅=,∴直线1A G 与平面AEF 平行,B 正确; 易知四边形1AEFD 为平面AEF 截正方体所得的截面,且1D F 、DC 、AE 共点于H ,15D H AH ==,12AD =,∴121232(5)()222AD H S ∆=⨯⨯-=,则113948AD HAEFD S S =⋅=四边形,C 错误; (110)AC =-,,,点C 到平面AEF 的距离113AC n d n⋅==, 1012AG ⎛⎫= ⎪⎝⎭,,,点G 到平面AEF 的距离223AG n d n ⋅==,则12d d ≠,D 错误;故选:B .15.如图所示,1111ABCD A B C D -是棱长为6的正方体,E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点,且AE BF =.当1A 、E 、F 、1C 共面时,平面1A DE 与平面1C DF 所成锐二面角的余弦值为( )A .15B .12C .32D .65【答案】B 【详解】以点D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则1(606)A ,,、(000)D ,,、1(066)C ,,,由题意知:当(630)E ,,、(360)F ,,时,1A 、E 、F 、1C 共面, 设平面1A DE 的法向量为1111()n x y z =,,,1(606)DA =,,,(630)DE =,,, 则1111111660{630n DA x z n DE x y ⋅=+=⋅=+=,取11x =,解得1(121)n =--,,,设平面1C DF 的法向量为2222()n x y z =,,,1(066)DC =,,,(360)DF =,,, 则2122222660{360n DC y z n DF x y ⋅=+=⋅=+=,取22x =,解得2(211)n =-,,,设平面1A DE 与平面1C DF 所成锐二面角为θ,则1212121cos cos 266n n n n n n θ⋅====⋅⋅,, ∴平面1A DE 与平面1C DF 所成锐二面角的余弦值为12, 故选:B.二、解答题16.在三棱柱111ABC A B C -中,1AB AC ==,13AA =AB AC ⊥,1B C ⊥平面ABC ,E 是1B C 的中点.(1)求证:平面1AB C ⊥平面11ABB A ; (2)求直线AE 与平面11AAC C 所成角的正弦值. 【详解】(1)由1B C ⊥平面ABC ,AB 平面ABC ,得1AB B C ⊥,又AB AC ⊥,1CB AC C =,故AB ⊥平面1AB C ,AB 平面11ABB A ,故平面11ABB A ⊥平面1AB C .(2)以C 为原点,CA 为x 轴,1CB 为z 轴,建立如图所示空间直角坐标系, 则()0,0,0C ,()1,0,0A ,()1,1,0B 又2BC =113BB AA ==故11CB =,()10,0,1B ,10,0,2E ⎛⎫⎪⎝⎭,()1,0,0CA = ()111,1,1AA BB ==--,11,0,2AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设平面11AAC C 的一个法向量为(),,n x y z =,则100n CA n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即00x x y z =⎧⎨--+=⎩,令1y =,则1z =, ()0,1,1n =, 设直线AE 与平面11AAC C 所成的角为θ,故1102sin 1214n AE n AEθ⋅===⨯+,即直线AE 与平面11AAC C 所成角的正弦值为1010.17.如图1,矩形ABCD 中,3AB BC =,将矩形ABCD 折起,使点A 与点C 重合,折痕为EF ,连接AF 、CE ,以AF 和EF 为折痕,将四边形ABFE 折起,使点B 落在线段FC 上,将CDE △向上折起,使平面DEC ⊥平面FEC ,如图2.(1)证明:平面ABE ⊥平面EFC ;(2)连接BE 、BD ,求锐二面角A BE D --的正弦值. 【详解】(1)证明:在平面ABCD 中,AF =FC ,BF +FC 3AB , 设3AB a =,则3BC a =,设BF =x ,在BAF △中,()22233x a a x +=-,解得x a =,则2AF FC a ==, 因为点B 落在线段FC 上,所以BC DE a ==,所以BE FC ⊥, 又AB BF ⊥即AB CF ⊥,AB BE B =,,AB BE ⊂平面ABE ,所以CF ⊥平面ABE ,由CF ⊂平面EFC 可得平面ABE ⊥平面EFC ;(2)以F 为原点,FC 为x 轴,过点F 平行BE 的方向作为作y 轴,过点F 垂直于平面EFC 的方向作为z 轴,建立如图所示空间直角坐标系,则()()()()2,0,0,0,0,0,3,0,,0,0C a F E a a B a ,()0,3,0BE a =, 易得平面ABE 的一个法向量为()2,0,0FC a =,作DG EC ⊥于G , 因为平面DEC ⊥平面FEC ,所以DG ⊥平面EFC ,则5334a G a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,53334a a D a ⎛ ⎝⎭,13334a a BD a ⎛= ⎝⎭,设平面DBE 的一个法向量为(),,n x y z =,则3013330442n BE ay a an BD ax y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩,令3z =(3n =-, 因为12239cos ,13239n FC n FC a n FC⋅--===⋅⋅,所以锐二面角A -BE -D 223913113⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭. 18.如图,在三梭柱111ABC A B C -中,侧面11AA B B ,11AAC C 均为菱形,12AA =,1160ABB ACC ∠=∠=︒,D 为AB 的中点.(Ⅰ)求证:1//AC 平面1CDB ;(Ⅱ)若60BAC ∠=︒,求直线1AC 与平面11BB C C 所成角的正弦值. 【详解】解:(Ⅰ)连结1BC ,与1B C 交于点O ,连结OD , 四边形11BB C C 是平行四边形,O 为1B C 中点,D 为AB 中点,得1//AC OD ,又OD ⊂平面1CDB ,故1//AC 平面1CDB ;(Ⅱ)方法一:由12AB AC ==,12AC AB ==,且O 为1B C ,1BC 的中点, 得1AO BC ⊥,1AO B C ⊥,11B C BC =, 又1BC ,1CB 为平面11BB C C 内两条相交直线,得AO ⊥平面11BB C C ,故1AC B ∠即为直线1AC 与平面11BB C C 所成的角; 由60BAC ∠=︒,2AB AC ==,2BC =,得四边形11BB C C 为菱形,又11B C BC =,故四边形11BB C C 为正方形,122BC =则1ABC 为等腰直角三角形,且12BAC π∠=,故14AC B π∠=,12sin 2AC B ∠=, 因此,直线1AC 与平面11BB C C 所成角的正弦值为22.方法二:以D 为原点,分别以射线DB ,1DB ,CD 为x 轴,y 轴,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系O xyz -,则()0,0,0D ,()1,0,0A -,()1,0,0B ,()13,0A -,()13,0B , 由60BAC ∠=︒,2AB AC ==,ABC 为正三角形, 故CD AB ⊥,又1B D AB ⊥,所以AB ⊥平面1CDB , 设()0,,C y z ,由2CA =,123CA =,得(22223,38,y z y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩即36,3y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,故3260,33C ⎛- ⎝⎭, 由11B C BC ,得12326C ⎛- ⎝⎭,所以12326AC ⎛= ⎝⎭,()11,3,0BB =-,3261,,33BC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭; 设平面11BB C C 的一个法向量为()111,,n x y z =,由10,0,n BB n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩得1111130,33260,x y x y z ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩可取()3,1,2n =,设直线1AC 与平面11BB C C 所成角为θ, 则1112sin cos ,2AC n AC n AC nθ⋅===, 因此,直线1AC 与平面11BB C C 所成角的正弦值为22. 19.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,侧面11ABB A 和11BCC B 都是正方形,平面11ABB A ⊥平面11BCC B ,,D E 分别为1BB ,AC 的中点.(1)求证://BE 平面1A CD .(2)求直线1B E 与平面1A CD 所成角的正弦值. 【详解】(1)证明:取1A C 中点F ,连接DF ,EF , ∵,E F 分别为1,AC A C 的中点,∴1//EF AA ,且112EF AA =,又四边形11ABB A 是正方形,∴11//BB AA 且11BB AA =, 即1//EF BB 且112EF BB =,又∵D 为1BB 中点,∴//EF BD 且EF BD =,所以四边形EFDB 为平行四边形,所以//BE DF ,又BE ⊄平面1A CD ,DF ⊂平面1A CD ,所以//BE 平面1A CD .(2)由题意,1,,BA BC BB 两两垂直,所以以B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,设12BA BC BB ===,则11(0,2,0),(1,0,1),(2,0,0),(0,1,0),(0,2,2)B E C D A . ,11(1,2,1),(2,1,0),(2,2,2)B E CD AC =-=-=-,设平面 1A CD 的法向量为(),,m x y z =, 则100AC m CD m ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即222020x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩,得()1,2,1m =- 设直线1B E 与平面1A CD 所成角为θ,1111412sin cos ,366B E m B E mB E mθ, 所以直线1B E 与平面1A CD 所成角的正弦值为23.。

专题08 利用空间向量证明平行、垂直(解析版)

专题08 利用空间向量证明平行、垂直(解析版)

2020年高考数学立体几何突破性讲练08利用空间向量证明平行、垂直一、考点传真:能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系二、知识点梳理:证明平行、垂直问题的思路(1)恰当建立空间直角坐标系,准确表示各点与相关向量的坐标,是运用向量法证明平行和垂直的关键.(2)证明直线与平面平行,只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零,或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面,或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行,然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.3其一证明直线与直线垂直,只需要证明两条直线的方向向量垂直;其二证明线面垂直,只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可,当然,也可证直线的方向向量与平面的法向量平行;其三证明面面垂直:①证明两平面的法向量互相垂直;②利用面面垂直的判定定理,只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可.三、例题:例1. (2019江苏卷)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.求证:(1)A1B1∥平面DEC1;(2)BE⊥C1E.【解析】证明:(1)因为D,E分别为BC,AC的中点,所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1,A 1B 1⊄平面DEC 1, 所以A 1B 1∥平面DEC 1.(2)因为AB =BC ,E 为AC 的中点,所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱,所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ,所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1,AC ⊂平面A 1ACC 1,C 1C ∩AC =C , 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1,所以BE ⊥C 1E .例2.(2016年北京卷) 如图,在四棱锥中,平面PAD ⊥平面,,,,,,(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值;(3)在棱上是否存在点,使得平面?若存在,求的值;若不存在,说明理由.【解析】(1)∵面PAD面ABCD AD =,面PAD ⊥面ABCD ,∵AB ⊥AD ,AB ⊂面ABCD ,∴AB ⊥面PAD ,P ABCD -ABCD PA PD ⊥PA PD =AB AD ⊥1AB =2AD =AC CD ==PD ⊥PAB PB PCD PA M //BM PCD AMAP∵PD ⊂面PAD , ∴AB ⊥PD , 又PD ⊥PA ,∴PD ⊥面PAB , (2)取AD 中点为O ,连结CO ,PO ,∵CD AC == ∴CO ⊥AD , ∵PA PD =, ∴PO ⊥AD ,以O 为原点,如图建系易知(001)P ,,,(110)B ,,,(010)D -,,,(200)C ,,,则(111)PB =-,,,(011)PD =--,,,(201)PC =-,,,(210)CD =--,,, 设n 为面PDC 的法向量,令00(,1)n x y =,.011,120n PD n n PC ⎧⋅=⎪⎛⎫⇒=-⎨⎪⎝⎭⋅=⎪⎩,,则PB 与面PCD 夹角θ有,sin cos ,1n PB n PB n PBθ⋅=<>== (3)假设存在M 点使得BM ∥面PCD , 设AMAPλ=,()0,','M y z , 由(2)知()0,1,0A ,()0,0,1P ,()0,1,1AP =-,()1,1,0B ,()0,'1,'AM y z =- 有()0,1,AM AP M λλλ=⇒- ∴()1,,BM λλ=--∵BM ∥面PCD ,n 为PCD 的法向量, ∴0BM n ⋅=,即102λλ-++=,∴1=4λ∴综上,存在M 点,即当14AM AP =时,M 点即为所求. 例3.(2011安徽)如图,ABCDEFG 为多面体,平面ABED 与平面AGFD 垂直,点O 在线段AD 上,1,2,OA OD ==OAB ∆,OAC ∆,ODE ∆,ODF ∆都是正三角形. (Ⅰ)证明直线BC ∥EF ; (Ⅱ)求棱锥F OBED -的体积.【解析】(Ⅰ)(综合法)证明:设G 是线段DA 与EB 延长线的交点. 由于OAB ∆与ODE∆都是正三角形,所以OB ∥DE 21,OG=OD=2, 同理,设G '是线段DA 与线段FC 延长线的交点,有.2=='OD G O 又由于G 和G '都在线段DA 的延长线上,所以G 与G '重合.在GED ∆和GFD 中,由OB ∥DE 21和OC ∥DF 21,可知B 和C 分别是GE 和GF 的中点,所以BC 是GEF ∆的中位线,故BC ∥EF .(向量法)过点F 作AD FQ ⊥,交AD 于点Q ,连QE ,由平面ABED ⊥平面ADFC ,知FQ ⊥平面ABED ,以Q 为坐标原点,QE 为x 轴正向,QD 为y 轴正向,QF 为z 轴正向,建立如图所示空间直角坐标系. 由条件知).23,23,0(),0,23,23(),3,0,0(),0,0,3(--C B F E则有33(,0,),(3,0,BC EF =-=- 所以,2=即得BC ∥EF .(Ⅱ)由OB=1,OE=2,23,60=︒=∠EOB S EOB 知,而O E D ∆是边长为2的正三角形,故.3=OED S 所以.233=+=OED EOB OBED S S S过点F 作FQ ⊥AD ,交AD 于点Q ,由平面ABED ⊥平面ACFD 知,FQ 就是四棱锥F —OBED 的高,且FQ=3,所以.2331=⋅=-OBED OBED F S FQ V 例4.(2011江苏)如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD ,AB AD =,BAD ∠=60°,E 、F 分别是AP 、AD 的中点. 求证:(Ⅰ)直线EF ∥平面PCD ;(Ⅱ)平面BEF ⊥平面PAD .【证明】(Ⅰ)在△PAD 中,因为E 、F 分别为AP ,AD 的中点,所以EF//PD .又因为EF ⊄平面PCD ,PD ⊂平面PCD ,所以直线EF//平面PCD .(Ⅱ)连结DB ,因为AB=AD ,∠BAD=60°,所以ABD ∆为正三角形,因为F 是AD 的中点,所以BF ⊥AD .因为平面PAD ⊥平面ABCD ,BF ⊂平面ABCD ,平面PAD 平面ABCD=AD ,所以BF ⊥平面PAD .又因为BF ⊂平面BEF ,所以平面BEF ⊥平面PAD .例5.(2010广东)如图,¼AEC 是半径为a 的半圆,AC 为直径,点E 为»AC 的中点,点B 和点C 为线段AD 的三等分点,平面AEC 外一点F 满足FB FD ==,EF =.(Ⅰ)证明:EB FD ⊥;(Ⅱ)已知点,Q R 为线段,FE FB 上的点,23FQ FE =,23FR FB =,求平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值.【证明】:(Ⅰ)连结CF ,因为¼AEC 是半径为a 的半圆,AC 为直径,点E 为»AC 的中点,所以EB AC ⊥.在RT BCE ∆中,EC ===.在BDF ∆中,BF DF ==,BDF ∆为等腰三角形, 且点C 是底边BD 的中点,故CF BD ⊥.在CEF ∆中,222222)(2)6CE CF a a EF +=+==,所以CEF ∆为Rt ∆,且CF EC ⊥.因为CF BD ⊥,CF EC ⊥,且CE BD C =I ,所以CF ⊥平面BED , 而EB ⊂平面BED ,CF EB ∴⊥.因为EB AC ⊥,EB CF ⊥,且AC CF C =I ,所以EB ⊥平面BDF , 而FD ⊂平面BDF ,EB FD ∴⊥.(Ⅱ)设平面BED 与平面RQD 的交线为DG .由23FQ FE =,23FR FB =,知//QR EB . 而EB ⊂平面BDE ,∴//QR 平面BDE , 而平面BDE I 平面RQD = DG , ∴////QR DG EB .由(Ⅰ)知,BE ⊥平面BDF ,∴DG ⊥平面BDF , 而,DR DB ⊂平面BDF ,∴DG DR ⊥,DG DQ ⊥, ∴RDB ∠是平面BED 与平面RQD 所成二面角的平面角. 在Rt BCF ∆中,2CF a ===,sin FC RBD BF ∠===cos RBD ∠==. 在BDR ∆中,由23FR FB =知,133BR FB ==,由余弦定理得,RD== 由正弦定理得,sin sin BR RD RDB RBD=∠∠,即332sin RDB =∠,sin RDB ∠=故平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值为29.为GC 的中点,FO =3,且FO ⊥平面ABCD .(1)求证:AE ∥平面BCF ; (2)求证:CF ⊥平面AEF .【解析】证明 取BC 中点H ,连接OH ,则OH ∥BD ,又四边形ABCD 为正方形, ∴AC ⊥BD ,∴OH ⊥AC ,故以O 为原点,建立如图所示的直角坐标系,则A (3,0,0),C (-1,0,0),D (1,-2,0),F (0,0,3),B (1,2,0).BC →=(-2,-2,0),CF →=(1,0,3),BF →=(-1,-2,3). (1)设平面BCF 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →=0,n ·CF →=0,即⎩⎨⎧-2x -2y =0,x +3z =0,取z =1,得n =(-3,3,1). 又四边形BDEF 为平行四边形, ∴DE →=BF →=(-1,-2,3), ∴AE →=AD →+DE →=BC →+BF →=(-2,-2,0)+(-1,-2,3)=(-3,-4,3), ∴AE →·n =33-43+3=0,∴AE →⊥n , 又AE ⊄平面BCF ,∴AE ∥平面BCF .(2)AF →=(-3,0,3),∴CF →·AF →=-3+3=0,CF →·AE →=-3+3=0, ∴CF →⊥AF →,CF →⊥AE →, 即CF ⊥AF ,CF ⊥AE , 又AE ∩AF =A , AE ,AF ⊂平面AEF , ∴CF ⊥平面AEF .2.如图所示,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧面AA 1C 1C 和侧面AA 1B 1B 都是正方形且互相垂直,M 为AA 1的中点,N 为BC 1的中点.求证:(1)MN ∥平面A 1B 1C 1; (2)平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C .【解析】证明 由题意知AA 1,AB ,AC 两两垂直,以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设正方形AA 1C 1C 的边长为2,则A (0,0,0),A 1(2,0,0),B (0,2,0),B 1(2,2,0),C (0,0,2),C 1(2,0,2),M (1,0,0),N (1,1,1).(1)因为几何体是直三棱柱,所以侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1.因为AA 1→=(2,0,0),MN →=(0,1,1),所以MN →·AA 1→=0,即MN →⊥AA 1→.MN ⊄平面A 1B 1C 1,故MN ∥平面A 1B 1C 1.(2)设平面MBC 1与平面BB 1C 1C 的法向量分别为 n 1=(x 1,y 1,z 1),n 2=(x 2,y 2,z 2). 因为MB →=(-1,2,0),MC 1→=(1,0,2), 所以⎩⎪⎨⎪⎧n 1·MB →=0,n 1·MC 1→=0,即⎩⎪⎨⎪⎧-x 1+2y 1=0,x 1+2z 1=0,,令x 1=2,则平面MBC 1的一个法向量为n 1=(2,1,-1).同理可得平面BB 1C 1C 的一个法向量为n 2=(0,1,1).因为n 1·n 2=2×0+1×1+(-1)×1=0,所以n 1⊥n 2,所以平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C . 3.如图,在多面体ABCDEF 中,底面ABCD 是边长为2的菱形,∠BAD =60°,四边形BDEF 是矩形,平面BDEF ⊥平面ABCD ,DE =2,M 为线段BF 的中点.(1)求M 到平面DEC 的距离及三棱锥M -CDE 的体积; (2)求证:DM ⊥平面ACE .【解析】(1)设AC ∩BD =O ,以O 为原点,OB 为x 轴,OC 为y 轴,过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴,建立空间直角坐标系,则C (0,3,0),D (-1,0,0),E (-1,0,2),M (1,0,1), DE →=(0,0,2),DC →=(1,3,0),DM →=(2,0,1), ∵DE →·DC →=0, ∴DE ⊥DC ,∴S △DEC =12×DE ×DC =12×2×2=2,设平面DEC 的法向量n =(x ,y ,z ),则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →=2z =0,n ·DC →=x +3y =0,取x =3,得n =(3,-1,0),∴M 到平面DEC 的距离h =|DM →·n ||n |=233+1=3,∴三棱锥M -CDE 的体积V =13×S △CDE ×h =13×2×3=233.(2)证明:A (0,-3,0),AC →=(0,23,0),AE →=(-1,3,2), AC →·DM →=0,AE →·DM →=-2+2=0, ∴AC ⊥DM ,AE ⊥DM ,∵AC ∩AE =A ,∴DM ⊥平面ACE .4.如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面P AD ⊥底面ABCD ,且P A =PD =22AD ,设E ,F 分别为PC ,BD 的中点.(1)求证:EF ∥平面P AD ; (2)求证:平面P AB ⊥平面PDC .【解析】证明 (1)如图,取AD 的中点O ,连接OP ,OF .因为P A =PD ,所以PO ⊥AD .因为侧面P AD ⊥底面ABCD ,平面P AD ∩平面ABCD =AD ,PO ⊂平面P AD , 所以PO ⊥平面ABCD .又O ,F 分别为AD ,BD 的中点, 所以OF ∥AB .又ABCD 是正方形,所以OF ⊥AD . 因为P A =PD =22AD , 所以P A ⊥PD ,OP =OA =a2.以O 为原点,OA ,OF ,OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, 则A ⎝⎛⎭⎫a 2,0,0,F ⎝⎛⎭⎫0,a 2,0,D ⎝⎛⎭⎫-a2,0,0, P ⎝⎛⎭⎫0,0,a 2,B ⎝⎛⎭⎫a 2,a ,0,C ⎝⎛⎭⎫-a2,a ,0. 因为E 为PC 的中点,所以E ⎝⎛⎭⎫-a 4,a 2,a4. 易知平面P AD 的一个法向量为OF →=⎝⎛⎭⎫0,a 2,0, 因为EF →=⎝⎛⎭⎫a 4,0,-a 4,且OF →·EF →=⎝⎛⎭⎫0,a 2,0·⎝⎛⎭⎫a4,0,-a 4=0, 又因为EF ⊄平面P AD , 所以EF ∥平面P AD .(2)因为P A →=⎝⎛⎭⎫a 2,0,-a 2,CD →=(0,-a,0), 所以P A →·CD →=⎝⎛⎭⎫a2,0,-a 2·(0,-a,0)=0, 所以P A →⊥CD →,所以P A ⊥CD . 又P A ⊥PD ,PD ∩CD =D , PD ,CD ⊂平面PDC , 所以P A ⊥平面PDC . 又P A ⊂平面P AB , 所以平面P AB ⊥平面PDC .5.如图,在三棱锥P -ABC 中,AB =AC ,D 为BC 的中点,PO ⊥平面ABC ,垂足O 落在线段AD 上.已知BC =8,PO =4,AO =3,OD =2.(1)证明:AP ⊥BC ;(2)若点M 是线段AP 上一点,且AM =3.试证明平面AMC ⊥平面BMC .【解析】证明 如图所示,以O 为坐标原点,以射线OP 为z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0),A (0,-3,0),B (4,2,0),C (-4,2,0),P (0,0,4).(1)∵AP →=(0,3,4),BC →=(-8,0,0),∴AP →·BC →=(0,3,4)·(-8,0,0)=0,AP →⊥BC →,即AP ⊥BC . (2)由(1)知|AP |=5,又|AM |=3,且点M 在线段AP 上, ∴AM →=35AP →=⎝⎛⎭⎫0,95,125. 又AC →=(-4,5,0),BA →=(-4,-5,0), ∴BM →=BA →+AM →=⎝⎛⎭⎫-4,-165,125, 则A P →·BM →=(0,3,4)·⎝⎛⎭⎫-4,-165,125=0, ∴AP →⊥BM →,即AP ⊥BM ,又根据(1)的结论知AP ⊥BC ,BM ∩BC =B , ∴AP ⊥平面BMC ,于是AM ⊥平面BMC . 又AM ⊂平面AMC ,故平面AMC ⊥平面BCM .6. 如图所示,已知四棱锥P -ABCD 的底面是直角梯形,∠ABC =∠BCD =90°,AB =BC =PB =PC =2CD ,侧面PBC ⊥底面ABCD .证明:(1)P A ⊥BD ;(2)平面P AD ⊥平面P AB .【解析】证明 (1)取BC 的中点O ,连接PO ,△PBC 为等边三角形,即PO ⊥BC , ∵平面PBC ⊥底面ABCD ,BC 为交线,PO ⊂平面PBC , ∴PO ⊥底面ABCD .以BC 的中点O 为坐标原点,以BC 所在直线为x 轴,过点O 与AB 平行的直线为y 轴,OP 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示.不妨设CD =1,则AB =BC =2,PO = 3.∴A (1,-2,0),B (1,0,0),D (-1,-1,0),P (0,0,3). ∴BD →=(-2,-1,0),P A →=(1,-2,-3). ∵BD →·P A →=(-2)×1+(-1)×(-2)+0×(-3)=0, ∴P A →⊥BD →, ∴P A ⊥BD .(2)取P A 的中点M ,连接DM ,则M ⎝⎛⎭⎫12,-1,32.∵DM →=⎝⎛⎭⎫32,0,32,PB →=(1,0,-3),∴DM →·PB →=32×1+0×0+32×(-3)=0,∴DM →⊥PB →,即DM ⊥PB .∵DM →·P A →=32×1+0×(-2)+32×(-3)=0,∴DM →⊥P A →,即DM ⊥P A .又∵P A ∩PB =P ,P A ,PB ⊂平面P AB , ∴DM ⊥平面P AB . ∵DM ⊂平面P AD , ∴平面P AD ⊥平面P AB .7.如图所示,在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,A 1D ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是边长为1的正方形,侧棱A 1A =2.(1)证明:AC ⊥A 1B ;(2)是否在棱A 1A 上存在一点P ,使得AP →=λP A 1→且面AB 1C 1⊥面PB 1C 1.【解析】 如图所示,以DA ,DC ,DA 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则D (0,0,0),A (1,0,0),C (0,1,0),A 1(0,0,3),B (1,1,0),D 1(-1,0,3),B 1(0,1,3),C 1(-1,1,3).(1)证明:AC →=(-1,1,0),A 1B →=(1,1,-3), ∴AC →·A 1B →=0,∴AC ⊥A 1B . (2)假设存在, ∵AP →=λP A 1→, ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫11+λ,0,3λ1+λ. 设平面AB 1C 1的一个法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1), ∵AB 1→=(-1,1,3),AC 1→=(-2,1,3), ∴⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB 1→=-x 1+y 1+3z 1=0,n 1·AC 1→=-2x 1+y 1+3z 1=0.令z 1=3,则y 1=-3,x 1=0.∴n 1=(0,-3,3).同理可求面PB 1C 1的一个法向量为n 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫0,3λ+1,-1, ∴n 1·n 2=0.∴-331+λ-3=0,即λ=-4.∵P 在棱A 1A 上,∴λ>0,矛盾. ∴这样的点P 不存在.8.如图,棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2,∠ABC 和∠A 1AC 均为60°,平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD .(1)求证:BD ⊥AA 1;(2)在直线CC 1上是否存在点P ,使BP ∥平面DA 1C 1,若存在,求出点P 的位置,若不存在,请说明理由.【解析】(1)证明 设BD 与AC 交于点O ,则BD ⊥AC ,连接A 1O ,在△AA 1O 中,AA 1=2,AO =1,∠A 1AO =60°,∴A 1O 2=AA 21+AO 2-2AA 1·AO cos 60°=3, ∴AO 2+A 1O 2=AA 21, ∴A 1O ⊥AO .由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ,且平面AA 1C 1C ∩平面ABCD =AC ,A 1O ⊂平面AA 1C 1C ,∴A 1O ⊥平面ABCD .以OB ,OC ,OA 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,-1,0),B (3,0,0),C (0,1,0),D (-3,0,0),A 1(0,0,3),C 1(0,2,3).由于BD →=(-23,0,0),AA 1→=(0,1,3), AA 1→·BD →=0×(-23)+1×0+3×0=0, ∴BD →⊥AA 1→,即BD ⊥AA 1.(2)解 假设在直线CC 1上存在点P ,使BP ∥平面DA 1C 1, 设CP →=λCC 1→,P (x ,y ,z ),则(x ,y -1,z )=λ(0,1,3).从而有P (0,1+λ,3λ),BP →=(-3,1+λ,3λ). 设平面DA 1C 1的法向量为n 3=(x 3,y 3,z 3), 则⎩⎪⎨⎪⎧n 3⊥A 1C 1→,n 3⊥DA 1→,又A 1C 1→=(0,2,0),DA 1→=(3,0,3),则⎩⎨⎧2y 3=0,3x 3+3z 3=0,取n 3=(1,0,-1),因为BP ∥平面DA 1C 1, 则n 3⊥BP →,即n 3·BP →=-3-3λ=0,得λ=-1, 即点P 在C 1C 的延长线上,且C 1C =CP .。

用向量的方法证明平行与垂直关系

用向量的方法证明平行与垂直关系

用向量的方法证明平行与垂直关系平行与垂直是向量的重要性质,可以用向量的方法进行证明。

接下来,我将介绍如何用向量的方法证明平行和垂直关系,以及一些相关的性质和定理。

1.平行性质的证明:两个向量a和b平行的定义是它们的方向相同或相反,并且它们的长度可以不相等。

下面是两个向量平行的证明方法:方法一:向量比例法如果向量a和b平行,那么可以找到一个非零实数k,使得a=k*b。

可以通过比较向量的坐标分量来找到这个常数k。

如果两个向量平行,它们的对应坐标分量之间的比值应该相等。

举例来说,如果有向量a=(1,2,3)和向量b=(2,4,6),我们可以通过将它们的相同位置的坐标分量相除来证明它们平行,如下所示:1/2=2/4=3/6=1/2这表明向量a和b的对应坐标分量比值相等,因此它们是平行的。

方法二:向量点乘法如果两个向量a和b平行,那么它们的点乘等于它们的长度之积。

即a·b=,a,*,b,其中,a,和,b,分别表示向量a和b的长度。

假设有向量a=(x1, y1, z1)和向量b=(x2, y2, z2),那么它们的点乘为a·b = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2、另一方面,它们的长度之积为,a,*,b, = sqrt(x1^2 + y1^2 + z1^2) * sqrt(x2^2 + y2^2 + z2^2)。

如果将这两个等式相等,即a·b = ,a,*,b,那么可以得出向量a和b平行。

2.垂直性质的证明:两个向量a和b垂直的定义是它们的点乘为零,即a·b=0。

下面是两个向量垂直的证明方法:方法一:向量内积法两个向量a和b的点乘为a·b=x1*x2+y1*y2+z1*z2、如果a·b=0,那么可以证明向量a和b垂直。

举例来说,如果有向量a=(1,2,3)和向量b=(2,-1,-2),我们可以计算它们的点乘为:a·b=1*2+2*(-1)+3*(-2)=0因此,向量a和b垂直。

47空间向量证明空间中的平行与垂直

47空间向量证明空间中的平行与垂直

变式迁移 证明 如图所示建立空间直角坐标系 D-xyz,则有 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,E、F 分别是 BB1、 → A(2,0,0)、C(0,2,0)、C1(0,2,2)、E(2,2,1)、F(0,0,1),所以F DD1 的中点,求证: → (1)FC1∥平面 ADE; → =(0,2,1). DA=(2,0,0)、AE (2)平面 ADE∥平面 B1C1F.
1 2, 3 ,0 , 2
设 PA=AB=BC=1,则 P(0,0,1).
(1)∵∠ABC = 60°, ∴△ABC 为 正 三 角 形 . ∴C
1 E , 4
2 3 2 3 → → 设 D(0, y,0), AC⊥CD, 由 得AC· =0, y= CD 即 , D0, 则 ,0, 3 3 3 3 1 → 1 → 1 ∴CD=- , ,0.又AE= , , , 6 4 2 2 4
方法二
如图所示,取 BC 的中点 O,连结 AO.
因为△ABC 为正三角形,所以 AO⊥BC.
因为在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,平面 ABC⊥ 平面 BCC1B1, 所以 AO⊥平面 BCC1B1.
→ → → 取 B1C1 的中点 O1,以 O 为原点,以OB,OO1,OA为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则 B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2, 3),A(0,0, 3),B1(1,2,0).
u ⇔ u1·2=0
.
题型一 线面平行的证明方法 题型一 线面平行的证明方法 例 1 如图所示,已知四边形 ABCD、ABEF 为两个正方形,M、N 分别 在其对角线 BF 和 AC 上,且例 1 如图所示,已知四边形 ABCD、ABEF 为两个 FM=AN,求证:MN∥平面 EBC.

立体几何中的向量方法——证明平行及垂直

立体几何中的向量方法——证明平行及垂直

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量:在直线上任取一非零向量作为它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程组求出:设a ,b 是平面α两不共线向量,n 为平面α的法向量,则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n ·a =0,n ·b =0.2.用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2,则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ,与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2,则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ,y ,使v =x v 1+y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ,平面α的法向量为u ,则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1,u 2,则α∥β⇔u 1 ∥u 2.3.用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2,则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2=0.(2)设直线l 的方向向量为v ,平面α的法向量为u ,则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2,则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2=0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的.( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的.( )(3)若两平面的法向量平行,则两平面平行.( )(4)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.( )(5)若a ∥b ,则a 所在直线与b 所在直线平行.( )(6)若空间向量a 平行于平面α,则a 所在直线与平面α平行.( )1.下列各组向量中不平行的是( )A .a =(1,2,-2),b =(-2,-4,4)B .c =(1,0,0),d =(-3,0,0)C .e =(2,3,0),f =(0,0,0)D .g =(-2,3,5),h =(16,24,40)2.已知平面α有一点M (1,-1,2),平面α的一个法向量为n =(6,-3,6),则下列点P 中,在平面α的是( )A .P (2,3,3)B .P (-2,0,1)C .P (-4,4,0)D .P (3,-3,4)3.已知AB →=(1,5,-2),BC →=(3,1,z ),若AB →⊥BC →,BP →=(x -1,y ,-3),且BP ⊥平面ABC ,则实数x ,y ,z 分别为______________.4.若A (0,2,198),B (1,-1,58),C (-2,1,58)是平面α的三点,设平面α的法向量n =(x ,y ,z ),则x ∶y ∶z =________.题型一 证明平行问题例1 (2013·改编)如图,在四面体A -BCD 中,AD ⊥平面BCD ,BC ⊥CD ,AD =2,BD =22,M 是AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且AQ =3QC .证明:PQ ∥平面BCD .如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2).(1)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ;(2)是否存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.题型二证明垂直问题例2如图所示,正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC =2,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°角.(1)求证:CM∥平面PAD;(2)求证:平面PAB⊥平面PAD.题型三解决探索性问题例3 如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2,∠ABC和∠A1AC均为60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证:BD⊥AA1;(2)求二面角D-A1A-C的余弦值;(3)在直线CC1上是否存在点P,使BP∥平面DA1C1,若存在,求出点P的位置,若不存在,请说明理由.如图所示,四棱锥S—ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的2倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC,则侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.利用向量法解决立体几何问题典例:如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=3,求三棱锥E-ACD的体积.A 组 专项基础训练1.若直线l 的方向向量为a =(1,0,2),平面α的法向量为n =(-2,0,-4),则( )A .l ∥αB .l ⊥αC .l ⊂αD .l 与α相交2.若AB →=λCD →+μCE →,则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )A .相交B .平行C .在平面D .平行或在平面3.已知A (4,1,3),B (2,-5,1),C (3,7,-5),则平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标是( )A .(2,4,-1)B .(2,3,1)C .(-3,1,5)D .(5,13,-3)4.已知a =(2,-1,3),b =(-1,4,-2),c =(7,5,λ),若a ,b ,c 三向量共面,则实数λ等于( )A.627B.637C.607D.6575.如图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AB =2,AA 1=3,AD =22,P 为C 1D 1的中点,M 为BC 的中点.则AM 与PM 所成的角为( )A .60°B .45°C .90°D .以上都不正确6.已知平面α的三点A (0,0,1),B (0,1,0),C (1,0,0),平面β的一个法向量n =(-1,-1,-1),则不重合的两个平面α与β的位置关系是________.7.设点C (2a +1,a +1,2)在点P (2,0,0)、A (1,-3,2)、B (8,-1,4)确定的平面上,则a =________.8.如图,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,棱长为a ,M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点,A 1M =AN =2a 3,则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________. 9.如图,四边形ABCD 为正方形,PD ⊥平面ABCD ,PD ∥QA ,QA =AB =12PD .证明:平面PQC ⊥平面DCQ .10.如图,在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,E ,F 分别是PC ,PD 的中点,PA =AB =1,BC =2.(1)求证:EF ∥平面PAB ;(2)求证:平面PAD ⊥平面PDC .B 组 专项能力提升11.如图,正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直,AB =2,AF =1,M 在EF 上,且AM ∥平面BDE ,则M 点的坐标为( )A .(1,1,1)B .(23,23,1)C .(22,22,1) D .(24,24,1) 12.设u =(-2,2,t ),v =(6,-4,4)分别是平面α,β的法向量,若α⊥β,则t 等于( )A .3B .4C .5D .613.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点,O 为底面正方形ABCD 的中心,M ,N 分别为AB ,BC 的中点,点Q 为平面ABCD 一点,线段D 1Q 与OP 互相平分,则满足MQ →=λMN →的实数λ有________个.14.如图所示,已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,△ABC 为等腰直角三角形,∠BAC =90°,且AB =AA 1,D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC的中点.求证:(1)DE ∥平面ABC ;(2)B 1F ⊥平面AEF .15.在四棱锥P—ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点.(1)求证:EF⊥CD;(2)在平面PAD求一点G,使GF⊥平面PCB,并证明你的结论.。

用空间向量证明平行与垂直

用空间向量证明平行与垂直
空间向量是证明平行与垂直关系的有力工具。首先,我们需要建立立体图形与空间向量的联系,将立体几何问题转化为空间向量问题。这通常涉及用空间向量表示点、线、面等元素。接下来,通过向量的运算,如点积、叉积等,我们可以深入研究向量间的平行与垂直关系。特别是,当两向量的点积为零时,它们被视为垂直。此外,方向向量或法向量在研究过程中也常起到辅助作用。最后,根据这些运算结果,我们可以解释和解答与平行、中,显示出空间向量在解决几何问题中的广泛适用性和实用性。

用向量方法证明平行与垂直

用向量方法证明平行与垂直

用向量方法证明平行与垂直要证明两个向量是平行的,我们需要证明它们的方向相同或相反。

而要证明两个向量是垂直的,我们需要证明它们的内积为零。

首先,我们考虑平行向量的证明。

设有两个向量u和v,我们可以将它们表示为:u = (u1, u2, ..., un)v = (v1, v2, ..., vn)其中n代表向量的维度。

如果u和v是平行的,那么它们的方向相同或相反,可以用以下方式进行证明:1.方向相同:我们可以证明向量u和v的比例关系。

即对于任意的i,我们有:ui/vi = u1/v1 = u2/v2 = ... = un/vn如果我们找到一个非零常数k,使得:ui = k * vi,则u和v是平行的。

2.方向相反:我们可以找到一个常数k,使得:ui = -k * vi,则u和v的方向相反,它们也是平行的。

下面我们来看一个具体的例子。

例1:证明(1,2,3)和(2,4,6)是平行的。

解:我们可以计算向量的比例:(1/2)=(2/4)=(3/6)=1/2这意味着我们可以找到一个非零常数k=1/2,使得:(1,2,3)=(1/2)*(2,4,6)因此,向量(1,2,3)和(2,4,6)是平行的。

接下来,我们考虑垂直向量的证明。

设有向量u和v,我们可以将它们表示为:u = (u1, u2, ..., un)v = (v1, v2, ..., vn)如果u和v垂直,那么它们的内积为零,可以用以下方式进行证明:u·v=0我们可以将内积展开为标量乘积的形式:u · v = u1 * v1 + u2 * v2 + ... + un * vn = 0这意味着对于任意的i,我们有:ui * vi = -u1 * v1 - u2 * v2 - ... - un * vn如果我们能找到满足上述等式的向量u和v,则u和v是垂直的。

下面我们来看一个具体的例子。

例2:证明(1,2,3)和(-1,2,-1)是垂直的。

立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直

立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直

立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直【考点梳理】1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合,则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量.2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2l1∥l2n1∥n2⇔n1=λn2 l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2=0直线l的方向向量为n,平面α的法向量为m l∥αn⊥m⇔n·m=0 l⊥αn∥m⇔n=λm平面α,β的法向量分别为n,m α∥βn∥m⇔n=λm α⊥βn⊥m⇔n·m=0【考点突破】考点一、利用空间向量证明平行问题【例1】如图,在四面体A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD =22,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.证明:PQ∥平面BCD.[解析]法一如图,取BD的中点O,以O为原点,OD,OP所在射线分别为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知,A(0,2,2),B(0,-2,0),D(0,2,0).设点C的坐标为(x0,y0,0).因为AQ→=3QC →, 所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0,24+34y 0,12.因为M 为AD 的中点,故M (0,2,1). 又P 为BM 的中点,故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,0,12,所以PQ→=⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0,24+34y 0,0. 又平面BCD 的一个法向量为a =(0,0,1),故PQ →·a =0. 又PQ ⊄平面BCD , 所以PQ ∥平面BCD .法二 在线段CD 上取点F ,使得DF =3FC ,连接OF ,同法一建立空间直角坐标系,写出点A ,B ,C 的坐标,设点C 坐标为(x 0,y 0,0).∵CF→=14CD →,设点F 坐标为(x ,y ,0),则 (x -x 0,y -y 0,0)=14(-x 0,2-y 0,0), ∴⎩⎪⎨⎪⎧x =34x 0,y =24+34y 0,∴OF→=⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0,24+34y 0,0 又由法一知PQ→=⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0,24+34y 0,0, ∴OF→=PQ →,∴PQ ∥OF .又PQ ⊄平面BCD ,OF ⊂平面BCD , ∴PQ ∥平面BCD .【类题通法】1.恰当建立坐标系,准确表示各点与相关向量的坐标,是运用向量法证明平行和垂直的关键.2.证明直线与平面平行,只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零,或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面,或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行,然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.【对点训练】如图所示,平面P AD ⊥平面ABCD ,ABCD 为正方形,△P AD 是直角三角形,且P A =AD =2,E ,F ,G 分别是线段P A ,PD ,CD 的中点.求证:PB ∥平面EFG .[解析] ∵平面P AD ⊥平面ABCD ,且ABCD 为正方形, ∴AB ,AP ,AD 两两垂直.以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ,则A (0,0,0),B (2,0,0),C (2,2,0),D (0,2,0),P (0,0,2),E (0,0,1),F (0,1,1),G (1,2,0).法一 ∴EF→=(0,1,0),EG →=(1,2,-1),设平面EFG 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →=0,n ·EG →=0,即⎩⎨⎧y =0,x +2y -z =0,令z =1,则n =(1,0,1)为平面EFG 的一个法向量,∵PB→=(2,0,-2), ∴PB→·n =0,∴n ⊥PB →, ∵PB ⊄面EFG , ∴PB ∥平面EFG .法二 PB→=(2,0,-2),FE →=(0,-1,0),FG→=(1,1,-1).设PB →=sFE →+tFG →, 即(2,0,-2)=s (0,-1,0)+t (1,1,-1),∴⎩⎨⎧t =2,t -s =0,-t =-2,解得s =t =2. ∴PB→=2FE →+2FG →, 又∵FE→与FG →不共线, ∴PB→,FE →与FG →共面. ∵PB ⊄平面EFG , ∴PB ∥平面EFG .考点二、利用空间向量证明垂直问题【例2】如图所示,已知四棱锥P -ABCD 的底面是直角梯形,∠ABC =∠BCD =90°,AB =BC =PB =PC =2CD ,侧面PBC ⊥底面ABCD .证明:(1)P A ⊥BD ;(2)平面P AD ⊥平面P AB .[解析] (1)取BC 的中点O ,连接PO ,∵平面PBC ⊥底面ABCD ,△PBC 为等边三角形, ∴PO ⊥底面ABCD .以BC 的中点O 为坐标原点,以BC 所在直线为x 轴,过点O 与AB 平行的直线为y 轴,OP 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示.不妨设CD =1,则AB =BC =2,PO = 3.∴A (1,-2,0),B (1,0,0),D (-1,-1,0),P (0,0,3). ∴BD →=(-2,-1,0),P A →=(1,-2,-3). ∵BD →·P A →=(-2)×1+(-1)×(-2)+0×(-3)=0, ∴P A →⊥BD→,∴P A ⊥BD . (2)取P A 的中点M ,连接DM ,则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,-1,32.∵DM →=⎝ ⎛⎭⎪⎫32,0,32,PB →=(1,0,-3),∴DM→·PB →=32×1+0×0+32×(-3)=0,∴DM→⊥PB →,即DM ⊥PB .∵DM →·P A →=32×1+0×(-2)+32×(-3)=0, ∴DM →⊥P A →,即DM ⊥P A .又∵P A ∩PB =P ,∴DM ⊥平面P AB . ∵DM ⊂平面P AD ,∴平面P AD ⊥平面P AB . 【类题通法】1.利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系,准确写出相关点的坐标,从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.2.用向量证明垂直的方法①线线垂直:证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零.②线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定定理用向量表示.③面面垂直:证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理用向量表示.【对点训练】如图所示,正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都为2,D 为CC 1的中点.求证:AB 1⊥平面A 1BD .[解析] 法一 设平面A 1BD 内的任意一条直线m 的方向向量为m .由共面向量定理,则存在实数λ,μ,使m =λBA 1→+μBD →.令BB 1→=a ,BC →=b ,BA →=c ,显然它们不共面,并且|a |=|b |=|c |=2,a ·b =a ·c =0,b ·c =2,以它们为空间的一个基底,则BA 1→=a +c ,BD →=12a +b ,AB 1→=a -c , m =λBA 1→+μBD →=⎝ ⎛⎭⎪⎫λ+12μa +μb +λc , AB 1→·m =(a -c )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫λ+12μa +μb +λc =4⎝ ⎛⎭⎪⎫λ+12μ-2μ-4λ=0.故AB 1→⊥m ,结论得证.法二 如图所示,取BC 的中点O ,连接AO . 因为△ABC 为正三角形, 所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,平面ABC ⊥平面BCC 1B 1, 所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1,以O 为原点,分别以OB →,OO 1→,OA →所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则B (1,0,0),D (-1,1,0),A 1(0,2,3),A (0,0,3),B 1(1,2,0). 设平面A 1BD 的法向量为n =(x ,y ,z ),BA 1→=(-1,2,3),BD →=(-2,1,0).因为n ⊥BA 1→,n ⊥BD →, 故⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→=0,n ·BD →=0,⇒⎩⎨⎧-x +2y +3z =0,-2x +y =0,令x =1,则y =2,z =-3,故n =(1,2,-3)为平面A 1BD 的一个法向量, 而AB 1→=(1,2,-3),所以AB 1→=n ,所以AB 1→∥n , 故AB 1⊥平面A 1BD .考点三、利用空间向量解决探索性问题【例3】如图,棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2,∠ABC 和∠A 1AC 均为60°,平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD .(1)求证:BD ⊥AA 1;(2)在直线CC 1上是否存在点P ,使BP ∥平面DA 1C 1?若存在,求出点P 的位置;若不存在,请说明理由.[解析] (1)设BD 与AC 交于点O ,则BD ⊥AC ,连接A 1O ,在△AA 1O 中,AA 1=2,AO =1,∠A 1AO =60°,∴A 1O 2=AA 21+AO 2-2AA 1·AO cos 60°=3,∴AO 2+A 1O 2=AA 21,∴A 1O ⊥AO . 由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD , 平面AA 1C 1C ∩平面ABCD =AC , A 1O ⊂平面AA 1C 1C , ∴A 1O ⊥平面ABCD ,以OB ,OC ,OA 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,-1,0),B (3,0,0),C (0,1,0),D (-3,0,0),A 1(0,0,3),C 1(0,2,3).由于BD →=(-23,0,0),AA 1→=(0,1,3), AA 1→·BD →=0×(-23)+1×0+3×0=0, ∴BD →⊥AA 1→,即BD ⊥AA 1. (2)假设在直线CC 1上存在点P ,使BP ∥平面DA 1C 1,设CP →=λCC 1→,P (x ,y ,z ),则(x ,y -1,z )=λ(0,1,3).从而有P (0,1+λ,3λ),BP →=(-3,1+λ,3λ). 设n 3⊥平面DA 1C 1,则⎩⎪⎨⎪⎧n 3⊥A 1C 1→,n 3⊥DA 1→,又A 1C 1→=(0,2,0),DA 1→=(3,0,3), 设n 3=(x 3,y 3,z 3),⎩⎨⎧2y 3=0,3x 3+3z 3=0,取n 3=(1,0,-1),因为BP ∥平面DA 1C 1,则n 3⊥BP →,即n 3·BP →=-3-3λ=0,得λ=-1,即点P 在C 1C 的延长线上,且C 1C =CP .【类题通法】向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题1.根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想,找出点或线的位置,并用向量表示出来,然后再加以证明,得出结论.2.假设所求的点或参数存在,并用相关参数表示相关点,根据线、面满足的垂直、平行关系,构建方程(组)求解,若能求出参数的值且符合该限定的范围,则存在,否则不存在.【对点训练】如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,M ,N 分别是棱AB ,AD ,A 1B 1,A 1D 1的中点,点P ,Q 分别在棱DD 1,BB 1上移动,且DP =BQ =λ(0<λ<2).(1)当λ=1时,证明:直线BC 1∥平面EFPQ ;(2)是否存在λ,使平面EFPQ ⊥平面PQMN ?若存在,求出实数λ的值;若不存在,说明理由.[解析] (1)以D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得B (2,2,0),C 1(0,2,2),E (2,1,0),F (1,0,0),P (0,0,λ),M (2,1,2),N (1,0,2),BC 1→=(-2,0,2),FP →=(-1,0,λ),FE →=(1,1,0),MN→=(-1,-1,0),NP →=(-1,0,λ-2).当λ=1时,FP→=(-1,0,1),因为BC 1→=(-2,0,2), 所以BC 1→=2FP →, 即BC 1∥FP . 而FP ⊂平面EFPQ , 且BC 1⊄平面EFPQ , 故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)设平面EFPQ 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则由⎩⎪⎨⎪⎧FE →·n =0,FP →·n =0,可得⎩⎨⎧x +y =0,-x +λz =0.于是可取n =(λ,-λ,1).同理可得平面PQMN 的一个法向量为m =(λ-2,2-λ,1). 则m ·n =(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0, 即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±22. 故存在λ=1±22,使平面EFPQ ⊥平面PQMN .。

立体几何中的向量方法——证明平行及垂直

立体几何中的向量方法——证明平行及垂直

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1.直线的方向向量与平面的法向量确实定(1)直线的方向向量:在直线上任取一非零向量作为它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程组求出:设a ,b 是平面α两不共线向量,n 为平面α的法向量,则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n ·a =0,n ·b =0.2.用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2,则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ,与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2,则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数*,y ,使v =*v 1+y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ,平面α的法向量为u ,则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1,u 2,则α∥β⇔u 1∥u 2.3.用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2,则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2=0.(2)设直线l 的方向向量为v ,平面α的法向量为u ,则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2,则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2=0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打"√〞或"×〞)(1)直线的方向向量是唯一确定的.()(2)平面的单位法向量是唯一确定的.()(3)假设两平面的法向量平行,则两平面平行.()(4)假设两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.()(5)假设a ∥b ,则a 所在直线与b 所在直线平行.()(6)假设空间向量a 平行于平面α,则a 所在直线与平面α平行.()1.以下各组向量中不平行的是()A .a =(1,2,-2),b =(-2,-4,4)B .c =(1,0,0),d =(-3,0,0)C .e =(2,3,0),f =(0,0,0)D .g =(-2,3,5),h =(16,24,40)2.平面α有一点M (1,-1,2),平面α的一个法向量为n =(6,-3,6),则以下点P 中,在平面α的是()A .P (2,3,3)B .P (-2,0,1)C .P (-4,4,0)D .P (3,-3,4)3.AB →=(1,5,-2),BC →=(3,1,z ),假设AB →⊥BC →,BP →=(*-1,y ,-3),且BP ⊥平面ABC ,则实数*,y ,z 分别为______________.4.假设A (0,2,198),B (1,-1,58),C (-2,1,58)是平面α的三点,设平面α的法向量n =(*,y ,z ),则*∶y ∶z =________.题型一 证明平行问题例1(2013·改编)如图,在四面体A -BCD 中,AD ⊥平面BCD ,BC ⊥CD ,AD =2,BD =22,M 是AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且AQ =3QC .证明:PQ ∥平面BCD .如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,M ,N 分别是棱AB ,AD ,A 1B 1,A 1D 1的中点,点P ,Q 分别在棱DD 1,BB 1上移动,且DP =BQ =λ(0<λ<2).(1)当λ=1时,证明:直线BC 1∥平面EFPQ ;(2)是否存在λ,使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角?假设存在,求出λ的值;假设不存在,说明理由.题型二 证明垂直问题例2 如下图,正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2,D 为CC 1的中点.求证:AB 1⊥平面A 1BD .如下图,在四棱锥P -ABCD 中,PC ⊥平面ABCD ,PC =2,在四边形ABCD 中,∠B =∠C =90°,AB =4,CD =1,点M 在PB 上,PB =4PM ,PB 与平面ABCD 成30°角.(1)求证:CM ∥平面PAD ;(2)求证:平面PAB ⊥平面PAD .题型三 解决探索性问题例3 如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2,∠ABC和∠A1AC均为60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证:BD⊥AA1;(2)求二面角D-A1A-C的余弦值;(3)在直线CC1上是否存在点P,使BP∥平面DA1C1,假设存在,求出点P的位置,假设不存在,请说明理由.如下图,四棱锥S—ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的2倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD.(2)假设SD⊥平面PAC,则侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.假设存在,求SE∶EC的值;假设不存在,试说明理由.利用向量法解决立体几何问题典例:如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=3,求三棱锥E-ACD的体积.A组专项根底训练1.假设直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,0,-4),则()A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l与α相交2.假设AB→=λCD→+μCE→,则直线AB与平面CDE的位置关系是()A.相交B.平行C.在平面D.平行或在平面3.A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则平行四边形ABCD的顶点D的坐标是() A.(2,4,-1) B.(2,3,1)C.(-3,1,5) D.(5,13,-3)4.a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),假设a,b,c三向量共面,则实数λ等于()A.627B.637C.607D.6575.如图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AB =2,AA 1=3,AD =22,P 为C 1D 1的中点,M 为BC 的中点.则AM 与PM 所成的角为()A .60°B .45°C .90°D .以上都不正确6.平面α的三点A (0,0,1),B (0,1,0),C (1,0,0),平面β的一个法向量n =(-1,-1,-1),则不重合的两个平面α与β的位置关系是________.7.设点C (2a +1,a +1,2)在点P (2,0,0)、A (1,-3,2)、B (8,-1,4)确定的平面上,则a =________.8.如图,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,棱长为a ,M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点,A 1M =AN =2a 3,则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________. 9.如图,四边形ABCD 为正方形,PD ⊥平面ABCD ,PD ∥QA ,QA =AB=12PD .证明:平面PQC ⊥平面DCQ . 10.如图,在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,E ,F 分别是PC ,PD 的中点,PA =AB =1,BC =2.(1)求证:EF ∥平面PAB ;(2)求证:平面PAD ⊥平面PDC .B 组 专项能力提升11.如图,正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直,AB =2,AF =1,M 在EF 上,且AM ∥平面BDE ,则M 点的坐标为()A .(1,1,1)B .(23,23,1) C .(22,22,1) D .(24,24,1)12.设u =(-2,2,t ),v =(6,-4,4)分别是平面α,β的法向量,假设α⊥β,则t 等于()A .3B .4C .5D .613.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点,O 为底面正方形ABCD 的中心,M ,N 分别为AB ,BC 的中点,点Q 为平面ABCD 一点,线段D 1Q 与OP 互相平分,则满足MQ →=λMN→的实数λ有________个.14.如下图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,△ABC 为等腰直角三角形,∠BAC =90°,且AB =AA 1,D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点.求证:(1)DE ∥平面ABC ;(2)B 1F ⊥平面AEF .15.在四棱锥P —ABCD 中,PD ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为正方形,PD =DC ,E 、F 分别是AB 、PB 的中点.(1)求证:EF ⊥CD ;(2)在平面PAD 求一点G ,使GF ⊥平面PCB ,并证明你的结论.。

向量法证明平行与垂直-人教版高中数学

向量法证明平行与垂直-人教版高中数学

知识图谱-利用向量证明空间中的平行关系-利用向量证明空间中的垂直关系直线的方向向量与直线的向量方程利用向量方法证明线面平行关系利用向量方法证明线线与面面的平行关系利用向量方法证明线线垂直平面的法向量利用向量方法证明线面垂直利用向量方法证明面面垂直第02讲_向量法证明平行与垂直错题回顾利用向量证明空间中的平行关系知识精讲一.直线的方向向量与直线的向量方程1.点的位置向量在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示,我们把向量称为点的位置向量.2.直线的方向向量空间中任一直线的位置可以由上的一个定点以及一个定方向确定,如图,点是直线上的一点,向量表示直线的方向向量,则对于直线上任一点,有,这样点和向量,不仅可以确定直线的位置,还可具体表示出上的任意点;直线上的向量以及与共线的向量叫做的方向向量.3.直线的向量方程直线上任意一点,一定存在实数,使得①,①式可以看做直线的参数方程,直线的参数方程还可以作如下表示:对空间中任意一确定点,点在直线上的充要条件是存在唯一的实数满足等式②,如果在上取,则上式可以化为③;①②③都叫做空间直线的向量参数方程.二.平面的法向量1.平面法向量的定义已知平面,如果向量的基线与平面垂直,则向量叫作平面的法向量或者说向量与平面正交.2.平面法向量的性质(1)平面上的一个法向量垂直于平面共面的所有向量;(2)一个平面的法向量有无限多个,它们互相平行.三.用向量方法证明空间中的平行关系1.线线平行设直线的方向向量分别是,则要证明或与重合,只需要证明,即.2.线面平行(1)设直线的方向向量是,平面的法向量是,要证明,只需要证明;(2)根据线面平行的判定定理:如果直线(平面外)与平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行;所以,要证明一条直线和一个平面平行,也可以在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可;(3)根据共面向量定理可知:如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量,那么这个向量与这两个不共面向量确定的平面一定平行.已知两个不共线向量与平面共面,一条直线的一个方向向量为,则由共面向量定理,可得或在内存在两个实数,使.3.面面平行(1)若能求出平面的法向量,要证明,只需要证明即可.(2)由面面平行的判定定理:要证明面面平行,只要转化为相应的线面平行、线线平行即可,已知两个不共线的向量与平面共面,则由两平面平行的判定与性质,得.三点剖析一.方法点拨1.在平面内,直线的向量方程可类比点斜式方程,直线的方向向量、斜率都是刻画直线方向的量,只是从不同角度引入,它们有一定的关系:斜率为的直线,其方向向量为,反之,方向向量为的直线不一定存在斜率;在空间中,用方向向量刻画直线较为方便.2.空间中建系描述选取三条两两相交的直线的交点作为原点,以哪三条直线为轴,建立空间直角坐标系.例如:正方体中,建系的描述为:以点为坐标原点,分别以所在直线为轴,建立空间直角坐标系.3.用空间向量证明平行关系需要注意的问题(1)用空间向量的方法证明立体几何中的平行问题,主要运用了直线的方向向量和平面的法向量,同时也要借助空间中已有的一些关于平行的定理.(2)用向量方法证明平行问题的步骤①建立空间图形与空间向量的关系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面;②通过向量运算研究平行问题;③根据运算结果解释相关问题.4.平面法向量的求法(1)建立适当的坐标系;(2)设出平面法向量为;(3)找出(求出)平面内的两个共线的向量的坐标;(4)根据法向量的定义建立关于的方程组;(5)解方程组,取其中的一个解,即得法向量,由于一个平面的法向量有无数个,故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量.有时候,题目中的线面垂直条件比较明显,可以将垂线的方向向量作为平面的法向量来解决问题.题模精讲题模一直线的方向向量与直线的向量方程例1.1、已知向量=(2,4,5),=(3,x,y)分别是直线l1、l2的方向向量,若l1∥l2,则()A、x=6,y=15B、x=3,y=C、x=3,y=15D、x=6,y=例1.2、从点沿向量的方向取线段长,则B点的坐标为( )A、B、C、D、题模二平面的法向量例2.1、在空间直角坐标系内,设平面经过点,平面的法向量为,为平面内任意一点,求满足的关系式.例2.2、(1)设平面的法向量为,平面的法向量为,若,则__________;则__________.(2)若的方向向量为,平面的法向量为,若,则__________;若,则__________.题模三利用向量方法证明线面平行关系例3.1、已知正方形和正方形相交于分别在上,且,求证平面.例3.2、在正方体中,的中点,求证:.题模四利用向量方法证明线线与面面的平行关系例4.1、在正方体中,分别是的中点.证明:.例4.2、如右图所示,在平行六面体中,分别是的中点.求证:平面∥平面..随堂练习随练1.1、已知,,则直线的模为的方向向量是________________.随练1.2、已知点若点为直线上任意一点,则直线的向量参数方程为______________,当时,点的坐标为______________.随练1.3、已知,且均与平面平行,直线的方向向量,则()随练1.4、若两个不同平面的法向量分别为,则( )A、B、C、相交但不垂直D、以上均不正确随练1.5、已知平面经过三点,试求平面的一个法向量.随练1.6、在正方体中,分别是的中点,求证:.随练1.7、已知正方体的棱长为2,分别是的中点,求证:(1);(2).利用向量证明空间中的垂直关系知识精讲一.直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用设空间两条直线的方向向量分别是,两个平面的法向量分别是,则有下表与与与二.用向量方法证明空间中的垂直关系1.线线垂直设直线的方向向量分别是,则要证明,只需要证明,即.2.线面垂直(1)设直线的方向向量是,平面的法向量是,要证明,只需要证明.(2)根据线面垂直的判定定理,转化为直线与平面内的两条相交直线垂直.3.面面垂直(1)根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直,线线垂直;(2)证明两个平面的法向量互相垂直.一、方法点拨1.平面法向量可以不唯一,只要是垂直于平面的直线,其方向向量都可以当作法向量进行运算.2.平面中的平行、垂直关系的向量论证,注意复习线面、面面平行与垂直的判定定理,将这种位置关系的判断转化为向量间的代数运算,体现了向量的工具性功能.题模精讲题模一利用向量方法证明线线垂直例1.1、设的方向向量,的方向向量,若,则( )A、1B、2C、D、3例1.2、在正三棱柱中,.求证:.题模二利用向量方法证明线面垂直若直线的方向向量为,平面的法向量为,则( )A、B、C、D、斜交例2.2、在正方体中,分别是棱的中点,试在棱上找一点,使得.题模三利用向量方法证明面面垂直例3.1、若两个不同平面的法向量分别为,则( )A、B、C、相交但不垂直D、以上均不正确例3.2、在长方体中,,分别是棱的中点.(1)求证:平面;(2)求证:平面平面.随堂练习随练2.1、如图所示,已知空间四边形的各边和对角线的长都等于,点分别是的中点.求证:随练2.2、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.(1)证明PA∥平面EDB;(2)证明PB⊥平面EFD;(3)求二面角C-PB-D的大小.随练2.3、在正棱锥中,三条侧棱两两互相垂直,的重心,分别为上的点,且(1)求证:平面;(2)求证:的公垂线段.自我总结课后作业作业1、已知,把按向量平移后所得的向量是( )A、B、C、D、作业2、正四面体的高的中点为,则平面的一个法向量可以是________,平面的一个法向量可以是________.作业3、若直线是两条异面直线,它们的方向向量分别是,则直线的公垂线(与两异面直线垂直相交的直线)的一个方向向量是________.作业4、是正四棱柱,侧棱长为3,底面边长为2,E是棱BC的中点,求证:.作业5、如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点,(1)求证:AC⊥BC1;(2)求证:AC1∥平面CDB1;(3)求二面角C1-AB-C的余弦值.作业6、已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5)求:(1)求以向量,为一组邻边的平行四边形的面积S;(2)若向量分别与向量,垂直,且||=,求向量的坐标.作业7、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.(1)证明:PA∥平面EDB;(2)证明:PB⊥平面EFD.作业8、在直三棱柱中,底面是以为直角的等腰直角三角形,,的中点,在线段,使?若存在,求出;若不存在,请说明理由.作业9、如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形,∠BA D=∠FAB=90°,BC AD,BE AF,G,H分别为FA,FD的中点(Ⅰ)证明:四边形BCHG是平行四边形;(Ⅱ)C,D,F,E四点是否共面?为什么?(Ⅲ)设AB=BE,证明:平面ADE⊥平面CDE.。

第七章 第六节 第一课时 证明平行与垂直

第七章 第六节 第一课时 证明平行与垂直

则 A(0, 3 ,0),D(0,0,0),E(1,0,t),B(-1,0,0),B1(-1,0,2t),
A,
3
,0),D→E
=1,0,t

→ A1N
=(-1,-
3

2λt-2t),
设平面 ADE 的法向量 n=(x,y,z),
则nn··DD→→AE==x+3yt=z=00 ,取 z=1,得 n=(-t,0,1),
z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
由题意可知 D(0,0,0),B(1,2,0),A(1,0,0),C(0,
2,0),S(0,0, 3 ),
→ BS
=(-1,-2,
3 ),D→C =(0,2,0),
假设存在 M,N 满足 MN⊥CD 且 MN⊥SB.
∵M 在线段 CD 上,可设B→M =λB→S =(-λ,-2λ, 3 λ)(λ∈[0,1]). ∵D→M =D→B +B→M =(1,2,0)+(-λ,-2λ, 3 λ)=(1-λ,2-2λ, 3 λ), ∴M 的坐标(1-λ,2-2λ, 3 λ),
N 在线段 SB 上,可设 N(0,y,0),y∈[0,2],
则N→M =(1-λ,2-2λ-y, 3 λ).
要使 MN⊥CD 且 MN⊥SB,则NN→ →MM· ·DB→→SC==00,,
又B→S =(-1,-2, 3 ),D→C =(0,2,0), 可得2-((2-1-2λλ-)y-)2=(02-2λ-y)+3λ=0 , 解得 λ=14 ∈[0,1],y=32 ∈[0,2]. 故存在 M,N 使 MN⊥CD 且 MN⊥SB, 其中 M 是线段 SB 靠近 B 的四等分点,N 是线段 CD 靠近 C 的四等分点.
∵PB⊄平面 EFG,∴PB∥平面 EFG.

空间向量的应用平行,垂直

空间向量的应用平行,垂直

,


x 2a 3
y 2 a, 3
za
N
(
2a 3
,
2a 3
,
a)
B
C
z
同理:M(a, 2a , a ) 33
MN ( a ,0, 2a ) 33
(1)ED ( a ,0, a) 2
C1
x B1
MN 2 ED MN // ED,即MN // ED 3
D N
A
M
D1
Ey
A1
(2)设面BB1C1C的一个法向量为n
A
D1
E
C1
N
B1 F
D
C
B
练2习:
C'
B'
在三棱柱ABC A' B 'C '中,
A'
底面是正三角形,AA' 底面ABC,
A'C AB ',求证:BC ' AB '
C
B
A
练2习:
C'
B'
在三棱柱ABC A' B 'C '中,
A'
底面是正三角形,AA' 底面ABC,
A'C AB ',求证:BC ' AB '
设底面边长为2,高为h,
如图建立空间直角坐标系. C
B
A( 3,0,0), B(0,1,0),C(0,1,0).
A
uAuu'ur( 3,0, h), B'(0uu,1uu,rh),C'(0,1, h). uuuur
AB ' ( 3,1, h), A'C ( 3, 1, h), BC ' (0, 2, h)

利用空间向量证明平行、垂直问题 课件

利用空间向量证明平行、垂直问题   课件
(4)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a= (3,2,1),v=(1,-2,1).
答案:(1)l1⊥l2 (2)α∥β (3)l与α斜交 (4)l⊂α或l∥α
题型二 平面法向量的求法
例 2 若 A0,2,189,B1,-1,58,C-2,1,58 是平面 α 内的三点,设平面 α 的法向量 a=(x,y,z),
6.证明两条直线平行,只要证明这两条直线的 方向向量是平__行__(_或__共__线__)_.
7.证明两条直线垂直,只要证明这两条直线的 方向向量_垂__直___.
1.若直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2), b=(-2,3,2),则( )B
A.l1∥l2
B.l1⊥l2
C.l1、l2相交但不垂直 D.不能确定
2.若平面α、β的法向量分别为u=(2,-3,5), v=(-3,1,-4),则( ) C
A.α∥β B.α⊥β
C.α、β相交但不垂直 D.以上均不正确
自测 自评
3.平面 α 的法向量 u=(x,1,-2),平面 β 的法向
量 v=-1,y,12,已知 α∥β,则 x+y=(
)
A.
13 4
B.145
(2)①u=(1,-1,2),v=3,2,-12, ∴u·v=3-2-1=0,∴u⊥v,∴α⊥β. ②∵u=(0,3,0),v=(0,-5,0),∴u=-35v, ∴u∥v,∴α∥β. ③∵u=(2,-3,4),v=(4,-2,1), ∴u 与 v 不共线,也不垂直, ∴α 与 β 相交但不垂直. (3)①∵u=(2,2,-1),a=(-3,4,2),
①a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3); ②a=(5,0,2),b=(0,4,0); ③a=(-2,1,4),b=(6,3,3). (2)设 u,v 分别是不同的平面 α,β 的法向量,根据下列条 件判断 α,β 的位置关系: ①u=(1,-1,2),v=3,2,-12; ②u=(0,3,0),v=(0,-5,0);

向量法证明平行与垂直

向量法证明平行与垂直
n· m=0 n⊥m⇔____________
α∥β α⊥β
n∥m⇔n=λm
n· m=0 n⊥m⇔____________
基础诊断 考点突破
分别为n,m
4
[常用结论与微点提醒] 1.用向量知识证明立体几何问题,仍离不开立体几何中的定理.若用直线的方向向量
与平面的法向量垂直来证明线面平行,仍需强调直线在平面外.
解析 ∵a=(1,0,2),n=(-2,0,-4),
答案 B
8
基础诊断
考点突破
4.已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面 ABC 法向量的是 ( ) B.(1,-1,1)
D.
A.(-1,1,1)
C.-
3 3 3 ,- ,- 3 3 3
3 Q x0, 4
2 3 1 + y 0, . 4 4 2
1 P0,0,2,
因为 M 为 AD 的中点,故 M(0, 2,1).
又 P 为 BM 的中点,故
3 2 3 → 所以PQ= x0, + y0,0. 4 4 4
→ 又平面 BCD 的一个法向量为 a=(0,0,1),故PQ·a=0.
第7节
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
1
基础诊断
考点突破
最新考纲
1.理解直线的方向向量及平面的法向量;2.能用向量语言表述线
线、线面、面面的平行和垂直关系; 3.能用向量方法证明立体几何中有关 线面位置关系的一些简单定理.
2
基础诊断
考点突破
知识梳理 1.直线的方向向量和平面的法向量 (1) 直线的方向向量:如果表示非零向量 a 的有向线段所在直线与直线 平行或重合 ,则称此向量a为直线l的方向向量. l_______________ (2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α

向量法证明平行与垂直-人教版高中数学

向量法证明平行与垂直-人教版高中数学

第02讲一向量法证明平行与垂直知识图谱-利用向量证明空间中的平行关系-利用向星证明空间中的垂直关系宜线的方向向量与直线的向量方程利用向量方法证明线面平行关系利用向星方法证明线线与面面的平行关系利用向星方法证明线线垂直平面的法向星利用向星方法证明线面垂直利用向量方法证明面面垂直第02讲-向量法证明平行与垂直错题回顾利用向量证明空间中的平行关系知识Si井一・直线的方向向量与直线的向量方程1.点的位置向量在空间中,我们取一定点0作为基点,那么空间中任意一点P的位置就可以用向量成来表示,我们把向量质称为点P的位置向量.2.直线的方向向量空间中任一直线I的位置可以由I上的一个定点A以及一个定方向确定,如图,点村是直线,上的一点,向量或表示直线[的方向向量,则对于直线[上任一点户,有步弟,这样点工和向量成,不仅可以确定直线,的位置,还可具体表示出/上的任意点;直线I上的向量S以及与3共线的向量叫做i的方向向量・3.直线I的向量方程直线上任意一点P定存在实数,,使得衣=龙①,①式可以看做直线[的参数方程,直线f的参数方程还可以作如下表示:对空间中任意一确定点。

,点户在直线[上的充要条件是存在唯一的实数,满足等式灵=鬲*②,如果在,上取后=株,则上式可以化为灸=扇以刀=函硕赤-&)=(1-!)宓H房①;①②③都叫做空间直线的向量参数方程.二•平面的法向量1.平面法向量的定义已知平面a,如果向量成的基线与平面a垂直,则向量成叫作平面”的法向量或者说向量成与平面a正交.2.平面法向量的性质(1)平面“上的一个法向量垂直于平面“共面的所有向量;(2)一个平面的法向量有无限多个,它们互相平行.三.用向量方法证明空间中的平行关系1.牺平行设直线4房的方向向量分别是',5,则要证明4"《或4与"重合,只需要证明加,即M疗.2.线面平行(1)设直线,的方向向量是a,平面。

的法向量是元,要证明〃r/,只需要证明Sz;=o;(2)根据线面平行的判定定理:如果直线(平面夕卜)与平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行;所以,要证明2直线和一个平面平行,也可以在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可;(3)根据共面向量定理可知:如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量,那么这个向量与这两个不共面向量确定的平面一定平行.已知两个不共线向量名逡与平面“共面,一条直线]的一个方向向量为亍,则由共面向量定理,可得E或[在位内9存在两个实数W,使土戒+>£.3平行(1借能求出平面s月的法向量元足,要证明耻,只需要证明河即可.(2)由面面平行的判定定理:要证明面面平行,只要转化为相应的线面平行、线线平行即可,已知两个不共线的向量相与与平面“共面,则由两平面平行的判定与性质,得。

平面向量垂直和平行公式

平面向量垂直和平行公式

平面向量的垂直和平行公式如下:
向量垂直(垂直关系):
- 两个非零向量a = (x1, y1) 和b = (x2, y2) 垂直的充要条件是它们的内积为0,即:
a·b = x1 x2 + y1 y2 = 0
向量平行(共线关系):
- 若向量a ≠ 0,向量b ≠ 0,并且它们平行,则存在一个实数λ(λ≠0),使得:
b = λa
或者等价地,在坐标表示下,如果:
(x2, y2) = λ(x1, y1)
即它们对应坐标的比值相等。

另外,有一种判断两向量平行的几何直观方法,通过计算交叉乘积来验证。

但要注意在二维空间中,通常不使用交叉乘积来判断平行(因为二维向量没有外积的概念),而是直接用上述比例关系。

而三维空间中的向量可以通过叉乘来判断是否垂直,但在二维平面中,直接看内积是否为零即可判断垂直。

关于交叉乘积用于判断平行的一般是指三维空间的情况,而非二维平
面上的向量。

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1 3 1 1 1 3 3 → → → 又AE=( , , ),∴AE· AD=- × + × =0, 4 4 2 2 4 6 4 → → ∴AE⊥CD,即 AE⊥CD.
(2)设平面 ABE 的一个法向量为 n= (x, y, z), 1 3 1 → → ∵AB= (1,0,0),AE= ( , , ), 4 4 2 → n· AB= 0 ∴ → n · AE =0 x= 0 ,即1 3 1 x+ y+ z= 0 4 4 2 ,
→ → (3)由于点 M 在 AE 上, 所以可设AM= λ· AE= λ· (0,2,1) = (0,2λ, λ), → ∴ M(2,2λ, λ),A1M=(0,2λ, λ- 2). 要使 A1M⊥平面 DAE,只需 A1M⊥ AE, → → ∴A1M· AE= (0,2λ, λ- 2)· (0,2,1)= 5λ- 2= 0, 2 2 ∴ λ= .故当 AM= AE 时, A1M⊥平面 DAE. 5 5

,令 y= 1,则 n= (2,1,- 1).
设平面 PBC 的一个法向量 u=(x, y, z), → u· BC=0 则 → u · BP =0 → ,∵BC=(- 1,0,0),

- x= 0 → BP=(- 1,- 1,1),∴ , - x- y+ z= 0 x= 0 ∴ y= z
(1)平面 ADE∥平面 B1C1F; (2)平面 ADE⊥平面 A1D1G; (3)在 AE 上求一点 M,使得 A1M⊥平面 DAE.
→ → → 解析:以 D 为原点,DA、DC、DD1为正交基底建立 空间直角坐标系 O- xyz, 则 D(0,0,0), D1(0,0,2), A(2,0,0), A1(2,0,2), E(2,2,1), F(0,0,1), G(0,1,0), B1(2,2,2), C1(0,2,2).
→ → (2)∵DA· D1G= (2,0,0)· (0,1,- 2)= 0, → → ∴DA⊥D1G. → → → → ∵AE· D1G= (0,2,1)· (0,1,- 2)= 0,∴AE⊥D1G. → → ∵DA、AE不共线,∴ D1G⊥平面 ADE. 又∵ D1G⊂平面 A1D1G,∴平面 ADE⊥平面 A1D1G.
点评: (1)证明直线 l1∥ l2 时,分别取 l1、 l2 的一个方 向向量 a、 b,则 a∥ b⇔存在实数 k,使 a= kb 或利用其 a1 a2 a3 坐标 = = (其中 a=(a1, a2, a3), b=(b1, b2, b3)). b1 b2 l 的方向向量 a 与平面 α 的法向量 n, 证明 a· n=0;
设平面 CEF 的一个法向量为 n=(x, y, z),则 → n· EF= 0 1 1 → ,∵EF= (0, , ), 2 2 → EC= 0 n· 1 1 2y+2z= 0 1 → EC= (- , 1,0),∴ 2 -1x+ y=0 2
z=- y ∴ x= 2y
1 则 A(1,0,0), B1(1,1,1), C(0,1,0), D1(0,0,1), E1, ,0, 2
→ M(1,1, m).∴AC=(- 1,1,0), 又 E、 F 分别为 AB、 BC 的中点,
→ 1→ 1 1 ∴EF= AC=- , ,0. 2 2 2
故取 B1B 的中点 M 就能满足 D1M⊥平面 EFB1.
点评:①证明直线 l1 与 l2 垂直时,取 l1、l2 的方向向 量 a、 b,证明 a· b= 0. ②证明直线 l 与平面 α 垂直时,取 α 的法向量 n, l 的方向向量 a,证明 a∥ n. 或取平面 α 内的两相交直线的方向向量 a、b 与直线 l 的方向向量 e,证明 a· e= 0, b· e= 0.
证明:方法 1:如下图所示,以 D 为原点,DA、DC、DD1 所在直 线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为 1, 则可求得
1 1 M0,1,2,N2,1,1,A1(1,0,1),B(1,1,0),

1 1 → 于是MN=2,0,2,
a⊥ v1 l⊥ α⇔ a⊥ v2 v1= 0 a· ⇔ v2= 0 a·
.
3.用向量方法研究两个平面的位置关系 设平面 α、 β 的法向量分别为 n1、 n2. (1)α∥ β 或 α 与 β 重合⇔ n1∥ n2⇔存在实数 t,使 n1 = tn2. (2)α⊥ β⇔ n1⊥ n2⇔ n1· n2= 0. 若 v1、v2 是与 α 平行的两个不共线向量,n 是平面 β 的法向量.
证明: (1)AE⊥CD; (2)PD⊥平面 ABE.
证明:∵AB、AD、AP 两两垂直,建立如图所示的空 间直角坐标系,设 PA=AB=BC=1,则 P(0,0,1).
(1)∵∠ABC=60° ,∴△ABC 为正三角形. 1 3 1 3 1 ∴C( , ,0),E( , , ). 2 2 4 4 2 → → 设 D(0,y,0),由 AC⊥CD,得AC· CD=0, ∴y= 2 3 2 3 1 3 → ,即 D(0, ,0),∴CD=(- , ,0). 3 3 2 6
(2011· 黄冈期末 ) 在四棱锥 P - ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, PD⊥平面 ABCD, E、 F 分别为棱 AD、 PB 的中点, PD= AD.求证: 平面 CEF⊥平面 PBC.
证明: 以 D 为原点,直线 DA、 DC、 DP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如下图空间直角坐标系. 设 PD= 1,则 P(0,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0), 1 1 1 1 ∴ E( , 0,0), F( , , ), 2 2 2 2
如何用空间向量解决立体几何问题 1.思考方向: (1) 要解决的问题可用什么向量知识来解决?需要 用到哪些向量? (2)所需要的向量是否已知?若未知,是否可用已知 条件转化成的向量直接表示?
(3) 所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的 向量表示,则它们分别最易用哪个未知向量表示?这些 未知向量与由已知条件转化的向量有何关系? (4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算,才能 得到需要的结论?
用向量方法证明平行与垂直
运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般 步骤 ①建立恰当的空间直角坐标系;②求出相关点的坐 标;③写出向量的坐标;④结合公式进行计算,论证; ⑤转化为几何结论.
平面的法向量 1.如果表示向量 a 的有向线段所在直线垂直于平面 α,则称这个向量垂直于平面 α,记作 a⊥α,如果 a⊥α, 那么向量 a 叫做平面 α 的法向量. 2.求平面的法向量的方法 设 n 是平面 M 的一个法向量,AB、CD 是 M 内的两 → → 条相交直线,则 n· AB=0,n· CD=0.由此可求出一个法 → → 向量 n(向量AB及CD已知).
二、用空间向量研究空间线面的平行与垂直关系 1.用向量方法研究两直线间的位置关系 设直线 l1、l2 的方向向量分别为 a、b. (1)l1∥l2 或 l1 与 l2 重合⇔a∥b⇔存在实数 t, 使 a=tb. (2)l1⊥l2⇔a⊥b⇔a· b=0.
2.用向量方法研究直线与平面的位置关系 设直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,v1、 v2 是与 α 平行的两个不共线向量. (1)l∥ α 或 l⊂ α⇔存在两个实数 λ、μ,使 a= λv1+ μv2 ⇔ a· n= 0. (2)l⊥ α⇔ a∥ n⇔存在实数 t,使 a= tn.
令 y= 2,则 z=- 3,∴ n=(0,2,- 3).
2 3 3 → → ∵PD=(0, ,-1),显然PD= n. 3 3 → → ∵PD∥n,∴PD⊥平面 ABE.即 PD⊥平面 ABE.
用向量方法证明面面垂直与平行
[例 3] 已知正方体 ABCD- A1B1C1D1 的棱长为 2, E、 F、 G 分别是 BB1、DD1、 DC 的中点,求证:
(1)设 n1= (x1, y1, z1), n2= (x2, y2, z2)分别是平面 → → ADE、平面 B1C1F 的法向量,则 n1⊥DA, n1⊥AE. → n1· DA= 0 ∴ → AE= 0 n1·
2x = 0 1 ,∴ 2y1+ z1= 0

取 y1= 1, z1=- 2,∴ n1=(0,1,- 2). 同理可求 n2= (0,1,- 2). ∵ n1∥ n2,∴平面 ADE∥平面 B1C1F.
1 → → 又∵B1E= 0,- ,- 1 , D1M=(1,1, m- 1), 2
∵ D1M⊥平面 FEB1,∴ D1M⊥ EF 且 D1M⊥ B1E. → → → → 即D1M· EF= 0,且D1M· B1E= 0. 1 1 0= 0 -2+2+ m- 1 · ∴ 0-1+ 1- m= 0 2 1 ,∴ m= . 2
设平面 A1BD 的法向量是 n=(x,y,z). x+z=0 → → 则 n· DA1=0,且 n· DB=0,∴ x+y=0 ,
取 x=1,得 y=-1,z=-1.∴n=(1,-1,-1).
1 1 → 又MN· n= 2,0,2· (1,-1,-1)=0,
→ ∴MN⊥n,又∵MN⊄平面 A1BD,∴MN∥平面 A1BD.
则①α∥β 或 α 与 β 重合⇔v1∥β 且 v2∥β⇔存在实数 λ、μ,对 β 内任一向量 a,有 a=λv1+μv2.
n⊥v1 ②α⊥β⇔ n⊥v2 v1=0 n· ⇔ v2=0 n·
.
用向量证明线面平行
[例 1] 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、 N 分别 是 C1C、B1C1 的中点.求证:MN∥平面 A1BD.
③证明平面 α 与 β 垂直时, 取 α、 β 的法向量 n1、 n2, 证明 n1· n2=0. ④证明平行与垂直的关键是将待证问题中直线的方 向向量和平面的法向量表示出来(用已知向量表示或用坐 标表示).
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