导数教案

导数的背景

一、导入新课

1. 瞬时速度

问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 析：大家知道，自由落体的运动公式是22

1gt s =（其中g 是重力加速度）. 当时间增量t ∆很小时，从3秒到（3＋t ∆）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.

从3秒到（3＋t ∆）秒这段时间内位移的增量：

222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(t t t s t s s ∆+∆=⨯-∆+=-∆+=∆ 从而，t t

s v ∆+=∆∆=-

-9.44.29. 从上式可以看出，t ∆越小，t

s ∆∆越接近29.4米/秒；当t ∆无限趋近于0时，t s ∆∆无限趋近于29.4米/秒. 此时我们说，当t ∆趋向于0时，t

s ∆∆的极限是29.4. 当t ∆趋向于0时，平均速度t s ∆∆的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度.

一般地，设物体的运动规律是s ＝s （t ），则物体在t 到（t ＋t ∆）这段时间内的平均速度为

t t s t t s t s ∆-∆+=∆∆)()(. 如果t ∆无限趋近于0时，t

s ∆∆无限趋近于某个常数a ，就说当t ∆趋向于0时，t s ∆∆的极限为a ，这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度.

2. 切线的斜率

问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.

析：设点Q 的横坐标为1＋x ∆，则点Q 的纵坐标为（1＋x ∆）2，点Q 对于点P

的纵坐标的增量（即函数的增量）22)(21)1(x x x y ∆+∆=-∆+=∆，

所以，割线PQ 的斜率x x

x x x y k PQ ∆+=∆∆+∆=∆∆=2)(22. 由此可知，当点Q 沿曲线逐渐向点P 接近时，x ∆变得越来越小，PQ k 越来越接近2；当点Q 无限接近于点P 时，即x ∆无限趋近于0时，PQ k 无限趋近于

2. 这表明，割线PQ 无限趋近于过点P 且斜率为2的直线. 我们把这条直线叫做曲线在点P 处的切线. 由点斜式，这条切线的方程为：12-=x y .

一般地，已知函数)(x f y =的图象是曲线C ，P （00,y x ），Q （y y x x ∆+∆+00,）是曲线C 上的两点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 接近时，割线PQ 绕着点P 转动. 当点Q 沿着曲线无限接近点P ，即x ∆趋向于0时，如果割线PQ 无限趋近于一个极限位置PT ，那么直线PT 叫做曲线在点P 处的切线. 此时，割线PQ 的斜率x

y k PQ ∆∆=

无限趋近于切线PT 的斜率k ，也就是说，当x ∆趋向于0时，割线PQ 的斜率x

y k PQ ∆∆=的极限为k. 3. 边际成本 问题3：设成本为C ，产量为q ，成本与产量的函数关系式为103)(2+=q q C ，我们来研究当q ＝50时，产量变化q ∆对成本的影响.在本问题中，成本的增量为：222)(3300)10503(10)50(3)50()50(q q q C q C C ∆+∆=+⨯-+∆+=-∆+=∆. 产量变化q ∆对成本的影响可用：q q C ∆+=∆∆3300来刻划，q ∆越小，q

C ∆∆越接近300；当q ∆无限趋近于0时，q

C ∆∆无限趋近于300，我们就说当q ∆趋向于0时，

q

C ∆∆的极限是300. 我们把q

C ∆∆的极限300叫做当q ＝50时103)(2+=q q C 的边际成本. 一般地，设C 是成本，q 是产量，成本与产量的函数关系式为C ＝C （q ），当产量为0q 时，产量变化q ∆对成本的影响可用增量比q q C q q C q C ∆-∆+=∆∆)()(00刻划. 如果q ∆无限趋近于0时，q

C ∆∆无限趋近于常数A ，经济学上称A 为边际成本. 它表明当产量为0q 时，增加单位产量需付出成本A （这是实际付出成本的一个近似值）.

二、小结 瞬时速度是平均速度

t s ∆∆当t ∆趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率

x

y ∆∆当x ∆趋近于0时的极限；边际成本是平均成本q C ∆∆当q ∆趋近于0时的极限. 导数的概念

一、导入新课：

上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。

二、新授课：

1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x

y

∆∆

（也叫函数的平均变化率）有极限即x

y ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即

x

x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/ 注：1.函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。

2.在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可能为0。

3.x

y ∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率。

4.导数x

x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/

是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)

(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-。

5.导数是一个局部概念，它只与函数)(x f y =在0x 及其附近的函数值有关，与x ∆无关。

6.在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成0

0000/

)()(lim )()(lim )(0x x x f x f x x f x x f x f x x o x --=∆-∆+=→→∆。 7.若极限x

x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。 8.若)(x f 在0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）有切线存在。反之不然，若曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）有切线，函数)(x f y =在0x 不一定可导，并且，若函