分式方程增根与无解专题讲义
初中数学分式方程的增根与无解专题辅导
分式方程的增根与无解周奕生甲：增根是什么？乙：增根是解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一变形中，由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值，比如解方程、：2x x 222x 3x 1-=-+。
① 为了去分母，方程两边乘以()2x x -，得()2x 32x -=+-②由②解得0x =。
甲：原方程的解是0x =。
乙：可是当0x =时，原方程两边的值相等吗？甲：这我可没注意，检验一下不就知道了。
哟！当0x =时，原方程有的项的分母为0，没有意义，是不是方程变形过程中搞错啦？乙：求解过程完全正确，没有任何的差错。
甲：那为什么会出现这种情况呢？乙：因为原来方程①中未知数x 的取值范围是0x ≠且2x ≠，而去分母化为整式方程②后，未知数x 的取值范围扩大为全体实数。
这样，从方程②解出的未知数的值就有可能不是方程①的解。
甲：如此说来，从方程①变形为方程②，这种变形并不能保证两个方程的解相同，那么，如何知道从整式方程②解出的未知数的值是或不是原方程①的解呢？乙：很简单，两个字：检验。
可以把方程②解出的未知数的值一一代入去分母时方程两边所乘的那个公分母，看是否使公分母等于0，如果公分母为0，则说明这个值是增根，否则就是原方程的解。
甲：那么，这个题中0x =就是增根了，可原方程的解又是什么呢？乙：原方程无解。
甲：啊？！为什么会无解呢？乙：无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等，如上题中，不论x 取何值，都不能使方程①两边的值相等，因此原方程无解，又如对于方程0x2=，不论x 取何值也不能使它成立，因此，这个方程也无解。
甲：是不是有增根的分式方程就是无解的，而无解的分式方程就一定有增根呢？乙：不是！有增根的分式方程不一定无解，无解的分式方程也不一定有增根，你看，方程x1x x x 21x x 22+=+-+，去分母后化为()()01x 3x =+-，解得3x =或1x -=，此时，1x -=是增根，但原方程并不是无解，而是有一个解3x =，而方程1x2x =+，去分母后化为2x 0-=⋅，原方程虽然无解，但原方程也没有增根。
人教版八年级数学上册15.3分式方程(增根.无解)ppt精品课件
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
3x23x23 无m x解x，
二、利用分式方程解的情况确定所含字母的取值 范围
例3.若分式方程 的取值范围. a
2xx的2a解 是1正数，求
例3.若分式方程 的取值范围. a
2xx的2a解 是1正数，求
方法总结： 1.化整式方程求解. 2.根据题意列不等式组.（特别注意分式方程中分母 能为0）。
2019/7/8
最新中小学教学课件
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you!2019/7/8最新小学教学课件学习重点：
利用分式方程解的情况确定所含字母的取值。
练习：解方程：
x 1
3
x1
(x1)(x2)
.
一、分式方程增根的应用
例1、分式方程 有增根，求m的值。
1 m x 2 x 1
方法总结： 1.化为整式方程。（方程可以不整理） 2.确定增根。 3.把增根代入整式方程求出字母的值。
练习：已知关于x的方程 求实数K的值。
1 4x2
2 有 增x k根2
练习：解方程：
x 2 1 x 1 3x 3
.
例2、若关于x的分式方程 无解，求m的值．
xm 3 1 x1 x
方法总结： 1.化为整式方程（整式方程需要整理）. 2. 分两种情况讨论 （1）整式方程无解 （2）分式方程有增根.
最牛归纳 分式方程增根或无解专题讲解PPT18页
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
最牛归纳 分式方程增根或无解专题讲 解
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
分式方程的增根与无解详解(最新整理)
x-2 (x-3)=m
整理得：
x=6-m
∵原方程有解，故 6-m 不是增根。
∴6-m≠3 即 m≠3
∵x＞0
∴m＜6
由此可得答案为 m 的取值范围是 m＜6 且 m≠3。 一、分式方程有增根，求参数值
2
x2 4xa 例 7 a 为何值时，关于 x 的方程 x 3 =0 有增根？
解：原方程两边同乘以（x-3）去分母整理，得 x2-4x+a=0（※） 因为分式方程有增根，增根为 x=3，把 x=3 代入（※）得，9-12+a=0 a=3
整理得（a－1）x＝－10
②
1
若原方程无解，则有两种情形： （1）当 a－1＝0（即 a＝1）时，方程②为 0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解。 （2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为 x＝2 或－2，把 x＝2 或－2 代入方程②中，求出 a＝－4 或 6． 综上所述，a＝1 或 a＝一４或 a＝6 时，原分式方程无解． 例 5：（2005 扬州中考题）
入（※）得 m=-2
3 所以 m=- 2 或-2 时，原分式方程有增根
k
2
点评：分式方程有增根，不一定分式方程无解（无实根），如方程 x 1 +1= ( x 1)( x 2) 有增根，可求得 k=-
2
8
3 ，但分式方程这时有一实根 x= 3 。
二、分式方程是无实数解，求参数值
x2 m 例 9 若关于 x 的方程 x 5 = x 5 +2 无实数，求 m 的值。
整理得：
m(x+1)=7-x2
当 x= -1 时,此时 m 无解；
当 x=1 时,解得 m=3。
浅谈分式方程增根与无解教案教学内容
浅谈分式方程增根与无解教案浅谈分式方程增根与无解Zhujiang 沈石林 增根，无解？是不是一回事吗？有的同学说，增根就是无解，无解就是增根。
难道增根和无解有区别吗？有联系吗？分式方程的增根，指的是解分式方程时，把分式方程化成整式方程的变形过程中，方程两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围，而产生的未知数的值。
分式方程无解，不论未知数为何值，都不能使分式方程两边的值相等，它包含两种情形。
（1）原分式方程去分母后得到的整式方程无解，导致原分式方程无解；（2）原分式方程化为整式方程后，有解，但是这个解使原分式方程的分母为零，即是原分式方程的增根，从而原方程无解。
例1. 解方程:2344222+=---x x x x 。
解：方程两边同乘：（x+2）（x-2）； 得： 2（x+2）-4x=3（x-2）； 解得 x=2；经检验当x=2时，原方程无意义，x=2是增根；所以，原分式方程无解例2. 解方程2x2x -32x 1-x ++=+。
小结：例2这种情况就是整式方程无解，导致原方程无解，由此可见分式方程无解，不一定就是产生增根。
例3. 当a 为何值时，关于x 的方程2x 34-x ax 2-x 22+=+会产生增根？注意：如果将例3的问题“会产生增根，变成无解”例4. 当a 为何值时，关于x 的方程2x 34-x ax 2-x 22+=+会产生无解？ 解：方程两边同乘：（x+2）（x-2）；得：2（x+2）+ax=3（x-2）整理得（a-1）x=-10 ①若分式方程无解，则有两种情况：（1）方程①无解导致原方程无解，a-1=0时，即a=1时，0·x=-10，此时原方程无解，则a=1.（2）出现增根导致无解，则x=2或x=-2.代入解的a=-4或6.总结：弄清楚分式方程的增根与无解的区别和联系，分式方程出现无解不一定就是出现增根，还有可能是去分母后整式方程无解，知道这一点后能帮助我们提高解分式方程的正确性，对判定分式方程解的情况有一定的指导意义。
有增根和无解的区别课件
当分式方程有增根时，其最简公分母 为0。
无解的定义
无解是指分式方程在所有实数范 围内都没有解。
当分式方程无解时，其最简公分 母为0，但此时原方程的解不存
在。
无解的产生可能是由于分式方程 的系数或常数项存在矛盾或错误 ，导致无法找到满足所有条件的
解。
02
增根和无解的区别
数学表达上的区别
增根
在解分式方程、无理方程或绝对值方程时，如果解得的根使原方程的分母为0 ，则该根为增根。增根是原方程的“假根”，因为它不满足原方程的定义域。
03
增根和无解的判定方法
增根的判定方法
增根是指满足原方程但不满足分 式方程的解，通常是由于分式方 程的最简公分母为0而产生的。
增根的判定方法是通过将分式方 程转化为整式方程，然后求解整 式方程，得到解后再验证是否满
足原分式方程。
在验证过程中，如果解使得最简 公分母为0，则该解为增根，否
则为原分式方程的解。
05
增根和无解的实例解析
增根的实例解析
总结词
增根是由于解方程过程中，对方程进行变形时引入了额外的解，这些解并不满足 原方程。
详细描述
例如，在解方程 (x^2 - 4 = 0) 时，我们可以将其变形为 (x^2 = 4)，从而得到解 (x = pm 2)。但实际上，原方程的解应该是 (x = 2) 或 (x = -2)，因此，(x = -2) 是增根，因为它并不满足原方程。
无解的判定方法
无解是指分式方程没有满足条件的解，即不存在满足原方程的解。
无解的判定方法是当分式方程转化为整式方程后，无法找到满足原方程 的解，或者解使得最简公分母为0。
在判定无解时，需要仔细检查原方程是否有误或者是否无法找到满足条 件的解。
分式方程的增根与无解
目录
• 分式方程的增根 • 分式方程的无解 • 分式方程增根与无解的关系 • 分式方程增根与无解的实例解析 • 分式来自程增根与无解的解题策略01
分式方程的增根
增根的定义
01
增根是指满足原方程但不满足分 式方程的解。
02
当分式方程的最简公分母等于0时 ，该解为增根。
增根的产生原因
分。
04
分式方程增根与无解的实 例解析
增根实例解析
01
02
03
增根的概念
增根是指满足原方程但不 满足分式方程的解。
增根的例子
考虑方程 $frac{x}{2} frac{3}{x - 2} = 1$，其增 根可能是 $x = 2$，因为 当 $x = 2$ 时，分母 $x 2$ 为零，使得方程无意 义。
当分式方程的最简公分母为0时，会 导致方程无解或解不唯一，从而产生 增根。
增根的产生与方程的化简过程有关， 如果化简过程中出现错误，也可能导 致增根的出现。
增根的判断方法
将一个解代入最简公分母，如果 最简公分母等于0，则该解为增
根。
通过解方程得到多个解，然后逐 一检验这些解，如果某个解使得 最简公分母等于0，则该解为增
增根与无解的联系
增根可能导致分式方程无解
01
如果分式方程有增根，那么该增根可能使得分式方程在某些条
件下无解。
无解不一定是增根引起的
02
分式方程无解的原因可能不仅仅是增根，还可能是原方程本身
没有解或者分式方程的解不满足某些条件。
增根和无解都是分式方程的特殊情况
03
增根和无解都是分式方程可能遇到的情况，需要特别注意和区
如果方程两边化简后不相等，则方程无解。
分式方程(共第三课时分式方程的增根与无解)(共17张PPT)数学八年级上册
（1）确定增根，让最简 公分母为零
（2）化分式方程为整式方程
（3）把增根代入整式方 程求出字母m的值
含有参数的分式方程有增根方法总结：1.确定增根。2.化为整式方程。（方程可以不整理）3.把增根代入整式方程求出字母的值。
2.已知关于 的方程 . （1）有增根2，求 的值； （2）有增根，求 的值.
第三课时 分式方程的增根与无解
一：学习目标
1、理解分式方程有增根与无解的意义
2、会根据分式方程有增根或无解确定字母系数的值。
分式方程
整式方程
a是分式方程的解
X=a
a不是分式方程的解
去分母
解整式方程
检验
最简公分母不为０
最简公分母为０
a就是分式方程的增根
解分式方程的一般步骤
知识回顾:
例1 解方程：
得m=- 或m=5
∴m=- ,m=5分式方程无解
①分式方程有增根
整理整式方程 x+4+m(x-4)=m+3
得:（m+1)x=5m-1
关于x的方程ax=b,当a=0,b≠0 时， 方程无解
∴当m+1=0时
∴当m=-1时分式方程无解
综上① ②所述，当m=- ,m=5,m=-1时原分式方程无解
即当m=-1时整式方程无解
②整式方程无解
分式方程无解
①分式方程有增根
②分式方程转化为整式方程，整式方程无解
整式方程无解即把整式方程整理成ax=b形式,当a=0,b≠0 时，方程无解
归纳小结：
已知关于x的方程 无解，求m的值.
应用升华
二、含参数的分式方程无解
解方程：
整式方程无解
∴原分式方程无解
(完整版)分式方程无解增根专题
分式方程专题一：知识梳理如果一个分式方程的根能使此方程的公分母为零,那么这个根就是原方程的增根。
产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根。
二：例题精讲例题1：若方程﹣=1有增根，则它的增根是，m=．【解答】解：由分式方程有增根，得到（x+1）（x﹣1）=0，解得：x=±1，分式方程去分母得：6﹣m（x+1）=x2﹣1，把x=1代入整式方程得：6﹣2m=0，即m=3；把x=﹣1代入整式方程得：6=0，无解，综上，分式方程的增根是1，m=3．故答案为：1；3．反馈：（1）若关于x的分式方程=1有增根，则增根为；此时a=．（2）关于x的方程+=2有增根，则m=．（3）若关于x的分式方程=﹣有增根，则k的值为．例题2：若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是．【解答】解：方程两边都乘以x﹣2，得：﹣2+x+m=2（x﹣2），解得：x=m+2，∵方程的解为正数，∴m+2＞0，且m+2≠2，解得：m＞﹣2，且m≠0，故答案为：m＞﹣2且m≠0．反馈：（1）已知关于x的方程=3的解是正数，则m的取值范围是．（2）关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是．例题3：若关于x的分式方程=a无解，则a的值为．【解答】解：两边同乘以x+1，得x﹣a=ax+a移项及合并同类项，得x（a﹣1）=﹣2a，系数化为1，得x=，∵关于x的分式方程=a无解，∴x+1=0或a﹣1=0，即x=﹣1或a=1，∴﹣1=，得a=﹣1，故答案为：±1．反馈：（1）关于x的方程无解，则k的值为．（2）若关于x的分式方程无解，则m的值为．（3）若关于x的分式方程无解，则m=．三：典型错题1.在中，x的取值范围为．2.要使方式的值是非负数，则x的取值范围是．3.已知，则分式的值为．4.将分式（a、b均为正数）中的字母a、b都扩大到原来的2倍，则分式值为原来的倍．5.若=+，则A=，B=．6.若解分式方程产生增根，则m=．7.若关于x的方程是非负数，则m的取值范围是．8.关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是9.已知，则的值为．10．已知a2+b2=9ab，且b＞a＞0，则的值为．参考答案：例题1：反馈：（1）若关于x的分式方程=1有增根，则增根为；此时a=．【解答】解：去分母得：2x﹣a=x+1，由分式方程有增根，得到x+1=0，即x=﹣1，把x=﹣1代入得：﹣2﹣a=0，解得：a=﹣2，故答案为：﹣1；﹣2（2）关于x的方程+=2有增根，则m=．【解答】解：去分母得：5x﹣3﹣mx=2x﹣8，由分式方程有增根，得到x﹣4=0，即x=4，把x=4代入整式方程得：20﹣3﹣4m=0，快捷得：m=，故答案为：（3）若关于x的分式方程=﹣有增根，则k的值为．【解答】解：去分母得：5x﹣5=x+2k﹣6x，由分式方程有增根，得到x（x﹣1）=0，解得：x=0或x=1，把x=0代入整式方程得：k=﹣；把x=1代入整式方程得：k=，则k的值为或﹣．故答案为：或﹣例题2：反馈：（1）已知关于x的方程=3的解是正数，则m的取值范围是．【解答】解：解关于x的方程=3得x=m+6，∵方程的解是正数，∴m+6＞0且m+6≠2，解这个不等式得m＞﹣6且m≠﹣4．故答案为：m＞﹣6且m≠﹣4．（2）关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是．【解答】解：把方程移项通分得，∴方程的解为x=a﹣6，∵方程的解是负数，∴x=a﹣6＜0，∴a＜6，当x=﹣2时，2×（﹣2）+a=0，∴a=4，∴a的取值范围是：a＜6且a≠4．故答案为：a＜6且a≠4．例题3：反馈：（1）关于x的方程无解，则k的值为．【解答】解：去分母得：2x+4+kx=3x﹣6，当k=1时，方程化简得：4=﹣6，无解，符合题意；由分式方程无解，得到x2﹣4=0，即x=2或x=﹣2，把x=2代入整式方程得：4+4+2k=0，即k=﹣4；把x=﹣2代入整式方程得：﹣4+4﹣2k=﹣12，即k=6，故答案为：﹣4或6或1（2）若关于x的分式方程无解，则m的值为．【解答】解：两边都乘以（x﹣2），得x﹣1=m+3（x﹣2）．m=﹣2x+5．分式方程的增根是x=2，将x=2代入，得m=﹣2×2=5=1，故答案为：1．（3）若关于x的分式方程无解，则m=．【解答】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：m﹣（x﹣1）=0，即m=x﹣1，∵关于x的分式方程无解，∴x=1或x=﹣1，当x=1时，m=0，当x=﹣1时，m=﹣2，故答案为：0或﹣2．典型错题：1.在中，x的取值范围为0＜x≤1．2.要使方式的值是非负数，则x的取值范围是x≥1或x＜﹣2．3.已知，则分式的值为．4.将分式（a、b均为正数）中的字母a、b都扩大到原来的2倍，则分式值为原来的倍．5.若=+，则A=﹣12，B=17．6.若解分式方程产生增根，则m=﹣2或1．．7.若关于x的方程是非负数，则m的取值范围是m≥﹣2且m≠﹣1 ．8.关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是a≠5，a≠0．9.已知，求的值．【解答】解：将两边同时乘以x，得x2+1=3x，===．10．已知a2+b2=9ab，且b＞a＞0，求的值．【解答】解：∵a2+b2=9ab，∴a2+b2+2ab=11ab，a2+b2﹣2ab=7ab，即（a+b）2=11ab，（a﹣b）2=7ab，∵b＞a＞0，即b﹣a＞0，∴a+b=，b﹣a=，则原式=﹣=﹣=﹣．。
专题12 分式方程的无解与增根（含答案）
专题12 分式方程的无解与增根知识解读1.分式方程增根的定义方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 2.分式方程无解有两种可能（1）将分式方程通过“去分母”变成整式方程后，整式方程是“0x =1”的形式，即整式方程无解；（2）整式方程求得的解，使得原分式方程的分母等于0，即求得的根为增根。
3.验根的方法（1）代人原方程检验，看方程左、右两边的值是否相等，如果相等，则未知数的值是原方程的解，否则就是原方程的增根；（2）代人最简公分母检验，看最简公分母的值是否为零，若值为零，则未知数的值是原方程的增根，否则就是原方程的根.前一种方法虽然计算量大，但是能检查解分式方程中有无计算错误，后一种虽然简单，但不能检查解方程的过程有无计算错误，所以在使用后一种检验方法时，应以解方程的过程没有错误为前提。
培优学案典例示范一、分式方程增根的讨论 例1若方程233x mx x -=--有增根，则m 的值为 （ ） A. -3 B .3 C .0 D .以上都不对【提示】如果这个方程有增根，则这个增根为x =3，x =3虽然不是233x mx x -=--的解，但却是这个方程去分母之后得到的整式方程的解。
【技巧点评】方程有增根，一定存在使公分母等于0的未知数的值.解这类题的一般步骤：①把分式方程化成整式；方程；②令公分母为0，求出x 的值；③把x 的值代入整式方程，求出字母系数的值。
跟踪训练1.当m 为何值时，解方程225++111mx x x =--会产生增根？二、分式方程的无解 例2若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a = . 【提示】分式方程无解，需要就分式方程有增根和整式方程无解两种情况讨论。
【技巧点评】已知分式方程的无解，可先考虑去分母，将它化成整式方程，然后讨论是整式方程无解，还是分式方程的根为增根。
跟踪训练2.当k 时，分式方程，0111x k x x x x +-=--+无解.三、分式方程解的讨论 例3 已知关于x 的方程232x mx +=-的解是正数，则m 的取值范围为 。
分式方程增根与无解专题讲义
分式方程的增根和无解专题讲义班级： 姓名：题型一:解分式方程, 解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为0,所以解分式方程必须检验.例1.解方程(1) 2223-=---xx x (2) 114112=---+x x x专练一、解分式方程 （每题5分共50分）（1） 223433x x x x +-=+ （2）3513+=+x x ； （3）30120021200=--xx（4）255522-++x x x =1 (5) 2124111x x x +=+--. (6) 2227461x x x x x +=+--（7）11322x x x -+=--- (8)512552x x x=--- (9) 6165122++=-+x x x x题型二:关于增根:将分式方程变形为整式方程,方程两边同时乘以一个含有未知数的整式,并越去分母,有时可能产生不适合原分式方程的根,这种根通常称为增根.例2、 若方程xx x --=+-34731有增根,则增根为 .例3．若关于x 的方程313292-=++-x x x m 有增根, 则增根是多少?产生增根的m 值又是多少?评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是：（1）将所给方程化为整式方程；（2）由所给方程确定增根（使最简公分母为零的未知数的值或题目给出）（3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。
专练习二：1.若方程3323-+=-x x x 有增根,则增根为 . 2、 使关于x 的方程a x x a x2224222-+-=-产生增根的a 的值是（ ） A. 2 B. －2 C. ±2 D. 与a 无关3、若解分式方程21112x x m x x x x+-++=+产生增根，则m 的值是（ ） A. －1或－2 B. －1或2 C. 1或2 D. 1或－24.当m 为何值时,解方程115122-=-++x m x x 会产生增根?5、关于x 的方程x x k x -=+-323会产生增根，求k 的值。
分式方程的增根与无解详解
分 式 方 程 的 增 根 与 无 解 讲 解例1解方程—24x 3•①x 2 x 4 x 2解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 )，得2 (x+2) -4x=3 (x-2 ).②解这个方程，得x=2.经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=2是原方程的增根.所以原方程无解.例2解方程x 13 x2 .x 22 x解：去分母后化为x — 1 = 3— x + 2 (2+ x ).整理得0x = 8.因为此方程无解，所以原分式方程无解.例3 (2007湖北荆门)若方程 王卫二―丄无解，则m= ------------ .x 22 x解：原方程可化为x 3二—m.x 2 x 2方程两边都乘以x — 2，得x — 3=— m解这个方程，得x=3— m因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根.即 x=2，所以2=3— m 解得m=1.故当m=1时，原方程无解.ax例4当a为何值时，关于x的方程齐厂齐①会产生增根?解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得 2 (x + 2)+ ax= 3 (x —2)整理得(a—1) x = —10若原分式方程有增根，则x= 2或-2是方程②的根.把x = 2或一2代入方程②中，解得，a = —4或6.若将此题“会产生增根”改为“无解”，即:2 ax 3当a为何值时，关于x的方程厂2 厂门①无解?此时还要考虑转化后的整式方程（a—1）x二—10本身无解的情况，解法如下:解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得 2 (x + 2)+ ax= 3 (x —2)整理得(a—1) x = —10若原方程无解，则有两种情形:（1）当a—1 = 0 （即a= 1）时，方程②为0x =一10，此方程无解，所以原方程无解。
（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解•原方程若有增根，增根为x = 2或一2,把x = 2或一2代入方程②中，求出a= —4或6.综上所述，a= 1或a = —4或a=6时，原分式方程无解.例5: （2005扬州中考题）6A 、0B 、1C 、-1D 、1 或-1分析：使方程的最简公分母(x+1)(x-1)=0 则x=-1或x=1，但不能忽略增根除满足最简公 分母为零,还必须是所化整式方程的根。
增根与无解ppt
小结
• 学生自主完成
增根与无解
学习目标
• 增根：所谓增根，就是使分式方程分母等 于0的根。
• 比如： 2/(x-1)-1/(x-1)=0
•
x=1
• x=1却使原方程没有意义,那么x=1就是增根
无解
• 分式方程无解有两种情况 • 一种是把分式方程化成整式方程后,整式方
程无解., 一种是把分式方程化成整式方程后,整式方 程有解,但这个解使分式方程的分母为0,是 增根
无解问题
• 如何用增根求分式方程中字母的值
• 例2 • 若关于x的方程4-ax/x+2=3无解，求a的值
• 解析：1、去分母，得到整式方程， 2、把让分母为0的X值代入整式方程， 3、 得到字母的方程， 解之，得到字母的值.
• 解：由原方程得4-ax=3x+6,则（a+3）x=-2 • 分两种情况讨论： • 1：当a+3≠0，即a≠-3时,有x=-2/a+3 • ∵原方程无解，∴x+2=0,∴-2/a+3+2=0,解得a=-2, • ∴当a=-2时，原方程无解。 • 2：当a+3=0,即a=-3时，方程(a+3)x=-2无解，则原方程无解。 • 综上所述，当a=-2或a=-3时，原方程无解. •
巩固
• 1：若关于x的分式方程ax+1/(x-1)+1=0有增根， 则a的值
• 2; 若关于的分式方程2/(x-2)+mx/x²-4=3/x+2会 产生增根，求的值
• 3：当m为何值时，方程3-2x(/2-x)+m/2x-4=1有 增根？
• 4：如果分式方程x/x+1=m/x+1无解，求m的值 • 5：当a为何值时，关于x的分式方程x-a/(x-1)-
分式方程的无解与增根ppt课件
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5
例2
x1
解方程：
3x
2
x2 2x
解：去分母后化为x－1＝3－x＋2（2＋x）． 整理得0x＝8．
因为此方程无解，所以原分式方程无解．
【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当 然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程 无解不一定就是产生增根．
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6
例3 若方程x 3 = m 无解，则m=———． x2 2x
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4
例1 解方程： 2 4x 3
①
x2 x24 x2
解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得 2（x+2）-4x=3（x-2）．②
解这个方程，得x=2． 经检验：当x=2时，原分式方程无意义， 所以x=２是原方程的增根． 所以原方程无解．(分式方程有增根的解题格式)
【说明】显然，方程①中未知数x的取值范围是x≠2且 x≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x的取 值范围扩大为全体实数．所以当求得的x值恰好使最简 公分母为零时，x的值就是增根．本题中方程②的解是 x＝2，恰好使公分母为零，所以x＝2是原方程的增根， 原方程无解．
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3
自学指导一:(4分钟)
分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式 方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘 了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的 取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是 指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值等．它 包含两种情形： （一）原方程化去分母后的整式方程无解； （二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解 却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方 程无解．
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(完整版)分式方程的增根与无解
分式方程的增根与无解甲：增根是什么？乙:增根是解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一变形中，由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值.比如例1、解方程：。
①为了去分母，方程两边乘以，得②由②解得。
甲：原方程的解是.乙：可是当时，原方程两边的值相等吗？甲：这我可没注意，检验一下不就知道了。
哟!当时，原方程有的项的分母为0，没有意义，是不是方程变形过程中搞错啦?乙:求解过程完全正确,没有任何的差错。
甲:那为什么会出现这种情况呢？乙：因为原来方程①中未知数x的取值范围是且，而去分母化为整式方程②后,未知数x的取值范围扩大为全体实数。
这样，从方程②解出的未知数的值就有可能不是方程①的解。
甲:如此说来，从方程①变形为方程②，这种变形并不能保证两个方程的解相同，那么,如何知道从整式方程②解出的未知数的值是或不是原方程①的解呢？乙:很简单,两个字：检验。
可以把方程②解出的未知数的值一一代入去分母时方程两边所乘的那个公分母,看是否使公分母等于0，如果公分母为0,则说明这个值是增根，否则就是原方程的解。
甲：那么，这个题中就是增根了，可原方程的解又是什么呢？乙：原方程无解。
甲：啊？！为什么会无解呢？乙：无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等,如上题中,不论x取何值,都不能使方程①两边的值相等,因此原方程无解，又如对于方程，不论x取何值也不能使它成立，因此,这个方程也无解.甲：是不是有增根的分式方程就是无解的，而无解的分式方程就一定有增根呢？乙：不是！有增根的分式方程不一定无解,无解的分式方程也不一定有增根,你看：例2、解方程,去分母后化为，解得或，此时，是增根，但原方程并不是无解，而是有一个解，而方程,去分母后化为，原方程虽然无解，但原方程也没有增根。
乙：增根不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解，利用这种关系可以解决分式方程的有关问题，你看：例3、已知关于x的方程有增根，求k的值.首先把原方程去分母，化为。
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分式方程的增根和无解专题讲义
班级： 姓名：
题型一:解分式方程, 解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为0,所以解分式方程必须检验.
例1.解方程(1) 2223-=---x
x x (2) 114112=---+x x x
专练一、解分式方程 （每题5分共50分）
（1） 223433
x x x x +-=+ （2）3513+=+x x ； （3）30120021200=--x x
（4）255522-++x x x =1 (5) 2124111x x x +=+--. (6) 2227461x x x x x +=+--
（7）11322x x x -+=--- (8)512552x x x
=--- (9) 6165122++=-+x x x x
题型二:关于增根:将分式方程变形为整式方程,方程两边同时乘以一个含有未知数的整式,并越去分母,有时可能产生不适合原分式方程的根,这种根通常称为增根.
例2、 若方程
x x x --=+-34731有增根,则增根为 .
例3．若关于x 的方程
3
13292-=++-x x x m 有增根, 则增根是多少?产生增根的m 值又是多少?
评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是：
（1）将所给方程化为整式方程；
（2）由所给方程确定增根（使最简公分母为零的未知数的值或题目给出）
（3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。
专练习二：
1.若方程3
323-+=-x x x 有增根,则增根为 . 2、 使关于x 的方程a x x a x
22
24222-+-=-产生增根的a 的值是（ ） A. 2 B. －2 C. ±2 D. 与a 无关
3、若解分式方程21112x x m x x x x
+-++=+产生增根，则m 的值是（ ） A. －1或－2 B. －1或2 C. 1或2 D. 1或－2 4.当m 为何值时,解方程
115122-=-++x m x x 会产生增根?
5、关于x 的方程
x x k x -=+-323
会产生增根，求k 的值。
6、当k 为何值时，解关于x 的方程：()()()115111
2x x k x x k x x -+-+=--只有增根x =1。
7、当a 取何值时，解关于x 的方程：()()
x x x x x ax x x ---++=+-+12212212无增根？
题型三:分式方程无解①转化成整式方程来解,产生了增根;②转化的整式方程无解. 例4、 若方程
x
m x x -=--223无解,求m 的值.
1、已知关于x 的方程
m x m x =-+3无解,求m 的值.
2、的值。
无解，求的方程
关于m x mx x x x 13232-3-=-++-
3、关于x 的方程
2k 22112-+=++-x x x x 无解，求k 的值。
4、关于x 的方程2
34-222+=+-x x ax x 无解，求k 的值。
题型四:解含有字母的分式方程时,注意字母的限制.
例5、.若关于x 的方程
81=+x
ax 的解为41=x ,则a = 例6、.关于x 的方程12-=-+x m x 的解大于零, 求m 的取值范围. 注:解的正负情况:先化为整式方程,求整式方程的解
①若解为正⎩⎨
⎧>去掉增根正的解0x ;②若解为负⎩⎨⎧<去掉增根负的解
0x 解：
专练三：
1.若分式方程5
2)1()(2-=--x a a x 的解为3=x ,则a = . 3.已知关于x 的方程
323-=--x m x x 解为正数,求m 的取值范围.
4.若方程
k x x +=+233有负数根,求k 的取值范围.
5.已知关于x 的方程
x a x +-=-2
1的根大于0，求a 的取值范围。
6.的值。
求且已知x a xa a xa a a a ,112932232,0123242
-=-++-=--
7..,3,2,1的值求已知
xyz x
z zx z y yz y x xy =+=+=+
8.可取得最小值为分式221012622++++x x x x （ ） A 、4 B 、5 C 、6 D 、不存在 9.的值是则满足、、若c
b a ab
c c b a c b a 111,8,0++==++（ ）
A 、正数
B 、负数
C 、零
D 、正数或负数
10.若x 取整数，则使分式1236-+x x 的值为整数的x 的值有（ ） A 、3个 B 、4个 C 、6个 D 、8个。