高一数学之分离参数法(含答案)

高中重要解题方法——分离变量法
分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.
分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.
解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围，求a 的范围：
定理1 不等式()()f x g a ≥恒成立⇔[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等
式()()f x g a ≤恒成立⇔[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）.
定理2 不等式()()f x g a ≥存在解⇔[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不
等式()()f x g a ≤存在解⇔[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）.
定理3 方程()()f x g a =有解⇔()g a 的范围=()f x 的值域（求解()f x 的值域）.
解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域.
再现性题组：
1、 已知当x ∈R 时，不等式224sin cos sin 5x x x a +-<-+恒成立，求实数a 的取值范围。

2.若f(x)=2
33x x --在[1,4]x ∈-上有()21f x x a ≥+-恒成立，求a 的取值范围。

3,、若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有2()251f x x a a ≥+--恒成立，求a 的取值范围。

4、若方程42210x x
a -+=有解，请求a 的取值范围。

1、 解：原不等式224sin cos sin 5x x x a ⇔+-<-+
当x ∈R 时，不等式max a+5>(4sinx+cos2x)⇔-，设f(x)=4sinx+cos2x 则 22f(x)= 4sinx+cos2x =2sin x+4sinx+1=2(sinx 1)+3 ---
∴a+5>3a<2-∴
2、解：23321x x x a --≥+-恒成立，即2
242a x x ≤--在[1,4]x ∈-上恒成立,
只需2min 2(42)a x x ≤--，解得3a ≤- 3、解：2233251x x x a a --≥+--在[1,4]x ∈-上恒成立⇒ 222542a a x x -≤-- 在[1,4]x ∈-上恒成立⇒2325312a a a -≤-⇒≤≤
4、解:令2x t = (t>0)，则21
210221t at a t a t -+=⇒=+≥⇒≥
【例题】
例1. 已知函数()2
1,(0,1]f x x ax x =++∈,且()||3f x ≤恒成立,求a 的取值范围. 【分析】法一(二次函数):问题转化为不等式组2213,(0,1]13
x ax x x ax ⎧++≤⎪∈⎨++≥-⎪⎩恒成立 → 2()1f x x ax =++在(0,1]x ∈上的最大值与最小值 → 以对称轴与定义域端点进行比较分类,研究单调性.正确率较低.
法二(分离变量):问题转化为22
42x x a x x
---≤≤在(0,1]x ∈上恒成立(除x 时注意符号), → 由定理1得22max min
42x x a x x ⎡⎤⎡⎤---≤≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.求相应函数最值,正确率较高.
例2.已知a 是实数，函数2
()223.f x ax x a =+--如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点，求a 的取值范围.
【分析】方法一(根的分布):这个题目是一个标准的根的分布问题,解题时需要考虑: 开口方向,判别式,对称轴,特殊点的函数值.解题时需要分为大3类,小5类.学生能够部分得分,很难列出所有不等式组.
方法二(分离变量):问题转化为22230ax x a +--=在[1,1]x ∈-上恒有解 → 分离变量得23221
x a x -=
-
,222[1,(,)(,1]2222x ∈---有解 →
由定理1.3得只需求函数232()21x g x x -=-在222[1,(,)(
,1]2222x ∈---上的值域即可, 2±单独考虑.此法思维两较小,运算量较二次函数略大,得分率略有增加.
通过对上述三道题目解答过程中出现的两种做法的比较,不难体会到,分离变方法的优越性:思维量小,过程简捷明快,思维严谨性的要求有所降低.不足之处:个别时候,分离后产生的函数,在求解其最值或值域时运算量较大.总体来说,多数时候,应优先使用分离变量法。

1、 已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+
- ⎪⎝⎭，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。

2、已知(],1x ∈-∞时，不等式()
21240x x a a ++-⋅>恒成立，求a 的取值范围。

3、设124()lg ,3
x x
a f x ++=其中a R ∈，如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义，求a 的取值范围。

4、设函数是定义在(,)-∞+∞上的增函数，如果不等式2
(1)(2)f ax x f a --<-对于任意[0,1]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围。

练习答案：
1、解：根据题意得：21a x x +
->在[)2,x ∈+∞上恒成立， 即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立，
设()23f x x x =-+，则()2
3924f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 当2x =时，()max 2f x = 所以2a >
2、解：令2x t =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：221t a a t +-<， 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()2
1t f t t +=在(]0,2t ∈上的最小值即可。

()22211111124t f t t t t t +⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭ ()()min 324f t f ∴== 2313422
a a a ∴-<⇒-<< 3、解：如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义1240x x a ⇔++>，对(,1)x ∈-∞恒成立.
212(22)4
x
x x x a --+⇔>-=-+(.1)x ∈-∞恒成立。

令2x t -=，2()()g t t t =-+ 又(.1)x ∈-∞则1(,)2t ∈+∞()a g t ∴>对1(,)2
t ∈+∞恒成立， 又()g t 在1[,)2t ∈+∞上为减函数，max 13()()24t g ==-g ，34
a ∴≥-。

4、解：()f x 是增函数2(1)(2)f ax x f a ∴--<-对于任意[0,1]x ∈恒成立
212ax x a ⇔--<-对于任意[0,1]x ∈恒成立
210x ax a ⇔++->对于任意[0,1]x ∈恒成立，
令2
()1g x x ax a =++-，[0,1]x ∈，所以原问题min ()0g x ⇔>， 又min (0),0()(),2022,2g a a g x g a a >⎧⎪⎪=--≤≤⎨⎪ <-⎪⎩即2min 1,0()1,2042,2
a a a g x a a a - >⎧⎪⎪=--+-≤≤⎨⎪ <-⎪⎩ 易求得1a <。