第51讲 导数的应用(解析版)

中等已测：2438次

正确率：74.8 %

1.若是函数的极值点，则的极⼩值为（ ）

A.B.C.D.

考点：函数在某点取得极值的条件

知识点：函数的极⼤值、极⼩值、函数极值与导数的关系答案：A

解析：由题可得因为，所以，，故令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递增，在

单调递减

所以极⼩值，故选.

中等

已测：2754次正确率：70.2 %

2.函数的图象如图所⽰,则下列结论成⽴的是( )

A.B.C.D.

考点：利⽤导数研究函数的单调性、利⽤导数判断含参函数的单调性知识点：函数图象与导函数图象之间的关系、函数单调性和导数的关系答案：A

解析：函数的图象在轴上的截距为正值,

.

,

且函数在上单调递增,

上单调递减,上单调递增,的解集为,,⼜均为正数,

,,

x =−2f (x )=(x +ax −1)e 2

x −1f (x )−1−2e −35e −31

f (x )

=(2x +a )e +(x +ax −1)e =[x +(a +2)x +a −1]e ′x −12x −12x −1

f (−2)=0′a =−1f (x )=(x −x −1)e 2x −1f (x )=(x +x −2)e ′2x −1

f (x )

>0′x <−2x >1f (x )(−∞,−2)(1,+∞)(−2,1)f (x )=

f (1)=(1−1−1)e =−11−1A f (x )=ax +bx +cx +d 32

a >0,

b <0,

c >0,

d >0a >0,b <0,c <0,d >0a <0,b <0,c >0,d >0a >0,b >0,c >0,d <0

∵f (x )y ∴d >0∵f (x )=3ax +2bx +c ′2f (x )

=ax +bx +cx +d 32(−∞,x )1(x ,x )12(x ,+∞)2∴f (x )<0′(x ,x )12∴a >0x ,x 12∴ >03a c − >03a 2b

可得.

较难已测：1807次正确率：39.2 %3.已知函数有两个极值点，.若，则关于的⽅程

的不同实根个数为（ ）

A.B.C.D.

考点：函数在某点取得极值的条件、利⽤导数研究函数的极值知识点：三次函数的极值与零点的关系答案：A 解析：，根据已知，得有两个不同的实根，，且，根据三

次函数的性质可得是函数的极⼤值点，⽅程必然有或

.由于且，如图，可知⽅程有两个实根，有⼀个实根，故⽅程共有个不同实根．

⼀般已测：4239次

正确率：69.7 %

4.设函数，其中，存在使得成⽴，则

实数的最⼩值为( )

A.B.C.D.

考点：利⽤导数研究曲线上某点的切线⽅程、利⽤分离变量求最值解决不等式存在性问题知识点：函数在某点处的切线、点到直线的距离答案：C

解析：函数可以看作动点与点的距离的平⽅，点在曲线上，点在直线

上，

问题转化为直线上的点到曲线上的点的距离的最⼩值，由求导可得，

令，解得，此时，则，

c >0,b <0f (x )

=x +ax +bx +c 32

x 1x 2f (x )=x

3456

f (x )

=3x +2ax +b ′23x +2ax +b =02x 1x 2x

+2af (x )+b =02

f (x )=x 1f (x )=x 2f (x )=x 1x

=(x −a )+(lnx −2a )22

2

x >0,a ∈R x 0f (x )≤b 0b 51 52 5

41

f (x )P (x ,lnx )2Q (a ,2a )P y

=2lnx Q y =2x y =2lnx y = ′x 2y =2′

x =1y =2ln 1=0M (1,0)

所以点到直线的距离，

即为直线与曲线之间最⼩的距离，故。由于存在使得，则，即，故选：.

中等已测：3612次正确率：57.1 %

5.如图所⽰的是函数的⼤致图象，则等于（ ）

A.B.C.D.考点：求函数的零点、函数零点与⽅程根的关系知识点：函数的零点、函数零点具有的性质答案：C

解析：由图象知的根为，

．

．的两个根为和．．．．

为的两根，

.

.

中等已测：3430次正确率：72.3 %

6.设函数(,为⾃然对数的底数).若曲线上存在点使

得,则的取值范围是( )

A.B.C.D.

考点：利⽤导数研究函数的单调性知识点：函数单调性和导数的关系

M (1,0)y

=2x d =

= 2+(−1)22252 5f (x ) =d = min 254x 0f (x )≤b 0f (x ) ≤b min b ≥ 54C f (x )

=x +bx +cx +d 32x +x 1222 32

34 38 3

16f (x )

=00,1,2∴d =0∴f (x )=x +bx +cx =x (x +bx +c )=0322∴x +bx +c =0212∴b =−3,c =2∴f (x )=x −3x +2x 32∴f (x )=3x −6x +2′2∵x ,x 123x −6x +2=02∴x +x =2,x x = 121232∴x +x =(x +x )−2x x =2−2× = 12221221223238f (x )=

e +x −a x a ∈R e y =sinx (x ,y )00

f (f (y ))=y 00a [1,e ][e −1,1]−1[1,e +1][e −1,e +1]

−1