用向量方法证明平行与垂直

(3)证明平面 α∥平面 β 时， 设 α、 β 的法向量分别为 a、
b，则只须证明 a∥b.
用向量证明线面垂直
[例 2] 在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， E、 F 分别为棱 AB 和 BC 的中点，试在棱 B1B 上找一点 M，使得 D1M⊥平面 EFB1.
证明：分别以 DA、DC、DD1 所在直线为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 D－xyz，
1 → → 又∵B1E＝ 0，－ ，－ 1 ， D1M＝(1,1， m－ 1)， 2
∵ D1M⊥平面 FEB1，∴ D1M⊥ EF 且 D1M⊥ B1E. → → → → 即D1M· EF＝ 0，且D1M· B1E＝ 0. 1 1 0＝ 0 －2＋2＋ m－ 1 · ∴ 0－1＋ 1－ m＝ 0 2 1 ，∴ m＝ . 2
设平面 A1BD 的法向量是 n＝(x，y，z)． x＋z＝0 → → 则 n· DA1＝0，且 n· DB＝0，∴ x＋y＝0 ，
取 x＝1，得 y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．
1 1 → 又MN· n＝ 2，0，2· (1，－1，－1)＝0，
→ ∴MN⊥n，又∵MN⊄平面 A1BD，∴MN∥平面 A1BD.
证明： (1)AE⊥CDபைடு நூலகம் (2)PD⊥平面 ABE.
证明：∵AB、AD、AP 两两垂直，建立如图所示的空 间直角坐标系，设 PA＝AB＝BC＝1，则 P(0,0,1)．
(1)∵∠ABC＝60° ，∴△ABC 为正三角形． 1 3 1 3 1 ∴C( ， ，0)，E( ， ， )． 2 2 4 4 2 → → 设 D(0，y,0)，由 AC⊥CD，得AC· CD＝0， ∴y＝ 2 3 2 3 1 3 → ，即 D(0， ，0)，∴CD＝(－ ， ，0)． 3 3 2 6
(2011· 黄冈期末 ) 在四棱锥 P － ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， PD⊥平面 ABCD， E、 F 分别为棱 AD、 PB 的中点， PD＝ AD.求证： 平面 CEF⊥平面 PBC.
证明： 以 D 为原点，直线 DA、 DC、 DP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如下图空间直角坐标系． 设 PD＝ 1，则 P(0,0,1)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)， 1 1 1 1 ∴ E( ， 0,0)， F( ， ， )， 2 2 2 2
a⊥ v1 l⊥ α⇔ a⊥ v2 v1＝ 0 a· ⇔ v2＝ 0 a·
.
3．用向量方法研究两个平面的位置关系 设平面 α、 β 的法向量分别为 n1、 n2. (1)α∥ β 或 α 与 β 重合⇔ n1∥ n2⇔存在实数 t，使 n1 ＝ tn2. (2)α⊥ β⇔ n1⊥ n2⇔ n1· n2＝ 0. 若 v1、v2 是与 α 平行的两个不共线向量，n 是平面 β 的法向量．
故取 B1B 的中点 M 就能满足 D1M⊥平面 EFB1.
点评：①证明直线 l1 与 l2 垂直时，取 l1、l2 的方向向 量 a、 b，证明 a· b＝ 0. ②证明直线 l 与平面 α 垂直时，取 α 的法向量 n， l 的方向向量 a，证明 a∥ n. 或取平面 α 内的两相交直线的方向向量 a、b 与直线 l 的方向向量 e，证明 a· e＝ 0， b· e＝ 0.
则①α∥β 或 α 与 β 重合⇔v1∥β 且 v2∥β⇔存在实数 λ、μ，对 β 内任一向量 a，有 a＝λv1＋μv2.
n⊥v1 ②α⊥β⇔ n⊥v2 v1＝0 n· ⇔ v2＝0 n·
.
用向量证明线面平行
[例 1] 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M、 N 分别 是 C1C、B1C1 的中点．求证：MN∥平面 A1BD.
→ → (3)由于点 M 在 AE 上， 所以可设AM＝ λ· AE＝ λ· (0,2,1) ＝ (0,2λ， λ)， → ∴ M(2,2λ， λ)，A1M＝(0,2λ， λ－ 2)． 要使 A1M⊥平面 DAE，只需 A1M⊥ AE， → → ∴A1M· AE＝ (0,2λ， λ－ 2)· (0,2,1)＝ 5λ－ 2＝ 0， 2 2 ∴ λ＝ .故当 AM＝ AE 时， A1M⊥平面 DAE. 5 5
用向量方法证明平行与垂直
运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般 步骤 ①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐 标；③写出向量的坐标；④结合公式进行计算，论证； ⑤转化为几何结论．
平面的法向量 1．如果表示向量 a 的有向线段所在直线垂直于平面 α，则称这个向量垂直于平面 α，记作 a⊥α，如果 a⊥α， 那么向量 a 叫做平面 α 的法向量． 2．求平面的法向量的方法 设 n 是平面 M 的一个法向量，AB、CD 是 M 内的两 → → 条相交直线，则 n· AB＝0，n· CD＝0.由此可求出一个法 → → 向量 n(向量AB及CD已知)．
(1)平面 ADE∥平面 B1C1F； (2)平面 ADE⊥平面 A1D1G； (3)在 AE 上求一点 M，使得 A1M⊥平面 DAE.
→ → → 解析：以 D 为原点，DA、DC、DD1为正交基底建立 空间直角坐标系 O－ xyz， 则 D(0,0,0)， D1(0,0,2)， A(2,0,0)， A1(2,0,2)， E(2,2,1)， F(0,0,1)， G(0,1,0)， B1(2,2,2)， C1(0,2,2)．
二、用空间向量研究空间线面的平行与垂直关系 1．用向量方法研究两直线间的位置关系 设直线 l1、l2 的方向向量分别为 a、b. (1)l1∥l2 或 l1 与 l2 重合⇔a∥b⇔存在实数 t， 使 a＝tb. (2)l1⊥l2⇔a⊥b⇔a· b＝0.
2．用向量方法研究直线与平面的位置关系 设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，v1、 v2 是与 α 平行的两个不共线向量． (1)l∥ α 或 l⊂ α⇔存在两个实数 λ、μ，使 a＝ λv1＋ μv2 ⇔ a· n＝ 0. (2)l⊥ α⇔ a∥ n⇔存在实数 t，使 a＝ tn.
如何用空间向量解决立体几何问题 1．思考方向： (1) 要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要 用到哪些向量？ (2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知 条件转化成的向量直接表示？
(3) 所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的 向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些 未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？ (4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能 得到需要的结论？
[证明]
(1)取 BC 的中点 O，
∵侧面 PBC⊥底面 ABCD，△PBC 为等边三角形， ∴PO⊥底面 ABCD. 以 O 为坐标原点，以 BC 所在直线为 x 轴，过点 O 与 AB 平行的直线为 y 轴，建立如下图所示空间直角坐标系．
，令 z＝ 1，则 u＝ (0,1,1)，
∵ u· n＝ 0，∴u⊥ n， ∴平面 CEF⊥平面 PBC.
1.已知四棱锥 P－ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC＝ ∠BCD＝90° ，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面 PBC⊥底 面 ABCD.
(1)证明：PA⊥BD； (2)证明：平面 PAD⊥平面 PAB.
2．空间问题如何转化为向量问题 (1)平行问题⇒向量共线，注意重合； (2)垂直问题⇒向量的数量积为零，注意零向量； (3)距离问题⇒向量的模； (4)求角问题⇒向量的夹角，注意角范围的统一．
3．向量的分解与组合是用向量法解决立体几何问题中 经常遇到的问题，确定合适的基向量或建立恰当的空间直 角坐标系是关键．
点评： (1)证明直线 l1∥ l2 时，分别取 l1、 l2 的一个方 向向量 a、 b，则 a∥ b⇔存在实数 k，使 a＝ kb 或利用其 a1 a2 a3 坐标 ＝ ＝ (其中 a＝(a1， a2， a3)， b＝(b1， b2， b3))． b1 b2 b3
(2)证明直线 l∥平面 α 时， 可取直线 l 的方向向量 a 与平面 α 的法向量 n， 证明 a· n＝0；
证明：方法 1：如下图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在直 线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1， 则可求得
1 1 M0，1，2，N2，1，1，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，

1 1 → 于是MN＝2，0，2，
→ → (2)∵DA· D1G＝ (2,0,0)· (0,1，－ 2)＝ 0， → → ∴DA⊥D1G. → → → → ∵AE· D1G＝ (0,2,1)· (0,1，－ 2)＝ 0，∴AE⊥D1G. → → ∵DA、AE不共线，∴ D1G⊥平面 ADE. 又∵ D1G⊂平面 A1D1G，∴平面 ADE⊥平面 A1D1G.
，
，令 y＝ 1，则 n＝ (2,1，－ 1)．
设平面 PBC 的一个法向量 u＝(x， y， z)， → u· BC＝0 则 → u · BP ＝0 → ，∵BC＝(－ 1,0,0)，

－ x＝ 0 → BP＝(－ 1，－ 1,1)，∴ ， － x－ y＋ z＝ 0 x＝ 0 ∴ y＝ z
令 y＝ 2，则 z＝－ 3，∴ n＝(0,2，－ 3)．
2 3 3 → → ∵PD＝(0， ，－1)，显然PD＝ n. 3 3 → → ∵PD∥n，∴PD⊥平面 ABE.即 PD⊥平面 ABE.
用向量方法证明面面垂直与平行
[例 3] 已知正方体 ABCD－ A1B1C1D1 的棱长为 2， E、 F、 G 分别是 BB1、DD1、 DC 的中点，求证：
设平面 CEF 的一个法向量为 n＝(x， y， z)，则 → n· EF＝ 0 1 1 → ，∵EF＝ (0， ， )， 2 2 → EC＝ 0 n· 1 1 2y＋2z＝ 0 1 → EC＝ (－ ， 1,0)，∴ 2 －1x＋ y＝0 2
z＝－ y ∴ x＝ 2y
③证明平面 α 与 β 垂直时， 取 α、 β 的法向量 n1、 n2， 证明 n1· n2＝0. ④证明平行与垂直的关键是将待证问题中直线的方 向向量和平面的法向量表示出来(用已知向量表示或用坐 标表示)．
如下图所示，在四棱锥 P－ ABCD 中，PA⊥底面 ABCD， AB⊥ AD， AC⊥ CD，∠ ABC＝ 60° ， PA＝ AB ＝ BC， E 是 PC 的中点．
1 3 1 1 1 3 3 → → → 又AE＝( ， ， )，∴AE· AD＝－ × ＋ × ＝0， 4 4 2 2 4 6 4 → → ∴AE⊥CD，即 AE⊥CD.
(2)设平面 ABE 的一个法向量为 n＝ (x， y， z)， 1 3 1 → → ∵AB＝ (1,0,0)，AE＝ ( ， ， )， 4 4 2 → n· AB＝ 0 ∴ → n · AE ＝0 x＝ 0 ，即1 3 1 x＋ y＋ z＝ 0 4 4 2 ，
(1)设 n1＝ (x1， y1， z1)， n2＝ (x2， y2， z2)分别是平面 → → ADE、平面 B1C1F 的法向量，则 n1⊥DA， n1⊥AE. → n1· DA＝ 0 ∴ → AE＝ 0 n1·
2x ＝ 0 1 ，∴ 2y1＋ z1＝ 0
，
取 y1＝ 1， z1＝－ 2，∴ n1＝(0,1，－ 2)． 同理可求 n2＝ (0,1，－ 2)． ∵ n1∥ n2，∴平面 ADE∥平面 B1C1F.
1 则 A(1,0,0)， B1(1,1,1)， C(0,1,0)， D1(0,0,1)， E1， ，0， 2
→ M(1,1， m)．∴AC＝(－ 1,1,0)， 又 E、 F 分别为 AB、 BC 的中点，
→ 1→ 1 1 ∴EF＝ AC＝－ ， ，0. 2 2 2