圆锥曲线的运算技巧总结

圆锥曲线的运算技巧总结

龚胜良

1.已知椭圆上一点P 00(,)x y ,求过这点的直线l 与椭圆的另一个Q 11(,)x y .

方法：将直线l 与椭圆联立得到一个一元二次方程,利用韦达定理求出1x ,再代入直线l ,从而得到1y .

2.若过P 00(,)x y 且斜率为k 的直线l 与椭圆联立的相关表达式中.又有过该点且斜率为1k

-的直线1l 与椭圆联立的表达式,只需将第一个表达式中的k 换为1k -即可.

3.许多情况不宜将直线写成点斜式,这样代入曲线计算量会变大（当然做整体处理计算量也不见得很多,具体见2010年辽宁高考数学理),常常设直线l :y kx m =+,再将点代入直线.

4.当过一点P 00(,)x y 引曲线C 的切线（切线有很多条）时,将切线设为一条与曲线相联立,从而得到了关于斜率k 高次方程,将k 解出,若为二次用韦达定理.

5.在圆锥曲线中,遇到面积比、线段比时.

面积比通过找同底或等高或同角,转化为线段比,线段比通过作梯形或三角形转化为横坐标或者纵坐标的绝对值比,这样问题变简单,计算量变小.

6.要会灵活设直线.当斜率为k ,过点M (,0)m 设直线为1x y m k =+.注意用弦长公式时不要弄混.

7.当求证:过定点,定值,关系式恒成立时，直接计算或证明计算量很大

,那么我们就先讨论直线斜率不存在时,定值,定点,关系式怎么样.再讨论斜率为0时,定值,定点,关系式怎么样.如果情况是一致的,那就上述得到的情形来假设k 存在且不为0时也成立,接下来就证明该结论即可.

8.设直线l 与曲线交于A ,B .1l 为A ,B 的垂直平分线且交曲线于C ,D .两点,l 的斜率为k ,11l k k

=- 现设1l :代入曲线得到中点,中点在l 上,得到一元二次方程1∆>0,计算量变小很多（1l :x ky b =-+）

9.判断直线与椭圆的位置关系时,利用点到直线的距离等于半径.

10.许多学生记不下来双曲线的焦半径公式.

遵循:左加右减,同负异正（左右指焦点,同异指焦点与曲线的支是否对应）

12,F F 为左右焦点,1122(,),(,)P x y Q x y 为曲线的左右两支 11()PF a ex =-+ 21PF a ex =-

12QF a ex =+ 22()QF a ex =--

11.注重点差法在圆锥曲线中的应用

12.相切0∆=有一交点,容易解出交点,也方便计算.

13.12||||

x x α-=,去掉绝对值得到两根之差12x x - 14.要充分利用向量（线段相等或成倍数关系）