第一章(5)习题课

A 3ε0

R
r
AR r dr 3ε0
2
3

R0
R
dr r
3 A AR R0 3 3 (R r ) ln 9 0 3 0 R
9、球壳的内半径为R1，外半径为R2，壳体内均匀带 电，电荷体密度为，A、B两点分别与球心O相距r1 和r2，(r1＞R2，r2＜R1)，求A、B两点的电势。 解：利用均匀带电球壳产生电势的结果和电势叠加 原理来计算，作一半径为r，厚度为dr的球壳 dr R1 r 2 r O B
上底
r
h
S E
下底
E
侧面
S E dS 上底 E dS 下底 E dS 侧面 E dS 侧 面 E dS E 侧 面dS 2πrhE
由高斯定理 2π rhE
( S内)
qi / ε0
下底
(2) 电势分布
r >R时
AR 3 /( 3ε0 r )
R0 R0 r
V1 E dl
r
AR 3 Edr 3ε0
R0

R0
r
dr AR 3 R0 ln r 3ε0 r
r < R时
R0 r
Ar 2 /( 3ε0 )
R r R
AR 3 /( 3ε0 r )
V2 E dl Edr Edr
v ed / m 0
0
d d dl 0 2 0 2 0 电子受电场力大小为 F Ee e 方向指向平面 2 0
解法一: 场强大小 E 2 ,方向如图 0 E P P点的电势 v d d VP E dl Edl d
8、一半径为R的“无限长”圆柱形带电体，其电荷 体密度为 =Ar(r＜R)，式中A为常数，试求： (1)圆柱体内，外各点场强大小分布； (2)选距离轴线的距离为R0(R0＞R)处为电势零点，计 算圆柱体内，外各点的电势分布。 解：(1)作一半径为r，高为h的同轴圆柱面为高斯面 根据对称性分析，圆柱面侧面上任一 R 点的场强大小相等，方向沿矢径方向
R1
R1
q 4πε0
q R1 r 2 4πε0
R2 dr
q 1 1 1 ( ) r R1 4πε0 R1 R2
R2
解法二：以无穷远处为电势零点
则由电势叠加原理可得
Q 内球面电势为 V1 4 0 R1 4 0 R2 q Q 外球面电势为 V2 4 0 R2 4 0 R2 q 1 1 V12 V1 V2 ( ) 4 0 R1 R2 (q Q )q0 A q0 (V2 V ) 4 0 R2 q

( 1, 0 ) ( 3, 2 )
( 400dx 600dy) 400 dx 600 dy
3 2
1
0
800 1200 2000(V )
4、一“无限长”均匀带电直线沿Z轴放置，线外 某区域的电势表达式为V＝Aln(x2+y2) ，式中A为 常数，该区域电场强度的两个分量为：
2
10.( 第一章习题二 .9) 无限长均匀带电圆柱面，电荷 面密度为，半径为R，求圆柱面内外的场强分布。
解：作一半径为r，高为h的同轴圆柱面
R r
E
为高斯面, 根据对称性分析，圆柱面 侧面上任一点的场强大小相等， 方向
h E
S
ˆ r
沿矢径方向。 Φ S E dS 上底 E dS 下底 E dS 侧面 E dS
3、一均匀静电场，场强 E (400i 600 j )V m 1 , 则点a（3、2）和点b（1、0）之间的电势差为 Vab 2000V
解 : E 400i 600 j
b b a a
dl dxi dyj
Vab E dl (400i 600 j ) (dxi dyj )
R r' 上底 hh S
下底
r > R 时,
dV 2rhdr
R 2
r dr'
2 dq dV 2Ahr dr
R
上底
2 3 q 2 π Ah r d r π AhR i 0 3 ( S 内 ) 侧面 3 AR 2 3 AhR E 即 2 rhE 3 0 r 3 0
dE 的方向如图所示
q cosd dE x dE cos 2 4 0 R q sin d dE y dE sin 2 4 0 R
q E x dE x 4 0 R 2 q sin 2 2 0 R 2 q E y dE y 4 0 R 2
R2
（2）B点处， r2 < R1
r1
A

4r dr dVB 40 r 40 r dq
2
rdr 0 2 2 R2 R2 ( R2 R1 ) VB dVB rdr R1 0 R1 2 0
解 [2] ：利用高斯定理求均匀带电球壳产生的场强分 布，再由电势和场强的积分关系求电势分布。 以 O 点为中心， r 为半径作高斯球面，由电荷分 布的球对称性可知电场分布有球对称性
∴
E
0，
( r R)
E的方向垂直轴线沿径向， > 0则背离轴线；
R ˆ， ( r R ) r 0r
< 0则指向轴线。
11、无限大的均匀带电平面，电荷面密度为，P点与 平面的垂直距离为d，若取平面的电势为零，则P点的 电势 V p d / 2 0 ，若在P点由静止释放一个电子(其 质量为m，电量绝对值为e)则电子到达平面的速率为：
y q R
d

dE y dE


O dE x
x
cos d
2 2

dl
奇函数在对称区间积分为零
sind 0
2 2

q sin 2 i (在习题四、7中 =) E Ex i E y j 2
2 0 R

6、半径为R的球面上有一小孔，小孔的面积为ΔS, ΔS与球面积相比很小，若球面的其余部分均匀分
1 1 1
VB


r2
R2
v v R R E dl Edr + Edr Edr
1 2
r2
R1
R2
R1
2 2 (r 3 R13 ) ( R23 R23 ) dr ( R2 R1 ) dr 2 2 R r 3 0 r 3 0 2 0
r 2
h
r S ˆ
r
ˆ 侧面 r
2 3 q 2 π Ah r d r π Ahr r < R 时， i 0 3 ( S内) 2 2 Ar 3 Ahr E 即 2 rhE 3 0 3 0
2 ˆ /( 3 0 ) , [r R] Ar r E 3 ˆ /( 3 0 r ) , [r R] AR r
q 4 0 R qS 16 2 0 R 3
得 V V球面 VS
q
q S (1 ) 2 4 0 R 4 0 R 4R
( S 4R)
7、一个半径为R1的均匀带电球面，带电+q，其 外套一个半径为R2的同心均匀带电球面。R2＞R1， 外球面带电 –Q ，求两球面间的电势差；若有一 试验电荷q0从外球面处移到无限远处，电场力作 功多少？ 解法一：由高斯定理可得 0, ( r R1 ) q R1 e , ( R r R ) r 1 2 2 +q E 4πε0 r •O qQ e , ( r R2 ) 2 r R2 4πε0 r R2 R2 –Q V12 V1 V2 E dl Edr
V 2 Ax V 2 Ay Ex 2 , Ey 2 2 x x y y x y2
5、在圆心角为，半径为R的圆弧上均匀分布着电 荷q，试求：(1)圆心处的电势； (2)圆心处的场强。 解：电荷线密度 q / R y 任取一小段圆弧dl，其电量为 dE y dE R q q q dq dl Rd d R O dE x x
S
R1 r 2 r O B R2
v v 2 乙 E dS E dS 4 r E
S S
r1
A
根据高斯定理 4 r E =
2
1
∴ E
1 4 0 r
S
2
0
q
S
i
q
S
i
r R1， qi 0， E 0
3 3 4 （ r R ） 3 3 1 R1 r R2， qi ( r R1 )， ∴ E 3 3 0 r 2 S 3 3 4 （ R R ） 3 3 2 1 r R2， qi ( R2 R1 )， ∴ E 3 3 0 r 2 S
侧 面 EdS E 侧 面 dS 2πrhE
(1) r < R时,
qi 0 ,
qi 由高斯定理 Φ ε0
即 2πrhE 0, 得 E 0 (2) r > R时, q i 2πRhσ ,
qi 由高斯定理 Φ ε0
σR 即 2πrhE 2πRhσ / ε0 , 得 E ε0 r
布正电荷q，则球心O点场强大小 E =
q S
2
方向由O指向ΔS，电势 V = q 解: 4R 2
ΔS的电量为
q 4 0 R
16 0 R
4
,
qS q S 4R 2
S
q E ΔS
o•
ΔS在O点产生的场强和电势分别为 Δq qΔS E ΔS e e 2 r 2 4 r 4πε0 R 16π ε0 R q qS VS 4 0 R 16 2 0 R3
得电场强度的分布
0,
(r R1 )
3 3 （ r R ）v v 1 er , ( R1 r R2 ) E 2 3 0 r （R23 - R13 ）v er , (r R2 ) 2 3 0 r (1) A点处， r1 > R2 v v ( R23 R23 ) dr ( R23 R23 ) VA E dl Edr = 2 r r r r 3 0 3 0 r1 (2) B点处， r2 < R1 =0
完整球面在O点产生的场强和电势分别为 q V球面 E球 面 0 4 0 R
根据场强叠加原理 E球面 E ES
得 E E球面 ES
根据电势叠加原理
qΔS e 2 4 r 16π ε0 R
o• E q
S
V球面 V VS
R2
其电量为 dq 4r 2 dr
r dr 4 0 r1 0 r1 2 3 3 R R r dr ( R2 R1 ) VA dVA R R 0 r1 3 0 r1
A dV A
2
r1

（1）A点处， r1 > R2
dq
2
2
1
1
dr R1 r 2 r O B
第一章习题课(场强、电势）
1、描述静电场性质的两条基本规律是高斯定理、
静电场的环路定理。相应的数学表达式为 1 E dS qi 、 E dl 0 L 0 ( S内) S
2、在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分 不闭合。
L
等于零，即 E dl 0, 这表明静电场中的电场线
(1) dq在O点产生的电势 qd dq dV 4 0 R 4 0R
dl

2
Leabharlann Baidu
d
圆弧在O点产生的电势 V dV
qd 4 0 R


2

q 4 0 R
( 2) dq在O点产生的场强大小为
dq q dE d 2 2 4 0 R 4 0 R