章复习 第21章 二次根式
华师大版数学九年级上册全册复习课件精选全文
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
第22章┃ 复习
3．一元二次方程根的判别式 由于一元二次方程的根的个数由代数式_b_2_－__4_a_c_____的符 号决定，因此把_b_2_－__4_a_c____叫做一元二次方程根的判别式． (1)当_b_2_－__4_a_c_＞__0___时，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 有 x2＝两_个__不_－_相_b_－等__的2_ba_实2_－_数_4_a根_c_，__即__x_1_＝_____．－__b_＋___2_ab_2－__4_a_c________，
•第二十一章 二次根式 •21.1《二次根式》 •21.2二次根式的乘除法 •21.3二次根式的加减法
第21章┃ 复习
1．二次根式的概念 一般地，我们把形如__a__(a≥0)的式子叫做二次根式．
第21章┃ 复习
2．二次根式的性质
(1) a≥___0___(a≥0)；(2)( a)2＝___a___(a≥0)；
解：移项，得 x2－4x＝1，两边都加上 4，得 x2－4x＋4＝1 ＋4，即(x－2)2＝5，两边开平方，得 x－2＝± 5，即 x＝ 2± 5，所以 x1＝2－ 5，x2＝2＋ 5.
Байду номын сангаас
第22章┃ 复习
方法技巧 如果方程具备(x＋a)2＝b(b≥0)型，用直接开平方法解较简 单，如果不具备，应考虑因式分解法．用因式分解法解方程时， 应先把右边化为 0，再把左边因式分解，因式分解法简单，但 有局限性．因式分解法不能用时，观察如果二次项系数是 1， 一次项系数是偶数，用配方法解较简单．如果都不行，就用公 式法，公式法是解一元二次方程的万能方法，但要先化成一般 式确定 a，b，c，计算 b2－4ac.
第二十一章__二次根式_复习提纲
清水中学九年级数学人教版 第二十一章 二次根式 复习提纲一、知识结构二、知识点归纳(一)二次根式的概念：（1）二次根式：式子a (a ≥0)叫做二次根式．（2）最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．把满足这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
(3)同类二次根式：化成最简二次根式后，如果被开方数相同。
，这几个二次根式就叫做同类二次根式．(4)分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
(5)有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积为有理式，我们说这两个代数式互为有理化因式．（6）代数式：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式。
（二）二次根式的性质．20)(0);,(0)0,(0),(0)0,0)____(0,0);a a a a a a a a a a b a b ≥=≥>⎧⎪===⎨⎪-<⎩=≥≥=≥>是一个非负数；（*）（三）二次根式的运算：（1）二次根式的加减：先将二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式。
（20,0,0)a b a b =≥≥=≥>注意：做乘法时要灵活运用乘法分式；做除法时，有时要写为分数形式，然后分母有理化； 化简时要注意a 的正负性，尤其是隐含的正负性．三、典型习题（一）二次根式的概念1．（06泸州）要使二次根式1-x 有意义，字母x 的取值必须满足的条件是( ) (A)x≥1(B)x≤1(C)x>1(D)x<12．(06眉山) 若 2-x 有意义，则X 的取值范围（ ） A 、x > 2 B 、x ≥ 2 C、x < 2 D 、x ≤ 23．（05x 的取值范围是（ ） A 、2x ≠ B 、2x ≥ C 、2x > D 、2x ≤ 4．（05福州）如果代数式1-x x有意义，那么x 的取值范围是（ ） A 、0≥x B 、1≠x C 、0>x D 、10≠≥x x 且5．（05 Ａ、a<1 Ｂ、a ≤1 Ｃ、a ≥1 Ｄ、a>16．（04x 必须满足的条件是 A ．x ≥1 B ．x ＞－1 C ．x ≥－1 D ．x ＞1 7．（05荆门）如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 8．（02哈尔滨）如果式子x341-在实数范围内有意义，那么x 的取值范围是 。
第21章二次根式单元复习PPT课件
（1）． a 0 （ａ 0）
（2）． ( a)2 a (a≥0, )
（3）．
a2
a
{a,a0 a,a0
第11页/共46页
8（１） ( 3)2 ____3
（２）当 x 1 时， (1 x)2 __x__1 （３） (x 2)2 x 2 ，
则Ｘ的取值范围是＿x＿＿2
第12页/共46页
1
6 . 1 x
1
解：要使 1 x 在实数范围内有意义
则
1- x ≠0
x≥0
解得x≥0且x≠1
1
∴当x≥0且x≠1时， 1 x在实数范围内有意义
第9页/共46页
7、能使二次根式 ( x 2)2 有意义的实数
x的值有（ B ） A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个
第10页/共46页
梳理二．二次根式的性质
×× √
××
2
x2 y,
ab,
3xy ,
5(a2 b2 )
25
√
×√
√
第18页/共46页
梳理六 .同类二次根式的定义。 几个二次根式化为最简二次根 式后，若被开方数相同，则这几个 二次根式就叫做同类二次根式。
第19页/共46页
19.下列各组二次根式是否为同类二次根式？
(1) 50与 0.5 √ (2) 12与 18 ×
的式子叫做二次根式，“ ”称为二次
根号。
二次根式
被开方数a≥0； 根指数为2.
第2页/共46页
形如 a(a 0)的式子叫做二次根式.
（1）.表示a的算术平方根
（2）. a可以是数,也可以是式.
（3）. 二次根式有意义的条件 a≥0
（4）. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
第21章二次根式复习
第21章 小结与复习
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最简二次根式
三个概念
同类二次根式
有理化因式 --不要求，只需了解
1、 ab a ba 0,b 0
二 次
两个性质
2、
a b
a b
(a 0,b 0)
根 式
1、 a 2 aa 0
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数学是一种理性的精神，使人类 的思维得以运用到最完善的程度。
——克莱因
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两个公式
aa 0
2、 a2 a aa 0
四种运算
加 、减、乘、除
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二次根式的概念
１．二次根式的定义：形如 a（a 0）的式
子叫做二次根式
２．二次根式的识别：（１）被开方数 a 0
（２）根指数是２
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二次根式的加减
1、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后，如
果被开方数相同，这几个二次根就叫做同类二 次根式。 2、二次根式的加减 （1）先化简， （2）再合并。
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3、二次根式的乘法类似与多项式的乘法，
a
{a,a0 a,a0
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最简二次根式
抢答:判断下列二次根式是否 是最简二次根式,并说明理由。
(1) 50
(2) a2bc
九年级数学上册《第21章_二次根式》小结课件_人教新课标版
二次根式
a aa 0
2
a 2 aa 0
二 次 根 式 的 化 简 与 运 算
二次根式乘除
二次根式加减
二、回顾与思考 1.对于二次根式，要明确被开方数必须是非负数，也就是说， 对于 ，只有当a≥0时才有意义. a
2.二次根式的运算中，一般要先把式子中的二次根式适 当化简.举例说明什么是最简二次根式？
2 = 2 ______ . 5 5
一般地，对二次根式的除法规定
a a a 0, b 0 b b
二次根式的加法
8＋ 18 2 2＋3 2 （化成最简二次根式） 2＋3 2 5 2
（分配律）
分析上面计算 8＋ 18 的过程，可以看到，把 8 和 18 化 成最简二次根式 2 2 和 3 2 后，由于被开方数相同（都是2）， 可以利用分配律将 3 2 和 2 2 进行合并.
二次根式相加时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将 被开方数相同的二次根式进行合并.
二次根式的减法
18 = 3 2 2 8 3 2 2 2 （化成最简二次根式） 2
（分配律）
分析上面计算 18 8 的过程，可以看到，把 18 和 8 化 成最简二次根式 3 2 和 2 2 后，由于被开方数相同（都是2）， 可以利用分配律将 2 2 和 3 2 进行合并.
二次根式相减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将 被开方数相同的二次根式进行合并.
4.结合本章内容，进一步体会代数式在表 示数量关系方面的作用.
3 2 a 2 2, , 10 a
这些式子有如下两个共同点： （1） 被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
九年级数学上册 21章二次根式的复习课件 北师大版
x 1.（2005.吉林）当 _≤__3__时， 3 x 有意义。
2.求下列二次根式中字母的取值范围
x5 1 3 x
解： x 5 0 ① 3 x 0 ②
说明：二次根式被开方 数大于等于0，所以求二 次根式中字母的取值范
解得 5 x 3 围常转化为不等式(组)
D. 2 3
2.下列与 a3b 不是同类二次根式的有:( D)
（题中 a 0,b 0 ）
ab
A. 4
B. b a
C. 1 ab
D. a2b2
题型: 计算
(1) 1 153 5 2
(2) 3x 6xy
(3)(3 48 4 27 ) 2 3
(4) 12( 75 3 1 48) 3
(5) 20 5 1 12
本章知识
1.二次根式的有关概念：
（1）二次根式（2）最简二次根式（3）同类二次根式
（1）形如 a(a 0) 的 式子叫做二次根式.
（即一个 非负数被开方数大于或等于零
（2）满足下列两个条件的二次根式， 叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母；
5
3
1、 a 3 a 3 等式成立的条件是( D )
a 1 a 1
A.a≠1 B.a≥3且a≠1 C.a>1 D.a≥3
2、x为实数，下列各式中，一定有意义
的是( B )
A. x2
B. x2 2
C. 1
2
D. x2 1
3、已知：a
1 6
7
,b
6
7
则 a、b的关系是（ D ）：
（A） a 1 （B） a 1
5
3.已知y
第21章二次根式小结与复习课件
式子有意义的条件是：
x2
（1）被开方数大于或等于0。
（2）分母不能为0。
变式训练：
1、若代数式 m 2 是二次根式，则m的取
值范围是
。
2、如果式子 m 1 有意义，则坐标系中
mn
点P（m，n)的位置在第（ ）象限。
第21章二次根式小结与复习课件
3. 当 - 2≤x＜1.5 时，有 x2 12x意义。
第21章二次根式小结与复习课件
变式练习： 3、能使二次根式 (x2)2有意义的实数x的值有（ B ）
A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个
4.已x知 、 y是实 ,且 数 y x24 4x2 1 x2
求 3x4y的.值
第21章二次根式小结与复习课件
知识点3、二次根式的性质
1.( a)2 a (a 0)
8 22
5
3
93
mn n 5
第21章二次根式小结与复习课件
1、计算： 1 2 8 2 48 6
2、化简 (1) (16)(81) (2) 40
(3)3 1 3
(4) 4 1 9
(5) 0.2
变式训练：已知b＞0,化简 a3b 的结果是（ ）
A.a ab B.a ab C.a ab D.a ab
二次根式的化简，最终要化为最简二次根式。
回顾：什么叫最简二次根式？
第21章二次根式小结与复习课件
5、已知 a,b,c为△ AB的 C 三边, 长
化简(abc)2 (bac)2
6.化简
1
1 -
2
3
2 - 2 32
3
2
3- 7 2
2
2
7 5 2 7
4
九年级数学 第21章 二次根式单元复习(2)
九年级数学第21章二次根式单元复习（2）
本章主要知识:
1) ）2=a（a≥0）．
a(a≥0)
{ -a(a＜0)
（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）
a≥0，b>0）（a≥0，b>0）
2.二次根式的应用
(1)二次根式的加减法：通常先把各个二次根式化成最简二次根式，在合并同类二次根式
(2)＝（a≥0，b
≥0），对于二次根式除法，通常是先化成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算，有时可以约分，有时可以利用公式，运算的结果都要化成最简二次根式。
基础题A组
1.计算或化简：
(2)√6/√
(4)在直角坐标系中，点P（1）到原点的距离是_________
基础题B组
)2
+1)
3、计算下列各题，并概括二次根式的运算的一般步骤：
√0.5)
÷√1/y)
4、计算：
5.
(2)若满足上式的a,b为等腰三角形的两边,求这个等腰三角形的面积作业总复习题21
√√
()()5
3
5
6
14
.2
7
4
9
7
11
4
11
4
5
.1
+
÷
+
+
-
-
-
-
22
（1）求a的值.
设a、b为实数,且| 2 -a|+ b-2 =0。
人教版九年级数学上第二十一章二次根式复习
2
x 3
2
知识点4：二次根的乘除
1、二次根式的乘法法则
a b ab(a 0, b 0)
反过来：
ab a b (a 0, b 0)
2、二次根式的除法法则
a a (a 0, b 0) b b
反过来：
a a (a 0, b 0) b b
1、计算： 2 3 1 14 21 3 2
c b c a b c
(化简后被开方数相同的二次根式叫同类二次根式） 知识点7：二次根式的混合运算
知识点1：二次根式的概念 形如
a（a≥0）的式子叫做二次根式，
a表示
非负数a的算术平方根。 1、下列式子中，哪些是二次根式？哪些不是二次 根式？
1 9 2 a 33 5 4
2 1 2 1 2 2 1 2 12
2 1
请仿照以上方法，化简以下各式：
3 2 1 3 2 2 (1) (2) (3) (4) 7 3 20 3 2 3 2 2
知识点6：二次根式的加减 计算:
1 1 (1)2 18 18 32 2 4
1 (2)2 12 4 3 48 27 2 2 2 b (3) a b ab a ab a
2
-2
2、 当x为何值时， 2 x 1 3的值最小？ 最小值是多少 ？
知识点3：二次根式的性质
1.( a ) a (a 0) (a 0) a 2 2. a a a (a 0)
2
1、计算
2 2 (1)() 3
1 (2)( 6 )2 2
2
(3)(2 3)
√ × √
人教版数学第21章二次根式知识点及对应练习
人教版数学第21章二次根式知识点及对应练习【知识点】1.二次根式的定义：二次根式是指形如√a的数，其中a是非负实数。
2.平方根的性质：a) 对于任意非负实数a和b，有√(ab) = √a · √b。
b)对于任意非负实数a和b，有√(a/b)=√a/√b。
c)对于任意非负实数a和b，有√a+√b≠√(a+b)。
d)对于任意非负实数a和b，有√a-√b≠√(a-b)。
e)在二次根式的分母中，不能包含含有根号的项。
3.二次根式的运算：a)二次根式的加减运算：将同类项相加减，并化简。
b)二次根式的乘除运算：将二次根式的底数进行乘除运算，并化简。
c)二次根式的化简：将二次根式的底数分解质因数，并化简。
4.二次根式的画线运算：对于二次根式的运算式，可以使用欧拉公式或有理化等方法，将二次根式的运算式写成一般的数学运算表达式。
【练习题】1.计算下列二次根式的值：a)√9b)√(5+3)c)√(12+2√3-7√5)d)√(15-7√2+8√3-14√6)2.化简下列二次根式：a)√(3+2√2)b)√32-√18c)√(6-4√3+2√6)d)√(√(8-3√5))3.将下列二次根式化简，并且写成最简形式：a)√(6√2-3√18)b)√(5+2√3-√(8-2√5))c)√(10-4√6+√(24-10√6))d)√(6+√(8-4√3+3√(4-2√3)))4.计算下列二次根式的值：a)(√3+√2)²b)(√5-√3)·(√5+√3)c)(√2+√3)²-2√6d)(√5+√6)²+2√305.给出二次根式的运算结果：a)(√2+2)²b)(√(3-2√2)+√(3+2√2))²c)(√(8-4√3)-√(6-2√3))²d)(√(12-4√5)+√(3-2√5))²。
新人教版九年级数学第21章同步练习题及答案全套第二十一章 二次根式(复习课)
第21章 二次根式(复习课)◆随堂检测1、下列各式有意义的范围是x>3的为( ) A.3+x B.3-x C.31+x D.31-x2、计算的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．43、mm m m m m 15462-+的值( ) A.是正数 B.是负数 C.是非负数 D.可为正也可为负4、已知y<0．5、比较大小: ◆典例分析观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式:121=--1，32=-，同理可得从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算:+的值． 分析:由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．解:原式……×=(2009-1)(2009+1)=2009-1=2008.◆课下作业●拓展提高1、下列二次根式中，最简二次根式是( )2、下列化简中，正确的是( )3、计算:2008200923)(23)⋅=_________．4、化简3232-+点拨:利用(32)(32)1=，可将分母化为有理式.53131+-a ，小数部分为b ，求22a ab b ++的值. 注意:正确求出a 和b 是解好本题的关键.6、已知53,53a b b c -=-=222a b c ab bc ca ++---的值.提示:由已知可先求出a c -(或c a -)的值,再将222a b c ab bc ca ++---转化为2222221()()()2a b c ab bc ca a b b c c a ⎡⎤++---=-+-+-⎣⎦代入即可得解. ●体验中考1、(2021年，荆州)已知a 为实数,2284a a a +--.(提示:首先要依据二次根式有意义的条件判定a 的值，然后再进行二次根式的加减运算.)2、(2021年，烟台)已知2,2a b ==,的值为( )A ．3B ．4C ．5D ． 6(点拨:222()2a b a b ab +=+-,而a b +=2)1ab ==,即,a b 的和与积比较简单,容易计算.)参考答案:◆随堂检测1、1、D 综合考虑被开方数是非负数且分母不为零,故选D.2、A 利用平方差公式即可.3、B 由题意得:0m >，∴原式350=+=-<，故选B.4、23x y - ∵y<02323x y x y ===-.5、解:=====∵3314172<<，∴<< ◆课下作业●拓展提高1、B 只有B 符合最简二次根式的要求.2、D 选项A 中0a <时不成立；选项B 和C 中，等号两边的值不相等.只有选项D 正确，故选D.3原式2008⎡⎤=⎣⎦=2008(1)-⋅=4、解:原式=+=5、解:2=又∵324<，∴3,(231a b ==+-=.∴2222()(21)433)10a ab b a b ab ++=+-=+-=+-=6、解:∵a b b c -=-=∴()()a b b c -+-=+=a c -=∴2222221()()()2a b c ab bc ca a b b c c a ⎡⎤++---=-+-+-⎣⎦=22211((53)(53)201822⎡⎤⎡⎤++-=++-+=⎣⎦⎣⎦. ●体验中考1、解:∵20a +≥且840a -≥且20a -≥,∴0a =,∴原式==2、C ∵a b +=2)1ab ==,∴2222()22118a b a b ab +=+-=-⨯=,5==.故选C.。
华师版九年级上册数学第21章 二次根式 二次根式
2
a
是先开方后平方；③运算结果不同：a＝2 |a|＝ Nhomakorabea2
a
联系：与均为a非a负 0数 ,，且当2a≥0时，
a
a
0
,
a a.
2
a2 a
a2
2
a2 a
感悟新知
知3－练
1．若实数 a，b 满足|a＋1|＋ b－2＝0，则 a＋b＝ ____1____.
课堂小结
2
a
a2
a2
课后作业
作业1 必做:请完成教材课后习题 补充:
∴x＞.
1
3x 7 7
3
1 3x
7
0,
3x 7 0,
知2－练
感悟新知
（3）欲使有x意义2 ，5 x
则必有 ∴2≤x≤5.
x 2 0, 5 x 0,
（4）欲使有意义，
则必有∴x≥－x 4且4 x≠2. x2
x 4 0,
x
2
0,
知2－练
感悟新知
方法归纳: 求含有字母的式子有意义的字母取值范围的方法：
感悟新知
知2－练
1．式子 x－1在实数范围内有意义，则 x 的取值
范围是( C )
A．x>0
B．x≥－1
C．x≥1
D．x≤1
感悟新知
知2－练
2．已知 y＝ x－4＋ 4－x＋3，则xy的值为( C )
A.43
B．－43
C.34
D．－34
感悟新知
知识点 3 二次根式的性质：( a)2 a, a2 a
达到一定的速度，这个速度称为第一宇宙速度．计算第一 宇宙速度的公式是：
其中g为重力加速度，R为地v 球半gR径, ．
第21章《二次根式》复习小结
2
3
11.如图，有一艘船在点 O 处测得一小岛上的电视塔 A 在北偏西 600 的方向上，前进 20 海 里到达 B 处， 测得 A 在船的西北 方向， 问再向西航行 多少海里，船离电视塔最近？ 归纳： 这组题是本章知识的深化运用，有一定 的难度， 与实数， 有 理式，勾股定理等知识综合运用. (三)构建知识体系
2 2
3 4 ○ 5 32 ； ○ 3 2 5 3 3 2 5 3 归纳：本组训练题目典型，易错，旨在进一步理解二次根式相关知识，熟练进行二次 根式化简与运算. 解答下列各题，注意避免犯上组题中的错误，看是否有新的发现. 1.若 4 5x 有意义，则 x 的取值范围是 . 2.下列各式中不是最简二次根式的是（ ） A. 7 B. 0.5 C. 3 D . 15 3.下列二次根式中，和 32 不是同类二次根式的是（ ） A. 8 B. 18 C. 28 D. 98 4.下列计算正确的是（ ） A. 8 2 2 B. 3 2 5 2 C. 3 3 D. 3 2 1 1 5.计算：○ (2 24 3 12) 6 ； 2 ○
课题：第 21 章《二次根式》复习小结 教学内容：第 21 章小结 知识 技能 教学 目标 重点 难点 教学 准备 过程 方法 1. 学生构建知识体系 2. 通过解决典型的题目，抓住本章要点；解决易出错的题目，找出错陷阱和错因. 3. 联系实数，整式，勾股定理等相关知识进行综合运用.
1. 从知识生成的本质和思想方法的本质养成学习数学的能力. 2. 经历观察、思考、交流，熟练、灵活解题. 重点：深化理解二次根式的概念和性质，熟练进行二次根式的化简与运算． 难点：进一步理解二次根式的性质和运算法则的合理性 教师准备 学生准备 是否需要 课件 留白：ຫໍສະໝຸດ x x 成立的 x 3 x3
九年级数学上册 第21章 二次根式单元复习课件华东师大华东师大级上册数学课件
15．(2019·宜昌)古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都 曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦－秦九韶公式： 如果一个三角形的三边长分别是 a，b，c，记 p＝a＋b2＋c ， 那么三角形的面积为 S＝ p（p－a）（p－b）（p－c） . 如图，在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别记为 a，b，c， 若 a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC 的面积为( A ) A.6 6 B．6 3 C．18 D．129
第十四页，共二十二页。
16．交警通常根据刹车后汽车滑行的距离来测算车辆行驶的速度， 所用的经验公式是 v＝16 df .其中 v 表示车速(单位：km/h)， d 表示刹车距离(单位：m)，f 表示摩擦系数． 在一次交通事故中，测得 d＝20 m，f＝1.44， 而发生交通事故的路段限速为 80 km/h，肇事汽车是否违规超速行驶？ 请说明理由．(参考数据： 2 ≈1.4， 5 ≈2.2)
第五页，共二十二页。
6．下列二次根式中，与 2 是同类二次根式的是( )
A
A． 8 B．－ 3 C． 12 D． 48
7．已知 y＝ 2x－5 ＋ 5－2x －3，则 2xy 的值为( A )
A．－15 B．15 C．－125
D．125
第六页，共二十二页。
8．实数 a 满足 5<a<10， 则 （a－4）2 ＋ （a－11）2 化简后的结果为( A ) A．7 B．－7 C．2a－15 D．无法确定
解：肇事汽车超速行驶． 理由如下：把 d＝20 m，f＝1.44 代入 v＝16 df ， 得 v＝16 20×1.44 ＝16×2.4× 5 ≈38.4×2.2＝84.48(km/h)＞80(km/h)， 所以肇事汽车违规超速行驶
数学人教版九年级上第21章二次根式(复习课件)
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运算顺序
遵循先乘除后加减的原则，同时注意括号内的运算优先级。
运算技巧
在混合运算中，灵活运用上述化简方法和运算技巧，简化二 次根式的计算过程。
03
二次根式的应用
代数问题
代数方程
二次根式在代数方程中经 常出现，如求解一元二次 方程的根等。
代数恒等式
利用二次根式的性质和运 算法则，可以证明或推导 代数恒等式。
二次根式的定义域
由于二次根式下的数必须是非负数， 因此定义域为非负实数集。
性质
非负性
由于二次根式下的数是非负的， 因此二次根式的值也是非负的。
根式的乘除法性质
当两个二次根式相乘时，其结果 为两个被开方数相乘；当两个二 次根式相除时，其结果为两个被 开方数相除。
特殊二次根式
最简二次根式
在二次根式中，如果被开方数既没有分母也没有能开得尽方的因数或因式，那 么这个二次根式就叫做最简二次根式。
因式分解法
适用于形如$sqrt{ab}$的 二次根式，通过因式分解 简化根式。
分母有理化
通过与共轭式相乘，将分 母转化为有理数，从而简 化根式。
运算技巧
乘法运算
根式的加减法
利用积的乘方公式，简化根式的乘法 运算。
合并同类项，简化根式的加减法运算 。
除法运算
利用商的乘方公式，简化根式的除法 运算。
混合运算
02
03
04
代数式求值
根据已知条件，求二次根式的 值。
代数式的化简
将复杂的二次根式进行化简， 使其更易于理解和计算。
方程求解
通过已知条件建立方程，求解 未知数。
实际应用
将二次根式与实际问题相结合 ，解决实际问题。
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章复习第21章二次根式
一、二次根式
1、二次根式的概念
一般地，把形如______的式子叫做二次根式，“______”叫做二次根号，______叫做被开方数.
注：被开方数a可以是数，也可以是代数式（整式、分式），但a必须____________.
2、二次根式的意义与性质
⑴意义：二次根式实际上就是指非负数a的____________．
a≥是一个______数；②____________；③____________．
(0)
注：①2(0)
=≥可逆用平方根定义得出；②注意0
a a
a<时，a-．
二、二次根式的乘除
1、二次根式的乘法规定：__________________
即：____________________________________．
注：①此规定可推广到多个二次根式的情况；②此规定是积的算术平方根的性质____________的逆用；③公式中的a，b既可以是数，也可以是代数式，但都必须是______数，因为负数____________.
2、二次根式的除法规定：__________________
即：______________________________.
注：①一般地，两个二次根式相除，如果被开方数不能恰好整除时，应将分母有理化.
分母有理化的依据是分式的基本性质和2(0)
=≥；②商的算术平方根的性质的限制条
a a
件“(00)
，”与积的算术平方根的性质的限制条件类似，但也有区别，因为分母不能为零，
a b
≥>
所以被除式a必须是非负数，除式b必须是正数，否则性质不成立.
3、最简二次根式
满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
①被开方数不含______；②被开方数中不含____________的因数或因式.
注：①判断最简二次根式，应紧紧抓住最简二次根式的定义；②如果被开方数是多项式时，应先因式分解，再来判断；③被开方数中每一个因式的指数都小于根指数2，即每个因式的指数都为1．
三、二次根式的化简
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：
①如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分数或分式的形式，然后利用分母有理化进行化简；②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来．
四、二次根式的加减
1、同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．
注：①几个根式是否是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，而与根号前面的“系数”无关；②判断几个二次根式是否是同类二次根式，应先化成最简二次根式，再进行判断．
2、二次根式的加减
二次根式的加减，就是合并同类二次根式，二次根式加减运算的一般步骤：
①将每一个二次根式化为最简二次根式；
②找出其中的同类二次根式，合并同类二次根式．
注：合并同类二次根式的方法是，把根号外面的因式相加，根指数和被开方数不变，其理论依据是逆用乘法对加法的分配律． 如：.34
73)412(34132=-=- 五、重难专攻 综合方法
专攻1 二次根式的化简
在二次根式的运算中，二次根式的化简是必不可少的步骤．化二次根式为最简二次根式的方法：
(1)如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用00)a b =≥>，把它写成分数或分式的形式，然后利用分母有理化进行化简．
(2)如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽的因数或因式开出来．
专攻2 二次根式的运算技巧
(1)巧移因式，避繁就简
【例1】计算：⋅-+
)3418)(4823( 解：原式=)3418)(4823(22⨯-+⨯)4818)(4818(-+=304818-=-=
(2)巧换元，干净利索
【例2】计算：
n n n n n n n n n (4
24242422222-++--++--+-+
+>2)． 【解】设42,4222--+=-+
+=n n y n n x ，则
原式=
(3)巧用因式分解，手到擒来
【例3】化简：6
22633++++
【解】原式=⋅==+++
+2
623)312(2)213(3
另外，还有配方、整体代入、拆项等方法，进行二次根式运算时，要灵活应用这些方法，以达到事半功倍的目的．
六、中考能力提升
重要例题分类解析
题例1 二次根式
【例1】
【解】3．
【点拨】考查二次根式运算，同时考查平方与开方的互逆关系．
【例2】 （上海中考）计算：
【例3】 （广东中考）化简：
【分析
【分析
【解
题蜘2二次根式的乘除
.171-
.3)
3(2=J .1777777
77-=-=- =-
7
77 =2)3(
题刨
±∝=R 、3
的加
R
【例4】 （重庆中考）计算^／8
=∞-/2
A ．6
B ．厢
C ．2
D ．厄
【解】D ．
简再计算，
【分析】
.33312,3212-=-∴=
【解】一万．
【点拨
中考最新动
析
置击1化简探讨题
【例1】 （镇江中考）若
为( )．
A ．o 万
B ．口 ~-b-
b a C -.
b a D --.
P 、
1．（襄樊中考）与怕是
A.~/8
B.√27
C. 2√S
21
2.-A
2.±B
2.C
4.D
rH r
*.(3Λ 中考．2009）下面计算正确的是( )．
3333.=+A
3327.=÷B
532.=⋅
C 24.±=D
的取值范围是( )．
3.-≥x A 3.->x B 3.-≤x C 3.-<x D )%(5L
hs Φ=⋅ 下列计算正确的是( )．
A ．√822=- 14931227.=-=-
B
1)52)(52(=+-⋅C 23226.=-
D
、-
填空
6．（上海中考）函数
≡⨯-=R hR x y 、2
7．（芜湖中考）式子
≡-=≡+hhL N TKRL r a 12
8．（曲靖中考）
9．（湘西
10．（温州
【分析
ab b a b a ab ∴><∴><,0,0,0,012 .b a -=
【解】C ．
【点拨】
渎探究题
【例
观察下列各式：
=+=+=+51
3,41
341
2,31
231
1
.,51
4
请你将发现
自然数n(n≥1)的等式
【分析】比较等式的左边及右边， ⋅++=++2
1)1(21n n n n 【解】
⋅++=++2
1)1(21n n n n 【点拨】
11.（内江中考）化简：
.45sin 2321
+- 12.（江西中考）已知：以0凡是整数， 数n 为( )．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 且、-F 放j 宋ji 毯
z .(/13
阳
+-=++-=++-=+3431,32321,212
11 ,20022001200220011
,,4.+-=+
.20032002200320021
+-=+ +++++++++2002200114313212
11
( ⋅+⨯+)20031()200320021
题
14．（内江中考）实数
上的位置如图
kk ,110-
=-+-22)2()1(P P
110-r
u k ML L *、)(15*≡≡-Φ-⋅⋅
先化
n JN x J x x x ∏≡⋅
-=Φ±---~22/,.,,2007,91:)96 学做题时把“
,,2007-=x 错抄成了“≡=
HTk x 1,,,2007的计算结果也是正确的，。