边际与弹性
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第六节 边际与弹性
教学目的:掌握边际函数、弹性函数定义。
教学重点:经济学中常见边际函数及弹性函数。
教学难点:需求弹性的计算
教学内容:
一、边际概念
在经济学中,边际概念通常指经济问题的变化率,称函数()f x 的导数()f x '为函数()f x 的边际函数.
在点0x 处,当x 改变x ∆时,相应的函数()=y f x 的改变量为)()(00x f x x f y -∆+=∆.当1=∆x 个单位时,)()1(00x f x f y -+=∆,如果单位很小,则有 )()()1(01000x f dy x f x f y dx x x '=≈-+=∆==.
这说明函数)(0x f '近似地等于在0x 处x 增加一个单位时,函数)(x f 的增量y ∆.当x 有一个单位改变时,函数)(x f 近似改变了)(0x f '.
二、经济学中常见边际函数
1.边际成本
总成本函数)(x C 的导数)(x C '称为边际成本函数,简称边际成本.
边际成本的经济意义是,在一定产量x 的基础上,再增加生产一个单位产品时总成本增加的近似值.
在应用问题中解释边际函数值的具体意义时,常略去“近似”二字.
例1: 已知生产某产品x 件的总成本为2
0010409000)C(x x x .++=(元),
(1)求边际成本)(x C ',并对)1000(C '的经济意义进行解释.
(2)产量为多少件时,平均成本最小
解: (1)边际成本x x 002040)(C .+='. (1000)400.002100042C '=+⨯=.
它表示当产量为1000件时,再生产1件产品则增加42元的成本;
(2)平均成本
x x
x x 0010409000C )(C .++==, 00109000)(C 2.+-='x
x ,
令=')(C x 0,得 x = 3000(件).由于3
18000C (3000)03000''=
>,故当产量为3000件时平均成本最小.
2.边际收入 总收入函数)(x R 的导数)(x R '称为边际收入函数,简称边际收入.
边际收入的经济意义是,销售量为x 的基础上再多售出一个单位产品所增加的收入的近似值.
例2:设产品的需求函数为p x 5100-=,其中p 为价格,x 为需求量.求边际收入函数,及70,50,20=x 时的边际收入,并解释所得结果的经济意义.
解: 根据p x 5100-=得5
100x p -=
总收入函数)100(5
15100)(2x x x x px x R -=⋅-== 边际收入函数为)2100(5
1)(x x R -=' 即销售量为20个单位时,再多销售一个单位产品,总收入增加12个单位;当销售量为
50个单位时,
扩大销售,收入不会增加;当销售量为70个单位时,再多销售一个单位产品,总收入将减少8个单位. 3.边际利润
总利润函数)(x L 的导数)(x L '称为边际利润函数,简称边际利润.
边际利润的经济意义是,在销售量为x 的基础上,再多销售一个单位产品所增加的利润. 由于)()()(x C x R x L -=,所以()()()L x R x C x '''=-.即边际利润等于边际收入与边际成本之差.
例3:某加工厂生产某种产品的总成本函数和总收入函数分别为
202.02100)(x x x C ++=(元)与201.07)(x x x R +=(元)
求边际利润函数及当日产量分别是200千克、250千克和300千克时的边际利润,并说明其经济意义.
解: 总利润函数100501.0)()()(2
-+-=-=x x x C x R x L
边际利润函数为502.0)(+-='x x L
日产量为200千克、250千克和300千克时的边际利润分别是 1)200(='L (元),0)250(='L (元),1)300(-='L (元)
其经济意义是,在日产量为200千克的基础上,再增加1千克产量,利润可增加1元;在日产量为250千克的基础上,再增加1千克产量,利润无增加;在日产量为300千克的基础上,再增加1千克产量,将亏损1元.
二、弹性概念
弹性概念是经济学中的另一个重要概念,用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的灵敏程度.
例如,设有A 和B 两种商品,其单价分别为10元和100元.同时提价1元,显然改变量相同,但提价的百分数大不相同,分别为10%和1%.前者是后者的10倍,因此有必要研究函数的相对改变量以及相对变化率,这在经济学中称为弹性.它定量地反映了一个经济量(自变量)变动时,另一个经济量(因变量)随之变动的灵敏程度,即自变量变动百分之一时,因变量变动的百分数.
定义:设函数)(x f y =在点x 处可导.则函数的相对改变量
y y ∆与自变量的相对改变量x x ∆之比,当0→∆x 时的极限: )()(lim
0x f x f x y y x x x y y x '='=∆∆→∆称为函数)(x f y =在点x 处的弹性,记作Ey Ex 或()Ef x Ex
,即 ()()
Ey x f x Ex f x '=. 由定义知,当%1=∆x
x 时,%y Ey y Ex ∆≈.可见,函数)(x f y =的弹性具有下述意义:函数)(x f y =在点0x 处的弹性0
x x Ey Ex =表示在点0x 处当x 改变1%时,函数)(x f y =在)(0x f 的水平上近似改变0
%x x Ey
Ex =.
四、经济学中常见的弹性函数
1. 需求价格弹性
设某商品的需求量为Q ,价格为p ,需求函数()Q Q p =,则该商品需求对价格的弹性(简称需求价格弹性)为:d p dQ E Q dp
= .
2. 供给价格弹性
设某商品的供给量为W ,价格为p ,供给函数()W W p =,则该商品供给对价格的弹