立体几何公理定理推论汇总

立体几何公理、定理推论汇总

一、公理及其推论 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言:,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂

作用: ① 用来验证直线在平面内;

② 用来说明平面就是无限延展的。

公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其她公共点,且所有这些公共点的集合就是一条过这个公共点的直线。(那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线)

符号语言:P l P l αβαβ∈⇒=∈I I 且

作用:① 用来证明两个平面就是相交关系;

② 用来证明多点共线,多线共点。

公理3 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。

符号语言:,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面

推论1 经过一条直线与这条直线外的一点,有且只有一个平面。

符号语言:A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面，使，

推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面。

符号语言:a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，

推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面。

符号语言://a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，

公理3及其推论的作用:用来证明多点共面,多线共面。

公理4 平行于同一条直线的两条直线平行(平行公理)。

符号语言://////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭

图形语言:

作用:用来证明线线平行。

二、平行关系 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行(平行公理)。(1)

符号语言://////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭ 图形语言:

线面平行的判定定理 如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行。(2)

符号语言:

////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭ 图形语言:

线面平行的性质定理 如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线与交线平行。(3)

符号语言:////a b a a b βαβα⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭I

图形语言:

面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行、(4)

符号语言://(/,///),a b b b O a a ββαααβ⊂⊂=⎫⎪⇒⎬⎪⎭

I 图形语言: 面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线,那么这两个平面平行。(5)

符号语言:,

,//oo oo ααββ⎫⇒⎬⎭

⊥⊥ 图形语言: 面面平行的性质定理 如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。(6) 符号语言:

////a a b b αγβγαβ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭

I I 图形语言: 面面平行的性质1 如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。(7)

符号语言:////a a βααβ⎫⇒⎬⊂⎭ 图形语言:

面面平行的性质如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面。(8)

符号语言:

//

a

a

β

β

α

α⎫

⇒

⎬

⎭

⊥

⊥图形语言:

面面平行的性质3 平行于同一个平面的两个平面平行。(9)

符号语言:

//

//

//

αβ

αγ

γβ

⎫

⇒

⎬

⎭

图形语言:

平行垂直关系图系

三、垂直关系

三垂线定理在平面内的一条直线,如果与这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也与这条斜线垂直。

(10)

符号语言:

PA

a

PO O a PA

A

a O

α

α

α

⊥

⊥

⎫

⎪

=⇒

⎬

⎪

⊂⎭

⊥

I

且

图形语言:

三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线,如果与这个平面的一条斜线垂直,那么它也与这条斜线的射影垂直、(11)

符号语言:

PA

a

PO O a AO

P

a O

α

α

α

⊥

⊥

⎫

⎪

=⇒

⎬

⎪

⊂⎭

⊥

I

且

图形语言:

线面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。(12) 符号语言:

(,),m n m n l m l B n l ααα⎫⎪⇒⎬⎪⊂⊂=⎭⊥⊥⊥I 图形语言:

线面垂直的判定 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。(13)

符号语言://b a b a αα⎫⇒⎬⎭⊥⊥ 图形语言:

线面垂直的性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。(14)

符号语言://a b b a αα⎫⇒⎬⎭⊥⊥ 图形语言:

线面垂直的性质 如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线、(15)

符号语言:a a b b αα⎫⇒⎬⊂⎭⊥⊥ 图形语言:

面面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。(16)

符号语言:A AB B βααβ⎫⇒⎬⊂⎭⊥⊥ 图形语言:

面面垂直的性质定理 如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

(17)

符号语言:AB CD AB AB CD αββααβ⊥⎫⎪=⇒⎬⎪⊥⊂⎭⊥I 且

图形语言:

最小角定理 斜线与平面所成的角,就是这条斜线与这个平面内的直线所成的一切角中最小的角,且有12cos cos cos θθθ=⋅(其中12,,θθθ如图中所示) 图形语言: