第五章 微分方程模型

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微分方程模型方法

微分方程模型方法

物理现象模型
总结词
物理现象模型是利用微分方程来描述物理现象的动态变化过程,如力学、电磁学、光学 等。
详细描述
物理现象模型可以帮助科学家深入理解物理现象的本质和规律,预测新现象和新技术的 发展。例如,通过建立微分方程来描述电磁波的传播过程,可以研究电磁波的传播规律
和特性。
05 微分方程模型的发展趋势 与挑战
人口动态模型
总结词
人口动态模型是利用微分方程来描述人 口数量随时间变化的规律,预测未来人 口规模和结构。
VS
详细描述
人口动态模型可以用来研究人口增长、出 生率、死亡率、迁移率等指标的变化趋势 ,为政策制定者提供依据,以制定合理的 计划生育政策。例如,Logistic模型是一 种常用的人口动态模型,通过建立微分方 程来描述人口数量的增长规律。
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数学软件
选择适合的数学软件,如MATLAB、 Python等,以便进行模型建立和求解。
建立微分方程模型
模型类型
根据问题类型和目标,选择合适的微分方程模型类型,如常微分方程、偏微分方 程等。
参数估计
根据收集到的数据和信息,估计模型中的参数,使模型能够更好地描述实际问题 。
03 微分方程模型的求解方法
确定研究范围
根据问题与目标,确定研究的范围和 边界条件,为建立模型提供基础。
收集数据与信息
数据来源
根据研究问题,确定合适的数据来源,如实验数据、观测数据、历史数据等。
数据处理
对收集到的数据进行预处理,包括数据清洗、缺失值处理、异常值剔除等,以 确保数据质量。
选择合适的数学工具
数学基础
根据问题类型和目标,选择合适的数 学基础,如线性代数、微积分、常微 分方程等。

第5章 微分方程模型(投影版)

第5章 微分方程模型(投影版)

“改变 改变”、“变化” 变化 、“增加” 增加 、“减少”等关键词 减少 等关键词 提示我们注意什么量在变化. 关键词“速率”, “增长” ,“衰变” ,“边际的” ,常涉及 到导数. 运用已知物理定律 机理分 利用平衡与增长式 析法 建立方法 常用微分方程 运用微元法 应用分析法
数学建模
第五章 微分方程模型
运用已知物理定律利用平衡与增长式机理分利用平衡与增长式运用微元法运用微元法应用分析法数学建模第五章微分方程模型描述对象特征随时间空间的演变过程动态模型分析对象特征的变化规律预报对象特征的未来性态模型预报对象特征的未来性态研究控制对象特征的手段微分根据函数及其变化率之间的关系确定函数本身微分方程模型根据建模目的和问题分析作出简化假设按照内在规律或用类比法建立微分方程数学建模第五章微分方程模型数学建模第五章微分方程模型随着科学技术的发展常微分方程定性分析在各个学科领域已成为必不可少的数学工具也是数学建模的必备基础领域已成为必不可少的数学工具也是数学建模的必备基础理论
数学建模
问题 描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段
第五章 微分方程模型
按照传播过程的一般规律,用机理分析方法建立模型 模型 l 设时刻t 的病人人数x ( t )是连续、可微函数,并且每天每个病 是连续 可微函数 并且每天每个病 人有效接触的人数为常数λ t 到t +△t 病人人数的增加 x ( t + △t ) – x ( t ) =λx ( t ) △t
dx x , x(0) x0 dt 随着t的增加,病人人数 的增加 病人人数x ( t )无限增长,这显然是不符合实际的。 无限增长 这显然是不符合实际的 失败的原因:有效接触的人群中,有健康人也有病人,而只有健 康人才可以被传染为病人,所以在改进的模型中必须区别这两种人。

第五章__微分方程模型_数学建模资料

第五章__微分方程模型_数学建模资料
微分方程模型
一、简单的微分方程模型
微分方程模型是数学模型中一类比较普遍而且非常有用 模型. 许多模型都与此模型密切相关. 在微积分课程中, 我
们就遇到了大量的微分方程模型.
例如在微积分中的问题: 弹簧震动问题就涉及到一个微 分方程问题.
再看一个简单的问题.
一个较热的物体置于室温为 50 C 的大房间内, 设物体最 初的温度是 80
Bn : 年龄在1岁之前的幼虫总数; An : 年龄在1—2岁之间的壮年虫总数; Cn : 年龄在2岁以上的老年虫总数;
不同年龄段的此种生物的繁殖和死亡率有下表所示:
组别
繁殖率
死亡率
B
0
0.3 0.1
0.1
0.2 0.3
A
C
由此得到状态转移矩阵及关系表达式
Bn1 0 0.3 0.1 Bn A 0.9 0 A . 0 n n1 C 0 0.8 0.7 C n n1
即有
kt
T 5 75e
t 2 ln 5 3
.
在MatLab下, 输入相应的命令可解此微分方程:
方程求解命令
定解条件
特解
确定方程中的参数
即方程的解为
T 5 75e
t 13.5476 分钟.
⑵在20分钟时的温度为
t 2 ln 5 3
.
则:⑴物体温度下降到30度时所需要的时间为:
最高阶与最低阶的差值. 例如一个二阶线性方程为
X n1 aX n bX n1 f n .
所谓同类线性差分方程指的是方程具有形式
X n1 aX n bX n1 0.

而方程

培训资料--微分方程模型人口模型等

培训资料--微分方程模型人口模型等

x0
x0 0
t
人口发展方程
• 年龄分布对于人口预测的重要性 • 只考虑自然出生与死亡,不计迁移
F(r,t) ~ 人口分布函数 (年龄 r的人口) p(r,t) ~ 人口密度函数 N(t) ~ 人口总数 r ( ) ~ 最高年龄
m
F(0,t) 0, F(r ,t) N(t) m p(r, t) F r
人口发展方程
f
(t
)
(t
)r2 r1
h(r,
t
)k
(r,
t
)
p(r,
t
)dr
(t) ~总和生育率——控制生育的多少
h(r, t) ~生育模式——控制生育的早晚和疏密
p(r,t)
p 0
(r
r
t)e (s)ds r t r
,
0
t
r
f (t r)e0(s)ds , t r
p0 (r)
• 正反馈系统
(r,t) p(r,t)dt, dt dr1
p p (r,t) p(r,t) 一阶偏微分方程
r t
p
r
p t
(r, t )
p(r, t )
人口发展方程
p(r,0) p0 (r), r 0 ~已知函数(人口调查)
p(0,
t)
f
(t ),
t0
~生育率(控制人口手段)
p0 (0) f (0) --------相容性条件
b(r,
t)k
(r,
t)
p(r,
t)dr
b(r,t) (t)h(r,t)
0
r2 r1
h(r , t )dr
1
h~生育模式
(t)

《微分方程模型》PPT课件

《微分方程模型》PPT课件

房室具有以下特征:它由考察对象均匀分布而成, (注:考察对象一般并非均匀分布,这里采用了一种简 化方法一集中参数法);房室中考察对象的数量或浓度 (密度)的变化率与外部环境有关,这种关系被称为 “交换”且交换满足着总量守衡。在本节中,我们将用 房室系统的方法来研究药物在体内的分布。在下一节中, 我们将用多房室系统的方法来研究另一问题。两者都很 环境 简单,意图在于介绍建模方法。
器倾翻,图中X点处注入湖中。在采取紧急
措施后,于11:35事故得到控制,但数量不详
B
的化学物质Z已泻入湖中,初步估计Z的量在5~20m3之间。 建立一个模型,通过它来估计湖水污染程度随时间的变化
并估计:
(1)湖水何时到达污染高峰;
(2)何时污染程度可降至安全水平(<0.05%)
湖泊污染问题分析
设湖水在t时的污染程度为C(t), X
0t 3 3t 4 t4
现回答上述问题
(1)t 6 代入对应方程,求得
W (6) 57.48247kg
(2)要满足体重不增,即dW (b 16W ) /10000 0
dt
所以b 16W 1657.1256 914 (cal)
因此每天总卡路里摄取量是1200+914=2114cal
因污染源被截断,故微分方程变为 2000 dC 6C
dt
: 它的特解为
630
C(t) C(30)e 2000
当达到安全水平,即C(t)=0.0005时,可求出 此时的t=T,即
T 30 (2000 / 6) ln(0.0005 / C(30))
解得
T 30 (2000 / 6) ln(0.9564Z)
引例一

微分方程模型[整理版]

微分方程模型[整理版]

第5章 微分方程模型5.1 某人每天由饮食获取10467焦热量,其中5038焦用于新陈代谢,此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗,其余热量则转化为脂肪,已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%,每公斤脂肪含热量41868焦,问此人的体重如何随时间而变化?5.2 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus 增长模型)(003.0)(t p dtt dp = 其中t 以分钟计。

在0=t 时一群鲨鱼来到此水域定居,开始捕食鲑鱼。

鲨鱼捕杀鲑鱼的速率是)(001.02t p ,其中)(t p 是t 时刻鲑鱼总数。

此外,由于在它们周围出现意外情况,平均每分钟有0.002条鲑鱼离开此水域。

(1)考虑到两种因素,试修正Malthus 模型。

(2)假设在0=t 是存在100万条鲑鱼,试求鲑鱼总数)(t p ,并问∞→t 时会发生什么情况?5.3 根据罗瑟福的放射性衰变定律,放射性物质衰变的速度与现存的放射性物质的原子数成正比,比例系数成为衰变系数,试建立放射性物质衰变的数学模型。

若已知某放射性物质经时间21T 放射物质的原子下降至原来的一半(21T 称为该物质的半衰期)试决定其衰变系数。

5.4 用具有放射性的14C 测量古生物年代的原理是:宇宙线轰击大气层产生中子,中子与氮结合产生14C 。

植物吸收二氧化碳时吸收了14C ,动物食用植物从植物中得到14C 。

在活组织中14C 的吸收速率恰好与14C 的衰变速率平衡。

但一旦动植物死亡,它就停止吸收14C ,于是14C 的浓度随衰变而降低。

由于宇宙线轰击大气层的速度可视为常数,既动物刚死亡时14C 的衰变速率与现在取的活组织样本(刚死亡)的衰变速率是相同的。

若测得古生物标本现在14C 的衰变速率,由于14C 的衰变系数已知,即可决定古生物的死亡时间。

试建立用14C 测古生物年代的模型(14C 的半衰期为5568年)。

5.5 试用上题建立的数学模型,确定下述古迹的年代:(1)1950年从法国Lascaux 古洞中取出的碳测得放射性计数率为0.97计数(min ⋅g ),而活树木样本测得的计数为6.68计数(min ⋅g ),试确定该洞中绘画的年代;(2)1950年从某古巴比伦城市的屋梁中取得碳标本测得计数率为4.09计数(min ⋅g ),活数标本为6.68计数(min ⋅g ),试估计该建筑的年代。

微分方程模型

微分方程模型

图示
y 敌艇 R=(0,at)
D(x,y)
x (c,0)
几何关系
dy tg y at
dx
x
即 x dy y at dx
如何消去时间t?
1、求导:
2、速度与路程的关系: b ds
dt
dt
3、分解 dx 得:
(这里有负号是因为s随x的减小而增大) 4、将第2、3步代入第1步,可得模型
注入浓度为c1的同样溶液,假定溶液立即被搅 匀,并以v2的流量流出这种混合后的溶液,试 建立容器中浓度与时间关系的数学模型。
模型的建立
参数设定:设容器中溶液溶质的质量为x(t),原 来的初始质量为x0,t=0时溶液的体 积为v0。
在△t的时间间隔内,容器内溶质的改变量:
其中c1:输入溶液浓度, c2:t时刻溶液浓度
2gy
(2)弧微分公式: ds 1 (y/ )2 dx
(3)下降的时间: dt ds ds 1 ( y/ )2 dx
v 2gy
2gy
模型:
2、追线问题
我缉私舰雷达发现,距c海里处有一艘走私 船正以匀速度a沿直线行驶,缉私舰立即以最大 的速度b追赶,若用雷达进行跟踪,保持船的瞬 时速度方向始终指向走私船,试求缉私舰追逐 路线和追上的时间。
令t 0,得 dp rp(N p), r 0, dt

p(0) 1

p(t)
N

1 (N 1)erNt
当t无穷大时,p(t)的趋向及范围? 还有当?时变化率最大?
如果考虑广告的效应呢?
考虑单位时间内使用该技术的企业数增量 时应把示范效应和广告效应一起考虑。而 广告只对没采用该技术的企业起作用。假 设其引起的增量与(N-p)成正比

常微分方程模型的解

常微分方程模型的解

用 建 模 方 法
惠知 微

法 法

应用已知 物理定律
常常事半功倍. 常常事半功倍.
一个较热的物体置于室温为18 的房间内, 例1一个较热的物体置于室温为180c的房间内,该物体最 初的温度是60 c,3分钟以后降到 分钟以后降到50 .想知道它的温度 初的温度是600c,3分钟以后降到500c .想知道它的温度 降到30 需要多少间?10分钟以后它的温度是多少? ?10分钟以后它的温度是多少 降到300c 需要多少间?10分钟以后它的温度是多少? 牛顿冷却(加热)定律:将温度为T的物体放入处于常温m 牛顿冷却(加热)定律:将温度为T的物体放入处于常温m 的介质中时,T的变化速率正比于T与周围介质的温度差. ,T的变化速率正比于 的介质中时,T的变化速率正比于T与周围介质的温度差. 分析:假设房间足够大,放入温度较低或较高的物体时, 分析:假设房间足够大,放入温度较低或较高的物体时, 室内温度基本不受影响,即室温分布均衡,保持为m, m,采 室内温度基本不受影响,即室温分布均衡,保持为m,采 用牛顿冷却定律是一个相当好的近似. 用牛顿冷却定律是一个相当好的近似. 建立模型: 建立模型:设物体在冷却过程中的温度为T(t),t≥0,
(二)建立数值解法的一些途径
设 x i +1 − xi = h, i = 0,1,2,L n − 1, 可用以下离散化方法求解微分方程: y' = f(x, y) y(x 0 ) = y 0
1.1、用差商代替导数 、 若步长h较小,则有 若步长 较小, 较小
y ' ( x) ≈ y ( x + h) − y ( x ) h
实际应用时,与欧拉公式结合使用:
0 yi(+1) = yi + hf ( xi , yi ) h ( k +1) k yi +1 = yi + [ f ( xi , yi ) + f ( xi +1 , yi(+1) )] k = 0,1,2,L 2

数学建模 第五章 微分方程模型M05-2010

数学建模 第五章  微分方程模型M05-2010

dy dt
y
f0y

dK dt
L
dy dt
Ly
Bernoulli方程

1 1
f0 f0 1 (1 ) t y (t ) ( y0 )e
N [ s ( t t ) s ( t )] Ns ( t ) i ( t ) t
di dt si i ds si dt i ( 0 ) i0 , s ( 0 ) s 0
i0 s 0 1
无法求出 i ( t ), s ( t )
i ( t ) i0 e
t
ti
?
若有效接触的是病人, 则不能使病人数增加
必须区分已感染者(病人) 和未感染者(健康人)
模型2
假设
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 1)总人数N不变,病人和健康 人的 比例分别为 i ( t ), s ( t ) . 2)每个病人每天有效接触人数 为, 且使接触的健康人致病.
2)病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / 建模
s (t ) i (t ) r (t ) 1
需建立 i ( t ), s ( t ), r ( t ) 的两个方程.
模型4
SIR模型
N [ i ( t t ) i ( t )] Ns ( t ) i ( t ) t Ni ( t ) t
传染病蔓延 传染病不蔓延
1/~ 阈值
模型4
预防传染病蔓延的手段
SIR模型
传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/ 降低 (=/)
,
(日接触率) 卫生水平 (日治愈率) 医疗水平

第五章 微分方程模型

第五章 微分方程模型

模型4 模型
di dt = λsi − µi ds = − λsi dt i (0) = i0 , s (0) = s 0
SIR模型 模型 消去dt 消去 σ =λ/µ
1 di ds = σ s − 1 i s= s = i0
0
相轨线
相轨线 i ( s ) 的定义域 在D内作相轨线 i ( s ) 内作相轨线 的图形, 的图形,进行分析
0
相轨线
s i ( s ) = ( s 0 + i0 ) − s + ln σ s0
1
i
1 D
s i(s) = (s0 + i0 ) − s + ln σ s0
P4
1
P2 im
P1∗ P3
1 di ds = σ s − 1 i s= s = i0
0
0
s∞
S0
1 / σ s0
1s
P1: s0>1/σ → i(t)先升后降至 先升后降至0 先升后降至 P2: s0<1/σ → i(t)单调降至 单调降至0 单调降至
传染病蔓延
1/σ ~ 传染病不蔓延 阈值
传染病不蔓延的条件——s0<1/σ 传染病不蔓延的条件 • 提高阈值 1/σ 降低 σ(=λ/µ)
λ ↓, µ ↑
λ (日接触率 ↓ ⇒ 卫生水平↑ 日接触率)↓ 卫生水平↑ 日接触率 µ(日治愈率 ↑ ⇒ 医疗水平↑ 医疗水平↑ 日治愈率)↑
Logistic 模型
1 1 − λt 1 + − 1e i 0
−1
t
t=tm, di/dt 最大 tm~传染病高潮到来时刻 传染病高潮到来时刻

数学建模公选课:第五讲-微分方程模型

数学建模公选课:第五讲-微分方程模型
一种高精度的数值求解微分方程的方法,通过迭代逼近微分方程的解。
详细描述
龙格-库塔方法具有较高的精度和稳定性,适用于求解各种复杂的一阶和二阶常微分方程。
04
微分方程模型的应用实例
人口增长模型
总结词
描述人口随时间变化的规律
详细描述
人口增长模型通常使用微分方程来描述人口随时间变化的规律。该模型基于假设,如人口增长率与当 前人口数量成正比,来建立微分方程。通过求解该微分方程,可以预测未来人口数量。
模型建立
如何根据实际问题建立合适的微分方 程模型是一个挑战。
02
高维问题
对于高维微分方程,如何求解是一个 难题。
01
03
非线性问题
非线性微分方程的求解更加复杂和困 难。
未来展望
随着科学技术的发展,微分方程模型 的应用领域将更加广泛,求解技术也 将更加成熟和多样化。
05
04
多尺度问题
如何处理不同时间尺度的微分方程是 一个挑战。
数学建模公选课:第五讲 -微分方程模型
• 微分方程模型简介 • 微分方程模型的建立 • 微分方程模型的求解方法 • 微分方程模型的应用实例 • 微分方程模型的发展趋势与展望
01
微分方程模型简介
微分方程的基本概念
微分方程是描述数学模型中变量随时间变化的数学表达式,通常表示为包含未知函 数及其导数的等式。
05
微分方程模型的发展趋势与展望
微分方程模型在各领域的应用前景
物理领域
描述物体的运动规律,如牛顿 第二定律、波动方程等。
经济领域
分析市场供需关系和预测经济 趋势。
工程领域
预测和控制系统的动态行为, 如电路、机械系统等。
生物医学领域

第五章微分和微分方程模型

第五章微分和微分方程模型

在解决实际问题时,弄清问题中的变量之间的函数关系或其变化趋势是至关重要的,而在一些较为复杂的变化过程中,变量之间的函数关系无法直接得到。

但是,在许多情况下,我们往往可以在理论或经验的基础上找到问题中的一些变量及其导数之间的关系。

也就是找出一个或几个含有未知函数及其导数所满足的方程,这个(些)方程就称为微分方程(组)。

然后通过求解微分方程(组)得到变量之间的函数关系,或者在微分方程(组)的基础上进行数值计算和渐进性态研究,从而了解整个系统的发展变化规律。

为了研究一些实际问题的变化规律,往往需要对所研究的问题进行适当的简化和假设,再建立数学模型,当问题中涉及变量的变化率时,就可以通过微分方程来建模。

微分方程模型主要是解决与导数,也即变化率相关的问题,但是;实际问题中一般并不会直接出现“导数”或“变化率”等词语,这时,就需要我们仔细分析,从中找出这些信息,一般来说,如果问题中涉及到“速率”、“增长”、“改变”、“变化”、“增加”、“减少”、“衰变”(在放射性问题中)、“扩散”、“边际的”(在经济学中)等问题时,往往就可以用微分方程(组)来建模。

微分方程模型的类型很多,在解决实际问题时,要根据具体情况选择不同的模型,建立模型时,应首先将实际问题概念化为文字方程,许多问题都遵循下面的模式:总讯宗勋净变化率=净增加率━净减少率如果变量之间的关系可以用这种形式来描述,我们就不难给出相应的微分方程(组)了。

在建立了微分方程模型之后,我们当然希望能得到微分方程的解,但是,对于大多数微分方程而言,要想直接求解往往是困难的,甚至是不可能的,此时我们可以通过对方程的定性分析得到有关的一些有用信息。

§1 确定性存贮模型为了使生产和销售有条不紊地进行,一般的工商企业总需要存贮一定数量的原料或商品,然而大量的库存不但积压了资金,而且会使仓库的保管费用增加。

因此,寻求合理的库存量乃是现代企业管理的一个重要课题。

需要注意的是,存贮问题的原型可以是真正的仓库存货,水库存水,也可以是计算机的存贮器的设计问题,甚至是大脑的存贮问题。

数学建模实验答案_微分方程模型

数学建模实验答案_微分方程模型

数学建模实验答案_微分⽅程模型实验07 微分⽅程模型(2学时)(第5章微分⽅程模型)1.(验证)传染病模型2(SI 模型)p136~138传染病模型2(SI 模型):0(1),(0)dik i i i i dt=-= 其中,i (t )是第t 天病⼈在总⼈数中所占的⽐例。

k 是每个病⼈每天有效接触的平均⼈数(⽇接触率)。

i 0是初始时刻(t =0)病⼈的⽐例。

1.1 画~dii dt曲线图p136~138取k =0.1,画出i dt di ~的曲线图,求i 为何值时dtdi达到最⼤值,并在曲线图上标注。

提⽰:fplot, fminbnd, plot, text, title, xlabel 1)画曲线图⽤fplot 函数,调⽤格式如下: fplot(fun,lims)fun 必须为⼀个M ⽂件的函数名或对变量x 的可执⾏字符串。

若lims取[xmin xmax],则x轴被限制在此区间上。

若lims取[xmin xmax ymin ymax],则y轴也被限制。

本题可⽤fplot('0.1*x*(1-x)',[0 1.1 0 0.03]);2)求最⼤值⽤求解边界约束条件下的⾮线性最⼩化函数fminbnd,调⽤格式如下:x=fminbnd('fun',x1,x2)fun必须为⼀个M⽂件的函数名或对变量x的可执⾏字符串。

返回⾃变量x在区间x1本题可⽤x=fminbnd('-0.1*x*(1-x)',0,1)y=0.1*x*(1-x)3)指⽰最⼤值坐标⽤线性绘图函数plot,调⽤格式如下:plot(x1,y1, '颜⾊线型数据点图标', x2,y2, '颜⾊线型数据点图标',…)本题可⽤hold on; %在上⾯的同⼀张图上画线(同坐标系)plot([0,x],[y,y],':',[x,x],[0,y],':');4)图形的标注使⽤⽂本标注函数text,调⽤格式如下:格式1text(x,y,⽂本标识内容, 'HorizontalAlignment', '字符串1')x,y给定标注⽂本在图中添加的位置。

第五章 微分方程模型 5.1 传染病模型5.2 经济增长模型5.3 正规战与游击战5.4 药物在体内的分布与排除5

第五章  微分方程模型 5.1  传染病模型5.2  经济增长模型5.3  正规战与游击战5.4  药物在体内的分布与排除5

每个劳动 力的产值
z
Q L
每个劳动 力的投资
y
K L
模型假设 z 随着 y 的增加而增长,但增长速度递减
z Q / L f0g( y) g(y) y , 0 1
Q f0L(K / L)
g(y)
Q(K , L) f0K L1 Douglas生产函数
Q , Q 0 K L
2Q 2Q K 2 , L2 0
dt
L(t) L0et
Q f Lg( y) g(y) y 0
dK f Ly
dt
0
y K , K Ly L
dK L dy Ly
dt dt
dK f Ly
dt
0
dK L dy Ly
dt dt
dy y f y
dt
0
Bernoulli方程
1
y(t)
f 0
( y1
0
f 0
)e (1 ) t
y
dxy
x(0) x0 , y(0) y0
y(t)
m0
dy d dx c
cy dx m
m cy dx
0
0
m 0 x 0时y 0
乙方胜
m0
mc
0
m d
m0
y0 d rx srx sx 线性律 x0 c ry sry s y 模型
m 0 甲方胜
x(t)
m 0 平局
混合战争模型 甲方为游击部队,乙方为正规部队
增加假设 3)病人每天治愈的比例为 ~日治愈率
建模 N[i(t t) i(t)] Ns(t)i(t)t Ni(t)t
di dt
i(1
i)
i
i(0) i0
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第五章 微分方程模型、 某人每天由饮食获取10467焦热量,其中5038焦用于新陈代谢,此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗,其余热量则转化为脂肪,已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%,每公斤脂肪含热量41868焦,问此人的体重如何随时间而变化 解:设此人的体重为w ,则根据题意有,每天获取的热量,减去新陈代谢,减去运动消耗的热量,剩余的按利用率100% 转化为脂肪,即有下列等式成立:1046750386941868wdw dt --=经化简有:232313956139565429()41868t t w et e c -=-⋅+假设此人现在的体重为0w ,则此人的体重随时间的变化如下:2323139561395605429()41868t t w et e w -=-⋅+、 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus 增长模型)(003.0)(t p dtt dp = 其中t 以分钟计。

在0=t 时一群鲨鱼来到此水域定居,开始捕食鲑鱼。

鲨鱼捕杀鲑鱼的速率是)(001.02t p ,其中)(t p 是t 时刻鲑鱼总数。

此外,由于在它们周围出现意外情况,平均每分钟有条鲑鱼离开此水域。

(1)考虑到两种因素,试修正Malthus 模型。

(2)假设在0=t 是存在100万条鲑鱼,试求鲑鱼总数)(t p ,并问∞→t 时会发生什么情况解: (1),由题可知, 在考虑两种因素后,修正后的Malthus 模型如下:2()0.003()0.001()0.002dp t p t p t dt=--(2),假设在0t = 时,存在100万条鲑鱼,即(0)1000000p = ,解下列初值问题2()0.003()0.001()0.002(0)1000000dp t p t p t dtp ⎧=--⎪⎨⎪=⎩ 解得0.0010.0012999998()11000001t tae p t a ae --+==-其中当t→∞ 时,2p →。

、 根据罗瑟福的放射性衰变定律,放射性物质衰变的速度与现存的放射性物质的原子数成正比,比例系数成为衰变系数,试建立放射性物质衰变的数学模型。

若已知某放射性物质经时间21T 放射物质的原子下降至原来的一半(21T 称为该物质的半衰期)试决定其衰变系数。

解:假设初始时刻该放射性物质的原子数位0N ,在时间t 时,该放射性物质的原子个数为N ,设衰变系数为k ,则有下列微分方程:0,(0)dNkN N N dt=-= 解得0()kt N t N e =由题可知,当1/2=t T 时,该放射性物质的原子个数下降到原来的一半,即有1/20012kT N N eN == 则有1/2ln 2/k T =-即为该放射性物质的衰变系数。

、 用具有放射性的14C 测量古生物年代的原理是:宇宙线轰击大气层产生中子,中子与氮结合产生14C 。

植物吸收二氧化碳时吸收了14C ,动物食用植物从植物中得到14C 。

在活组织中14C 的吸收速率恰好与14C 的衰变速率平衡。

但一旦动植物死亡,它就停止吸收14C ,于是14C 的浓度随衰变而降低。

由于宇宙线轰击大气层的速度可视为常数,既动物刚死亡时14C 的衰变速率与现在取的活组织样本(刚死亡)的衰变速率是相同的。

若测得古生物标本现在14C 的衰变速率,由于14C 的衰变系数已知,即可决定古生物的死亡时间。

试建立用14C 测古生物年代的模型(14C 的半衰期为5568年)。

解:假设现在取的活组织样本(刚死亡)的衰变速率为0v ,古生物标本现在14C 的衰变速率为0t v ,设动物死亡后,经过时间t 后,动物体内14C 的浓度为()c t 。

再根据上题(题)解得某物质的衰变系数为1/2ln 2/c k T =其中1/2T 为14C 的半衰期,则有()()(),()c dc t v t k N t v t t dt==-为时衰变速度当00tt t ==、时,根据上述公式可得到000c c v v k N N k =-⇒=- ,0000t t c t t cv v k N N k =-⇒=-又因为0()c k t N t N e =,则有00000001lnc c t t k t k t t c c c v v v N N ee t k k k v ==-=-⇒=由题可知1/21/2ln 25568,c T k T ==-,则只要测出现在活组织样本和古生物标本中14C 的衰变速率,代入上式即可估算出古生物标本距今的时间。

、 试用上题建立的数学模型,确定下述古迹的年代:(1)1950年从法国Lascaux 古洞中取出的碳测得放射性计数率为计数(min ⋅g ),而活树木样本测得的计数为计数(min ⋅g ),试确定该洞中绘画的年代; (2)1950年从某古巴比伦城市的屋梁中取得碳标本测得计数率为计数(min ⋅g ),活数标本为计数(min ⋅g ),试估计该建筑的年代。

解: (1),根据上题建立的模型,由已知条件可以确定00 6.68,0.97t v v ==,代入上题模型中可算出001ln 15500t c v t k v == 年(2),同理可得,该古建筑距今的年代001ln 3940t c v t k v == 年、 一容器用一薄膜分成容积为AV 和BV 的两部分,分别装入同一物质不同浓度的溶液。

设该物质分子能穿透薄膜由高浓度部分向低浓度部分扩散,扩散速度与两部分浓度差成正比,比例系数称为扩散系数。

试建立描述容器中溶液浓度变化的数学模型。

设)(l V V B A ==,每隔100s 测量其中一部分溶液的浓度共10次,具体数据为454,499,535,565,590,610,626,650,659,单位为3/m mol 。

试建立扩散系数,并决定2h 后两部分中溶液的浓度各为多少。

解:假设浓度较高的部分为B V ,则测得的十组数据是A V 中溶液浓度的变化,设A V 和B V 中溶液浓度分别为()AC t 和()B C t 。

因为扩散速度与两部分溶液浓度差成正比,则()()A B A dC t k C C dt=-又因为在整个容器中,溶液的浓度是定值,设为0C ,所以02B A C C C =-,代入上式并解得:2220()(2)kt kt A C t e k C t e C -=-⋅+然后用所给的十组数据进行数据拟合,求出上式中的参数。

、 建立耐用消费品市场销售量的模型。

如果已知了过去若干时期销售量的情况,如何确定模型的参数。

解:因为是耐用消费品,所以随着人们对它的拥有量的增加,其销售量()N t 的下降速度与()N t 成正比。

则可建立模型如下:()()dN t kN t dt=- 解上述微分方程得到:()kt N t ce -=根据已有数据用matlab 拟合指数曲线,可确定c k ,。

、 根据经验当一种新产品投入市场后,随着人们对它拥有量的增加,其销售量)(t s 的下降速度与)(t s 成正比。

广告宣传可给销售量添加一个增长速度,它与广告费)(t a 成正比,但广告只能影响这种商品在市场上尚未饱和的部分(设饱和量为M )。

建立销量)(t s 的模型。

若广告宣传只进行有限时间t ,且广告费为常数a ,问)(t s 如何变化解:假设在没有广告宣传的情况下,销售量()s t 的模型为1()()ds t k s t dt=-在加入广告宣传后,销售量()s t 随时间的变化情况如下:120()()()(())t ds t k s t k a t M s x dx dt=-+-⎰其中()ts x dx ⎰为0~t 时间内的销售总量。

如果广告宣传只进行有限时间t,则上述模型变为120001()(())()()tk s t k a M s x dx t t t ds t dt k s t t ⎧-+-≤≤+⎪=⎨⎪-⎩⎰其他时间、 对于技术革新的推广,在下列几种情况下分别建立模型(1)推广工作通过已经采用新技术的人进行,推广速度与已采用新技术的人数成正比,推广是无限的。

(2)总人数有限,因而推广速度随着尚未采用的新技术人数的减少而降低。

(3)在(2)的前提下还要考虑广告等媒介的传播作用。

解:(1),假设推广的人数为()N t ,因为推广是无限的,则()N t 可以达到无限大,建立模型如下()()dN t kN t dt=(2),总人数有限,推广速度随着推广人数()N t 的增加而降低,即推广速度与推广人数成反比,所以建立模型如下:()()dN t kN t dt=-(3),假设投入的广告费随时间的函数为()a t ,广告宣传的影响力与投入的广告费成正比,比例系数为1k ,所以建立模型如下:()1()()dN t k a t kN t dt=-、 某种细菌的增长率不知道,但假设它是常数,试验开始时估计大约有11500个细菌,一时后有2000个,问四时后大约有多少细菌 解:设经过时间t 后细菌数量为()N t ,增长率为常数x 。

()()dN t xN t dt=- 求解上述微分方程,有()xtN t ce-=由题可知,0(0)1150011500N ce c ==⇒=(1)115002000 1.7492x N e x -==⇒= 则有1.7492*4(4)1150010.5203N e -== 个。

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