数学教育视野下《九章算术》与《几何原本》的比较研究

绎 法加 以整理 ， 撰成 《 何原 本 》 事 实上 ， 几 ． 古希 腊地 处 沿 海 ， 有 优 良的 自然 条 件 ， 具 而且 与两 大文 明古 国 埃及 和 巴比伦相 邻 。这样 的地理 环境 十 分有 利于 希腊 人 与 外 界 进 行广 泛 的交 流 ， 不 同的文 化 传 统 中 从 吸取精华 ， 而有 利 于他 们形 成对 事 物 的整体 看 法 ， 进 即世 界观 。对其 进 行 整 合 和 系统 化 ， 便形 成 了古 希 腊 高度发 达 的哲 学 ， 思 维方 式是 理性 的 、 其 严密 的。古 希 腊 的 数 学是 在 哲 学 基 础上 产 生 的 ， 就 注 定 了 这 数学 体 系 的逻辑 演绎 性 。古 希腊 文化 孕育 了其 数 学 的纯 粹 理 性 思维 特 征 ， 视 实 用 而 强调 数 学 在 人类 轻 文 明演进 中的重要 作 用 。至 此 ， 们 就 不难 理 解 《 何 原 本 》 以形 成 逻辑 演 绎 体 系 这 一 区别 于 《 我 几 何 九章
作者简介 ： 王晓亚（９ ５一） 女 ， １８ ， 渤海大学硕士研究生 ， 从事课程论研究．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第１ 期
王晓 亚 ， 守波 ， 张 范文 贵 ， ： 学教 育视 野 下《 等 数 九章 算术 》 几何 原本 》 与《 的比较研 究 ２ ３
发展 演绎 推理 。
《 几何原本》 成书时的古希腊 与《 九章算术》 成书时中国的情形完全不同 ， 当时的古：腊正处于形式 希 逻辑 的发 展时 期 。把形 式逻 辑 的思 想方 法运 用 于数 学 研究 并 排 斥 数 学应 用 ， 当 时形 成 了一种 强 大 的 在 思潮 ． 欧几 里得 （ ｕｌ ） Ｅ ｃ ｄ 正处 于这 个 时 期 ， ｉ 他在 几 个 世 纪 以 来 的几 代 数 学 家 的 肩膀 上 ， 几 何 知 识 用 演 将
数 学 教 育视 野 下 《 章 算 术 》 九 与 《 何 原 本 》 比较 研究 几 的
王 晓亚 张 守波 范文贵 司成 勇 ， ， ，
（． １ 渤海 大学 数 理 学 院 ， 宁 锦 州 １１ １ ２ 天 津 师 范 大 学 初 等 教 育 学 院 ， 津 ３０ ７ ） 辽 ２０ ３；． 天 ０ ０ ４
４ 对 当代数 学教育 改革的启 示
４ １ 数 学教 育 观 ．
渤 海 大学 学报 （自然科 学版 ）
第３ ２卷
数 学教 育观 是对数 学教 育整 体 的、 系统 化 的看 法 ， 为数 学观 和教育 观 。其 中数学 观又有 动 态 和静 分
态之 分 ， 育观 也是如 此 。动态 的数学 观认 为数学 是 一项 人类 活动 ， 一 个有 内部联 系 的、 态 发展 的 教 是 动
的逻辑证 明 。事实上 ， 古代 的中 国是 “自给 自足 ” 的小 农 国家 ， 有 天 然 的保 守 性 ， 善 与 外界 交 流 ， 具 不 比
较 闭塞 。中 国的古代 数学 完全是 由 自己在 没有 与外界 交 流 的情 况 下 发展 起来 的 ， 样 的数 学 必然 是 与 这 生 活实际 紧密联 系 的 。中国传统 文化 注重 “ 世致 用 ” 思维 方 式 的重 要特 征 就 是 “ 实 际而 黜玄 想 ” 经 ， 重 。
受这种文化传统影响 ，九章算术》 《 自然注重数学知识的应用 ， 以实际为研究对象并 以服务于实际为 目 的。数学结论是在实践 中通过观察、 实验 ， 而后分析、 归纳的结果 ， 这就很难超越直观经验和具体运算而
收稿 日期 ：０ ０—０ ２ １ ９—１ ． ０ 基 金 项 目 ： 津市 教 育 科 学 十 一 五 规 划课 题研 究 基 金 资 助 项 目 ： 通 中小 学 标 准 化 建 设 问 题 （ ｏ Ｇ １ 天 普 Ｎ ： ２３）
整个 内容贯穿起来 ， 基本上形 成一个 今天看来 不很严谨 的逻辑演 绎系统 。ｕ
３ 两 书 内容 的 比较
《 九章 算术 》 内容极 为 丰富 ， 是从 春 秋至 秦汉 千年 时 问 内社 会 生产 发 展 过程 中各 方 面积 累 的数 学 知 识 的 总汇集 。全 书 ２６题 ， 含有 方 田、 ４ 包 黍米 、 衰分 、 广 、 功 、 少 商 均输 、 不 足 、 程 、 盈 方 勾股 等 九章 ， 本 上 基 包 含 了当 时所有 数学 分支 的 内容 ， 及 了相 当多 的社会 问题 ， 凡算 术 、 数 、 何 以及某 些 数 论知 识 全 涉 举 代 几 包 括在 内 ， 近乎 是那 个 时代 的数 学百 科全 书 。其 中算 术 和 代数 水 平 最 高 ， 何 方 面 的水 平 也 不 低 ， 别 几 特 是有 些 复杂 的体 积计 算法 则 是《 几何 原本 》 中所 没 有 的 ， 如对 一 些 楔形 体 体 积 的计 算 。但 在数 论 方 面水 平不 如 《 几何 原本 》 ， 过 内容也 有 涉及 《 何 原 本 》 要 讲 几何 问题 ， 其 中七 、 、 三卷 讲 数 论 问 高 不 几 主 但 八 九
１ 形成《 九章算术》 几何原本》 与《 迥异 的背景
我 国在 春秋 战 国时期 ， 出现 了诸子 蜂起 、 学派 纷 呈 、 百家 争 鸣 的局 面 。儒 、 、 、 等各 家 在政 治 、 法 名 墨 学术上 都提 出 了 自己的主张 。其 中 ， 形式逻 辑方 面 ， 家和 墨家对 其有一 定 的研究 ， 在 名 而墨 家尤 为 突 出。
《 几何原本》 的截然不同。前者是几何代数化 ， 即用计算 的方式解决几何方面的问题 ， 这或许就是代数 法解 几何 问题 的先 例 ， 笔者 以为这 一点 对笛 卡尔 创建 解 析几何 或 许产 生 了一定 的影 响 ， 或是 不 同文 化背 景下 的殊途 同归 ； 者是 代 数几 何化 ， 中的数论 问题 都 是通 过 严 格 的 逻辑 证 明得 以解 决 ， 何 问题 更 后 其 几
启示。
关键 词 ： 九章 算术 ； 几何原 本 ； 式逻辑 ； 学教 育 形 数
中 图分类 号 ： １ Ｏ１２文献标 识码 ： Ａ 文章编 号 ：６ ３—０ ６ （ ０ １ ０ — ０ ２— ５ １７ ５９ ２ １ ） １ ０ ２ ０
《 九章算 术 》 几何 原本 》 与《 是数 学史 上东西 辉 映的两 大 巨著 ， 某种 意义 上说 是 现代 数学 思 想 的两 大 源泉 。 自其成 书 以来 ， 学者们 对其研 究从 未停 止过 ， 邓宗琦 对 《 九章算 术》 几 何 原本 》 与《 的历史 背 景 、 内
为定 义 ３ ６条 、 图公 法 ４条 、 作 公理和公 设 １ ９条 ， 是全 书 的推理 基础 ， 于第一卷 之首 ， 列 另外某 些卷 的开头有 时也 由定义若 干条 。第二 部分 为题 ， 是每一卷 的主要部 分 ， 每一题 都相 当 于一条 定理 ， 下 有解 （ 当 于题 题 相 设和题 断 ） 和论 （ 就是 证 明） 有 的还有法 （ 括解 ， 加上 作 图步骤 ） ， 包 再 。全 书的 主导思 想是 通过 逻辑 推理 把
容、 数学方法 、 传播 以及对现代数学的影响进行 了比较研究 ； 张晓贵也从两者的比较中， 试探性地回答了 它们对 现代数 学发 展所 产生程 度不 同 的影响 ； 马海成 从两 书 的 比较 中 ， 探讨 了两 书对古 中国和古 希腊 数 学 的影 响 。而杨玉 东 以数 学思 想方法 为切 人点 ， 对其进 行 比较 ， 从 比较 中得 出一 些关 于数学 教 育 的启 并
学科 ； 静态 的数学 观认 为数学 是定 理 、 式 的静态积 累 ， 一个 永恒不 变 的学科 ； 态的教 育观 认 为学 生 公 是 动
不是空 着脑袋 进教 室 的 ， 教学 活动 的开展 要建 立在 学生原 有认 知发展 水平 及 已有知识 经验 基 础之 上 ， 学
生主体 ， 教师 主导 ， 笔者 认为 ， 这实 际上是 建构 主义 教育观 ； 态的教 育观认 为 教学活 动是 一种 程 序化 的 静 过 程 即概念 一定理 一 题 一练 习 ， 例 学生被 动地 接受 教师传 授 的知识 ， 是一 种传 统的教 育观 。 执 此 以 １ 纪 以前 的 中国的数 学教 育观 ， 深受 《 章算 术 》 ９世 其 九 的影 响 ， 为数 学 是来 源 于生 活 实 际 认
然而 ， 墨家之 后 的约六 、 七百年 时 间 ， 式 逻 辑 在我 国几 乎没 有 发 展 ， 形 因而也 就 没 有 形成 完 整 的逻辑 体 系， 恰在 这个 时期 ，九 章算 术 》 《 问世 了， 就 注定 了《 章 算术 》 这 九 的非 逻 辑结 构 的 特点 。 当然 ， 部 书 中 这 并 非一点 形式 逻辑都 没有 ，术 ” “ 就是 一个 例证 ， 通过 经验 总结 或简单 推理 而来 ， 没有 《 何 原本 》 是 但 几 式
题， 如求 两数 的最 大公 约 数 的方法 、 素数 的个数 为 无 限 的证 法 等 。此 外 也 讲 到 了 比例 理 论 、 方 形 的对 正
角线 和一 边不 可公 度 等 … 。值 得 一 提 的 是 ， 《 章 算 术 》中 ， 何 方 面也 颇 有 建 树 ， 其 解 决 方 法 与 在 九 几 但
摘
要 ： 九章算术》 几何原本》 《 与《 是数学史上 东西辉映的两大 巨著 ， 是现代数 学思想的
两 大源泉 。 两书 同是 古代数 学名著 ， 有 着截 然 不 同的风 格 。将从数 学教 育 的角度 ， 却 解读 一 下 两 书在 成 书背景 、 结构 和 内容 等 方面的 不 同， 并从 比较 研 究 中得 到一 些对 当代数 学教 育改革 的
算术 》 的显 著 特点 了。
２ 两 书体 例 的 比较
《 九章算术 》 问题 的性 质和解 法分为 九大类 ， 一类 为一 章 。每 一 章又 分为 几个 小类 。每 一小 类都 按 每 有 一般解题 步骤 （ 当于现代数 学 中的公 式 ） 相 。每道 题都给 出答 案 ， 分没有 具体 计算 过程 和演草 ， 大部 但都 可 以套用解题 步骤求得 解答 。这种结构 体系是 中 国古代 数学理 论体 系 的典 型代表 ， 以算 法 为 中心 ， 即 在解 题 中给 出算法 ， 据算法 组建理论 体系 ， 表现 了中国数学特 有 的形式 和思想 内容 ¨ 。《 根 充分 几何原 本 》 的结 构 与《 九章算术 》 同 ， 十三篇 （ 不 共 有些 版本里还 附加 两篇 ， 那肯定 是 后人 写 的 ） 但 由两部 分构 成 ， 一部 分 第