第十五课时1.3.1函数的单调性与最值I
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y
M
观察
y M
x
o x0
图1
o
图2
x0
x
思 考 图中有个最高点，那么这个最高点的纵坐
标叫是么呢？
思 考 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标
为M，则对函数定义域内任意自变量x， f(x)与M的大小关系如何？ f(x)≤M
例如函数f x = -x2Fra Baidu bibliotek+1 x∈R
1是此函数的最大 值 1、对任意的 X
（minimun value）.
注意：
1、函数最大（小）值应该是所有 函数值中最大（小）的，即对于 任意的x∈I，都有f(x)≤M （f(x)≥m）；
2、函数最大（小）值首先应该是 某一个函数值，即存在x0∈I，使得 f(x0) = M（f(x0) = m ). 即：函数的最大值是函数值域中的 一个元素
例2、求下列函数的的最 大（小）值 （1）f(x)=-2x+1) x [-2，0] 2 (2) f(x)=x -4x+6 x R 2 (3) f(x)=x -4x+6 x [1,2] 2 (4) f(x)=x -4x+6 x [3,4]
7、函数的最值的求法
（1）图象法（利用函数的图象求 最值）;
2a
5、常见结论: (1)若f (x) ，g(x)均为增（减）函 数 ，则f (x) +g(x) 也为增（减） 函数 。 （2）若f (x)1为增（减）函数 ， 则 -f (x) ， 为减（增）函 f ( x ) 数。 （3）若f (x)>0 ，则 f (x)， 也为 增函数。
观察这两个函数图象， 下列两个函数的图象：
1 (x [3, 5])，求函数的最大 例1 已知函数 f(x) = x-2 值与最小.
分析：由函数的图象可知道，
此函数在[3，5]上递减。所以在
区间[3，5]的两个端点上分别取得
最大值与最小值.
解：设 x1 , x 2 是区间[3，5]上的任意两个实数，
且 x1 < x 2，则
(x 2 - 2) - (x1 - 2) x 2 - x1 1 1 f(x1 ) - f(x 2 ) = = = . x1 - 2 x 2 - 2 (x1 - 2)(x 2 - 2) (x1 - 2)(x 2 - 2)
思 考 能否仿照函数的最大值的定义，给出
函数y=f(x)的最小值的定义呢？
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果实数M满足： （1）对于任意的的 x ∈ I ，都有 f(x) ≥M; x I f(x ) = M
0
0
（2）存在 x0 ，使得 使得f(x0) = M，那 I 么我们称M是函数y=f(x)的最小值
1.3.1 函数的 单调性（2）
复习回顾; 1、函数单调性的定义、证明 函数单调性的步骤是什么？ 2、什么是函数的单调区间？ 一次、二次、反比例函数的 单调区间各是什么？
• 讨论一次函数y=kx+b的单调性 • 讨论反比例函数的单调性 • 讨论二次函数的单调性
4、已学函数的单调区间： (1) y=kx+b(k≠0),当k>0时，f (x) 在 区间（- ∞， ∞）上单调递增；当 k<0时，f (x) 在区间（- ∞， ∞）单 调递减. k （2） y （k 0）, 当k>0时, f (x) x 在区间（ - ∞， 0）和（0， ∞）上 单调递减，当k<0时，f (x) 在区间 （- ∞， 0）和（0， ∞）单调递增.
（2）单调性法（利用函数的单调 性求函数的最值） .
（3）对于二次函数，可用配方法结 合给定区间求函数的最值;
课堂小结; 1、用定义的方法证明函 数的单调性. 2、单调区间的求法 3、最大（小）值的求法. 4、单调性的应用
作业
《微课程》P19: 4， 5、6、7、8
（a≠0），当 b - 单） a>0时，f (x) 在区间 （- ， b 2 a 调递减:， 在区间 （- 2a , ） 单 调递增；当 a<0 时， f (x) 在区间 b （- ， - 增， ） f (x) 在区间 上单 调递 2a b 上单调递（ 减 - . , ）
2 （3）y=ax +bx+c
2 1
ƒ(0)=1
O
R , 都ƒ(x)≤1.
2、存在0，使得ƒ(0)=1.
6、最大值与最小值：
知识要 点
M是函数y= f (x)的最大（maximumvalue）：
一般地，设函数y= f (x)的定义 域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x ∈I，都有f (x) ≤M; （2）存在 x0 I ，使得 f ( x0 ) M 那么就称函数M是函数y= f (x)
由于 3 x1 x2 5, 得 x2 - x1 > 0,(x1 - 2)(x2 - 2) > 0,
于是
即
f(x1 ) - f(x2 ) > 0
f(x1 ) > f(x2 )
所以，此函数在区间[3,5]的两个端点上分 别取得最大值与最小值即在x=3时取得最大
值是1，在x=5时取得最小值为0.5.
M
观察
y M
x
o x0
图1
o
图2
x0
x
思 考 图中有个最高点，那么这个最高点的纵坐
标叫是么呢？
思 考 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标
为M，则对函数定义域内任意自变量x， f(x)与M的大小关系如何？ f(x)≤M
例如函数f x = -x2Fra Baidu bibliotek+1 x∈R
1是此函数的最大 值 1、对任意的 X
（minimun value）.
注意：
1、函数最大（小）值应该是所有 函数值中最大（小）的，即对于 任意的x∈I，都有f(x)≤M （f(x)≥m）；
2、函数最大（小）值首先应该是 某一个函数值，即存在x0∈I，使得 f(x0) = M（f(x0) = m ). 即：函数的最大值是函数值域中的 一个元素
例2、求下列函数的的最 大（小）值 （1）f(x)=-2x+1) x [-2，0] 2 (2) f(x)=x -4x+6 x R 2 (3) f(x)=x -4x+6 x [1,2] 2 (4) f(x)=x -4x+6 x [3,4]
7、函数的最值的求法
（1）图象法（利用函数的图象求 最值）;
2a
5、常见结论: (1)若f (x) ，g(x)均为增（减）函 数 ，则f (x) +g(x) 也为增（减） 函数 。 （2）若f (x)1为增（减）函数 ， 则 -f (x) ， 为减（增）函 f ( x ) 数。 （3）若f (x)>0 ，则 f (x)， 也为 增函数。
观察这两个函数图象， 下列两个函数的图象：
1 (x [3, 5])，求函数的最大 例1 已知函数 f(x) = x-2 值与最小.
分析：由函数的图象可知道，
此函数在[3，5]上递减。所以在
区间[3，5]的两个端点上分别取得
最大值与最小值.
解：设 x1 , x 2 是区间[3，5]上的任意两个实数，
且 x1 < x 2，则
(x 2 - 2) - (x1 - 2) x 2 - x1 1 1 f(x1 ) - f(x 2 ) = = = . x1 - 2 x 2 - 2 (x1 - 2)(x 2 - 2) (x1 - 2)(x 2 - 2)
思 考 能否仿照函数的最大值的定义，给出
函数y=f(x)的最小值的定义呢？
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果实数M满足： （1）对于任意的的 x ∈ I ，都有 f(x) ≥M; x I f(x ) = M
0
0
（2）存在 x0 ，使得 使得f(x0) = M，那 I 么我们称M是函数y=f(x)的最小值
1.3.1 函数的 单调性（2）
复习回顾; 1、函数单调性的定义、证明 函数单调性的步骤是什么？ 2、什么是函数的单调区间？ 一次、二次、反比例函数的 单调区间各是什么？
• 讨论一次函数y=kx+b的单调性 • 讨论反比例函数的单调性 • 讨论二次函数的单调性
4、已学函数的单调区间： (1) y=kx+b(k≠0),当k>0时，f (x) 在 区间（- ∞， ∞）上单调递增；当 k<0时，f (x) 在区间（- ∞， ∞）单 调递减. k （2） y （k 0）, 当k>0时, f (x) x 在区间（ - ∞， 0）和（0， ∞）上 单调递减，当k<0时，f (x) 在区间 （- ∞， 0）和（0， ∞）单调递增.
（2）单调性法（利用函数的单调 性求函数的最值） .
（3）对于二次函数，可用配方法结 合给定区间求函数的最值;
课堂小结; 1、用定义的方法证明函 数的单调性. 2、单调区间的求法 3、最大（小）值的求法. 4、单调性的应用
作业
《微课程》P19: 4， 5、6、7、8
（a≠0），当 b - 单） a>0时，f (x) 在区间 （- ， b 2 a 调递减:， 在区间 （- 2a , ） 单 调递增；当 a<0 时， f (x) 在区间 b （- ， - 增， ） f (x) 在区间 上单 调递 2a b 上单调递（ 减 - . , ）
2 （3）y=ax +bx+c
2 1
ƒ(0)=1
O
R , 都ƒ(x)≤1.
2、存在0，使得ƒ(0)=1.
6、最大值与最小值：
知识要 点
M是函数y= f (x)的最大（maximumvalue）：
一般地，设函数y= f (x)的定义 域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x ∈I，都有f (x) ≤M; （2）存在 x0 I ，使得 f ( x0 ) M 那么就称函数M是函数y= f (x)
由于 3 x1 x2 5, 得 x2 - x1 > 0,(x1 - 2)(x2 - 2) > 0,
于是
即
f(x1 ) - f(x2 ) > 0
f(x1 ) > f(x2 )
所以，此函数在区间[3,5]的两个端点上分 别取得最大值与最小值即在x=3时取得最大
值是1，在x=5时取得最小值为0.5.